第6期 椭圆（一）-【数理报】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步学案（北师大版）

高中数学北师大版选择性必修第一册第5~8期 数理括 答案详解 2025~2026学年高中数学北师大版选择性必修第一册第5~8期(2025年8月) 5.设M(m,n),故有m2+n2=1,即n2=1-m2, 第5期参考答案 由Pi=M,则点M为PN中点， 直线与圆核心素养综合测评 故N(2+2m,2n),故有(2+2m)2+(2n)2=1, 一、单项选择题 即有(2+2m)2+4(1-m2)=1, 1 ~4 BABA 5~8 ACDD 提示： 整理得8咖+8=1，即m=一子 1.因为圆C:x2+y2+mx+1=0, 6记A(2,0),则k=亡2为直线AP的斜率。 即(+受广+=1 故当直线AP与半圆x2+(y-1)2=1(x>0)相切时， 5=㎡=（买-1m=,解得m=±22 得k最小，此时设APy=k(x-2),故-1-2=1， +1 2由直线的问点式方程得直线！的方截为出 解得k=- 号或k=0(含去)，即k。=-号 3 2骨即y=2x+1 7.当圆C与x轴相切时， 设圆心C(a,a+7),半径r=1a+71, 将点(1013，b)代入方程得b=2×1013+1. 故√a+(a+7)7=2+la+71, 解得b=2027. 即a2-4=41a+71,解得a=-4或a=8, 3.由ax+y+3a-1=0可得a(x+3)+y-1=0, 所以圆C的方程(x+4)2+(y-3)2=9或(x-8)2+(y 令+3=0可得E=-3y=1,所以N0-3,1. -15)2=225; y-1=0, 当圆C与y轴相切时，设圆心C(a,a+7),半径r=1al, 设直线2x+3y-6=0关于点N对称的直线方程为2x+ 故/a+(a+7)7=2+lal, 3y+c=0(c≠-6)， 即(a+7)2=4+4|al,解得a=-3或a=-15, 则=6+3-6L=1-6+3+c1 所以圆C的方程为(x+3)2+(y-4)2=9或(x+15)2+ /4+9 W4+9 (y+8)2=225, 解得c=12或c=-6(舍去)， 则满足条件的圆C有4个. 所以所求直线方程为2x+3y+12=0. 4.方程x2+y2+(k-1)x+2y+k=0表示圆的条件为 8.设P(x,y),根据线段MW的中点为P, 则CP⊥MN,即CP⊥AP,所以CP.AP=0, (k-1)2+(2k)2-4k>0, 又Ad=(x+6,y+8),C2=(x,y), 即5张-6+1>0，解得k>1或k<行， 所以x(x+6)+y(y+8)=0, 又知该方程不表示圆，所以：的取值范围为≤k≤1， 即(x+3)2+(y+4)2=25, 所以点P的轨迹是以(-3，-4)为圆心，半径为5的圆在 又因为ke{-2,0,号，3} 圆C内的一部分.故选：(D). 二、多项选择题 所以满足条件的k=5 4 9.AD;10.BC;11.ACD. 提示： 即k的取值集合为{号}故选(A)。 9.l:x-ay+1=0(aeR)整理为ay=x+1, 高中数学北师大版选择性必修第一册第5~8期 恒过定点(-1,0)，故(A)正确； 所以△ABC外接圆的方程为(-冬）+(-各) 当a=0时，直线l与x轴垂直，故(B)错误： 当m=-1时，两直线重合，故(C)错误； ,故(D)正确， 125 因为1×a+1×(-a)=0,故直线l与直线'一定垂直， 故选(A)(C)(D) 故(D)正确. 三、填空题 故选(A)(D) 10.依题意设P(2cos0,2sin0), 2(-点)：B-2:4器 则1PA12=(2cos0+2)2+(2sin0+2)2 提示： =12+8cos0+8sin0, 12因为点(5a+1,12a)在圆(x-1)2+y2=1的内部， 1PB12=(2cos0+2)2+(2sin0-6)2 =44+8cos0-24sin0, 所以(5a+1-1)2+(12a)2<1,即d<1 1PC12=(2cos0-4)2+(2sin0+2)2 =24-16cos0+8sin0, 解得ae(方) 所以1PA12+lPB12+lPC12=80-8sim0, 13.依题意知直线l的斜率为k=tan135°=-1， 又sin0∈[-1,1]，则80-8sin0∈[72,88]. 则直线4的斜率为1，于是有写日=1， 故选(B)(C) 所以a=0.又直线b2与l1平行， 11.设A(x,y), r1=x+(-1)+0 所以1=-名，即6=-2.所以a+6=-2 6 3 由重心坐标公式 14根据题意作出图1，AB为两圆的公切线，切点分别为A,B. 3 =y+0+2 3 x= 解得 2’ y=0, 所以4（号0），放(A)正确： 图1 1AB1=AC1=,1BC1=5, C(2,2),C2(-1,-1),所以直线CC2的斜率k=1,显然 所以△ABC不是等边三角形，故(B)错误； 与直线AB的斜率不相同，所以1≠t2: IABI=IACI,△ABC的外心、重心、垂心都位于线段BC 不妨设0<1<2 的垂直平分线上，线段BC的中点的坐标为(-子，1），线段 过C1作AB的平行线交AC2于点E, 则EC2=r2-r1,AB=EC1且AB∥EC1, BC所在直线的斜率c=0-（-I 2-0 =2,线段BC垂直平分线 C,C2=√(2+1)2+(2+1)=32=1+r2: ① 的方程为y-1=(+分) 所以直线AB与直线C,C2的夹角的正切值为： 即2x+4y-3=0,△ABC的欧拉线方程为2x+4y-3= tan o= 引 0,故(C)正确； 1 因为线段B的垂直平分线方程为x=4,△4BC的外心 M为线段BC的垂直平分线与线段AB的垂直平分线的交点， 所以EC=号-)， 2x+4y-3=0, 又EC+EC=C,C,整理得 所以交点M的坐标满足 1 4 [g-n)]+-n)2=18, 解得M(子，名），外接圆半径r=MB1 解得-1=92 5 ② 任+)+()-√ 522 联立①2，得万=32 51 2 高中数学北师大版选择性必修第一册第5~8期 所以2= 5 5 直线AB的斜率为k=,21=-3, 2-1 四、解答题 放线段4B的垂直平分线方程为y=子+(：-名》， 15.解：依题意，设l与t的关系式为：l=t+b,k,b是常数， 即x-3y-3=0. 12.506=40k+b. k=0.00015 于是得 解得 12.512=80k+b, b=12.5. 由-3y-3=0解得=-3则(-3，-2) x-y+1=0, y=-2. 则所求直线的方程为1=0.00015t+12.5, 半径r=1AC1=√(1+3)2+(1+2)7=5， 当t=100时，l=12.515m. 16解：(1)设Q(x,y）.由已知得kww=3, 所以圆C的标准方程为(x+3)2+(y+2)2=25. (2)设M的坐标为(x,y),Q(x',y), 又PQ上MN,可得k·kw=-1, 即之3×31 =t5 ① 2 得 x'=2x-5, 由M是线段PQ的中点，有 ly'=2y, 由已知得kpv=-2,又PN∥MQ,可得kw=ko, (=+0 2 出=2 ② 又因为Q(x',y)是圆C上的动点， 所以(x'+3)2+(y'+2)2=25, 联立①②，解得x=0,y=1,即Q(0,1). 即(2-5+3)2+(2y+2)2=25, (2)设Q(x',0). 因为∠NQP=∠NPQ,所以ko=-kp 整理得(：-)+(+1)产=空 又22-2， 则线段P0中点M的轨迹方程是(x-1)严+6+1)炉=空 所以22=2.即=1，所以01,0. 19.解：当x≥0，y≥0时， 又因为M(1,-1),所以MQ垂直于x轴. 曲线c的方程可化为(x-之)+(-分）= 所以直线MQ的倾斜角为90. 当x≤0，y≥0时， 17.解：(1)以B为原点，正东方向为x轴正方向建立如图2 曲线c的方程可化为(：+宁)广+(-号)= 所示的直角坐标系，则A地的坐标是(-400,0)，台风中心移动 路径所在直线的斜率k=1,所以台风中心移动路径所在的直 当x≥0，y≤0时， 线方程为y=x+400. 曲线c的方程可化为：-号)广+(+分)广=名 当x≤0，y≤0时， 曲线C的方程可化为(x+分)+(+分)=子： B 作出曲线C的图象（如图3）. 图2 (2)以B为圆心，300千米为半径作圆， 和直线y=x+400相交于A1,A2两点. 设台风中心移到A,时，城市B开始受台风影响（危险区）， 直到A2时，解除影响。 图3 因为点B到直线y=x+400的距离d=2002(千米)， (少由图可知，曲线C是四个半径为号的半调图成的图形， 所以1A421=2√300-(2002)2=200（千米）. 即曲线C围成的图形的周长是 而贺=0小时. 1 4×2×2×π×2 ·=22m. 所以城市B处于危险区城的时间是10小时. 18.解：(1)因为A(1,1)和B(2,-2), (2)曲线C所围成的面积为四个半圆的面积与边长为2 的正方形的面积之和， 所以线段4B的中点坐标为（号，-）》： 从而曲线C所围成图形的面积为 3 高中数学北师大版选择性必修第一册第5~8期 4×7m×7+(52=2+m 放线段AB的中点坐标为(-号，) (3)因为P(m,n)到直线3x+4y-12=0的距离为 d=L3m+4n-12l=3m+4n-121 第6期3,4版参考答案 32+4 5 椭圆同步核心素养测评（一） 所以13m+4n-12|=5d. 一、单项选择题 当d最小时，易知P(m,n)在曲线C的第一象限内的图象上， 1~4 CCBD 5~8 ABDD 因为曲线C的第一象限内的图象是圆心为（行，），半 提示： 径为号的半国，所以圆心（宁方）到3x+4-2=0的距离 2.椭圆方程化为标准形式后，可以得。2=1，尽=8， 1 1 所以c2=a2-6=名」 8,则c=4 4 3× -+4× 2 、2-12 17 √32+42 10 又焦点在：箱上，所以焦点坐标为（±0小 从而d。=d'-5-17-52 3.因为椭圆的右焦点坐标是(1,0)， 2 10 即13m+4n-121=17-,52 所以右熊点到直线y-厅：的距离d- 2 椭圆+。=1的长轴长为5×2=10，短轴长 第6期1版参考答案 专项小练一 3=6,焦距为2V2历-9=8，商心率为号， LB:2.ABD:3.D.41或-1；5.关+ 桃国5+与六-1(<9妙的长销长为2因可， 2 6.解：以BC所在的直线为x轴，BC的中垂线为y轴， 短轴长为29-k, 建立平面直角坐标系 因为点M为△ABC的重心， 焦距为225-)-(9-百=8，离心率为25 所以1MB11MC1=子×39=26>1BC1=24 所以两椭圆的焦距相等，长轴长不相等，短轴长不相等，离 心率也不相等.故选(D) 根据椭圆定义可知，点M的轨迹是以B,C为焦点的椭圆， 所以a=13,c=12,则b=5. 5由后+号=1(0>3)可得 m 放△AC重心M的箱达方程为后+若-1G≠0， a2=m,b2=3,c2=m-3. 即a=m,b=5,c=√m-3. 专项小练二 因为椭圆上一点P到焦点F的最大距离是3， 1c:2.D:3.R48:5若+号=1 所以a+c=√m+√m-3=3, 6.解：由已知条件得椭圆的焦点在x轴上， 解得m=4,所以椭圆的离心率为后=： m 2 其中c=22,a=3,从而b=1, 2 6.因为M(1,0)为线段OB的中点，且B(b,0),所以b=2, 所以其标准方程是号 +y2=1. 21 r x" 联立方程组 9 +y2=1, 消去y, y=x+2, 所议。：2反，所以精圆C的际在办程为号+号=1 得10x2+36x+27=0. 7.依题意，顶点A到B,C两点的距离和为 设A(x1y),B(x22),线段AB的中点为M(x,y), I ABI+I ACI =16 >I BCI =2, 那么与+5一受 所以顶点A的轨迹是椭圆除去B,C两点， 故2a=16,c=1. 即x0= =-号所以%=+2 2 5 所以顶点A的轨连方程为后+后=1(：子0》 4 高中数学北师大版选择性必修第一册第5一8期 8.由题可得圆B的圆心为B(3,0),半径为R=10, 提示： 设动圆的圆心为C,半径为t, 12.在椭圆兰+ 36+20=1中，a2=36→a=6, 由圆C在圆B的内部与其相切，则R-r=CB, 由圆C过点A,则R-CA=CB,即10=CA+CB, 记兴圆气+茹=1的左点为只，右燕点为人， 所以动点C的轨迹为以A,B为焦点的椭圆， 则IPF2I=5, 则4=5，c=14B=3,b=匠-c=4, 2 由椭圆的定义可知1PF1I+PF2I=2a=12, 所以其轨迹方程为茶+云=1 + 所以1PFI=12-5=7. 13.设椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,椭圆短轴的一个端 二、多项选择题 点为B,如图1，已知△BFF2是正三角形，可得b=√3c 9.CD;10.BD:11.ABD. 提示： 9.由2c=2,则c=1. 过点F的弦长最小值为2少≥2， a 即62≥a,即有a2-c2≥a,即a2-a-1≥0， 图1 部得0≥5出或a气1≥5（合. 2 rb 3c, ra=23, e=c 由{a-c=3,解得{b=3, ≤5+ 一=5-1故选(C)(D) a2=b2+c2, c=5. 2 10.a2=8,62=4,所以2=8-4=4. 所以椭圆的标准方程是 12 所以a=22,b=2,c=2,e=无=2 14.设圆柱的底面半径为r,依题意知， 2 最长母线与最短母线所在截面如图2所示. 焦距2c=4,IMF11+lMF21=2a=42, 当M为短轴的端点时△MF,F2的面积取得最大值， 是F,R1b=bc=4故选(B)(D). 山.由(35)&三22，得号=3-5 2 B 解得e=台=5，()正确 图2 所以DE=AB=2r, 由(5-1)a2=262,得(5-1)a2=2(a2-2), 整理得(3-√5)a2=2c2, 从而c0=5=2, 即后-35解得e=÷=5()正确： 因此在椭圆中长轴长2a=22r, 短轴长2b=2r, 由(2-5)a2-2=2c2,得(2-5)a2-(a2-c2)=2c2, 所以2=a2-}=2-2=2→C=r, 整理得(1-√5)a2=c2,无解，(C)错误； 由(3-5)62=(5-1)c2, 所以e=台=方 得(3-5)(a2-c2)=(5-1)2, 四、解答题 整理得(3-5d=22,即后-3， 15.解：由题知c=4,当点P为短轴端点时， 2 △PF,F2的面积取得最大值12， 解得：=÷=5，(D正确放选()（®）(D) 所以号×8×b=12,解得6=3 三、填空题 因为a2=b2+c2=25, 12.7；13.+ i2+9=1:14.2 2 21 所议精圆的方程为芳+号=儿 -5 高中数学北师大版选择性必修第一册第5~8期 16.解：(1)由题意设椭圆方程为 (3+42)x2-162x+16k2-12=0, x2 +京=1(a>b>0). 3+4h,4·名=16k-2 所以+=，16 3+42, 由椭圆过点(5,0)，知其一个顶点坐标为(5,0)， 则叫3e).m:( 6k_ 所以a=5. 又e=号所以e=2.所以=2-2=21. Ed=(m,2k),由题可得0·E0=0, 故能圆的标准方程为亏+分=儿 解得m= 3 (2)由(1)可得椭圆的长轴长为2a=10, ，所以存在定点Q(3,0） 短轴长为2b=221,焦点坐标为（±2,0）， 第7期2版参考答案 顶点坐标为（±5,0），(0，±√2I) 17.解：因为△ABF2的周长为8，所以 专项小练一 I ABI +I AF,I +1 BF2 I=8 1.B:2.C:3D.4.9+5=154 I AF I+I BFI+1 AF2 I+I BF2I =8 6.解：因为PF,⊥PF2,所以在Rt△FPF2中， (I AF I+I AF21)+(I BF I+1 BF21)=8 1FF1=21P01=10,所以c=5. →2a+2a=8→a=2, 设F(-5,0),F2(5,0), 由题意可得abπ=23π， 所以1P℉I=45,IPF21=25. 即ab=25,解得b=3. 故2a=1PF,1+PF21=65,所以a=35, 因为椭圆的焦点在x轴上， 则62=a2-c2=20. 所以C的标准方程为后+号山 放精圆的标准方程为后+品=山 18.解：假设1存在，则l不垂直于x轴， 专项小练二 设l的直线方程为y-2=(x-2), 1.B;2.B;3.D.4.3;5.2或4. Q(x1,当1)，Q2(x22), 6.解：因为椭圆的焦点在x轴上，对称轴为坐标轴， ry-2=k(x-2), 联立方程组 2 消去y得 听以后可告比方是为三+2三1(“之么>0) 4 +3=1, 由椭圆过点(5,0)，即其一个顶点坐标为(5,0)， (42+3)x2+16k(1-k)x+16k2-32k+4=0. ① 所以a=5. 由根与系数的关系得+6=16k(k- 42+3, 又e= ,所以e=2,所以62=a2-c2=25-4=21, 2 方程①有两个不同解的前提条件是4=8k-1>0, 所以椭圆的标准方程为25+21 x2 =1. 即：>日又00的中点B的坐标为(2,2， 第7期3,4版参考答案 所以6，=4，解得6=子 42+3 椭圆同步核心素养测评（二）》 面-子生（令，+）：放不作在这样的直线乙 一、单项选择题 19.解：(1)由题意得a=2,b=5c, 1~4 ABBA 5~8 CDAB 又因为a2=b2+c2,所以a2=4,b2=3,c2=1. 提示： 所议搭圆G的方程为号+亏-山 *2 1.方程4-m+m+3=1表示椭圆 (2)设直线AD的方程为y=(x-2)(k≠0)， 4-m>0, 1 令x=0得y=-2k,即E(0,-2k), 则{m+3>0, 解得-3<m<4且m≠2， rJ=k(x-2), 4-m≠m+3, 联立 因此“方程m+m+31表示桶圆”是“-3<m<4” 6 高中数学北师大版选择性必修第一册第5~8期 的充分不必要条件 即子 n 2对于椭圆号+卡=1a>6>0。 显然曲线C是焦点在y轴上的椭圆，a=√n,b=√m, 所以C的离心*为e=√-=√ n 8.如图1，设椭圆的左焦点为E, 因为6=各所以√-=×√ 解得b=2. 3.设椭圆的左焦点为F, 由题意得M(5,0)与F(-5,0)是椭圆的焦点， 图1 则直线AB过椭圆的左焦点F(-5,0), 则IBEI+IBF1=2a, 且IABI=IAFI+IBFI, 因为点A,B关于原点对称， 所以△ABM的周长为IAB1+IAMI+BMI=(IAFI+ 所以四边形为平行四边形. I AM I)+(I BFI+I BM I)4a =8. 由1A1=21BF1得1BF1=子，1BE1=子 4.由题意得mb=25m,离心率：e=台= 1 a 在△EBF中，cOS∠EBF=LBEI2+1BFI2-EF12 21 BEII BFI rrab=23π， ra=2, 从而可得方程组 ec=,解得b=3 5+合-4状 a 2x4 a2=62+2, c=1. 故椭圆C的标准方程为号+ 2 =1. 所以cos∠BFA=-cos∠EBF=9&-5 4 3 5.在大椭圆中，a=20,b=10,则c=√a-62=105 由，成≤号d,得1i1 0BFA=手a×子a 则椭圆离心率为e=尽 21 ×(骨-子）≤专，整理得。≤子 因为两椭圆扁平程度相同，所以离心率相等， 又0<e<1,所以ee(o,号] 所以在小稀圆中，。=写， 二、多项选择题 结合题意知6=5，得(e)2=a)二)-子，■ 9.BC;10.ABD;11.ACD. (a')2 提示： 解得a'=10,所以小椭圆的长轴长为20cm. =1的两 6.设椭圆的方程为。+=1(a>6>0 9.易知R(-4,0).R(4,0)分别为椭圆号+号 由已知得A(a,0),B(0,b),F(-c,0), 个凭点，60，-4)，0,4)分别为椭圆亏+号-1的两个 则BF=(-,-b),BA=(a,-b). 焦点 因为离心*e=台：5，所以e=5, +1 若点P仅在椭圆 则6-=√-（斗可哥 则P到F1(-4,0),F2(4,0)两点的距离之和为定值，到 2 E1(0,-4),E2(0,4)两点的距离之和不为定值，故(A)错误； 所以BF.BA=b2-ac=0,所以∠ABF=90° 两个椭圆关于直线y=x与y=一x对称， 7.依题意，A(0,√n),B(0,-元)，设点P(y), 则曲线C关于直线y=x,y=-x均对称，故(B)正确； 则有后+公=1，即=(n-), 曲线C所围区域在边长为6的正方形内部， m n n 所以面积必小于36，故(C)正确； 则n=瓜.h+瓜-6=-只=含 4 曲线C所围区域在半径为3的圆外部， 所以曲线的总长度大于圆的周长6π，故(D)错误， 高中数学北师大版选择性必修第一册第5~8期 故选(B)(C). 对于(C),太阳光线与地面所成角为号，且伞柄沿着光线 10.由椭圆方程可知a=2,b=√5， 方向时，球冠被完整照射，如图5，而由于AB与地面成一定角 从而c=a2-b=1. 度，AB投影被拉长，故形成影子为椭圆，短轴长度不变，长轴被 根据椭圆定义IPF,I+PF21=2a=4, 又IFF21=2c=2, 拉长为原来的后倍，则台=孕高心率为宁正确： 所以△PFF2的周长是6，故(A)正确； 设点P(x,%)(yo≠0)， 因为1FF2I=2, 期55=分1FI%=元 图5 因为0<0≤b=5, 则△PFF2面积的最大值为3，故(B)正确； 对于(D),太阳光线与地面所成角为石时，如图6，当AB垂 由椭圆性质可知， 直于光线，可最大程度拉长影长，而且球冠被完整照射，故投影 当点P为椭圆C短轴的一个端点时， ∠FPF2最大，此时1PFI=IPF2I=a=2, 成椭圆，此时长轴长为1AB1×1 -=21AB1=240cm,正确. sin 6 又IFF2I=2, 故选(A)(C)(D). 则△PF,F2为正三角形，∠FPF2=60°， 所以不存在点P,使PF,⊥PF,故(C)错误； 当点P为椭圆C的右项点时， IPFI取得最大值，此时IPFI=a+c=3; 6 当点P为椭圆C的左顶点时，IPFI取得最小值， 此时|PFI=a-c=1, 图6 所以1PFI∈[1,3]，故(D)正确. 三、填空题 故选(A)(B)(D). 1226 ；13.5；149 11.图2，在Rt△AD0,由于A0=T,AD=60cm,CD= 提示： 20cm,D0=(r-20)cm, 12.由题意知：F(-c,0)(c>0), 所以(r-20)2+602=T2,解得r=100cm: 对于(A),太阳光线与地面所成角为平时，如图3将伞还 则直线：y=一 3(x+c),即x+5y+c=0, 原成完整的球状，光线将打在半球上，球冠被完整照射，于是投 因为1与圆2+2=相切，所以cL =b,即c=2b, √1+3 影形成完整的圆，正确； 所以c2=42=4a2-4c2, 所以e2=。4 5 所以椭圆的离心率e=25 图2 图3 13.如图7所示，因为PM⊥FQ且1PFI=IPQ=2, 对于(B),太阳光线与地面所成角为云时，如图4球冠只 6 有部分被照射，故不能形成椭圆，错误； 图7 6 所以M为FQ的中点， 图4 又因为O为F,F2的中点，OM⊥x轴，所以PQ⊥x轴， —8 高中数学北师大版选择性必修第一册第5~8期 所以△PFQ为等边三角形， 故1MF,I+MFI的最小值为25 所以∠PFF2=30°， (2)设M是椭圆E与直线x-y+3=0的一个公共点， 可得1PR,1==2, 则IMF,I+lMF,I=2a. 由(1)可知IMFI+1MF2I≥1F2FI=25, 解得e=号，所以稀圆C的熊距为2c= 所以椭圆E离心率e:。≤↓=5 a 方， 14.因为点P是椭圆C上的动点，所以m+n=8, 所点=告+日=g(任+) ·(m+n)= 故横圆E离心米的最大值为 mn 18.(1)解：因为e= a 停所以心=3， 81 当组仅当把=只，即网=号1=9时，等号成立 所以椭圆C的方程为。： 22 3苏+京=1 又因为椭圆C过点M(1,1), 四、解答题 15.解：直线x-2y+2=0与坐标轴的交点为(0,1)，(-2,0). 代入方程解得d2=4,6=子 4 当焦点在x轴上时， 设解圆的方程为号+卡=1a>6>0。 所以精园C的方程为号+兰-1 4 (2)证明：①当圆0的切线（的斜率存在时， 由题意知，c=2,b=1,所以a2=5, 设直线l的方程为y=kx+m, 所以精圆的标准力程为号+=1： 则圆心0到直线1的距离d=Im=1, √+1 当焦点在y轴上时， 所以1+2=m2 设精圆的方塑为后 +a=1(a>6>0), 将直线的方程和椭圆C的方程联立， 得到(1+3k2)x2+6kmx+3m2-4=0. 由题意知，b=2,c=1,所以a2=5, 设直线1与椭圆C相交于A(x1,y1),B(x2,2)两点， r x 所以椭圆的标准方程为亏+号=1 「西+=1+3K 6km 做该钙圆的标准方程为亏+了=1或考+号 .2 则 =1. 3m2-4 x3=1+3 16.解：(1)因为a=5,b=3,所以c=4. 所以0A.0店=x2+y IPF I+I PF2 I 2a 10,I F F2 I 2c =8, =(1+2)x2+km(x1+x2）+m 所以△FPF2的周长为 =(1+k:3m+m 6km I PF I+I PF2 I +I F F2 I 2a +2c 10+8 18. 1+32 1+3k2 +m2 (2)设1PFI=t1,1PF21=t2,则t1+t2=10. ① =4m-4-4 =0: 在△FPF2中，由余弦定理可得 1+3 ②当圆的切线l的斜率不存在时，验证得0·0B=0. 元+号-2c0s60°=8. ② 综上，0A.0B为定值0. 由①2-②，得t2=12, 19.解：(1)由题意得IQM1+QWI=IQM1+1QPI= 所以5am=之6s血60=7×2×5=35 1MPI=4>2=1MW1,根据椭圆的定义得点Q的轨迹E是 17.解：(1)设点F关于直线x-y+3=0的对称点为 以M,N为焦点的椭圆.所以a=2,c=1,所以b=√5. F3(x,y）, 故所求轨迹方程为子+亏=1 ry-0 x+1 ·1=-1, 则 解得 x-1-y+0+3=0, x=-3即F,(-3,2) (2)由题意知S%w=2Sm=2×子×AB1·d= y=2, dI ABI(d为点O到直线l的距离). 2 2 ry kx +1. 由“对称性和两点之间线段最短”，可知 设1的方程为y=kx+1,联立方程 消去y I MFI+I MF2 I=I F2F3I=25. =1, 3 -9 高中数学北师大版选择性必修第一册第5一8期 整理得(3+4k2)x2+8kx-8=0,设A(x1,1),B(2y2), 第8期3,4版参考答案 -8k -8 则4+=3+4状4名=3+4， 双曲线同步核心素养测评（一） 则IAB1=√1+区·√（x1+2)2-4x 一、单项选择题 =46·个+2R.个+g 1~4 DBBC 5~8 BAAA 3+4h2 提示： +示，所以5m=d1B1=46·个+2E 又d=1 3+42 1.由题意得2a=4,a=2,故渐近线方程为y=±2x 令√个+2K=t,由2≥0，得t≥1， 2.由题得a=3, 46任=46-≥1)，易证y=2+ 由双曲线定义可知1MF2I-MF1I=2a=6, 所以Sm=2+12+ 所以1MF21=6+7=13. t 在(1，+0)递增，所以2+≥3，从而S6≤45 3椭圆号+号=1的上顶点为4(0.3) t 3 双曲线x2-y2=1的渐近线方程为y=±x, 所以△BD的面积S的最大值为：后 则点A到y=±x的距离为4=3=32 2 =2 第8期2版参考答案 4.由题意知，双曲线的焦点在y轴上， 22 专项小练一 设双曲线的方程为后-云=1(a>0,6>0), 1.C;2.D;3.C. 由题得a=1,e=￡=2，所以c=2, 4.5或9； 所以b2=c2-a2=4-1=3, 6.解：由条件知椭圆的焦点为(0，±3)， 设双线的标准方程为号-号=1K。>0.6>0小 所以双曲线的标准方程为)-菁=山 5.依题意，以点O2为原点，直线0O3为x轴建立平面直角 则a2+2=9. ① 坐标系，如图，点0，(-13，-11)， 将y=4代入椭圆方程得x2=15, 则55 =1 ② 2 01 02 由①2解得口=4或0=36：（含去）. 04 ·05 lb2=5,62=-27 v2 x2 设双面线C的方程为号-卡=1a>0.6>0. 故双曲线的标准方程为产-了=1 其渐近线为y=±么x,因直线0,0，为一条渐近线， 专项小练二 1.C;2.B;3.A.4.12;5.1+2 则有三 a 总，双曲线C的离心率为e=。亚 6解：由于椭圆为+品-1的焦点为0.-5.0.5. 焦点在y轴上， +(( 13 故设双曲线的方程为 J2-=1(a>0,b>0). 6.由题意得e6,:公+6.m-五：1. m 因为双曲线过点(0,2)， 所以(a2+2)(m2-b2)=a2m2, 所以将该点代人双曲线方程得a2=4, 得m2=a2+b2,所以三角形为直角三角形. 故c=5,a=2.于是2=c2-a2=21 所双有线的标疾方和是子一云=1 ?设RF与渐近线y=名：的交点为P, 由题意可知IOFI=2,∠P0F=60°，P0⊥PF, 双曲线的实轴长为4，焦距为10. 所以IPF1=3,IPO1=1, 离心率。=子，渐近线方程为y=±2 5 21x 则5m=2m=2×7×月×1=5 -1016.(15分)已知椭圆C的焦点在x轴上，其对称轴为坐标轴，离 18(17分)已知特圆C号+亏=1，经过点B2,2),能作直 9.7分已知椭圆C:之+3 =1(a>b>0)的右顶点为 ------------------------------------------------- 心率e=子，且过点(5,0，求： 线1，使1与椭圆C交于两点Q,和Q,,且B是中点？如果存在这样的 A(2,0),上顶点为B,左、右焦点分别为F,F2,0为原点，且IOB1= (1)椭圆的标准方程； 直线1，求出它的方程；如果不存在，请说明理由. 51OF,I,过点A作斜率为k(k≠0)的直线1与椭圆C交于另一点 (2)椭圆的长轴长、短轴长、焦点和顶点坐标 D,交y轴于点E. (1)求椭圆C的方程； (2)设P为AD的中点，在x轴上是否存在定点Q(m,0),对于任 意的k(k≠0)都有OP1EQ?若存在，求出定点Q的坐标；若不存 在，请说明理由 高中数学·选择性必修第一册（北师大版）同步核心素养测评 17.(15分)古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的 面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C 的中心为原点，焦点F,F,均在x轴上，C的面积为2√3π，过点F的 直线交C于点A,B,且△ABF2的周长为8.求C的标准方程 高中数学·选择性必修第一册（北师大版）同步核心素养测评 参考答案见下期 本版责任编辑：张朝卿 报纸编辑质量反馈电话： 数评橘 2025年8月11日·星期 高中数学 0351-5271268 报纸发行质量反馈电话： 6期总第1150期 北师大 0351-5271248 选择性必修第一册 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社编辑出版社长：徐文伟国内统一连续出版物号：CN14-0707八F)邮发代号：21-168 时机怪物 一个人茫然地 新题速递 知点B的轨迹方程为号+号=1。 解析：由题知a=7,b=26,c=5, 靠在一块大石头 椭圆定义的 设lPF1=m,IPF2I=n, 上，懒洋洋地晒着 又因为a>b>c,所以a>c, 由椭圆定义可知m+n=2a=14. 即IBCI>IBAI, 太阳 啤理解与应用 又由于PF,⊥PF2, 所以(x-1)2+y2>(x+1)2+y2, 这时，从远处 解得x<0. 则有m2+n2=1F,F212=102=100. 走来一个怪物。 ©湖南尤清 那么2mn=(m+n)2-(m2+n2)=142- “年轻人，你在 椭圆的定义涉及到椭圆上的点到两焦点的 所以点B的轨迹方程为号+兮=1(-2< 100=96,即mn=48. 做什么？”怪物问. 距离的定值问题，揭示了椭圆的本质属性.正确 x<0) 所以5所=7n=24 “我在这儿等 理解和掌握椭圆定义的实质，可以用来处理与 点评：本题很容易忽视条件a>c,导致漏掉 待时机.”他回答 解决相关的问题，减少计算，提高解题效率 范围x<0,特别是不能构成△ABC的情况应给 点评：本题运用整体的思想直接求出 “等待时机？哈 一、椭圆定义的理解 予考虑 PF,IlPF2I,无需单独求，以减少运算量. 4.求最值 哈！时机什么样，你 1.在椭圆的定义中，注意附加条件的限制， 2.求离心率 例2已知F,F2是椭圆的两个焦点，过F, 例4已知椭回后+6=1内有一点42， y 知道吗？”怪物问. 对于不同的附加条件，其轨迹是不一样的， “不知道不过 ①当IPFI+lPF2I=2a>1F,E2I时， 作一条直线交椭圆于P,Q两点，使PF1P见，1)，F为椭圆的左焦点，P是椭圆上的动点，求 听说时机是个很神 P的轨迹是椭圆； 且IPF,I=IPQI,求椭圆的离心率. PAI+IPFI的最大值与最小值， 奇的东西，它只要 ②当|PF,I+lPF,I=2a=1F,F,1时， 解析：设|PFI=t, 解析：设椭圆的右焦点为F', 来到你身边，那么， P的轨迹是线段F,F2; 则1PQ1=t,IQF,I=√21 可知其坐标为(3,0) 你就会走运，或者 ③当IPF,I+|PF,I=2a<IFF2I时 由椭圆的定义得 由椭圆的定义得1PF'I+IPF1=10, 当上了官，或者发 P的轨迹不存在 I PF:1+I PF2I =1 QF1+I QF2I =2a, 所以IPFI=10-|PF'I, 了财，或者娶个漂 2.由此定义得出非常重要的等式：1PF,I+ 所以IPFI+lPQI+lQF,I=4a, 所以IPAI+IPFI=IPAI+10-IPF'I 亮老婆，或者… 1PF21=2a,其中P为椭圆上的一个动点.在有 即(2+2)t=4a,得t=(4-22)a, 10+1 PAI -1 PF'I. 反正，美极了” 关椭圆的问题中，若题设中含有椭圆上一点到 所以|P℉21=2a-t=(22-2)a. 可知当P为AF'的延长线与椭圆的交点时， 两个焦点距离的信息，首先考虑的就是能否用 “嗨！你连时机 在Rt△PF,F,中，IF,F,I2=(2c)2 IPAI-IPFI最大， 上这个关系式 什么样都不知道， 所以[(4-22)a]2+[(22-2)a]2=(2c)2, 最大值为1AF'I=√2： 二、椭圆定义的应用 还等什么时机？还 当P为F'A的延长线与椭圆的交点时， 1.求轨迹 所以后)=9-62，即e=台=6-5 a 是跟着我走吧，让 IPAI-IPFI最小， 例1已知△ABC的三边a,b,c满足a+c= 我带着你去做几件 点评：灵活巧妙地运用椭圆的定义，将会带 2b,且a>b>c,A,C两点的坐标分别是(-1，给我们意想不到的方便和简单 最小值为-|AF'I=-√2， 于你有益的事吧！” 0),(1,0).求顶点B的轨迹方程 故1PAI+|PFI的最大值为10+√2，最小值 怪物说着就要来拉 3.求面积 解析：设点B的坐标为(x,y) 为10-√2. 他 由a+c=2b,得IBCI+|BA1=21ACI, 例3FR,是园号+左=1的两个焦点， 点评：本题应用椭圆的定义将|PF1转化为 “去去去！少来 所以IBC1+|BAI=4. P是椭圆上一点，且PF,⊥PF2,试求△F,PF2的10-IPFI,进而利用三角形三边的关系求解， 添乱！我才不跟你 根据椭圆定义， 面积 简化了计算，优化了解题过程 走呢！”他不耐烦地 说 (D)(-2,0)U(0,3) 一、椭圆及其标准方程(1) 4.若直线l:2x+by+3=0过椭圆C:10x 1的短轴长与椭圆2 ,=1的短轴长相等 怪物叹息着离 +y2=10的一个焦点，则实数b的值是 则 去 1已知椭固方程为6+兮=1，P为椭圆 (A)m2=25,n2=16 一会儿，一位 上任意一点，点A、点B为椭圆的焦点，则 5.已知椭圆的两个焦点坐标是F(-3, (B)m2=9,n2=25 0),F2(3,0),并且经过点P(0,-4),则椭圆 (C)m2=25,n2=9或m2=9,n2=25 长髯老人来到他面 ( (A)I PAI+I PBI 16 的标准方程是 (D)m2=25,n2=9 前问道：“你抓住它 (B)I PAI+I PBI=8 6.在△ABC中，IBC1=24,AC,AB的两条中 3.椭圆的长轴长是短轴长的两倍，那么这 了吗？” 线之和为39，求△ABC重心M的轨迹方程 个椭圆的离心率为 (C)I PAI-I PBI =16 “抓住它？它是 (D)I PAI-I PBI =8 (a) (B) 2 (c号(D 什么东西？”他问 2.(多选)下列说法中错误的是( (A)已知F(-4,0),F(4,0),平面内到F1 4.已知椭圆 =1的焦点在 “它就是时机 F,两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆 m-2+10-m (B)已知F(-4,0),F,(4,0),平面内到F1 x轴上，焦距为4，则m= 呀！” 5.已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴 大启示：不要 F,两点的距离之和等于6的，点的轨迹是椭圆 4 (C)平面内到两点F,(-4,0),,(4,0)》 上，焦距等于8，离心率为亏，则此椭圆方程为 做一个守株待兔的 的距离之和等于点M(5,3)到F,,F2两点的距 二、椭圆的简单几何性质(1) 蠢人，要积极行动 离之和的点的轨迹是椭圆 6.已知椭圆C的焦点F(-22,0)和 不断为自己创造时 (D)平面内到点F(-4,0),F,(4,0)距 1.椭圆3x2+4y2=12的长轴长、短轴长分 离相等的点的轨迹是椭圆 别为 F2(22,0),长轴的长为6.设直线y=x+2交 机，才能在人生的 (A)2,5 (B)5,2 椭圆C于A,B两点，求线段AB的中点坐标. 竞赛中获胜 3.若方程等+。千6=1表示焦点在)轴 (C)4,25 (D)23,4 上的椭圆，则实数a的取值范围是 2.已知椭圆x+ =1(m>0,n>0)与 (A)(3,+∞) n (B)(-∞，-2) 椭圆+6=1有相同的长釉，循 .y2 数理报社试题研究中心 (C)(-∞，-2)U(3,+∞) m+京 参考答案见下期 2 素养专练 数理极 第4期2版参考答案 若圆C与圆Qx2+(y-2)2=1相外切，则1CQ1=R+1, x轴正方向建立如图1所示的直角坐标系，则A地的坐标是 即√/(a-0)2+(6-2)7=1+R, (-400,0),台风中心移动路径所在直线的斜率k=1,所以 专项小练一 台风中心移动路径所在的直线方程为y=x+400, 1.A;2.B;3.B.4.x-y-2=0;5.2 可得56-46+4-25=0， 5 (2)以B为圆心，300千米为半径作圆， 6.解：已知圆的圆心为(0,0)，半径为2 该方程△<0，所以该方程无解， 和直线y=x+400相交于A1,A2两点， 圆心到直线的距离d= 故不存在满足题意的圆C. 设台风中心移到A,时，城市B开始受台风影响（危险 19.解：(1)圆C的圆心C(-3,4),半径r=4, 区)，直到A2时，解除影响 当d<2,即-2<b<2时，直线与圆相交： 由弦AB的长为2√T得点C到直线I的距离为 因为点B到直线y=x+400的距离d=200√/2（千米）， 当d=√2，即b=±2时，直线与圆相切： 当d>2,即b<-2或b>2时，直线与圆相离 d=√P-（1AB1）=√e-(m=5, 所以1A1A21=2√/3002-(2002)2=200（千米）. 200 专项小练二 又d=L(2m+)×(-3)+(m-2)×4-3m-41 而20=10（小时）， 1.D:2.C3.A.4.4x+3y-2=0:5.外切 (2m+1)2+(m-2)2 所以城市B处于危险区城的时间是10小时： 6.解：设所求圆的圆心为P(a,b), 所以√(a-4)2+(6+1)了=1. ① =51m+31 18.解：(1)因为A(1,1)和B(2,-2), m2+1 (1)若两圆外切，则有 所以线段4B的中点坐标为(3，-)， /(a-2)2+(b+1)2=1+2=3. ② 所以51=5，解得m=-手 -2-1 直线B的斜率为k=22-=-3, 由①②，解得a=5,b=-1, m2+1 所以所求圆的方程为(x-5)2+(y+1)2=1. (2)cos∠MPW=1-2sim2∠MPC=1-2C 故线段AB的垂直平分线方程为y=-2 (2)若两圆内切，则有 32 /(a-2)2+(b+1)7=2-1=1. ③ =1-1Cp 号(-2)即x-3y-3=0 由①③，解得a=3,b=-1 所以所求圆的方程为(x-3)2+(y+1)2=1. 由(1)知点C到直线1的距离d=51m+3 综上，可知所求圆的方程为(x-5)2+(y+1)2=1或 m2+1 白化-0g2则6-3.-2以 (x-3)2+(y+1)2=1. 所以ICPI≥d,所以ICPI=d时，cos∠MPW的值最小， 半径r=IACI=(1+3)2+(1+2)2=5, 所以圆C的标准方程为(x+3)2+(y+2)2=25. 第4期3版参考答案 即0∠加的最小省为1-是 (2)设M的坐标为(x,y),Q(x',y), -、单项选择题1~4CDDA5~8CBAD 二、多项选择题9.ABD;10.AB;11.BCD. 由已知得1-32 解背d=35, 由M是线段PQ的中点，有 2 三、填空题 12.60/牙；13.2；14.-2. 所以5m+=35,解得m=子， =+0 21 √m+1 四、解答题 又因为Q(x',y')是圆C上的动点， 15.解：设所求圆的圆心为(a,b), 当m=子时，直线1的方程为2x-y-5=0, 所以(x'+3)2+(y'+2)2=25, 则圆心到直线x-y-1=0的距离d=√4-2=2. 设P(a,2a-5),以CP为直径的圆记为圆D, 即(2x-5+3)2+(2y+2)2=25 rh 2a 则圆D的方程为x+3)(x-a)+(y-4)(y-2a+5)=0, 根据题意有a-b-1山=万. 整理得(x-1)2+(G+1)2-空 即x2+y2+(3-a)x+(1-2a)y+5a-20=0, 圆C的方程为x2+y2+6x-8y+9=0, ② 则线段P0中点M的轨迹方程是x-1+(y+)-空 解方程组得8：8或[8：之 由②-①得(a+3)x+(2a-9)y-5a+29=0, ③ 19.解：当x≥0，y≥0时， 因为M,N两点为圆C和圆D的公共点， 所以所求圆的方程为(x-1)2+(y-2)2=4和(x+ 所以③即为直线MN的方程， 3)2+(y+6)2=4(或x2+-2x-4y+1=0和x2+y ③变形得(x+2y-5)a+3x-9y+29=0, 曲线c的方程可化为(：-分）广+(-)°=分 +6x+12y+41=0). 当x≤0，y≥0时， 16.(1)证明：圆心(0,0)到直线ax+by+c=0的距离 解得 为d=1c1 1cl=5 由52590o. 44 <1=r, √a+b 2c y=15, 线G的方可化为(+分)广+(）'-宁 当x≥0，y≤0时， 所以直线与圆相交， 所以直线MW经过定点（是岩） 重线c的方程可化为（分）广+(+）= 当x≤0，y≤0时 2 (②)解：1MN1=2P-F=2√1-() 第5期参考答案 一、单项选择题 曲线c的方程可化为(x+）+(+)广=： 17.解：(1)圆C的方程：x2+y2-2x-4y+m=0, 1 ~4 BABA 5~8 ACDD 作出曲线C的图象（如图2）. 即为：(x-1)2+(y-2)2=5-m, 二、多项选择题 (1)由图可知，曲线C是四个半径 因为表示圆的条件是5-m>0,即m<5 9.AD:10.BC:11.ACD. 所以m的取值范围是(-0,5). 三、填空题 为号的半圆用成的图形， (2)圆C与圆D:(x+3)2+(y+1)2=16相外切时， 圆心距等于半径之和， 2(言言)小：1.-24 即曲线C围成的图形的周长是 25 圆C的圆心为(1,2)，设半径为r, 四、解答题 4xx2×m×=2万m 圆D的圆心为(-3，-1)，半径为2=4， 2 15.解：依题意，设l与t的关系式为：l=kt+b,k,b是常数， 所以√(1+3)2+(2+1)7=11+4，解得1=1. (2)曲线C所围成的面积为四个半圆的面积与边长为 所以圆C的半径为1. 于是5径：8+么：解得6=92g015 2的正方形的面积之和， 18.解：(1)根据题意可设圆心C(2t,t),t>0,半径为r 则所求直线的方程为l=0.00015t+12.5, 从而曲线C所围成图形的面积为 由圆C与y轴相切，且与x轴 当t=100时，l=12.515m. 4x2m×分+(D)2=2+m 正半轴相交所得弦长为2√5，可 16.解：(1)设Q(x,y).由已知得ky=3, 得半径r=2t,如图1所示 又PQ⊥MN,可得kpo·kw=-1, (3)因为P(m,n)到直线3x+4y-12=0的距离为 由勾股定理可得+(5)2 即'3×3=-1 ① d=13m+4n-121-13m+4n-12L V√32+4 5 =(2t)2,解得t=1, 此时圆心C(2,1),半径为2 由已知得kpw=-2,又PN∥MQ,可得km=ko, 所以13m+4n-121=5d. 圆C的方程为(x-2)2+(y-1) ② 当d最小时，易知P(m,n)在曲线C的第一象限内的图 4 即-2 象上， 所以圆心C的坐标为C(2,1) 联立①②，解得x=0,y=1,即Q(0,1) (2)设Q(x',0). 因为曲线C的第一象限内的图象是圆心为（分，2）， (2)依题意设圆心C(a, b),半径为R,如图2所示 因为∠NQP=∠NPQ,所以ko=-kP 1 半径为号的半圆，所以圆心（分，子）到3x+有-2：0 因为圆心C在直线y= 又ko=22xkw=-2, 上，所以a=2b. x-2y-1=0 所以22=2.即=1， 的距离d'= 3×分+4×7-12 若圆C与直线x-2y-1= 所以Q(1,0). √32+4 0相切，可得a-2b-1山=R 图2 又因为M(1,-1), 5 所以MQ垂直于x轴 从而d=d心-巨-7-52 2 10· 所以直线MQ的倾斜角为90°. 5 17.解：(1)以B为原点，正东方向为 即13m+4n-121m=7-52 C)2 x .x2 焦点是一个正三角形的三个顶点，焦点在x轴上，且a-c=5,则椭 64+65 =1(x≠0) (D)22 64+63=1(x≠0) 椭圆同步核心素养测评（一） 圆的标准方程是 8.已知动圆过点A(-3,0),并且在圆B:(x-3)2+y2=100的 14.美学四大构件是：史诗、音乐、造型（绘画、建 ◆数理报社试题研究中心 内部与其相切，则动圆圆心的轨迹方程为 ) 筑等)和数学.素描是学习绘画的必要一步，它包括明 第I卷选择题（共58分) a)+号1 (B)2 暗素描和结构素描，而学习几何体结构素描是学习素 描最重要的一步.某同学在画切面圆柱体（用与圆柱 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 底面不平行的平面去截圆柱，底面与截面之间的部分 1.已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，两顶点分别 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分 叫做切面圆柱体，原圆柱的母线被截面所截剩余的部 是(4,0)，(0,2)，则此椭圆的方程是 ( ) g已知的矿+卡-1a>b>0)的左货点R,焦距为2.过定 分称为切面圆柱体的母线)的过程中，发现“切面”是一个椭圆，若 4 (B)2 切面圆柱体的最长母线与最短母线所确定的平面截切面圆柱体得 =1 16 F的弦长最小值不小于2，则该椭圆的离心率可以是 ( 到的截面图形是有一个底角为45°的直角梯形（如图所示），则该椭 =1 高 (D) ()号 (B)号 (c)2 (D)3 圆的离心率为」 中 四、解答题：本题共5小题，共77分. 警 2.椭圆x2+8y2=1的焦点坐标是 10已知V是椭圆C:专+号=1上一点，R,R是其左右焦点。 15.(13分)已知椭圆的两焦点为F,(-4,0),F2(4,0),点P 高中数学 (A)(±1,0) (B)(0,±7) 则下列选项中正确的是 在椭圆上，若△PF,F2的面积的最大值为12，求此椭圆的方程。 选择性 c(±平o (D0,± (A)椭圆的焦距为2 必修第 3椭圆子+皆=1的右焦点到直线y:原x的距离是( (B)椭圆的离心率e=巨 2 (C)I MFI+I MF2I=22 册 () (C)1 (D)3 (D)△MF,F,的面积的最大值是4 4椭圆听+号 11.将一线段按如下比例分割：较长这段长与总长的比值等于 9 =1与椭圆25-元+g-6=1(k<9)的 ( 较短这段长与较长这段长的比值，则该比值为5,1，约为0.618， 2 量 (A)长轴长相等 (B)短轴长相等 这个分割比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分 核 (C)离心率相等 (D)焦距相等 割比我们将离心率为5，】的椭圆称为“黄金椭圆”，已知椭圆C: 选择性必修第一册（北师大版）同步核心素养测评 素养测评 5若椭圆· 2 =1(m>3)的一个焦点为F,椭圆上一点P到 m 3 焦点F的最大距离是3.则椭圆的离心率为 ( 62 =1(a>b>0),其离心率e=:,则满足下列条件能使椭 (B)3 圆C为“黄金椭圆”的有 2 (C)5 (D)2 (A)(3-√5)a2=2c2 6.已知椭圆C:x +=1(a>b>0)的离心率e=2,短 (B)(5-1)a2=2b2 a 2 的右端点为B,M(1,0)为线段OB的中点，则椭圆C的标准方程为 (C)(2-5)a2-b2=2c2 ( (D)(3-√5)2=(5-1)2 =1 (B) 第Ⅱ卷非选择题（共92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 7.已知△ABC的顶点B(0,-1),C(0,1),若分别与AB,AC两 边平行的中位线长的和是8，则顶点A的轨迹方程是 ) 12若椭圆%+六=1上一点P到右焦点的距离为5则它到左 (a)6+号=1(x≠0) ()+苦=1x0 焦点的距离为」 13.以椭圆的对称轴为坐标轴，若该椭圆短轴的一个端点与两