第11期 抛物线（二）-【数理报】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册同步学案（北师大版2019）

书 高中数学·选择性必修第一册（北师大版）２０２４年９月 第９～１２期参考答案 第９期２版 专项小练一 １．Ａ；　２．ＡＢＣＤ；　３．Ｃ．　４．槡２２；　５． ｙ２ ９ － ｘ２ １６＝１（ｙ≤－３）． ６．解：设双曲线方程为ｙ ２ ａ２ －ｘ ２ ｂ２ ＝１（ａ＞０，ｂ＞０）． 由已知椭圆的两个焦点Ｆ１（０，－３），Ｆ２（０，３）， 又双曲线与椭圆交点Ａ的纵坐标为４， 所以Ａ（槡１５，４）， ４２ ａ２ －（槡１５） ２ ｂ２ ＝１， ａ２＋ｂ２ ＝９ { ， 解得 ａ２ ＝４， ｂ２ ＝５{ ， 故双曲线方程为 ｙ２ ４ － ｘ２ ５ ＝１． 专项小练二 １．Ｂ；　２．Ｃ；　３．Ｃ．　４．ｙ＝± ｘ２；　５．槡２． ６．解：由题意可设要求的双曲线方程为ｘ ２ ４ － ｙ２ ６ ＝λ≠０， 把点Ｐ（２，３）代入可得 ４４ － ９ ６ ＝λ，解得λ＝－ １ ２． 所以双曲线方程为 ｙ２ ３ － ｘ２ ２ ＝１． 第９期３，４版 双曲线同步核心素养测评（二） 一、单项选择题　１～４　ＣＡＣＤ　５～８　ＡＣＢＡ 提示： ２．由双曲线ｘ ２ ａ２ －ｙ ２ ９ ＝１，则其渐近线方程为ｙ＝± ３ ａｘ， 由题意整理方程ｘ±２ｙ＝０可得ｙ＝±１２ｘ，则 ３ ａ ＝ １ ２， 解得ａ＝６．故选：（Ａ）． ３．ｅ＝ ｃａ ＝ ｜Ｆ１Ｆ２｜ ｜ＰＦ１｜－｜ＰＦ２｜ ＝ ８１０－６＝２． ４．由双曲线的方程可得ａ２ ＝４，ｂ２ ＝１２， 所以ａ＝２，ｃ２ ＝４＋１２＝１６，可得ｃ＝４． 设右焦点为Ｆ，左焦点为Ｆ′， 当点Ｐ在左支上时，则｜ＰＦ｜≥ａ＋ｃ＝６， 所以｜ＰＦ′｜＝｜ＰＦ｜－２ａ＝８－２×２＝４； 当点Ｐ在右支上时，｜ＰＦ′｜＝｜ＰＦ｜＋２ａ＝８＋２×２＝１２． 故选：（Ｄ）． ５．由题得ｅ２ ＝ａ＋２ａ ＝９，解得ａ＝ １ ４，则ｚ＝ １ ４ ＋ｉ， (｜ｚ｜＝ )１４ ２ ＋槡 １＝ 槡１７ ４ ，故选：（Ａ）． ６．由题意知｜ＡＰ｜＋｜ＡＦ２｜＝｜ＡＰ｜＋｜ＡＦ１｜－２ａ， 要求｜ＡＰ｜＋｜ＡＦ２｜的最小值， 只需求｜ＡＰ｜＋｜ＡＦ１｜的最小值， 当Ａ，Ｐ，Ｆ１三点共线时取得最小值， 则｜ＡＰ｜＋｜ＡＦ１｜＝｜ＰＦ１｜＝槡３７， 所以｜ＡＰ｜＋｜ＡＦ２｜＝｜ＡＰ｜＋｜ＡＦ１｜－２ａ≥ 槡３７－ 槡２５． ７．设双曲线的标准方程为ｘ ２ ａ２ －ｙ ２ ｂ２ ＝１（ａ＞０，ｂ＞０），因为 半焦距ｃ＝槡５，ｃ２ ＝ａ２＋ｂ２，所以ｂ２＝５－ａ２，所以 ｘ２ ａ２ － ｙ ２ ５－ａ２ ＝１．因为线段ＰＦ１的中点的坐标为（０，２），所以点 Ｐ的坐标为 （槡５，４）．将Ｐ（槡５，４）代入双曲线方程，得 ５ ａ２ － １６ ５－ａ２ ＝１，解得 ａ２ ＝１或ａ２ ＝２５（舍去），所以双曲线的标准方程为ｘ２－ｙ ２ ４ ＝ １．故选（Ｂ）． ８．依题意可知 (Ｍ 槡５３３， )４ ， (Ｎ 槡３９３ ，－ )２ ， 将Ｍ，Ｎ的坐标分别代入ｘ ２ ａ２ －ｙ ２ ｂ２ ＝１， 得 ２５ ３ａ２ －１６ ｂ２ ＝１， １３ ３ａ２ －４ ｂ２ ＝１{ ，解得ａ２ ＝３，ｂ２ ＝９， 所以双曲线Ｃ的方程为：ｘ ２ ３ － ｙ２ ９ ＝１，其渐近线为ｙ＝±槡３ｘ， 依次分析计算选项可知，只有（Ａ）选项，其渐近线为 ｙ＝ ±槡３ｘ，符合题意．故选：（Ａ）． 二、多项选择题　９．ＡＣＤ；　１０．ＡＣＤ；　１１．ＡＤ． 提示： ９．设｜ＡＦ２｜＝ｔ，则｜ＡＦ１｜＝２ｔ，｜Ｆ１Ｆ２｜＝槡３ｔ， 离心率ｅ＝ ｜Ｆ１Ｆ２｜ ｜ＡＦ１｜－｜ＡＦ２｜ ＝槡３，（Ｃ）正确； 因此 １＋ ｂ槡 １ ＝槡３，ｂ＝２，（Ａ）正确； ｜Ｆ１Ｆ２｜＝２ １槡 ＋ｂ＝ 槡２３，（Ｂ）错误； 设Ａ（ｘＡ，ｙＡ），将ｘＡ ＝槡３代入得ｙＡ ＝２，则Ａ（槡３，２）， 则△ＡＢＦ１的面积为 １ ２｜Ｆ１Ｆ２｜·２ｙＡ ＝ 槡４３，（Ｄ）正确． 故选（Ａ）（Ｃ）（Ｄ）． １０．由题意可得 ２ａ＝６，２ｃ＝１０，所以 ａ＝３，ｃ＝５，ｂ＝ ｃ２－ａ槡 ２ ＝４，则双曲线Ｃ： ｘ２ ９ － ｙ２ １６＝１． Ｃ的渐近线上的点到Ｆ距离的最小值为Ｆ到渐近线的距离ｄ ＝ｂｃｃ ＝ｂ＝４，所以（Ａ）正确； 离心率ｅ＝ ｃａ ＝ ５ ３，所以（Ｂ）不正确； 双曲线上，右顶点到Ｆ的距离最小，５－３＝２，所以（Ｃ）正确； Ｃ的通径长为２ｂ ２ ａ ＝ ３２ ３，故（Ｄ）正确． 故选：（Ａ）（Ｃ）（Ｄ）． １１．因双曲线Ｃ的标准方程为ｘ２－ｙ ２ ４ ＝１，则ａ＝１，ｂ＝２， ｃ＝槡５，双曲线Ｃ的离心率ｅ＝ ｃ ａ ＝槡５，即（Ａ）正确； 双曲线Ｃ的渐近线方程为ｙ＝±２ｘ，而双曲线ｙ２－ｘ ２ ４ ＝１的 渐近线方程为ｙ＝±１２ｘ，它们不同，（Ｂ）不正确； 因双曲线Ｃ的渐近线和圆（ｘ－１）２＋ｙ２＝１都关于ｘ轴对称， 不妨选渐近线２ｘ＋ｙ＝０，圆心（１，０）到直线２ｘ＋ｙ＝０的距离ｄ ＝ ２ ２２＋１槡 ２ ＝ 槡２５５，所以渐近线２ｘ＋ｙ＝０被该圆所截弦长为 ２ １２－ｄ槡 ２ ＝ 槡 ２５ ５，（Ｃ）不正确； 由 ｙ＝ｋｘ＋ｂ， ４ｘ２－ｙ２ ＝{ ４得（４－ｋ２）ｘ２－２ｋｂｘ－（ｂ２＋４）＝０， ｋ＝±２，ｂ＝０时，方程组无解，直线与双曲线交点个数为０， ｋ＝±２，ｂ≠０时，方程组有一解，直线与双曲线交点个数为１， ｋ２≠４时，Δ＝１６（ｂ２－ｋ２＋４）， 若Δ＜０，则方程组无解，直线与双曲线交点个数为０， 若Δ＝０，则方程组有一解，直线与双曲线交点个数为１， 若Δ＞０，则方程组有两解，直线与双曲线交点个数为２， 综上得直线ｙ＝ｋｘ＋ｂ与双曲线Ｃ的公共点个数只可能为０， １，２，即（Ｄ）正确．故选（Ａ）（Ｄ）． 三、填空题 １２．槡８２，４；　１３．槡 ５－１ ２ ；　１４．－２． 提示： １２．双曲线方程ｘ２－８ｙ２＝３２化为标准方程为ｘ ２ ３２－ ｙ２ ４ ＝１， 可得ａ＝ 槡４２，ｂ＝２，所以双曲线的实轴长为 槡８２，虚轴长为４． １３．由题意ｅ＝ ａ＋１槡ａ ＝ ２ 槡５－１ ，则１＋１ａ ＝ ３＋槡５ ２ ， 所以ａ＝ ２ １＋槡５ ＝槡５－１２ ． １４．设Ｐ（ｘ，ｙ），根据双曲线方程知左顶点为Ａ１（－１，０），右 焦点为Ｆ２（２，０），所以 →ＰＡ１·→ＰＦ２＝（－１－ｘ，－ｙ）·（２－ｘ，－ｙ） ＝ｘ２－ｘ－２＋ｙ２ ＝４ｘ２－ｘ－５＝４ ｘ－( )１８ ２ －８１１６，因为ｘ≥ １，所以当ｘ＝１时，→ＰＡ１·→ＰＦ２取得最小值，最小值为 －２． 四、解答题 １５．解：设爆炸点为Ｐ，由已知，得｜ＰＡ｜－｜ＰＢ｜＝３４０×４＝ １３６０（ｍ）， 因为｜ＡＢ｜＝２ｋｍ＝２０００ｍ＞１３６０ｍ，｜ＰＡ｜＞｜ＰＢ｜， 所以点Ｐ在以点Ａ，Ｂ为焦点的双曲线并靠近点Ｂ的那一支上． 以直线ＡＢ为ｘ轴，线段ＡＢ的垂直平分线为ｙ轴，建立平面直 角坐标系． 由２ａ＝１３６０，２ｃ＝２０００，得 ａ＝６８０，ｃ＝１０００，ｂ２ ＝ｃ２－ａ２ ＝５３７６００． 因此，点Ｐ所在曲线是双曲线的右支， 它的方程是 ｘ２ ４６２４００－ ｙ２ ５３７６００＝１（ｘ＞０）． １６．解：（１）由双曲线方程知：其渐近线方程为ｙ＝±２３ｘ． （２）由双曲线定义｜ＰＦ１｜－｜ＰＦ２｜＝２ａ＝６， 又｜ＰＦ１｜·｜ＰＦ２｜＝｜ＰＦ２｜２＋６｜ＰＦ２｜＝１６， 所以｜ＰＦ２｜２＋６｜ＰＦ２｜－１６＝（｜ＰＦ２｜＋８）（｜ＰＦ２｜－２） ＝０，可得｜ＰＦ２｜＝２（负值舍）， 所以ＰＦ２的大小为２． １７．解：方案一：选择条件①． 因为ｍ＞０，所以ａ２ ＝ｍ，ｂ２ ＝２ｍ，ｃ２ ＝ａ２＋ｂ２ ＝３ｍ， 所以 槡ａ＝ ｍ，ｃ＝ ３槡ｍ． 因为Ｃ的左支上的点到右焦点的距离的最小值为ａ＋ｃ， 所以槡ｍ＋ ３槡ｍ ＝（１＋槡３）槡ｍ ＝３＋槡３， 解得ｍ＝３，故Ｃ的方程为ｘ ２ ３ － ｙ２ ６ ＝１． 方案二：选择条件②． 因为Ｃ的焦距为６，所以ｃ＝３． 若ｍ＞０，则ａ２ ＝ｍ，ｂ２ ＝２ｍ，ｃ２ ＝ａ２＋ｂ２ ＝３ｍ， 所以ｃ＝ ３槡ｍ ＝３，解得ｍ＝３，则Ｃ的方程为 ｘ２ ３ － ｙ２ ６ ＝１； 若ｍ＜０，则ａ２ ＝－２ｍ，ｂ２ ＝－ｍ，ｃ２ ＝ａ２＋ｂ２ ＝－３ｍ， 所以ｃ＝ －３槡 ｍ ＝３，解得ｍ＝－３， 则Ｃ的方程为ｙ ２ ６ － ｘ２ ３ ＝１． 综上，Ｃ的方程为ｘ ２ ３ － ｙ２ ６ ＝１或 ｙ２ ６ － ｘ２ ３ ＝１． 方案三：选择条件③． 因为Ｃ上任意一点到两焦点的距离之差的绝对值为４， 所以２ａ＝４，即ａ＝２． 若ｍ＞０，则ａ２ ＝ｍ，所以 槡ａ＝ ｍ ＝２，解得ｍ＝４， 则Ｃ的方程为ｘ ２ ４ － ｙ２ ８ ＝１； 若ｍ＜０，则ａ２ ＝－２ｍ，所以ａ＝ －２槡 ｍ ＝２， 解得ｍ＝－２，则Ｃ的方程为ｙ ２ ４ － ｘ２ ２ ＝１； 综上，Ｃ的方程为ｘ ２ ４ － ｙ２ ８ ＝１或 ｙ２ ４ － ｘ２ ２ ＝１． １８．解：（１）因为｜ （ｘ－槡１０）２＋ｙ槡 ２－ （ｘ＋槡１０）２＋ｙ槡 ２｜＝ ２＜ 槡２ １０，所以Ｃ是以（槡１０，０），（－槡１０，０）为焦点，实轴长为 ２的双曲线． 设Ｃ：ｘ ２ ａ２ －ｙ ２ ｂ２ ＝１（ａ＞０，ｂ＞０），则ｃ＝槡１０，ａ＝１，ｂ＝３， 所以Ｃ的方程为ｘ２－ｙ ２ ９ ＝１． （２）由（１）可得Ｃ的渐近线方程为ｙ＝±３ｘ， 由 ｙ＝－３ｘ， ｙ＝ｘ－４{ ，得 ｘ＝１， ｙ＝－３{ ，即Ｄ（１，－３）． 设Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２）， 由 ｙ＝ｘ－４， ｘ２－ｙ ２ ９ ＝１ { ，得８ｘ２＋８ｘ－２５＝０， 由韦达定理得ｘ１＋ｘ２ ＝－１， 则→ＯＡ·→ →  ＯＤ＋ＯＢ·→ＯＤ＝ｘ１＋ｘ２－３（ｙ１＋ｙ２）＝ｘ１＋ｘ２－３（ｘ１ －４＋ｘ２－４）＝２６． １９．（１）解：由题可得 ｘ２０ ２ －ｙ ２ ０ ＝１，即ｙ２０ ＝ ｘ２０ ２ －１， 联立 ｘ２ ２ －ｙ ２ ＝１与 ｘ０ｘ ２ －ｙ０ｙ＝１， 消去ｙ得 (： ｙ２０２ －ｘ ２ ０ )４ ｘ２＋ｘ０ｘ－（１＋ｙ２０）＝０， 则ｘ２－２ｘ０ｘ＋ｘ２０ ＝０，显然Δ＝４ｘ２０－４ｘ２０ ＝０， 所以该直线与双曲线有且只有１个公共点． （２）解：由（１）知，直线 ｘ０ｘ ２－ｙ０ｙ＝１与双曲线 ｘ２ ２－ｙ ２＝１相 切于点（ｘ０，ｙ０）， 所以过双曲线 ｘ２ ａ２ －ｙ ２ ｂ２ ＝１（ａ＞０，ｂ＞０）上一点（ｘ０，ｙ０）的 切线方程为 ｘ０ｘ ａ２ － ｙ０ｙ ｂ２ ＝１． 书 ２（ｃｏｓα＋１） ｓｉｎ２α ，即｜ＡＦ｜＝２（ｃｏｓα＋１） ｓｉｎ２α ． １９．解：（１）以Ｏ为原点，ＯＭ为ｘ轴正 向建立平面直角坐标系， 由题意，抛物线Ｃ１的通径为２ａ，所以 抛物线Ｃ１的标准方程为ｙ２ ＝２ａｘ． （２）设抛物线Ｃ２：ｘ２＝ｍｙ（ｍ＞０）， 又由题意，ＯＭ３ ＝ｘ３Ｐ ＝２ａ３，所以ｘＰ ＝３槡２ａ，代入ｙ２ ＝２ａｘ． 得：ｙ２Ｐ ＝２ ３ 槡２ａ２，解得：ｙＰ ＝ ３ 槡４ａ， 所以点Ｐ（３槡２ａ， ３ 槡４ａ），代入ｘ２ ＝ｍｙ， 得：（ ３ 槡２ａ）２ ＝ｍ ３ 槡４ａ，解得：ｍ＝ａ， 所以抛物线Ｃ２的标准方程为ｘ２ ＝ａｙ． 第１２期３，４版 直线与圆锥曲线的位置关系同步核心素养测评 一、单项选择题　１～４　ＢＤＤＡ　５～８　ＣＣＡＤ 提示： １．因点（２，４）在抛物线ｙ２ ＝８ｘ上，所以过该点与抛物线相切 的直线和过该点与ｘ轴平行的直线都与抛物线只有一个公共点． 故选（Ｂ）． ２．由双曲线的几何性质可知，当直线ｌ的斜率不存在或斜率 的绝对值不小于１（渐近线斜率的绝对值）时，ｌ与双曲线没有公 共点．所以直线ｌ [倾斜角的取值范围是 π４，３π]４ ． ３．联立方程 ｘ２ １６＋ ｙ２ ４ ＝１， ｘ＋２ｙ－４＝０ { ， 得ｙ２－２ｙ＝０，所以ｙ１＋ｙ２＝ ２，ｘ１＋ｘ２ ＝４，所以中点Ｍ的坐标为（２，１）．故选：（Ｄ）． ４．由题意，联立 ｋｘ－ｙ＋１＝０， ｙ＝ｘ２{ ， 可得：ｘ２－ｋｘ－１＝０， 则Δ＝ｋ２＋４＞０恒成立，则直线ｋｘ－ｙ＋１＝０与抛物线ｙ ＝ｘ２必定有两个交点， 则ｐｑ显然成立，ｑｐ不成立，故选：（Ａ）． ５．设该椭圆焦点在ｘ轴上， 以中心为原点，建立直角坐标 系，如图１所示，设椭圆的方程 为： ｘ２ ａ２ ＋ｙ ２ ｂ２ ＝１，ａ＞ｂ＞０，由 题意可得２ａ＝２１２，２ｂ＝１４４， 即ａ＝１０６，ｂ＝７２，则椭圆 Ｃ的方程为 ｘ ２ １０６２ ＋ｙ ２ ７２２ ＝１， 因为直线ｌ平行于长轴且Ｃ的中心到ｌ的距离是２４ｍ， 令ｙ＝２４，得｜２ｘ｜＝ 槡４２４２３ ≈２００（ｍ），故选：（Ｃ）． ６．抛物线ｘ２ ＝１６ｙ的焦点Ｆ的坐标为（０，４），准线方程为 ｙ ＝－４，由题意知，△ＰＡＢ为“阿基米德三角形”，可得Ｐ点必在抛 物线的准线上， 所以点Ｐ（２，－４），直线ＰＦ的斜率为４－（－４）０－２ ＝－４， 又因为ＰＦ⊥ＡＢ，所以直线ＡＢ的斜率为 １４， 所以直线ＡＢ的方程为ｙ＝ １４ｘ＋４，即ｘ－４ｙ＋１６＝０， 故选：（Ｃ）． ７．设椭圆的方程为ｘ ２ ａ２ ＋ｙ ２ ｂ２ ＝１（ａ＞ｂ＞０）， 设椭圆的右焦点为Ｆ１， 所以Ｆ１（ｃ，０），所以直线ｌ的方程为ｙ＝ｘ－ｃ， 所以原点Ｏ到直线ｌ的距离等于Ｅ的短轴长，即 ｃ 槡２ ＝２ｂ，得 ｃ２ ＝８ｂ２，又ａ２ ＝ｂ２＋ｃ２，所以ｃ２ ＝８（ａ２－ｃ２）８ａ２ ＝９ｃ２， 所以ｅ＝ ｃａ ＝ 槡２２ ３，故选：（Ａ）． ８．因为该双曲线的一条渐近线方程是ｙ＝槡２ｘ，则 ｂ ａ ＝槡２， 又由ｃ２ ＝ａ２＋ｂ２，可得 ｂｃ ＝槡 ２ ３， 由过点Ｆ２且垂直于ｘ轴的垂线在ｘ轴上方交双曲线Ｃ于点 Ｍ，可知Ｍ的横坐标为ｃ， 代入双曲线方程可得： ｃ２ ａ２ －ｙ ２ ｂ２ ＝１，ｃ ２ ａ２ －１＝ｃ ２－ａ２ ａ２ ＝ｂ ２ ａ２ ＝ｙ ２ ｂ２ ，又有ｙ＞０，可知 (Ｍ ｃ，ｂ２ )ａ ，所以ｔａｎ∠ＭＦ１Ｆ２ ＝ｂ２２ａｃ＝ １ ２· ｂ ａ· ｂ ｃ ＝ １ ２ ×槡２×槡 ２ ３ ＝ 槡３ ３．故选：（Ｄ）． 二、多项选择题　９．ＡＣＤ；　１０．ＢＤ；　１１．ＢＣ． 提示： ９．在ｘ ２ ４ －ｙ ２ ＝１中，令ｘ＝ｔ，得ｙ２ ＝ｔ ２－４ ４ ． 当ｔ＝－２或ｔ＝２时，均只有一个交点； 当ｔ＜－２或ｔ＞２时，有两个交点； 当 －２＜ｔ＜２时，无交点．故选（Ａ）（Ｃ）（Ｄ）． １０．对于选项（Ａ），由已知得ａ２ ＝２，ｂ２ ＝１，则ｃ２ ＝ａ２－ｂ２ ＝１，即ｅ＝ ｃａ ＝ 槡２ ２，故（Ａ）错； 对于选项（Ｂ），由已知得，要使△ＰＦ１Ｆ２的面积最大，需底边 Ｆ１Ｆ２上的高最大，高的最大值为１，则△ＰＦ１Ｆ２面积的最大值为 １ ２ ×２×１＝１，故（Ｂ）正确； 对于选项（Ｃ），以线段Ｆ１Ｆ２为直径的圆的方程为ｘ２＋ｙ２＝１，则 该圆的圆心到直线的距离为ｄ＝｜０＋０－１｜ 槡２ ＝槡２２ ＜１，即以线段 Ｆ１Ｆ２为直径的圆与直线ｘ＋ｙ－１＝０相交，故（Ｃ）不正确； 对于选项（Ｄ），设点 Ｐ（ｘ０，ｙ０），则 ｋＰＡ·ｋＰＢ ＝ ｙ０ ｘ０＋槡２ · ｙ０ ｘ０－槡２ ＝ ｙ２０ ｘ２０－２ ＝ １－ ｘ２０ ２ ｘ２０－２ ＝－１２，故（Ｄ）正确． 故选：（Ｂ）（Ｄ）． １１．抛物线Ｃ：ｙ２＝２ｘ的焦点为 (Ｆ １２， )０ ，设过焦点Ｆ的直线 方程为：ｘ＝ｍｙ＋１２，与抛物线方程联立可得：ｙ ２－２ｍｙ－１＝０， 设Ｐ（ｘ１，ｙ１），Ｑ（ｘ２，ｙ２）， 若Ｍ的坐标为（１，２），则ｘ１＋ｘ２ ＝２，ｙ１＋ｙ２ ＝４， 而 ｙ１＋ｙ２ ＝２ｍ， ｙ１ｙ２ ＝－１， ｘ１＋ｘ２ ＝２ｍ２＋１ { ， 即 ２ｍ＝４， ２ｍ２＋１＝２{ ，方程组无解，所以 （Ａ）错误； 又→  ＯＰ·→ＯＱ ＝ｘ１ｘ２＋ｙ１ｙ２ (＝ ｍｙ１＋ ) (１２ ｍｙ２＋ )１２ ＋ｙ１ｙ２ ＝（ｍ２＋１）ｙ１ｙ２＋ １ ２ｍ（ｙ１＋ｙ２）＋ １ ４ ＝－（ｍ２＋１）＋ｍ２＋１４ ＝－ ３ ４ ＜０， 即→ＯＰ·→ＯＱ＜０，所以坐标原点在以ＰＱ为直径的圆内，所以 （Ｂ）正确； ｋＯＰ·ｋＯＱ ＝ ｙ１ｙ２ ｘ１ｘ２ ＝ ｙ１ｙ ( ２ ｍｙ１＋ ) (１２ ｍｙ２＋ )１２ ＝ ｙ１ｙ２ ｍ２ｙ１ｙ２＋ １ ２ｍ（ｙ１＋ｙ２）＋ １ ４ ＝ －１ －ｍ２＋１２ｍ×２ｍ＋ １ ４ ＝－４，故（Ｃ）正确； 抛物线的通径为２ｐ＝２，所以线段ＰＱ的长度的最小值为２， 故（Ｄ）错误．故选（Ｂ）（Ｃ）． 三、填空题 １２．有唯一公共点且相切；　１３．槡３５２ ；　１４． ５ ４． 提示： １２．因为直线过点（－１，０）且倾斜角为４５°， 所以直线方程为ｙ＝ｘ＋１， 将ｙ＝ｘ＋１与ｙ２ ＝４ｘ联立可得（ｘ＋１）２ ＝４ｘ， 即ｘ２－２ｘ＋１＝０， 所以Δ＝４－４＝０且有重根ｘ＝１， 所以该直线与抛物线ｙ２ ＝４ｘ有唯一公共点且相切． １３．联立ｘ－２ｙ＋１＝０与ｘ ２ ４ ＋ｙ ２＝１，得２ｘ２＋２ｘ－３＝０， 设Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２）， 则ｘ１＋ｘ２ ＝－１，ｘ１ｘ２ ＝ －３ ２， 故｜ＡＢ｜＝ １ (＋ )１２槡 ２ （ｘ１＋ｘ２）２－４ｘ１ｘ槡 ２ ＝ 槡５ ２ × １＋４×槡 ３ ２ ＝ 槡３５ ２ ． １４．双曲线ｘ ２ １６－ ｙ２ ９ ＝１中， ａ２ ＝１６，ｂ２ ＝９， 所以ａ＝４，ｂ＝３， 则ｃ＝ ａ２＋ｂ槡 ２ ＝５， 连接Ｆ１Ｑ，Ｆ２Ｑ， 则 Ｆ１Ｑ，Ｆ２Ｑ分别为 ∠ＰＦ１Ｍ， ∠ＰＦ２Ｍ的平分线，由角平分线性质 知： ｜ＭＱ｜ ｜ＰＱ｜＝ ｜ＭＦ２｜ ｜ＰＦ２｜ ＝ ｜ＭＦ１｜ ｜ＰＦ１｜ ＝ ｜ＭＦ１｜－｜ＭＦ２｜ ｜ＰＦ１｜－｜ＰＦ２｜ ＝２ｃ２ａ＝ｅ， 而ｅ＝ ｃａ ＝ ５ ４， 故 ｜ＭＱ｜ ｜ＰＱ｜＝ ５ ４． 四、解答题 １５．解：（１）由题可得动点Ｇ的轨迹是以Ｆ（２，０）为焦点的抛 物线，其方程为ｙ２ ＝８ｘ． （２）设直线ｌ的方程为ｘ＝ｍｙ＋２， 联立 ｘ＝ｍｙ＋２， ｙ２ ＝８ｘ{ ， 得ｙ２－８ｍｙ－１６＝０， Δ＝６４ｍ２＋６４＞０，ｙ１ｙ２ ＝－１６． １６．解：（１）由题意得 ２ｃ＝４， ａ２ ＝ｂ２＋ｃ２， ３ ａ２ ＋１ ｂ２ ＝１{ ，得 ａ ２ ＝６， ｂ２ ＝２， ｃ＝２ { ， 所以椭圆Ｍ的标准方程为ｙ ２ ６ ＋ ｘ２ ２ ＝１． （２）设与ｌ平行的ｌ１：ｙ＝ｘ＋ｂ， 由 ｙ２ ６ ＋ ｘ２ ２ ＝１， ｙ＝ｘ＋ｂ { ， 得４ｘ２＋２ｂｘ＋ｂ２－６＝０， 由Δ＝４ｂ２－４×４（ｂ２－６）＝０，得ｂ＝± 槡２２， 则ｌ１的斜截式方程为ｙ＝ｘ± 槡２２． １７．解：（１）由已知２ａ＝２，ａ＝１， 又ｃ＝槡５，则ｂ＝ ｃ２－ａ槡 ２ ＝２， 所以双曲线Ｃ的方程为ｘ２－ｙ ２ ４ ＝１． （２）由 ｙ＝ｘ＋２， ｘ２－ｙ ２ ４ ＝１ { ，得３ｘ２－４ｘ－８＝０， 则Δ＝（－４）２－４×３×（－８）＝１１２＞０， 设Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２），则ｘ１＋ｘ２ ＝ ４ ３，ｘ１ｘ２ ＝－ ８ ３， 所以｜ＡＢ｜＝ １＋１槡 ２｜ｘ１－ｘ２｜＝槡２×槡 １１２ ３ ＝ 槡４ １４ ３ ． １８．解：（１）设Ａ（ｘＡ，ｙＡ）． 由题意，Ｆ２（ｃ，０），ｃ＝ １＋ｂ槡 ２， ｙ２Ａ ＝ｂ２（ｃ２－１）＝ｂ４， 因为△Ｆ１ＡＢ是等边三角形，所以２ｃ＝槡３｜ｙＡ｜， 即４（１＋ｂ２）＝３ｂ４，解得ｂ２ ＝２． 故双曲线的渐近线方程为ｙ＝±槡２ｘ． （２）由已知，Ｆ２（２，０）． 设Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２），直线ｌ：ｙ＝ｋ（ｘ－２）， 由 ｘ２－ｙ ２ ３ ＝１， ｙ＝ｋ（ｘ－２ { ）， 得（ｋ２－３）ｘ２－４ｋ２ｘ＋４ｋ２＋３＝０． 因为ｌ与双曲线交于两点， 所以ｋ２－３≠０，且Δ＝３６（１＋ｋ２）＞０． 由ｘ１＋ｘ２ ＝ ４ｋ２ ｋ２－３ ，ｘ１ｘ２ ＝ ４ｋ２＋３ ｋ２－３ ， 得（ｘ１－ｘ２）２ ＝ ３６（ｋ２＋１） （ｋ２－３）２ ， 故｜ＡＢ｜＝ （ｘ１－ｘ２）２＋（ｙ１－ｙ２）槡 ２ ＝ １＋ｋ槡 ２｜ｘ１－ｘ２｜ ＝６（ｋ ２＋１） ｜ｋ２－３｜ ＝４， 解得ｋ２ ＝ ３５，故ｌ的斜率为 ± 槡１５ ５ ． １９．（１）解：设双曲线的标准方程为ｘ ２ ａ２ －ｙ ２ ｂ２ ＝１（ａ＞０，ｂ＞ ０），由已知得 ｃａ ＝ 槡５ ２，２ｂ＝２，又ａ ２＋ｂ２＝ｃ２，解得ａ＝２，ｂ＝ １，所以双曲线的标准方程为ｘ ２ ４ －ｙ ２ ＝１． （２）证明：设Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２），联立 ｙ＝ｋｘ＋ｍ， ｘ２ ４ －ｙ ２ ＝１{ ， 得（１－４ｋ２）ｘ２－８ｍｋｘ－４（ｍ２＋１）＝０， 则有 Δ＝６４ｍ２ｋ２＋１６（１－４ｋ２）（ｍ２＋１）＞０， ｘ１＋ｘ２ ＝ ８ｍｋ １－４ｋ２ ， ｘ１ｘ２ ＝ －４（ｍ２＋１） １－４ｋ２ { ， ｙ１ｙ２ ＝（ｋｘ１＋ｍ）（ｋｘ２＋ｍ） ＝ｋ２ｘ１ｘ２＋ｍｋ（ｘ１＋ｘ２）＋ｍ２ ＝ ｍ２－４ｋ２ １－４ｋ２ ， 因为以ＡＢ为直径的圆过双曲线Ｃ的左顶点Ｄ（－２，０）， 所以ｋＡＤ·ｋＢＤ ＝－１，即 ｙ１ ｘ１＋２ · ｙ２ ｘ２＋２ ＝－１， 所以ｙ１ｙ２＋ｘ１ｘ２＋２（ｘ１＋ｘ２）＋４＝０， 所以 ｍ２－４ｋ２ １－４ｋ２ ＋－４（ｍ ２＋１） １－４ｋ２ ＋ １６ｍｋ １－４ｋ２ ＋４＝０， 所以３ｍ２－１６ｍｋ＋２０ｋ２ ＝０，解得ｍ＝２ｋ或ｍ＝１０ｋ３． 当ｍ＝２ｋ时，直线 ｌ的方程为 ｙ＝ｋ（ｘ＋２），直线过定点 （－２，０），与已知矛盾； 当 ｍ＝１０ｋ３时，直线ｌ的方程为ｙ＝ｋｘ＋ １０( )３ ，直线过定点 －１０３，( )０，经检验符合已知条件， 所以直线ｌ过定点，定点坐标为 －１０３，( )０． ! ! " !"#$%&'()*+,-./012!3+ "#$% 4 ! 5"6$3&'(7*+,-.8012&3+ "#$% 4 !"#$ !"#$ ! " ! ! # ! $ % ! & ! '" % %#!$ ! " ! ! ( ) * ! + " * " % ! ! ! ! ! , ! , " ( + " ! ! 书 故与直线ＯＡ垂直的直线的斜率为 －１． 因此，所求直线的方程是ｙ＝－ ｘ－( )１２ ， 即２ｘ＋２ｙ－１＝０． 专项小练二 １．Ｃ；　２．Ｂ；　３．Ａ．　４ (． １２， )１ ；　５．４． ６．（１）解：若点Ａ，Ｃ在Ｃ１上，则２２ ＝２ｐ，４２ ＝８ｐ， 解得ｐ＝２， 此时Ｃ１：ｙ２ ＝４ｘ，点Ｂ不在Ｃ１上； 若点Ａ，Ｂ在Ｃ１上，则２２ ＝２ｐ，３２ ＝４ｐ，无解； 若点Ｂ，Ｃ在Ｃ１上，则３２ ＝４ｐ，４２ ＝８ｐ，无解； 综上，Ｃ１的方程为ｙ２ ＝４ｘ． （２）证明：由题知，将ｙ＝ｋｘ＋ｍ代入ｙ２ ＝４ｘ得： ｋ２ｘ２＋２（ｋｍ－２）ｘ＋ｍ２ ＝０， 所以Δ＝４（ｋｍ－２）２－４ｋ２ｍ２＝４［（ｋｍ－２）２－（ｋｍ）２］＝ １６（１－ｋｍ）＝０，即ｋｍ＝１，所以ｋ２＋ｍ２≥２ｋｍ＝２． 第１１期３，４版 抛物线同步核心素养测评（二） 一、单项选择题　１～４　ＢＣＡＡ　５～８　ＢＤＤＤ 提示： ２．抛物线ｙ２ ＝２ｐｘ（ｐ＞０） (的焦点为 ｐ２， )０ ， (则点 ｐ２， )０ 到直线ｙ＝ｘ＋１的距离ｄ＝ ｐ ２ ＋１ １＋槡 １ ＝槡２，解得ｐ＝２． ３．由题意抛物线Ｃ的焦点坐标为（０，１）， 所以抛物线Ｃ的标准方程为ｘ２ ＝４ｙ，其准线为ｙ＝－１， 而ｙＮ ＝ｋ＝ ｘ２Ｎ ４ ＝１，所以Ｃ上点Ｎ（－２，ｋ）到ｌ的距离为ｄ ＝ｙＮ ＋２＝３．故选：（Ａ）． ４．如图１，建立平面直角坐标系． 设该抛物线的方程为ｘ２ ＝－２ｐｙ（ｐ ＞０），易知抛物线经过点（５，－６）， 所以５２ ＝－２ｐ×（－６），解得ｐ＝ ２５ １２，故该抛物线的顶点到焦点的距离为 ｐ ２ ＝ ２５ ２４，故竖直悬挂的闪光灯距离水 面的距离为：ｄ＝６－２５２４≈４９６米． ５．抛物线ｙ２＝４ｘ的焦点为Ｆ（１，０），准线方程为ｌ：ｘ＝－１， 点Ｍ（４，４），由抛物线的定义可知｜ＭＦ｜＝｜ＭＨ｜，所以∠ＦＭＨ的 角平分线所在的直线就是线段 ＨＦ的垂直平分线．因为过点 Ｍ（４，４）作直线ｌ：ｘ＝－１的垂线，垂足为Ｈ，所以点Ｈ的坐标为 （－１，４），所以ＦＨ的斜率ｋＨＦ ＝ ４－０ －１－１＝－２，所以∠ＦＭＨ的角 平分线的斜率为ｋ＝ １２． ６．设从点Ａ（５，２）沿平行于抛物线对称轴的方向射出的直线 与抛物线交于点Ｐ，易知 ｙＰ ＝２，将（ｘＰ，ｙＰ）代入抛物线方程得 ｘＰ ＝４，即Ｐ（４，２）， 设焦点为Ｆ，则 (Ｆ １４，)０ ，设Ｑ（ｙ２Ｑ，ｙＱ），由Ｐ，Ｆ，Ｑ三点共线， 有 ２－０ ４－１４ ＝ ｙＱ －０ ｙ２Ｑ － １ ４ ，化简得８ｙ２Ｑ －１５ｙＱ －２＝０， 解得ｙＱ ＝－ １ ８或ｙＱ ＝２（舍），即 (Ｑ １６４，－ )１８ ． 故选：（Ｄ）． ７．作出抛物线的准线ｌ：ｘ＝－１，设Ａ，Ｂ在ｌ上的射影分别是 Ｃ，Ｄ，连接ＡＣ，ＢＤ，过Ｂ作ＢＥ⊥ＡＣ于Ｅ．因为→ＡＦ＝３→ＦＢ，所以设 ｜ＡＦ｜＝３ｍ，｜ＢＦ｜＝ｍ，由点Ａ，Ｂ分别在抛物线上，结合抛物线 的定义，得 ｜ＡＣ｜＝３ｍ，｜ＢＤ｜＝ｍ．因此，在 Ｒｔ△ＡＢＥ中， ｃｏｓ∠ＢＡＥ＝｜ＡＥ｜｜ＡＢ｜＝ １ ２，得∠ＢＡＥ＝６０°，所以直线ＡＢ的斜率 ｋ＝ｔａｎ６０°＝槡３，则直线ｌ的方程为ｙ＝槡３（ｘ－１），即槡３ｘ－ｙ－ 槡３＝０． ８．依题意， (设圆与抛物线的交点 ｙ２０２ｐ，ｙ )０ ，ｙ０ ＞０，显然直 线ｌ２的斜率存在且不为０，设ｌ２方程为：ｙ－ｙ０ (＝ｋ ｘ－ｙ２０２ )ｐ ， 由 ｙ－ｙ０ (＝ｋ ｘ－ｙ２０２ )ｐ ｙ２ ＝２ { ｐｘ ，整理得 ｋ ２ｐｙ ２－ｙ＋ｙ０－ ｋｙ２０ ２ｐ＝０， 而ｋ≠０，则Δ＝１－４· ｋ２ (ｐ ｙ０－ｋｙ ２ ０ ２ )ｐ ＝０，解得ｋ＝ ｐｙ０， 由ｌ１⊥ ｌ２及圆的性质知，直线 ｌ２ (过圆心 ｐ２， )ｂ ( 及点 ｙ２０ ２ｐ，ｙ )０ ，于是得：ｙ０－ｂｙ２０ ２ｐ－ ｐ ２ ＝ ｐｙ０ ，整理得２ｂｙ０ ＝ｙ２０＋ｐ２， (又 ｙ２０２ｐ－ ｐ )２ ２ ＋（ｙ０－ｂ）２＝ｂ２，即 ｙ４０ ４ｐ２ － ｙ２０ ２＋ ｐ２ ４＋ｙ ２ ０－ ２ｂｙ０ ＝０，因此有 ｙ４０ ４ｐ２ － ｙ２０ ２ ＋ ｐ２ ４ －ｐ ２ ＝０， 解得ｙ２０ ＝３ｐ２，而ｙ０＞０，即ｙ０＝槡３ｐ，于是有满足ｌ１⊥ｌ２的 (两曲线交点只有点 ３ｐ２，槡３ )ｐ ，选项（Ａ），（Ｃ）不正确； 显然ｂ＝ 槡２３３ｐ，即正数ｐ值确定，ｂ值也随之确定，并且唯一， 选项（Ｂ）不正确，（Ｄ）正确．故选（Ｄ）． 二、多项选择题　９．ＡＣ；　１０．ＡＢＤ；　１１．ＡＢ． 提示： ９．由题意可知Ｃ１的焦点为（１，０），Ｃ２的焦点为（０，１），过Ｃ１与Ｃ２ 焦点的直线方程为 ｘ １ ＋ ｙ １ ＝１，即ｘ＋ｙ＝１，（Ａ）正确； 由 ｙ２ ＝４ｘ， ｘ２ ＝４ｙ{ ，解得 ｘ＝０，ｙ＝{ ０或 ｘ＝４，ｙ＝４{ ， 所以Ｃ１与Ｃ２有２个公共点，（Ｂ）错误； 由抛物线Ｃ１：ｙ２ ＝４ｘ知，开口向右，对称轴为ｘ轴， 所以与ｘ轴平行的直线与Ｃ１有１个交点， 由抛物线Ｃ２：ｘ２ ＝４ｙ知，开口向上，对称轴为ｙ轴， 所以与ｘ轴平行的直线与Ｃ２最多有２个交点，综上，与ｘ轴平 行的直线与Ｃ１及Ｃ２最多有３个交点，（Ｃ）正确； Ｃ１与Ｃ２关于直线ｙ＝ｘ对称，若存在直线与Ｃ１和Ｃ２都相 切，则该切线也关于直线ｙ＝ｘ对称，不妨设为ｙ＝－ｘ＋ｔ，与ｘ２＝ ４ｙ联立得ｘ２＋４ｘ－４ｔ＝０，由Δ＝０得ｔ＝－１， 所以直线ｙ＝－ｘ－１与Ｃ１和Ｃ２都相切，（Ｄ）错误． 故选（Ａ）（Ｃ）． １０．ｙ２ ＝４ｘ，ｐ＝２，ｌ：ｘ＝－１． 又圆Ａ半径为１，圆心为Ａ（０，４），所以点Ａ到直线ｌ的距离为 １，所以圆Ａ与ｌ相切，（Ａ）正确； 当Ｐ，Ａ，Ｂ三点共线时，ｙＰ ＝ｙＡ ＝４， 代入ｙ２ ＝４ｘ中，ｘＰ ＝４，所以ＰＡ＝４， 所以ＰＱ＝ ＰＡ２－ｒ槡 ２ ＝槡１５，（Ｂ）正确； 当｜ＰＢ｜＝２时，ｘＰ ＝１，ｙＰ ＝２（假设Ｐ在ｘ轴上方）．此时， Ｂ（－１，２），Ｐ（１，２），Ａ（０，４），ＡＰ２ ＝ＡＢ２ ＝５，ＢＰ２ ＝４． 因为ＡＰ２＋ＡＢ２≠ＢＰ２，所以ＰＡ与ＡＢ不垂直，（Ｃ）错误； 因为ＰＢ＝ＰＦ（Ｆ为抛物线Ｃ的焦点）， 所以ＰＡ＝ＰＢ时，ＰＡ＝ＰＦ． 所以，点Ｐ在ＡＦ中垂线上． 又Ａ（０，４），Ｆ（１，０），所以ＡＦ中垂线的方程为ｘ＝４ｙ－１５２． 联立 ｘ＝４ｙ－１５２， ｙ２ ＝４ｘ { ， 得ｙ２－１６ｙ＋３０＝０，Δ＞０． 所以ＡＦ的中垂线与抛物线Ｃ有两个交点，故点Ｐ有且仅有 两个，（Ｄ）正确．故选（Ａ）（Ｂ）（Ｄ）． １１．因为马鞍面的标准方程为ｘ ２ ａ２ －ｙ ２ ｂ２ ＝２ｚ（ａ＞０，ｂ＞０）， 对于（Ａ），平行于ｘＯｙ平面的面中 ｚ为常数，不妨设为 ｚ０（ｚ０ ≠０），得ｘ ２ ａ２ －ｙ ２ ｂ２ ＝２ｚ０，故所得轨迹是双曲线，故（Ａ）正确； 对于（Ｂ），法向量为（１，０，０）的平面中 ｘ为常数，不妨设为 ｘ０，则ｙ２ ＝－２ｂ２ｚ＋ ｂ２ｘ２０ ａ２ ，为抛物线方程，故（Ｂ）正确； 对于（Ｃ），垂直于ｙ轴的平面中ｙ为常数，不妨设为ｙ０， 则ｘ２ ＝２ａ２ｚ＋ ａ２ｙ２０ ｂ２ ，为抛物线方程，故（Ｃ）错误； 对于（Ｄ），不妨设平面上的点坐标为Ａ（ｘ，ｙ，ｚ）， 因为平面过原点且法向量为ｎ＝（１，１，０），由→ＯＡ·ｎ＝０，得 ｘ＋ｙ＝０， 故ｙ＝－ｘ，代入马鞍面标准方程， (得 １ａ２ －１ｂ )２ ｘ２ ＝２ｚ， 当ａ＝ｂ时，方程为ｚ＝０，不是抛物线，故（Ｄ）错误． 故选：（Ａ）（Ｂ）． 三、填空题　１２．３；　１３．４；　１４． 槡１０６＋槡１２３． 提示： １２．因为Ａ ７ｐ ２，( )０，所以｜ＡＦ｜＝３ｐ，则｜ＭＦ｜＝ ３ ２ｐ， 所以Ｍ点横坐标为ｐ，代入得ｙ＝±槡２ｐ， Ｓ△ＡＭＦ ＝ １ ２ ×３ｐ×槡２ｐ＝ 槡２７２ ２ ，所以ｐ＝３． １３．由抛物线的性质可知 １ｍ ＋ １ ｎ ＝ ２ ｐ ＝１，则ｍ＋ｎ＝（ｍ ＋ｎ (） １ｍ ＋１ )ｎ ＝１＋ｍｎ＋ｎｍ ＋１≥２＋２＝４，当且仅当ｍ ＝ｎ时取到最小值４． １４．设Ｐ（ｘ，ｙ），由阿氏圆的定义可得｜ＰＡ｜｜ＰＢ｜＝ 槡６ ３， 即 （ｘ＋３）２＋（ｙ－１）２ （ｘ＋３）２＋（ｙ－６）２ ＝２３，化简得ｘ ２＋ｙ２＋６ｘ＋１８ｙ－６０ ＝０．所以（ｘ＋３）２＋（ｙ＋９）２ ＝１５０，所以点Ｐ在圆心为（－３， －９），半径为 槡５６的圆上， 因为抛物线Ｃ：ｙ＝ １６ｘ ２的焦点为Ｆ，所以 (Ｆ ０， )３２ ， 因为（０＋３）２ (＋ ３２ ＋ )９ ２ ＝４７７４ ＜１５０， 所以点Ｆ在圆（ｘ＋３）２＋（ｙ＋９）２ ＝１５０内， 因为点Ｆ到与圆心的距离为 ４７７槡４ ＝ 槡４７７ ２ ， 所以过点Ｆ的最短弦长为２ １５０－４７７槡 ４ ＝槡１２３， 过点Ｆ的最长弦长为 槡２ １５０＝ 槡１０６， 所以过点Ｆ的最长弦与最短弦的和为 槡１０６＋槡１２３． 四、解答题 １５．解：（１）因为Ｍ（ｐ，ｐ－１）是Ｃ上的点， 所以ｐ２ ＝２ｐ（ｐ－１）， 因为ｐ＞０，解得ｐ＝２，所以抛物线Ｃ的方程为ｘ２ ＝４ｙ． （２）设Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２）， 由 ｙ＝ｋｘ＋２， ｘ２ ＝４ｙ{ ， 得ｘ２－４ｋｘ－８＝０，Δ＝１６ｋ２＋３２＞０， 则ｘ１＋ｘ２ ＝４ｋ，ｘ１ｘ２ ＝－８， 由抛物线的定义知，｜ＡＦ｜＝ｙ１＋１，｜ＢＦ｜＝ｙ２＋１， 则 ｜ＡＦ｜·｜ＢＦ｜＝（ｙ１＋１）（ｙ２＋１）＝（ｋｘ１＋３）（ｋｘ２＋３） ＝ｋ２ｘ１ｘ２＋３ｋ（ｘ１＋ｘ２）＋９＝４ｋ２＋９＝１３， 解得ｋ＝±１． １６．解：（１）依题意Ｆ（１，０），设直线ＡＢ方程为ｘ＝ｍｙ＋１． 与ｙ２ ＝４ｘ联立得ｙ２－４ｍｙ－４＝０． 设Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２）， 所以ｙ１＋ｙ２ ＝４ｍ，ｙ１ｙ２ ＝－４． ① 因为→ＡＦ＝２→ＦＢ，所以ｙ１ ＝－２ｙ２． ② 联立①和②，消去ｙ１，ｙ２，得ｍ＝±槡 ２ ４． 所以直线ＡＢ的斜率是 ± 槡２２． （２）由点Ｃ与原点Ｏ关于点Ｍ对称，得Ｍ是线段ＯＣ的中点， 从而点Ｏ与点Ｃ到直线ＡＢ的距离相等， 所以四边形ＯＡＣＢ的面积等于２Ｓ△ＡＯＢ． 因为 ２Ｓ△ＡＯＢ ＝ ２ × １ ２ × ｜ＯＦ｜ ×｜ｙ１ － ｙ２ ｜＝ （ｙ１＋ｙ２）２－４ｙ１ｙ槡 ２ ＝４ １＋ｍ槡 ２≥４， 所以ｍ＝０时，四边形ＯＡＣＢ的面积最小，最小值是４． １７．（１）解：由题意得 (Ｆ ｐ２， )０ ， 当点Ａ与Ｆ重合且直线ｌ垂直于ｘ轴时，ｌ方程为ｘ＝ ｐ２， 代入ｙ２＝２ｐｘ得ｙ＝±ｐ，所以｜ＰＱ｜＝２ｐ＝４，解得ｐ＝２， 所以Ｃ的方程为ｙ２ ＝４ｘ． （２）证明：可设直线ｌ的方程为ｘ＝ｍｙ＋ｘＡ， 设Ｐ（ｘ１，ｙ１），Ｑ（ｘ２，ｙ２）， 将ｘ＝ｍｙ＋ｘＡ代入ｙ２ ＝４ｘ中得ｙ２－４ｍｙ－４ｘＡ ＝０， 则Δ＝１６ｍ２＋１６ｘＡ ＞０，ｙ１＋ｙ２ ＝４ｍ，ｙ１ｙ２ ＝－４ｘＡ， 由∠ＰＢＡ＝∠ＱＢＡ得ｋＰＢ＋ｋＱＢ ＝０， 即 ｙ１ ｘ１－ｘＢ ＋ ｙ２ ｘ２－ｘＢ ＝０， 即ｙ１（ｘ２－ｘＢ）＋ｙ２（ｘ１－ｘＢ）＝０， 所以ｙ１（ｘ２－ｘＢ）＋ｙ２（ｘ１－ｘＢ） ＝ｙ１（ｍｙ２＋ｘＡ－ｘＢ）＋ｙ２（ｍｙ１＋ｘＡ－ｘＢ） ＝２ｍｙ１ｙ２＋（ｘＡ－ｘＢ）（ｙ１＋ｙ２） ＝２ｍ·（－４ｘＡ）＋（ｘＡ－ｘＢ）·４ｍ ＝－４ｍ（ｘＡ＋ｘＢ）＝０， 又直线ｌ不垂直于坐标轴，所以ｍ≠０，所以ｘＡ＋ｘＢ ＝０． 所以ｘＡ＋ｘＢ为定值０． １８．（１）解：设抛物线Γ的方程为ｘ２ ＝２ｐｙ（ｐ＞０）， 由题可得 ｐ ２ ＝１，解得ｐ＝２， 因此，抛物线Γ的方程为ｘ２ ＝４ｙ． （２）证明：过点Ａ作ＡＫ⊥ｙ轴于点Ｋ，设｜ＡＦ｜＝ｍ， 则Ｒｔ△ＡＦＫ中，∠ＫＦＡ＝α， 可得ｓｉｎα＝｜ＡＫ｜｜ＡＦ｜，ｃｏｓα＝ ｜ＦＫ｜ ｜ＡＦ｜， 可得｜ＡＫ｜＝｜ＡＦ｜ｓｉｎα＝ｍｓｉｎα，｜ＦＫ｜＝｜ＡＦ｜ｃｏｓα＝ ｍｃｏｓα，由此可得点Ａ的坐标为（－ｍｓｉｎα，１＋ｍｃｏｓα）， 因为点Ａ为抛物线ｘ２ ＝４ｙ上的点， 所以（－ｍｓｉｎα）２ ＝４（１＋ｍｃｏｓα）， 整理得ｍ２ｓｉｎ２α－４ｍｃｏｓα－４＝０， 解得ｍ＝４ｃｏｓα± １６ｃｏｓ ２α＋１６ｓｉｎ２槡 α ２ｓｉｎ２α ＝４ｃｏｓα±４ ２ｓｉｎ２α ＝２ｃｏｓα±２ ｓｉｎ２α ． 因为α为锐角，可得ｃｏｓα＜１，且ｍ＞０， 所以ｍ＝２ｃｏｓα－２ ｓｉｎ２α ＜０不符合题意，得ｍ＝２ｃｏｓα＋２ ｓｉｎ２α ＝ 书 证明如下：显然 ｘ２０ ａ２ － ｙ２０ ｂ２ ＝１，即ｂ２ｘ２０－ａ２ｙ２０ ＝ａ２ｂ２， 由 ｘ０ｘ ａ２ － ｙ０ｙ ｂ２ ＝１， ｘ２ ａ２ －ｙ ２ ｂ２ ＝１{ ，消去ｙ得：ｂ２ａ２ｘ２－２ｂ２ａ２ｘ０ｘ＋ｂ２＋ｙ２０＝０， 于是Δ＝ ４ｂ４ｘ２０ ａ４ －４ｂ ２ ａ２ （ｂ２＋ｙ２０）＝ ４ｂ２（ｂ２ｘ２０－ａ２ｙ２０－ａ２ｂ２） ａ４ ＝０， 因此直线 ｘ０ｘ ａ２ － ｙ０ｙ ｂ２ ＝１与双曲线ｘ ２ ａ２ －ｙ ２ ｂ２ ＝１（ａ＞０，ｂ＞０） 相切于点（ｘ０，ｙ０），所以过双曲线 ｘ２ ａ２ －ｙ ２ ｂ２ ＝１（ａ＞０，ｂ＞０）上 一点（ｘ０，ｙ０）的切线方程为 ｘ０ｘ ａ２ － ｙ０ｙ ｂ２ ＝１． （３）证明：当ｎ＝０时，直线ｌ的斜率不存在， 由对称性知，点Ｔ为线段ＰＱ的中点； 当ｎ≠０时，设Ｐ（ｘ１，ｙ１），Ｑ（ｘ２，ｙ２），线段ＰＱ的中点Ｎ（ｔ，ｓ）， 由 ｘ２ ａ２ －ｙ ２ ｂ２ ＝０， ｍｘ ａ２ －ｎｙ ｂ２ ＝１{ ，消去ｙ得 (： ｎ２ｂ２ －ｍ２ａ )２ ｘ２＋２ｍｘ－ａ２＝０， 由 ｍ２ ａ２ －ｎ ２ ｂ２ ＝１，得ｘ２－２ｍｘ＋ａ２＝０，则ｔ＝ ｘ１＋ｘ２ ２ ＝ｍ， 又 ｍｔ ａ２ －ｎｓ ｂ２ ＝１，于是ｓ＝ｂ ２ (ｎ ｍ２ａ２ － )１ ＝ｎ， 即点Ｔ与点Ｎ重合，所以点Ｔ为线段ＰＱ的中点． 第１０期２版 专项小练一 １．Ｂ；　２．Ｂ；　３．Ｃ．　４．ｘ＝－３２；　５．１． ６．解：在方程ｘ－２ｙ－４＝０中，令ｘ＝０得ｙ＝－２； 令ｙ＝０得ｘ＝４，所以抛物线的焦点为（４，０）或（０，－２）． 当焦点为（４，０）时，ｐ２ ＝４，所以ｐ＝８， 此时抛物线方程为ｙ２ ＝１６ｘ，准线方程为ｘ＝－４； 当焦点为（０，－２）时，ｐ２ ＝２，所以ｐ＝４， 此时抛物线方程为ｘ２ ＝－８ｙ，准线方程为ｙ＝２． 专项小练二 １．Ｄ；　２．Ｂ；　３．Ｃ．　４．２；　５．ｙ２ ＝８ｘ． ６．解：设Ｐ（ｔ，４ｔ２），且点Ｐ到直线ｙ＝４ｘ－５的距离为ｄ， 则ｄ＝｜４ｔ－４ｔ ２－５｜ 槡１７ ＝４ｔ ２－４ｔ＋５ 槡１７ ＝ 槡４１７１７ ｔ－( )１２ ２ ＋[ ]１． 当ｔ＝ １２时，ｄ取得最小值．此时，Ｐ １ ２，( )１为所求的点． 第１０期３，４版 抛物线同步核心素养测评（一） 一、单项选择题　１～４　ＡＣＢＣ　　５～８　ＤＡＢＤ 提示： １．根据已知ｘ２ ＝ｙ，２ｐ＝１， (所以焦点坐标为 ０， )１４ ．故选：（Ａ）． ２．抛物线方程ｙ２ ＝ １２ｘ，２ｐ＝ １ ２， 所以准线方程是ｘ＝－１８．故选：（Ｃ）． ３．由抛物线定义得３＋ ｐ２ ＝４，解得ｐ＝２．故选：（Ｂ）． ４．抛物线ｙ＝ １８ｘ ２的标准方程为ｘ２ ＝８ｙ， 所以焦点的坐标为（０，２），准线方程为ｙ＝－２， 故选：（Ｃ）． ５．直线３ｘ＋２ｙ－６＝０与ｘ轴的交点为（２，０）， 所以抛物线Ｃ的焦点为（２，０），故 ｐ２ ＝２，解得ｐ＝４， 所以抛物线的标准方程为ｙ２ ＝８ｘ．故选：（Ｄ）． ６．如图１，ＡＢ为水面宽，ＢＣ为拱 顶离水面的高度， 故｜ＡＢ｜＝２４，｜ＢＣ｜＝１２， 故Ｂ（１２，－１２）． 设抛物线的方程为：ｘ２ ＝－２ｐｙ（ｐ ＞０），则１４４＝－２ｐ×（－１２），即ｐ＝ ６，故焦点坐标为（０，－３）．故选：（Ａ）． ７．由抛物线定义可知，｜ＡＦ｜等于点Ａ到抛物线准线的距离， ｜ＡＦ｜的最小值为抛物线顶点到准线的距离，即｜ＡＦ｜≥ ｐ２， 若｜ＡＦ｜＞１恒成立，则 ｐ２ ＞１，即ｐ＞２．故选：（Ｂ）． ８．依题意可得 (Ｆ ３２， )０ ． 设Ｐ（ｘ，ｙ）（ｘ≠０），Ｑ（ｔ，０），则→  ＯＰ＝（ｘ，ｙ）， →  ＰＱ＝（ｔ－ｘ，－ｙ），→ (ＰＦ＝ ３２ －ｘ， )－ｙ ， 因为ＯＰ⊥ＰＱ，所以→  ＯＰ·→  ＰＱ＝ｘ（ｔ－ｘ）－ｙ２＝ｔｘ－ｘ２－６ｘ ＝ｘ（ｔ－ｘ－６）＝０， 因为ｘ≠０，所以ｔ－ｘ－６＝０，即ｔ－ｘ＝６， 所以→ＰＦ·→  (ＰＱ＝ ３２ )－ｘ （ｔ－ｘ）＋ｙ２ (＝ ３２ )－ｘ （ｔ－ ｘ）＋６ｘ＝ (６ ３２ )－ｘ ＋６ｘ＝９．故选：（Ｄ）． 二、多项选择题　９．ＣＤ；　１０．ＢＣ；　１１．ＡＢＤ． 提示： ９． （ｘ－４）２＋ｙ槡 ２ ＝｜ｘ｜＋４，当ｘ≥０时，化简得ｙ２＝１６ｘ； 当ｘ＜０时，化简得ｙ＝０，故（Ａ）不正确． 显然点Ｐ始终在直线ｌ上，故（Ｂ）不正确． 等式的几何意义可理解为点Ｐ到定点（１，０）与到定直线ｘ＋ ｙ＝０的距离相等，符合抛物线的定义，故（Ｃ）正确． 对于（Ｄ）选项，可以转化为点 Ｐ到 Ｆ的距离与到定直线 ｘ ＝－４的距离相等，符合抛物线的定义，故（Ｄ）正确． １０．抛物线ｘ２ ＝４ｙ的准线方程为ｙ＝－１，故（Ａ）错误； 由｜ＡＦ｜＋｜ＢＦ｜＝４，得ｙ１＋１＋ｙ２＋１＝４， 则ｙ１＋ｙ２ ＝２，所以点Ｐ的纵坐标ｙＰ ＝ ｙ１＋ｙ２ ２ ＝１， 即为点Ｐ到ｘ轴的距离为１，故（Ｂ）正确； 因为直线ｌ交抛物线于Ａ，Ｂ两点，显然ｌ的斜率存在， 设ｌ的方程为ｙ＝ｋｘ＋ｍ，与ｙ＝ １４ｘ ２联立消去ｙ， 整理得ｘ２－４ｋｘ－４ｍ＝０， 所以ｘ１ｘ２ ＝－４ｍ，所以ｙ１ｙ２ ＝ ｘ２１ ４ × ｘ２２ ４ ＝ （ｘ１ｘ２）２ １６ ＝ｍ ２． 若直线ＡＢ经过焦点Ｆ，则ｍ＝１，ｙ１ｙ２ ＝１，故（Ｃ）正确； 若ｙ１ｙ２ ＝１，则ｍ＝±１，当ｍ＝１时，直线ＡＢ过焦点Ｆ； 当ｍ＝－１时，直线ＡＢ过点（０，－１），故（Ｄ）错误． 故选：（Ｂ）（Ｃ）． １１．截圆锥的平面平行于母线ＰＡ且过母线ＰＢ的中点 Ｍ，故 Ｏ也在截面上，同时根据对称性可知抛物线的对称轴为ＯＭ，焦点 在ＯＭ上，故（Ａ），（Ｂ）正确． 由题可得圆锥的母线ＰＡ＝ＰＢ＝ ４２＋４槡 ２ ＝ 槡４２，ＡＢ＝８， 所以ＡＢ２ ＝ＰＡ２＋ＰＢ２，所以ＰＢ⊥ＰＡ． 如图２，连接ＯＭ，在△ＰＡＢ中，Ｏ为ＡＢ的中点，Ｍ是ＰＢ中点， 所以ＯＭ为中位线，所以ＰＡ∥ＯＭ，ＰＢ⊥ＯＭ， 所以ＯＭ＝ １２ＰＡ＝ 槡２２． 设平面α交底面圆于Ｃ，Ｄ，则ＣＤ＝ＡＢ＝８． 以Ｍ为原点，ＭＯ为ｘ轴建立坐标系如图３所示， 则Ｏ（槡２２，０），Ｄ（槡２２，４）．可设抛物线的方程为ｙ２ ＝２ｐｘ， 把Ｄ（槡２２，４）代入抛物线方程可得：槡４２＝２ｐ， 所以抛物线为：ｙ２ ＝ 槡４２ｘ，焦点Ｆ（槡２，０），故（Ｃ）错误， 所以焦点到准线的距离为 槡２２，（Ｄ）正确．故选（Ａ）（Ｂ）（Ｄ）． 三、填空题 １２．８０；　１３．ｘ＝－１２；　１４．ｙ＝±（ｘ－１）． 提示： １２．以抛物线最高点为坐标原 点，平行于地面为 ｘ轴，建立平面直 角坐标系，如图４， 设抛物线方程为ｘ２ ＝－２ｐｙ， 由题意得Ａ（８０，－４０），将其代 入抛物线方程得６４００＝８０ｐ， 解得ｐ＝８０，故安全抛物线的焦 点到其准线的距离为８０米． １３．不妨设点Ｄ在第一象限，则点Ｅ在第四象限， 联立 ｘ＝２， ｙ２ ＝２{ ｐｘ可得 ｘ＝２， ｙ＝±２槡ｐ { ， 则点 Ｄ（２，２槡ｐ），Ｅ（２， －２槡ｐ），所以 →ＯＤ·→  ＯＥ＝４－４ｐ＝０，解得ｐ＝１， 因此Ｃ的准线方程为ｘ＝－ ｐ２ ＝－ １ ２． １４．由｜ＡＢ｜＝ｘ１＋ｘ２＋ ｐ ２ ＝８，结合定义知ＡＢ的中点的横 坐标为３，设直线ｌ：ｙ＝ｋ（ｘ－１），与ｙ２＝４ｘ，联立，得ｋ２ｘ２－（２ｋ２ ＋４）ｘ＋ｋ２＝０，所以ｘ１＋ｘ２＝ ２ｋ２＋４ ｋ２ ＝６，得ｋ＝±１，故直线ｌ 的方程为：ｙ＝±（ｘ－１）． 四、解答题 １５．解：由题意设抛物线的方程为ｘ２＝－２ｐｙ（ｐ＞０）， 则其准线方程为ｙ＝ ｐ２． 由题可得 ｐ ２ ＋４＝６，解得ｐ＝４． 所以抛物线的方程为ｘ２ ＝－８ｙ． 又因为点Ａ（ｍ，－４）在抛物线上， 所以ｍ２ ＝３２，即ｍ＝± 槡４２． 所以点Ａ的坐标为（± 槡４２，－４）． １６．解：由抛物线的方程可知其准线为ｘ＝１． 设Ｐ（ｘ，ｙ），因为点Ｐ为抛物线上的动点，Ｆ为焦点， 所以｜ＰＦ｜等于点Ｐ到准线的距离． 所以｜ＰＡ｜＋｜ＰＦ｜的最小值是点Ａ到准线ｘ＝１的距离． 此时点Ｐ的纵坐标为ｙ＝１， 代入抛物线ｙ２ ＝－４ｘ，解得ｘ＝－１４． 所以点Ｐ的坐标为 －１４，( )１． １７．解：（１）由题意知：抛物线Ｃ过点（２５０，１５６２５）， 设抛物线Ｃ：ｘ２ ＝２ｐｙ（ｐ＞０），２５０２ ＝２×１５６２５ｐ， 解得ｐ＝２００，所以抛物线Ｃ的方程为ｘ２ ＝４００ｙ． （２）由题意知：弦ＰＱ为抛物线Ｃ的焦点弦， 所以当ＰＱ为通径时，从入射点Ｐ到反射点Ｑ的路程最短， 所以｜ＰＱ｜ｍｉｎ＝２ｐ＝４００， 所以 (Ｐ ±ｐ，ｐ )２ ，即Ｐ（±２００，１００）． １８．解：（１）由点Ｐ（ｘ０，槡２ｐ）在抛物线Ｃ上， 得（槡２ｐ）２ ＝２ｐｘ０，解得ｘ０ ＝ｐ， 由抛物线定义得，｜ＰＦ｜＝ｘ０＋ ｐ ２ ＝ ３ｐ ２ ＝３，解得ｐ＝２， 故抛物线Ｃ的方程为ｙ２ ＝４ｘ． （２）设直线ｌ的方程为ｘ＝ｍｙ＋１， 联立 ｙ２ ＝４ｘ， ｘ＝ｍｙ＋１{ ，消去ｘ，得ｙ２－４ｍｙ－４＝０， 故ｙ１＋ｙ２ ＝４ｍ，ｙ１ｙ２ ＝－４， 所以ｘ１ｘ２ ＝ ｙ２１ ４ × ｙ２２ ４ ＝ ｙ２１ｙ２２ １６ ＝１，ｘ１＋ｘ２ ＝（ｍｙ１＋１）＋ （ｍｙ２＋１）＝ｍ（ｙ１＋ｙ２）＋２＝４ｍ２＋２， 则→ＯＡ·→  ＯＢ＝－（ｘ１＋ｘ２）＝ｘ１ｘ２＋ｙ１ｙ２ ＝－３， 即４ｍ２＋２＝３，解得ｍ＝±１２， 所以所求直线ｌ的方程为ｙ＝２ｘ－２或ｙ＝２－２ｘ． １９．解：（１）以抛物线的顶点为 坐标原点，对称轴为ｙ轴，建立如图５ 所示的平面直角坐标系， 依题意可得Ａ (的坐标为 ９２，)４ ， 设抛物线的方程为ｘ２＝２ｐｙ（ｐ＞ ０），则８１４ ＝８ｐ，解得ｐ＝ ８１ ３２， 故该抛物线的标准方程为ｘ２ ＝８１１６ｙ， 焦点到准线的距离为ｐ＝８１３２ｃｍ． （２）设小球大圆圆周的方程为ｘ２＋（ｙ－ｒ）２ ＝ｒ２（ｒ＞０）， 联立方程组 ｘ２＋（ｙ－ｒ）２ ＝ｒ２， ｘ２ ＝８１１６ｙ { ， 解得ｙ＝０或ｙ＝２ｒ－８１１６． 要使小球能触及杯盏的底部（顶点）， 则小球与杯子有且只有一个交点，即抛物线的顶点， 则ｙ＝２ｒ－８１１６＝０或ｙ＝２ｒ－ ８１ １６无解． 又因为抛物线不可能在ｘ轴下方，所以ｙ＝２ｒ－８１１６＜０， 综上２ｒ－８１１６≤０，解得ｒ≤ ８１ ３２， 所以ｒ的最大值为８１３２． 第１１期２版 专项小练一 １．Ａ；　２．Ｄ；　３．Ｂ．　４．ｙ２＝１６ｘ或ｘ２＝－１２ｙ；　５．ｘ２＝１６ｙ． ６．解：（１）设抛物线Ｃ的标准方程为ｙ２ ＝２ｐｘ（ｐ＞０）． 因为点Ａ（２，２）在抛物线Ｃ上，所以ｐ＝１． 因此，抛物线Ｃ的标准方程是ｙ２ ＝２ｘ． （２）由（１）可得焦点Ｆ的坐标是 １ ２，( )０， 又直线ＯＡ的斜率为 ２２ ＝１， ! ! ! " !"#$ !"#$ !"#$%&'()*+,-./012!3+ "#$% 45"6$3&'(7*+,-.8012&3+ "#$% 4 ! " # $ % & ! ! " % $ & ! ! !" # $ " & ! ! ! " % " $ & " ' ( $ ) % ! # " # * + & ! $ ( $ ! # 书 考向１　抛物线定义及其应用 典例１已知点Ｐ是抛物线ｙ２＝２ｘ上的一个动点，则 点Ｐ到点（０，２）的距离与Ｐ到该抛物线准线的距离之和 的最小值为 ． 解：依题设Ｐ在抛物线准线的投影为 Ｐ′，抛物线的 焦点为Ｆ，则 (Ｆ １２， )０ ， 依抛物线的定义知Ｐ到该抛物线准线的距离为 ｜ＰＰ′｜＝｜ＰＦ｜， 则点Ｐ到点Ａ（０，２）的距离与Ｐ到该抛物线准线的 距离之和 ｄ＝｜ＰＦ｜＋｜ＰＡ｜≥ (｜ＡＦ｜＝ １ )２ ２ ＋２槡 ２ ＝槡１７２ ． 【拓展提升】 利用抛物线的定义可解决的两类问题 （１）轨迹问题：用抛物线的定义可以确定动点与定 点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线． （２）距离问题：涉及抛物线上的点到焦点的距离、到准 线的距离问题时，注意两者之间的转化在解题中的应用． 考向２　抛物线的标准方程与性质 典例２将两个顶点在抛物线ｙ２＝２ｐｘ（ｐ＞０）上，另 一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为ｎ，则 （　　） （Ａ）ｎ＝０　　　　　　（Ｂ）ｎ＝１ （Ｃ）ｎ＝２　　　 （Ｄ）ｎ≥３ 解：ｙ２＝２ｐｘ（ｐ＞０）的焦点 (Ｆ ｐ２， )０ ，等边三角形 的一个顶点位于抛物线ｙ２＝２ｐｘ（ｐ＞０）的焦点，另外两 个顶点在抛物线上，则等边三角形关于ｘ轴对称． 两个边的斜率 ｋ＝±ｔａｎ３０°＝±槡３３，其方程为：ｙ ＝±槡３(３ ｘ－ｐ)２ ， 每条直线与抛物线均有两个交点，焦点两侧的两交 点连接，分别构成一个等边三角形． 故ｎ＝２，故选（Ｃ）． 【拓展提升】 １．求抛物线的标准方程的方法及流程 （１）方法：求抛物线的标准方程常用待定系数法，因 为未知数只有ｐ，所以只需一个条件确定ｐ值即可． （２）流程：因为抛物线方程有四种标准形式，因此求 抛物线方程时，需先定位，再定量． ２．确定及应用抛物线性质的关键与技巧 （１）关键：利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线 等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程． （２）技巧：要结合图形分析，灵活运用平面几何的性 质以图助解． 考向３　直线与抛物线的综合问题 典例３设抛物线Ｃ１：ｘ ２＝２ｐｙ（ｐ＞０）的焦点为Ｆ，准 线为ｌ，Ａ为Ｃ上一点，已知以Ｆ为圆心，ＦＡ为半径的圆Ｆ 交ｌ于Ｂ，Ｄ两点． （１）若∠ＢＦＤ＝９０°，△ＡＢＤ的面积为４槡２，求ｐ的 值及圆Ｆ的方程； （２）若Ａ，Ｂ，Ｆ三点在同一直线ｍ上，直线ｎ与ｍ平 行，且ｎ与Ｃ只有一个公共点，求坐标原点到ｍ，ｎ距离的 比值． 思路点拨： 已知条件 条件分析 ∠ＢＦＤ＝９０° 由抛物线的对称性 判断出△ＢＦＤ的形状 Ｓ△ＡＢＤ ＝４槡２ 将Ｓ△ＡＢＤ用ｐ表示， 构建关于ｐ的方程 Ａ，Ｂ，Ｆ三点在同一直线ｍ上 ＡＢ为圆Ｆ的直径 直线ｎ∥直线ｍ ｋｎ ＝ｋｍ ｎ与Ｃ只有一个公共点 Δ＝０ 解：（１）由抛物线的对称性可得 △ＢＦＤ为等腰直角三角形①，｜ＢＤ｜＝２ｐ，圆Ｆ的半 径｜ＦＡ｜＝槡２ｐ．由抛物线定义可知 Ａ到 ｌ的距离 ｄ＝ ｜ＦＡ｜＝槡２ｐ． 因为△ＡＢＤ的面积为４槡２，所以 １ ２｜ＢＤ｜·ｄ＝４槡２， 即 １ ２·２ｐ·槡２ｐ＝４槡２②，解得ｐ＝－２（舍去）或ｐ＝２． 所以Ｆ（０，１），圆Ｆ的方程为ｘ２＋（ｙ－１）２ ＝８． （２）因为Ａ，Ｂ，Ｆ三点在同一直线ｍ上，所以ＡＢ为圆 Ｆ的直径，∠ＡＤＢ＝９０°． 由抛物线定义知｜ＡＤ｜＝｜ＦＡ｜＝ １２｜ＡＢ｜， 所以∠ＡＢＤ＝３０°，ｍ的斜率为槡３３或 － 槡３ ３③． 当ｍ的斜率为槡３３时④，由已知可设ｎ：ｙ＝ 槡３ ３ｘ＋ｂ， 代入ｘ２ ＝２ｐｙ得ｘ２－２槡３３ｐｘ－２ｐｂ＝０． 由于ｎ与Ｃ只有一个公共点，故Δ＝４３ｐ ２＋８ｐｂ＝０， 解得ｂ＝－ｐ６．因为ｍ的纵截距ｂ１ ＝ ｐ ２， ｜ｂ１｜ ｜ｂ｜＝３，所 以坐标原点到ｍ，ｎ距离的比值为３． 当ｍ的斜率为 －槡３３时④，由图形对称性可知，坐标 原点到ｍ，ｎ距离的比值为３． 【盘点失分点】 ①处想不到将△ＢＦＤ转化为等腰直角三角形导致 无法进行下去而失分； ②不能将三角形面积用ｐ表示或表示错从而导致失 分； ③处不能由Ａ，Ｂ，Ｆ三点在同一直线ｍ上，求出斜率 或漏掉一个而失分； ④处易忘记讨论而失分． 拓展提升： １．直线与抛物线的位置关系问题 设直线方程 Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ＝０与抛物线方程 ｙ２ ＝ ２ｐｘ（ｐ＞０）联立，消去ｘ得到关于ｙ的方程ｍｙ２＋ｎｙ＋ｌ ＝０． （１）位置关系与其判别式Δ的关系 方程特征 公共点个数 位置关系 直 线 与 抛 物 线 ｍ＝０ １ 直线与抛物线的对称轴 平行或重合，两者相交 ｍ≠０，Δ＞０ ２ 相交 ｍ≠０，Δ＝０ １ 相切 ｍ≠０，Δ＜０ ０ 相离 （２）相交问题的求解通法 涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般 利用根与系数的关系，采用“设而不求”“整体代入”等 解法 ． 【提醒】涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解． ２．与焦点弦有关的常用 结论（如图所示） （１）ｙ１ｙ２＝－ｐ ２，ｘ１ｘ２＝ ｐ２ ４． （２）｜ＡＢ｜＝ｘ１＋ｘ２＋ｐ＝ ２ｐ ｓｉｎ２θ （θ为ＡＢ的倾斜角）． （３）Ｓ△ＡＯＢ ＝ ｐ２ ２ｓｉｎθ （θ为 ＡＢ倾斜角）． （４） １｜ＡＦ｜＋ １ ｜ＢＦ｜为定值 ２ ｐ． （５）以ＡＢ为直径的圆与准线相切． （６）以ＡＢ或ＢＦ为直径的圆与ｙ轴相切． （７）∠ＣＦＤ＝９０°． 书 １８．（１７分）（２０２４辽宁专题练习）某校同学设计 一个如图３所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”，其中 ＡＣ，ＢＤ是过抛物线Γ焦点Ｆ的两条弦，且其焦点Ｆ（０， １），→ＡＣ·→ＢＤ＝０，点Ｅ为ｙ轴上一点，记∠ＥＦＡ＝α，其 中α为锐角． （１）求抛物线Γ的方程； （２）求证：｜ＡＦ｜＝２（ｃｏｓα＋１） ｓｉｎ２α ． １９．（１７分）古希腊有一著名的尺规作图题“倍立 方问题”：求作一个正方体，使它的体积等于已知立方 体体积的２倍，倍立方问题可以利用抛物线（可尺规作 图）来解决，首先作一个通径为２ａ（其中正数ａ为原立 方体的棱长）的抛物线Ｃ１，如图４，再作一个顶点与抛 物线Ｃ１顶点Ｏ重合而对称轴垂直的抛物线 Ｃ２，且与 Ｃ１交于不同于点Ｏ的一点Ｐ，自点Ｐ向抛物线Ｃ１的对 称轴作垂直线，垂足为Ｍ，可使以ＯＭ为棱长的立方体 的体积为原立方体的２倍． （１）建立适当的平面直角坐标系，求抛物线Ｃ１的 标准方程； （２）为使以ＯＭ为棱长的立方体的体积为原立方 体的２倍，求抛物线Ｃ２的标准方程（只须以一个开口 方向为例）． !"#$%&'() 书 在抛物线方程中含有唯一的参数 ｐ，所以我们要想 学好抛物线，就必须对参数ｐ进行灵活的理解掌握，深究 其几何意义，特别是ｐ，２ｐ，１２ｐ的几何意义，并且运用它 们的几何意义解决问题． 一、参数ｐ的几何意义 如图１抛物线 ｙ２ ＝２ｐｘ，焦 点坐标为 １ ２ｐ，( )０，准线方程为 ｘ＝－１２ｐ，２ｐ，ｐ， ｐ ２的几何意义 分别为：２ｐ表示通径，即通过焦 点且垂直于对称轴的直线与抛物线交于两点，连接这两 点的线段长，ｐ表示焦点到准线的距离，ｐ２表示焦点到 顶点的距离或顶点到准线的距离． 例１已知抛物线的方程为ｙ＝３ｘ２，则抛物线的焦点 到准线的距离为 ． 分析：由抛物线ｘ２＝２ｐｙ的性质可知，抛物线的焦点 到准线的距离是ｐ，所以要求这个距离需要先把抛物线 转化为标准方程，然后求得ｐ即可． 解：把抛物线的方程化为标准方程得ｘ２ ＝ １３ｙ， 因为２ｐ＝ １３，所以ｐ＝ １ ６， 因为抛物线的焦点到准线的距离为ｐ， 所以抛物线的焦点到准线的距离为 １ ６． 点评：解决本题的关键是把方程化为标准方程，然 后按照题意明确抛物线的焦点到准线的距离与ｐ的关系 即可轻松获解． 例２已知抛物线的方程为ｘ－ａｙ２ ＝０，其中ａ为实 数，且ａ＞０，抛物线的准线方程为 ｘ＝－３，则 ａ等于 ． 分析：已知抛物线的准线方程，则可以求得抛物线 的标准方程，然后对比现有的抛物线方程，可得参数 ａ， 或者把现有的抛物线方程化为标准方程求得准线方程， 令其为 －３，也可解得参数ａ． 解：已知抛物线的方程为ｘ－ａｙ２ ＝０化为标准形式 得ｙ２ ＝ １ａｘ， 所以抛物线的准线方程为ｘ＝－１４ａ， 所以 －１４ａ＝－３，解得ａ＝ １ １２． 点评：分析中的两种解题思路都可以实现目标，前 提是建立在对抛物线的标准方程和参数ｐ的几何意义完 全领会的基础上，所以需要大家认真掌握参数 ｐ的几何 意义． 二、关于参数ｐ的应用 例３已知抛物线的方程为ｙ２ ＝１２ｘ，过抛物线的焦 点且垂直于抛物线对称轴的直线交抛物线于Ａ，Ｂ两点， 则｜ＡＢ｜等于 ． 分析：直线与抛物线交于 Ａ，Ｂ两点，由直线方程和 抛物线方程解得两点坐标从而求得｜ＡＢ｜或者考虑利用 抛物线的定义求得ＡＦ，ＢＦ两段的长，求和即可． 解：由题意，抛物线的方程为ｙ２ ＝１２ｘ， 所以ｐ＝６， 因为直线过焦点且垂直于ｘ轴， 所以｜ＡＢ｜＝｜ＡＦ｜＋｜ＢＦ｜＝ｐ＋ｐ＝２ｐ， 所以｜ＡＢ｜＝１２． 点评：利用分析中的第一种方法可以求解但是相对 于第二种解法还是显得稍微复杂，所以利用参数 ｐ的意 义解题很简便．希望同学们注意领会． 例４如图２，过抛物线 ｙ２ ＝ ３ｘ的焦点的直线ｌ依次交抛物线 及其准线于点 Ａ，Ｂ，Ｃ，若｜ＢＣ｜ ＝２｜ＢＦ｜，则 ｜ＡＦ｜等于 ． 分析：首先分析 ｜ＢＣ｜＝ ２｜ＢＦ｜所包含的信息，结合抛物线的定义求得直线 ＡＢ 的倾斜角，利用焦点到准线的距离为ｐ＝３２求得Ａ到准 线的距离也就是ＡＦ． 解：由抛物线的定义，过Ａ点作ＡＤ垂直于准线，垂足 为Ｄ，过Ｂ点作ＢＥ垂直于准线，垂足为Ｅ，准线与ｘ轴的 交点为Ｈ， 则由题｜ＢＣ｜＝２｜ＢＦ｜， 所以｜ＢＣ｜＝２｜ＢＥ｜，可得∠ ＢＣＥ＝３０°， 由抛物线的定义可知｜ＡＦ｜＝｜ＡＤ｜， 在△ＡＣＤ中，｜ＡＣ｜＝２｜ＡＤ｜＝２｜ＡＦ｜， 所以Ｆ为ＡＣ的中点，ＨＦ为△ＡＣＤ的中位线， 所以｜ＨＦ｜＝ ３２， 所以｜ＡＦ｜＝｜ＡＤ｜＝３． 点评：本题主要是抛物线的参数ｐ的灵活应用，参数 ｐ的性质很多，特别是过焦点 Ｆ的弦 ＡＢ的性质非常重 要，若 Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２），则有性质：ｙ１ｙ２ ＝－ｐ ２；ｘ１ｘ２ ＝ｐ ２ ４； １ ｜ＡＦ｜＋ １ ｜ＢＦ｜＝ ２ ｐ；｜ＡＢ｜＝ｘ１＋ｘ２＋ｐ等． 书 问题：设直线ｌ与抛物线ｙ２ ＝８ｘ交于Ａ，Ｂ两点． １．若直线 ｌ的斜率为 ２，且过抛物线的焦点，则 ｜ＡＢ｜＝ ； ２．若直线ｌ的倾斜角为７５°，且过抛物线的焦点，则 ｜ＡＢ｜＝ ； ３．若直线ｌ的方程为 ｘ－ｙ＋１＝０，则 ｜ＡＢ｜＝ ． 以上三个问题都是求抛物线的弦长问题，其中前 两条弦都是过抛物线焦点的弦，叫做抛物线的焦点弦． 第三条弦显然不过抛物线的焦点，是抛物线的一条普 通弦．那么，如何求上述三条弦长呢？只需运用不同的 弦长公式，即可快速求出弦长．下述其详． 公式一：｜ＡＢ｜＝ｘ１＋ｘ２＋ｐ 公式解读：若直线ｌ过抛物线ｙ２＝２ｐｘ（ｐ＞０）的焦 点Ｆ，且与抛物线交于 Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２）两点，则由 抛物线的定义可知｜ＡＦ｜＝ｘ１＋ ｐ ２，｜ＢＦ｜＝ｘ２＋ ｐ ２， 所以｜ＡＢ｜＝ｘ１＋ｘ２＋ｐ．因为ｐ是已知量，所以运用本 公式求弦长的关键是求ｘ１＋ｘ２．求解方法是：先把直线 方程与抛物线方程联立，消去变量 ｙ，就会得到一个关 于ｘ的一元二次方程，运用根与系数的关系可求出ｘ１＋ ｘ２．对于其他类型的抛物线，可用上述方法推导出相应 的焦点弦长公式． １．解：设Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２）， 因为抛物线ｙ２ ＝８ｘ的焦点为（２，０）， 所以直线ｌ的方程为ｙ＝２（ｘ－２）． 由 ｙ＝２（ｘ－２）， ｙ２ ＝８{ ｘ 消去ｙ可得ｘ２－６ｘ＋４＝０， 所以ｘ１＋ｘ２ ＝６．所以｜ＡＢ｜＝６＋４＝１０． 公式二：｜ＡＢ｜＝ ２ｐ ｓｉｎ２α 公式解读：若抛物线ｙ２ ＝２ｐｘ（ｐ＞０）的一条焦点 弦ＡＢ所在直线的倾斜角为α，则弦长｜ＡＢ｜＝ ２ｐ ｓｉｎ２α ，此 公式对于抛物线ｙ２ ＝－２ｐｘ（ｐ＞０）也适用，此焦点弦 长公式可用公式｜ＡＢ｜＝ｘ１＋ｘ２＋ｐ结合三角函数知识 推导．对于抛物线 ｘ２ ＝２ｐｙ（ｐ＞０），焦点弦长公式为 ｜ＡＢ｜＝ ２ｐ ｃｏｓ２α ，其中α仍是抛物线的焦点弦所在直线 的倾斜角，此公式对于抛物线ｘ２ ＝－２ｐｙ（ｐ＞０）也适 用． ２．解：｜ＡＢ｜＝ ８ ｓｉｎ２７５° ＝ ８１－ｃｏｓ１５０° ２ ＝３２（２－槡３）． 公式三：｜ＡＢ｜＝ 槡Δ｜ａ｜ １＋ｋ槡 ２ 公式解读：把一条直线ｙ＝ｋｘ＋ｍ和一条二次曲线 方程联立消去ｙ后，会得到一个关于ｘ的一元二次方程 ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０（ａ≠０）（），则直线被曲线截得的弦 长｜ＡＢ｜＝ 槡Δ｜ａ｜ １＋ｋ槡 ２，其中Δ是方程（）的根的 判别式．若联立直线和二次曲线方程后消去 ｘ，则得出 的是关于ｙ的一个一元二次方程ａｙ２＋ｂｙ＋ｃ＝０（ａ≠ ０）（），则相应的弦长公式为｜ＡＢ｜＝槡Δ｜ａ｜ １＋ １ ｋ槡 ２． 当直线的斜率不存在时，弦长｜ＡＢ｜＝｜ｙ１－ｙ２｜．这三 个弦长公式能求出所有直线被曲线截得的弦长． ３．解：由 ｘ－ｙ＋１＝０， ｙ２ ＝８{ ｘ 得ｘ２－６ｘ＋１＝０． 所以｜ＡＢ｜＝ （－６） ２－４×槡 １ １ １＋１槡 ２ ＝８． !"#$% !"#$%&'( )*+,-. /0123 456677893: :;<=>,.3?4@ 9::AB*CDEFG H0IJKLM>NO P/QRSTUVDWX Y0Z[\]/-D^_ `\]/abc[de f.345ggKhi> jkDllmnopqr8 ?/stPRuB- e. v !"wxyz>{ |D}~Y0I€> m‚ƒ„0?…†‡ˆ ‰Š‹3ŒY>Ž[ „`‘’m“_`D“ -”•–‡0—.3˜ ™ššmŒ›œž‰ ŠYDŸ ¡¢I£¤¥ >¦§w¨‹ 3©™mª«¦¬ ­®`¯°DQ±%²e ³´-‹!"µ¶·¸8 ¹º»¼«D½¾*¿ >ÀÁ`D]aÂ3‹ 3 ÃÄKůaÆÇ>À ÈÉ-ÉʊD ˱] K‹ Å 3̉ŠYÍ ¾0Î !" 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' # / , " ! $ ! 0ý !z" 书 专项小练一 １．Ｂ；　２．Ｂ；　３．Ｃ．　４．ｘ＝－３２；　５．１． ６．解：在方程ｘ－２ｙ－４＝０中，令ｘ＝０得ｙ＝－２； 令ｙ＝０得ｘ＝４，所以抛物线的焦点为（４，０）或（０， －２）． 当焦点为（４，０）时，ｐ２ ＝４，所以ｐ＝８， 此时抛物线方程为ｙ２ ＝１６ｘ，准线方程为ｘ＝－４； 当焦点为（０，－２）时，ｐ２ ＝２，所以ｐ＝４， 此时抛物线方程为ｘ２ ＝－８ｙ，准线方程为ｙ＝２． 专项小练二 １．Ｄ；　２．Ｂ；　３．Ｃ．　４．２；　５．ｙ２ ＝８ｘ． ６．解：设Ｐ（ｔ，４ｔ２），且点Ｐ到直线ｙ＝４ｘ－５的距离 为ｄ， 则ｄ＝｜４ｔ－４ｔ ２－５｜ 槡１７ ＝４ｔ ２－４ｔ＋５ 槡１７ ＝ 槡４１７１７ ｔ－( )１２ ２ ＋[ ]１． 当ｔ＝ １２时，ｄ取得最小值．此时，Ｐ １ ２，( )１为所求 的点． 一、单项选择题 １～４　ＡＣＢＣ　　５～８　ＤＡＢＤ 二、多项选择题 ９．ＣＤ；　１０．ＢＣ；　１１．ＡＢＤ． 三、填空题 １２．８０；　１３．ｘ＝－１２；　１４．ｙ＝±（ｘ－１）． 四、解答题 １５．解：由题意设抛物线的方程为ｘ２ ＝－２ｐｙ（ｐ＞０）， 则其准线方程为ｙ＝ ｐ２． 由题可得 ｐ ２＋４＝６，解得ｐ＝４． 所以抛物线的方程为ｘ２ ＝－８ｙ． 又因为点Ａ（ｍ，－４）在抛物线上， 所以ｍ２ ＝３２，即ｍ＝± 槡４２． 所以点Ａ的坐标为（± 槡４２，－４）． １６．解：由抛物线的方程可知其准线为ｘ＝１． 设Ｐ（ｘ，ｙ），因为点Ｐ为抛物线上的动点，Ｆ为焦点， 所以｜ＰＦ｜等于点Ｐ到准线的距离． 所以｜ＰＡ｜＋｜ＰＦ｜的最小值是点Ａ到准线ｘ＝１的 距离． 此时点Ｐ的纵坐标为ｙ＝１， 代入抛物线ｙ２ ＝－４ｘ，解得ｘ＝－１４． 所以点Ｐ的坐标为 －１４，( )１． １７．解：（１）由题意知：抛物线Ｃ过点（２５０，１５６２５）， 设抛物线Ｃ：ｘ２＝２ｐｙ（ｐ＞０），２５０２＝２×１５６２５ｐ， 解得ｐ＝２００，所以抛物线Ｃ的方程为ｘ２ ＝４００ｙ． （２）由题意知：弦ＰＱ为抛物线Ｃ的焦点弦， 所以当ＰＱ为通径时，从入射点Ｐ到反射点Ｑ的路 程最短， 所以｜ＰＱ｜ｍｉｎ ＝２ｐ＝４００， 所以 (Ｐ ±ｐ，ｐ)２ ，即Ｐ（±２００，１００）． １８．解：（１）由点Ｐ（ｘ０，槡２ｐ）在抛物线Ｃ上， 得（槡２ｐ） ２ ＝２ｐｘ０，解得ｘ０ ＝ｐ， 由抛物线定义得，｜ＰＦ｜＝ｘ０＋ ｐ ２ ＝ ３ｐ ２ ＝３， 解得ｐ＝２， 故抛物线Ｃ的方程为ｙ２ ＝４ｘ． （２）设直线ｌ的方程为ｘ＝ｍｙ＋１， 联立 ｙ２ ＝４ｘ， ｘ＝ｍｙ＋１{ ，消去ｘ， 得ｙ２－４ｍｙ－４＝０， 故ｙ１＋ｙ２ ＝４ｍ，ｙ１ｙ２ ＝－４， 所以ｘ１ｘ２＝ ｙ２１ ４× ｙ２２ ４ ＝ ｙ２１ｙ ２ ２ １６ ＝１，ｘ１＋ｘ２＝（ｍｙ１＋ １）＋（ｍｙ２＋１）＝ｍ（ｙ１＋ｙ２）＋２＝４ｍ ２＋２， 则 →ＯＡ·→ＯＢ＝－（ｘ１＋ｘ２）＝ｘ１ｘ２＋ｙ１ｙ２ ＝－３， 即４ｍ２＋２＝３，解得ｍ＝±１２， 所以所求直线ｌ的方程为ｙ＝２ｘ－２或ｙ＝２－２ｘ． １９．解：（１）以抛物线的顶 点为坐标原点，对称轴为 ｙ轴， 建立如图所示的平面直角坐标 系， 依题意可得 Ａ ( 的坐标为 ９ ２，)４ ， 设抛物线的方程为ｘ２ ＝２ｐｙ（ｐ＞０），则８１４ ＝８ｐ， 解得ｐ＝８１３２， 故该抛物线的标准方程为ｘ２ ＝８１１６ｙ， 焦点到准线的距离为ｐ＝８１３２ｃｍ． （２）设小球大圆圆周的方程为ｘ２＋（ｙ－ｒ）２＝ｒ２（ｒ ＞０）， 联立方程组 ｘ２＋（ｙ－ｒ）２ ＝ｒ２， ｘ２ ＝８１１６ｙ { ， 解得ｙ＝０或ｙ＝２ｒ－８１１６． 要使小球能触及杯盏的底部（顶点）， 则小球与杯子有且只有一个交点， 即抛物线的顶点， 则ｙ＝２ｒ－８１１６＝０或ｙ＝２ｒ－ ８１ １６无解． 又因为抛物线不可能在ｘ轴下方， 所以ｙ＝２ｒ－８１１６＜０， 综上２ｒ－８１１６≤０，解得ｒ≤ ８１ ３２， 所以ｒ的最大值为８１３２． 书 第Ⅰ卷 选择题 （共５８分） 一、单项选择题：本题共８小题，每小题５分，共４０ 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　１．抛物线ｙ２ ＝１６ｘ的焦点坐标为 （　　） （Ａ）（－４，０） （Ｂ）（４，０） （Ｃ）（０，４） （Ｄ）（０，－４） ２．（２０２４新疆乌鲁木齐期末）若抛物线ｙ２ ＝２ｐｘ（ｐ ＞０）的焦点到直线ｙ＝ｘ＋１的距离为槡２，则ｐ＝ （　　） （Ａ）４ （Ｂ）槡２ （Ｃ）２ （Ｄ）１ ３．（２０２４湖南衡阳阶段练习）抛物线Ｃ的焦点Ｆ为 二次函数 ｙ＝ｘ２ ＋１的顶点，ｌ：ｙ＝－２，则 Ｃ上一点 Ｎ（－２，ｋ）到ｌ的距离为 （　　） （Ａ）３ （Ｂ）２ （Ｃ）ｋ＋１ （Ｄ）ｋ＋２ ４．（２０２４湖北模拟预测）随着 科技的进步，我国桥梁设计建设水 平不断提升，创造了多项世界第一， 为经济社会发展发挥了重要作用． 图１是某景区内的一座抛物线拱形 大桥，该桥抛物线拱形部分的桥面 跨度为１０米，拱形最高点与水面的 距离为６米，为增加景区的夜晚景色，景区计划在拱形 桥的焦点处悬挂一闪光灯，则竖直悬挂的闪光灯距离水 面的距离为（结果精确到０．０１） （　　） （Ａ）４．９６米 （Ｂ）５．０６米 （Ｃ）４．２６米 （Ｄ）３．６８米 ５．（２０２４浙江省湖州高二期末）抛物线ｙ２＝４ｘ的焦 点为Ｆ，其准线为直线ｌ．过点Ｍ（４，４）作直线ｌ的垂线， 垂足为Ｈ，则∠ＦＭＨ的角平分线所在的直线的斜率是 （　　） （Ａ）１ （Ｂ）１２ （Ｃ） １ ３ （Ｄ） １ ４ ６．（２０２４辽宁模拟）历史上第一个研究圆锥曲线的 是梅纳库莫斯（公元前３７５年 －３２５年），大约１００年后， 阿波罗尼奥斯更详尽、系统地研究了圆锥曲线，并且他 还进一步研究了这些圆锥曲线的光学性质，比如：从抛 物线的焦点发出的光线或声波在经过抛物线反射后，反 射光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对 称轴的光线，经抛物线反射后，反射光线经过抛物线的 焦点．设抛物线Ｃ：ｙ２ ＝ｘ，一束平行于抛物线对称轴的 光线经过Ａ（５，２），被抛物线反射后，又射到抛物线Ｃ上 的Ｑ点，则Ｑ点的坐标为 （　　） （Ａ (） １４，－ )１２ （Ｂ (） １８，－ )１４ （Ｃ (） １１６，－ )１４ （Ｄ (） １６４，－ )１８ ７．已知过抛物线ｙ２＝４ｘ焦点Ｆ的直线ｌ交抛物线于 Ａ，Ｂ两点（点Ａ在第一象限），若→ＡＦ＝３→ＦＢ，则直线ｌ的方 程为 （　　） （Ａ）ｘ－２ｙ－１＝０ （Ｂ）２ｘ－ｙ－２＝０ （Ｃ）ｘ－槡３ｙ－１＝０ （Ｄ）槡３ｘ－ｙ－槡３＝０ ８．（２０２４浙江模拟预测） (已知圆 ｘ－ｐ)２ ２ ＋（ｙ－ ｂ）２ ＝ｂ２与抛物线ｙ２ ＝２ｐｘ（ｂ＞ｐ＞０）的两个交点是 Ａ，Ｂ．过点Ａ，Ｂ分别作圆和抛物线的切线ｌ１，ｌ２，则 （　　） （Ａ）存在两个不同的ｂ使得两个交点均满足ｌ１⊥ｌ２ （Ｂ）存在两个不同的ｂ使得仅一个交点满足ｌ１⊥ｌ２ （Ｃ）仅存在唯一的ｂ使得两个交点均满足ｌ１⊥ｌ２ （Ｄ）仅存在唯一的ｂ使得仅一个交点满足ｌ１⊥ｌ２ 二、多项选择题：本题共３小题，每小题６分，共１８ 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部 选对的得６分，部分选对的得部分分，有选错的得０分． ９．（２０２４安徽合肥期末）已知抛物线Ｃ１：ｙ ２ ＝４ｘ与 抛物线Ｃ２：ｘ ２ ＝４ｙ，则 （　　） （Ａ）过Ｃ１与Ｃ２焦点的直线方程为ｘ＋ｙ＝１ （Ｂ）Ｃ１与Ｃ２只有１个公共点 （Ｃ）与ｘ轴平行的直线与Ｃ１及Ｃ２最多有３个交点 （Ｄ）不存在直线与Ｃ１和Ｃ２都相切 １０．（２０２４新Ⅱ卷）抛物线Ｃ：ｙ２＝４ｘ的准线为ｌ，Ｐ 为Ｃ上动点，过Ｐ作圆Ａ：ｘ２＋（ｙ－４）２＝１的一条切线， Ｑ为切点，过点Ｐ作ｌ的垂线，垂足为Ｂ．则 （　　） （Ａ）ｌ与圆Ａ相切 （Ｂ）当Ｐ，Ａ，Ｂ三点共线时，｜ＰＱ｜＝槡１５ （Ｃ）当｜ＰＢ｜＝２时，ＰＡ⊥ＡＢ （Ｄ）满足｜ＰＡ｜＝｜ＰＢ｜的点Ｐ有且仅有２个 １１．（２０２４河北开学考试） 双曲抛物线又称马鞍面，其形 似马具中的马鞍表面而得名． 其在力学、建筑学、美学中有 着广泛的应用．如图２，在空间 直角坐标系中，将一条 ｘＯｚ平 面内开口向上的抛物线沿着 另一条ｙＯｚ平面内开口向下的抛物线滑动（两条抛物线 的顶点重合）所形成的就是马鞍面，其坐标原点被称为 马鞍面的鞍点，其标准方程为 ｘ２ ａ２ －ｙ ２ ｂ２ ＝２ｚ（ａ＞０，ｂ＞ ０），则下列说法正确的是 （　　） （Ａ）用平行于ｘＯｙ平面的面截马鞍面，所得轨迹为 双曲线 （Ｂ）用法向量为（１，０，０）的平面截马鞍面所得轨迹 为抛物线 （Ｃ）用垂直于ｙ轴的平面截马鞍面所得轨迹为双曲线 （Ｄ）用过原点且法向量为（１，１，０）的平面截马鞍 面所得轨迹为抛物线 第Ⅱ卷 非选择题 （共９２分） 三、填空题：本题共３小题，每小题５分，共１５分． １２．（２０２４山东省垦利第一中学阶段测试）抛物线 ｙ２ ＝２ｐｘ（ｐ＞０）的焦点为 Ｆ，Ｍ为抛物线上的点，设 Ａ ７ ２ｐ，( )０，若｜ＡＦ｜＝２｜ＭＦ｜，△ＡＭＦ的面积为 槡 ２７２ ２ ， 则ｐ＝ ． １３．（２０２４四川省内江市月考）已知抛物线ｙ２＝４ｘ， 过焦点Ｆ作直线与抛物线交于点 Ａ，Ｂ，设 ｜ＡＦ｜＝ｍ， ｜ＢＦ｜＝ｎ，则ｍ＋ｎ的最小值为 ． １４．（２０２４河北石家庄模拟预测）希腊著名数学家 阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：“平面 内到两个定点Ａ，Ｂ的距离之比为定值λ（λ≠１）的点的 轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为 阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系ｘＯｙ 中，Ａ（－３，１），Ｂ（－３，６），点Ｐ是满足λ＝槡６３的阿氏圆 上的任一点，若抛物线ｙ＝１６ｘ ２的焦点为Ｆ，过点Ｆ的直 线与此阿氏圆相交所得的最长弦与最短弦的和为 ． 四、解答题：本题共５小题，共７７分．解答应写出文 字说明、证明过程或演算步骤． １５．（１３分）设抛物线Ｃ：ｘ２＝２ｐｙ（ｐ＞０）的焦点为 Ｆ，Ｍ（ｐ，ｐ－１）是Ｃ上的点． （１）求Ｃ的方程； （２）若直线 ｌ：ｙ＝ｋｘ＋２与 Ｃ交于 Ａ，Ｂ两点，且 ｜ＡＦ｜·｜ＢＦ｜＝１３，求ｋ的值． １６．（１５分）已知抛物线ｙ２＝４ｘ的焦点为Ｆ．过点Ｆ 的直线交抛物线于Ａ，Ｂ两点． （１）若→ＡＦ＝２→ＦＢ，求直线ＡＢ的斜率； （２）设点Ｍ在线段ＡＢ上运动，原点Ｏ关于点Ｍ的 对称点为Ｃ，求四边形ＯＡＣＢ面积的最小值． １７．（１５分）设抛物线Ｃ：ｙ２＝２ｐｘ（ｐ＞０），Ｆ为Ｃ的 焦点，点Ａ（ｘＡ，０）为ｘ轴正半轴上的动点，直线ｌ过点Ａ 且与Ｃ交于Ｐ，Ｑ两点，点Ｂ（ｘＢ，０）为异于点Ａ的动点．当 点Ａ与点Ｆ重合且直线ｌ垂直于ｘ轴时，｜ＰＱ｜＝４． （１）求抛物线Ｃ的方程； （２）若直线ｌ不垂直于坐标轴，且∠ＰＢＡ＝∠ＱＢＡ，证 明：ｘＡ＋ｘＢ为定值                                                                                                                                                             ． 书 　　　　　　　　　　　　　　　　　　１．抛物线ｘ２ ＝－３２ｙ的焦点坐标为 （　　） （Ａ）（０，－８） （Ｂ）（０，８） （Ｃ）（－８，０） （Ｄ）（８，０） ２．已知抛物线Ｃ：ｙ２ ＝２ｐｘ（ｐ＞０）的焦点为Ｆ，抛 物线上一点Ｍ（２，ｍ）满足｜ＭＦ｜＝６，则抛物线Ｃ的方 程为 （　　） （Ａ）ｙ２ ＝２ｘ （Ｂ）ｙ２ ＝４ｘ （Ｃ）ｙ２ ＝８ｘ （Ｄ）ｙ２ ＝１６ｘ ３．在平面内，“点Ｐ到某定点的距离等于到某定直 线的距离”是“点Ｐ的轨迹为抛物线”的 （　　） （Ａ）充分不必要条件 （Ｂ）必要不充分条件 （Ｃ）充要条件 （Ｄ）既不充分也不必要条件 ４．以坐标轴为对称轴，焦点在直线３ｘ－４ｙ－１２＝０ 上的抛物线的标准方程为 ． ５．若动点Ｐ（ｘ，ｙ）到直线 ｌ：ｙ＝－４的距离和到定 点 Ｆ（０，４）的距离相等，则点 Ｐ的轨迹方程为 ． ６．在平面直角坐标系ｘＯｙ中，抛物线Ｃ的顶点在原 点，且经过点Ａ（２，２），其焦点Ｆ在ｘ轴上． （１）求抛物线Ｃ的标准方程； （２）求过点Ｆ且与直线ＯＡ垂直的直线的方程． １．若抛物线ｙ２＝２ｐｘ的焦点与椭圆ｘ ２ ７＋ ｙ２ ３ ＝１的 左焦点重合，则ｐ＝ （　　） （Ａ）－２ （Ｂ）２ （Ｃ）－４ （Ｄ）４ ２．抛物线ｙ＝４ｘ２上的一点Ｍ到焦点的距离为１， 则点Ｍ的纵坐标是 （　　） （Ａ）１７１６　　 （Ｂ） １５ １６　　 （Ｃ） ７ ８　　 （Ｄ）０ ３．（２０２３河南省焦作市期末）已知抛物线 Ｃ：ｙ２ ＝ ４ｘ的焦点为Ｆ，Ａ是 Ｃ上一点，Ｏ为坐标原点，若｜ＡＦ｜ ＝｜ＯＦ｜＋３，则△ＡＯＦ的面积为 （　　） （Ａ）槡３ （Ｂ）３ （Ｃ）槡２３ （Ｄ）６ ４．抛物线ｙ＝４ｘ２上一点到直线ｙ＝４ｘ－５的距离 最短，则该点的坐标是 ． ５．已知点Ｍ是抛物线ｙ２ ＝２ｘ上的动点，Ｆ为抛物 线的焦点，点Ａ的坐标是 ７ ２，( )２，则｜ＭＡ｜＋｜ＭＦ｜的 最小值是 ． ６．（２０２４山东青岛统考期中）已知点Ａ（１，２），Ｂ（２， ３），Ｃ（４，４）中，只有一点不在抛物线Ｃ１：ｙ ２ ＝２ｐｘ（ｐ＞ ０）上． （１）求Ｃ１的方程； （２）若直线ｌ：ｙ＝ｋｘ＋ｍ与Ｃ１相切，证明：ｋ ２＋ｍ２ ≥２． !"#$%&'()*+ !"#$%#&'$&() !",-%&'()*+ *"#$+#&'$$&# ! ! !"#$%&' !"#$%&'()*+,&- ! ./0123456 789$%:;<=>?@A&B ! ./C123D56 EFG !H"I5JB 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