第6期 函数的单调性和最值、函数的奇偶性与简单的幂函数-【数理报】2025-2026学年高一数学必修第一册同步学案（北师大版）

高一数学北师大（必修第一册）第5~9期 发理极 答案详解 2025~2026学年 高一数学北师大（必修第一册）第5~9期(2025年8月) 所以f(-a)=2-fa)=2-3=-1.故选(B). 第5期2版参考答案 1 专项小练一 3由-4<2<子，得-行<x<2 1.A;2.C;3.AC;4.(0,2);5.9. 则函数)的定义域为（之，） 6.解：(1)令x=y=0,由已知可得f(0)=f2(0), 4.对选项(A),存在点使一个x与两个y对应，不符合，排 解得f0)=1或f代0)=0（舍去），所以f0)=1. 除；对选项(B),当2<x≤4时，没有与之对应的y,不符合，排 (2)令x=n,n∈Ny=1, 除；对选项(C),y的范围超出了集合B的范围，不符合，排除： 则由已知可得，f(n+1)=f(n)f代1)=3f代n), 对选项(D),满足函数关系的条件，正确。 显然fn)>0,所以f(n+1)=3fn)>fn), 5.当x≤0时f(x)=x2+1=3, 所以f2)=3f1)=9f3)=3f2)=27f4)=3f3)= 可得x=-√2或x=√2（舍去）； 81,f5)=3f4)=243,f(6)=3f5)=729,f7)=3f6)= 2187, 当x>0时f代x)=2x+1=3,可得x=1. 所以满足f代n)<2025的n的最大值为6. 综上所述，x=-万或x=1.故选(C): 专项小练二 6.由题知，小王在15：00-18：00时段充电0.5小时， 1.A;2.D;3.ABC;4.35.-2. 费用为6.5×0.5×1.4=4.55（元）； 6.解：(1)f(+1)=()2+2R+1-1=(E+1)2 在18：00-21：00时段充电3小时， 费用为6.5×3×1.6=31.2（元）； 1,其中+1≥1， 记在21：00-23：00时段充电时间为x小时， 故所求函数的解析式为f(x)=x2-1,其中x≥1. 费用为6.5x×1.4=9.1x(元). (2)因为对于任意的x都有f(x)+2f(-x)=3x-2, 综上，小王应缴纳的充电费为 所以将x替换为-x,得f(-x)+2fx)=-3x-2, 联立方程组代)+2-x)=3x-2 y=4.55+31.2+9.1x=9.1x+35.75(元)， 因为0<x≤0.5，所以35.75<y≤40.3.故选(B) f-x)+2f(x)=-3x-2, 7.由a[fa)-f-a)]>0可知， 消去尺-0.可得人)=-3-子 若a>0,则fa)-f-a)>0, 第5期3,4版参考答案 即a+1-[-2×(-a)-1]>0, 解得a<2,所以0<a<2, 生活中的变量关系、函数同步核心素养测评 若a<0,则fa)-f-a)<0,即-2a-1-(-a+1)<0, 一、单项选择题 解得a>-2,所以-2<a<0, 1~4 ABCD 5~8 CBDB 综上，实数a的取值范围为(-2,0)U(0,2). 提示： 1.“名师出高徒”说明由“名师”可以映射“高徒”，所以 8.因为fx)=x2-2x-1,p=2, “名师”是变量，“高徒”是因变量，故(C)错误；但是一个“名 所以5(x)=-2x-山，-1≤x≤3， l2, x>3或x<-1, 师”可以映射许多个“高徒”，所以两者不是函数关系，故(B), (D)错误：所以两者不具有函数关系，可以具有依赖关系，故 f[f0)]=f5(-1)=2,ff(0)]=f-1)=1+2-1 (A)正确 =2,所以(A)正确； f[f1)]=5(-2)=2f[f(1)]=f-2)=4+4-1 2.由题意得f代a)+f代-a)=a+ +1-a-L +1=2. =7,所以(B)错误； 高一数学北师大（必修第一册）第5~9期 f[f(2)]=f5(-1)=2,f孔f2)]=f-1)=2,所以(C) 三、填空题 正确； 12.14;13.{1,3};14.[3,12]. f[f(3)]=5(2)=-1,ff3)]=f2)=-1,所以(D) 提示： 正确.故选(B): 12.在f2x-1)=4x+6中，令2x-1=3,解得x=2, 二、多项选择题 所以f(3)=2×4+6=14. 9.ABD:10.BC:11.ABCD. 13.f[g(1)]=f3)=1,g[f1)]=g(1)=3, 提示： 故f[g(1)]<g[f1)],满足要求， 9.对于每个时间t,都有唯一的h,d与之对应，所以(A), f[g(2)]=f2)-3,g[f(2)]=g(3)=1, (B)正确； 故f兀g(2)]>g[f(2)],不满足要求， 对于每个d,根据对称性，有两个h与之对应，所以(C)错误； fg(3)]=f1)=1,g[f(3)]=g(1)=3, 对于每个h,有唯一的d与之对应，所以(D)正确： 故fLg(3)]<g[f3)],满足要求， 故选(A)(B)(D 所以满足f几g(x)]<g[f(x)]的x的集合为1,3. 10.根据题意可知定义域为A=a∈N,},B=0,1,2,3,4, 14因为-y=m+山：解得=2m+2, 5,6,7,8,9},因为0∈B,0A,所以值域B不是定义域A的子集， lx+y=3m+3, y=m+1, 所以(A)错误； 所以x=2y,又因为-1≤y≤1，则-2≤x≤2， 由题意可知数位a对应的数字依次为1,4,1,5,9,2,6， 对于t=2-2x+4,可知二次函数开口向上，对称轴x=1, …,则函数图象f代a)是一群孤立的点f代6)=2，所以(B),(C) 故当x=1时，取到最小值tmn=1-2+4=3, 正确： 当x=-2时，取到最大值tm=4+4+4=12, 因为b=1时，a=1和a=3,不符合函数的定义，所以(D) 故3≤t≤12，即t的取值范围是[3,12]. 错误.故选(B)(C). 四、解答题 11对于(A),令f(x)=x,得-=x,解得x=± 15.解：(1)由函数r=fp)的图象可得， 2, 函数r=f(p)的定义域为：[-5,0]U[2,6), 所以fx)=上-x为“不动点”函数，故(A)正确； 值域为：[0，+0) (2)由已知中函数r=f(p)的图象可得： 对于(B),令f代x)=x,得√2+5+x-3=x, 当re[0,2)U(5,+∞)时，只有唯一的p值与之对应. 即√02+5=3，即x2+5=9,解得x=±2， 16.解：(1)f2)=3ff-3)=f3)=5. 所以f代x)=√+5+x-3的不动点为±2，故(B)正确 (2)若a>0,则fa)=2a-1, 对于(C),当x≤1时fx)=2x2-1,令f(x)=x, 由f(a)=a+6得2a-1=a+6,解得a=7>0, 得2-1=x,解得x=-7或x=1: 若a<0,则fa）=a2+2a, 由f(a)=a+6得a2+2a=a+6, 当x>1时f(x)=|2-x1,令f(x)=x, 解得a=-3或a=2,由于a<0,则a=-3, 得12-x1=x,即2-x=±x,解得x=1(舍去)； 综上a=-3或a=7. 所以代x)为“不动点”函数，故(C)正确； 17.解：(1)设t=E-2,t≥-2，所以x=(t+2)2, 对于(D),因为仅有一个实数，使得f代)=xo, 所以f(t)=2(t+2)2+3=2+8t+11,t≥-2， 所以对Hx∈R,有f(x)-x2+x=xo, 所以f(x)=2x2+8x+11,x≥-2. 令x=xo,有f()-x后+x。=xo, (2)因为f代x)是二次函数， 所以fx）=后，所以x后=x, 所以设f代x)=ax2+bx+c(a≠0)， 解得x=0或x0=1. 由f(0)=1,得c=1, 当x。=0时，fx)-x2+x=0,所以fx)=x2-x, 由f(x+1)=f(x)+2x, 但方程代x)=x2-x=x有两个不同的实数解，不满足题意； 得a(x+1)2+b(x+1)+1=a2+bx+1+2x, 当x。=1时，fx)-x2+x=1,所以fx)=x2-x+1, 整理得(2a-2)x+(a+b)=0, 此时方程代x)=x2-x+1=x仅有唯一的实数解，满足题意， 所以2a-2=0,a+b=0, 综上fx)=x2-x+1,故(D)正确， 所以a=1,b=-1, 故选(A)(B)(C)(D) 所以f(x）=x2-x+1. 2 高一数学北师大（必修第一册） 第5~9期 18.解：(1)由题可知C(8,0),则-8+b=0,即b=8, 则f(x)<1,fx。+m)≥1， 所以y=-x+8,所以B(4,4), 即f(xo)≠f代x+m),不合题意； 由图象知，f(x)=kE的图象经过点B(4,4), 综上所述：不存在。∈[0,1-m],使得f代x)=f八，+m). 则4=k·,解得k=2. 所以m的最大值为宁 (2)由(1)得，x)=2,y=-x+8, 设E(x,2),则D(x,0),F(8-2E,2E),0<x<4, 第6期2版参考答案 所以ICD1=8-x,IDE1=2E,IEFI=8-2E-x, 专项小练一 IFCI=22·E, 1.D;2.A;3.AD;4.(1,2];5.[0,1]. 设直角梯形CDEF的周长为l, 所以L=1CD1+1DE1+1EFI+1FC1=16-2x+22·,E, 6解：当a=1时)=22+ 令=t,0<t<2, 任取x1,2∈[2，+0)，且x1<x2, 所以l=16-2x+22.R=-22+22t+16 则)-)=(2+)-(2+)=2( x)(+布)+当5=西-)[2x(x+)-1] X1X2 所以当1-号，即：=号时周K1有银大值最大值为口 因为2≤x<2, 所以x2-x1>0,x1x2>4,2x1x2(x1+x2)-1>0, 所以图书馆平面图CDEF周长的最大值为17. 所以f(x2)-f(x)>0,即fx2)>fx1) 19解：1x)具有性质P(兮） 理由如下： 所以f(x)在[2，+o)上是增函数. 专项小练二 当m时，设e[0,号]， 1.D;2.D;3.ABD;4.a<c<b;5.±1. 令f)=f(飞+号)则(。-)广=(+号 6.解：(1)由于fx+1)=x2+2x+1=(x+1)2, 所以f(x)=x己 )广解得=寸e[,子]， 2=)-(）=2-x0. 所以R)具有性质P(兮） g(x)为偶函数，证明如下： (2)由题意可得： g(x)的定义域为xIx≠0}， 当xe{0,2}时)=l: 且g-)=(-=2= 当xe(0,3)时x)<1; 所以g(x)是偶函数. 专项小练三 当xe(分）时)>1： 1.D;2.C;3.BD;4.(3,4). 5.解：(1)依题意有m2-3m+3=1,解得m=1或m=2, 首先当m=时，取=， 又函数f代x)为偶函数，则m=1, 期)=f(分）=1+m)=f分+）=)=1， 所以f(x)=x2 (2)g(x)=x2-2ax,对称轴为x=a,且图象开口向上， 所以函数)具有性质P(合)： 则a≤2或a≥4， 所以实数a的取值范围为(-o,2]U[4,+0). 假设存在】<m<1,使得函数()具有性质P(m), 第6期3,4版参考答案 则0<1-m< 函数的单调性和最值、函数的奇偶性与简单的幂函数 2 同步核心素养测评 当=0时+me(）则)=16+m)>1, 一、单项选择题 即f(x)≠f(x,+m),不合题意； 1~4 DABC 5~8 ABCB 提示： 当xo∈(0,1-m]时，xo+m∈ ( 1.由题可知a-1=1,即a=2, 一3 高一数学北师大（必修第一册）第5~9期 所以点(8,2)在幂函数f(x)=x的图象上， 综上可知不等式对f(x)≥0的x的取值范围是(-0，-5] 所以g=2,即6=弓，故)=. U[5,+0)U0}. 二、多项选择题 2.由已知得f代-x)=-f代x),则方程f(x)=0有一正根必 9.ABD:10.ACD:11.BC. 有一负根且f(0)=0,故所有根的和等于0，故选(A) 提示： 3.由题可得n2+2n-2=1, 9.将点(2,8)代入f(x)=x“,可得2“=8， 所以n=-3或n=1, 解得a=3,所以f代x)=x3, 当n=-3时f(x)=x5在(0，+0）上是增函数，不合题意； 则f(0)=0,且f代x)在R上单调递增，函数f(x)为奇函 当n=1时，fx)=x1在(0，+)上是减函数，成立. 数， 故选(B. 故(A)(B)(D)正确； 4.因为fx)=(m2-5m+7)x"是幂函数， 若x>1,则f(x)>f1)=1,故(C)错误 所以m2-5m+7=1,解得m=2或m=3, 故选(A)(B)(D). 又因为f(x)是偶函数，所以m=2,故f(x)=x2, 所以f(2)=4. 10,由函数)=+3=1+4 x-1 x-1 5.根据函数图象知，当x≤0时，所求函数图象与已知函数 相同， 期新放了-兰号的图象可自：兰的图象先向右平花1 当x>0时，所求函数图象与x<0时图象关于y轴对称， 个单位长度，再向上平移1个单位长度得到，所以函数y= 即所求函数为偶函数且x≤0时与y=f代x)相同， ￥+3的图象上点的纵坐标不可能为1，所以(A)正确： x-1 故(B),(D)错误； 当x≤0时，y=f-1xI)=f代x),y=f1xI)=f-x), 令y=0,可得+3 7=0,解得x=-3 故(A)正确，(C)错误 所以函数与x轴的交点为(-3,0)，所以(B)错误： 6.由题可知定义域关于原点对称， 即1+a+2=0,所以a=-3, 由函数y=4在(-，0)上单调递减， 则f(x）=a2+bx-2=-3x2+bx-2, 由f(-x)=fx),即-3x2-bx-2=-3x2+bx-2, 可得y在(-，)上单调道波 解得b=0,所以fx)=-3x2-2, 则函数了=号在〔-，0)上单调遥减所以(G正确 所以函数图象开口向下，对称轴为x=0, 则函数在区间[0,2]上是减函数. 由函数y=4的图象关于原点(0,0)对称， 7.设函数f(x)=x, 4 由题意可知18“=32=⑧=182，故a=2, 可得y=x二的图象关于点(1,0)对称， 于是fx)=x子=E, 则函数了=兰的图象关于点(1.D对称，所以(D正 fx-6)+[fx)]2=√x-6+x,x≥6， 确。 故选(A)(C)(D) 令x-6=t,则x=2+6,且t≥0， 11.由已知，x2>x1>0,xx2[f(x1)-f(2)]+x1-2> 故f(x-6)+[f(x)]2=√x-6+x=t+t+6(t≥0)， 0. 易知函数y=+t+6在[0，+∞]上单调递增， 因此当t=0即x=6时，函数取得最小值6 所以fx)-f6)+上-上>0， 2x1 8.因为函数fx)是定义在R上的奇函数，所以f0)=0, 显然x=0时，满足xfx)≥0； 即x)>）名 因为f(x)在(0，+∞)上单调递增，f(5)=0, 所以y=八)-士在(0，+)上单调递减， 所以f(x)在(-∞，0)上单调递增，f(-5)=0, 又f(x)是定义在xIx≠0}上的奇函数， 当x>0时，不等式fx)≥0等价于f(x)≥0=f(5), 因为f(x)在(0，+∞)上单调递增，所以x≥5； 所以y=)-士在(-如，0)上单调递减，放(A)错误； 当x<0时，不等式f(x)≥0等价于fx)≤0=f-5), 因为>1>0，所以片>1>0， 因为f(x)在(-∞，0)上单调递增，所以x≤-5； X2 4 高一数学北师大（必修第一册）第5~9期 所以fx)-f)>上-1>0， 当m=1时，f(x)=1,不满足①②. 故幂函数f孔x)的解析式为f代x)=x3. 所以y=f(x)在(0，+∞)上单调递减，故(B)正确； (2)xe[0,3],fx)=x3e[0,27], 因为名>高>0时)->)-恒成立， 故f(x)的值域为[0,27]. 16.解：因为f(m-1)+f(1-2m)>0, 所以令气=2，=3代入上式得2)-子>3)-号 所以f(m-1)>-f1-2m), 即2-e)>号方=石 因为f(x)是奇函数， 所以-f1-2m)=f(2m-1), 又因为f(x)是定义在{xlx≠0}上的奇函数， 所以f(m-1)>f(2m-1), 所以f3)=-f代-3)， 因为f(x)是定义在(-2,2)上的减函数， 所以2)+-3)≥石，故(C正确，(D)错误 rm-1<2m-1, 所以-2<2m-1<2,所以0<m<2, 3 故选(B)(C) 三、填空题 -2<m-1<2, 12.-2;13.(1,2)；14.1(答案不唯一). 所以m的取值范围为(0,2） 提示： 17.解：(1)当x>0时，-x<0, 12.由题意可得：函数y=x2+ax+1的对称轴为y轴， f-x)=（-x)2+2·（-x)=x2-2x, 且定义域关于原点对称， 又函数f(x)是定义在R上的偶函数， rb+2=0, 则 。解得 b=-2, 所以f(x)=f(-x)=x2-2x a=0, 2 a=0, 所以函数f代x)(xeR)的解析式为 故a+b=-2. 「x2-2x,x>0, f代x)= 13.设幂函数f代x)=x“,a∈R, Lx2+2x,x≤0. (2)由(1)知，g(x)=x2-(2a+2)x+2(x∈[1,2])， 因为幂函数)的图象过点(2，) 其图象的对称轴为直线x=a+1. 所以号-2”，解得u=分 ①当a+1≤1，即a≤0时， 函数g(x)的最小值为g(1)=1-2a; 所=寺=六 ②当a+1≥2，即a≥1时， 函数g(x)的最小值为g(2)=2-4a; f(x)的定义域为(0，+∞)，且在(0，+∞)上单调递减， ③当1<a+1<2,即0<a<1时， 因为f2b-1)<f(2-b), 函数g(x)的最小值为g(a+1)=-a2-2a+1. 所以2b-1>2-b>0,解得1<b<2. 18.解：(1)因为f代x)的定义域为(-∞，0)U(0,+∞)， 14.当x≥1时，fx)=单调递增， 由题意，不妨设1>2≥1，则x1-名>0，>√， 关于原点对称，且-)=-x+=-(+）=-f), 由1fx)-f(x2)1≤k1-21, 则f(x)是奇函数，从而f(-b)=-f(b), 得≥压-压：1 因为g(x)=f(x)-4, -5压+压 所以g(b)=f代b)-4=-8,得fb)=-4, 因为x>:2≥1，所以√x+石>2，所以0< 1 所以g(-b)=f(-b)-4=-fb)-4=0. (2)若a≤0，则x)=+是在[4，+0)上单调递增。 所以长二子，所以常数：的取值可以是：1（答案不唯一） 因为f代x)≥a在x∈[4，+o)时恒成立，所以f代x)mn= 四、解答题 ④)=4+子≥a,解得a≤白所以a≤0 15.解：(1)对任意的xeR,都有f(-x)+f(x)=0, 所以f(x)是奇函数，又-2<m<2且m∈Z, 若a>0,由x>0可得fx)=x+4≥2a, 则当m=-1时，fx)=x2,满足①不满足②； 当m=0时fx)=x3,满足①②： 当且仅当x=是，即x=石时等号成立， 高一数学北师大（必修第一册） 第5~9期 则f(x)在(0，√a)上单调递减，在(a,+∞)上单调递增. 3.由函数f代x)为奇函数，得f代-1)=-f代1)=1， 若a>16,则f(x)mn=fa)=2a≥a, 不等式-1≤fx-2)≤1，即为f1)≤f(x-2)≤f(-1), 解得0<a≤4，与a>16矛盾； 又f(x)在(-0，+)上单调递减， 所以得1≥x-2≥-1，即1≤x≤3. 若0<a≤16，则fx)n=f4)=4+年≥a, 4.函数y=fx-1)为奇函数，图象关于(0,0)对称， 解得a≤5，所以0<a≤5 将函数y=f(x-1)向左平移一个单位可得函数y= f(x), 综上所述，a的取值范围是(-0，] 则函数y=f(x)关于(-1,0)对称， 所以函数y=f代x)+1的图象关于(-1,1)对称 19解：1)因为A(子，0），(0，子)， 5自y:经计有意义可得1 所以线段4B的两个三等分点为（行7），（分子）： 设t=x-1,则x=t+1,t≠0， 因为C,D两点均为AB的三等分点，且n>m>0, 所以y=36+1)+1=3+4 t 所以c(子)(34)： 所以y≠3. 6.当x<0时，-x>0, 所以 解得m=,n=2, 所以f(-x)=-x(-x-1)=x(x+1), 又因为f代x)为奇函数，所以f(-x)=-f(x), 所以-f(x)=x(x+1),即f代x)=-x(x+1), 所以m+n= 2 所以当x<0时，g(x)=-x(x+1) (2)函数h(x)在区间[1,2]上“准Riemann可积”. 7.因为f(x)=(m2+m-1)x“是幂函数， 所以m2+m-1=1,解得m=1或m=-2, 由(1)知，f(x)=E,g(x)=x2, 当m=1时f(x)=x不满足f代x)在(0，+∞)上是减函数， 所以h(x)=fx)·g(x)=E·x2=x是， 当m=-2时fx)=x2满足f代x)在(0，+∞)上是减函数， 由幂函数的性质可知，函数h(x)在[1,2]上单调递增， 所以m=-2, 又区间[1,2]的分割T:1=<x1<x2<…<xm=2, 将不等式1-2x+11<1的两边同时平方得， 所以h(1)=h(xo)<h(x)<h(x)<…<h(xm)=h(2), 4x2-4x+1<1,解得0<x<1, 所以∑1h(x)-h(x-)I=[h(x)-h(I)]+[h() 所以1mx+11<1的解集为(0,1) 8.因为函数f(x)=x2-2x的图象开口向上，且关于直线x -h(x)]+…+[h(2)-h(xm1)]=h(2)-h(1)=42-1, =1对称， 故存在常数M>0,使得42-1≤M, 所以x1∈[-1,2]时f代x)的最小值为f1)=-1,最大 所以h(x）在区间[1,2]上“准Riemann可积”，且M的最 值为f(-1)=3, 小值为42-1. 可得f(x1)的值域为[-1,3]， 第7期3,4版参考答案 又因为g(x)=ax+2(a>0),x2∈[-1,2]， 所以g(x)为单调增函数，g(x2)的值域为[g(-1), 函数核心素养综合测评 g(2)], 一、单项选择题 即g(x2)e[2-a,2a+2], 1 ~4 DDDC 5~8 CAAD 因为Hx1∈[-1,2]，3x3∈[-1,2]，使得fx)= 提示： g(2), 1.由题意-1≥0解得x≥1且≠2 x-2≠0， 所以-a≤-l解得a≥3. l2a+2≥3， 2.函数f(x)=√3+2x-x2的定义域需要满足3+2x- 二、多项选择题 x2≥0，解得f(x)定义域为[-1,3]， 9.AD:10.AC;11.BD. 因为y=3+2x-x2在[-1,1]上单调递增， 提示： 所以fx)=√3+2x-x2在[-1,1]上单调递增. 9.设f代x)=kx+b, 6 高一数学北师大（必修第一册） 第5~9期 由题意可知ff代x))=k(x+b)+b=2x+b+b=9x+8, 又由对勾函数的单调性可知，√a≥2，则a≥4， 所以=9，解得止=3或-3， 综上a=4,故(D)正确。 kb+b=8, b=2lb=-4, 故选(B)(D) 所以fx)=3x+2或fx)=-3x-4. 三、填空题 故选(A)(D). 10.设fx)=x“,将点(9,3)代人可得9=3， 2-1:13.号4【-，+) 解得a=子则)=立， 提示： 12.依题意，f(-1)=-f代1)=-(2-1)=-1. 因为函数f(x)和函数y=x在(0，+∞)上都单调递增， 1B.由函数)=子-x+a, 所以函数y=x+x之在(0，+∞）上单调递增， 可得对称轴为x=1, 所以x+fx)<名2+fx2),(A)正确； 故函数在[1，b]上是增函数 函数y=x-=(压-之)-子在(0，日）上单词 因为函数e)=-x+a的症义域和值域的为1，小6>1)， 递减，在（子，+）上单调递增， 1 -1+a=1, 故：-代x)与，-f()的大小不确定，(B)错误： 所 f)=1即 f(b)=b, 因为函数y=f(x)=x产在(0，+∞)上单调递增， 1b2-b+a=b, 所以xfx)<xf(x2),(C)正确： 解得a= 6=1或6=3 因为函数y==x寸在(0，+如)上单调递减， 因为b>1,所以b=3. 所以）≥，则x)>),(D)错误 所以a+6=号+3=号 3 故选(A)(C) 14.因为f代x)是奇函数，g(x)是偶函数，满足f八x)+g(x) 11.对于(A),fx)=x2在(0，+∞)上为增函数， =ax2+x+2, y=卫=x在(0，+0)上是增函数， 可得f(-x)+g(-x)=-fx)+g(x)=ax2-x+2, fx)+g(x)=a2+x+2, 联立方程组 故不存在区间M使f(x)=x2为“弱增函数”，故(A)错误； -fx)+g(x)=a2-x+2, 对于(B),由对勾函数的性质可知： 解得g(x)=ax2+2, )=x+在[1，+0)上为增函数。 又因为对任意的1<：<5<2，都有）二()> x1-X2 y=过=1+x2在[1，+0)上为减函数， -3成立， 所以g(x1)-g(x2)<-3x1+3x2, 故存在区间M=[1,+0)使f代x)=x+上为“弱增函 所以g(x1)+3x1<g(x2)+3x2成立， 数”，故(B)正确； 构造h(x)=g(x)+3x=ar2+3x+2, 对于(C),易得fx)=x+x在R上单调递增， 所以由上述过程可得h(x)=ax2+3x+2在x∈(1,2)上 y==1+2,易得卫在(0，+0）》上是增函数，在 单调递增， x ①若a<0,则对称销一元≥2，解得-子≤0<0： (-∞，0)上为减函数， 故f(x)=x+x不是R上的“弱增函数”，故(C)错误； ②若a=0,则h(x)=3x+2在xe(1,2)上单调递增， 对于(D),由题得f(x)=x2+(4-a)x+a在(0,2]上为 满足题意； 增函数， ③若0>0，则对称轴=一云≤1恒成立： 所以-4,0≤0，解得a≤4， 2 综上可得，a≥- 即实数a的取值范围为[-子，+0） 又y=过=x+(4-a）+只在(0,2]上为减函数， 四、解答题 易知a≤0时，y=2在(0,2]上为增函数，故a>0, 15解：)由题意+3≥0解得x≥-3且x≠-2， x+2≠0， 高一数学北师大（必修第一册）第5~9期 所以函数f孔x)的定义域为x1x≥-3且x≠-2}. 可化为g)=-o2-2+分-多 2’ 令0=--G+7-子u≥0 (3na)-Va+3+a+2 ①当a≤0时，4(e)=h(0)=a-子， u-)=-1*3+。t2=a+7+ 1 又由)的最小值为-3，则-多=-3，解得a=-3 -2-b-1 4’ a=-2, ②当a>0时，h()=A(a）)=-d2+之a-子， 3 16.(1)解：由已知 f2)=2-a 解得 -3-b2 (3)=3-a=5 1b=1, 又由g)的最小值为-3，则-心+了-子=-3， 所以)=司 解得a=-1(含去)或a=3 2 (2)证明：任取x1>x2>-2, 由①②知a=-3或u=是 则fx)-f3)=二 x1+2 龙2+2 19.解：(1)因为幂函数f(x)=(p2+p-1)x立在(0， -》3922 +∞)内是单调增函数， (x1+2)(x2+2) 所以+2>0,2+2>0，x1-x2>0, rP+p-1=1, 所以 解得p=1, 所以fx1)-fx2）>0,即fx)>fx2), -2>0, 所以函数f代x)在(-2，+∞)上单调递增， 所以函数f(x)的解析式为f代x)=x立=√ 17.解：(1)由f(x)为偶函数，偶函数奇次项不存在， 可得b=0,即fx)=x2+c (2)由(1)知，g()=)-号=店-子 由f1)=0,可得1+c=0,即c=-1. 函数的定义域为[0，+∞)， 由f(x)=x2-1的图象开口向上，且对称轴为直线x=0, 可得fx)在[-1,0)上单调递减，在(0,3]上单调递增， 又反≥0，所以函数g()的值域为[-号，+）。 可得f代x)的最小值为f(0)=-1,最大值为f(3)=8. (2)质数)=+c+的图象的对称销为直线x=一夕， 因为g)=-子在[0，+0)上单调递增， 若)在[-1,3]上单调递增，则-之≤-1，解得6≥2 若有在[a.c【-号，+），使得g)在[a,b1上的 值域为[a,b],则函数g(x)在[a,b]上单调递增， 若)在[-1,3]上单调递减，则-分≥3，解得6≤-6， 6号 =a, 综上，可得实数b的取值范围是(-0，-6]U[2,+). 有 2 1解：()由题可知m+m子=1， 1 6-9=, 解得m=-3或m=2, 1 解得a=或a号6=或6=号 · 当m=-3时，4m2-m=39,可得fx)=x9, 显然a<6,所以a=)6=手 4 由f(-x)=(-x)”=-”=-fx), 知函数f(x)为奇函数，不合题意； 即存在[a,】c[-弓，+∞]，使得()在[a,上的 当m= 子时-m=子可得)=。 值域为[a,b], 故函数g(x)为“A佳”函数 由函数的定义域为[0，+∞)，知满足题意. 综上.m的值为分 “A佳函数g)的区间为[与号] (2)由(1)得fx)=反，则g(x)=x-2aE+ 3 第8期2版参考答案 20- 令t=(t≥0)，则x=子，即g(x)=f-2at+2a-2, 1 3 专项小练一 1.B;2.C;3.BCD;4.16;5.8. 8 高一数学北师大（必修第一册）第5~9期 6.解：(1)由题意可知(x-x1)2=x2+x2-2=9, 显然f(-x)-f(x)≠0， 可得x-x↓=±3，又因为x>1, 且f(-x)-f(x)≠-1，(A)(B)错误； 所以x>x,即x-x1>0, +女+ -x)+fx)=1 1 1 =-1, 所以x-x1=3. (D)正确，(C)错误 (2)原式=4位-2(2-万)-5×25+1 5.由题知，函数定义域为(-，-1)U(-1,1)U(1,+0), =2-4+25-25+1 -0辛 1-e=-fx), =-1. 所以函数为奇函数，排除(B)(D); 专项小练二 1.C;2.B;3.ABC;4.c<a<b; 3)=2-23 4 5.(-0,-5]U[6,+∞). 故f3)>f4),排除(A). 6.解：(1)当x∈[-1,1]时，t=2在x∈[-1,1]上单 故选(C). 调递增， 6.因为指数函数y=0.5在R上是单调减函数， 所以te [32] 所以0.51<0.54<0.5°=1， 又由幂函数y=x1在(0，+0)上是单调增函数， (2)函数可化为x)=g()=f-2+3,te[3,2] 所以1=11>0.511>0.4， 又因为指数函数y=1.1在R上是单调增函数， 因为)在[分 上单调递减，在[1,2]上单调递增， 所以1.105>1.1°=1， 且g(3)=￥<g2)=3, 综上可得b<a<c 所以f代x）in=g(1)=2,f代x)m=g(2)=3, 7,易知)=2点在(-0,0)上单调递减， 所以函数f代x)的值域为[2,3]· y中2在0，+)上单时递减，且)在=0处连续。 第8期3,4版参考答案 故f(x)在R上单调递减， 由f(a2-1)>f(3),则a2-1<3,解得-2<a<2, 指数运算与指数函数核心素养综合测评 故不等式fa2-1)>f(3)的解集为(-2,2). 一、单项选择题 1 ~4 ABDD 5 ~8 CDAB e+e*)2 8.由题知4m（2) 4×产，产-1>0对任意 2 提示： 的x>0恒成立， 1.√a√0后=√a克√a.a=√a石= 即m>2c-2e+1-2。-2+e2 e2+e+2=e如+2c2+对任意的x>0恒 √a·a=a克 成立， 2 2.因为函数f(x)=m+ (m∈R)为奇函数，定义域为R, 令t=e2r,即t>1, "2+1 所以0)=0，即m+2子=0，解得m三-1， ,2告发对童的：>1预成立。 则m> 令k=t+1,即k>2, 经检验，当m=-1时，f代x)是奇函数 3.由y=(付)广-（片）广向右平移号个单位， 则m>2沙-当山-2-是是对任意的4>2恒成立. k2 明（估-（台）广这m 令s=六，即0<8<交 1 则m>2-3s-s2对任意的0<s< 恒成立， 4.函数代)=。-1x≠0， 令()=2-3s-子，所以g()在(0，）上单调递减， 期-0-w=占 1 则m≥g(0)=2,即实数m的取值范围为[2，+). e 二、多项选择题 9.BD;10.AC;11.ABD. -9 高一数学北师大（必修第一册）第5~9期 提示： 解得x=4,则f2)=4+1=5. 9.根据图象的性质可得：a>1,a°+b<0, 13.由已知可得f(x)的定义域为R, 即a>1,b<-1. 且f-)=3+0=1+a·3 故选(B)(D) Γ3*+13*+1 10.已知函数f(x)为R上的奇函数， 因为商致一多吕是音的颜 则0)=0，即0)=杆=0 所以有f代-x)=-f(x)成立， 解得a=-1,(A)正确，(B)错误； 即f(-x)+f(x)=0, 又因为f(x+4)+f(x)=0, 即+a3+3+g=1+a+a+)3=0 3+13#+1 3+1 即f(x+8)=-f(x+4)=f(x),从而周期为8， 因为x∈R,所以有a+1=0,所以a=-1. f-33)=f-1-4×8)=f-1)=-f1), 14.由题意，Hx∈[0,3]和Hx∈[2,4]有g(x)≤f(x), f40)=f0+5×8)=f0), f19)=f3+2×8)=f(3)=-f-1)=f1). 所以g(x)aas≤f代x）min, 在f(x)=2,x∈[2,4]中，函数单调递增， 因为当0≤≤2时)=，所以)=片 所以f(x)。=f2）=22=4, 从面-3)=-)=-号40)=019)=专 在g(x)=x2-2x+a,xe[0,3]中， -2 所以f-33)<f40)<f(19),(C)正确，(D)错误 对称轴x=2x=1,函数开口向上， 故选(A)(C) 所以在x=3处取得最大值， 11.因为函数f(x),g(x)的定义域都为R, g(x)m=g(3)=32-2×3+a=a+3, -x)=-a-l=1-g 所以g(3)≤f2),即a+3≤4，解得a≤1， a+1a+1=g(x), 则a的取值范围为(-∞，1]. 所以曲线y=f孔x)与曲线y=g(x)关于x轴对称，(A)正确； 四、解答题 L-1 又f-x)=a-1。- 1-a a+1+11+a =g(x), 15解：10064宁+()广-(2)产+01 a 故曲线y=f(x)与曲线y=g(x)关于y轴对称，(B)正确； =04+1-[(侵)门+（信） y=f(x)g(x)=- ()-（ =04+1-号+10=9.9 令2 a2+1=t,则y=-t-1)2, (2)4V·远.(a)克。b6 a3√.a而a3(b2·a6位)克a.ab 当a>1时，t=2在(0，+0)上单调递减，且te(0,1), a+1 =Q368 3=a6 又y=-(t-1)2在t∈(0,1)上单调递增， a4b4 故当a>1时，函数y=f(x)g(x)在(0，+∞)上单调递 16.解：(1)由题可知f(0)=0, 减，(C)错误； 当x>0时，-x<0,则f(-x)=-2+a, 2 所以当x>0时f(x)=-f-x)=-(-2*+a)=2-a, 当0<a<1时，1=。十在(0，+0)上单调递增，且t [-2*+a,x<0, ∈(1,2)， 所以f(x)= 0, x=0, 又y=-(t-1)2在t∈(1,2)上单调递减， 2-a, x>0. 故当0<a<1时，函数y=fx)g(x)在(0，+∞)上单 -2*+a,x<0, 调递减，(D)正确。 (2)由(1)得fx)={0, x=0, 故选(A)(B)(D). 2-a, x>0, 三、填空题 则函数y=f代x)在(-∞，0)和(0，+∞)上分别单调递增。 12.5;13.-1;14.(-0,1]. 当a≤1时，因为2°-a≥0≥-20+a, 提示： 所以函数y=f(x)在R上单调递增， 12.令√2-2=2，即2=42=2， 由f(x)+f(3x+4)>0得f(x)>-f3x+4), -1017.(15分)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0 时，(x)=x2+2x,现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图3所 18.(17分)已知函数x)=x+,a∈R 19.(17分)已知4（子0），B(0,),若线段AB分别交幂函数 示，请根据图象，回答下列问题 (1)设函数g(x)=f(x)-4,实数b满足g(b)=-8,求g(-b): fx)=x,g(x)=x(0<m<n)于C,D两点，且C,D两点均为AB (1)求函数f(x)(x∈R)的解析式： (2)若(x)≥a在x∈[4，+0)时恒成立，求a的取值范围， 的三等分点 (2)若函数g(x)=f(x)-2ax+2(x∈[1,2])，求函数g(x) (1)求m+n; 的最小值。 (2)定义：设函数p(x)定义在[a,b]上，用分割T:a=x。<x <x2<…<xn=b将区间[a,b]任意分割为n个小区间，若存在常 数M>0,使得∑1p(x,）-o(x-)1≤M,则称函数9()在区间 [a,b]上“准Riemann可积”.设函数h(x)=f(x)g(x),试判断函数 h(x)在区间[l,2]上是否“准Riemann可积”，若是，求出M的最小 值；若不是，请说明理由。 高中数学·必修第一册（北师大版）同步棱心素养测评 高中数学·必修第一册（北师大版）同步核心素养测评 参考答案见下期 本版责任编辑：郭晓红 报纸编辑质量反馈电话： 0351-5271268 羞理橘 2025年8月8日·星期五 高中数学 报纸发行质量反馈电话： 第 6期总第1150期 北师大 0351-5271248 必修（第一册】 希尔伯特的无穷旅” 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社编辑出版社长：徐文伟国内统一连续出版物号：CN14-0707F) 邮发代号：21-167 大数学家希尔伯特 巧思妙解 征即可).由图象可知(A)为不等式的解 技巧一、通分 点评：函数的性质的综合问题是考试的重 在一次演讲中虚构了这 快乐图角 点和热，点，一般地考查函数奇偶性、单调性及以 例1证明：函数f八x)=x一1在(1，+o） 样一个故事： 后学习的周期性、对称性等，解决此类问题需要 上是减函数 有一家旅店，设有 我们利用性质进行合理的转化化归，同时也应 证明：设1，x2是(1，+∞)内的任意两个实 无穷多个房间，假定每 ⊙福建杨苍洲 借助图象来直观观察 数，且x1<x2,则 例1如果代x)是奇函数，而且在开区间 例2已知函数(x)是定义在R上的偶函数， 个房间只能住一人，所 X2 (-0,0)上是增函数，又f2)=0,那么x· 当x>0时，(x)单调递减则fx)<f(x2)时， f(x,)-f(x2)= x1-1x3-1 有的房间都住满了人这 f(x)<0的解是 有 =,(x2-1)-x(x1-1) 时一位新旅客要一个房 (A)-2<x<0或0<x<2 (A)x1<x2 (B)x1>x2 (x1-1)(x2-1) (C)1x11<1x21(D)1x1>12 间房主说：“不成问题 (B)-2<x<0或x>2 =1名-X-2出1+x2 (C)x<-2或0<x<2 解：(1)当x1>x2>0时满足条件； (x1-1)(x2-1) 他把这位旅客安排在1 (D)x<-2或x>2 (2)当x1<<0时满足条件； x2-x1 号房间，让1号房间的客 解：因为f(x)是奇函数， (3)当xx2<0时，要求1x11>1x21. =(x1-1)(x2-1) 人安排到2号，2号房间 所以f(-2)=-f(2)=0. 综上所述，「x1>11. 由x1,3∈(1，+∞)，得x1-1>0,2-1 故选(D). >0. 的客人到3号，3号房间 当x<0时，要求f(x)>0, 妙解：作出函数的大致图象 又(x)在(-∞，0)上为增函数，且f(-2) 所以(x1-1)(x2-1)>0. 的客人到4号，…这样 (如图2所示)，结合图象可知， =0, 由x1<x2,得x2-x1>0. 因为f(x)<f(x2),所以x1离对 就把新来的这位客人安 从而由f(x)>0=f(-2), 所以f(x)-f(x2)>0,即f(x)>f(x2) 称轴的距离比x,离对称轴的距 排下了 可得-2<x<0. 离远，从而可得x11>x21. 所以函数x)=产在(1，+)上是减 但严重的问题来 同理当x>0时，x·f(x)< 故选(D) 0的解是0<x<2. 函数 了，一次来了一个“无穷 点评：当一个函数为偶函数，则其图象关于 故选(A) y轴对称，比较两个函数值的大小即比较两个自 旅行团”，它的成员个数 妙解：作出函数的大致图象 变量到原点的距离.采用数形结合的方法即可 与正整数一样多这时 (如图1，此图象只要能反应出题设给的条件特避免讨论带来的麻烦和产生的错误 单啁性证明 刚才的应急措施行不通 (2)在区间[1，+∞)上x)=。+2x+@ “变形计” 三 了，怎么办呢？店主人又 卡法巧求 0恒成立，即x2+2x+a>0恒成立. @山东王明章 有了新招.他请1号房间 技巧二、因式分解 函数最值 设y=x2+2x+a, 的客人到2号，2号的客 则y=(x+1)2+a-1在[1，+∞)上递增 例2证明：函数f(x)=x2+2x在(-1， + 0)上是增函数 人到4号，3号的客人到6 ⊙湖南王明泽 所以当x=1时，yin=3+a 于是当且仅当ym=3+a>0时，函数f(x) 证明：设x1,x2是(-1，+∞)内的任意两个 号，…这样所有的奇 、函数单调性法 实数，且x1<x2,则fx)-fx)=x+2x1 数号的房间都空出来 例1已知函数x)=。+2x+4,x∈[1， >0恒成立，可得a>-3 二、数形结合法 (x好+2x2)=(-x)+2(x1-x2)=(x1 了，正好安排给这个“无 +0). 例2作出函数f(x)=|x x2)(x1+x2+2). 穷旅游团”的成员们住 ()当a=分时，求函数)的最小值 11+1的图象并求出其值域 由x1,x2∈（-1，+0)，得x1+x2>-2 解：由题易知 即x1+x2+2>0.由x1<x2,得x1-x2<0.所 如果到了旅游旺 (2)若对任意xe[1,+0),f(x)>0恒成 季，来了无穷多个“无穷 立，试求实数a的取值范围 x)=2-,x<1, 「x, x≥1， 以f(x)-f(x2)<0,即fx)<f(x2) 所以函数f(x)=x2+2x在(-1，+∞)上是 旅游团”，怎么办呢？店 解：(1)当a=2时)=t+左+2 1 如图1所示， 增函数 由图象易知，函数值域为[1，+∞) 设任意x1,x2∈[1，+∞)，且x1<x2, 技巧三、分子有理化 主人略加思索，又想出 例3求二次函数y=x2在区间[-2，]上 则f(x)-f(x2) 了一条妙计，把无穷多 的值域 例3证明：函数f(x)=√x2+1在(-0， 个“无穷旅行团”成员都 =(++2-(++ 解：函数y=x2的对称轴是y轴，由于区间 0)上是减函数 右端点a的值不确定，则函数y=x2在区间 证明：设x1,x2是(-0,0)内的任意两个实 安排住下了到底怎样安 -2,a]上的图象有三种不同的位置关系： 数，且x1<x2,则 排下的？留给读者去想 一想，当然这要费一番 =(1-x)-2,x 1 f(x)-fx2)=√+1-√+1 (好+1)-（号+1） x-x2 由x1,x2∈[1，+∞)得xx2>1, 脑筋. √x+I+√+1 √+1+√x3+1 1>0. 由以上这个虚构的 则1一2x12」 (x1-x2)(x1+x2) 又x1<x2,所以x1-x2<0. √+1++1 故事，可以看出“无穷 ①当-2≤a≤0时，如图2所示， 所以f(x1)-f(x2)<0,即fx)<f(x2). 由x1<x2<0,得x1-x2<0,x1+x2>0, 函数值域为{y12≤y≤4}； 的神奇之处 所以x)=x+ 1 +2在[1，+∞)上是增 ②当0<a≤2时，如图3所示， √好+1+好+1>0. 函数值域为{y10≤y≤4； 所以f(x,)-f(x2)>0,即fx)>f(x2) 函数 ③当a>2时，如图4所示， 所以函数f代x)=√2+1在(-，0)上是减 故f(x)在[1，+∞)上的最小值为f(1)= 函数值域为{y10≤y≤a2} 数 2 素养专练 数理招 专项小练一、函数的单调性 专项小练二、函数的奇偶性 专项小练三、幂函数 1.函数y=f(x)在(0，+0)是减函数，且0 1.已知函数f(x)是偶函数，且该函数的图象 1.下列函数中是奇函数，又在定义域内为减 <x1<:2,则下列选项错误的是 ( 》 经过点M(2,-5),则下列等式恒成立的是 函数的是 () (A)f(x)>f(x2) ( (A)y=2 (B)y=x2 (B)f(x1)-f(x2)>0 (A)f(-5)=2 (B)f(-5)=-2 (C)(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0 (C)f(-2)=5 (D)f(-2)=-5 (C)y=2-x (D)y=-x3 (D)）-),0 2.设奇函数fx)的定义 x1-x2 域为[-5,5]，当x∈[0,5] 2幂函数的图象过点(-2，-)，则它在 2.已知函数f(x)=2x2-mx+1在区间 时，函数y=f(x)的图象如右 [1,3]上的最大值为 () [-1,+∞)上单调递增，则f(1)的取值范围是 图所示，则使函数值y<0的x N方 (B)-1 ( 的取值集合为 () (C)1 (D)-3 (A)[7,+∞) (B)(7,+∞) (A)(2,5) 3.(多选)下列关于幂函数描述正确的有 (C)(-∞，7] (D)(-0,7) (B)(-5,-2)U(2,5) () 3.(多选)下列说法中正确的是 () (C)(-2,0) (A)幂函数的图象必过定点(0,0)和(1,1) (A)已知区间I,若对任意的x1,2∈I,当x1 (D)(-2,0)U(2,5) (B)幂函数的图象不可能过第四象限 <x2时，f(x)<f(x2),则y=f(x)在I上是增函数 3.(多选)设f(x)是R上的任意函数，则下 (B)函数y=x2在R上是增函数 列叙述正确的是 (C)当幂指数&=-1，？3时，幂函数y (C)函数y=-上在定义域上是增函数 (A)f(x)f(-x)是偶函数 x“是奇函数 (B)If(x)f代-x)1是偶函数 (D)函数)=的单调区间是(-x,0)和(0， (C)f(x)-f(-x)是偶函数 (D)当器指数a=3时希强数y=是道 (D)f(x)+f(-x)是偶函数 数 4.若函数f(x)在R上是偶函数，f(x)在(0， 4.已知函数y=fx)是定义在[-4,4]上的 4已知隔函数)=（上）户，若a-1) 减函数，且f(a+1)>f(2a),则a的取值范围是 +∞)上单调递增，则a=(-2),6=f(受）， f(8-2a),则a的取值范围是 「-2x+1,x<0则 。=(3)的大小关系是 5.已知幂函数f(x)=(m2-3m+3)xm+1为 5.已知函数f(x)= 偶函数： -x2+2x+1,x≥0， 5.若函数f(x)=12x-11-12x-a1为奇 (1)求幂函数(x)的解析式； f(x)的单调递增区间为」 函数，则a= (2)若函数g(x)=fx)-2ax在[2,4]上单 6.已知函数f(x)=2x2+4(x≠0，a∈R), 6.若函数f(x)满足f(x+1)=x2+2x+1. 调，求实数α的取值范围」 (1)求函数f(x)的解析式； 当a=1时，用单调性的定义证明f(x)在[2， +∞)上是增函数 (2)若函数(x)=x)-(十），试判断 g(x)的奇偶性，并证明， 数理报社试题研究中心 参考答案见下期 第5期2版参考答案 若a<0,则f(a)=a2+2a, 专项小练一 由f(a)=a+6得a2+2a=a+6, 当m=子时，设6e[0,子]。 解得a=-3或a=2,由于a<0,则a=-3. 1.A;2.C;3.AC; 4.(0,2):5.9 6.解：(1)令x=y=0,由已知可得f0)=f2(0), 综上a=-3或a=7, 令)=(+分)则(-宁)=(。+分 解得f0)=1或f(0)=0(舍去)，所以0)=1. 17.解：(1)设t=√x-2,1≥-2，所以x=(t+2)2 令x=n,n∈N,y=l, 所以f0)=2(+2)2+3=22+81+11,1≥-2， )广解得=号e0]。 则由已知可得，f(n+1)=f(n)f1)=3f(n), 所以f(x)=2x2+8x+11,x≥-2. 显然f代n)>0,所以f代n+1)=3f(n)>f代n) (2)因为x)是二次函数， 所以2)=31)=93)=32)=274)=33)=81， 所以设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)， 所以x)具有性质P(宁) f5)=34)=243(6)=35)=729,(7)=36)=2187, 由f0)=1,俱c=1. (2)由题意可得： 所以满足fn)<2025的n的最大值为6. 由f(x+1)=f(x)+2x, 专项小练二 得a(x+1)2+b(x+1)+1=ax2+bx+1+2x, 当e{0,分l}时x)=1: 1.A;2.D;3.ABC;4.3;5.-2. 整理得(2a-2)x+(a+b)=0, 6.解：(1)R+1)=()2+2+1-1=(+1)2-1, 所以2a-2=0,a+b=0,所以a=1,b=-1, 当e(0分)时)<1： 其中+1≥1， 所以f八x)=x2-x+1. 故所求函数的解析式为(x)=x2-1,其中x≥1. 18.解：(1)由题可知C(8,0),则-8+b=0,即b=8, 当xe(分)时)>： 所以y=-x+8,所以B(4,4), (2)因为对于任意的x都有x)+2f代-x)=3x-2, 所以将x替换为-x,得f(-x)+2fx)=-3x-2, 由图象知，(x)=k:的图象经过点B(4,4) 首先当m=子时，取0=分 联立方程组x)+2-x)=3x-2, 则4=k·4,解得k=2. Lf(-x)+2f(x)=-3x-2, (2)由(1)得(x)=2R,y=-x+8, 则)=分）=%+=（分+号）=四=1 消去-x),可得(x)=-3x- 2 设E(x,2x),则D(x,0),F(8-2E,2x),0<x<4, 所以函数)具有性质P(宁)： 第5期3,4版参考答案 所以ICD1=8-x,IDEI=2E,IEF1=8-2R-x,lFCI =22·E, 一、单项选择题 假设存在子<m<1,使得函数x)具有性质风m）, 1-4 ABCD 5 ~8 CBDB 设直角梯形CDEF的周长为L, 二、多项选择题9.ABD;10.BC;11.ABCD 所以1=ICDI+1DE1+1EFI+1FCI=16-2x+22·E, 则0<1-m< 三、填空题12.14；13.1,3；14.[3,12]. 令x=t,0<t<2, 四、解答题 所以1=16-2x+22·斤=-22+22t+16 当气=0时+me(分则)=1，+m)>1, 15.解：(1)由函数r=p)的图象可得， -2-9）+n. 即f(x)≠f(xo+m),不合题意； 函数r=f(p)的定义域为：[-5,0]U[2,6), 值域为：[0，+) 当01-m时+me(， (2)由已知中函数r=f(p)的图象可得： 所以当1：会即：=分时，周长1有最大值，最大值为17 则f(xo)<1fxo+m)≥1， 当r∈[0,2)U(5,+0)时，只有唯一的p值与之对应. 16.解：(1)f2)=3Jf-3)=3)=5. 所以图书馆平面图CDEF周长的最大值为17 (2)若a>0,则a）=2a-1, 由f八a)=a+6得2a-1=a+6,解得a=7>0, 19解：1水)具有性质P(兮)理由如下： 所以m的最大值为分 8.若函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)在(0，+∞)上单 14.定义：若存在常数k,使得对定义域D内的任意两个不同的实 函数的单调性和最值、函数的奇偶性 调递增，f(5)=0,则满足不等式(x)≥0的x的取值范围是 数x,x2,均有1f(x)-f(x2)1≤k1x1-21成立，则称函数f八x)在 ）定义域D上满足利普希茨条件.已知函数f(x)=√(x≥1)满足利普 与简单的幂函数同步核心素养测评 (A)(-0,-5)U(0,5) 希茨条件，则常数k的可能取值是 一（写出一个满足条件的值 (B)(-0,-5]U[5,+∞)U0 即可) ◎数理报社试题研究中心 (C)(-5,0]U(5,+) 四、解答题：本题共5小题，共77分 (D)(-5,5) 15.(13分)已知幂函数y=f()=x2m-m*3(-2<m<2,且m 第I卷选择题（共58分） 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分 ∈Z)满足：①在区间(0，+0)上是增函数：②对任意的x∈R,都有 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 9.已知函数f(x)=x“的图象经过点(2,8)，则下列命题正确的有f-x)+(x)=0. 1.已知点(a3,2)在幂函数f(x)=(a-1)x的图象上，则 ) (1)求同时满足①②的幂函数f(x)的解析式； (A)f(0)=0 (2)在(1)条件下，求x∈[0,3]时f(x)的值域 (A)f(x)=x (B)f(x)=2x2 (B)Va<b,都有f(a)<f(b)〉 (C)若x>1,则fx)≤1 (C)f(x)=x3 (D)x)=x号 (D)f(x)+f-x)=0 擊 2.已知f(x)是奇函数，且方程f(x)=0有且仅有3个实根x1,x2, 10.兴趣是最好的老师.学校为了丰富学生的兴趣，成立了多个兴 x3,则1+x2+x3的值为 必修第 (A)0 (B)1 叠小组，其中数学学习兴趣小组发现：形如y=合a心≠0。，d不 (C)2 (D)无法确定 同时为0)的函数图象可以由反比例函数的图象经过平移变换得到， 册 3.已知幂函数f(x)=(n2+2n-2)·x2-2在(0，+0)上是减 对函数)=的图象及性质，下列袁述正确的是 ) 翡 函数，则n的值为 ( (A)-3 (B)1 (C)3 (D)1或-3 (A)图象上点的纵坐标不可能为1 4.已知幂函数f(x)=(m2-5m+7)xm为偶函数，则f(2)= (B)图象与x轴无交点 同 ( (C)函数在区间(-∞，0)上单调递减 步核 (D)图象关于点(1,1)成中心对称 高中数学·必修第一册（北师大版）同步核心素 心 (A) (B)2 (C)4 (D)8 11.已知f(x)是定义在xlx≠0上的奇函数，当x2>x,>0时， 5.已知图1对应的函数为y=代x),则图2对应的函数是 x1x2[f(x)-f(x2)]+x1-x2>0恒成立，则 () 16.（15分)已知奇函数f(x)是定义在(-2,2)上的减函数，若 素养测评 f(m-1)+f(1-2m)>0,求m的取值范围， (A)y=f(x)-上在(-0,0)上单调递增 养测 (B)y=f(x)在(0，+∞)上单调递减 (c2)+-3)>6 (A)y=f(-1x1) (B)y=f(-x) (Dn2)--3)>6 (C)y=f(Ix1) (D)y=-f(-x) 6.设f(x)是定义在[1+a,2]上的偶函数，则f(x)=a2+bx 第Ⅱ卷非选择题（共92分） 2在区间[0,2]上是 ( (A)增函数 (B)减函数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. (C)先增后减函数 (D)与a,b有关，不能确定 12.已知函数y=x2+ax+1,x∈[b,2](a,b∈R且b<2)是 7.若幂函数y=f(x)的图象经过点(18,32)，则函数f(x-6)+偶函数，则a+b= [f(x)]2的最小值为 1B.已知幂函数)的图象过点(2.号)，且26-)<2 (a￥ (B)13 7 4 (C)6 (D)2 b),则b的取值范围是■