第8期 双曲线（一）-【数理报】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步学案（北师大版）

高中数学北师大版选择性必修第一册第5~8期 数理括 答案详解 2025~2026学年高中数学北师大版选择性必修第一册第5~8期(2025年8月) 5.设M(m,n),故有m2+n2=1,即n2=1-m2, 第5期参考答案 由Pi=M,则点M为PN中点， 直线与圆核心素养综合测评 故N(2+2m,2n),故有(2+2m)2+(2n)2=1, 一、单项选择题 即有(2+2m)2+4(1-m2)=1, 1 ~4 BABA 5~8 ACDD 提示： 整理得8咖+8=1，即m=一子 1.因为圆C:x2+y2+mx+1=0, 6记A(2,0),则k=亡2为直线AP的斜率。 即(+受广+=1 故当直线AP与半圆x2+(y-1)2=1(x>0)相切时， 5=㎡=（买-1m=,解得m=±22 得k最小，此时设APy=k(x-2),故-1-2=1， +1 2由直线的问点式方程得直线！的方截为出 解得k=- 号或k=0(含去)，即k。=-号 3 2骨即y=2x+1 7.当圆C与x轴相切时， 设圆心C(a,a+7),半径r=1a+71, 将点(1013，b)代入方程得b=2×1013+1. 故√a+(a+7)7=2+la+71, 解得b=2027. 即a2-4=41a+71,解得a=-4或a=8, 3.由ax+y+3a-1=0可得a(x+3)+y-1=0, 所以圆C的方程(x+4)2+(y-3)2=9或(x-8)2+(y 令+3=0可得E=-3y=1,所以N0-3,1. -15)2=225; y-1=0, 当圆C与y轴相切时，设圆心C(a,a+7),半径r=1al, 设直线2x+3y-6=0关于点N对称的直线方程为2x+ 故/a+(a+7)7=2+lal, 3y+c=0(c≠-6)， 即(a+7)2=4+4|al,解得a=-3或a=-15, 则=6+3-6L=1-6+3+c1 所以圆C的方程为(x+3)2+(y-4)2=9或(x+15)2+ /4+9 W4+9 (y+8)2=225, 解得c=12或c=-6(舍去)， 则满足条件的圆C有4个. 所以所求直线方程为2x+3y+12=0. 4.方程x2+y2+(k-1)x+2y+k=0表示圆的条件为 8.设P(x,y),根据线段MW的中点为P, 则CP⊥MN,即CP⊥AP,所以CP.AP=0, (k-1)2+(2k)2-4k>0, 又Ad=(x+6,y+8),C2=(x,y), 即5张-6+1>0，解得k>1或k<行， 所以x(x+6)+y(y+8)=0, 又知该方程不表示圆，所以：的取值范围为≤k≤1， 即(x+3)2+(y+4)2=25, 所以点P的轨迹是以(-3，-4)为圆心，半径为5的圆在 又因为ke{-2,0,号，3} 圆C内的一部分.故选：(D). 二、多项选择题 所以满足条件的k=5 4 9.AD;10.BC;11.ACD. 提示： 即k的取值集合为{号}故选(A)。 9.l:x-ay+1=0(aeR)整理为ay=x+1, 高中数学北师大版选择性必修第一册第5~8期 恒过定点(-1,0)，故(A)正确； 所以△ABC外接圆的方程为(-冬）+(-各) 当a=0时，直线l与x轴垂直，故(B)错误： 当m=-1时，两直线重合，故(C)错误； ,故(D)正确， 125 因为1×a+1×(-a)=0,故直线l与直线'一定垂直， 故选(A)(C)(D) 故(D)正确. 三、填空题 故选(A)(D) 10.依题意设P(2cos0,2sin0), 2(-点)：B-2:4器 则1PA12=(2cos0+2)2+(2sin0+2)2 提示： =12+8cos0+8sin0, 12因为点(5a+1,12a)在圆(x-1)2+y2=1的内部， 1PB12=(2cos0+2)2+(2sin0-6)2 =44+8cos0-24sin0, 所以(5a+1-1)2+(12a)2<1,即d<1 1PC12=(2cos0-4)2+(2sin0+2)2 =24-16cos0+8sin0, 解得ae(方) 所以1PA12+lPB12+lPC12=80-8sim0, 13.依题意知直线l的斜率为k=tan135°=-1， 又sin0∈[-1,1]，则80-8sin0∈[72,88]. 则直线4的斜率为1，于是有写日=1， 故选(B)(C) 所以a=0.又直线b2与l1平行， 11.设A(x,y), r1=x+(-1)+0 所以1=-名，即6=-2.所以a+6=-2 6 3 由重心坐标公式 14根据题意作出图1，AB为两圆的公切线，切点分别为A,B. 3 =y+0+2 3 x= 解得 2’ y=0, 所以4（号0），放(A)正确： 图1 1AB1=AC1=,1BC1=5, C(2,2),C2(-1,-1),所以直线CC2的斜率k=1,显然 所以△ABC不是等边三角形，故(B)错误； 与直线AB的斜率不相同，所以1≠t2: IABI=IACI,△ABC的外心、重心、垂心都位于线段BC 不妨设0<1<2 的垂直平分线上，线段BC的中点的坐标为(-子，1），线段 过C1作AB的平行线交AC2于点E, 则EC2=r2-r1,AB=EC1且AB∥EC1, BC所在直线的斜率c=0-（-I 2-0 =2,线段BC垂直平分线 C,C2=√(2+1)2+(2+1)=32=1+r2: ① 的方程为y-1=(+分) 所以直线AB与直线C,C2的夹角的正切值为： 即2x+4y-3=0,△ABC的欧拉线方程为2x+4y-3= tan o= 引 0,故(C)正确； 1 因为线段B的垂直平分线方程为x=4,△4BC的外心 M为线段BC的垂直平分线与线段AB的垂直平分线的交点， 所以EC=号-)， 2x+4y-3=0, 又EC+EC=C,C,整理得 所以交点M的坐标满足 1 4 [g-n)]+-n)2=18, 解得M(子，名），外接圆半径r=MB1 解得-1=92 5 ② 任+)+()-√ 522 联立①2，得万=32 51 2 高中数学北师大版选择性必修第一册第5~8期 所以2= 5 5 直线AB的斜率为k=,21=-3, 2-1 四、解答题 放线段4B的垂直平分线方程为y=子+(：-名》， 15.解：依题意，设l与t的关系式为：l=t+b,k,b是常数， 即x-3y-3=0. 12.506=40k+b. k=0.00015 于是得 解得 12.512=80k+b, b=12.5. 由-3y-3=0解得=-3则(-3，-2) x-y+1=0, y=-2. 则所求直线的方程为1=0.00015t+12.5, 半径r=1AC1=√(1+3)2+(1+2)7=5， 当t=100时，l=12.515m. 16解：(1)设Q(x,y）.由已知得kww=3, 所以圆C的标准方程为(x+3)2+(y+2)2=25. (2)设M的坐标为(x,y),Q(x',y), 又PQ上MN,可得k·kw=-1, 即之3×31 =t5 ① 2 得 x'=2x-5, 由M是线段PQ的中点，有 ly'=2y, 由已知得kpv=-2,又PN∥MQ,可得kw=ko, (=+0 2 出=2 ② 又因为Q(x',y)是圆C上的动点， 所以(x'+3)2+(y'+2)2=25, 联立①②，解得x=0,y=1,即Q(0,1). 即(2-5+3)2+(2y+2)2=25, (2)设Q(x',0). 因为∠NQP=∠NPQ,所以ko=-kp 整理得(：-)+(+1)产=空 又22-2， 则线段P0中点M的轨迹方程是(x-1)严+6+1)炉=空 所以22=2.即=1，所以01,0. 19.解：当x≥0，y≥0时， 又因为M(1,-1),所以MQ垂直于x轴. 曲线c的方程可化为(x-之)+(-分）= 所以直线MQ的倾斜角为90. 当x≤0，y≥0时， 17.解：(1)以B为原点，正东方向为x轴正方向建立如图2 曲线c的方程可化为(：+宁)广+(-号)= 所示的直角坐标系，则A地的坐标是(-400,0)，台风中心移动 路径所在直线的斜率k=1,所以台风中心移动路径所在的直 当x≥0，y≤0时， 线方程为y=x+400. 曲线c的方程可化为：-号)广+(+分)广=名 当x≤0，y≤0时， 曲线C的方程可化为(x+分)+(+分)=子： B 作出曲线C的图象（如图3）. 图2 (2)以B为圆心，300千米为半径作圆， 和直线y=x+400相交于A1,A2两点. 设台风中心移到A,时，城市B开始受台风影响（危险区）， 直到A2时，解除影响。 图3 因为点B到直线y=x+400的距离d=2002(千米)， (少由图可知，曲线C是四个半径为号的半调图成的图形， 所以1A421=2√300-(2002)2=200（千米）. 即曲线C围成的图形的周长是 而贺=0小时. 1 4×2×2×π×2 ·=22m. 所以城市B处于危险区城的时间是10小时. 18.解：(1)因为A(1,1)和B(2,-2), (2)曲线C所围成的面积为四个半圆的面积与边长为2 的正方形的面积之和， 所以线段4B的中点坐标为（号，-）》： 从而曲线C所围成图形的面积为 3 高中数学北师大版选择性必修第一册第5~8期 4×7m×7+(52=2+m 放线段AB的中点坐标为(-号，) (3)因为P(m,n)到直线3x+4y-12=0的距离为 d=L3m+4n-12l=3m+4n-121 第6期3,4版参考答案 32+4 5 椭圆同步核心素养测评（一） 所以13m+4n-12|=5d. 一、单项选择题 当d最小时，易知P(m,n)在曲线C的第一象限内的图象上， 1~4 CCBD 5~8 ABDD 因为曲线C的第一象限内的图象是圆心为（行，），半 提示： 径为号的半国，所以圆心（宁方）到3x+4-2=0的距离 2.椭圆方程化为标准形式后，可以得。2=1，尽=8， 1 1 所以c2=a2-6=名」 8,则c=4 4 3× -+4× 2 、2-12 17 √32+42 10 又焦点在：箱上，所以焦点坐标为（±0小 从而d。=d'-5-17-52 3.因为椭圆的右焦点坐标是(1,0)， 2 10 即13m+4n-121=17-,52 所以右熊点到直线y-厅：的距离d- 2 椭圆+。=1的长轴长为5×2=10，短轴长 第6期1版参考答案 专项小练一 3=6,焦距为2V2历-9=8，商心率为号， LB:2.ABD:3.D.41或-1；5.关+ 桃国5+与六-1(<9妙的长销长为2因可， 2 6.解：以BC所在的直线为x轴，BC的中垂线为y轴， 短轴长为29-k, 建立平面直角坐标系 因为点M为△ABC的重心， 焦距为225-)-(9-百=8，离心率为25 所以1MB11MC1=子×39=26>1BC1=24 所以两椭圆的焦距相等，长轴长不相等，短轴长不相等，离 心率也不相等.故选(D) 根据椭圆定义可知，点M的轨迹是以B,C为焦点的椭圆， 所以a=13,c=12,则b=5. 5由后+号=1(0>3)可得 m 放△AC重心M的箱达方程为后+若-1G≠0， a2=m,b2=3,c2=m-3. 即a=m,b=5,c=√m-3. 专项小练二 因为椭圆上一点P到焦点F的最大距离是3， 1c:2.D:3.R48:5若+号=1 所以a+c=√m+√m-3=3, 6.解：由已知条件得椭圆的焦点在x轴上， 解得m=4,所以椭圆的离心率为后=： m 2 其中c=22,a=3,从而b=1, 2 6.因为M(1,0)为线段OB的中点，且B(b,0),所以b=2, 所以其标准方程是号 +y2=1. 21 r x" 联立方程组 9 +y2=1, 消去y, y=x+2, 所议。：2反，所以精圆C的际在办程为号+号=1 得10x2+36x+27=0. 7.依题意，顶点A到B,C两点的距离和为 设A(x1y),B(x22),线段AB的中点为M(x,y), I ABI+I ACI =16 >I BCI =2, 那么与+5一受 所以顶点A的轨迹是椭圆除去B,C两点， 故2a=16,c=1. 即x0= =-号所以%=+2 2 5 所以顶点A的轨连方程为后+后=1(：子0》 4 高中数学北师大版选择性必修第一册第5一8期 8.由题可得圆B的圆心为B(3,0),半径为R=10, 提示： 设动圆的圆心为C,半径为t, 12.在椭圆兰+ 36+20=1中，a2=36→a=6, 由圆C在圆B的内部与其相切，则R-r=CB, 由圆C过点A,则R-CA=CB,即10=CA+CB, 记兴圆气+茹=1的左点为只，右燕点为人， 所以动点C的轨迹为以A,B为焦点的椭圆， 则IPF2I=5, 则4=5，c=14B=3,b=匠-c=4, 2 由椭圆的定义可知1PF1I+PF2I=2a=12, 所以其轨迹方程为茶+云=1 + 所以1PFI=12-5=7. 13.设椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,椭圆短轴的一个端 二、多项选择题 点为B,如图1，已知△BFF2是正三角形，可得b=√3c 9.CD;10.BD:11.ABD. 提示： 9.由2c=2,则c=1. 过点F的弦长最小值为2少≥2， a 即62≥a,即有a2-c2≥a,即a2-a-1≥0， 图1 部得0≥5出或a气1≥5（合. 2 rb 3c, ra=23, e=c 由{a-c=3,解得{b=3, ≤5+ 一=5-1故选(C)(D) a2=b2+c2, c=5. 2 10.a2=8,62=4,所以2=8-4=4. 所以椭圆的标准方程是 12 所以a=22,b=2,c=2,e=无=2 14.设圆柱的底面半径为r,依题意知， 2 最长母线与最短母线所在截面如图2所示. 焦距2c=4,IMF11+lMF21=2a=42, 当M为短轴的端点时△MF,F2的面积取得最大值， 是F,R1b=bc=4故选(B)(D). 山.由(35)&三22，得号=3-5 2 B 解得e=台=5，()正确 图2 所以DE=AB=2r, 由(5-1)a2=262,得(5-1)a2=2(a2-2), 整理得(3-√5)a2=2c2, 从而c0=5=2, 即后-35解得e=÷=5()正确： 因此在椭圆中长轴长2a=22r, 短轴长2b=2r, 由(2-5)a2-2=2c2,得(2-5)a2-(a2-c2)=2c2, 所以2=a2-}=2-2=2→C=r, 整理得(1-√5)a2=c2,无解，(C)错误； 由(3-5)62=(5-1)c2, 所以e=台=方 得(3-5)(a2-c2)=(5-1)2, 四、解答题 整理得(3-5d=22,即后-3， 15.解：由题知c=4,当点P为短轴端点时， 2 △PF,F2的面积取得最大值12， 解得：=÷=5，(D正确放选()（®）(D) 所以号×8×b=12,解得6=3 三、填空题 因为a2=b2+c2=25, 12.7；13.+ i2+9=1:14.2 2 21 所议精圆的方程为芳+号=儿 -5 高中数学北师大版选择性必修第一册第5~8期 16.解：(1)由题意设椭圆方程为 (3+42)x2-162x+16k2-12=0, x2 +京=1(a>b>0). 3+4h,4·名=16k-2 所以+=，16 3+42, 由椭圆过点(5,0)，知其一个顶点坐标为(5,0)， 则叫3e).m:( 6k_ 所以a=5. 又e=号所以e=2.所以=2-2=21. Ed=(m,2k),由题可得0·E0=0, 故能圆的标准方程为亏+分=儿 解得m= 3 (2)由(1)可得椭圆的长轴长为2a=10, ，所以存在定点Q(3,0） 短轴长为2b=221,焦点坐标为（±2,0）， 第7期2版参考答案 顶点坐标为（±5,0），(0，±√2I) 17.解：因为△ABF2的周长为8，所以 专项小练一 I ABI +I AF,I +1 BF2 I=8 1.B:2.C:3D.4.9+5=154 I AF I+I BFI+1 AF2 I+I BF2I =8 6.解：因为PF,⊥PF2,所以在Rt△FPF2中， (I AF I+I AF21)+(I BF I+1 BF21)=8 1FF1=21P01=10,所以c=5. →2a+2a=8→a=2, 设F(-5,0),F2(5,0), 由题意可得abπ=23π， 所以1P℉I=45,IPF21=25. 即ab=25,解得b=3. 故2a=1PF,1+PF21=65,所以a=35, 因为椭圆的焦点在x轴上， 则62=a2-c2=20. 所以C的标准方程为后+号山 放精圆的标准方程为后+品=山 18.解：假设1存在，则l不垂直于x轴， 专项小练二 设l的直线方程为y-2=(x-2), 1.B;2.B;3.D.4.3;5.2或4. Q(x1,当1)，Q2(x22), 6.解：因为椭圆的焦点在x轴上，对称轴为坐标轴， ry-2=k(x-2), 联立方程组 2 消去y得 听以后可告比方是为三+2三1(“之么>0) 4 +3=1, 由椭圆过点(5,0)，即其一个顶点坐标为(5,0)， (42+3)x2+16k(1-k)x+16k2-32k+4=0. ① 所以a=5. 由根与系数的关系得+6=16k(k- 42+3, 又e= ,所以e=2,所以62=a2-c2=25-4=21, 2 方程①有两个不同解的前提条件是4=8k-1>0, 所以椭圆的标准方程为25+21 x2 =1. 即：>日又00的中点B的坐标为(2,2， 第7期3,4版参考答案 所以6，=4，解得6=子 42+3 椭圆同步核心素养测评（二）》 面-子生（令，+）：放不作在这样的直线乙 一、单项选择题 19.解：(1)由题意得a=2,b=5c, 1~4 ABBA 5~8 CDAB 又因为a2=b2+c2,所以a2=4,b2=3,c2=1. 提示： 所议搭圆G的方程为号+亏-山 *2 1.方程4-m+m+3=1表示椭圆 (2)设直线AD的方程为y=(x-2)(k≠0)， 4-m>0, 1 令x=0得y=-2k,即E(0,-2k), 则{m+3>0, 解得-3<m<4且m≠2， rJ=k(x-2), 4-m≠m+3, 联立 因此“方程m+m+31表示桶圆”是“-3<m<4” 6 高中数学北师大版选择性必修第一册第5~8期 的充分不必要条件 即子 n 2对于椭圆号+卡=1a>6>0。 显然曲线C是焦点在y轴上的椭圆，a=√n,b=√m, 所以C的离心*为e=√-=√ n 8.如图1，设椭圆的左焦点为E, 因为6=各所以√-=×√ 解得b=2. 3.设椭圆的左焦点为F, 由题意得M(5,0)与F(-5,0)是椭圆的焦点， 图1 则直线AB过椭圆的左焦点F(-5,0), 则IBEI+IBF1=2a, 且IABI=IAFI+IBFI, 因为点A,B关于原点对称， 所以△ABM的周长为IAB1+IAMI+BMI=(IAFI+ 所以四边形为平行四边形. I AM I)+(I BFI+I BM I)4a =8. 由1A1=21BF1得1BF1=子，1BE1=子 4.由题意得mb=25m,离心率：e=台= 1 a 在△EBF中，cOS∠EBF=LBEI2+1BFI2-EF12 21 BEII BFI rrab=23π， ra=2, 从而可得方程组 ec=,解得b=3 5+合-4状 a 2x4 a2=62+2, c=1. 故椭圆C的标准方程为号+ 2 =1. 所以cos∠BFA=-cos∠EBF=9&-5 4 3 5.在大椭圆中，a=20,b=10,则c=√a-62=105 由，成≤号d,得1i1 0BFA=手a×子a 则椭圆离心率为e=尽 21 ×(骨-子）≤专，整理得。≤子 因为两椭圆扁平程度相同，所以离心率相等， 又0<e<1,所以ee(o,号] 所以在小稀圆中，。=写， 二、多项选择题 结合题意知6=5，得(e)2=a)二)-子，■ 9.BC;10.ABD;11.ACD. (a')2 提示： 解得a'=10,所以小椭圆的长轴长为20cm. =1的两 6.设椭圆的方程为。+=1(a>6>0 9.易知R(-4,0).R(4,0)分别为椭圆号+号 由已知得A(a,0),B(0,b),F(-c,0), 个凭点，60，-4)，0,4)分别为椭圆亏+号-1的两个 则BF=(-,-b),BA=(a,-b). 焦点 因为离心*e=台：5，所以e=5, +1 若点P仅在椭圆 则6-=√-（斗可哥 则P到F1(-4,0),F2(4,0)两点的距离之和为定值，到 2 E1(0,-4),E2(0,4)两点的距离之和不为定值，故(A)错误； 所以BF.BA=b2-ac=0,所以∠ABF=90° 两个椭圆关于直线y=x与y=一x对称， 7.依题意，A(0,√n),B(0,-元)，设点P(y), 则曲线C关于直线y=x,y=-x均对称，故(B)正确； 则有后+公=1，即=(n-), 曲线C所围区域在边长为6的正方形内部， m n n 所以面积必小于36，故(C)正确； 则n=瓜.h+瓜-6=-只=含 4 曲线C所围区域在半径为3的圆外部， 所以曲线的总长度大于圆的周长6π，故(D)错误， 高中数学北师大版选择性必修第一册第5~8期 故选(B)(C). 对于(C),太阳光线与地面所成角为号，且伞柄沿着光线 10.由椭圆方程可知a=2,b=√5， 方向时，球冠被完整照射，如图5，而由于AB与地面成一定角 从而c=a2-b=1. 度，AB投影被拉长，故形成影子为椭圆，短轴长度不变，长轴被 根据椭圆定义IPF,I+PF21=2a=4, 又IFF21=2c=2, 拉长为原来的后倍，则台=孕高心率为宁正确： 所以△PFF2的周长是6，故(A)正确； 设点P(x,%)(yo≠0)， 因为1FF2I=2, 期55=分1FI%=元 图5 因为0<0≤b=5, 则△PFF2面积的最大值为3，故(B)正确； 对于(D),太阳光线与地面所成角为石时，如图6，当AB垂 由椭圆性质可知， 直于光线，可最大程度拉长影长，而且球冠被完整照射，故投影 当点P为椭圆C短轴的一个端点时， ∠FPF2最大，此时1PFI=IPF2I=a=2, 成椭圆，此时长轴长为1AB1×1 -=21AB1=240cm,正确. sin 6 又IFF2I=2, 故选(A)(C)(D). 则△PF,F2为正三角形，∠FPF2=60°， 所以不存在点P,使PF,⊥PF,故(C)错误； 当点P为椭圆C的右项点时， IPFI取得最大值，此时IPFI=a+c=3; 6 当点P为椭圆C的左顶点时，IPFI取得最小值， 此时|PFI=a-c=1, 图6 所以1PFI∈[1,3]，故(D)正确. 三、填空题 故选(A)(B)(D). 1226 ；13.5；149 11.图2，在Rt△AD0,由于A0=T,AD=60cm,CD= 提示： 20cm,D0=(r-20)cm, 12.由题意知：F(-c,0)(c>0), 所以(r-20)2+602=T2,解得r=100cm: 对于(A),太阳光线与地面所成角为平时，如图3将伞还 则直线：y=一 3(x+c),即x+5y+c=0, 原成完整的球状，光线将打在半球上，球冠被完整照射，于是投 因为1与圆2+2=相切，所以cL =b,即c=2b, √1+3 影形成完整的圆，正确； 所以c2=42=4a2-4c2, 所以e2=。4 5 所以椭圆的离心率e=25 图2 图3 13.如图7所示，因为PM⊥FQ且1PFI=IPQ=2, 对于(B),太阳光线与地面所成角为云时，如图4球冠只 6 有部分被照射，故不能形成椭圆，错误； 图7 6 所以M为FQ的中点， 图4 又因为O为F,F2的中点，OM⊥x轴，所以PQ⊥x轴， —8 高中数学北师大版选择性必修第一册第5~8期 所以△PFQ为等边三角形， 故1MF,I+MFI的最小值为25 所以∠PFF2=30°， (2)设M是椭圆E与直线x-y+3=0的一个公共点， 可得1PR,1==2, 则IMF,I+lMF,I=2a. 由(1)可知IMFI+1MF2I≥1F2FI=25, 解得e=号，所以稀圆C的熊距为2c= 所以椭圆E离心率e:。≤↓=5 a 方， 14.因为点P是椭圆C上的动点，所以m+n=8, 所点=告+日=g(任+) ·(m+n)= 故横圆E离心米的最大值为 mn 18.(1)解：因为e= a 停所以心=3， 81 当组仅当把=只，即网=号1=9时，等号成立 所以椭圆C的方程为。： 22 3苏+京=1 又因为椭圆C过点M(1,1), 四、解答题 15.解：直线x-2y+2=0与坐标轴的交点为(0,1)，(-2,0). 代入方程解得d2=4,6=子 4 当焦点在x轴上时， 设解圆的方程为号+卡=1a>6>0。 所以精园C的方程为号+兰-1 4 (2)证明：①当圆0的切线（的斜率存在时， 由题意知，c=2,b=1,所以a2=5, 设直线l的方程为y=kx+m, 所以精圆的标准力程为号+=1： 则圆心0到直线1的距离d=Im=1, √+1 当焦点在y轴上时， 所以1+2=m2 设精圆的方塑为后 +a=1(a>6>0), 将直线的方程和椭圆C的方程联立， 得到(1+3k2)x2+6kmx+3m2-4=0. 由题意知，b=2,c=1,所以a2=5, 设直线1与椭圆C相交于A(x1,y1),B(x2,2)两点， r x 所以椭圆的标准方程为亏+号=1 「西+=1+3K 6km 做该钙圆的标准方程为亏+了=1或考+号 .2 则 =1. 3m2-4 x3=1+3 16.解：(1)因为a=5,b=3,所以c=4. 所以0A.0店=x2+y IPF I+I PF2 I 2a 10,I F F2 I 2c =8, =(1+2)x2+km(x1+x2）+m 所以△FPF2的周长为 =(1+k:3m+m 6km I PF I+I PF2 I +I F F2 I 2a +2c 10+8 18. 1+32 1+3k2 +m2 (2)设1PFI=t1,1PF21=t2,则t1+t2=10. ① =4m-4-4 =0: 在△FPF2中，由余弦定理可得 1+3 ②当圆的切线l的斜率不存在时，验证得0·0B=0. 元+号-2c0s60°=8. ② 综上，0A.0B为定值0. 由①2-②，得t2=12, 19.解：(1)由题意得IQM1+QWI=IQM1+1QPI= 所以5am=之6s血60=7×2×5=35 1MPI=4>2=1MW1,根据椭圆的定义得点Q的轨迹E是 17.解：(1)设点F关于直线x-y+3=0的对称点为 以M,N为焦点的椭圆.所以a=2,c=1,所以b=√5. F3(x,y）, 故所求轨迹方程为子+亏=1 ry-0 x+1 ·1=-1, 则 解得 x-1-y+0+3=0, x=-3即F,(-3,2) (2)由题意知S%w=2Sm=2×子×AB1·d= y=2, dI ABI(d为点O到直线l的距离). 2 2 ry kx +1. 由“对称性和两点之间线段最短”，可知 设1的方程为y=kx+1,联立方程 消去y I MFI+I MF2 I=I F2F3I=25. =1, 3 -9 高中数学北师大版选择性必修第一册第5一8期 整理得(3+4k2)x2+8kx-8=0,设A(x1,1),B(2y2), 第8期3,4版参考答案 -8k -8 则4+=3+4状4名=3+4， 双曲线同步核心素养测评（一） 则IAB1=√1+区·√（x1+2)2-4x 一、单项选择题 =46·个+2R.个+g 1~4 DBBC 5~8 BAAA 3+4h2 提示： +示，所以5m=d1B1=46·个+2E 又d=1 3+42 1.由题意得2a=4,a=2,故渐近线方程为y=±2x 令√个+2K=t,由2≥0，得t≥1， 2.由题得a=3, 46任=46-≥1)，易证y=2+ 由双曲线定义可知1MF2I-MF1I=2a=6, 所以Sm=2+12+ 所以1MF21=6+7=13. t 在(1，+0)递增，所以2+≥3，从而S6≤45 3椭圆号+号=1的上顶点为4(0.3) t 3 双曲线x2-y2=1的渐近线方程为y=±x, 所以△BD的面积S的最大值为：后 则点A到y=±x的距离为4=3=32 2 =2 第8期2版参考答案 4.由题意知，双曲线的焦点在y轴上， 22 专项小练一 设双曲线的方程为后-云=1(a>0,6>0), 1.C;2.D;3.C. 由题得a=1,e=￡=2，所以c=2, 4.5或9； 所以b2=c2-a2=4-1=3, 6.解：由条件知椭圆的焦点为(0，±3)， 设双线的标准方程为号-号=1K。>0.6>0小 所以双曲线的标准方程为)-菁=山 5.依题意，以点O2为原点，直线0O3为x轴建立平面直角 则a2+2=9. ① 坐标系，如图，点0，(-13，-11)， 将y=4代入椭圆方程得x2=15, 则55 =1 ② 2 01 02 由①2解得口=4或0=36：（含去）. 04 ·05 lb2=5,62=-27 v2 x2 设双面线C的方程为号-卡=1a>0.6>0. 故双曲线的标准方程为产-了=1 其渐近线为y=±么x,因直线0,0，为一条渐近线， 专项小练二 1.C;2.B;3.A.4.12;5.1+2 则有三 a 总，双曲线C的离心率为e=。亚 6解：由于椭圆为+品-1的焦点为0.-5.0.5. 焦点在y轴上， +(( 13 故设双曲线的方程为 J2-=1(a>0,b>0). 6.由题意得e6,:公+6.m-五：1. m 因为双曲线过点(0,2)， 所以(a2+2)(m2-b2)=a2m2, 所以将该点代人双曲线方程得a2=4, 得m2=a2+b2,所以三角形为直角三角形. 故c=5,a=2.于是2=c2-a2=21 所双有线的标疾方和是子一云=1 ?设RF与渐近线y=名：的交点为P, 由题意可知IOFI=2,∠P0F=60°，P0⊥PF, 双曲线的实轴长为4，焦距为10. 所以IPF1=3,IPO1=1, 离心率。=子，渐近线方程为y=±2 5 21x 则5m=2m=2×7×月×1=5 -1016.(15分)已知双曲线的中心为原点，对称轴为坐标轴，且过 18.(17分)已知双曲线的中心在原点，焦点F,F,在坐标轴上， 19.(17分)古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆 点A(-2√7，-3)，B(7,6√2)，求双曲线的方程 离心率为2，且过点(4，-√10). 锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，只可惜对这一定义 (1)求此双曲线的方程： 欧几里得没有给出证明.经过了500年，到了3世纪，希腊数学家帕 (2)若直线x-y-3k+m=0(其中k为参数)所过的定点M 普斯在他的著作《数学汇篇》中完善了欧几里得关于圆锥曲线的统 一定义，并对这一定义进行了证明.他指出，到定点的距离与到定直 --------------------------------- 恰在双曲线上，证明：F,M⊥F,M. 线的距离的比是常数e的点的轨迹加叫做圆锥曲线：当0<e<1时，轨 迹为椭圆；当e=1时，轨迹为抛物线；当e>1时，轨迹为双曲线。 (1)若方程m(x2+y2-2x+1)=(3x+4y+1)2表示的曲线 是双曲线，求m的取值范围； （2)判断方程2+2+3-4+空 =(3x-4y)2表示的是什 么圆锥曲线，并说明 高中数学·选择性必修第一册（北师大版 17.(15分)已知点A(-5,0)和B(5,0),动点C到A,B两点 的距离之差的绝对值为2，点C的轨迹与经过点(2,0)且倾斜角为开 的直线交于D,E两点 同步核心 (1)求点C的轨迹方程； (2)求线段DE的长. 高中数学·选择性必修第一册（北师大版）同步核心素养测评 素养测评 参考答案见下期 本版责任编辑：张朝卿 报纸编辑质量反馈电话： 数理摑 2025年8月25日·星期- 高中数学 0351-5271268 报纸发行质量反馈电话： 第 8期总第1152期 北师大 0351-5271248 选择性必修第一册 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社编辑出版社长：徐文伟国内统一连续出版物号：CN14-0707八F)邮发代号：21-168 创新 解：如右图，由双曲线的 多年前，有一家酒 热点问题1：求双曲线的方程 例1设双出线与希圆后+后-1有共同的 定义可知IPFI-IPF,I 店的电梯需求紧张，打 2516 双曲线 2a=25, 算再增加一部。于是请 所以IPF,I=IPF,I 来了建筑师和工程师研 焦点，且与椭圆的一个交点为4(-3，》，求双 热点问题归类 究如何增设新的电梯。 曲线的方程 25,故1PF,I+lPA1=1PF,1+1PA1-25 ⊙河北李国超 专家们一致认为，最好 分析：由于双曲线与椭圆共焦点，可由椭圆 因为1PFI+|PAI≥|AF,I=2I7, 方程得到焦点坐标，进而可设双曲线的标准方 所以当A,P,F三点共线时， k的值；若不存在，说明理由. 的办法是每层楼打个大 程，然后利用A点在双曲线上进行求解 分析：对于探索性题目，我们一般假设符合 洞，直接安装新电梯。方 IPF,1+lPA1取得最小值2√17-2√5. 解：由椭圆方程得其焦点为(-3,0)或 题设条件的飞存在，从这个假设出发，如果能够 案定下来之后，两位专 热点问题3：求双曲线离心率的取值范围 (3,0), 推导出k的值，则说明这样的飞是存在的；如果 家坐在酒店前厅商谈工 所以双曲线的焦点在x轴上， 例3双脚线 线。-F=1(a>0,6>0)的 推导不出丘的值，或者说推导出矛盾的结果，这 程计划，他们的谈话恰 设双曲线方程为 、2 两个焦点为F,F2,若P为双曲线上一点，且IPF 就说明满足条件的k值不存在。 巧被一位正在那的清洁 a2 h2 =1(a>0,b>0). I=21PF,I,求双曲线离心率的取值范围. 解：设A(x1y),B(x,y2),假设存在实数 工听到了。 由题知双曲线两焦点分别为F,(-3,0), 分析：欲求双曲线离心率的取值范围，需求 k,使A,B两点关于直线x-2y=0对称， 清洁工对他们说： F(3,0),又A(-3,1)在双曲线上，则2a=出a与e的关系，根据题设特点，可利用双曲线 则k=-2=-2, 5 X1-x2 “每层楼都打个大洞，肯 的定义及三角形三边关系求解 1 9 且线段AB的中点(x,0)满足0-20=0. 定会到处尘土飞扬。弄 II AF,I -I AF,II= ,所以a=5 解：由双曲线的定义得1PF,I-PF21=2a. 得乱七八糟。” 又c=3得=-=岩 又IPF,I=2IPF2I, 由3x-片=1，两式相减得 l3x2-y3=1 工程师瞥了清洁工 解得1PF,I=4a,1PF21=2a. 眼说：“那是难免的。” 因此双由线方架为-苦 又因为IPFI+lPF2I≥FF2I, 3(x1+x2)(x1-x2)=（y1+y2)(y1-y2), 清洁工又说：“我 即4a+2a≥2c, 所以35+=-”，所以3.=-2， 热点问题2：求双曲线中的最值问题 y1+y2x1-x2 Yo 看，动工时最好把酒店 所以g≤3，即e≤3. 3 即%=-2o又=2yo, 关闭些日子” 例2设点P是双曲线号- =1右支上的任 又e>1,所以1<e≤3. 工程师说：“那可不 意一点，F,F,分别是其左右焦点，若A(5,2)是平 热点问题4：双曲线中有关对称的探索性问题 所以。 ·2o 行，关闭一段时间，别人 面内一定点，求|PF,I+|PAI的最小值， 例4已知直线y=x+1与双曲线3x2-y 即y0=-3y0,所以y0=0,从而x0=0. 还以为酒店倒闭了呢 分析：由双曲线的定义，将|PF2|+|PA =1相交于A,B两点，那么是否存在实数k使得 而点(0,0)不在直线y=kx+1上，故满足 再说，那也影响收益 转化为lPF,I+lPA|-2a是解题的关键 A,B两点关于直线x-2y=0对称？若存在，求出 条件的k的值不存在 呀。 【方法指津】 于双曲线的标准方程有两种形式，如果不知焦0)，简化了解题过程 “我要是你们，”清 点在x轴上还是在y轴上，则常常需要先判断 洁工不经意地说，“我就 巧设妙求 三、若双曲线与椭圆号+云=1共焦点，可 出焦点在哪条轴上，这无疑是比较麻烦的.实 会把电梯装在楼的外 ≥双曲线方程 质上这类题目可以事先不加以判断，而直接设 面。那样就有利于工程 双曲线方程为mx2-y2=1(mn≠0)，这个方 设为。入+ -=1(62<入<a) 2 进度，又不影响酒店的 ◎四川宾元祥 程实际上包括了两种情况 例3已知双曲线与椭圆 +号=1有共同 效益。” 在求解双曲线方程的过程中，若能根据题 二、若已知双曲线的渐近线bx±y=0, 目的特点，巧妙设出相应的双曲线方程，则可达则可设为x2-2y2=A(入≠0) 的焦点，且与椭圆相交，一个交点的坐标为A(4, 工程师和建筑师听 了这话，相视片刻，不约 到避繁就简的目的.本文介绍几例，说明求双曲 例2已知双曲线的一条渐近线方程为x √5)，求双曲线的标准方程 而同地为清洁工的这 线方程的“巧设”. 2y=0,且双曲线过点P(4,3),求双曲线的标准 一、若双曲线过两个已知点，可设为m2-方程. 解：设双曲线方程为36-入+27-入 x 想法叫绝。 于是便有了近代建 2=1(mn≠0). 解：因为双曲线的一条渐近线方程为x-2y1(27<入<36). 筑史上的伟大变革 例1求经过点P(22,5),Q(-25,=0, 因为点A(4,√15)在双曲线上， 把电梯装在楼外。 6)的双曲线的标准方程 所以可设双曲线方程为x2-4y2=A(入≠0). 因为P(4,3)在双曲线上， 所以6+ 42 =1. 27-λ 大启示：有时候，创 解：设双曲线的方程为mx2-ny2=1(mn≠0)， 所以42-4×32=入， 解得入=32，或入=0（舍去） 新就来自我们最直接最 因为点P,Q在双曲线上 即入=-20. 简单的想法，不要忽略 所以8m-3n=1, 放所求双曲线的标准方程为芳-号：1 故所求双曲线的标准方程为 2y2 -5=1. 别人不经意的发现，这 l12m-6n=1 点评：此类题型还可以进一步拓展：与双曲 1 可能就是你创新的源 解得m= 4,n=3 点评：本题若按照常规解法，需要根据双曲 线上的已知点和渐近线的位置关系确定双曲线 云示=1(a>0,b>0)有公共焦点的双曲 故所求双曲线的标准方程为片-号=1. 焦点的位置.而上面解法则是根据双曲线的渐 点评：根据双曲线过两个已知点求双曲线近线方程，进行逆向思维，即以bx±y=0为渐 线系方程可设为。入+入 =1(-62<入 的标准方程，一般采用待定系数法进行求解.由近线的双曲线方程设为x2-2y2=入（入≠ <a2). 2 素养专练 数理极 专项小练一、双曲线及其标准方程(1)】 5.焦点在x轴上，经过点P(4,-2)和点 专项小练二、双曲线的简单几何性质(2) Q(26,22)的双曲线的标准方程为 1.双曲线号-2=1的焦点坐标是( 6.已知圆C:x2+y2-6x-4y+8=0.以圆 1双曲线后-亏 =1的离心率为( C与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点 (A)(0,±1) (B)(±1,0) 和顶点，求该双曲线的标准方程 (C)(0,±5) (D)(±3,0) (号 (B, 2已知议线c后+。-1，则a的取 (c (D青 值范围为 () 2.双曲线x2-4y2=4的渐近线方程是 (A)(-∞，0) ( (B)(0,2) (A)y=±2x (B)y=±2 (C)(2,+∞) (D)(-0,0)U(2,+∞) (cy=±好 3.双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的 (Dy 2倍，则m= 3.中心在原点，实轴在x轴上，一个焦点在直 线3x-4y+12=0上的等轴双曲线方程是 (A)4 (B)-4 ( (c-4 (D)4 (A)x2-y2=8 (B)x2-y2=4 4已发点P是双线Cc-若-1上点 (C)y2-x2=8 (D)y2-x2=4 F,F2分别为C的左、右焦点，若1PFI=7,则 4已知双面线好-片-1的离心率为2，则 I PF21= 实数m= 5.过双曲线的右焦点F2作垂直于实轴的弦 第7期2版参考答案 以塑两心丰。台≤有：气 PQ,F,为左焦点且∠PF,Q=受，则双曲线的离 专项小练一 1.B:2C:3.D4号+号=：54 故街西E考心率的最大值为号 心率是 32 x2 6.解：因为PF1⊥PF2,所以在Rt△FPF2中 18()解：因为e=÷=5所以d=36, 6.求与椭圆69+4=1有相同焦点，且过 1FF2I=2IP01=10,所以c=5. 点(0,2)的双曲线的标准方程，并写出该双曲线 设F1(-5,0),F2(5,0), 航以撰圆C的方程为统+若=1 的实轴长、焦距、离心率以及渐近线方程. 所以1PF1=45,1PF21=25. 又因为椭圆C过点M(1,1), 故2a=1PF1+1PE1=65,所以a=35, 则8=d-=20故椭圆的标准方程为5+六=1 代入方程解得。2=4，公=专 专项小练二 所以稀圆C的方程为片+头：1 1.B;2.B;3.D.4.3;5.2或4. (2)证明：①当圆0的切线1的斜率存在时 6.解：因为椭圆的焦点在x轴上，对称轴为坐标轴，所以 设直线l的方程为y=kx+m, 可i设其方程为号+卡=1(a>6>0,由椭圆过点(5,0)， 则圆心0到直线1的距离d=m=1, +1 即其个顶点坐标为5,0)，所以a=5.又e=号所以c= 所以1+k2=m2. 数理报社试题研究中心 将直线1的方程和椭圆C的方程联立， 参考答案见下期 2,所以62=a2-c2=25-4=21,所以椭圆的标准方程为 得到(1+32)x2+6kmx+3m2-4=0. 25+27=1 设直线l与椭圆C相交于A(x1,y),B(x2,2)两点， [y =kx +1, 联立方程 x2y2 4+3 =1, 消去y整理得(3+42)x2+ 第7期3,4版参考答案 则 一、单项选择题1~4ABBA5~8CDAB 8kx-8=0,设A(x1y),B(x22), -8k -8 二、多项选择题9.BC;10.ABD;11.ACD. 则+=3+4然西3+4报 三填空题1225；13；14号 所以0.0i=x2+y2 则1AB1=1+k2·√(x1+x2)2-4x1 =(1+)x1+km(x1+3)+m2 -46·个+2.+E 四、解答题 =1+)+a(e)+m 3+42 1s写+y=1若+号= 1+3k2 =4m=44=0: 又d= 1 1+3k2 √个+F 16.(1)18;(2)35. 17.解：(1)设点F关于直线x-y+3=0的对称点为 ②当圆的切线1的斜率不存在时，验证得0.0=0. 所以Sm=d1AB1=46:+2R 3+4k2 F3(x,y), 综上所述，01.0店为定值0. 令个+2=t,由2≥0，得t≥1， 19.解：(1)由题意得1QM1+QW1=1QM1+QP1= x-1-y+0+3=0 解得厂x-3, IMP1=4>2=1MN1, y=2, s授 (2 2 根据椭圆的定义得点Q的轨迹E是以M,N为焦点的 2+日 即F3(-3,2). 椭圆。 由“对称性和两点之间线段最短”，可知 所以a=2,c=1,所以b=√5 易证y=24+在(1，+0)递增。 I MF I+I MF2 I2I F2F3I=25. 故所求轨迹方程为片+苦=1 以2+≥3. 故IMFI+1MF,I的最小值为25. (2)设M是椭圆E与直线x-y+3=0的一个公共点， (2)由题意知5am=25m=2×分×1AB1·d= 从而5A如专5。 则IMF,I+|MF2I=2a. dI ABI(d为，点O到直线l的距离). 由(1)可知IMF11+lMF2I≥1F2F3I=25, 设l的方程为y=kx+1, 所以△ABD的面积S的最大值为石 0)的离心率互为倒数，那么以a,b,m为边的三角形一定是( 双曲线同步核心素养测评（一） (A)直角三角形 (B)等腰三角形 第Ⅱ卷非选择题（共92分) (C)锐角三角形 (D)钝角三角形 ◆数理报社试题研究中心 7.已知双曲线 =1(a>0,b>0)的右焦点为F(2,0) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.若方程mx2+（2-m)2=1表示焦点在y轴上的双曲线，则 第I卷选择题（共58分) 若F关于渐近线y=名x的对称点R恰好落在渐近线y=-么：上， 实数m的取值范围为 a 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 则△ORF的面积为 ( 13.已知双曲线C:x-上 m ·=1的左、右焦点分别为F,F2,并且 上巴克风线（等 -y2=1(a>0)的左、右焦点分别为F, (A)5 (B)2 (C)3 (D)23 经过M(-2,6)点，则1MF,I-MF21=」 ;双曲线C的渐 8.由伦敦著名建筑事务所Steyn Studio 近线方程为 F2,若双曲线C上存在点P满足IPF,I-|PF2I=4,则双曲线C的 设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑 14.数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难人微.” ·条渐近线方程为 ( 是数学与建筑完美结合造就的艺术品.若将 事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，例如，与 (A)x+4y=0 (B)4x+y=0 如图2所示的大教堂外形弧线的一段近似看 (C)2x+y=0 (D)x+2y=0 √(x-a)2+(y-b)2相关的代数问题，可以转化为点A(x,y)与 毫 数学 之双出线号-云=1的左右焦点分别是R,与，M是双出载左 成双曲线 -6京=1(a>0,b>0)下支的 点B(a,b)之间的距离的几何问题.结合上述观点，可得方程 1√x2+4x+5-√x2-4x+51=2的解为 中数学 部分，且此双曲线的一条渐近线为3x+√万y=0,下焦点到下顶点 支上的一点，且IMF,I=7,则1MF2I= 的距离为1，则该双曲线的方程为 四、解答题：本题共5小题，共77分 (A)1 (B)13 (C)1或13 (D)3 性 必修第 又椭+号 15.(13分)已知双曲线与椭圆5+号=1共焦点，它们的离心 9 =1的上顶点到双曲线x2-y2 =1的渐近线的 91 x2 率之和为片，求双曲线的方程与离心率 距离为 5 册 (A)√2 (B)32 (C)2 (D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分 4.已知双曲线C经过点(0,1)，离心率为2，则C的标准方程为 若方+ =1所表示的曲线为C,则下面四个命题 ( ) 中正确的是 同 (A-=1 B)等-y:1 (A)若C为椭圆，则1<t<3 核 (B)若C为双曲线，则t>3或t<1 心素养测评 (C)y2- =1 (C)曲线C可能是圆 选择性必修第一册（北师大版）同步核心素养测评 (D)若C为椭圆，且长轴在y轴上，则1<t<2 5.奥运五环，不仅象征五大洲的团结，而且强调所有参赛运动 员应以公正、坦诚的运动员精神在比赛场上相见.其中奥运五环的 10已如宜线1经过双曲线C:号-卡-1(a>0,6>0)的左焦 大小和间距按以下比例（如图1）：若圆半径均为12，则相邻圆圆心 点，且与C交于A,B两点，若存在两条直线，使得IAB1的最小值为 水平距离为26，两排圆圆心垂直距离为11，设五个圆的圆心分别为 4,则下列四个点中，C经过的点为 ( 01,02,03,04,05,若双曲线C以01,03为焦点、以直线0204为一条 (A)(4,23) (B)(-25,2) 渐近线，则C的离心率为 (C)(-27,-26) 26 (D)(3,-5) 1.已知F,(-2,0),E,(2,0)是双曲线C号 =1(a>0. b>0)的左、右焦点，且F2到C的一条渐近线的距离为2,0为坐标 原点，点M(1,√3)，P为C右支上的一点，则 () 1 (A)a=b=2 (A)290 11 (B)290 13 (D)2 5 (B)过点M且斜率为1的直线与C有两个不同的交点 6.已知双曲线 12 =1和椭圆 (C)若PF,PF2斜率存在，则kpr,·ks,=1 =1(a>0,m>b> m (D)IPMI+|PF,I的最小值为2+22