函数基本性质的综合应用 习题课课件-2024-2025学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

第二章 函数 习题课6 函数基本性质的综合应用 1 1.能运用函数的单调性和奇偶性解决比较大小、求最值、解不等式等综合问题. （数学运算） 2.通过转化思想解决有关抽象函数的问题.（数学抽象） 3.能运用函数的性质解决有关复合函数的问题.（逻辑推理） 学习目标 2 1.若函数是上的偶函数，且在区间 上单调递增，则下列关系成立的是 ( ) . B A. B. C. D. [解析] ，且在区间上单调递增， . 课前检测 3 2.若，则满足的实数 的取值范围是( ) . C A. ， B.， C.， D.， [解析] 因为，且函数的定义域为，所以函数 为定 义在上的偶函数，又当时，在 上单调递增， 所以，则有，解得 .故选C. 课前检测 4 3.函数在上的最大值为1，则实数 的值为___. 3 [解析] 因为的图象是由 的图象向右平移1个单位长度 得到的，即在上单调递减，所以在 上单调递减，所以，解得 . 课前检测 5 4.定义在上的函数，满足对，，有 ． （1）判断函数 的奇偶性； （2）如果，，且在上单调递增，试求实数 的取值 范围． 课前检测 6 [解析] （1）令，得，令， ， 得，即 ， 所以 为奇函数． （2）因为，所以 ， 所以原不等式可化为 ． 又因为在上单调递增，且 是奇函数， 所以在上单调递增，所以 ， 解得，所以实数的取值范围是 . 课前检测 7 探究1 恒成立中的最值问题 例1 已知对任意恒成立，求实数 的取值范围． 结合二次函数的最值知识进行求解. 题型探究 8 [解析] （法一）令， ， 要使对任意 恒成立， 只需，解得 . 实数的取值范围是 . （法二）可化为 . 要使对任意 恒成立， 只需当时， ， 又， . 实数的取值范围是 . 题型探究 9 【变式探究】 把本例中“”改为“”，再求实数 的取值范围． [解析] 可化为,令, 在 上单调递减， 的值域为 . 要使对任意 恒成立， 只需,即， 实数的取值范围是 . 题型探究 10 方法总结 不等式的恒成立问题 任意，恒成立，一般转化为来解决．任意 ， 恒成立一般可转化为 . 题型探究 11 针对训练1 已知对任意恒成立，求实数 的取值范围． [解析] ，可化为 . 要使对任意 恒成立， 只需当时， . 设，， . . 当时，，即当时， ， ， 实数的取值范围是 . 题型探究 12 探究2 函数的性质及应用 例2 已知函数是定义在上的奇函数，且 . （1）确定函数 的解析式； （2）用定义证明在 上单调递增． （1）用及求， 的值；（2）用单调性的定义求解． 题型探究 13 解析 （1）由题意得 故 ，经检验符合题意. （2）任取 ， 则 . ，,, . 又， ， ，即 , 在 上单调递增． 题型探究 14 【变式探究】 1.在本例条件不变的情况下解不等式： . 2.把本例条件“奇函数”改为“偶函数”，求 的解析式． [解析] 1.由得 ． 在上单调递增， ， ， 不等式的解集为 . 2.由题意可知，，即 ， ， 又，， . 题型探究 15 方法总结 巧用奇偶性及单调性解不等式 （1）利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为 或 的形式. （2）根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相 反，脱掉不等式中的“ ”，转化为简单不等式求解. 题型探究 16 针对训练2 已知函数是定义在上的奇函数，且当时， . （1）若，求函数 的解析式. （2）若函数为 上的减函数. ①求实数 的取值范围； ②若对任意实数，恒成立，求实数 的取值范围． 题型探究 17 [解析] （1）当时， ， 又为奇函数，且 ， 当时， ， 题型探究 18 （2）①当，时，图象的对称轴为直线,又 ， 在 上单调递减， 奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同， 在 上单调递减， 且在上，在上 ， 当时，为 上的减函数． 当时，在上单调递增，在 上单调递减，不合题意． 函数为上的减函数时，实数的取值范围为 . 题型探究 19 ② ， ， 又是奇函数， ， 又为 上的减函数， 恒成立， 对任意实数恒成立， . 故实数的取值范围是 . 题型探究 20 探究3 函数图象的画法及应用 例3 已知函数是定义在 上的奇函数，当 时， ． （1）求函数在 上的解析式； （2）画出函数 的图象并根据图象写出函数的单调区 间和值域； （3）解不等式 ． （1）利用函数的奇偶性即可求解；（2）作出函数图象，利用函数图象即可 求出单调区间与值域；（3）由（1）中函数的解析式，讨论 的取值范围即可求解． 题型探究 21 [解析] （1）因为函数是定义在上的奇函数，所以 ， 由题知， ， 设，则，则 ， 又函数 为奇函数， 所以 ， 综上可得 题型探究 22 （2）函数在 上的图象如图所示. 由图可知，函数的单调递增区间是，单调递减区间是， ，值 域是 ． 题型探究 23 （3）由，得 ， 由函数图象的对称性得 ， 由，得或 由图可得该不等式的解集是， ． 题型探究 24 方法总结 因为函数的图象很好地反映了函数的性质，所以在研究函数的性质时要注意结合 图象，在解方程和不等式时,有时需画出图象，利用数形结合能达到快速解题的目的. 题型探究 25 针对训练3 已知函数是定义在上的奇函数，且当时， ． （1）求函数 的解析式； （2）作出函数的图象，并根据图象写出函数 的单调区间． 题型探究 [解析] （1）设，则 ， ， 是奇函数， ， ， 题型探究 27 （2）作出函数 的图象，如图所示. 由图可知，在区间和上单调递增，在区间 上单调递减． 题型探究 28 探究4 抽象函数的综合应用 例4 已知函数是定义在区间上的奇函数，，且对于任意的 ， ，有 . （1）判断函数 的单调性（不要求证明）； （2）解不等式 ； （3）若对于任意的，恒成立，求实数 的取值范围． （1）结合所给的已知条件可判断函数的单调性；（2）结合函数的单调性解 不等式，要注意函数的定义域；（3）通过换主元，构造函数进行求解. 题型探究 29 [解析] （1）函数在区间 上单调递增． （2）由（1）知函数在区间 上单调递增， 所以由，得 解得 . 所以不等式的解集为 . 题型探究 30 （3）因为函数在区间上单调递增，且 ， 所以要使得对于任意的，，都有 恒成立，只需对 任意的，恒成立，即 恒成立. 令，此时可以看作的一次函数，且当时， 恒成立． 因此只需解得 ， 所以实数的取值范围为 . 题型探究 31 方法总结 1.解决有关函数性质的综合应用问题的通法就是根据函数的奇偶性解答或作出图 象辅助解答，先证明函数的单调性，再由单调性求最值． 2.研究抽象函数的性质时要紧扣其定义，同时注意根据解题需要给 灵活赋值． 题型探究 32 针对训练4 若是定义在上的增函数，且 ． （1）求 的值； （2）若，解不等式 ． 题型探究 33 [解析] （1）令，则有， ． （2）， ， 令，，则，得 ， 不等式等价为不等式 ，即 ， 又是 上的增函数， 解得 ， 即原不等式的解集为 . 题型探究 34 1.函数在 上的最大值为( ) . B A.0 B. C.2 D.3 [解析] 因为函数在上单调递增，函数在 上单调递增， 所以函数在 上单调递增, 所以当时， ． 强化训练 35 2.已知是定义域为的偶函数，当时，，则 的解 集为( ) . C A. B. C. D. [解析] 当时，， ， 是定义域为 的偶函数， 当时， . 由，得 ， ， 故或 （舍去）， 解得或 . 强化训练 36 3.已知是定义在上的奇函数，，则 ( ) . B A.1 B.0 C. D. [解析] 因为 为奇函数， 所以 , 所以 ， 又因为 , 所以 ,故选B. 强化训练 37 4.已知函数的图象与函数的图象恰有两个交点，则实数 的取值范 围是____________． [解析] 根据绝对值的意义， 得 强化训练 38 在平面直角坐标系中作出该函数的图象，如图所示． 根据图象可知，当或时，函数的图象与函数 的图象有两个交点． 强化训练 39 $$