第3期 不等式-【数理报】2025-2026学年高一数学必修第一册同步学案（北师大版）

17.(15分)已知x,y都是正数 18.(17分)一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面 19.(17分)若实数x,y,m满足1x-m1>1y-m1,则称x比 (1)若2x+3y=3,求xy的最大值： 积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，而且这个比值越大， y远离m. 2)若，)+分=2，且x>,求+的最小值 采光效果越好.设某所公寓的窗户面积与地板面积分别为am2,bm2, (1)若x2-1比1远离0，求x的取值范围； (1)若这所公寓的窗户面积与地板面积的总和为220m2,求这 (2)对任意两个不相等的正数a,b,证明：a+b比aub+ab2远 所公寓的窗户面积至少为多少平方米； 离2ab√ab (2)若同时增加窗户面积和地板面积各nm,判断这所公寓的 采光效果是否变好了，并说明理由. 高中数学·必修第一册（北师大版）同步核心素养测评 高中数学·必修第一册（北师大版）同步核心素养测评 参考答案见下期 本版责任编辑：郭晓红 报纸编辑质量反馈电话： 高中数学 0351-5271268 装理极 2025年7月18日·星期五 报纸发行质量反馈电话： 第 3期总第1147期 北师大 0351-5271248 必修（第一册） 名片 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社编辑出版社长：徐文伟 国内统一连续出版物号：CN14-0707/川F)邮发代号：21-167 秘书恭谨地把名 一、利用不等式的性质比较大小 片交给埋头于文件堆 例1已知a>0,试比较a与1的大小 中的董事长，和平时一 不等金恒城立问题东解策略 思路分析： 样，董事长不耐烦地把 作差→变形一时论→定号→结论 名片丢回去。很无奈， 山东关丽萍 秘书把名片退回站立 不等式中恒成立问题是高中学习常见的问 第三招：利用判别式求恒成立问题 解：因为a-1=。-1-a-1)a+) 在门外的业务员。业务 题，由于这类问题难度大，不容易理清头绪。下 例3不等式(m-2)x2+2(m-2)x-4< a>0. 0对于x∈R恒成立，则实数m的取值范围为 员不以为然地再把名 面就这类问题及其求解思路作简单介绍 所以当a>1时，a-)(a+)>0,有a 第一招：变更主元法 a 片递给秘书：“没关系 处理含参不等式恒成立的某些问题时，若 (A)(-0,2] (B)(-∞，-2] 7 我下次再来拜访，所以 能适时地把主元变量和参数变量进行“换位”思 (C)(-2,2] (D)(-2,2) a i 还是请董事长留下名 考，往往会使问题降次、简化 分析：求解此题的关键一是要清楚一元二 当a=1时，a-1a+山=0，有a= 片。 例1若不等式2x-1>m(x2-1),对满足 次不等式解集为R的条件，二是要注意题目并 -2≤m≤2的所有m都成立，求x的取值范围. 没有说不等式是一元二次不等式 当0<a<1时，a-)(a+山<0，有a 拗不过业务员的 坚持，秘书硬着头皮 分析：这是一个关于x的二次不等式恒成立 解：①当m-2=0,即m=2时，原不等式 1 为-4<0，显然其解为全体实数，故m=2满足 再进办公室。董事长火 的问题，但若以x为主元考虑解题将非常复杂， e 题意 若变换思路，以m为主元便可构建m的一次函 综上，当a>1时，a> 1 大了，将名片一撕两 ②当m-2≠0，即m≠2时， :当a=1时，a= a 数，使问题容易求解. 半，丢回给秘书。秘书 若不等式(m-2)x2+2(m-2)x-4<0对 解：原不等式化为(x2-1)m-(2x-1)<0, 当0<a<1时，a< 于x∈R恒成立， 不知所措地愣在当场 令f(m)=(x2-1)m-(2x-1), 多 董事长更气，从口袋里 则问题转化为求一次函数f(m)在-2≤m 「m-2<0, 拿出十块钱：“十块钱 ≤2内恒为负值时x应满足的条件， 4=[2(m-2)]2-4(m-2)×(-4)<0 例析 买他一张名片，够了 即-2)=-2(x2-1)-(2x-1)<0, 解得-2<m<2. /2)=2(x2-1)-(2x-1)<0, 综合①②得，-2<m≤2.故选(C). 不等式性质的应用 岂知当秘书略带 解得1+万<x<1+区 点评：对于涉及含有字母系数的“一元二 2 2 ⊙山西郭海燕 歉意地递还给业务员 次”不等式在解答时一定要注意其二次项系数 点评：本题通过主变量与参变量的转化，抓为零的情况. 二、利用不等式的性质证明不等式 名片与十元钱后，业务 住了问题的本质，寻找到解题的最佳切入，点 第四招：实根分布法 员反而很开心地高声 例2已知a>b>0,c<d<0,证明： 第二招：分离参数法 例4设函数f(x)=x2+x-2,若f(x)>a: 说：“请您跟董事长说， 若能把不等式中的参数a与未知数x完全 -5,当0<x<2时恒成立，求实数a的取值范围 十块钱可以买两张我 分离出来，得到不等式a>f(x),或a<f(x),则 分析：求解指定区间上的一元二次不等式 a>f八x)恒成立a>f(x)mx;a<f(x)恒成立 恒成立问题时，常需运用“三个二次”的辩证统 的名片，我还欠他一 证明：-分-（←）=二ac- 台a<f八x)mim 一关系，借助二次函数的图象和从动态到静态 张。”随即，又掏出一张 因为c<d<0,所以-c>-d>0, 名片交给秘书。 例2若-3<x<1时，不等式(1-a)x2- 的思维方式，结合方程f(x)-(ax-5)=0在0 又因为a>b>0,所以-ac>-bd>0,即 4x+6>0恒成立，求实数a的取值范围. <x<2内实根分布情况去确定不等式f(x)> ac-(-bd)>0,又cd>0,所以 秘书又拿了一张 ax-5恒成立的等价条件 分析：将参数α分离，借助求函数值域的方 名片走到董事长面前， 解：由f(x)>ax-5得x2+(1-a)x+3>0. 二c二d>0,所以-日-(）>0，所 法求解. de 把门外业务员的话转 故原问题等价于h(x)=x2+(1-a)x+3 解：不等式变形为ax2<x2-4x+6,-3< 以- >0>即 b 3 a >0在0<x<2上恒成立. >- 告给了坐在办公室里 c x<1, 而h(x)=x2+(1-a)x+3是开口向上， 3 的董事长，董事长听到 当x=0时，a×0<6恒成立，即a为一切 源m源招 a 3 a 实数 对称轴为：=4,1的抛物线 以后哈哈大笑，他离开 2 三、利用不等式的性质求范围 办公桌走了出来：“和 当x≠0时，a<-4+6,即a< 64 故原恒成立问题等价于下面三类情况： 例3已知二次函数f(x)=ax2+bx,且满足 这样的业务员谈生意 ①若x=a,1≤0，则h(0)=3>0恒成 +1, 2 1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4，求f(-2)的取 一定很愉快！” 立，所以a≤1恒成立； 值范围 它在-3<x<0或0<x<1上恒成立. 大启示：上帝给每 x2 x @若“ 解：由fx)=ax2+bx, ≥2，即a≥5时，则h(2) 个人的机会都是平等 得1)=a+6, 又因为《-或 9-2a>0.此时a∈☑； /(-1)=a-b, 的，如果因为你不积极 1 .1 >1. ③当4=(1-a)2-12<0时，不等式f(x) a= 2/1)+-1)], 而失去的话，那将是一 所以g(x)>3, >ax-5恒成立，解得-25+1<a<25+1. 所以 件十分遗憾的事 即实数a的取值范围为(-o,3]. 综合①②③得实数a的取值范围为(- b=--11 点评：涉及恒成立不等式中变量的取值范23+1). 因为f(-2)=4a-2b=3f-1)+f(1), 围问题，利用分离参数的方法，常常可以发现隐 点评：从实数根的分布这种方法求解是常 又1≤f(-1)≤2,2≤f1)≤4， 含的方法，使问题得以轻松解决， 用方法，同学们平时要认真体会 所以5≤f(-2)≤10. 2 素养专练 数理极 专项小练一、不等式性质 部尺寸长、宽、高分别记为a,b,c(单位：cm),这个 专项小练二、基本不等式应用 规定用数学关系式可表示为 1.已知a,b∈R,a>b,则下列不等式一定成 5.已知A=1+a,B=1-a,C=1+a2,D= 1.函数y=x+ 立的是 ( ）1-a2为四个互不相等的实数.若A,B,C,D中C最 x+行在x≥0上的最小值是 (A)a+1>b+1(B)2a<2b 大，则实数a的取值范围为 () (C)a+1<b+1(D)a<b-1 6.设a,b,c,d均为正数，ab=cd且a+b>c (A)-2(B)1 (C)2 (D)3 2.已知a<0,6<-1,则下列不等式中正确的+d山，证明瓜+万>E+瓜. 2.阿基米德有这样一句流传很久的名言：“给 是 () 我一个支点，我就能撬起整个地球！”这句话说的 (A)a ab ab2 (B)ab2 ab >a 便是杠杆原理，即“动力×动力臂=阻力×阻力 (C)ab a ab2 (D)ab ab2>a 臂”.现有一商店使用两臂不等长的天平称黄金， 3.(多选)已知实数a,b满足a>b2+1,则下 一位顾客到店里购买12g黄金，售货员先将6g的 列不等关系一定正确的是 () 砝码放在天平左盘中，取出xg黄金放在天平右盘 (A)a >2b (B)a>2b+1 中使天平平衡：再将6g的砝码放在天平右盘中 (C)a>b-1 (D)2a>b2-b+1 取yg黄金放在天平左盘中使天平平衡，最后将称 4.铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐 得的黄金交给顾客，则下列选项正确的是() 动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超 (A)x+y>12 (B)x+y=12 过130cm,且体积不超过72000cm3,设携带品外 (C)x+y<12 2期2版参考答案 (2)因为命题p:xeA,命题g:xEB,p是q的必要条件， (D)以上选项都有可能 专项小练一 所以BCA, 3.（多选)已知a,b,c均为不等于零的实数， LB:2:3B:4A:5[分号] ,m+1≤2m-1, 所以m+1>2m-1或{m+1≥-2， 号=}+之则下列法工确的足 且满足2 6.解：(1)由1x+11<2,解得-3<x<1, 2m-1≤5， ( 所以P:-3<x<1, 解得m<2或2≤m≤3， (A)b≤ac 当a=2时，x-5<0即x<5,所以9：x<5, 所以实数m的取值范围为(-∞，3]. (B)当ac=1时，b的最大值为1 所以同时满足条件P,9的实数x构成的集合即为公共部分的实 16.解：(1)由条件A={-1<x<3引，P是g的充要条件， (C)当a+c=2时，b的最大值为1 数x构成的集合， 得A=B即-n1解得m=2之， 即为x1-3<x<1{. lm+1=3, (D)当a2+c2=2时，b的最大值为1 (2)因为p是g的充分条件，且p:-3<x<1,9x<2a+1, 所以实数m=2. 所以x1-3<x<1|C{x1x<2a+1 (2)由P是q的充分不必要条件，得A手B, 4已知实数a>0>4,且a-6=5,则，十 所以2a+1≥1，解得a≥0， rm>0, rm>0, +2-6的最小值为 1 故实数a的取值范围是[0，+∞). 所以{1-m≤-1，或{1-m<-1,解得m>2, 专项小练二 m+1>3 m+1≥3， 5.已知a>0,b>0,且ab=a-b+3,则a 1.C;2.D:3.B;4.BC 综上实数m的取值范围是(2，+0). +b的最小值为 5.解：(1)含有量词“至少”，故它是存在量词命题，99既能被 17.解：命题“Hm∈R,使得A∩B=⑦”为真命题. 11整除，又能被9整除，故此命题为真命题. 当a<0时，集合A={xl0≤x≤a=0,符合AnB=⑦： 6若对忘>0≥+3恒成立，求 (2)“线段的长度都能用正有理数表示”为全称量词命题，它 当a≥0时，因为m2+3>0,所以由HxeR,A∩B=⑦， a的取值范围 是假命题，如线段的长度也可以是2. 得a<m2+3, (3)“3x>1,2-2>0”含有存在量词，故它是存在量词命 所以a<(m2+3)mn=3,则0≤a<3. 题，当x=3时命题成立，故此命题为真命题 综上，实数a的取值范围为(-0,3). 6.解：(1)若A∩B=B,则BCA, 18.解：(1)A=x1x2+5x-6=01={-6,1|, 当B=0时，则2m≥1-m,所以m≥分 若m=0,则B=xlx2+2x-3=0=-3,1|, 此时AUB={-6,1,-31, 2m<1-m, 所以AUB的所有子集为0，-61,11，{-3引，{-6,1，{- 当B≠⑦时，则2m≥1，则m不存在 数理报社试题研究中心 6,-3,1,-3,{-6,1,-3. 1-m≤3， 参考答案见下期 (2)若“xEA”是“xEB”的必要条件，只需BCA 综上，m≥子，阴以AnB≠B,实数m的范时-，了】 ①若B中没有元素即B=O, 所以有理数集Q是“好集” 则4=4(m+1)2-4(m2-3)=8m+16<0, (2)证明：因为集合A是“好集”，所以0∈A,若x,y∈A, (2)因为Hx1∈A,3x2∈B,使得=x2, 此时m<-2,满足BCA; 所以ACB,且A≠O,则2m≤1，、所以m<-2, 则0-y∈A,即-y∈A,所以x-(-y)∈A,即x+y∈A ②若B中只有一个元素，则4=0，此时m=-2. 1-m>3, (3)解：命题为真命题理由如下： 则B={x1x2-2x+1=01=1,此时满足BCA: 所以实数m的范围为(-，-2). 若x,y中有0,1时，显然有xy∈A, ③若B中有两个元素，则4>0，此时m>-2. 2期3,4版参考答案 因为A中也有两个元素，且BCA, 一、单项选择题 下设xy中不存在0.1，由定义得x-1,e4 则必有B=A={-6,11, 1 ~4 BDAA 5~8 ADAC 由韦达定理得-6×1=m2-3,则m2=-3,矛盾，故舍去 航以士士-eA,则x-1）eA 二、多项选择题 综上所述，当m≤-2时，BCA. 9.BCD;10.BD;11.BCD. 由(2)得x(x-1)+x=x2∈A,同理y2∈A. 所以实数m的取值范围为(-∞，-2]. 三、填空题 若x+y=0或x+y=1时，显然(x+y)2∈A; 19.(1)解：集合B不是“好集”，有理数集Q是“好集” 12.3x>0,使x+1≤；13.1；14.a≤1. 若x+y≠0或x+y≠1时，显然(x+y)2∈A, 理由如下： 四、解答题 因为-1∈B,1∈B,所以-1-1=-2B, 可得2y=(x+y)2-x2-y2∈A, 15解：0)当a=子时，B={是≤≤6} 所以集合B不是“好集”. 肥站人2)得时六+六A所联ye 因为0∈Q,1∈Q,对任意x∈Q,yeQ,都有x-yeQ, 又CRA={xlx<-2或x>5引， 综上：xy∈A. 所以(CRA)nB={x|5<x≤6. 且x≠0时，士∈Q 故若，y∈A,则必有y∈A 8.设m,n∈R,定义运算“△”和“7”如下：m△n=蘅芳、何梦瑶等都通过出入相补原理创造了不同的面积证法证明了勾 不等式性质，基本不等式 m,m≤，mn= [,m≤，若正数m,n,P,9满足mn≥4，p+9≤ 股定理.在图1，图2中，若AC=b,BC=a(b≥a),AB=c,图1，图2 n,m n, m,m n, 同步核心素养测评 4,则 中两个阴影三角形的周长分别为1,4，则老的最小宜为 (A)m△n≥2，p△g≤2 (B)mVn≥2，p7g≤2 ⊙数理报社试题研究中心 (C)m△n≥2，p7g≤2 (D)m7n≥2，p△g≤2 四、解答题：本题共5小题，共77分 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分 15.(13分)当p,9都为正数且p+g=1时，试比较代数式(px+ 第I卷选择题（共58分) 9.若b>a>1,c<d<-1,则 qy)2与px2+qy2的大小. 、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1 (A)a <1 (B)1 1.已知a>0,则a++1的最小值为 。>a>-1 L (C)ad >be (D)a+d xb+c (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 10.已知-2<a+b<4,2<2a-b<8,则下列不等式不正确 2.某体育器材公司投资一项新产品，先投资本金a(a>0)元，得 的是 高中数学 到的利润为(6>0)元，收益率为么(%)，假设在该投资的基础上。 (A)0<a<4 (B)0<b<2 (C)-6<a+2b<6 (D)0<a+2b<8 此公司再追加投资x(x>0)元，得到的利润也增加了x元，若使得该 1山.小王小张、小李三名同学同时从小区门口A地沿同一条路按 必 项投资的总收益率是增加的，则 ( 修第 (A)a≥b 三种不同方式到达学校门口B地，用时（单位：秒）分别为T,T2,T· (B)a≤b 小王有一半的路程以速度V,(单位：米/秒)奔跑，另一半的路程以速 册 (C)a>b (D)a <b 北 3.已知实数x,y满足-4≤x-y≤-1，-1≤2x-y≤5，则y 度V,(单位：米/秒)奔跑；小张全程以速度√T(单位：米/秒)奔 参 的取值范围是 跑；小李有一半的时间以速度V(单位：米/秒)奔跑，另一半的时间 高中数学·必修第一册（北师大版）同 (A)[0,9] (B)[-5,4] 以速度V(单位：米/秒)奔跑.其中y>0,V2>0.则下列结论中 16.(15分)(1)已知a,b∈R,求证：a2+2b2+1≥2b(a+1),并 同 (C)[1,13] (D)[0,13] 定成立的是 写出等号成立的条件； 核 (2)若正数a,b的算术平均值是2，求a+1,b+1的几何平均值 4.已知p=a+ 。-2a>2),9=-b-2b+3(6eR),则p,9 (A)T1≥T2≥T3 (B)T,≤T2≤T 步核、 的最大值 (C)TT =T 素养测评 的大小关系为 心素养测 (A)p≥q (B)p≤q (C)p>9 (D)p<q 5.已知实数ab,c满足d2+≤子c≤1，则a+b+c的最小值 第Ⅱ卷非选择题（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (B)- 12.已知有理数a,b,c,满足a>b>c,且a+b+c=0,那么。的 6.已知a2>a1>0,b2>b1>0,且a1+a2=b1+b2=1,记4 取值范围是 1 ab+,b,B=ab,+abi,C=之，则A,B,C按从小到大的顺序 13.mxx1,x2,x3}表示三个数中的最大值，对任意的正实数x,y, 排列是 则ma{x,2+}的最小值是 4 (A)A<B<C (B)B<A<C 14.出入相补是指一个平面（或立 (C)C<B<A (D)B<C<A 体)图形被分割成若干部分后面积（或 7.如果一个直角三角形的斜边长等于22，则当这个直角三角形 体积)的总和保持不变，我国汉代数学 周长取最大值时，其面积为 家构造弦图，利用出入相补原理证明了 (A)2 (B)1 (C)2 (D)6 勾股定理，我国清代的梅文鼎、李锐、华 图2高一数学北师大（必修第一册）第1~4期 数理括 答案详解 2025~2026学年 高一数学北师大（必修第一册）第1~4期(2025年7月) 3.由韦恩图可知，阴影部分表示(CB)∩A, 第1期2版 CB={1,3},所以(CB)∩A={1 专项小练一 4.根据空集概念可知0⑦，故(A)错误；因为2+1=0 1.ACD;2.D;3.B;4.{(1,-2)};5.6 无实根，所以x1x2+1=0}=0,且00，故(B)错误；空 6.解：(1){x∈R11<x<10 集是任何非空集合的真子集，故(C)正确；当A=B时，A∩B (2)集合的代表元素是点，用描述法可表示为 =AUB,故(D)错误 {(x,y)1x<0,且y>0. 5.若ACB,则2≤a.故选(D) (3)xl x=3n+1,nE N. 6.由题意，集合M={x1-1≤x≤4}，V={x1x<2}, 专项小练二 则MUW={xlx≤4}，MnN={xl-1≤x<2}, 1.D:2.CD;3.B;4.[0,4];5.①③. 所以M☒N={x I x E M U N且x年MnN}={xIx 6.解：(1)由题知，A={x1-2≤x≤5}， <-1或2≤x≤4} 当xeZ时，A={-2,-1,0,1,2,3,4,5}共8个元素， 7.A={(x,y）12x-y+m≥0，CB={(x,y）1x+y-n≤ 所以A的非空真子集的个数为2-2=254个 0}, (2)由题知，显然m-1<m+1,因为B二A, 由于P(2,3)eA∩(CB), 所以m+1≤5，解得-1≤m≤4， 所以2×2-3+m≥0，则m≥-1， lm-1≥-2， 2+3-n≤0， ln≥5， 所以实数m的取值范围是[-1,4]. 所以m+n≥4，即m+n的最小值为4. 专项小练三 8.由题可得x=√5,2，√2+n,√1+n, 1.D;2.BCD;3.A;4.8;5.{-3,-1,0,1,2. 又集合A⊙B有3个元素， 6.解：(1)因为AUM=R, 当2=√2+n,即n=0时， 所以s0, 解得-3≤a≤0， A⊙B={5,√2,1}满足题意； la+8≥5， 当2=√个+n,即n=1,n=-1(舍去)时， 所以实数a的取值范围是[-3,0]. (2)CM={xI0≤x≤5}， A⊙B={5,√2}，不符合题意； 因为BU(CM)=B,所以CMCB, 当5=√1+n,即n=±√2时， 所以 8-b<0解得b>8, A⊙B={5,2,2}满足题意； b>5, 当5=2+n,即n=1,n=-1(舍去)时， 所以实数b的取值范围是(8，+∞). A⊙B={5,√2}，不符合题意. 第1期3,4版 综上，ne{0,2,-2}, 集合同步核心素养测评 故所构成集合的非空真子集的个数为23-2=6. 一、单项选择题 二、多项选择题 1 ~4 ACCC 5~8 DCCB 9.AC;10.BD:11.BCD. 提示： 提示： 1.由题意可得A=0,1,2,3,4},所以A二B. 9.因为M军P, 2.由题意可知B≤A, 所以MUP=P,故(A)正确； 则AUB=A={x∈RIx≠3} 因为M军P,所以P口M=M, 高一数学北师大（必修第一册）第1~4期 而M至V,故(B)错误； 四、解答题 因为NP, 15.解：(1)由题得a2+4a+2=7,解得a=1或a=-5. 所以CRP手CRN,故(C)正确； 因为a>0,所以a=1.当a=1时，B={0,7,3,1}. M军N,如右图所示， (2A中的元素是x=1。白，。eB a 所以N∩CRM表示的集合为①，不是空集，故(D)错误. 故选(A)(C) 所以a1。-6>4,即1-2沙>4所以6<-子 a 10.由已知条件可得A*B=1,2,3,4,5}. 0E(A*B),(A)错； 所以实数6的取值范图是(-”，-号) U={1,2,3,4,5},则CB={3,4,5}, 16.解：满足{3}B≤{3,4,5}的集合B可以是3,4}， 故(CB)∩A={3},(B)对： {3,5},{3,4,5}.U={1,2,3,4,5,6,7,8,9},A={2,4,6,8}, BCM≤(A*B),即1,2}二MC1,2,3,4,5},则满足 (1)填“B=3,4}”时，可得AUB=2,3,4,6,8, 条件的集合M有：1,2}，1,2,3}，1,2,4}，{1,2,5}，1,2， 因为CB=1,2,5,6,7,8,9}, 3,4,{1,2,3,5},{1,2,4,5},{1,2,3,4,5},共8个，(C)错： 所以An(CuB)=2,6,8}; A*B中所有元素之和为1+2+3+4+5=15，(D)对. (2)填“B=3,5}”时，可得AUB=2,3,4,5,6,8, 故选(B)(D). 因为CB=1,2,4,6,7,8,9}, 11当a=0时，B={0},BCA,所以A与B构成“全食”； 所以An(CB)={2,4,6,8}; 当a>0时，B={。a}如果a=1,则-日=-1 (3)填“B={3,4,5}”时，可得AUB=2,3,4,5,6,8, 因为CB={1,2,6,7,8,9,所以An(CB)=2,6,8. B:-1,1,4与B构成全食°；如果a=2,则-。=-之 1 17.解：(1)若A∩B=3}, 则3∈{xlax-1=0},3∈{xlx2-2x+b=0}, B={-22},此时A与B构成“偏食”： 所以3a-1=0,9-6+b=0, 当a<0时，如果a=-1,则-1=1，B={-1,1},BG 解得a=号6=-3， 所以B={x「x2-2x-3=0}={-1,3}. A,所以4与B构成“全食如果a=-2,则-。=分，B (2)若A≠⑦，则a≠0， {分，-2}，所以选项()错误放选(B)(C(D). 此时A={xlax-1=0} } 三、填空题 又AUB=B,所以ACB, 12.-2;13.1,3,5,6,8}；14.27. 即2∈xx2-2x+6=0 提示： 12.因为M={-2,0,2,4},N={xlx≥m}且M∩N=M, 片名+6=0， 所以MCN,则m≤-2，所以m的最大值为-2. 4=4-46≥0， 13.由题可得X∩Y={3}, 所以实数a和6满足的关系式为6：一吉+名(6≤). 1 则X*Y=C(XnY)={1,2,4,5,6,7,8}, 又{1,2,4,5,6,7,8}∩{2,4,7}={2,4,7}， 18.解：(1)由题意知：CRA={xl-3≤x≤7}， 所以(X*Y)*Z=1,3,5,6,8}. 因为(CRA)UB=CRA,故B∈(CRA) 14.由题意知，第一天售出但第二天未售出的商品有17-3 ①当B=☑，即m+1>2m-1时， =14种， 满足BC(CRA),此时m<2; 第二天售出但第一天未售出的商品有13-3=10种， ②当B≠O时，若BC(CRA), 所以前两天共售出的商品有14+10+3=27种， rm+1≤2m-1, 第三天售出14种商品，后两天都售出的商品有5种， 则m+1≥-3，解得2≤m≤4， 所以第三天售出但第二天未售出的商品有14-5=9种， 2m-1≤7， 因为9<14， 综上所述，实数m的取值范围为(-∞，4]. 所以这9种商品都是第一天售出但第二天未售出的商品 (2)因为(CA)∩B={x1a≤x≤b},且b-a≥1， 时，该网店这三天售出的商品种类最少，其最小值为27. 故B≠☑，即m+1≤2m-1, —2 高一数学北师大（必修第一册）第1~4期 解得m≥2，则m+1≥3,2m-1≥3. (2)“线段的长度都能用正有理数表示”为全称量词命题， ①当2m-1≤7，即m≤4时， 它是假命题，如线段的长度也可以是2， (CRA)∩B=B={xlm+1≤x≤2m-1}, (3)“3x>1,x2-2>0”含有存在量词，故它是存在量词 故2m-1-(m+1)≥1，解得3≤m≤4； 命题，当x=3时命题成立，故此命题为真命题， ②当2m-1>7即4<m≤6时， 6.解：(1)若A∩B=B,则BCA, lm+1≤7， (CRA)∩B={xIm+1≤x≤7}， 当B=②时，则2m≥1-m,所以m≥子， 故7-(m+1)≥1，解得4<m≤5； ,2m<1-m, ③当m+1>7,即m>6时，(C4)∩B=⑦，不合题意. 当B≠0时，则2m≥1，则m不存在， 综上所述，实数m的取值范围为[3,5]， 1-m≤3， 19解，0)架合{生2}是复话 综上m≥号肌以AnB≠B,实数m的范国为(-，号) 理由如下： (2)因为Vx1eA,3x2∈B,使得x1=2, 因为15.山，5=15+1,5.-1 所以ACB,且A≠⑦，则 2m≤1， 所以m<-2, 2 2 (1-m>3, 所以年合{之，}是复活集 所以实数m的范围为(-∞，-2). 第2期3,4版 (2)由a1,a2}为“复活集”，设a1+4=aa2=t, 常用逻辑用语同步核心素养测评 因此a1,a2是一元二次方程x-x+t=0的两个不等正根， 一、单项选择题 于是△=2-4t>0,且t>0,解得t>4, 1~4 BDAA 5~8 ADAC 所以a1a2的取值范围是(4，+∞) 提示： (3)不妨设A中元素a,(i=1,2,3)满足a1<a2<a, 1.“东风”是“赤壁之战东吴打败曹操”的必要条件，但不 显然a1a2a3=a1+a2+a3<3a, 是充分条件 因为a,eN,则aa2<3,a1a∈N, 2.哥德巴赫猜想的否定为“至少存在一个大于2的偶数不 所以a1a2=2,且得a1=1,a2=2, 可以表示成两个质数之和” 则2a3=3+a3,解得a3=3, 3.对Hx>3,x>a恒成立，即大于3的数恒大于a,所以 所以“复活集”A={1,2,3}. a≤3. 第2期2版 4.由A=B可得x=x2,解得x=0或x=1. 专项小练一 所以“x=I”是“A=B”的充分不必要条件. 1.B;2.BD;3.B;4.AD; s[-] 5.由a>b+1→a>b,但a>b无法得出a>b+1,(A) 满足；由a>b-1,a2>b2均无法得出a>b,不满足“充分”； 6.解：(1)由1x+1「<2，解得-3<x<1, 由a>b3台a>b,不满足“不必要”. 所以p:-3<x<1, 6.当{x11≤x≤2}时， 当a=2时，x-5<0即x<5,所以q:x<5, 所以同时满足条件P,9的实数x构成的集合即为公共部分 +x-号-a=分(+2-2-@ 的实数x构成的集合， 即为x1-3<x<1 则当x=2时，分+-子-a取得最大值务-， (2)因为p是q的充分条件，且p:-3<x<1,9:x<2a+1, 依题意，多-a≥0，解得a≤子， 所以{xI-3<x<1}≤{xIx<2a+1}, 所以2a+1≥1，解得a≥0， 因此命题“31≤x≤2，分+x-子-a≥0为真命题 故实数a的取值范围是[0，+∞). 专项小练二 的充要条件是a≤弓，(C)错误； 1.C;2.D;3.B;4.BC. 显然a≤0，a≤1分别是该命题为真命题的一个充分不必 5.解：(1)含有量词“至少”，故它是存在量词命题，99既能 要条件，(A)(B)错误； 被11整除，又能被9整除，故此命题为真命题。 a≤3是该命题为真命题的一个必要不充分条件，(D)正确. 高一数学北师大（必修第一册）第1~4期 7.因为A为B的必要条件，B为C的充分条件，C为D的必分成[0]，[1]，[2]，[3]共4类，故Z=[0]U[1]U[2]U 要条件，D为A的必要条件，所以A=B,B→C,C←=D,D=A,即[3]，故(C)正确； A=B与C=D=A 若整数a,b属于同一“类”， 对于(A),若B为C的必要条件，即B=C,则 则a=4n1+k,n1∈Z,b=4n2+k,n2∈Z, A=BC=D=A,所以A、B、C、D互为充要条件，则A、B、C、D中 则a-b=4(n1-n2)+0,所以a-b∈[0]； 的任意一个命题均为A、B、C、D四个命题的必要条件，故(A) 反之，不妨设a=4n1+k1,n1eZ,b=4n2+k2,n2eZ, 正确； 则a-b=4(n1-n2)+(k,-k2), 对于(B),若B为A的必要条件，即B=A,则 若a-be[0],则k-2=0,即k1=k2, A一B一C=D=A,易得B不是C的必要条件，故(B)错误； 所以整数a,b属于同一“类”， 对于(C),若C为D的充分条件，即C→D,则 故整数a,b属于同一“类”的充要条件是a-be[0],即 A=B→CD=A,易得B不是C的必要条件，故(C)错误； (D)正确.故选(B)(C)(D). 对于(D),若B为D的必要条件，即B=D,则 三、填空题 A=B=C=D=A且B=D,易得B不是C的必要条件，故(D) 12.3x>0,使x+1≤√x;13.1;14.a≤1. 错误。 提示： 8.因为p(a,b)=0, 13.由条件p:lx|≤m,可得-m≤x≤m.条件q:-1≤ 所以√a+b-a-b=0,即a2+6=a+b, x≤4，若p是g的充分条件，则-m≥-1，且m≤4，解得0< 显然a+b≥0， m≤1，则m的最大值为1. 所以a2+b2=a2+b2+2ab,所以ab=0,且a≥0，b≥0， 14.若“0是集合M=x1ax2+2x+1=0,aeR}的真 所以p(a,b)=0是a与b互补的充分条件； 子集”， 当a与b互补时，则有a≥0，b≥0，且ab=0, 所以M={xlar2+2x+1=0,a∈R}≠⑦， 所以a,b中至少有一个数为0， 所以方程ax2+2x+1=0有实数解， 所以a2+b2=(a+b)2,即+b2=1a+b1=a+b, 当a=0时，由2x+1=0可得x=分，符合题意： 所以p(a,b)=√+b-a-b=(a+b)-(a+b)=0, 当a≠0时，由4=4-4a≥0可得a≤1，所以a≤1且 所以p(a,b)=0是a与b互补的必要条件， a≠0. 所以p(a,b)=0是a与b互补的充要条件. 综上所述：M={xlaa2+2x+1=0,aeR}≠⑦的充 二、多项选择题 要条件为a≤1； 9.BCD;10.BD;11.BCD. 即“☑是集合M={xIax2+2x+1=0,a∈R}的真子 提示： 集”成立的充要条件为a≤1. 9.“实数都大于0”的含义是“所有实数都大于0”，所以它 四、解答题 的否定应该是“存在实数不大于0”，所以(A)错误； “三角形外角和为360度”的含义是“所有三角形外角和 15解：)当m=子时，8={号≤≤6}， 为360度”，所以(B)正确； 又CA=xIx<-2或x>5}, 同理(C),(D)也正确. 所以(CRA)∩B={xI5<x≤6. 故选(B)(C)(D). (2)因为命题p:x∈A,命题q:x∈B,p是q的必要条件， 10.命题“3x∈M,x>3”为假命题， 所以BCA, 则命题“Hx∈M,x≤3”为真命题，可得MC{xlx≤3}， rm+1≤2m-1, 命题“Hx∈M,x<0或x>1”为真命题， 所以m+1>2m-1或{m+1≥-2， 则MC{xx<0或x>1}, 2m-1≤5， 所以{xIx<0或x>1}∩{xlx≤3}=x1x<0或 解得m<2或2≤m≤3， 1<x≤3}，显然，(B),(D)选项中的集合为x|x<0或1< 所以实数m的取值范围为(-∞，3]. x≤3}的子集.故选(B)(D). 16.解：(1)由条件A={-1<x<3},p是q的充要条件， 11.由2024=4×506可得，2024∈[0]，故(A)错误； 由-2=4×(-1)+2可得，-2∈[2]，故(B)正确； 得4=B,即-m=-1, 解得m=2, lm+1=3, 所有整数被4除所得的余数只有0,1,2,3四种情况，刚好 所以实数m=2. 4 高一数学北师大（必修第一册）第1~4期 (2)由p是q的充分不必要条件，得A军B, 若x+y=0或x+y=1时，显然(x+y)2eA; rm>0, rm >0 若x+y≠0或x+y≠1时，显然(x+y)2∈A, 所以 1-m≤-1，或{1-m<-1,解得m>2, 可得2xy=(x+y)2-x2-y2∈A, *m+1>3 m+1≥3， 所以eA,由(2)得 综上实数m的取值范围是(2，+∞). 2xy 时+站∈4，所以奶后4 17.解：命题“Hm∈R,使得AnB=☑”为真命题. 综上：xy∈A. 当a<0时，集合A=xI0≤x≤a}=☑，符合A∩B 故若x,y∈A,则必有xy∈A. =0: 第3期2版 当a≥0时，因为m2+3>0,所以由Hx∈R,A∩B= 专项小练一 ☑，得a<m2+3, 1.A;2.C;3.ACD; 所以a<(m2+3)n=3,则0≤a<3. 4.a+b+c≤130且abc≤72000； 综上，实数a的取值范围为(-0,3. 5.(-0,-1)U(1,+∞) 18.解：(1)A={x|x2+5x-6=0}={-6,1}, 6.证明：(a+√b)2=a+b+2√ab, 若m=0,则B={x1x2+2x-3=0}={-3,1}, (e+a)2=c+d+2cd, 此时AUB={-6,1,-3}, 由ab=cd,a+b>c+d, 所以AUB的所有子集为☑，{-6}，1}，{-3}，{-6， 得(a+6)2>(+√a)2, 1},{-6,-3},{1,-3},{-6,1,-3 所以a+b>√+a. (2)若“xeA”是“x∈B”的必要条件，只需BCA. 专项小练二 ①若B中没有元素即B=☑， 则4=4(m+1)2-4(m2-3)=8m+16<0, 1.B:2.A;3.BD,47:52万 此时m<-2,满足BCA; 6.解：由x>0, ②若B中只有一个元素，则△=0，此时m=-2. 则B=x1x2-2x+1=0=1},此时满足B二A; 则3x+3x+3.3 ③若B中有两个元素，则4>0，此时m>-2. 因为A中也有两个元素，且B二A,则必有B=A={-6, ③ =2+5, 1}, 2×-32-3 由韦达定理得-6×1=m2-3,则m2=-3,矛盾，故舍去。 当且仅当x=√3时，等号成立， 综上所述，当m≤-2时，B≤A. 所以实数m的取值范围为(-，-2]. 所以a≥ 3x x2-3x+3m =2+5, 19.(1)解：集合B不是“好集”，有理数集Q是“好集”， 故a的取值范围为[2+√5，+0). 理由如下： 因为-1∈B,1∈B,所以-1-1=-2生B, 第3期3,4版 所以集合B不是“好集”. 不等式性质，基本不等式同步核心素养测评 因为0∈Q,1∈Q,对任意x∈Q,y∈Q,都有x-y∈Q, 一、单项选择题 且x≠0时，e0 1~4 BCCA 5~8 BDCD 提示： 所以有理数集Q是“好集” 1.因为a>0,所以a+。+1≥2√a日 +1=3, (2)证明：因为集合A是“好集”，所以0∈A,若x,y∈A, 则0-y∈A,即-y∈A,所以x-（-y)∈A,即x+y∈A. 当且仅当a=上即a=1时取等号. a (3)解：命题为真命题理由如下： 2.若使得该项投资的总收益率是增加的， 若x,y中有0,1时，显然有xy∈A, 下设，y中不存在0,1，由定义得x-1,文∈A, a+x ，(a>0,b>0,x>0),得a>6 则+x>6, 所以士De4则(-)e4 1 3.令x-y=m,2x-y=n,则=n-m, Ly n -2m, 由(2)得x(x-1)+x=x2∈A,同理y2eA. 因为-4≤x-y≤-1，-1≤2x-y≤5， 高一数学北师大（必修第一册） 第1~4期 即-4≤m≤-1，-1≤n≤5， 因为四≤(P） ≤4，且(p△q)2≤p9, 所以2≤-2m≤8，则1≤n-2m≤13，即1≤y≤13. 4.因为a>2,可得p=a+ a-2=(a-2)+1 所以p△q≤2. -2+2 综上(D)正确.故选(D) ≥2√a-2) a-2+2=4, 二、多项选择题 9.ABC;10.BD;11.AC. 当且仅当。-2=，2时，即0=3时，等号成立即p≥4. 提示： 又由9=-b2-2b+3=-(b+1)2+4,所以g≤4， 对(A).因为6>a>1,所以片<日<1，(A0正确： 所以p≥g. 对水).因为c<d<-1,所以>日>-1，()正确： 5因为实数a,6e满足心+≤子e≤1 对(C),因为c<d<-1,所以-c>-d>0, 所以a+b+c≥a+b+4(a2+b2) 所以-bc>-ad,所以ad>bc,(C)正确； 对(D),a=2,b=3,d=-2,c=-3时， a+d=b+c=0,(D)错误. 当a=一=令时等号成立。 故选(A)(B)(C) 10.由题知-2+2<a+b+2a-b<4+8, 所以a+6+c的最小值为-日 所以0<3a<12,所以0<a<4,故(A)正确； 6.因为a2>a1>0,b2>b1>0, 因为-8<b-2a<-2,-4<2a+2b<8, 所以ab1+ab2-(ab2+ab1)=a(b-b1)-a1(b2-b) 所以-12<3b<6,所以-4<b<2,故(B)不正确； =(a2-a1)(b2-b1)>0, a 2b m(a +b)n(2a-b), ab+azb2>ab2 +azb, a +26 =(m 2n)a (m-n)b, m= 5 又a1+a2=1,b1+b2=1, 所以1=(a1+a)(b+b2) 所以=m+2n所以 (2 =m-n, 1 =a1b1+a1b2+a2b1+a2b2 n=-3 =(a1b1+a2b2）+(a1b2+a2b1), 所以a+26=号(a+)-合(2-， 所以2(ab2+a2b1)<(a1b1+a2b2)+(a1b2+a2b1)< 2(a1b1+a2b), 又-9<a+)<9号<2a-号 所以a6+a.b<分，a6,+a4>分，所以B<C<A 所以-<-2a-6)<-子 7.设该直角三角形的斜边为c=2√2，直角边为a,b, 所以-6<a+2b=寻a+b)-合(2a-)<6, 则a2+2=c2=8, 故(C)正确，(D)错误.故选(B)(D). 因为2ab≤a2+b2,所以a2+62+2ab≤2(a2+b2), 11.设从A地到B地的距离为S,S>0, 即(a+b)2≤16， 因为a>0,b>0,所以a+b≤4， 2 2 S(V+V:).T:=- = 当且仅当a=b=2时，等号成立 根据题意可知工=六+=2Y 所以该直角三角形周长为a+b+c≤4+22， 易知满足子（化+）=5则工= 即a=b=2时周长取最大值4+22， 由V>0,V2>0可得， 此时三角形的面积为7×2×2=2 T= y+2≥2s匹-s 2V V 2≥2V1V, E=T2, 8.对于(A)(C),不妨取m=1,n=5,则m△n=1,排除 =+2成E3 S (A)(C): 对于(B),取p=1,9=3,则p7q=3,可排除(B)； 即可得T≥T2≥T3,即(A)正确，(B)错误： 对于(D),因为m+n≥2√mn≥4，且2(m7n)≥m+n, 易知TT3= S(y+V),2S。S2 所以m7n≥2， 2y2·y+7= 6 高一数学北师大（必修第一册） 第1~4期 所以最小值为1+号 +=+ .1 2VV2,+ 四、解答题 2S 15.解：(px+qy)2-(p2+gy2) 4VV2+(y+V2)2 =p(p-1)x2+q(g-1)y2+2pqxy, 2S(1+2), 因为p+q=1,所以p-1=-9,9-1=-p, 所以(px+9y)2-(px2+9y2)=-p四(x2+y2-2xy） =-p9(x-y)2 故选(A)(C) 因为p,9都为正数，所以-pg(x-y)2≤0， 三、填空题 因此(px+qy)2≤px+qy2,当且仅当x=y时等号成立. 2(-2,-3): 12:1+号 16.(1)证明：因为a2+2b2+1-2b(a+1)=a2+262+ 提示： 1-2ab-2b=a2-2ab+b2+b2-2b+1=(a-b)2+(b-1)2 12.由于a>b>c,且a+b+c=0, ≥0， 所以a>0,c<0,b=-a-c, 当且仅当a=b=1时，等号成立， 所以a2+262+1≥2b(a+1). -a-c<a→2a>-c曰￡>-2， (2②解：由题意可得，空=2即a+1+6+1=6, <-2 -a-c>c→-a>2c=a 则a+)(6+1可≤a+1+6+1=3, 2 所以-2<台<- a 当且仅当a=b=2时，等号成立， 设N=✉{2+宁} 所以a+1,b+1的几何平均值的最大值为3. 17.解：(1)因为x,y都是正数 则2x+3y≥2√2x·3y=2√6y,即2√6xy≤3， 3 因x>0y>0,则得2y(告+宁)≤0 解得：≤冬，当且仅当2=3y x=4 时取等号， 义因2y(4+）≥2y·号=8，所以N≥8， y=2 当且仅当：=2专+宁=2即=2=1时等号成立， 所以的最大值为号 放m,2号+宁}的最小值为2 (2公)由y都是正数，且x>y+安2可得： 14.易知△BDE△ACB,△GFH△ACB, *y=y*2y=-*2)(+分)-2 且BD=CD-BC=b-a,GF=a, 所0片+名宽号么 3 2 所以4=b,”x(a+b+c),4=合×(a+6+c), 时等号成立， b 当且仅当，，= y=2 所以+女=4+6+c-1+尽+E a +b a+b a +b 所以x+y的最小值为2. a2+62 18.解：(1)设公寓窗户面积与地板面积分别为am2,bm, 1 =1+√a+6+2ab =1+ 2ab 1+ a2+6 则/子≥10%， 又因为a2+≥2ab,所以2ab a+b=220, a2+6s1, 当且仅当a=b时取等号， 所以6≤102%=10a,所以a+6=20≤a+10a, 所。治≥1+乐-1+ 1 所以a≥20. 2 所以这所公寓的窗户面积至少为20平方米 高一数学北师大（必修第一册）第1~4期 (2)设a和b分别表示公寓原来的窗户面积和地板面积，n 故a的取值范围为(-6,2). 表示窗户和地板所增加的面积（面积单位都相同）， (2)当a=0时，y1=x2,y2=3>0,符合题意； 由题意得：0<a<b,n>0, 当a<0时，由y1=x2-2ax>0,解得x<2a或x>0, 则g+n-g=ab+b加-ab-an=n(b-a 故当2a≤x≤0时，2=ax+3-a>0恒成立，而y2在 b+n b b(b+n) b(b+n)' R上随x的增大而减小，故只需y3的最小值大于0，即3-a> 因为b>0,n>0,所以b(b+n)>0, 0,而由a<0,得3-a>0,故a<0符合题意： 又因为a<b,所以n(b-a)>0, 当a>0时，由y=2-2ax>0,解得x<0或x>2a, 因哈+日-合>0，+投>台 b+n 故当0≤x≤2a时，y2=ax+3-a>0恒成立，而y2在 所以窗户和地板同时增加相等的面积，公寓的采光条件变 R上随x的增大而增大，故只需y2的最小值大于0，即3-a> 好了. 0,解得0<a<3, 19.（1)解：由x2-1比1远离0， 综上a的取值范围是(-∞，3). 则1x2-1-01>11-01, 第4期3,4版 解得x<-√2或x>√2， 预备知识核心素养综合测评 所以x的取值范围是(-∞，-√2)U(2,+0) 一、单项选择题 1~4 ACDD 5~8 ADCC (2)证明：若证a3+b3比a2b+ab2远离2ab√ab, 提示： 即证1a2+b2-2ab√ab1>1a2b+ab-2ab√ab1, 1.由(x+1)(x-3)<0,可得-1<x<3. 因为a≠b,a>0,b>0. 则a3+b>2a6=2ab√ab, 2由x≠0，可得2>0.则2+≥2√F 2=2, 且a2b+ab2>2ab=2ab√ab, 当组仅当即x=士1时，等号成立， 所以即证a3+b-2ab√Jab>a2b+ab2-2ab√ab, 即证a3+b3>a2b+ab2, 放+的最小值为2. 又a3+b3-(a2b+ab2)=(a-b)2(a+b)>0, 3.对于(A),由a<0<b两边同乘以a,得a2>ab,故(A) 所以a2+b3>a2b+ab2, 错误； 即1a3+b3-2abab1>1a2b+ab2-2ab√/ab1, 对于(B),(C),a2-b2=(a+b)(a-b),因为a<0<b, 即a3+6比a2b+ab2远离2ab√ab. 所以a-b<0,但a+b的符号不确定，故(B),(C)错误； 第4期2版 对于(D),a<0<b两边同乘以b,得ab<b2,故(D) 正确， 专项小练 4.因为MCA≤N, 1.C:2.B:3.A;4.B;5.D:6.ABD: 所以A可以是1,2,3}，{1,2,3,4}，1,2,3,0}，1,2,3， 7.C;8.0. 7},{1,2,3,0,4},{1,2,3,0,7},1,2,3,4,7},{1,2,3,0,4, 9.解：(1)由题可知x1=1,x2=b是方程ax2-3x+2= 7},共8个，故选(D) 0的两个解，且a>0, 5.因为PnQ=Q,所以Q≤P, 1+6=3 所以 解得01， 又因为P≠Q,所以Q军P 1×6=2 1b=2. (A)因为QP,所以VxeQ,有x∈P,正确； (B)因为Q军P,所以不存在xP,使得x∈Q,不正确； (2)由(1)知原不等式为x2-(m+2)x+2m<0, (C)因为Q军P,所以不存在x∈Q,使得x生P,不正确； 即(x-m)(x-2)<0, (D)若Q={1,2},P={1,2,3},显然4Q,4生P,不 当m>2时，不等式的解集为x|2<x<m; 正确， 当m=2时，不等式的解集为☑； 故选(A). 当m<2时，不等式的解集为xm<x<2}. 6.由x+2≤0得x≤-2， 10.解：(1)由题意可得y1+2=-ax+3-a>0恒成立， 所以不等式x2+(a+1)x+a≤0的解集是{xlx>-2} 则4=(-a)2-4×1×(3-a)<0, 的子集 即a2+4a-12=(a+6)(a-2)<0,解得-6<a<2, 由x2+(a+1)x+a≤0，得(x+a)(x+1)≤0， —8 高一数学北师大（必修第一册）第1~4期 当a=1时，xe{-1}C{x|x>-2},符合题意； 由定义可知A-B=A时，x∈A→x∈A-B→xB,所以An 当a>1时，xe{xl-a≤x≤-1}C{xlx>-2}, B=☑，故(B)正确；当A-B=☑时，x∈A→x∈B→ACB, 则-a>-2,1<a<2: 故(D)正确.故选(B)(D): 当a<1时，xexl-1≤x≤-a}二{xlx>-2},符 10.对于(A),当m=0时，不成立，故(A)错误； 合题意， 对于(B),当c<0时，不成立，故(B)错误； 综上所述，实数a的取值范围为(-0,2)， 对于(C),由ab>0知a,b同号， 7.因为a2+62=k,所以a2+(b2+1)=k+1, 当a>b>0时，日<合 所以+（云2）（告 当6<a<0时，片<合放C)正确： 9 4(6+1 9a2 a a2 62+1 对于(D),由ab>0知a,b同号， +13=25, 当a,b<0时，a2>b2等价于a<b<0, 当仅心= 所以片>合，故(D)信误故选(A)(B)(D)。 a 即3动=2（公+D=号(k+)时等号成立. 11.对于(A),f(2,4)=2×(1+4)=10, f4,2)=4×(1+2)=12, 哈+云≥ 9 25 即f2,4)<f4,2),故(A)错误； 由题症可得：克≥1，又>0，解得0<4长24， 对于(B)(）=1+)=文+x≥2 故k的最大值为24. 当且仅当文=，即x=1时，等号成立，放(B)正确： 8令y=(4+m-2)(3x+n-D. 对于(C)f(x-a,2x)=(x-a)(1+2x)=2x2+(1- 2a)x-a≥-a-2恒成立， 若n>子，则e[m,， 即2x2+(1-2a)x+2≥0恒成立， 则4=(1-2a)2-16≤0， 于是(m-4)(n-4) <0,与题意矛盾， 解得-子≤a≤号，故(C)错误： 所以n≤4， 1 对于(D),由题可知存在x≥2，使得2x2+(1-2a)x+2≤ 此时3数+n-1<n-1≤0，那么4状+m分≤0恒成立， 0成立， 设y=2x2+(1-2a)x+2,因为x=0时，y=2>0, 代人mn知4m2+m-≤0，解得-立≤m 1 1 2a-1<2, 则①4 所以-子≤m≤n≤子， 2×22+(1-2a)×2+2≤0， 所以A-m≤子-()=圣 2a-1≥2， 或②4 4=(1-2a)2-16≥0， 当m=-=时。 由①解得350<号.由②解得a产 9 y=(4-0(3x-子）=12(-3)(x-)(+ 综上，得a的取值范围是[3，+o),故(D)正确. 故选(B)(D). 分）=0对V:e{-分≤x≤号}何成立，满足题意， 三、填空题 综上可得，n-m的最大值为子 12-2:1B.414[-2,-3） 二、多项选择题 提示： 9.BD;10.ABD;11.BD. 12.由题意可知2-ax+b=0有两个实数根x1=-1,x2 提示： =2, 9.当A={1,2},B=3}时，A-B=A,B≠0，故(A)错 由根与系数的关系，则x2=b=-2. 误；当A=1},B=1,2}时，A-B=O,A≠B,故(C)错误； 13.因为abc=2a+b+c,2a+b=2ab, 9 高一数学北师大（必修第一册） 第1~4期 所以c=2a+b=2ab ab-1ab-1s、3 当a≠0时，>0， 解得0<a≤4， l4=a2-4a≤0， 所以A={a10≤a≤4}. 又2ab=2a+b≥2√2a·b, 18.解：(1)因为y=x2-(a+4)x+4a=(x-4)(x-a), 解得ab≥2，所以c≤4，c的最大值为4. 所以y<0,即(x-4)(x-a)<0. 14.因为T=(1,-1)=-2,T(4,2)=1, 当a=4时，不等式y<0的解集为☑； 所写片-2，投治=1，解得a=16=3。 当a>4时，不等式y<0的解集为xI4<x<a}; 当a<4时，不等式y<0的解集为x1a<x<4}. 所以T2m.5-4m）=2mt3x5:4m）≤4， (2)由题意，关于x的方程x2-ax+4a=0有两个不等的 4m+5-4m 正根， 解得m≥宁 r4=a2-16a>0, 由韦达定理知{ m+n=a>0,解得a>16. Tm,3-2m)=m+3×(3,2m>P,解得m<9-3P mn=4a>0, 2m+3-2m 51 因为不等式组恰有3个整数解， 则1 十 m n nm 所以2<9,3P≤3，即-2≤P<-分 5 m+4=4+4)(+）=45+0+）： 则实数P的原值范用是【-2，~专) 因为m>0,n>0,所以0+只≥2√册·费 4n.m=4, m n 四、解答题 当且仅当m=2m,且 11 15.解：(1)因为命题“x∈R,不等式x2-2x-m≤0”成 m+元=4， 立是假命题，所以命题的否定“VxeR,不等式2-2x-m> 即m=12,n=6时，等号成立， 此时a=18>16,符合条件，则m+4n≥36. 0”成立是真命题，即4=4+4m<0,解得m<-1,所以实数 综上，当且仅当a=18时，m+4n取得最小值36. m的取值集合A={mlm<-1}. 1 (2)因为集合B={mla-4<m<a+4},又由题知集 19解01。+中=中+中行 合B是集合A的真子集，即4+a≤-1，解得a≤-5，所以实数 =6 a的取值范围是(-∞，-5]. 46+6=1 16解：(1)由题意，x万元投人A产品， (2)因为abc=1, 所以原方程可化为ab+a+ac+c+b+ 5ax 5bx 则100-x万元投入B产品，则 y=m+为=18-0+0 5bex 5 b(ca+c+1)=1, =38-180-x 元+10-5，t∈(0,100). ++5=1, 5bx 5bcx (2)由(1)得，y=38-180 /180 x+10-5 -=40- x+l0+ 所以3c送=1，即5x=1,解得=分 1 +b +bc )0-2×号 =28, 的。6+1器0别 (3)M=ab+1 b 当组仅当，。专0即=20时等号成立 =125+36+12 b 2h+g+3 所以当x=20时，公司利润最大. 17.解：(1)因为x1,x2是方程ax2-ax+1=0的两个不等 因为26+占≥2√26·石=22，当组仅当26=六 实根，所以a≠0,4=a2-4a>0,所以a<0或a>4,x1+为 =16=女所以写+写=（禹+户-245=1- 即6、。 。=名=厅时，等号成立， a 2<0. 因为名>0或-分< 所以2b+÷有最小值2万， 此时 1 有最大值3-22， 所以1->1或<1-<1 2b++3 a 所以号+号的取值范用为（分，1）U1,+∞)。 从而1-1 26+ 有最小值22-2， 6+3 (2)若非P为真命题，所以Hx∈R,ax2-ax+1≥0恒成立， 1 当a=0时，1≥0恒成立； 即M=+。++2%有最小值25-2 10