第7期 椭圆（二）-【数理报】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步学案（北师大版）

16.(15分)已知P为椭圆 2 9 =1上一点，F,F2为椭圆的 18.(17分)设椭圆C:+ =1(a>b>0)过点M(1,1), 19.(17分)如图5，N(1,0)是圆M:(x+1)2+y2=16内一个 25 定点，P是圆上任意一点.线段NP的垂直平分线和半径MP相交于 ------------------------------------------------ 左、右焦点， 6 (1)求△F,PF,的周长； 离心率e= 3,0为坐标原点 点Q. (1)当点P在圆上运动时，点Q的轨迹E是什么曲线？并求出其 (2)若∠FPF,=60°，求△F,PF,的面积 (1)求椭圆C的方程； 轨迹方程； (2)若直线1是圆0：x2+)y2=1的任意一条切线，且直线1与椭圆 (2)过点G(0,1)作直线l与曲线E交于A,B两点，点A关于原 C相交于A,B两点，证正明：0A·0品为定值 点O的对称点为D,求△ABD的面积S的最大值. 高中数学·选择性必修第 17.(15分)已知点F,(-1,0),F2(1,0)和直线1：x-y+3=0. 一册（北师大版 (I)若M是直线1上一个动点，求1MF,I+1MF2I的最小值； (2)若椭圆E以F,F2为焦点且与直线l有公共点，求椭圆E的 离心率的最大值 )同步核心素养测评 高中数学·选择性必修第一册（北师大版）同步核心素养测评 参考答案见下期 本版责任编辑：张朝卿 报纸编辑质量反馈电话： 高中数学 0351-5271268 羞理橘 2025年8月18日·星期 报纸发行质量反馈电话： 第 7 期总第1151期 北师大 0351-5271248 选择性必修第一册 为什么北极熊 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社编辑出版 社长：徐文伟国内统一连续出版物号：CN14-0707/八F)邮发代号：21-168 不怕寒冷 疑难解析 和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率为 实际上有严格区别.题(1)中的∠PF,F,=60° 北极熊，很显然生 )∠PF,F,=30°，这样△PF,F,已经确定，因此离 活在冰天雪地极其寒 三法“直击” 冷的北极。为什么北极 椭圆的离心率 (A)号(B) （D)号心率是个固定值：而题2)中，虽说LP听， 熊不怕冷呢？ 90°，但是点P不确定，因此离心率有个范围. 分析：本题考查的是椭圆的基本性质，解题 这是因为北极熊 ◎四川秦邦政 解：(1)令F,F2=2c→PF,=c,PF2=3c, 的关键是正确翻译题目中的文字信息得到a+c 的毛皮与众不同，它的 方法一、利用定义求解离心率 =2b,然后结合椭圆的几何性质求得椭圆的离 由定义可知PF,+PF2=2a→c+√3c=2a 特殊结构具有极强的 例1已知F,为椭圆的左焦点，A,B分别为 2 保暖作用。 心率. 椭圆的右顶点和上顶点，P为椭圆上的点，当 所以e= a= =5-1. 3+1 我们知道，凡是体 解：设长轴长为2a,短轴长为2b,焦距为2c, PF,⊥F,A,P0∥AB(0为椭圆中心)时，求椭 (2)令P(xo,),由题知F,(-c,0), 表温度高于大地温度 圆的离心率。 则由题知a+c=2b, 的动物，都能够用航空 根据椭圆的性质可知 B =(xo+c,yo),F2(c,0), 分析：求椭圆的离心率，需求a,c的值，或将 红外照相机拍摄下来， a,c用同一个量表示，本题没有具体数值，因此 (a+c)2=4b2=4(a2-c2), F2B=(xo-c,yo),LF PF2 =90 而北极熊却拍摄不到！ 尝试把a,c用同一个量表示. 整理可得5c2+2ac-3a2=0, FP.FB=0, 原来北极熊的体表温 即5e2+2e-3=0 度和北极地区冰块的 解：由题设椭圆方程为 =1(a>b> 故日+=2， ① 温度几乎是一样的。如 解得e3 或e=-l(舍)，故选(B) 0),F(-c,0), 又点P在椭圆上，则店=（心-）， 果改用紫外照相机来 点评：在解决这类问题时首先要审好题，然 拍摄，北极熊就会被清 则-±（本P-）计 a 后找到关系，结合椭圆的几何性质求解。 代A①得+d-动》=2 晰地拍下来，而且在照 因为AB∥PO,所以kB=kP, 方法三、利用焦点三角形求解离心率 片上它比周围冰雪的 所以后=(c2-) -b2 y 颜色要深得多。这说明 即-= ac 例3(1)已知P是椭圆等+花=1(a>6 根据椭圆的有界性知0≤x后≤a2, 北极熊的白色毛皮能 所以b=c >0)上任意一点，F,F2是椭圆的左、右焦点 够吸收紫外光，所以才 则有0≤(c)≤2， 又因为a=√2+c=2b, 若∠PF,F,=60°，∠PF,F,=30°，则椭圆的离 c2 能被紫外照相机清晰 所以e===2 心率为 c2≥2， 地拍摄下来了。 所以 为什么北极熊的 2》已知P是椭后+芳=1a>6>0 c2-b2≤c2, 白色毛皮能够大量吸 点评：求解离心率的过程是探索参数a,b, c,e的方程或不等式解的过程，一般采取直接 上任意一点，F,F2是椭圆的左、右焦点.若 所以6≤6，所以号≤e<1 收紫外光呢？我们用扫 描电子显微镜观察北 法、几何法等 ∠F,PF2=90°，则椭圆离心率的范围为 点评：题(2)中的解法主要利用椭圆的有界 极熊的毛皮，会发现那 方法二、解方程求解离心率 性来建立起参数a,b,c中的不等关系，从而达到 根根白毛好像一根 例2若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度 分析：这两个问题表面上好像是一样的，但 求解离心率范围的目的 根空心管子，毛内不含 一、直接法 有任何色素体。平常看 =1, 例1长为2a的线段AB的两个端点分别在 上去它之所以为白色， 是因为毛管内表面比 x轴、y轴上滑动，求AB的中点P的轨迹方程. 即x-y-x0+y0=0. 解析：设点P的坐标为(x,y), 联立①②，解得 圆变式探究 较粗糙的缘故，就像透 则A(2x,0),B(0,2y).由1AB1=2a,得 =+2-1,=+ 3 明的雪花落在地上显 出白颜色一样。再进一 √(2x-0)2+(0-2y)7=2a, 将x,%代入圆的方程，并化简， ◎山西段瑢芳 步观察，发现这种毛管 化简得x2+y2=a2, 得点M的轨迹方程为 由①②两式消去x2+y2与k, 能够使紫外光沿着芯 即为所求轨迹的方程 部通过，就像一根根畅 5x2+5y2+6xy-8x-8y+2=0. 得动点N的轨迹方程为5x+12y-52=0. 点评：本题中存在几何等式|AB|=2a,故 点评：找到点M和点P的坐标所满足的关 点评：用参数法求轨迹，设参尽量要少，消 通无阻的紫外光导管 可用直接法求解 一样。这就是说，北极 系式，从而用点M的坐标x,y表示点P的坐标 参较易 二、定义法 五、待定系数法 熊能够把照射在它身 x0,0,代入圆的方程就可求出点M的轨迹方程。 请参照6期（椭圆定义的理解与应用》中的解决本题的关键是x,y,,0所满足的两个关 例4已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点 上的阳光，包括紫外 光，几乎全部吸收进来 例1 系式的寻找 在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为 增加自己的体内温度。 三、代入法 四、参数法 3,最小值为1，求椭圆C的标准方程 解：由题意设椭圆的标准方程为 北极熊有又长、又厚 例2从圆x2+y2=1上一点P引直线x+ 例3已知点M在圆13x2+13y2-15x-36 又密的毛，加上能充分 y=2的垂线，垂足为Q,求线段PQ的中点M的=0上，0为原点，点N在射线OM上，且满足 若+=1>6>0. 吸收阳光，所以它就不 轨迹方程。 1OM1ON1=12,求动点N的轨迹方程 由已知得a+c=3,a-c=1, 怕北极地区的严寒，它 解析：设动点M的坐标为(x,y), 解析：设N(x,y),则M(kx,y),k>0. 的毛皮也就成了世界 P点的坐标为(yo), 由10M110N1=12,得 所以a=2,c=1, 所以b2=a2-c2=3. 上最保暖的毛皮之 则Q(2x-x,2y-%) √(x2+y·√0+y=12, y 因为点Q在直线x+y=2上， 所以k(x2+y2)=12. ① 所以椭圆的标准方程为子+ 4+3=1. 所以2x-x0+2y-%0=2. 又点M在已知圆上， 点评：本题是已知所求的曲线为椭圆求其 又MP垂直于直线x+y=2, 所以132x2+132y2-15-36y=0. ②方程，只要能求出系数a,b即可 2 素养专练 数理极 个焦点F:的距离为2，N是MF,的中点，O是椭圆 专项小练一、椭圆及其标准方程(2) 的中心，则线段ON的长是 专项小练二、椭圆的简单几何性质(2) 1椭园听+菊=1上一点P到个焦点的距 6.已知椭圆的中心0在原点，焦点F,F2在x 1.若椭圆的焦距长等于它的短轴长，则椭圆 轴上，P(3,4)为椭圆上一点，若PF,⊥PF2,求椭圆的 的离心率为 () 离为10，则点P到另一个焦点的距离为() 标准方程 (A)2(B)4(C)6 (D)8 (A分(B)竖 (C)2(D)2 2.点M(x,y)与定点F(2,0)的距离和它到直 2.某地的旅游地图如图所示，它的外轮廓线 线x=8的距离d的比是1：2，则点M的轨迹方程 是椭圆，根据图中数据可得该椭圆的离心率为 为 () ( 8=1 (A)2 0)荒后1 )后+后=1 3.“0<a<1,0<b<1"是“方程ax2=1- by2表示的曲线为椭圆”的 () (C)26 5 (A)充要条件 20 cm (B)必要不充分条件 (D)26 5 (C)充分不必要条件 (D)既不充分也不必要条件 35长分别为箱圈后+号1的左 4.已知M(-2,0),N(2,0),若1PM1+1PN1 右焦点，A为上J顶点，则△AFF,的面积为 =6,则P点的轨迹方程为 () 5如果椭四跨+号=1上一点u全到此椭园 (A)6 (B)15 (C)6万(D)37 4若椭圆号+片=1(m<4)的离心，率为 m 第6期2版参考答案 所以7×8×6=12，解得b=3. 之，则m= 专项小练 因为a2=b2+c2=25, 1.B;2.ABD;3.D. 2 5若椭圆2+my2=1的离心率为，则它 41或-：5若+后-1 所以椭圆的方程为5+)=1 16解.()由题意设圆方程为号+卡=1a>6>0) 的长轴长为 6.解：以BC所在的直线为x轴，BC的中垂线为y轴， 6.已知椭圆的焦点在x轴上，对称轴为坐标 建立平面直角坐标系 由椭圆过点(5,0)，知其一个顶点坐标为(5,0)， 因为点M为△ABC的重心， 所以a=5. 轴，它的离心率e=号，且过点(5.0)，求鞘圆的 所以1MB1+MC1=子×39=6>1BC1=24 又e=号所以c=2所以8=d-2=21, 标准方程. 根据椭圆定义可知， 放精西的标准方程为后+分=1 点M的轨迹是以B,C为焦点的椭圆， (2)由(1)可得，椭圆的长轴长为2a=10,短轴长为 所以a=13,c=12,则b=5. 2b=221,焦点坐标为（±2,0），顶点坐标为（±5,0）， 故△4BC重心M的轨迹方程为。+云=1(g≠0， (0,±2I). 专项小练二 17.解：因为△ABF2的周长为8，所以 LC:2.3.R48:5若+亏=1 I ABI +I AF2 1+I BF2 I=8 AF I+I BF 1+I AF,I+I BF,I =8 6.解：由已知条件得椭圆的焦点在x轴上，其中c=2 (I AF I+I AF2 1)+(I BF I+I BF21)=8 数理报社试题研究中心 及a3,从面6=1，所以武标准方型是号+y=1 =→2a+2a=8→a=2, 参考答案见下期 联立方程数后+r1, 由题意可得：abπ=25π，即ab=25, 解得b=√5. 19.解：(1)由题意得a=2,b=5c, y=x+2, 因为椭圆的焦点在x轴上， 又因为a2=b2+2,所以a2=4,b2=3,c2=1. 消去y,得10x2+36x+27=0, 所以C的标准方程为：苦+号=1 所以椭园C的方程为号+号=1. 设A(x1,少)，B(x2,2),线段AB的中点为M(0,o), 18.解：假设1存在，则1不垂直于x轴， (2)设直线AD的方程为：y=k(x-2)(k≠0)， 那么+名=8，即。=5-号所以6=6+ 2 设1的直线方程为y-2=k(x-2),Q1(x1,y1), 令x=0得y=-2k,即E(0,-2k), 2=宁故线段4B的中点坐标为-号写 Q2(x2,y2), ry=k(x-2), y-2=k(x-2), 消去y得 第6期3,4版参考答案 得(3+4k2)x2-16k2x+16k2-12=0, 一、单项选择题 (4k2+3)x2+16k(1-k)x+16k2-32k+4=0.① 由根与系数的关系得：+-6-》， +4g西·6=16R2-12 所以名+-，6 3+4k2 1 ~4 CCBD 5 ~8 ABDD 二、多项选择题 4k2+3 则P(,8.-6k 方程①有两个不同解的前提条件是 （3+4,-3+4R 9.CD;10.BD:11.ABD. 三、填空题 4=8k-1>0, 0=(、8-661 （3+4,3+4: 127:13焉+号-：14马 即k>令又QQ的中点B的坐标为(2,2)， Ed=(m,2k),由题可得0.Ed=0, 四、解答题 所以6，=4解得长=-子 42+3 即(33)(m2)=0, 15.解：由题知c=4,当点P为短轴端点时， △PF,F2的面积取得最大值12， 而-子：（令，+“小故不存在这样的直线1 解得m=子，所以存在定点Q(子，0】 点，P是曲线C上异于A,B的点，若直线AP,BP斜率之积等于- 3 椭圆同步核心素养测评（二） 第Ⅱ卷非选择题（共92分） 则C的离心率为 ( ◆数理报社试题研究中心 (A号 (D)5-1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 8.已知椭圆元+2 12已知F是椭园号+卡-1(a>6>0)的左焦点，若过F的 第I卷选择题（共58分) =1(a>b>0)的右焦点为F,椭圆上的A, 直线1与圆x2+y2=2相切，且1的倾斜角为150°，则椭圆的离心率 是 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 B两点关于原点对称，1FA1=2FB1,且，F店≤号&，则该椭 =1表示椭圆”是“-3<m<4”的 圆离心率的取值范围是 1以已知丽号+芳-1e>6>0)的左右底点分别为R, ( () (B)(o, F2,过F,的直线交C于P,Q两点，直线F,Q交y轴于点M,若PM1 F,Q,IPF,1=1PQ1=2,则椭圆C的焦距为 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 c停) D停 14已知椭圆C后+方=1的左右焦点分别为F,点P是 2.设椭圆C1:+2=1,Cg+=1(0<6<3)的离 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。 高中 椭圆C上的动点，m=PF,I,n=1PP,1,则4m+严的最小值为 5 摯 9如图3，两个椭圆写+号-1写+号 mn 高中 率分别为e1e,若%=后1，则6= 1内部重叠区域的边界记为曲线C,P是曲线C 四、解答题：本题共5小题，共77分 数学 (A)1 (B)2 (C)2 (D)3 上的任意一点，下列四个说法正确的为() 15.(13分)若直线x-2y+2=0经过椭圆的一个焦点和一个 选择性 3.已知点M(5,0),椭圆手+)y=1与直线y=(x+5)(k≠ (A)P到F(-4,0),F(4,0),E(0,-4) 顶点，求该椭圆的标准方程 E,(0,4)四点的距离之和为定值 必修 O)交于点A,B,则△ABM的周长为 ( (B)曲线C关于直线y=xy=-x均对称 第 (A)25 (B)8 (C)4 (D)2√5 (C)曲线C所围区域面积必小于36 4.阿基米德既是古希腊著名的物理学家，也是著名的数学家， (D)曲线C总长度不大于6π 册 他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴 10设椭圆C:若+兮-1的左右焦点分别为R,R,点P为随 长与短半轴长的乘积.若椭圆C的中心为原点，焦点F,F,在x轴 圆C上一动点.则下列说法中正确的是 大版 上，椭圆C的面积为25，且离心率为7，则C的标准方程为 (A)当点P不在x轴上时，△PF,F2的周长是6 令 (B)当点P不在x轴上时，△PF,F2面积的最大值为5 核 (A) y 4 =1 3 (B)x2 12+2=1 (C)存在点P,使PF,⊥PF, (D)IPF,I的取值范围是[1,3] 选择性必修第一册（北师大版）同步核心素养测评 心素养测评 11.球冠是指球面被平面所截得的一部 60cm 分曲面，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面 C20 cm 5.手工课上，张老师带领同学们一起 的直径被截得的一段叫做球冠的高。小明撑 制作了一个近似鸟巢的金属模型（如图 伞站在太阳下，撑开的伞面可以近似看作 1),其俯视图可近似看成是两个大小不 个球冠（如图4）.已知该球冠的底半径为60 同，扁平程度相同的椭圆，已知大椭圆的 cm,高为20cm.假设地面是平面，太阳光线是 图4 长轴长为40cm,短轴长为20cm,小椭圆 平行光束，下列说法正确的是 的短轴长为10cm,则小椭圆的长轴长为 (A)若伞柄垂直于地面，太阳光线与地面所成角为牙，则伞在 (A)30 cm (B)10cm (C)20 cm (D)103cm 地面的影子是圆 6我门E离心率为黄金分割系数5，的 (B)若伞柄垂直于地面，太阳光线与地面所成角为石，则伞在 6 地面的影子是椭圆 椭圆称为“黄金椭圆”.如图2，已知“黄金椭圆”C 的中心在坐标原点，F为左焦点，A,B分别为右顶 (C)若伞柄与太阳光线平行，太阳光线与地面所成角为写，则伞在 点和上J顶点，则∠ABF= ( (A)309 (B)45° 地面的影子为鞘圆，日该椭圆离心率为分 (C)60° (D)90° 7.已知曲线C:￡+上 (D)若太阳光线与地面所成角为石，则小明调整伞柄位置，伞 ,=1(m>0,n>0)与y轴交于A,B两 在地面的影子可以形成椭圆，且椭圆长轴长的最大值为240cm高中数学北师大版选择性必修第一册第5~8期 数理括 答案详解 2025~2026学年高中数学北师大版选择性必修第一册第5~8期(2025年8月) 5.设M(m,n),故有m2+n2=1,即n2=1-m2, 第5期参考答案 由Pi=M,则点M为PN中点， 直线与圆核心素养综合测评 故N(2+2m,2n),故有(2+2m)2+(2n)2=1, 一、单项选择题 即有(2+2m)2+4(1-m2)=1, 1 ~4 BABA 5~8 ACDD 提示： 整理得8咖+8=1，即m=一子 1.因为圆C:x2+y2+mx+1=0, 6记A(2,0),则k=亡2为直线AP的斜率。 即(+受广+=1 故当直线AP与半圆x2+(y-1)2=1(x>0)相切时， 5=㎡=（买-1m=,解得m=±22 得k最小，此时设APy=k(x-2),故-1-2=1， +1 2由直线的问点式方程得直线！的方截为出 解得k=- 号或k=0(含去)，即k。=-号 3 2骨即y=2x+1 7.当圆C与x轴相切时， 设圆心C(a,a+7),半径r=1a+71, 将点(1013，b)代入方程得b=2×1013+1. 故√a+(a+7)7=2+la+71, 解得b=2027. 即a2-4=41a+71,解得a=-4或a=8, 3.由ax+y+3a-1=0可得a(x+3)+y-1=0, 所以圆C的方程(x+4)2+(y-3)2=9或(x-8)2+(y 令+3=0可得E=-3y=1,所以N0-3,1. -15)2=225; y-1=0, 当圆C与y轴相切时，设圆心C(a,a+7),半径r=1al, 设直线2x+3y-6=0关于点N对称的直线方程为2x+ 故/a+(a+7)7=2+lal, 3y+c=0(c≠-6)， 即(a+7)2=4+4|al,解得a=-3或a=-15, 则=6+3-6L=1-6+3+c1 所以圆C的方程为(x+3)2+(y-4)2=9或(x+15)2+ /4+9 W4+9 (y+8)2=225, 解得c=12或c=-6(舍去)， 则满足条件的圆C有4个. 所以所求直线方程为2x+3y+12=0. 4.方程x2+y2+(k-1)x+2y+k=0表示圆的条件为 8.设P(x,y),根据线段MW的中点为P, 则CP⊥MN,即CP⊥AP,所以CP.AP=0, (k-1)2+(2k)2-4k>0, 又Ad=(x+6,y+8),C2=(x,y), 即5张-6+1>0，解得k>1或k<行， 所以x(x+6)+y(y+8)=0, 又知该方程不表示圆，所以：的取值范围为≤k≤1， 即(x+3)2+(y+4)2=25, 所以点P的轨迹是以(-3，-4)为圆心，半径为5的圆在 又因为ke{-2,0,号，3} 圆C内的一部分.故选：(D). 二、多项选择题 所以满足条件的k=5 4 9.AD;10.BC;11.ACD. 提示： 即k的取值集合为{号}故选(A)。 9.l:x-ay+1=0(aeR)整理为ay=x+1, 高中数学北师大版选择性必修第一册第5~8期 恒过定点(-1,0)，故(A)正确； 所以△ABC外接圆的方程为(-冬）+(-各) 当a=0时，直线l与x轴垂直，故(B)错误： 当m=-1时，两直线重合，故(C)错误； ,故(D)正确， 125 因为1×a+1×(-a)=0,故直线l与直线'一定垂直， 故选(A)(C)(D) 故(D)正确. 三、填空题 故选(A)(D) 10.依题意设P(2cos0,2sin0), 2(-点)：B-2:4器 则1PA12=(2cos0+2)2+(2sin0+2)2 提示： =12+8cos0+8sin0, 12因为点(5a+1,12a)在圆(x-1)2+y2=1的内部， 1PB12=(2cos0+2)2+(2sin0-6)2 =44+8cos0-24sin0, 所以(5a+1-1)2+(12a)2<1,即d<1 1PC12=(2cos0-4)2+(2sin0+2)2 =24-16cos0+8sin0, 解得ae(方) 所以1PA12+lPB12+lPC12=80-8sim0, 13.依题意知直线l的斜率为k=tan135°=-1， 又sin0∈[-1,1]，则80-8sin0∈[72,88]. 则直线4的斜率为1，于是有写日=1， 故选(B)(C) 所以a=0.又直线b2与l1平行， 11.设A(x,y), r1=x+(-1)+0 所以1=-名，即6=-2.所以a+6=-2 6 3 由重心坐标公式 14根据题意作出图1，AB为两圆的公切线，切点分别为A,B. 3 =y+0+2 3 x= 解得 2’ y=0, 所以4（号0），放(A)正确： 图1 1AB1=AC1=,1BC1=5, C(2,2),C2(-1,-1),所以直线CC2的斜率k=1,显然 所以△ABC不是等边三角形，故(B)错误； 与直线AB的斜率不相同，所以1≠t2: IABI=IACI,△ABC的外心、重心、垂心都位于线段BC 不妨设0<1<2 的垂直平分线上，线段BC的中点的坐标为(-子，1），线段 过C1作AB的平行线交AC2于点E, 则EC2=r2-r1,AB=EC1且AB∥EC1, BC所在直线的斜率c=0-（-I 2-0 =2,线段BC垂直平分线 C,C2=√(2+1)2+(2+1)=32=1+r2: ① 的方程为y-1=(+分) 所以直线AB与直线C,C2的夹角的正切值为： 即2x+4y-3=0,△ABC的欧拉线方程为2x+4y-3= tan o= 引 0,故(C)正确； 1 因为线段B的垂直平分线方程为x=4,△4BC的外心 M为线段BC的垂直平分线与线段AB的垂直平分线的交点， 所以EC=号-)， 2x+4y-3=0, 又EC+EC=C,C,整理得 所以交点M的坐标满足 1 4 [g-n)]+-n)2=18, 解得M(子，名），外接圆半径r=MB1 解得-1=92 5 ② 任+)+()-√ 522 联立①2，得万=32 51 2 高中数学北师大版选择性必修第一册第5~8期 所以2= 5 5 直线AB的斜率为k=,21=-3, 2-1 四、解答题 放线段4B的垂直平分线方程为y=子+(：-名》， 15.解：依题意，设l与t的关系式为：l=t+b,k,b是常数， 即x-3y-3=0. 12.506=40k+b. k=0.00015 于是得 解得 12.512=80k+b, b=12.5. 由-3y-3=0解得=-3则(-3，-2) x-y+1=0, y=-2. 则所求直线的方程为1=0.00015t+12.5, 半径r=1AC1=√(1+3)2+(1+2)7=5， 当t=100时，l=12.515m. 16解：(1)设Q(x,y）.由已知得kww=3, 所以圆C的标准方程为(x+3)2+(y+2)2=25. (2)设M的坐标为(x,y),Q(x',y), 又PQ上MN,可得k·kw=-1, 即之3×31 =t5 ① 2 得 x'=2x-5, 由M是线段PQ的中点，有 ly'=2y, 由已知得kpv=-2,又PN∥MQ,可得kw=ko, (=+0 2 出=2 ② 又因为Q(x',y)是圆C上的动点， 所以(x'+3)2+(y'+2)2=25, 联立①②，解得x=0,y=1,即Q(0,1). 即(2-5+3)2+(2y+2)2=25, (2)设Q(x',0). 因为∠NQP=∠NPQ,所以ko=-kp 整理得(：-)+(+1)产=空 又22-2， 则线段P0中点M的轨迹方程是(x-1)严+6+1)炉=空 所以22=2.即=1，所以01,0. 19.解：当x≥0，y≥0时， 又因为M(1,-1),所以MQ垂直于x轴. 曲线c的方程可化为(x-之)+(-分）= 所以直线MQ的倾斜角为90. 当x≤0，y≥0时， 17.解：(1)以B为原点，正东方向为x轴正方向建立如图2 曲线c的方程可化为(：+宁)广+(-号)= 所示的直角坐标系，则A地的坐标是(-400,0)，台风中心移动 路径所在直线的斜率k=1,所以台风中心移动路径所在的直 当x≥0，y≤0时， 线方程为y=x+400. 曲线c的方程可化为：-号)广+(+分)广=名 当x≤0，y≤0时， 曲线C的方程可化为(x+分)+(+分)=子： B 作出曲线C的图象（如图3）. 图2 (2)以B为圆心，300千米为半径作圆， 和直线y=x+400相交于A1,A2两点. 设台风中心移到A,时，城市B开始受台风影响（危险区）， 直到A2时，解除影响。 图3 因为点B到直线y=x+400的距离d=2002(千米)， (少由图可知，曲线C是四个半径为号的半调图成的图形， 所以1A421=2√300-(2002)2=200（千米）. 即曲线C围成的图形的周长是 而贺=0小时. 1 4×2×2×π×2 ·=22m. 所以城市B处于危险区城的时间是10小时. 18.解：(1)因为A(1,1)和B(2,-2), (2)曲线C所围成的面积为四个半圆的面积与边长为2 的正方形的面积之和， 所以线段4B的中点坐标为（号，-）》： 从而曲线C所围成图形的面积为 3 高中数学北师大版选择性必修第一册第5~8期 4×7m×7+(52=2+m 放线段AB的中点坐标为(-号，) (3)因为P(m,n)到直线3x+4y-12=0的距离为 d=L3m+4n-12l=3m+4n-121 第6期3,4版参考答案 32+4 5 椭圆同步核心素养测评（一） 所以13m+4n-12|=5d. 一、单项选择题 当d最小时，易知P(m,n)在曲线C的第一象限内的图象上， 1~4 CCBD 5~8 ABDD 因为曲线C的第一象限内的图象是圆心为（行，），半 提示： 径为号的半国，所以圆心（宁方）到3x+4-2=0的距离 2.椭圆方程化为标准形式后，可以得。2=1，尽=8， 1 1 所以c2=a2-6=名」 8,则c=4 4 3× -+4× 2 、2-12 17 √32+42 10 又焦点在：箱上，所以焦点坐标为（±0小 从而d。=d'-5-17-52 3.因为椭圆的右焦点坐标是(1,0)， 2 10 即13m+4n-121=17-,52 所以右熊点到直线y-厅：的距离d- 2 椭圆+。=1的长轴长为5×2=10，短轴长 第6期1版参考答案 专项小练一 3=6,焦距为2V2历-9=8，商心率为号， LB:2.ABD:3.D.41或-1；5.关+ 桃国5+与六-1(<9妙的长销长为2因可， 2 6.解：以BC所在的直线为x轴，BC的中垂线为y轴， 短轴长为29-k, 建立平面直角坐标系 因为点M为△ABC的重心， 焦距为225-)-(9-百=8，离心率为25 所以1MB11MC1=子×39=26>1BC1=24 所以两椭圆的焦距相等，长轴长不相等，短轴长不相等，离 心率也不相等.故选(D) 根据椭圆定义可知，点M的轨迹是以B,C为焦点的椭圆， 所以a=13,c=12,则b=5. 5由后+号=1(0>3)可得 m 放△AC重心M的箱达方程为后+若-1G≠0， a2=m,b2=3,c2=m-3. 即a=m,b=5,c=√m-3. 专项小练二 因为椭圆上一点P到焦点F的最大距离是3， 1c:2.D:3.R48:5若+号=1 所以a+c=√m+√m-3=3, 6.解：由已知条件得椭圆的焦点在x轴上， 解得m=4,所以椭圆的离心率为后=： m 2 其中c=22,a=3,从而b=1, 2 6.因为M(1,0)为线段OB的中点，且B(b,0),所以b=2, 所以其标准方程是号 +y2=1. 21 r x" 联立方程组 9 +y2=1, 消去y, y=x+2, 所议。：2反，所以精圆C的际在办程为号+号=1 得10x2+36x+27=0. 7.依题意，顶点A到B,C两点的距离和为 设A(x1y),B(x22),线段AB的中点为M(x,y), I ABI+I ACI =16 >I BCI =2, 那么与+5一受 所以顶点A的轨迹是椭圆除去B,C两点， 故2a=16,c=1. 即x0= =-号所以%=+2 2 5 所以顶点A的轨连方程为后+后=1(：子0》 4 高中数学北师大版选择性必修第一册第5一8期 8.由题可得圆B的圆心为B(3,0),半径为R=10, 提示： 设动圆的圆心为C,半径为t, 12.在椭圆兰+ 36+20=1中，a2=36→a=6, 由圆C在圆B的内部与其相切，则R-r=CB, 由圆C过点A,则R-CA=CB,即10=CA+CB, 记兴圆气+茹=1的左点为只，右燕点为人， 所以动点C的轨迹为以A,B为焦点的椭圆， 则IPF2I=5, 则4=5，c=14B=3,b=匠-c=4, 2 由椭圆的定义可知1PF1I+PF2I=2a=12, 所以其轨迹方程为茶+云=1 + 所以1PFI=12-5=7. 13.设椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,椭圆短轴的一个端 二、多项选择题 点为B,如图1，已知△BFF2是正三角形，可得b=√3c 9.CD;10.BD:11.ABD. 提示： 9.由2c=2,则c=1. 过点F的弦长最小值为2少≥2， a 即62≥a,即有a2-c2≥a,即a2-a-1≥0， 图1 部得0≥5出或a气1≥5（合. 2 rb 3c, ra=23, e=c 由{a-c=3,解得{b=3, ≤5+ 一=5-1故选(C)(D) a2=b2+c2, c=5. 2 10.a2=8,62=4,所以2=8-4=4. 所以椭圆的标准方程是 12 所以a=22,b=2,c=2,e=无=2 14.设圆柱的底面半径为r,依题意知， 2 最长母线与最短母线所在截面如图2所示. 焦距2c=4,IMF11+lMF21=2a=42, 当M为短轴的端点时△MF,F2的面积取得最大值， 是F,R1b=bc=4故选(B)(D). 山.由(35)&三22，得号=3-5 2 B 解得e=台=5，()正确 图2 所以DE=AB=2r, 由(5-1)a2=262,得(5-1)a2=2(a2-2), 整理得(3-√5)a2=2c2, 从而c0=5=2, 即后-35解得e=÷=5()正确： 因此在椭圆中长轴长2a=22r, 短轴长2b=2r, 由(2-5)a2-2=2c2,得(2-5)a2-(a2-c2)=2c2, 所以2=a2-}=2-2=2→C=r, 整理得(1-√5)a2=c2,无解，(C)错误； 由(3-5)62=(5-1)c2, 所以e=台=方 得(3-5)(a2-c2)=(5-1)2, 四、解答题 整理得(3-5d=22,即后-3， 15.解：由题知c=4,当点P为短轴端点时， 2 △PF,F2的面积取得最大值12， 解得：=÷=5，(D正确放选()（®）(D) 所以号×8×b=12,解得6=3 三、填空题 因为a2=b2+c2=25, 12.7；13.+ i2+9=1:14.2 2 21 所议精圆的方程为芳+号=儿 -5 高中数学北师大版选择性必修第一册第5~8期 16.解：(1)由题意设椭圆方程为 (3+42)x2-162x+16k2-12=0, x2 +京=1(a>b>0). 3+4h,4·名=16k-2 所以+=，16 3+42, 由椭圆过点(5,0)，知其一个顶点坐标为(5,0)， 则叫3e).m:( 6k_ 所以a=5. 又e=号所以e=2.所以=2-2=21. Ed=(m,2k),由题可得0·E0=0, 故能圆的标准方程为亏+分=儿 解得m= 3 (2)由(1)可得椭圆的长轴长为2a=10, ，所以存在定点Q(3,0） 短轴长为2b=221,焦点坐标为（±2,0）， 第7期2版参考答案 顶点坐标为（±5,0），(0，±√2I) 17.解：因为△ABF2的周长为8，所以 专项小练一 I ABI +I AF,I +1 BF2 I=8 1.B:2.C:3D.4.9+5=154 I AF I+I BFI+1 AF2 I+I BF2I =8 6.解：因为PF,⊥PF2,所以在Rt△FPF2中， (I AF I+I AF21)+(I BF I+1 BF21)=8 1FF1=21P01=10,所以c=5. →2a+2a=8→a=2, 设F(-5,0),F2(5,0), 由题意可得abπ=23π， 所以1P℉I=45,IPF21=25. 即ab=25,解得b=3. 故2a=1PF,1+PF21=65,所以a=35, 因为椭圆的焦点在x轴上， 则62=a2-c2=20. 所以C的标准方程为后+号山 放精圆的标准方程为后+品=山 18.解：假设1存在，则l不垂直于x轴， 专项小练二 设l的直线方程为y-2=(x-2), 1.B;2.B;3.D.4.3;5.2或4. Q(x1,当1)，Q2(x22), 6.解：因为椭圆的焦点在x轴上，对称轴为坐标轴， ry-2=k(x-2), 联立方程组 2 消去y得 听以后可告比方是为三+2三1(“之么>0) 4 +3=1, 由椭圆过点(5,0)，即其一个顶点坐标为(5,0)， (42+3)x2+16k(1-k)x+16k2-32k+4=0. ① 所以a=5. 由根与系数的关系得+6=16k(k- 42+3, 又e= ,所以e=2,所以62=a2-c2=25-4=21, 2 方程①有两个不同解的前提条件是4=8k-1>0, 所以椭圆的标准方程为25+21 x2 =1. 即：>日又00的中点B的坐标为(2,2， 第7期3,4版参考答案 所以6，=4，解得6=子 42+3 椭圆同步核心素养测评（二）》 面-子生（令，+）：放不作在这样的直线乙 一、单项选择题 19.解：(1)由题意得a=2,b=5c, 1~4 ABBA 5~8 CDAB 又因为a2=b2+c2,所以a2=4,b2=3,c2=1. 提示： 所议搭圆G的方程为号+亏-山 *2 1.方程4-m+m+3=1表示椭圆 (2)设直线AD的方程为y=(x-2)(k≠0)， 4-m>0, 1 令x=0得y=-2k,即E(0,-2k), 则{m+3>0, 解得-3<m<4且m≠2， rJ=k(x-2), 4-m≠m+3, 联立 因此“方程m+m+31表示桶圆”是“-3<m<4” 6 高中数学北师大版选择性必修第一册第5~8期 的充分不必要条件 即子 n 2对于椭圆号+卡=1a>6>0。 显然曲线C是焦点在y轴上的椭圆，a=√n,b=√m, 所以C的离心*为e=√-=√ n 8.如图1，设椭圆的左焦点为E, 因为6=各所以√-=×√ 解得b=2. 3.设椭圆的左焦点为F, 由题意得M(5,0)与F(-5,0)是椭圆的焦点， 图1 则直线AB过椭圆的左焦点F(-5,0), 则IBEI+IBF1=2a, 且IABI=IAFI+IBFI, 因为点A,B关于原点对称， 所以△ABM的周长为IAB1+IAMI+BMI=(IAFI+ 所以四边形为平行四边形. I AM I)+(I BFI+I BM I)4a =8. 由1A1=21BF1得1BF1=子，1BE1=子 4.由题意得mb=25m,离心率：e=台= 1 a 在△EBF中，cOS∠EBF=LBEI2+1BFI2-EF12 21 BEII BFI rrab=23π， ra=2, 从而可得方程组 ec=,解得b=3 5+合-4状 a 2x4 a2=62+2, c=1. 故椭圆C的标准方程为号+ 2 =1. 所以cos∠BFA=-cos∠EBF=9&-5 4 3 5.在大椭圆中，a=20,b=10,则c=√a-62=105 由，成≤号d,得1i1 0BFA=手a×子a 则椭圆离心率为e=尽 21 ×(骨-子）≤专，整理得。≤子 因为两椭圆扁平程度相同，所以离心率相等， 又0<e<1,所以ee(o,号] 所以在小稀圆中，。=写， 二、多项选择题 结合题意知6=5，得(e)2=a)二)-子，■ 9.BC;10.ABD;11.ACD. (a')2 提示： 解得a'=10,所以小椭圆的长轴长为20cm. =1的两 6.设椭圆的方程为。+=1(a>6>0 9.易知R(-4,0).R(4,0)分别为椭圆号+号 由已知得A(a,0),B(0,b),F(-c,0), 个凭点，60，-4)，0,4)分别为椭圆亏+号-1的两个 则BF=(-,-b),BA=(a,-b). 焦点 因为离心*e=台：5，所以e=5, +1 若点P仅在椭圆 则6-=√-（斗可哥 则P到F1(-4,0),F2(4,0)两点的距离之和为定值，到 2 E1(0,-4),E2(0,4)两点的距离之和不为定值，故(A)错误； 所以BF.BA=b2-ac=0,所以∠ABF=90° 两个椭圆关于直线y=x与y=一x对称， 7.依题意，A(0,√n),B(0,-元)，设点P(y), 则曲线C关于直线y=x,y=-x均对称，故(B)正确； 则有后+公=1，即=(n-), 曲线C所围区域在边长为6的正方形内部， m n n 所以面积必小于36，故(C)正确； 则n=瓜.h+瓜-6=-只=含 4 曲线C所围区域在半径为3的圆外部， 所以曲线的总长度大于圆的周长6π，故(D)错误， 高中数学北师大版选择性必修第一册第5~8期 故选(B)(C). 对于(C),太阳光线与地面所成角为号，且伞柄沿着光线 10.由椭圆方程可知a=2,b=√5， 方向时，球冠被完整照射，如图5，而由于AB与地面成一定角 从而c=a2-b=1. 度，AB投影被拉长，故形成影子为椭圆，短轴长度不变，长轴被 根据椭圆定义IPF,I+PF21=2a=4, 又IFF21=2c=2, 拉长为原来的后倍，则台=孕高心率为宁正确： 所以△PFF2的周长是6，故(A)正确； 设点P(x,%)(yo≠0)， 因为1FF2I=2, 期55=分1FI%=元 图5 因为0<0≤b=5, 则△PFF2面积的最大值为3，故(B)正确； 对于(D),太阳光线与地面所成角为石时，如图6，当AB垂 由椭圆性质可知， 直于光线，可最大程度拉长影长，而且球冠被完整照射，故投影 当点P为椭圆C短轴的一个端点时， ∠FPF2最大，此时1PFI=IPF2I=a=2, 成椭圆，此时长轴长为1AB1×1 -=21AB1=240cm,正确. sin 6 又IFF2I=2, 故选(A)(C)(D). 则△PF,F2为正三角形，∠FPF2=60°， 所以不存在点P,使PF,⊥PF,故(C)错误； 当点P为椭圆C的右项点时， IPFI取得最大值，此时IPFI=a+c=3; 6 当点P为椭圆C的左顶点时，IPFI取得最小值， 此时|PFI=a-c=1, 图6 所以1PFI∈[1,3]，故(D)正确. 三、填空题 故选(A)(B)(D). 1226 ；13.5；149 11.图2，在Rt△AD0,由于A0=T,AD=60cm,CD= 提示： 20cm,D0=(r-20)cm, 12.由题意知：F(-c,0)(c>0), 所以(r-20)2+602=T2,解得r=100cm: 对于(A),太阳光线与地面所成角为平时，如图3将伞还 则直线：y=一 3(x+c),即x+5y+c=0, 原成完整的球状，光线将打在半球上，球冠被完整照射，于是投 因为1与圆2+2=相切，所以cL =b,即c=2b, √1+3 影形成完整的圆，正确； 所以c2=42=4a2-4c2, 所以e2=。4 5 所以椭圆的离心率e=25 图2 图3 13.如图7所示，因为PM⊥FQ且1PFI=IPQ=2, 对于(B),太阳光线与地面所成角为云时，如图4球冠只 6 有部分被照射，故不能形成椭圆，错误； 图7 6 所以M为FQ的中点， 图4 又因为O为F,F2的中点，OM⊥x轴，所以PQ⊥x轴， —8 高中数学北师大版选择性必修第一册第5~8期 所以△PFQ为等边三角形， 故1MF,I+MFI的最小值为25 所以∠PFF2=30°， (2)设M是椭圆E与直线x-y+3=0的一个公共点， 可得1PR,1==2, 则IMF,I+lMF,I=2a. 由(1)可知IMFI+1MF2I≥1F2FI=25, 解得e=号，所以稀圆C的熊距为2c= 所以椭圆E离心率e:。≤↓=5 a 方， 14.因为点P是椭圆C上的动点，所以m+n=8, 所点=告+日=g(任+) ·(m+n)= 故横圆E离心米的最大值为 mn 18.(1)解：因为e= a 停所以心=3， 81 当组仅当把=只，即网=号1=9时，等号成立 所以椭圆C的方程为。： 22 3苏+京=1 又因为椭圆C过点M(1,1), 四、解答题 15.解：直线x-2y+2=0与坐标轴的交点为(0,1)，(-2,0). 代入方程解得d2=4,6=子 4 当焦点在x轴上时， 设解圆的方程为号+卡=1a>6>0。 所以精园C的方程为号+兰-1 4 (2)证明：①当圆0的切线（的斜率存在时， 由题意知，c=2,b=1,所以a2=5, 设直线l的方程为y=kx+m, 所以精圆的标准力程为号+=1： 则圆心0到直线1的距离d=Im=1, √+1 当焦点在y轴上时， 所以1+2=m2 设精圆的方塑为后 +a=1(a>6>0), 将直线的方程和椭圆C的方程联立， 得到(1+3k2)x2+6kmx+3m2-4=0. 由题意知，b=2,c=1,所以a2=5, 设直线1与椭圆C相交于A(x1,y1),B(x2,2)两点， r x 所以椭圆的标准方程为亏+号=1 「西+=1+3K 6km 做该钙圆的标准方程为亏+了=1或考+号 .2 则 =1. 3m2-4 x3=1+3 16.解：(1)因为a=5,b=3,所以c=4. 所以0A.0店=x2+y IPF I+I PF2 I 2a 10,I F F2 I 2c =8, =(1+2)x2+km(x1+x2）+m 所以△FPF2的周长为 =(1+k:3m+m 6km I PF I+I PF2 I +I F F2 I 2a +2c 10+8 18. 1+32 1+3k2 +m2 (2)设1PFI=t1,1PF21=t2,则t1+t2=10. ① =4m-4-4 =0: 在△FPF2中，由余弦定理可得 1+3 ②当圆的切线l的斜率不存在时，验证得0·0B=0. 元+号-2c0s60°=8. ② 综上，0A.0B为定值0. 由①2-②，得t2=12, 19.解：(1)由题意得IQM1+QWI=IQM1+1QPI= 所以5am=之6s血60=7×2×5=35 1MPI=4>2=1MW1,根据椭圆的定义得点Q的轨迹E是 17.解：(1)设点F关于直线x-y+3=0的对称点为 以M,N为焦点的椭圆.所以a=2,c=1,所以b=√5. F3(x,y）, 故所求轨迹方程为子+亏=1 ry-0 x+1 ·1=-1, 则 解得 x-1-y+0+3=0, x=-3即F,(-3,2) (2)由题意知S%w=2Sm=2×子×AB1·d= y=2, dI ABI(d为点O到直线l的距离). 2 2 ry kx +1. 由“对称性和两点之间线段最短”，可知 设1的方程为y=kx+1,联立方程 消去y I MFI+I MF2 I=I F2F3I=25. =1, 3 -9 高中数学北师大版选择性必修第一册第5一8期 整理得(3+4k2)x2+8kx-8=0,设A(x1,1),B(2y2), 第8期3,4版参考答案 -8k -8 则4+=3+4状4名=3+4， 双曲线同步核心素养测评（一） 则IAB1=√1+区·√（x1+2)2-4x 一、单项选择题 =46·个+2R.个+g 1~4 DBBC 5~8 BAAA 3+4h2 提示： +示，所以5m=d1B1=46·个+2E 又d=1 3+42 1.由题意得2a=4,a=2,故渐近线方程为y=±2x 令√个+2K=t,由2≥0，得t≥1， 2.由题得a=3, 46任=46-≥1)，易证y=2+ 由双曲线定义可知1MF2I-MF1I=2a=6, 所以Sm=2+12+ 所以1MF21=6+7=13. t 在(1，+0)递增，所以2+≥3，从而S6≤45 3椭圆号+号=1的上顶点为4(0.3) t 3 双曲线x2-y2=1的渐近线方程为y=±x, 所以△BD的面积S的最大值为：后 则点A到y=±x的距离为4=3=32 2 =2 第8期2版参考答案 4.由题意知，双曲线的焦点在y轴上， 22 专项小练一 设双曲线的方程为后-云=1(a>0,6>0), 1.C;2.D;3.C. 由题得a=1,e=￡=2，所以c=2, 4.5或9； 所以b2=c2-a2=4-1=3, 6.解：由条件知椭圆的焦点为(0，±3)， 设双线的标准方程为号-号=1K。>0.6>0小 所以双曲线的标准方程为)-菁=山 5.依题意，以点O2为原点，直线0O3为x轴建立平面直角 则a2+2=9. ① 坐标系，如图，点0，(-13，-11)， 将y=4代入椭圆方程得x2=15, 则55 =1 ② 2 01 02 由①2解得口=4或0=36：（含去）. 04 ·05 lb2=5,62=-27 v2 x2 设双面线C的方程为号-卡=1a>0.6>0. 故双曲线的标准方程为产-了=1 其渐近线为y=±么x,因直线0,0，为一条渐近线， 专项小练二 1.C;2.B;3.A.4.12;5.1+2 则有三 a 总，双曲线C的离心率为e=。亚 6解：由于椭圆为+品-1的焦点为0.-5.0.5. 焦点在y轴上， +(( 13 故设双曲线的方程为 J2-=1(a>0,b>0). 6.由题意得e6,:公+6.m-五：1. m 因为双曲线过点(0,2)， 所以(a2+2)(m2-b2)=a2m2, 所以将该点代人双曲线方程得a2=4, 得m2=a2+b2,所以三角形为直角三角形. 故c=5,a=2.于是2=c2-a2=21 所双有线的标疾方和是子一云=1 ?设RF与渐近线y=名：的交点为P, 由题意可知IOFI=2,∠P0F=60°，P0⊥PF, 双曲线的实轴长为4，焦距为10. 所以IPF1=3,IPO1=1, 离心率。=子，渐近线方程为y=±2 5 21x 则5m=2m=2×7×月×1=5 -10