第4期 一元二次函数与一元二次不等式、本章综合-【数理报】2025-2026学年高一数学必修第一册同步学案（北师大版）

17.(15分)(1)若方程ax2-ax+1=0存在两个不等实根x1, 18.(17分)已知函数y=x2-(a+4)x+4a. 19.(17分)《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从 x2,求x子+x号的取值范围； (1)解关于x的不等式y<0; 特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与 (2)已知命题P:存在一个实数x,使ax2-ax+1<0,当a∈A (2)若关于x的不等式y+4x<0的解集为{xlm<x<n(m 方法上的类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、新结论的重 时，非P为真命题，求集合A >0,n>0),求m+4n的最小值， 要方法。 例如，已知6=1，求证十。++6=1 1 回明原式=0中。1+6=1在6+1+6=1 1 b 1 波利亚在《怎样解题》中也指出：“当你找到第一个蘑菇或作出 第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长.”类似上述问题，我 们有更多的式子满足以上特征 请根据上述材料解答下列问题： 高中数学·必修第一册（北师大版〕棱心素养综合测评 0已知1水十。+6的值 高中数学· (2)若abe=1,解方程，5ax 5bx 5cx ab+a+l*betb+l*catc+l=1: 必修第一 (3)若正数a,b满足6=1，求M=十。+十2的最小值 册（北师大版）棱心素养综合测评 参考答案见下期 本版责任编辑：郭晓红 报纸编辑质量反馈电话： 益评橘 2025年7月25日·星期五 高中数学 0351-5271268 报纸发行质量反馈电话： 4 期总第1148期 北师大 0351-5271248 必修（第一册） 蜈蚣买汽水 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社编辑出版社长：徐文伟国内统一连续出版物号：CN14-0707八F)邮发代号：21-167 有一群昆虫聚集在 ◇专题辅导 1 =4(-a+√0-16)， 草堆里一起聚餐联谊 它们一边神采奕奕地聊 合叁一元二次不等式的 所以原不等式的解集为 天，一边开心地吃着可 {x<-a-g-16)减x>(-a 口美味的食物。没多久， ©湖南曾玉明 求解策略 +Va-16} 含有参数的一元二次不等式，在求解时相 它们就把准备的汽水喝 所以原不等式的解集为{xx>1,或x< ②当a=±4时，△=0， 对增加了难度，本文对含参数的一元二次不等 了个精光。 1 式解法中常见的“三类型”进行解析。 a fi 所以原不等式的解集为{xx≠-} 在没有汽水的情况 一、二次项系数含参数 ③当-1<a<0时，- 若二次项的系数含有参数a,则须对a的符 1>1, ③当-4<a<4时，4<0. 下，大家口渴难耐，所以 所以原不等式的解集为R 号分类，即分a>0,a=0,a<0. 就商量要推选一个代表 所以原不等式的解集为{x1<x< 三、根含参数 例1解关于x的不等式ax2+(1-a)x-1 跑腿帮大家去买汽水， 11 若不等式对应的方程的根x1,x2中含有参 >0(其中a>-1). a f 数，则须对x1,2的大小来分类，即分x1<2,x1= 而卖汽水的地方又离这 解析：二次项系数含有参数，因此需对a进 二、判别式4含参数 x2,x1>x2 里有一段颇长的路程， 行讨论 若判别式△=b2-4ac中含有参数，则须对 例3解关于x的不等式x2-2x+1-a2≥0. 大家认为，一定要找到 若a≠0，则原不等式ax2+(1-a)x-1> 判别式△的符号分类，即分△>0，△=0，△<0. 解析：原不等式等价于(x-1)2-a≥0 0等价于(x-1)(ax+1)>0.其对应方程的根 例2解关于x的不等式2x2+ax+2>0. 即(x-1-a)(x-1+a)≥0. 位跑得特别快的代 为-1与1 解析：由于判别式4=a2-16=(a-4)(a 其对应方程的根为1+a与1-a.所以 表 ,才能胜任这样的任 a +4)中含有参数，因此须对△的符号进行讨论 ①当a>0时，1+a>1-a, 又因为a>-1,于是我们有： 即对a在-4与4处分开讨论，则： 原不等式的解集为xlx≥1+a,或x≤1-a; ①当a=0时，原不等式为x-1>0, 大伙七嘴八舌地议 ①当a>4或a<-4时，4>0，方程2x2+ ②当a=0时，1+a=1-a, 所以原不等式的解集为{x1x>1}: ax+2=0的两根为： 原不等式的解集为全体实数R: 论起来，环顾四周，挑来 ③当a<0时，1-a>1+a, <1 x1= (-a-/a2-16) 选去，最后一致推选蜈 ②当a>0时，-1 4 原不等式的解集为xlx≥1-a,或x≤1+a. 蚣为代表，因为它们认 一、问题的提出 思维拓展 为蜈蚣的脚特别多，跑 在教材中反复提到：“二次函数的零点与相 起来，也一定像旋风一 应的一元二次方程根的关系”.对于这一点我们 解读三个二次的关系 样快。 可以作进一步的探讨：(1)二次函数的零点与一 娱蚣在盛情难却的 元二次方程根之间具体的关系；(2)二次函数的 ©山西孙丽琴 零点、一元二次方程的根与一元二次不等式的 三、结论的应用 情况下，只好从命，起身 解集之间是不是也有密切的关系？ 1.利用一元二次方程研究一元二次不等式 出发为大家买汽水，小 二、问题的探讨 例1不等式x2-px-g<0的解集为xl4 虫们放心地继续嬉闹欢 由于篇幅所限，以及在解题中的实用性，我 <x<5},则gx2-px-1>0的解集为 (A)(B)(C) (D) 笑，一时忘记了口渴。过 们回以对于上面提出的问题缩小范围进行探 解：由不等式f(x)=ax2-x-c>0的解集 了好久，大家东张西望， 讨：对于二次三项式ax2+bx+c(a≠0)，我们仅 (A){x1-5<x<-4} 为{x1-2<x<1{,知二次函数fx)的图象开 作判别式△=b2-4ac>0时的探讨. (B){xIx>-4或x<-5 口向下，且与x轴的交点为(-2,0)与(1,0)，故 议论着蜈蚣怎么还没回 当a>0时，二次函数y= 选(D) 来。情急之下，螳螂自 ax2+bx+c有两个零点x, c){-4<<-} 3.利用二次函数研究一元二次不等式 告奋勇地去了解究竞 例3二次函数y=ax2+bx+c(xeR)的 发生了什么事。它一推 x,(x1<),如右图所示由 (D){>-写或<-》 图易知此时一元二次方程ax 部分对应值如下表： 开门，才发现娱蚣还蹲 解：不等式x2-px-g<0的解集为{x14< +r+c=0的两个根为x1, 在门口辛苦地穿鞋子 x<5}, -3-2-101234 x2,一元二次不等式ax2+bx+ 故x=4,x=5是方程x2-px-9=0的两根 -6046640-6 c>0的解集为x|x<x1或x>x};ax+bx 由根与系数的关系，得 大启示：人不可貌 +c<0的解集为{xx1<x<x2. 则不等式ax2+bx+c<0的解集是 p=4+5=9,9=-4×5=-20, 相，海水不可斗量。毕 当a<0时，也有类似结论 所以所求不等式为-20x2-9x-1>0, 竞，一个人的能力或人 由上面的分析可得到如下结论：当a≠0 解：由表格数据的变化易知二次函数的图 即20x2+9x+1<0. 品是无法单凭外表来评 时，二次函数y=ax2+bx+c的两个零点值，一 象开口向下，则a<0, 元二次方程ax2+bx+c=0的两个不相等的根 解得-<<- 5,故选(C). 又由y值为0对应的点知二次函数与x轴的 判的。 值，一元二次不等式ax2+bx+c<0(或>0)的 2.利用一元二次不等式研究二次函数 交点为(-2,0)，(3,0) 解集的两个不同端点值三者相同。应用此结果 例2不等式f(x)=ax2-x-c>0的解集 所以不等式ax2+bx+c<0的解集为 可以快速解答与这三个方面相关的问题 为x1-2<x<1},则函数y=f(x)的图象为 x|x<-2或x>3}. 2 素养·专练 数理极 专项小练、一元二次函数与 (B){xI-2≤x≤1} 8.若不等式-2<x2+mx-m2<1的解集为 (C){x1x≤-2或x≥1} {x|n<x<2,则m-n= 一元二次不等式 (D){✉x≤-行或= 9.已知不等式ax2-3x+2>0的解集为x 1.不等式2x2+x-1<0的解集为 ( x<1或x>b. (a{:-分<< 5.若30≤x≤4，使得不等式x2-2x+a> (1)求a,b的值： 0成立，则实数a的取值范围为 () (2)解不等式aax2-(am+b)x+bm<0. (B){xx<-或>1} (A)(-1,+0)(B)(1,+0) (C)(8,+∞) (D)(-8,+∞) (c){✉-1<<} 6.（多选)已知关于x的不等式ax2+bx+c> 0的解集是{x11<x<3},则 () (D){x<-1或x>分} (A)a<0 2.若不等式x2+ax+1≥0对于一切x∈R恒 (B)a+b+c=0 成立，则a的最小值是 ( (C)4a+2b+c<0 (A)0 (®)-2(C)-3(D)-3 (D)不等式cx2-br+a<0的解集是{xx 10.已知函数y1=x2-2ax,y2=ax+3-a, a∈R 3.若一元二次方程ax2-2x-4=0(a不等于 <-1或x>-} (1)若对Hx∈R,y1+3>0,求a的取值范围； 0)有一个正根和一个负根，则实数a的取值范围 为 7.某礼服租赁公司共有300套礼服供租赁，若 (2)若对Hx∈R,y1>0或y2>0,求a的取值 (A)(0,+∞) (B)(2,+∞) 每套礼服每天的租价为200元，则所有礼服均被租范围. 出；若将每套礼服每天的租价在200元的基础上提 (C)(1,+∞) (D)(-1,+∞) 4.已知函数y=ax2+bx 高10x元(1≤x≤20，x∈Z),则被租出的礼服会 +c(a≠0)的图象如右图所 减少10x套若要使该礼服租赁公司每天租赁礼服 示，则关于x的不等式x2+ 的收入超过6.24万元，则该礼服租赁公司每套礼 ax+b≥0的解集为( 服每天的租价应定为 ( (a){-≤≤1} (A)220元 (B)240元 数理报社试题研究中心 (C)250元 (D)280元 参考答案见下期 3期2版参考答案 因为p+9=1,所以p-1=-9,9-1=-P, 专项小练一 所以(x+9y)2-(px2+q2)=-pg(x2+2-2y) 则/子≥10%. 1.A;2.C;3.ACD;4.a+b+c≤130且abc≤72000： a+b=220, =-p9(x-y)2. 5.(-0,-1)U(1,+∞). 因为P,9都为正数，所以-pg(x-y)2≤0， 所以b≤102=10a,所以a+b=20≤a+10. 6.证明：(a+b)2=a+b+2ab 因此(x+y)2≤x2+92,当且仅当x=y时等号成立. 所以a≥20. (+a)2=c+d+2a, 16.(1)证明：因为2+2+1-2b(a+1)=a2+22+1-2ab 所以这所公寓的窗户面积至少为20平方米， 由ab=cd,a+b>c+d, 2b=a2-2ab+2+2-2b+1=(a-b)2+(b-1)2≥0， (2)设a和b分别表示公寓原来的窗户面积和地板面积，n表示 得(a+6)2>(+a)2, 当且仅当a=b=1时，等号成立， 窗户和地板所增加的面积（面积单位都相同）， 所以Ja+b>+Ja. 所以a2+202+1≥2b(a+1). 由题意得：0<a<b,n>0, 专项小练二 (2)解：由题意可得：“=2，即a+1+6+1=6, 则+丹-冬-必+领：-四：- b(b+n) b(b+n) 1B:2A3.BD:4分：52E 则/a+6+T≤a+1+b+L=3. 因为b>0,n>0,所以b(b+n)>0, 6.解：由x>0, 2 又因为a<b,所以n(b-a)>0, 当且仅当a=b=2时，等号成立， 所以a+1,b+1的几何平均值的最大值为3. 因此+投-号>0，%+>号 +-3 17.解：(1)因为x,y都是正数， 所以窗户和地板同时增加相等的面积，公寓的采光条件变墩好了. 2V4-3232+6， ≤ 5 5 19.(1)解：由x2-1比1远离0， 则2x+3y≥22x·3y=26w,即26≤3， 则1x2-1-01>11-01, x= 3 3 4, 解得x<-2或x>万 当且仅当x=5时，等号成立， 解得：y≤8，当且仅当2x=3y,即 时取等号， 1 (d28 =2 所以x的取值范围是(-∞，-2)U(2,+∞). (2)证明：若证a3+比a2b+ab2远离2abad, 故a的取值范围为[2+5，+0)： 所以y的最大值为} 即证1a3+b2-2ab/ab1>1a2b+ab2-2abab1 3期3,4版参考答案 (由y是正数且>y，+2可得 因为a≠b,a>0,b>0, 一、单项选择题 则a3+b3>2√aD=2abab, 1~4 BCCA 5~8 BDCD +y=-y+2=合-y+2)(+分）=(2 且a2b+ab2>2√aD=2ab√ab, 二、多项选择题 9.ABC;10.BD;11.AC. ++）×(+2，罗)=2 所以即证a2+3-2aba而>a2b+a2-2ab√a, 即证a3+3>a2b+ab2, 三、填空题 2(-2,-分）：132：14.1+9 x=21 3 又a23+b3-(a2b+ab2) 当且仅当，，即 时等号成立， =(a-b)2(a+b)>0, 所以a3+b3>a2b+ab2, 四、解答题 15.解：(px+qy)2-(px2+g2) 所以x+y的最小值为2. a+b-2ab ab I >l a2b ab2 -2ab ab l, =p(p-1)2+q(q-1)y2+2p9y, 18.解：(1)设公寓窗户面积与地板面积分别为am2,bm2, 即a3+3比a2b+ab2远离2abad. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分 四、解答题：本题共5小题，共77分 9.已知A,B为两个集合，定义A-B={x1x∈A,xB,则下 15.(13分)已知命题“彐x∈R,不等式x2-2x-m≤0”成立是 预备知识核心核养综合测评 列命题中为真的有 ()假命题 (A)若A-B=A,则B=O(B)若A-B=A,则A∩B=O (1)求实数m的取值集合A; ⊙数理报社试题研究中心 (C)若A-B=②，则A=B(D)若A-B=O,则ACB (2)设B={ml-4<m-a<4},若m∈B是m∈A的充分 第I卷选择题（共58分) 10.已知a,b,c∈R,则下列说法错误的是 )不必要条件，求实数a的取值范围. (A)若a>b,则am2>bm 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1.不等式(x+1)(x-3)<0的解为 (B)若8>名，则。>6 (A){x1-1<x<3} (B){xI-3<x<1} (C){x1x<-1或x>3} (D){x1x<-3或x>1{ (c)若a>6,ab>0.则日<古 2.当x≠0时，2+子的最小值为 (D)若a>6,a6>0则日<名 毫 数学 11.我们把有两个自变量的函数称为“二元函数”，已知关于实数 (B)1 (C)2 (D)22 高中数学 x,y的二元函数f(x,y)=x(1+y),则以下说法正确的是( 3.已知a<0<b,则 必修第 ( (A)f2,4)=f(4,2) 必 (A)a2<ab (B)a2<2 (C)a2>b2 (D)ab<b2 (B)对任意的x>0,(2）≥2 修第 册 16.(15分)某公司计划投资A,B两种金融产品，根据市场调查与 册 北 4.已知集合M={1,2,3},N={0,1,2,3,4,7},若MCACN, (C)若对任意实数x,f(x-a,2x)≥-a-2,则实数a的取值范围 师 覆测，4产品的利润为与投资金额x的函数关系为1=18一0 北 师 则满足集合A的个数为 ( 是(-3,5) (A)4 (B)6 (C)7 (D)8 (D)若存在x≥2，使不等式f(x-a,2x)≤-a-2成立，则实数 B产品的利润，与投资金额x的函数关系为=（注：利润与投资 大版 核 核 5.设非空集合P,Q满足P∩Q=Q,且P≠Q,则下列选项中正 a的取值范围是[3，+o) 金额单位：万元).现在该公司有100万元资金，并全部投入A,B两种 素养综 确的是 产品中且均有投，其中x万元资金投入A产品. (A)Hx∈Q,有x∈P (B)]xP,使得x∈Q 第Ⅱ卷非选择题（共92分） 素养综 (1)请把A,B两种产品利润总和y表示为x的函数，并直接写出x的 合测评 合测 (C)3x∈Q,使得xP (D)HxQ,有x∈P 范围； 评 6.已知使不等式x2+(a+1)x+a≤0成立的任意一个x,都不满 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (2)在(1)的条件下，当x取何值时才能使公司获得最大利润？ 足不等式x+2≤0，则实数a的取值范围为 12.若关于x的不等式x2-ax+b<0(a,b∈R)的解集为 (A)(-∞，-1) (B)(-∞，-1] x1-1<x<2,则b= (C)[-2,+∞) (D)(-∞，2) 13.若正实数a,b,c满足2ab=2a+b,abc=2a+b+c,则c的最 7.已知a2+8=k,若号 9 大值为一 +2+1 ≥1恒成立，则k的最大值为 14.对x,y定义一种新运算T,规定：T(x,y）=x+(其中a,6 2x +y (A)4 (B)5 (C)24 (D)25 均为非零常数)，这里等式右边是通常的四则运算，例如：T(0,)= 8设m<子，(4r+m-)3x+n-)≥0对xe[m, 4×0+b×1=6,已知7(1，-1)=-2，T(4,2)=1,若关于m的不 2×0+1 恒成立，则n-m的最大值为 ( rT(2m,5-4m)≤4， 等式组 ’恰好有3个整数解，则实数P的取值范 1T(m,3-2m)>P (c)3 4 (D)3 2 围是高一数学北师大（必修第一册）第1~4期 数理括 答案详解 2025~2026学年 高一数学北师大（必修第一册）第1~4期(2025年7月) 3.由韦恩图可知，阴影部分表示(CB)∩A, 第1期2版 CB={1,3},所以(CB)∩A={1 专项小练一 4.根据空集概念可知0⑦，故(A)错误；因为2+1=0 1.ACD;2.D;3.B;4.{(1,-2)};5.6 无实根，所以x1x2+1=0}=0,且00，故(B)错误；空 6.解：(1){x∈R11<x<10 集是任何非空集合的真子集，故(C)正确；当A=B时，A∩B (2)集合的代表元素是点，用描述法可表示为 =AUB,故(D)错误 {(x,y)1x<0,且y>0. 5.若ACB,则2≤a.故选(D) (3)xl x=3n+1,nE N. 6.由题意，集合M={x1-1≤x≤4}，V={x1x<2}, 专项小练二 则MUW={xlx≤4}，MnN={xl-1≤x<2}, 1.D:2.CD;3.B;4.[0,4];5.①③. 所以M☒N={x I x E M U N且x年MnN}={xIx 6.解：(1)由题知，A={x1-2≤x≤5}， <-1或2≤x≤4} 当xeZ时，A={-2,-1,0,1,2,3,4,5}共8个元素， 7.A={(x,y）12x-y+m≥0，CB={(x,y）1x+y-n≤ 所以A的非空真子集的个数为2-2=254个 0}, (2)由题知，显然m-1<m+1,因为B二A, 由于P(2,3)eA∩(CB), 所以m+1≤5，解得-1≤m≤4， 所以2×2-3+m≥0，则m≥-1， lm-1≥-2， 2+3-n≤0， ln≥5， 所以实数m的取值范围是[-1,4]. 所以m+n≥4，即m+n的最小值为4. 专项小练三 8.由题可得x=√5,2，√2+n,√1+n, 1.D;2.BCD;3.A;4.8;5.{-3,-1,0,1,2. 又集合A⊙B有3个元素， 6.解：(1)因为AUM=R, 当2=√2+n,即n=0时， 所以s0, 解得-3≤a≤0， A⊙B={5,√2,1}满足题意； la+8≥5， 当2=√个+n,即n=1,n=-1(舍去)时， 所以实数a的取值范围是[-3,0]. (2)CM={xI0≤x≤5}， A⊙B={5,√2}，不符合题意； 因为BU(CM)=B,所以CMCB, 当5=√1+n,即n=±√2时， 所以 8-b<0解得b>8, A⊙B={5,2,2}满足题意； b>5, 当5=2+n,即n=1,n=-1(舍去)时， 所以实数b的取值范围是(8，+∞). A⊙B={5,√2}，不符合题意. 第1期3,4版 综上，ne{0,2,-2}, 集合同步核心素养测评 故所构成集合的非空真子集的个数为23-2=6. 一、单项选择题 二、多项选择题 1 ~4 ACCC 5~8 DCCB 9.AC;10.BD:11.BCD. 提示： 提示： 1.由题意可得A=0,1,2,3,4},所以A二B. 9.因为M军P, 2.由题意可知B≤A, 所以MUP=P,故(A)正确； 则AUB=A={x∈RIx≠3} 因为M军P,所以P口M=M, 高一数学北师大（必修第一册）第1~4期 而M至V,故(B)错误； 四、解答题 因为NP, 15.解：(1)由题得a2+4a+2=7,解得a=1或a=-5. 所以CRP手CRN,故(C)正确； 因为a>0,所以a=1.当a=1时，B={0,7,3,1}. M军N,如右图所示， (2A中的元素是x=1。白，。eB a 所以N∩CRM表示的集合为①，不是空集，故(D)错误. 故选(A)(C) 所以a1。-6>4,即1-2沙>4所以6<-子 a 10.由已知条件可得A*B=1,2,3,4,5}. 0E(A*B),(A)错； 所以实数6的取值范图是(-”，-号) U={1,2,3,4,5},则CB={3,4,5}, 16.解：满足{3}B≤{3,4,5}的集合B可以是3,4}， 故(CB)∩A={3},(B)对： {3,5},{3,4,5}.U={1,2,3,4,5,6,7,8,9},A={2,4,6,8}, BCM≤(A*B),即1,2}二MC1,2,3,4,5},则满足 (1)填“B=3,4}”时，可得AUB=2,3,4,6,8, 条件的集合M有：1,2}，1,2,3}，1,2,4}，{1,2,5}，1,2， 因为CB=1,2,5,6,7,8,9}, 3,4,{1,2,3,5},{1,2,4,5},{1,2,3,4,5},共8个，(C)错： 所以An(CuB)=2,6,8}; A*B中所有元素之和为1+2+3+4+5=15，(D)对. (2)填“B=3,5}”时，可得AUB=2,3,4,5,6,8, 故选(B)(D). 因为CB=1,2,4,6,7,8,9}, 11当a=0时，B={0},BCA,所以A与B构成“全食”； 所以An(CB)={2,4,6,8}; 当a>0时，B={。a}如果a=1,则-日=-1 (3)填“B={3,4,5}”时，可得AUB=2,3,4,5,6,8, 因为CB={1,2,6,7,8,9,所以An(CB)=2,6,8. B:-1,1,4与B构成全食°；如果a=2,则-。=-之 1 17.解：(1)若A∩B=3}, 则3∈{xlax-1=0},3∈{xlx2-2x+b=0}, B={-22},此时A与B构成“偏食”： 所以3a-1=0,9-6+b=0, 当a<0时，如果a=-1,则-1=1，B={-1,1},BG 解得a=号6=-3， 所以B={x「x2-2x-3=0}={-1,3}. A,所以4与B构成“全食如果a=-2,则-。=分，B (2)若A≠⑦，则a≠0， {分，-2}，所以选项()错误放选(B)(C(D). 此时A={xlax-1=0} } 三、填空题 又AUB=B,所以ACB, 12.-2;13.1,3,5,6,8}；14.27. 即2∈xx2-2x+6=0 提示： 12.因为M={-2,0,2,4},N={xlx≥m}且M∩N=M, 片名+6=0， 所以MCN,则m≤-2，所以m的最大值为-2. 4=4-46≥0， 13.由题可得X∩Y={3}, 所以实数a和6满足的关系式为6：一吉+名(6≤). 1 则X*Y=C(XnY)={1,2,4,5,6,7,8}, 又{1,2,4,5,6,7,8}∩{2,4,7}={2,4,7}， 18.解：(1)由题意知：CRA={xl-3≤x≤7}， 所以(X*Y)*Z=1,3,5,6,8}. 因为(CRA)UB=CRA,故B∈(CRA) 14.由题意知，第一天售出但第二天未售出的商品有17-3 ①当B=☑，即m+1>2m-1时， =14种， 满足BC(CRA),此时m<2; 第二天售出但第一天未售出的商品有13-3=10种， ②当B≠O时，若BC(CRA), 所以前两天共售出的商品有14+10+3=27种， rm+1≤2m-1, 第三天售出14种商品，后两天都售出的商品有5种， 则m+1≥-3，解得2≤m≤4， 所以第三天售出但第二天未售出的商品有14-5=9种， 2m-1≤7， 因为9<14， 综上所述，实数m的取值范围为(-∞，4]. 所以这9种商品都是第一天售出但第二天未售出的商品 (2)因为(CA)∩B={x1a≤x≤b},且b-a≥1， 时，该网店这三天售出的商品种类最少，其最小值为27. 故B≠☑，即m+1≤2m-1, —2 高一数学北师大（必修第一册）第1~4期 解得m≥2，则m+1≥3,2m-1≥3. (2)“线段的长度都能用正有理数表示”为全称量词命题， ①当2m-1≤7，即m≤4时， 它是假命题，如线段的长度也可以是2， (CRA)∩B=B={xlm+1≤x≤2m-1}, (3)“3x>1,x2-2>0”含有存在量词，故它是存在量词 故2m-1-(m+1)≥1，解得3≤m≤4； 命题，当x=3时命题成立，故此命题为真命题， ②当2m-1>7即4<m≤6时， 6.解：(1)若A∩B=B,则BCA, lm+1≤7， (CRA)∩B={xIm+1≤x≤7}， 当B=②时，则2m≥1-m,所以m≥子， 故7-(m+1)≥1，解得4<m≤5； ,2m<1-m, ③当m+1>7,即m>6时，(C4)∩B=⑦，不合题意. 当B≠0时，则2m≥1，则m不存在， 综上所述，实数m的取值范围为[3,5]， 1-m≤3， 19解，0)架合{生2}是复话 综上m≥号肌以AnB≠B,实数m的范国为(-，号) 理由如下： (2)因为Vx1eA,3x2∈B,使得x1=2, 因为15.山，5=15+1,5.-1 所以ACB,且A≠⑦，则 2m≤1， 所以m<-2, 2 2 (1-m>3, 所以年合{之，}是复活集 所以实数m的范围为(-∞，-2). 第2期3,4版 (2)由a1,a2}为“复活集”，设a1+4=aa2=t, 常用逻辑用语同步核心素养测评 因此a1,a2是一元二次方程x-x+t=0的两个不等正根， 一、单项选择题 于是△=2-4t>0,且t>0,解得t>4, 1~4 BDAA 5~8 ADAC 所以a1a2的取值范围是(4，+∞) 提示： (3)不妨设A中元素a,(i=1,2,3)满足a1<a2<a, 1.“东风”是“赤壁之战东吴打败曹操”的必要条件，但不 显然a1a2a3=a1+a2+a3<3a, 是充分条件 因为a,eN,则aa2<3,a1a∈N, 2.哥德巴赫猜想的否定为“至少存在一个大于2的偶数不 所以a1a2=2,且得a1=1,a2=2, 可以表示成两个质数之和” 则2a3=3+a3,解得a3=3, 3.对Hx>3,x>a恒成立，即大于3的数恒大于a,所以 所以“复活集”A={1,2,3}. a≤3. 第2期2版 4.由A=B可得x=x2,解得x=0或x=1. 专项小练一 所以“x=I”是“A=B”的充分不必要条件. 1.B;2.BD;3.B;4.AD; s[-] 5.由a>b+1→a>b,但a>b无法得出a>b+1,(A) 满足；由a>b-1,a2>b2均无法得出a>b,不满足“充分”； 6.解：(1)由1x+1「<2，解得-3<x<1, 由a>b3台a>b,不满足“不必要”. 所以p:-3<x<1, 6.当{x11≤x≤2}时， 当a=2时，x-5<0即x<5,所以q:x<5, 所以同时满足条件P,9的实数x构成的集合即为公共部分 +x-号-a=分(+2-2-@ 的实数x构成的集合， 即为x1-3<x<1 则当x=2时，分+-子-a取得最大值务-， (2)因为p是q的充分条件，且p:-3<x<1,9:x<2a+1, 依题意，多-a≥0，解得a≤子， 所以{xI-3<x<1}≤{xIx<2a+1}, 所以2a+1≥1，解得a≥0， 因此命题“31≤x≤2，分+x-子-a≥0为真命题 故实数a的取值范围是[0，+∞). 专项小练二 的充要条件是a≤弓，(C)错误； 1.C;2.D;3.B;4.BC. 显然a≤0，a≤1分别是该命题为真命题的一个充分不必 5.解：(1)含有量词“至少”，故它是存在量词命题，99既能 要条件，(A)(B)错误； 被11整除，又能被9整除，故此命题为真命题。 a≤3是该命题为真命题的一个必要不充分条件，(D)正确. 高一数学北师大（必修第一册）第1~4期 7.因为A为B的必要条件，B为C的充分条件，C为D的必分成[0]，[1]，[2]，[3]共4类，故Z=[0]U[1]U[2]U 要条件，D为A的必要条件，所以A=B,B→C,C←=D,D=A,即[3]，故(C)正确； A=B与C=D=A 若整数a,b属于同一“类”， 对于(A),若B为C的必要条件，即B=C,则 则a=4n1+k,n1∈Z,b=4n2+k,n2∈Z, A=BC=D=A,所以A、B、C、D互为充要条件，则A、B、C、D中 则a-b=4(n1-n2)+0,所以a-b∈[0]； 的任意一个命题均为A、B、C、D四个命题的必要条件，故(A) 反之，不妨设a=4n1+k1,n1eZ,b=4n2+k2,n2eZ, 正确； 则a-b=4(n1-n2)+(k,-k2), 对于(B),若B为A的必要条件，即B=A,则 若a-be[0],则k-2=0,即k1=k2, A一B一C=D=A,易得B不是C的必要条件，故(B)错误； 所以整数a,b属于同一“类”， 对于(C),若C为D的充分条件，即C→D,则 故整数a,b属于同一“类”的充要条件是a-be[0],即 A=B→CD=A,易得B不是C的必要条件，故(C)错误； (D)正确.故选(B)(C)(D). 对于(D),若B为D的必要条件，即B=D,则 三、填空题 A=B=C=D=A且B=D,易得B不是C的必要条件，故(D) 12.3x>0,使x+1≤√x;13.1;14.a≤1. 错误。 提示： 8.因为p(a,b)=0, 13.由条件p:lx|≤m,可得-m≤x≤m.条件q:-1≤ 所以√a+b-a-b=0,即a2+6=a+b, x≤4，若p是g的充分条件，则-m≥-1，且m≤4，解得0< 显然a+b≥0， m≤1，则m的最大值为1. 所以a2+b2=a2+b2+2ab,所以ab=0,且a≥0，b≥0， 14.若“0是集合M=x1ax2+2x+1=0,aeR}的真 所以p(a,b)=0是a与b互补的充分条件； 子集”， 当a与b互补时，则有a≥0，b≥0，且ab=0, 所以M={xlar2+2x+1=0,a∈R}≠⑦， 所以a,b中至少有一个数为0， 所以方程ax2+2x+1=0有实数解， 所以a2+b2=(a+b)2,即+b2=1a+b1=a+b, 当a=0时，由2x+1=0可得x=分，符合题意： 所以p(a,b)=√+b-a-b=(a+b)-(a+b)=0, 当a≠0时，由4=4-4a≥0可得a≤1，所以a≤1且 所以p(a,b)=0是a与b互补的必要条件， a≠0. 所以p(a,b)=0是a与b互补的充要条件. 综上所述：M={xlaa2+2x+1=0,aeR}≠⑦的充 二、多项选择题 要条件为a≤1； 9.BCD;10.BD;11.BCD. 即“☑是集合M={xIax2+2x+1=0,a∈R}的真子 提示： 集”成立的充要条件为a≤1. 9.“实数都大于0”的含义是“所有实数都大于0”，所以它 四、解答题 的否定应该是“存在实数不大于0”，所以(A)错误； “三角形外角和为360度”的含义是“所有三角形外角和 15解：)当m=子时，8={号≤≤6}， 为360度”，所以(B)正确； 又CA=xIx<-2或x>5}, 同理(C),(D)也正确. 所以(CRA)∩B={xI5<x≤6. 故选(B)(C)(D). (2)因为命题p:x∈A,命题q:x∈B,p是q的必要条件， 10.命题“3x∈M,x>3”为假命题， 所以BCA, 则命题“Hx∈M,x≤3”为真命题，可得MC{xlx≤3}， rm+1≤2m-1, 命题“Hx∈M,x<0或x>1”为真命题， 所以m+1>2m-1或{m+1≥-2， 则MC{xx<0或x>1}, 2m-1≤5， 所以{xIx<0或x>1}∩{xlx≤3}=x1x<0或 解得m<2或2≤m≤3， 1<x≤3}，显然，(B),(D)选项中的集合为x|x<0或1< 所以实数m的取值范围为(-∞，3]. x≤3}的子集.故选(B)(D). 16.解：(1)由条件A={-1<x<3},p是q的充要条件， 11.由2024=4×506可得，2024∈[0]，故(A)错误； 由-2=4×(-1)+2可得，-2∈[2]，故(B)正确； 得4=B,即-m=-1, 解得m=2, lm+1=3, 所有整数被4除所得的余数只有0,1,2,3四种情况，刚好 所以实数m=2. 4 高一数学北师大（必修第一册）第1~4期 (2)由p是q的充分不必要条件，得A军B, 若x+y=0或x+y=1时，显然(x+y)2eA; rm>0, rm >0 若x+y≠0或x+y≠1时，显然(x+y)2∈A, 所以 1-m≤-1，或{1-m<-1,解得m>2, 可得2xy=(x+y)2-x2-y2∈A, *m+1>3 m+1≥3， 所以eA,由(2)得 综上实数m的取值范围是(2，+∞). 2xy 时+站∈4，所以奶后4 17.解：命题“Hm∈R,使得AnB=☑”为真命题. 综上：xy∈A. 当a<0时，集合A=xI0≤x≤a}=☑，符合A∩B 故若x,y∈A,则必有xy∈A. =0: 第3期2版 当a≥0时，因为m2+3>0,所以由Hx∈R,A∩B= 专项小练一 ☑，得a<m2+3, 1.A;2.C;3.ACD; 所以a<(m2+3)n=3,则0≤a<3. 4.a+b+c≤130且abc≤72000； 综上，实数a的取值范围为(-0,3. 5.(-0,-1)U(1,+∞) 18.解：(1)A={x|x2+5x-6=0}={-6,1}, 6.证明：(a+√b)2=a+b+2√ab, 若m=0,则B={x1x2+2x-3=0}={-3,1}, (e+a)2=c+d+2cd, 此时AUB={-6,1,-3}, 由ab=cd,a+b>c+d, 所以AUB的所有子集为☑，{-6}，1}，{-3}，{-6， 得(a+6)2>(+√a)2, 1},{-6,-3},{1,-3},{-6,1,-3 所以a+b>√+a. (2)若“xeA”是“x∈B”的必要条件，只需BCA. 专项小练二 ①若B中没有元素即B=☑， 则4=4(m+1)2-4(m2-3)=8m+16<0, 1.B:2.A;3.BD,47:52万 此时m<-2,满足BCA; 6.解：由x>0, ②若B中只有一个元素，则△=0，此时m=-2. 则B=x1x2-2x+1=0=1},此时满足B二A; 则3x+3x+3.3 ③若B中有两个元素，则4>0，此时m>-2. 因为A中也有两个元素，且B二A,则必有B=A={-6, ③ =2+5, 1}, 2×-32-3 由韦达定理得-6×1=m2-3,则m2=-3,矛盾，故舍去。 当且仅当x=√3时，等号成立， 综上所述，当m≤-2时，B≤A. 所以实数m的取值范围为(-，-2]. 所以a≥ 3x x2-3x+3m =2+5, 19.(1)解：集合B不是“好集”，有理数集Q是“好集”， 故a的取值范围为[2+√5，+0). 理由如下： 因为-1∈B,1∈B,所以-1-1=-2生B, 第3期3,4版 所以集合B不是“好集”. 不等式性质，基本不等式同步核心素养测评 因为0∈Q,1∈Q,对任意x∈Q,y∈Q,都有x-y∈Q, 一、单项选择题 且x≠0时，e0 1~4 BCCA 5~8 BDCD 提示： 所以有理数集Q是“好集” 1.因为a>0,所以a+。+1≥2√a日 +1=3, (2)证明：因为集合A是“好集”，所以0∈A,若x,y∈A, 则0-y∈A,即-y∈A,所以x-（-y)∈A,即x+y∈A. 当且仅当a=上即a=1时取等号. a (3)解：命题为真命题理由如下： 2.若使得该项投资的总收益率是增加的， 若x,y中有0,1时，显然有xy∈A, 下设，y中不存在0,1，由定义得x-1,文∈A, a+x ，(a>0,b>0,x>0),得a>6 则+x>6, 所以士De4则(-)e4 1 3.令x-y=m,2x-y=n,则=n-m, Ly n -2m, 由(2)得x(x-1)+x=x2∈A,同理y2eA. 因为-4≤x-y≤-1，-1≤2x-y≤5， 高一数学北师大（必修第一册） 第1~4期 即-4≤m≤-1，-1≤n≤5， 因为四≤(P） ≤4，且(p△q)2≤p9, 所以2≤-2m≤8，则1≤n-2m≤13，即1≤y≤13. 4.因为a>2,可得p=a+ a-2=(a-2)+1 所以p△q≤2. -2+2 综上(D)正确.故选(D) ≥2√a-2) a-2+2=4, 二、多项选择题 9.ABC;10.BD;11.AC. 当且仅当。-2=，2时，即0=3时，等号成立即p≥4. 提示： 又由9=-b2-2b+3=-(b+1)2+4,所以g≤4， 对(A).因为6>a>1,所以片<日<1，(A0正确： 所以p≥g. 对水).因为c<d<-1,所以>日>-1，()正确： 5因为实数a,6e满足心+≤子e≤1 对(C),因为c<d<-1,所以-c>-d>0, 所以a+b+c≥a+b+4(a2+b2) 所以-bc>-ad,所以ad>bc,(C)正确； 对(D),a=2,b=3,d=-2,c=-3时， a+d=b+c=0,(D)错误. 当a=一=令时等号成立。 故选(A)(B)(C) 10.由题知-2+2<a+b+2a-b<4+8, 所以a+6+c的最小值为-日 所以0<3a<12,所以0<a<4,故(A)正确； 6.因为a2>a1>0,b2>b1>0, 因为-8<b-2a<-2,-4<2a+2b<8, 所以ab1+ab2-(ab2+ab1)=a(b-b1)-a1(b2-b) 所以-12<3b<6,所以-4<b<2,故(B)不正确； =(a2-a1)(b2-b1)>0, a 2b m(a +b)n(2a-b), ab+azb2>ab2 +azb, a +26 =(m 2n)a (m-n)b, m= 5 又a1+a2=1,b1+b2=1, 所以1=(a1+a)(b+b2) 所以=m+2n所以 (2 =m-n, 1 =a1b1+a1b2+a2b1+a2b2 n=-3 =(a1b1+a2b2）+(a1b2+a2b1), 所以a+26=号(a+)-合(2-， 所以2(ab2+a2b1)<(a1b1+a2b2)+(a1b2+a2b1)< 2(a1b1+a2b), 又-9<a+)<9号<2a-号 所以a6+a.b<分，a6,+a4>分，所以B<C<A 所以-<-2a-6)<-子 7.设该直角三角形的斜边为c=2√2，直角边为a,b, 所以-6<a+2b=寻a+b)-合(2a-)<6, 则a2+2=c2=8, 故(C)正确，(D)错误.故选(B)(D). 因为2ab≤a2+b2,所以a2+62+2ab≤2(a2+b2), 11.设从A地到B地的距离为S,S>0, 即(a+b)2≤16， 因为a>0,b>0,所以a+b≤4， 2 2 S(V+V:).T:=- = 当且仅当a=b=2时，等号成立 根据题意可知工=六+=2Y 所以该直角三角形周长为a+b+c≤4+22， 易知满足子（化+）=5则工= 即a=b=2时周长取最大值4+22， 由V>0,V2>0可得， 此时三角形的面积为7×2×2=2 T= y+2≥2s匹-s 2V V 2≥2V1V, E=T2, 8.对于(A)(C),不妨取m=1,n=5,则m△n=1,排除 =+2成E3 S (A)(C): 对于(B),取p=1,9=3,则p7q=3,可排除(B)； 即可得T≥T2≥T3,即(A)正确，(B)错误： 对于(D),因为m+n≥2√mn≥4，且2(m7n)≥m+n, 易知TT3= S(y+V),2S。S2 所以m7n≥2， 2y2·y+7= 6 高一数学北师大（必修第一册） 第1~4期 所以最小值为1+号 +=+ .1 2VV2,+ 四、解答题 2S 15.解：(px+qy)2-(p2+gy2) 4VV2+(y+V2)2 =p(p-1)x2+q(g-1)y2+2pqxy, 2S(1+2), 因为p+q=1,所以p-1=-9,9-1=-p, 所以(px+9y)2-(px2+9y2)=-p四(x2+y2-2xy） =-p9(x-y)2 故选(A)(C) 因为p,9都为正数，所以-pg(x-y)2≤0， 三、填空题 因此(px+qy)2≤px+qy2,当且仅当x=y时等号成立. 2(-2,-3): 12:1+号 16.(1)证明：因为a2+2b2+1-2b(a+1)=a2+262+ 提示： 1-2ab-2b=a2-2ab+b2+b2-2b+1=(a-b)2+(b-1)2 12.由于a>b>c,且a+b+c=0, ≥0， 所以a>0,c<0,b=-a-c, 当且仅当a=b=1时，等号成立， 所以a2+262+1≥2b(a+1). -a-c<a→2a>-c曰￡>-2， (2②解：由题意可得，空=2即a+1+6+1=6, <-2 -a-c>c→-a>2c=a 则a+)(6+1可≤a+1+6+1=3, 2 所以-2<台<- a 当且仅当a=b=2时，等号成立， 设N=✉{2+宁} 所以a+1,b+1的几何平均值的最大值为3. 17.解：(1)因为x,y都是正数 则2x+3y≥2√2x·3y=2√6y,即2√6xy≤3， 3 因x>0y>0,则得2y(告+宁)≤0 解得：≤冬，当且仅当2=3y x=4 时取等号， 义因2y(4+）≥2y·号=8，所以N≥8， y=2 当且仅当：=2专+宁=2即=2=1时等号成立， 所以的最大值为号 放m,2号+宁}的最小值为2 (2公)由y都是正数，且x>y+安2可得： 14.易知△BDE△ACB,△GFH△ACB, *y=y*2y=-*2)(+分)-2 且BD=CD-BC=b-a,GF=a, 所0片+名宽号么 3 2 所以4=b,”x(a+b+c),4=合×(a+6+c), 时等号成立， b 当且仅当，，= y=2 所以+女=4+6+c-1+尽+E a +b a+b a +b 所以x+y的最小值为2. a2+62 18.解：(1)设公寓窗户面积与地板面积分别为am2,bm, 1 =1+√a+6+2ab =1+ 2ab 1+ a2+6 则/子≥10%， 又因为a2+≥2ab,所以2ab a+b=220, a2+6s1, 当且仅当a=b时取等号， 所以6≤102%=10a,所以a+6=20≤a+10a, 所。治≥1+乐-1+ 1 所以a≥20. 2 所以这所公寓的窗户面积至少为20平方米 高一数学北师大（必修第一册）第1~4期 (2)设a和b分别表示公寓原来的窗户面积和地板面积，n 故a的取值范围为(-6,2). 表示窗户和地板所增加的面积（面积单位都相同）， (2)当a=0时，y1=x2,y2=3>0,符合题意； 由题意得：0<a<b,n>0, 当a<0时，由y1=x2-2ax>0,解得x<2a或x>0, 则g+n-g=ab+b加-ab-an=n(b-a 故当2a≤x≤0时，2=ax+3-a>0恒成立，而y2在 b+n b b(b+n) b(b+n)' R上随x的增大而减小，故只需y3的最小值大于0，即3-a> 因为b>0,n>0,所以b(b+n)>0, 0,而由a<0,得3-a>0,故a<0符合题意： 又因为a<b,所以n(b-a)>0, 当a>0时，由y=2-2ax>0,解得x<0或x>2a, 因哈+日-合>0，+投>台 b+n 故当0≤x≤2a时，y2=ax+3-a>0恒成立，而y2在 所以窗户和地板同时增加相等的面积，公寓的采光条件变 R上随x的增大而增大，故只需y2的最小值大于0，即3-a> 好了. 0,解得0<a<3, 19.（1)解：由x2-1比1远离0， 综上a的取值范围是(-∞，3). 则1x2-1-01>11-01, 第4期3,4版 解得x<-√2或x>√2， 预备知识核心素养综合测评 所以x的取值范围是(-∞，-√2)U(2,+0) 一、单项选择题 1~4 ACDD 5~8 ADCC (2)证明：若证a3+b3比a2b+ab2远离2ab√ab, 提示： 即证1a2+b2-2ab√ab1>1a2b+ab-2ab√ab1, 1.由(x+1)(x-3)<0,可得-1<x<3. 因为a≠b,a>0,b>0. 则a3+b>2a6=2ab√ab, 2由x≠0，可得2>0.则2+≥2√F 2=2, 且a2b+ab2>2ab=2ab√ab, 当组仅当即x=士1时，等号成立， 所以即证a3+b-2ab√Jab>a2b+ab2-2ab√ab, 即证a3+b3>a2b+ab2, 放+的最小值为2. 又a3+b3-(a2b+ab2)=(a-b)2(a+b)>0, 3.对于(A),由a<0<b两边同乘以a,得a2>ab,故(A) 所以a2+b3>a2b+ab2, 错误； 即1a3+b3-2abab1>1a2b+ab2-2ab√/ab1, 对于(B),(C),a2-b2=(a+b)(a-b),因为a<0<b, 即a3+6比a2b+ab2远离2ab√ab. 所以a-b<0,但a+b的符号不确定，故(B),(C)错误； 第4期2版 对于(D),a<0<b两边同乘以b,得ab<b2,故(D) 正确， 专项小练 4.因为MCA≤N, 1.C:2.B:3.A;4.B;5.D:6.ABD: 所以A可以是1,2,3}，{1,2,3,4}，1,2,3,0}，1,2,3， 7.C;8.0. 7},{1,2,3,0,4},{1,2,3,0,7},1,2,3,4,7},{1,2,3,0,4, 9.解：(1)由题可知x1=1,x2=b是方程ax2-3x+2= 7},共8个，故选(D) 0的两个解，且a>0, 5.因为PnQ=Q,所以Q≤P, 1+6=3 所以 解得01， 又因为P≠Q,所以Q军P 1×6=2 1b=2. (A)因为QP,所以VxeQ,有x∈P,正确； (B)因为Q军P,所以不存在xP,使得x∈Q,不正确； (2)由(1)知原不等式为x2-(m+2)x+2m<0, (C)因为Q军P,所以不存在x∈Q,使得x生P,不正确； 即(x-m)(x-2)<0, (D)若Q={1,2},P={1,2,3},显然4Q,4生P,不 当m>2时，不等式的解集为x|2<x<m; 正确， 当m=2时，不等式的解集为☑； 故选(A). 当m<2时，不等式的解集为xm<x<2}. 6.由x+2≤0得x≤-2， 10.解：(1)由题意可得y1+2=-ax+3-a>0恒成立， 所以不等式x2+(a+1)x+a≤0的解集是{xlx>-2} 则4=(-a)2-4×1×(3-a)<0, 的子集 即a2+4a-12=(a+6)(a-2)<0,解得-6<a<2, 由x2+(a+1)x+a≤0，得(x+a)(x+1)≤0， —8 高一数学北师大（必修第一册）第1~4期 当a=1时，xe{-1}C{x|x>-2},符合题意； 由定义可知A-B=A时，x∈A→x∈A-B→xB,所以An 当a>1时，xe{xl-a≤x≤-1}C{xlx>-2}, B=☑，故(B)正确；当A-B=☑时，x∈A→x∈B→ACB, 则-a>-2,1<a<2: 故(D)正确.故选(B)(D): 当a<1时，xexl-1≤x≤-a}二{xlx>-2},符 10.对于(A),当m=0时，不成立，故(A)错误； 合题意， 对于(B),当c<0时，不成立，故(B)错误； 综上所述，实数a的取值范围为(-0,2)， 对于(C),由ab>0知a,b同号， 7.因为a2+62=k,所以a2+(b2+1)=k+1, 当a>b>0时，日<合 所以+（云2）（告 当6<a<0时，片<合放C)正确： 9 4(6+1 9a2 a a2 62+1 对于(D),由ab>0知a,b同号， +13=25, 当a,b<0时，a2>b2等价于a<b<0, 当仅心= 所以片>合，故(D)信误故选(A)(B)(D)。 a 即3动=2（公+D=号(k+)时等号成立. 11.对于(A),f(2,4)=2×(1+4)=10, f4,2)=4×(1+2)=12, 哈+云≥ 9 25 即f2,4)<f4,2),故(A)错误； 由题症可得：克≥1，又>0，解得0<4长24， 对于(B)(）=1+)=文+x≥2 故k的最大值为24. 当且仅当文=，即x=1时，等号成立，放(B)正确： 8令y=(4+m-2)(3x+n-D. 对于(C)f(x-a,2x)=(x-a)(1+2x)=2x2+(1- 2a)x-a≥-a-2恒成立， 若n>子，则e[m,， 即2x2+(1-2a)x+2≥0恒成立， 则4=(1-2a)2-16≤0， 于是(m-4)(n-4) <0,与题意矛盾， 解得-子≤a≤号，故(C)错误： 所以n≤4， 1 对于(D),由题可知存在x≥2，使得2x2+(1-2a)x+2≤ 此时3数+n-1<n-1≤0，那么4状+m分≤0恒成立， 0成立， 设y=2x2+(1-2a)x+2,因为x=0时，y=2>0, 代人mn知4m2+m-≤0，解得-立≤m 1 1 2a-1<2, 则①4 所以-子≤m≤n≤子， 2×22+(1-2a)×2+2≤0， 所以A-m≤子-()=圣 2a-1≥2， 或②4 4=(1-2a)2-16≥0， 当m=-=时。 由①解得350<号.由②解得a产 9 y=(4-0(3x-子）=12(-3)(x-)(+ 综上，得a的取值范围是[3，+o),故(D)正确. 故选(B)(D). 分）=0对V:e{-分≤x≤号}何成立，满足题意， 三、填空题 综上可得，n-m的最大值为子 12-2:1B.414[-2,-3） 二、多项选择题 提示： 9.BD;10.ABD;11.BD. 12.由题意可知2-ax+b=0有两个实数根x1=-1,x2 提示： =2, 9.当A={1,2},B=3}时，A-B=A,B≠0，故(A)错 由根与系数的关系，则x2=b=-2. 误；当A=1},B=1,2}时，A-B=O,A≠B,故(C)错误； 13.因为abc=2a+b+c,2a+b=2ab, 9 高一数学北师大（必修第一册） 第1~4期 所以c=2a+b=2ab ab-1ab-1s、3 当a≠0时，>0， 解得0<a≤4， l4=a2-4a≤0， 所以A={a10≤a≤4}. 又2ab=2a+b≥2√2a·b, 18.解：(1)因为y=x2-(a+4)x+4a=(x-4)(x-a), 解得ab≥2，所以c≤4，c的最大值为4. 所以y<0,即(x-4)(x-a)<0. 14.因为T=(1,-1)=-2,T(4,2)=1, 当a=4时，不等式y<0的解集为☑； 所写片-2，投治=1，解得a=16=3。 当a>4时，不等式y<0的解集为xI4<x<a}; 当a<4时，不等式y<0的解集为x1a<x<4}. 所以T2m.5-4m）=2mt3x5:4m）≤4， (2)由题意，关于x的方程x2-ax+4a=0有两个不等的 4m+5-4m 正根， 解得m≥宁 r4=a2-16a>0, 由韦达定理知{ m+n=a>0,解得a>16. Tm,3-2m)=m+3×(3,2m>P,解得m<9-3P mn=4a>0, 2m+3-2m 51 因为不等式组恰有3个整数解， 则1 十 m n nm 所以2<9,3P≤3，即-2≤P<-分 5 m+4=4+4)(+）=45+0+）： 则实数P的原值范用是【-2，~专) 因为m>0,n>0,所以0+只≥2√册·费 4n.m=4, m n 四、解答题 当且仅当m=2m,且 11 15.解：(1)因为命题“x∈R,不等式x2-2x-m≤0”成 m+元=4， 立是假命题，所以命题的否定“VxeR,不等式2-2x-m> 即m=12,n=6时，等号成立， 此时a=18>16,符合条件，则m+4n≥36. 0”成立是真命题，即4=4+4m<0,解得m<-1,所以实数 综上，当且仅当a=18时，m+4n取得最小值36. m的取值集合A={mlm<-1}. 1 (2)因为集合B={mla-4<m<a+4},又由题知集 19解01。+中=中+中行 合B是集合A的真子集，即4+a≤-1，解得a≤-5，所以实数 =6 a的取值范围是(-∞，-5]. 46+6=1 16解：(1)由题意，x万元投人A产品， (2)因为abc=1, 所以原方程可化为ab+a+ac+c+b+ 5ax 5bx 则100-x万元投入B产品，则 y=m+为=18-0+0 5bex 5 b(ca+c+1)=1, =38-180-x 元+10-5，t∈(0,100). ++5=1, 5bx 5bcx (2)由(1)得，y=38-180 /180 x+10-5 -=40- x+l0+ 所以3c送=1，即5x=1,解得=分 1 +b +bc )0-2×号 =28, 的。6+1器0别 (3)M=ab+1 b 当组仅当，。专0即=20时等号成立 =125+36+12 b 2h+g+3 所以当x=20时，公司利润最大. 17.解：(1)因为x1,x2是方程ax2-ax+1=0的两个不等 因为26+占≥2√26·石=22，当组仅当26=六 实根，所以a≠0,4=a2-4a>0,所以a<0或a>4,x1+为 =16=女所以写+写=（禹+户-245=1- 即6、。 。=名=厅时，等号成立， a 2<0. 因为名>0或-分< 所以2b+÷有最小值2万， 此时 1 有最大值3-22， 所以1->1或<1-<1 2b++3 a 所以号+号的取值范用为（分，1）U1,+∞)。 从而1-1 26+ 有最小值22-2， 6+3 (2)若非P为真命题，所以Hx∈R,ax2-ax+1≥0恒成立， 1 当a=0时，1≥0恒成立； 即M=+。++2%有最小值25-2 10