第3期 等式性质与不等式性质 基本不等式-【数理报】2025-2026学年高一数学必修第一册同步学案（人教A版）

高一数学人教A(必修第一册)第1~4期 数理括 答案详解 2025~2026学年 高一数学人教A(必修第一册)第1~4期(2025年7月)】 则AUB=A={x∈RIx≠3}. 第1期2版参考答案 3.因为M={xI-1≤x≤3}，N={xlx=2h-1,ke 专项小练一 N,}, 1.ACD;2.D;3.A;4.{xIx=n,neN,};5.2. 所以MN=1,3. 6.解：(1)不正确。 4.由题化简得集合B={xIx>a}, 因为2=引=宁 结合数轴可知，要使A二B,则只要a≤-1即可， 即实数a的取值范围是aIa≤-1}. 所以这个集合有3个元素. 5.当x=0时，m=y,m可取0,1,2； (2)不正确。 当x=1时，m=1+y,m可取1,2,3； 方程(x-3)(x+1)2=0的解是x1=3,x2=x3=-1, 当x=2时，m=2+y,m可取2,3,4. 因此这个集合只有3，-1两个元素。 因此m的值可以为0,1,2,3,4， 专项小练二 即B={0,1,2,3,4},从而ACB. 1.D;2.C;3.CD;4.BA;5.2 6.根据题意知a>-4,则CRB={x1-4<x≤a. 6.解：(1)由题知A=x1-2≤x≤5}， 又A={xlx<-3或x>1},A∩(CRB)中恰好含有2个 当x∈Z时，A={-2,-1,0,1,2,3,4,5}共8个元素， 整数， 所以A的非空真子集的个数为28-2=254个. 所以A∩(CRB)={xl-4<x<-3或1<x≤a, (2)由题知显然m-1<m+1,因为BCA, 所以3≤a<4. 所以m+1≤5，解得-1≤m≤4， 7.因为A∩B={-2},所以-2∈A, lm-1≥-2， 得(-2)2+2p-2=0,解得p=-1. 所以实数m的取值范围是{m「-1≤m≤4}. 故A={x1x2+x-2=0}={-2,1}. 专项小练三 又因为AUB={-2,1,5},所以B={-2,5}. 1.A;2.A;3.AD;4.8;5.1. 6.解：(1)因为A={xl2≤x<7},B={xl3<x<10}, 人。 所以AUB={xI2≤x<10}, 综上可得p+q+r=-1-3-10=-14 CRA={xlx<2或x≥7}， 8.由题可得x=√5，万，√2+n,√个+， 则(CRA)B={xI7≤x<10}. 又集合A⊙B有3个元素， (2)因为A={x12≤x<7},C={xlx<a},且A∩C 当2=√2+n,即n=0时， ≠0，所以a>2, A⊙B={3,√2，I}满足题意； 所以a的取值范围是{ala>2}. 当2=√+n,即n=1,n=-1(舍去)时， 第1期3,4版参考答案 A⊙B={5,√2}，不符合题意； 当3=√个+n,即n=±2时， 集合同步核心素养测评 一、单项选择题 A⊙B={W5,√2,2}满足题意； 1 ~4 CCAD 5~8 DBCB 当5=2+n,即n=1,n=-1(舍去)时， 提示： A⊙B={5,√2}，不符合题意. 1.根据补集定义可得C4B={0,2,6,10}. 综上，ne{0,2,-2}, 2.由题意可知B≤A, 故所构成集合的非空真子集的个数为2-2=6. 高一数学人教A(必修第一册)第1~4期 二、多项选择题 12.因为A={xx2+2ax-a<0,-1年A, 9.AC;10.ABC;11.ABC. 所以x=-1满足x2+2ax-a≥0， 提示： 9.因为MP, 即1-24-a≥0，解得a≤分 R 所以MUP=P,故(A)正确； 13.集合M,P,Q分别代表被3除余0,1,2的整数构成的集 因为MP,所以P∩M=M, 合，整数集中去掉被3除余0和1的，剩余的只有余数为2的，即 而M手N,故(B)错误； 集合Q. 因为N军P, 14.由题意知，第一天售出但第二天未售出的商品有17-3 所以CRP军CRN,故(C)正确； =14种， M手N,如图1所示， 第二天售出但第一天未售出的商品有13-3=10种， 所以V∩CRM表示的集合为①，不是空集，故(D)错误。 所以前两天共售出的商品有14+10+3=27种， 故选(A)(C). 第三天售出14种商品，后两天都售出的商品有5种， 10.Z={z1川z≥2}={z1z≥2或z≤-2}， 所以第三天售出但第二天未售出的商品有14-5=9种， 因为X=x1-2<x<2}, 因为9<14， 所以CRX={xIx≤-2或x≥2}，(B)正确； 所以这9种商品都是第一天售出但第二天未售出的商品 CRY=lyly>21, 时，该网店这三天售出的商品种类最少，其最小值为27. 则(CRX)U(CRY)=x1x≤-2或x≥2}，(A)正确； 四、解答题 X∩Y={xl-2<x<2},CR(X∩Y)={xIx≥2或 15.解：(1)因为2∈B,BCA, x≤-2}，(C)正确； 所以 [2=+ax+a, XUY={xlx≤2}，C(XUY)={xlx>2},(D)错误 3=x2-5x+9, 故选(A)(B)(C). rx=2, rx=3, 11.若A,B不具有包含关系，用Vemn图分别表示集合A 所以 。2或{ a=- B,A∩B,B-A,如图2， 若A,B具有包含关系，不妨设A军B, (2)因为B=C, x2+(a+1)x-3=3, 所以 4∩B B-A x2+ax +a =1, 图2 图3 解得-1或=3， la=-6la=-2. 则A-B=0,A∩B=A,B-A如图3所示 对于(A),图2中，(A-B)∩(B-A)=0, 16.解：0=x1x是不大于9的正整数}={1,2,3,4,5,6， 图3中，A-B=O,所以(A-B)∩(B-A)=☑，故(A) 7,8,9},且(CA)nB={1,3},(CB)nA={2,4,8},(C4) 正确； n(CB)=C(AUB)={6,9},作出Vem图，如图4. 对于(B),图2中，(A-B)U(B-A)=(AUB)-(A∩ B)成立， B 2,4,85,7 1,3 图3中，(A-B)U(B-A)=B-A,(AUB)-(A∩B) =B-A, 6,9 图4 所以(A-B)U(B-A)=(AUB)-(A∩B)成立，故 所以A={2,4,5,7,8},B={1,3,5,7. (B)正确； 17.解：(1)由题可得集合B中的元素个数为1， 对于(C),若A=B,则A-B=⑦，故(C)正确； 对于(D),由图3可知，若AB,则B-A≠O,故(D) 所以4=4(a+1)2-4(a2-5)=0, 即8(a+3)=0,解得a=-3. 错误 故选(A)(B)(C) (2)因为AUB=A,所以BCA={1,2}. 三、填空题 对集合B讨论： 当A<0,即a<-3时，B=0,满足条件： 2{aa≤号}：13.0（浅1x=3张-1kez): 当A=0,即a=-3时，B=2},满足条件； 14.27. 当4>0时，要满足条件，必有B={1,2}, 提示： 由一元二次方程根与系数的关系有 -2 高一数学人教A(必修第一册) 第1~4期 [1+2=-2(a+1), 第2期2版参考答案 l1×2=a2-5, 此方程组无解，不满足条件，舍去 专项小练一 综上，实数a的取值范围是ala≤-3. 1.C;2.ABD;3.B;4.fmlm≤2}；5.③. 18.解：(1)由题意知：CRA={x1-3≤x≤7}， 6.解：(1)因为命题p为真命题，p:关于x的方程x2-2ax+ 因为(CRA)UB=CRA,故BC(CRA). a2+a-1=0有实数根， 则4=4a2-4(a2+a-1)≥0，解得a≤1， ①当B=☑，即m+1>2m-1时， 故实数a的取值范围为aIa≤1}. 满足B∈(CRA),此时m<2; (2)由(1)知p:a≤1,9：m-1≤a≤m+1. ②当B≠O时，若BC(CRA), 若p是q的必要不充分条件，则m+1≤1，解得m≤0. rm+1≤2m-1, 故m的取值范围为mlm≤0}. 则{m+1≥-3，解得2≤m≤4， 专项小练二 2m-1≤7， 1.B;2.B;3.BD;4.{a1a>1};5.-1. 综上，实数m的取值范围为m「m≤4. 6.解：(1)p:3meR,方程x+x-m=0没有实根， (2)因为(CRA)∩B={x1a≤x≤b},且b-a≥1， 因为方程x2+x-m=0的判别式4=1+4m, 故B≠0，即m+1≤2m-1, 所以当m<-子时，4=1+4m<0,方程没有实根， 解得m≥2，则m+1≥3,2m-1≥3. 11 ①当2m-1≤7，即m≤4时， 即存在me{mm<-4} 使得该方程没有实根， (CRA)nB=B={xlm+1≤x≤2m-1}, 所以p为真命题 故2m-1-(m+1)≥1，解得3≤m≤4； (2)q:VxeR,使得x2+x+1>0. ②当2m-1>7, 因为4=1-4<0，所以x2+x+1>0恒成立， 即4<m≤6时， lm+1≤7， 所以9为真命题 (CRA)OB=xIm+1≤x≤7}， 第2期3,4版参考答案 故7-(m+1)≥1，解得4<m≤5； 集合与常用逻辑用语核心素养综合测评 ③当m+1>7,即m>6时，(CA)∩B=☑，不合题意. 一、单项选择题 综上，实数m的取值范围为{m|3≤m≤5}. 1~4 BCAC 5~8 ADBC 19解：()宋合{片5,2}是复活笑 提示： 1.原命题即“]x>0,ax2-x-2=0”, 理由如下： 其否定为“/x>0,ax2-x-2≠0”. 因为15.，5=15+山，5=-1. 2.由集合知识得AUB=A台B二A, 2 2 2 2 所以“AUB=A”是“B二A”的充要条件. 所以纸合{5,12}是复活集 3.由题得U={x∈N11≤x≤6}={1,2,3,4,5,6， 所以CA=2,4,5},CuB=1,5,6, (2)由a1,a2}为“复活集”，设a1+a=aa2=t, 故(CA)n(CB)={5. 因此a1,a2是一元二次方程x2-tx+t=0的两个不等 4.若x∈B,则x=4k=2(2k)eA,所以B二A, 正根， 因为2∈A,且2生B,所以A奕B. 于是△=2-4t>0,且t>0,解得t>4, 5.由题意可知3x2≥a,1≤x≤3恒成立， 所以a1a2的取值范围是{a1a2Ia1a2>4}. 只需a≤(3x2)min=3, (3)不妨设A中元素a,(i=1,2,3)满足a1<a,<a, 结合选项知a≤4ha≤3，但a≤3-a≤4， 故a≤3的一个必要不充分条件为a≤4. 显然a1a2a3=a1+a2+a3<3a3, 6.因为A={1,2,3,4},B=2,4}, 因为a;∈N,则a1a2<3,a1a2∈N,, 又SCA,SnB≠0， 所以a1a2=2,且得a1=1,a2=2, 所以S={2},{4},{1,2},{2,3},{1,4},{3,4},2,4}, 则2a3=3+a3,解得a3=3, {1,2,3},{1,2,4},{2,3,4},{1,3,4},{1,2,3,4}, 所以“复活集”A={1,2,3}. 所以满足条件的集合S的个数是12. 高一数学人教A(必修第一册)第1~4期 7.由x2-x-6=0得x=-2或x=3, 则a=4n1+k,n1eZ,b=4n2+k,n2∈Z, 所以A=-2,3. 则a-b=4(m1-n2)+0,所以a-be[0]; 又A∩B=B,所以BCA. 反之，不妨设a=4n1+k1,n1∈Z,b=4n2+k2,n∈Z, 当a=0时，ax+6=0无解，B=☑，符合题意； 则a-b=4(n1-n2)+(k1-k2), 当a≠0时，由ax+6=0得x=-6, 若a-b∈[0]，则k-k=0,即1=k2, a 所以整数a,b属于同一“类”， 依题意得-6=-2或-6=3. 故整数a,b属于同一“类”的充要条件是a-b∈[0]，即 a a 解得a=3或a=-2, (D)正确.故选(B)(C)(D). 对比四个选项知a的值不能为2. 三、填空题 8.因为p(a,b)=0, 12.充分不必要；13.{mm≤-2}；14.7. 提示： 所以√a2+2-a-b=0,即√a+b=a+b, 12.当开关K和K,有且只有一个闭合时，灯泡L亮，当灯 显然a+b≥0， 泡L亮时，开关K和K2也有可能都闭合，故电路中“开关K和 所以a2+b2=a2+62+2ab,所以ab=0,且a≥0，b≥0， K,有且只有一个闭合”是“灯泡L亮”的充分不必要条件. 所以p(a,b)=0是a与b互补的充分条件； 13.因为了xeB,x∈A为假命题， 当a与b互补时，则有a≥0，b≥0，且ab=0, 所以Hx∈B,x年A为真命题， 所以a,b中至少有一个数为0， 所以A∩B=☑且B≠☑. 所以a2+b2=(a+b)2, 即a2+b=la+b1=a+b, 所以2m≤m+山或大m+1解得m≤-2 lm+1≤-1l2m≥4， 所以p(a,b)=√/a+6-a-b=(a+b)-(a+b)=0, 即实数m的取值范围为{mlm≤-2. 所以p(a,b)=0是a与b互补的必要条件， 14.若M中只有1个元素，则M=3}; 所以p(a,b)=0是a与b互补的充要条件. 若M中有2个元素，则M={1,5}或{2,4}； 二、多项选择题 若M中有3个元素，则M={1,3,5}或{2,3,4}： 9.ABD;10.AD;11.BCD. 若M中有4个元素，则M={1,2,4,5}; 提示 若M中有5个元素，则M={1,2,3,4,5. 9.对于(A),因为ACB,所以Hx∈A,都有x∈B,故(A) 所以满足题意的M共有7个 正确； 四、解答题 对于(B),因为A不包含于B,所以3x∈A,使得xB,如 15.解：(1)AUB={xI4≤x<10}. A=1,2,3},B=2,3,4},故(B)正确： 因为CRA={x1x<4或x≥8}， 对于(C),当x=2+1时，x2=3+22是无理数，故(C) 所以(CRA)∩B={xI8≤x<10. 错误； (2)要使得A∩C≠⑦，画出数轴如下图所示， 对于(D),当x=2时，x=22是无理数，故(D)正确. 故选(A)(B)(D). 10.0=AUB={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, 由图可知a<8. 又A∩(CB)={1,3,5,7},(CA)∩B=2,8,9,10, 16.解：(1)由二次函数的性质得当1≤x≤2时，1≤x2≤4. 所以A0B={0,4,6. 因为p:]1≤x≤2，x2-a<0为真命题， 则A={0,1,3,4,5,6,7}, 所以a>1. AUB的子集个数为2"=2048， 故实数a的取值范围是{a1a>1}. A∩B的子集有8个，非空真子集有6个， (2)由(1)知命题p为真命题时，a≤1. 故(A),(D)正确.故选(A)(D) 因为命题g为真命题时，4=4a2-4(2a+a2)≥0， 11.由224=4×56可得224∈[0]，故(A)错误： 解得a≤0， 由-2=4×(-1)+2可得，-2∈[2]，故(B)正确： 所以当q为真命题时，a>0. 所有整数被4除所得的余数只有0,1,2,3四种情况，刚好 所以0<a≤1，即实数a的取值范围为{a0<a≤1}. 分成[0]，[1]，[2]，[3]共4类，故Z=[0]U[1]U[2]U 17.解：(1)由x2-(3m-2)x+2m2-m-3=0, [3],故(C)正确； 得[x-(m+1)][x-(2m-3)]=0, 若整数a,b属于同一“类”， 所以x=m+1或x=2m-3. 4 高一数学人教A(必修第一册)第1~4期 因为命题p为真命题， 所以有理数集Q是“好集”. 所以5<m+1<4, (2)证明：因为集合A是“好集”，所以0∈A,若x,y∈A, 1-5<2m-3<4, 则0-y∈A,即-y∈A,所以x-（-y)∈A,即x+y∈A. 得-1<m<3. (3)解：命题为真命题.理由如下： 所以A={m1-1<m<3}. 若x,y中有0,1时，显然有y∈A, (2)由(1)得集合A={mI-1<m<3},集合B=m1 1-a<m<1+a}, 下设，中不存在0,1，由定义得-1，士e4 1 由题得B是A的真子集. 所以=D∈A则(x-）后4. 当B=☑时，1-a≥1+a,解得a≤0，满足题意； 由(2)得x(x-1)+x=x2∈A,同理y2∈A. r1-a<1+a, 1-a<1+a, 若x+y=0或x+y=1时，显然(x+y)2∈A; 当B≠0时，1-a>-1,或1-a≥-1， 若x+y≠0或x+y≠1时，显然(x+y)2∈A, 1+a≤3 1+a<3, 可得2y=(x+y)2-x2-y2∈A, 解得0<a<2. 综上，存在实数a∈aIa<2}满足条件. 所以站。2)得时=六eA所以罗e 1 18.解：(1)若A是空集，则ax2-2x+1=0无实数解. 综上：yeA. 当a=0时，-2+1=0，解得x=分，不符合题意， 故若x,y∈A,则必有xy∈A 所以a≠0,4=4-4a<0,解得a>1, 第3期2版参考答案 即实数a的取值范围为a|a>1}. 专项小练一 (2)若集合A中只有一个元素， 1.D;2.A;3.ACD;4.>; 当a=0时，-2x+1=0,解得x=2,符合题意； 5.80+20(n-1)≥300. 当a≠0时，△=4-4a=0,解得a=1,符合题意. 6.证明：(a+√b)2=a+b+2√ab, 所以a的值为0或1. (e+a)2=c+d+2ca, (3)当B={xIx>0}时，若A∩B为非空集合， 由ab=cd,a+b>c+d, 则A={xIax2-2x+1=0,a∈R至少与集合B有一 得(a+b)2>(+√a)2, 个公共元素，即ax2-2x+1=0至少有一个正根. 所以a+√b>+a. 当a=0时，-2x+1=0,解得x=,所以AnB= 专项小练二 1.A;2.D;3.BD;4.3;5.16. {2},符合题意： 6.解：由x>0, 当a≠0时，由△=4-4a=0,解得a=1,此时，A=x1 3x 2-3x+3 x2-2x+1=0}={1},A∩B=1},符合题意； x+3-3 由(1)得当a>1时，A为空集，不符合题意； 若0<a<1,则4=4-4a>0,ax2-2x+1=0的两根 B一=2+5， 2V×3-32-3 之和子>0，两根之积片>0，即两根都为正根符合题意： 当且仅当x=5时，等号成立， 若a<0,则4=4-4a>0,a2-2x+1=0的两根之和 所以a≥ 5x 2<0,两根之积人<0，即两根为一正根一负根，符合题意 =2+√5， a （-3x+3） 综上，实数a的取值范围为ala≤l}. 故a的取值范围为ala≥2+√3. 19.（1)解：集合B不是“好集”，有理数集Q是“好集”. 第3期3,4版参考答案 理由如下： 因为-1∈B,1∈B,所以-1-1=-2生B, 不等式性质，基本不等式同步核心素养测评 所以集合B不是“好集”. 一、单项选择题 因为0∈Q,1∈Q,对任意x∈Q,y∈Q,都有x-y∈Q, 1 ~4 BCAD 5~8 CDAD 1 提示： 且x≠0时，∈Q 1.基本不等式成立的前提条件是各项均为非负数，又x- -5 高一数学人教A(必修第一册)第1~4期 2y≠0，所以x-2y>0,即x>2y. 对(D),a=2,b=3,d=-2,c=-3时， 2++22 y .1=2+2=4, a+d=b+c=0,(D)错误. 故选(A)(B)(C). 当且仅当x=且y=,即x=1且y=1时等号成立， 10.由题意可得-3≤3a≤12，即-1≤a≤4，(A)正确； 由-5≤a-b≤4可得-8≤2b-2a≤10， ra-B<0, 3.因为-1<a<B<1,所以{-1<-B<1, 又2≤2a+b≤8， 所以-6≤3b≤18，即-2≤b≤6，(B)错误； -1<a<1, 2a -5b =x(a-b)+y(2a +b), 所以-2<a-B<0, 即α-B的取值范围为x|-2<x<0. 则+2=2，。解得=4， l-x+y=-5, ly=-1, 4.因为0<a<1,0<b<1,且a≠b, 因为-20≤4(a-b)≤16，-8≤-(2a+b)≤-2，所以 所以d2+b2>2ab,a+b>2√ab,a>a2,b>b2, -28≤2a-5b≤14，(C)正确； 所以a+b>a2+b2,故选(D). 由(A),(B)选项知-1≤a≤4，-2≤b≤6， 5.设升级前的“屏占比”为名(a>6>0),升级后“屏占 若ab的最大值为24，则a=4,b=6, 比”为+m(m>0).因为2+m-么=a二b)m>0,所以 此时2a+b=14>8,(D)错误. a m a+m a a(a+m) 故选(A)(C). 升级后新手机“屏占比”和升级前相比变大. 11.设从A地到B地的距离为S,S>0, 6.m m 2mn 2 SS +3n=m+4mn+3n= m+3+4 立，之_sY+2,= 根据题意可知7=斤+行=2V S n m 2一=2-万，当且仅当m=Bn时取等号，此时m 2S 25+4 'm n 易知元满足受+6)=5测石5 m3n的最大值为2-万 由V>0,V2>0可得， 7.由c-b=4-4a+a2=(2-a)2≥0得c≥b. T= S(y+V2)、2s == 由b+c=6-4a+3a2, ① 2VV,√ c-b=4-4a+a2, ② ≤2S 万2成成 ①-②得2b=2+2a2,即b=1+a2, 即可得T≥T2≥T3,即(A)正确，(B)错误； 所u6-=1+=(a-)+>0， 易知？1= S(y+2).2S S2 2VV +y=2 所以b>a. 综上，c≥b>a. ()广：m心正确： 8.4x+9y=(4x+9y)· (+）=13+空+“≥ x Y 则7+六+2齿 2y'2,y+V2 13+2y 2誓-25当且仅当2=乡 y 4VV2+(y+V2)2 2S(V1+V2) 即x=子y=子时，等号成立 又不等式4x+9y-t≥0恒成立，只需(4x+9y)n≥t, 时=然时+六六即 因此t≤25，故实数t的最大值为25. 故选(A)(C). 二、多项选择题 三、填空题 9.ABC;10.AC;11.AC. 提示： 9对().因为6>a>1,所以分<合<1，（正确： 提示： 12.因为x>0,y>0, 对(B),因为c<d<-1,所以>子>-1.(B)正确： 所以1+子≥2√ xy 对(C),因为c<d<-1,所以-c>-d>0, 所以-bc>-ad,所以ad>bc,(C)正确； 所以y≤3，当且仅当号=子，即x=子y=2时取等号， 3 6 高一数学人教A(必修第一册)第1~4期 因此xy有最大值3. (2)因为a>0,b>0, 所以a+1>0,b+1>0. 13.因为 义a+6=2,所以a+1+6+1=4,所以7十。+746 1(≤4所以子≤1， 4(+。*[a+)+6+1]=+ 所2≤号≤27 4Ψ]=5+29平]-骨当且仅当 14.易知△BDE△ACB,△GFH△ACB, 且BD=CD-BC=b-a,GF=a, 6+1= a+1 ,即a=分6=音时，等号成立 两呢学么荒台。 b 所以十。+的最小值为子 所以4=6，×(a+b+c),h=号×(a+b+e), 18.解：(1)因为屋子的左右两侧墙的长度均为x米(2≤x b ≤6)，底面积为12平方米， 所以+上：a+6+c:1+匠+配 a +b a+b a+b 所以屋子前面的墙的长度为是米， a2+62 1 =1+√+B+2ab =1+ 设甲工程队报价为y元， 2ab 1+ a2+6 则y=3×2×400+2×3x×150+7200=900 16+ 又因为a2+2≥2ab,所以 2ab 2+62s1, x+7200,2≤x≤6， 当且仅当a=b时取等号， 1■ 所以+1+111*Q 因为90(+）+720≥90x2√-+720= a +b 2 14400, 所以最小值为1+乞 2 当且仅当华=，即=4时等号成立。 四、解答题 所以当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队报价最低， 15.解：(px+qy)2-(px2+qy2) 为14400元. =p(p-1)x2+9(q-1)y2+2p9y, 因为p+q=1,所以p-1=-9,9-1=-p, (2②根据题意可知90(+)+720>0a1+ 所以(px+qy)2-(px2+q2）=-pg(x2+y2-2xy） 对任意的2≤x≤6恒成立， =-p9(x-y)2. 因为P,9都为正数，所以-p四(x-y)2≤0， 即x+4)>1+丑对任意的2≤x≤6恒成立， 因此(px+qy)2≤px2+qy2,当且仅当x=y时等号成立. 所以a<仁+4对任意的2≤x≤6恒成立， 1+x 16.证明：因为a>0,b>0,所以ab=a+b≥2ab,当 且仅当a=b=2时取等号，即有ab≥4， 因为a>0,+42-红+1)2+6x+)+9=(x+ 1+x 1+x 于是得(+)+公）=1+女+古+品=1+ x+i+6≥2√/(x+1)9 1)+ +1+6=12, a+bt ab =2+≤2+ 9 ab 当且仅当x+1=子即=2时等号成立，。 所以(1+)(1+古）≤成立 所以0<a<12, 17.解：(1)由a+b=2可得a+(b+1)=3, 故当0<a<12时，无论左右两面墙的长度为多少米，乙 工程队都能竞标成功： 则a6+)≤(t）=(侵)广=是。 19.(1)解：由x2-1比1远离0， 当且仅当a=6+1,即a=多，6=分时等号成立， 则1x2-1-01>11-01, 解得x<-√2或x>2, 所以a(6+1)的最大值是？ 所以x的取值范围是x1x<-√万或x>√2. 高一数学人教A(必修第一册) 第1~4期 (2)证明：若证a3+b3比a2b+ab2远离2ab√ab, 131 5 即证la3+b3-2abab1>1a2b+ab2-2abab1, 因为a≠b,a>0,b>0 第4期3,4版参考答案 则a3+6>2ab=2ab√ab, 一元二次函数、方程和不等式核心素养综合测评 且a2b+ab2>2√ab=2ab√ad, 一、单项选择题 所以即证a3+b-2ab√ab>a2b+ab2-2abab, 1~4 ACBA 5~8 ABDB 即证a3+63>a2b+ab2, 提示： 又a3+63-(a2b+ab2）=(a-b)2(a+b)>0, 1.由(x+1)(x-3)<0,可得-1<x<3. 所以a2+b3>a2b+ab2, 2由x≠0，可得>0，则+京≥2√：·正 1. 即1a3+b-2abab1>1a2b+ab2-2ab√ab1, 即a3+b3比a2b+ab2远离2ab√ab. 当且仅当2=，即x=士1时，等号成立， 第4期2版参考答案 放+子的最小值为2 3.因为-1<a<0, 专项小练 所以1+a>0,0<-a<1, 1.A;2.C;3.B;4.C;5.B;6.ABD;7.B: 所以-a-a2=-a(1+a)>0, 8.C;9.b1-6≤b≤6}. a2-(-a3)=a2(1+a)>0, 10.解：(1)由题可知x1=1,2=b是方程ax2-3x+2= 所以-a>a2>-a3. 0的两个解，且a>0, 4.由题意知4={x1-1<x<3},B={x-3<x<2}, 1+6=3 解得0s1, 所以A∩B=xI-1<x<2, 所以 由根与系数的关系可知a=-1,b=-2, 1×b= 2 b=2. a 所以a+b=-3. (2)由(1)知原不等式为x2-(m+2)x+2m<0, 5.因为a+b=c+d,a+d>b+c, 即(x-m)(x-2)<0, 所以2a>2c,即a>c,因此b<d. 当m>2时，不等式的解集为xl2<x<m}; 因为a+c<b,所以a<b. 当m=2时，不等式的解集为☑： 综上可得d>b>a>c. 当m<2时，不等式的解集为{xIm<x<2}. 6.因为不等式(a-2)x2+4(a-2)x+3>0的解集为R, 山解：（①）当a+子>0时a>是 所以当a-2=0,即a=2时，不等式为3>0恒成立，故 a=2符合题意； 不等式fx)>0,即(x-a)(2x+3)>0, 当a-2≠0，即a≠2时，不等式(a-2)x2+4(a-2)x+ 解得x<-名或>@， 3>0的解集为R, 所以不等式人)>0的解集为{：<-子或>…} 则，-2>0， l4=[4(a-2)]2-4(a-2)×3<0, (2)由题知2x2+(3-2a)x-3a+8=0在x<1上有两 解得2<a<出 个不相等实根， 令g(x)=2x2+(3-2a)x-3a+8, 综上，实数a的跟值范图是{2≤a<号} ,4>0, 4=4a2+12a-55>0, 7.由x+2y-3得(x+2)+(2y+1)=6, 则g(1)>0, 即2+(3-2a)-3a+8>0, 又x>0,y>0,所以x+2>2,2y+1>1, 3-2a<1, 3-2a<1, 4 4 所以+3=(+2+2+2)+(2 2或5 解得a<- <a<3 5 +2+号+) 所以实数a的取值范用为{0口<-号或号 <a< 2 2y+1,x+2】 2Wx+22y+1 子（当且仅当x=y=1时取等号）， 8 高一数学人教A(必修第一册)第1~4期 所以由4≤，十2+2十恒成立可得4≤子 即f(2,4)<f4,2),故(A)错误； 8.解不等式x2-2x-8>0,得x>4或x<-2.解方程2x 对于(B)(）=士（1+2)=士+≥2. +(2k+7:+76=0得=-子=-k①当>子，即 当且仅当子=，即x=1时，等号成立，放(B)正确： -k<-子时，不等式2x+(2k+7)x+7k<0的解集为-太 对于(C),f(x-a,2x)=(x-a)(1+2x)=2x2+(1- 2a)x-a≥-a-2恒成立， <x<- 子此时不等式组28>0， 的解集 即2x2+(1-2a)x+2≥0恒成立， 2x2+(2k+7)x+7k<0 则4=(1-2a)2-16≤0， 为{-k<<-子}，依题意-5≤-k<-4,即4<≤ 解得-子≤a≤子放(C错误： 5:②当k<子，即-k>-子时，不等式22+(2k+7)x+7% 对于(D),由题可知存在x≥2，使得2x2+(1-2a)x+2≤ <0的解集为-子<x<-“、要使不等式组 0成立， 设y=2x2+(1-2a)x+2,因为x=0时，y=2>0, 「x2-2x-8>0, 的解集中只有一个整数，则需满足 2a-1<2, L2x2+(2k+7)x+7k<0 则①{4 -3<-k≤5，即-5≤k<3.所以k的取值范围是k1-5≤ 2×22+(1-2a)×2+2≤0， k<3或4<k≤5}. 或② 2a-1≥2， 4 二、多项选择题 4=(1-2a)2-16≥0， 9.AC:10.AC:11.BD 提示： 由①解得3≤a<号，由②解得a≥号， 9.对于(A),2<a<5所以4<a+2站<1，(A)正确： 综上，得a的取值范围是{ala≥3}，故(D)正确. 2<26<6, 故选(B)(D) r2<a<5, 对于(B)-3<-b<-1 所以-1<a-b<4,(B)不 三、填空题 正确； 12.-6; 13.4.{P 2P<-} 对于(C.a5所以2<ab<15,(C正确： 提示： 1<b<3, 12.由不等式x2+mx-3<0的解集为x|-1<x<n}, r2<a<5, 所以 得-1，n是方程x2+mx-3=0的两根， 对于(D),1 。1 3<<1 号<号<5.(D)不正确 则 -1+n=-m,解得m=-2,n=3, -1·n=-3, 故选(A)(C). 所以m·n=-6. 10.因为关于x的一元二次不等式ax2-bx+c<0的解集 13.因为正数x,y满足x+4y-xy=0, 为x1x<-2或x>3}, 所以a<0,且方程ax2-bx+c=0有两个实根-2和3， 所以x+4y=,即+4=1， y 则9=1，÷=-6，即6=a,c-6a, a 期+y=+（+）=5+子+女≥5+ 所以a+5b+c=a+5a-6a=0,故(A)正确； c=-6a>0,故(B)错误； E.4y=5+4=9, 由bx2-ax+c>0得ar2-ax-6a>0,即x2-x-6< 0,解得-2<x<3,即bx2-ax+c>0的解集是{xl-2<x 当且仅当号=女，即=6，y=3时取等号， <3},故(C)正确； 故x+y的最小值为9，则的最大值为兮 'x+y 由cx2+ax-b<0得-6ax2+ax-a<0,即6x2-x+1 <0,不等式无解，故(D)错误. 14.因为T=(1,-1)=-2,T(4,2)=1, 故选(A)(C). 所片-2路=1，部得a16-3, 11.对于(A),f(2,4)=2×(1+4)=10, 所以T(2m,5-4m）=2m+3×54m≤4. f(4,2)=4×(1+2)=12, 4m+5-4m 高一数学人教A(必修第一册)第1~4期 解得m产之 足题意； 所以满足题意的条件为①③. Tm,3-2m)=m33,2m>P,解得m<9-32 因为不等式y<0的解集为x1-1<x<3}, 2m+3-2m 5 所以-1,3是方程ax2+bx+c=0的两根， 因为不等式组恰有3个整数解， 所以2<9,3P≤3，即-2≤P<- 1 所以-1+3=2=合-1×3=台 5 即b=-2a,c=-3a. 则实数P的取值范围是{P -2≤P<-3} 11 所以函数y=a2+b饭+c在=一名=1处取得最小值， 四、解答题 所以a+b+c=-4a=-4,即a=1, 15.证明：(1)由a>b>1,则a-1>0,b-1>0, 故(a-1)(b-1)>0, 所以b=-2,c=-3. 由d<c<-2,则c+2<0,d+2<0, (2)由(1)知y=x2-2x-3, 故(c+2)(d+2)>0, 则y≥(m-2)x+2m2-3即x2-mx-2m2≥0， 即(x+m)(x-2m)≥0. 所以(a-1)(b-1)(c+2)(d+2)>0,得证. (2)由ac+bd-bc-ad=c(a-b)+db-a）=(c-d)(a 所以当m<0时，不等式的解集为{xlx≤2m或x≥-m}; -b), 当m=0时，不等式的解集为R; 而a-b>0,c-d>0, 当m>0时，不等式的解集为{xlx≥2m或x≤-m}. 所以ac+bd-bc-ad=(c-d)(a-b)>0, 综上，当m<0时，不等式的解集为{xlx≤2m或x≥-m; 即ac+bd>bc+ad,得证. 当m=0时，不等式的解集为R; 16.解：(1)由题意，x万元投入A产品， 当m>0时，不等式的解集为{xlx≥2m或x≤-m}. 则100-x万元投入B产品，则 1 1 ab ab y=y+2=18-180+100-x 19.解：(1)1+a+1+5=ab+a+ab+8 x+10+ 5 b a = -x+10-寺，0<x<100 =38-180 =a+6+a+b=1. (2)因为abc=1, (2)由(1)得，y=38-180 t+105=40- /180 Sax 5bx x+10+ 所以原方程可化为ab+a+ac+c+b+1+ x+10) 5bex 5 ≤0-2 5 =28, 6(ca+c+1)=1, 当日仅当，10。=号”，即=20时等号酸立， 5x 5bx 5bcx 即++ic+bc+h++1+60+b=1, 所以当x=20时，公司利润最大 所以5牛十2区=1，即5=1，解得=号 17.解：(1)y≤4-2a,即x2-(a+2)x+2a≤0， 1 +6+bc (3)M=a6 1 b 1262+2b+1 即(x-a)(x-2)≤0， ab+a+1+2b=1+b+1+2b=2B+36+1 因为不等式的解集恰好为{x12≤x≤5}，所以a=5. b (2)由题意得对任意的1≤x≤4，x2-(a+2)x+5+a≥ =12w+36+1=11 0恒成立，即a(x-1)≤x2-2x+5恒成立. 2b++3 当x=1时，0≤4恒成立，此时a∈R; 当1<气4时a≤：25=-1+恒成立， 因为2+≥2√26：=2，当且仅当26=六 1 x-1 即62。 。1 园为0<-1≤3，所以x1+多 a=方=万时，等号成立， 2√-=4，当组仅当-1=即x=3时 4 所以2b+古有最小值2万， 此时一 等号成立，所以a≤4. 1一有最大值3-22， 1 26+6+3 综上，实数a的取值范围为aIa≤4}. 18.解：(1)假设条件①②符合题意. 从而1-1 有最小值22-2， 因为a=-1,二次函数的图象开口向下， 2h+方+3 所以y<0的解集不可能为xl-1<x<3},不满足题意； 1 1 假设条件②③符合题意. 即M=1+。+中2%有最小值22-2 由a=-1知二次函数的图象开口向下，y无最小值，不满 -1017.(15分)已知a>0,b>0,若a+b=2,求： 18.(17分)某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库 19.(17分)若实数x,y,m满足|x-m1>1y-m1,则称x比 (1)a(b+1)的最大值； 外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为12平方 y远离m. 1 (2)+a+1十6的最小值 4 米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的背面 (1)若x2-1比1远离0，求x的取值范围： 靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙 (2)对任意两个不相等的正数a,b,证明：a3+b比a2b+ab2远 体报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150 离2ab√ab. 元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元.设屋子的左右两侧墙的 长度均为x米(2≤x≤6). (1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体 报价为900+①元(a>0),若无论左右两面墙的长度为多少 米，乙工程队都能竞标成功，试求α的取值范围. 高中数学·必修第一册（人教A版）同步棱心素养测评 高中数学·必修第一册（人教A版）同步核心素养测评 参考答案见下期 本版责任编辑：张瑞霞 报纸编辑质量反馈电话： 2025年7月18日·星期五 高中数学 0351-5271268 报纸发行质量反馈电话： 3期总第1147期 人教A 0351-5271248 装理极 必修（第一册】 希尔伯特的无穷旅” 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社编辑出版社长：徐文伟 国内统一连续出版物号：CN14-0707/八F)邮发代号：21-201 大数学家希尔伯特 一、利用不等式的性质比较大小 在一次演讲中虚构了这 1一与1 不等式恒成立问题术解策略 例1已知a≠1且aeR,试比较1-a 样一个故事： +a的大小N 有一家旅店，设有 ◎山东关丽萍 不等式中恒成立问题是高中学习常见的问0对于x∈R恒成立，则实数m的取值范围为 解：两代数式作差得，一a -(1+a)= 无穷多个房间，假定每 题，由于这类问题难度大，不容易理清头绪.下 ( 个房间只能住一人，所 面就这类问题及其求解思路作简单介绍. (A)m≤2 (B)m≤-2 -a 有的房间都住满了人这 第一招：变更主元法 (C)-2<m≤2 (D)-2<m<2 ①当a=0时，1-a =0,所以1- 1 -=1+a; 时一位新旅客要一个房 处理含参不等式恒成立的某些问题时，若 分析：求解此题的关键一是要清楚一元二 间房主说：“不成问题 能适时地把主元变量和参数变量进行“换位”思次不等式解集为R的条件，二是要注意题目并 ②当a<1,且a≠0时，2。>0，所以 没有说不等式是一元二次不等式 他把这位旅客安排在1 考，往往会使问题降次、简化 例1若不等式2x-1>m(x2-1),对满足 解：①当m-2=0,即m=2时，原不等式 -a >1+a; 号房间，让1号房间的客 -2≤m≤2的所有m都成立，求x的取值范围。 为-4<0，显然其解为全体实数，故m=2满足 人安排到2号，2号房间 ③当a>1时，。<0所以 <1+a. 分析：这是一个关于x的二次不等式恒成立 题意 的客人到3号，3号房间 的问题，但若以x为主元考虑解题将非常复杂， ②当m-2≠0，即m≠2时， 综上，当a=0时1-a =1+a;当a<1 的客人到4号，…这样 若变换思路，以m为主元便可构建m的一次函 若不等式(m-2)x2+2(m-2)x-4<0对 就把新来的这位客人安数，使问题容易求解， 于x∈R恒成立，则 且a≠0时。>1+a:当a>1时- 排下了 解：原不等式化为(x2-1)m-(2x-1)<0, 「m-2<0. d. 令fm)=(x2-1)m-(2x-1), 4=[2(m-2)]2-4(m-2)×(-4)<0, 但严重的问题来 则问题转化为求一次函数f代m)在-2≤m 解得-2<m<2. 了，一次来了一个“无穷 ≤2内恒为负值时x应满足的条件，即 综合①②得，-2<m≤2.故选(C) 例析 旅行团”，它的成员个数 /-2)=-2(x2-1)-(2x-1)<0, 点评：对于涉及含有字母系数的“一元二 与正整数一样多这时 f(2)=2(x2-1)-(2x-1)<0, 次”不等式在解答时一定要注意其二次项系数 不等式性质的应用 刚才的应急措施行不通 为零的情况 了，怎么办呢？店主人又 解得-生五。<1片5 2 第四招：实根分布法 ◎山西 郭海燕 点评：本题通过主变量与参变量的转化，抓 例4设函数f(x)=x2+x-2,若f(x)>ax 二、利用不等式的性质证明不等式 有了新招.他请1号房间 住了问题的本质，寻找到解题的最佳切入点. -5,当0<x<2时恒成立，求实数a的取值范围 的客人到2号，2号的客 例2已知a>b>0,c<d<0,i证明：√a 第二招：分离参数法 分析：求解指定区间上的一元二次不等式 人到4号，3号的客人到6 若能把不等式中的参数α与未知数x完全恒成立问题时，常需运用“三个二次”的辩证统 号 …这样所有的奇 分离出来，得到不等式a>f(x),或a<f(x),则一关系，借助二次函数的图象和从动态到静态 数号的房间都空出来a>f(x)恒成立台0>(x)x;a<(x)恒成立的思维方式，结合方程f(x)-(ax-5)=0在0 证明：-日-(）=@ 了，正好安排给这个“无 今a<fx)min <x<2内实根分布情况去确定不等式代x)> 因为c<d<0,所以-c>-d>0, 例2当Hx>0时，关于x的不等式x2+(2 ax-5恒成立的等价条件 穷旅游团”的成员们住 又因为a>b>0,所以-ac>-bd>0,即 a)x+5-a≥0恒成立，求实数a的取值范围. 解：由f(x)>ax-5得2+(1-a)x+3>0. ac-(-bd)>0,又cd>0,所以 如果到了旅游旺 分析：将参数α分离，借助求函数值域的方 故原问题等价于h(x)=x2+(1-a)x+3 季，来了无穷多个“无穷 -ac-(-bd)>0,所以- >0在0<x<2上恒成立 d （-b）>0,所 法求解 旅游团”，怎么办呢？店 解：由题意Hx>0,不等式x2+(2-a)x+ 而h(x)=x2+(1-a)x+3是开口向上， 以 d > b>0,所以 V d 3b,即 主人略加思索，又想出 5-a≥0， 对称轴为七=，1的抛物线 了一条妙计，把无穷多 即a≤(x+1)2+4 x+1 =x+1+4 无+了恒成立， 故原恒成立问题等价于下面三类情况： 个“无穷旅行团”成员都 所以a≤x+1+ 4 ,x>0 ①若x=0,1≤0，则h(0)=3>0恒成 三、利用不等式的性质求范围 安排住下了到底怎样安 2 例3已知1<a<4,2<b<8,求2a+3b x+1 min 立，所以a≤1恒成立； 与a-b的取值范围， 排下的？留给读者去想 4 又x+1+ 一想，当然这要费一番 +≥2√x+1)(4 =4, 解：因为1<a<4,2<b<8 +1 ②若x=,1≥2，即a≥5时，则h(2)= 2 所以2<2a<8,6<3b<24, 脑筋 当且仅当x+1=即x=1时取“-”，9-2a>0此时ae@: 所以8<2a+3b<32. 由以上这个虚构的 因为2<b<8,所以-8<-b<-2 所以实数a的取值范围为a≤4. ③当4=(1-a)2-12<0时，不等式f(x) 故事，可以看出“无穷 又1<a<4, 点评：涉及恒成立不等式中变量的取值范 >ax-5恒成立，解得-25+1<a<25+1. 所以1+(-8)<a+(-b)<4+(-2) 的神奇之处 围问题，利用分离参数的方法，常常可以发现隐 综合①②③得实数a的取值范围为a< 即-7<a-b<2. 含的方法，使问题得以轻松解决。 23+1. 所以2a+3b的取值范围是{2a+3b18< 第三招：利用判别式求恒成立问题 点评：从实数根的分布这种方法求解是常 2a+3b<32},a-b的取值范围是{a-bI-7 例3不等式(m-2)x2+2(m-2)x-4< 用方法，同学们平时要认真体会 <a-b<2. 2 素养专练 数理极 专项小练一、等式性质与不等式性质 专项小练二、基本不等式应用 1.已知1<a<3,-1<b<2,y=a+2b,则y的取值范围是( 4 (A){yI0<y<5} (B){yI-1≤y≤7 1.已知x>0,则y=2x+2x+的最小值为 (C){yI1<y<8 (D){yI-1<y<7 (A)3 (B)4 (C)32 (D)6 2.若a>b>c,a+2b+3c=0,则 ( 2.为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品 (A)ab ac (B)ac bc 浓度C随时间t的变化关系为C2-20t+4C=0,则C的最大值为 (C)ab be (D)al bl>elbl ( 3.(多选)已知实数a,b满足a>b2+1,则下列不等关系一定正确的是 (A)1 (B)2 (C)4 (D)5 () 3.(多选)已知a,b,c均为不等于零的实数，且满足是=+月 (A)a >2b (B)a>2b+1 +，则下 (C)a>b-1 (D)2a>b2-b+1 列说法正确的是 ( 4.若a,b为正数，且a≠b,则a3+b a2b+ab2.（用符号 (A)b2≤ac “>”“<”“≥”或“≤”填空) (B)当ac=1时，b的最大值为1 5.某公司准备对一项目进行投资，提出两个投资方案：方案A为一次性 (C)当a+c=2时，b的最大值为1 投资300万；方案B为第一年投资80万，以后每年投资20万.“经过n年之 (D)当a2+c2=2时，b的最大值为1 后，方案B的投入不少于方案A的投入”用数学关系可表示为 4.若0<x<2,则3x(2-x)的最大值为 ().s 5.正数x,y满足x+y=xy,则x+9y的最小值是 6.设a,b,c,d均为正数，ab=cd且a+b>c+d,证明：√a+√b>Vc+ a 6若对任意>00产3恒成立，求a的取值范国 数理报社试题研究中心 参考答案见下期 。Q 第2期2版参考答案 由图可知a<8. 共元素，即ax2-2x+1=0至少有一个正根 16.解：(1)由二次函数的性质得当1≤x≤2时，1≤x2≤4 专项小练 因为p:31≤x≤2，x2-a<0为真命题， 当a=0时，-2+1=0，解得x=之所以4nB={行}。 1.C;2.ABD:3.B;4.mlm≤2：5.③. 所以a>1. 符合题意； 6.解：(1)因为命题p为真命题，P:关于x的方程x2-2ax+a2 故实数a的取值范围是{a|a>1. 当a≠0时，由4=4-4a=0,解得a=1,此时，A=x1 +a-1=0有实数根， (2)由(1)知命题p为真命题时，a≤1. x2-2x+1=0=1,AnB=1,符合题意； 则4=4a2-4(a2+a-1)≥0，解得a≤1 因为命题g为真命题时，△=4a2-4(2a+a2)≥0， 由(1)得当a>1时，A为空集，不符合题意： 故实数a的取值范围为ala≤1. 解得a≤0， 若0<a<1,则4=4-4a>0,ax2-2x+1=0的两根之和 (2)由(1)知p:a≤1,9：m-1≤a≤m+1. 所以当7g为真命题时，a>0. 2 若p是g的必要不充分条件，则m+1≤1，解得m≤0， 所以0<a≤1，即实数a的取值范围为{al0<a≤1. >0,两根之积以>0，即两根都为正根，符合题意： 故m的取值范围为m|m≤0. 17.解：(1)由x2-(3m-2)x+2m2-m-3=0, 专项小练二 若a<0,则4=4-4a>0,ar2-2x+1=0的两根之和2 得[x-(m+1)][x-(2m-3)]=0, (M) i 1.B;2.B;3.BD;4.ala>1;5.-1 所以x=m+1或x=2m-3. <0,两根之积}<0，即两根为一正根一负根，符合题意 6.解：(1)p:3m∈R,方程x2+x-m=0没有实根 因为命题P为真命题， 综上，实数a的取值范围为{aa≤1. 因为方程x2+x-m=0的判别式△=1+4m, 19.(1)解：集合B不是“好集”，有理数集Q是“好集” 所以当m<-十时4=1+4m<0,方程设有实根。 理由如下： 得-1<m<3. 即存在m∈{mm<-}使得该方程设有实根。 因为-1∈B,1∈B,所以-1-1=-2￥B, 所以A=m|-1<m<3. 所以集合B不是“好集” (2)由(1)得集合A={m-1<m<3,集合B=m1 所以p为真命题， 因为0∈Q,1∈Q,对任意x∈Q,y∈Q,都有x-y∈Q, 1-a<m<1+a, (2)q:Vx∈R,使得x2+x+1>0. 由题得B是A的真子集， 且x≠0时，eQ. 因为4=1-4<0，所以x2+x+1>0恒成立 当B=⑦时，1-a≥1+a,解得a≤0，满足题意； 所以q为真命题， 所以有理数集Q是“好集” rl -a<l +a,l-a<I+a, (2)证明：因为集合A是“好集”，所以0∈A,若x,y∈A, 第2期3,4版参考答案 当B≠时，1-a>-1,或1-a≥-1， 则0-y∈A,即-y∈A,所以x-(-y)∈A,即x+y∈A 一、单项选择题 1+a≤3 1+a<3, (3)解：命题为真命题.理由如下： 解得0<a<2. 1~4 BCAC 5~8 ADBC 若x,y中有0,1时，显然有y∈A, 综上，存在实数a∈{a|a<2}满足条件 二、多项选择题 18.解：(1)若A是空集，则ax2-2x+1=0无实数解 9.ABD;10.AD;11.BCD. 下设，y中不存在0,1，由定义得-1，士eA, 1 三、填空题 当a=0时，-2x+1=0,解得x=7,不符合题意。 所以士女=neA则(-)ea 12.充分不必要；13.{mlm≤-2；14.7. 所以a≠0，△=4-4a<0,解得a>1 由(2)得x(x-1)+x=x2∈A,同理y2∈A 四、解答题 即实数a的取值范围为{ala>1 若x+y=0或x+y=1时，显然(x+y)2eA; 15.解：(1)AUB=x14≤x<101 (2)若集合A中只有一个元素， 若x+y≠0或x+y≠1时，显然(x+y)2 因为CA=xIx<4或x≥8， ∈A,可得2y=(x+y)2-x2-)2eA, 所以(CRA)nB={xI8≤x<10 当a=0时，-2x+1=0,解得x=?,符合题意： (2)要使得A∩C≠0，画出数轴如下图所示， 当a≠0时，4=4-4a=0,解得a=1,符合题意 所以站eA,由2)得女+ xy-2xy+2xy 长 所以a的值为0或1 A,所以xy∈A. (3)当B={x1x>0时，若A∩B为非空集合 综上：y∈A. 则A={x1ax2-2x+1=0,a∈R至少与集合B有一个公 故若x,y∈A,则必有xy∈A (A) (B)I c >a>-1 ○数理报社试题研究中心 (C)ad be (D)a+d>b+c 第I卷选择题（共58分） 10.已知-5≤a-b≤4,2≤2a+b≤8，则 (A)-1≤a≤4 (B)0≤b≤4 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (C)-28≤2a-5b≤14 (D)ab的最大值为24 1不等式-2+2，≥2成立的前提条件为 11.小王、小张小李三名同学同时从小区门口A地沿同一条路按 (A)x≥2y (B)x 2y 三种不同方式到达学校门口B地，用时（单位：秒）分别为T,T2,T· (C)x≤2y (D)x <2y 小王有一半的路程以速度V(单位：米/秒)奔跑，另一半的路程以速 高中数学 2.若x>0,y>0,则x+y+1+1的最小值是 度V(单位：米/秒)奔跑；小张全程以速度√，V(单位：米/秒)奔 ) x y 跑；小李有一半的时间以速度V(单位：米/秒)奔跑，另一半的时间 高中数学 (A)3√2 (B)42 (C)4 (D)2 以速度V2(单位：米/秒)奔跑.其中V,>0,V2>0.则下列结论中一 必 3.若-1<a<B<1,则a-B的取值范围为 ) 定成立的是 ( ) 修第 (A){xI-2<x<0 (B){xI-2<x<-1 (A)T,≥T2≥T3 (B)T≤T2≤T 必修第 册 (C){x|-1<x<0 (D){x10<x<1} (C)TT3=T 16.(15分)已知a>0,6>0,a+6=ah.证明：(1+)(1+ 册 4.若0<a<1,0<b<1,且a≠b,则a+b,2ab,2ab,a2+b2 1 教 中最大的是 ( A 第Ⅱ卷非选择题（共92分) 版 (A)a2+62 (B)2 /ab 同 (C)2ab (D)a+b 步 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 5.手机屏幕面积与手机前面板面积的比值叫手机的“屏占比”， 核心素养测 它是手机外观设计中一个重要参数，其值通常在0~1之间.现某款手 12.已知x,)∈R,且满足芳+千=1，则对的最大值为 机的屏占比小于1，设计师将该款手机的屏幕面积和手机前面板面积 A版)同步核心素养测评 同时增加相同的数量，升级为一款新手机，则该新手机的“屏占比”和 升级前相比 15.已知实数，满足1≤≤2,2≤号≤3，则号的取信范国 (A)不变 (B)变小N (C)变大 (D)变化不确定 14.出入相补是指一个平面（或立体）图形被分割成若干部分后 6.已知实数m,n满足mn>0,则m --m 面积（或体积）的总和保持不变，我国汉代数学家构造弦图，利用出入 'm +n m +3n 的最大值为 相补原理证明了勾股定理，我国清代的梅文鼎、李锐、华蘅芳、何梦瑶 ( 等都通过出入相补原理创造了不同的面积证法证明了勾股定理.在图 (A)3+25 (B)3-23 1,图2中，若AC=b,BC=a(b≥a),AB=c,图1，图2中两个阴影 (C)2+5 (D)2-3 三角形的周长分别为1，，则+上的最小值为 7.已知实数a,b,c满足b+c=6-4a+3a2,c-b=4-4a+a2 a+b 则a,b,c的大小关系是 (A)c≥b>a (B)a>c≥b (C)c>b>a (D)a c>b 8.已知实数x,3>0且满足}+=1，若不等式4x+9y-1≥ y 图2