第2期 两条直线的平行与重直 两条直线的交点坐标 平面直角坐标系中的距离公式-【数理报】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步学案（北师大版）

高中数学北师大版选择性必修第一册第1~4期 数理括 答案详解 2025~2026学年高中数学北师大版选择性必修第一册第1~4期(2025年7月) 第1期2版参考答案 提示： b 专项小练一 2.已知仙≠0,6y=-x+6,由四个选项中的4可知 1c:2D:3BD4分 k>0,可排除(A),(C)； 当b<0时，可排除(B)； 5(w号或-号.(2)9 当b>0时，(D)符合题意 6.解：当2m=m,即m=0时，直线l垂直于x轴，其斜率不存 3.由题意可知直线L的斜*k=m子=1， 在； 所以直线l的方程为y-3=x-1,即y=x+2, s、1 当2m≠m,即m≠0时，直线1的斜率k=2-1 Γm-2mm 所以它在y轴上的截距为2. 专项小练二 4.因为直线1的倾斜角为150，所以tan150°=- 3 1.A;2.C;3.BD.4.2x-y+2=0; [2x, 0≤x<10, 由斜率的定义k=-兰可知，取1=y=0, 5.y= 1 50,10≤x≤40. 3x+3, 解得一组解可以是x2=-3,y2=5, 6.解：经过点(1,2)，且斜率为3的直线， 所以直线的一个方向向量可以是(-3,5). 即y-2=3(x-1), 5.由直线1的方程为2x+3y-1=0, 化简得y=3x-1; 得斜率k=tan0=-行， 2 经过点(1,2)，且斜率为-3的直线，即y-2=-3(x-1), 化简得y=-3x+5. 图象如下图所示 则sin(0-m)·m(受-0小 =-sin0·cos0=二sim0·cos0 3=1 2 =-sin0·cos0 -tan 3 6 sin 0 cos tan20+1 (-号)+1 -10 123 y=-3x+5 6.由f(牙-x）=f(年+x）知函数f()的图象关于 直线x=平对称， 专项小练三 1.A;2.A;3.AC. 所以f(0)=f受)，所以a=-6 4.x-4y+7=0;5.-3. 6.解：设AC边的中点为D,由中点坐标公式可求得D点的 由直线ax-y+c=0知其斜率k=号=-1， 坐标为(4,4)，则直线BD即为所求. 由直线方程的两点式得8-普 所以直线的倾斜角为平 即所求直线方程为x-2y+4=0. 7.因为点(-1,2)和（停，0）在直线ar-y+1=0a≠ 第1期3,4版参考答案 0)的同侧， 直线的倾斜角、斜率，直线的方程同步核心素养测评 一、单项选择题 所以(-a-2+)(-0+1）>0 1~4 ADAB 5~8 ADDD 即(a+1)(a+√5)<0， 高中数学北师大版选择性必修第一册第1~4期 所以-5<a<-1. 所以直线1恒过点(3，-1)，(A)正确： 又知直线l的斜率k=a,即-5<k<-1, 对于(B),可知所求直线的斜率存在且不为0，设为k, 又因为直线倾斜角范围是[0，π)， 则它的方程为y-1=(x-1) 所以直线1的颜斜角的取值范围为(？，平） 令x=0,得y=1-k,即该直线在y轴上的截距为1-k: 8.m(x+1)+n(y+2)=0可化为mx+ny+m+2n=0, 令y=0.得x=1-名 ① 即该直线在x销上的截距为1一名 要使l与两坐标轴能围成三角形，则mn≠0且m+2n≠0， 因为该直线在x,y轴上的截距相等， 由①令x=0得y=-m+2n, n 所以1-k=1-大解得太=1， 令y=0得x=-m+2n m 所以所求直线的方程为x-y=0或x+y-2=0,(B)错 依题意，片× m+2）×(-m2） 误； n m 对于(C),点B关于x轴的对称点为B'(-1,-1),连接 1 =2× m2+4mn+4n2 AB'交x轴于点Po,点P是x轴上任意一点，连接BP。,AP,BP, mn Γ=2 PB,如图1. 所以m+40+4=12或m+4n+4=-12, m n m 所以严+4=8或m+4n=-16. m m 设=只则+生=8或：+号=-16， 则t2-8t+4=0或2+16t+4=0, 图1 解得t=4±25或t=-8±2√15， 于是IPAI+IPBI=IPAI+PBI≥IAB1=IAP。I+ 即m=4±25或m=-8±25， n I B'Po I =1 APo I+I BPol, 所以这样的直线有4条 当且仅当点P与P。重合时，等号成立， 二、多项选择题 因此(1PA1+PB1)=|AB'1=√3+4=5，(C)正确： 9.ACD;10.BD;11.ACD. 对于(D),直线1与x,y轴的正半轴分别交于A,B两点，可 提示： 知直线l的斜率为负数，设直线：y-2=k(x-3),k<0, 9.由ax+6y+c=0可知直线斜率k=-分>0， 令x=0,得=2-36，令=0，得=3-会 直线在)轴上的裁距y=-分<0，满足条件的只有(B), 可知2-3>03-会>0， 所以不可能是(A)(C)(D). 10.对于(A), 所以5m=子×2-3k)(3-吴) 当x=2,y=6时，代入直线方程后得6≠2-8，所以点(2， 6)不在直线l上， =[(-9)++l] 故(A)错误； ≥726+12)=12 对于(B),易得直线l的斜率为k=1, 所以“=(1,1)为直线1的一个方向向量， 当且仅当-9贴=手即太子时，等号成立。 故(B)正确； 所以△AOB面积的最小值为12，(D)正确。 对于(C),令x=0得y=-8, 故选(A)(C)(D) 所以直线1在y轴上的截距为-8， 三、填空题 故(C)错误； 12.4:13.5；14.4 9 对于(D),易得向量v=(1,-1)与直线1的方向向量垂 直，故(D)正确. 提示： 故选(B)(D). 12.设直线AB的倾斜角为a, 11.对于(A),整理mx+y+1-3m=0, 则直线AB的斜率k=tana=tan45°=1， 得m(x-3)+y+1=0, 令-3=0解得=3， 又长=+治=1，解得a=4 y+1=0,y=-1, 13.因为f(2)=a°+1=2，所以A(2,2); -2 高中数学北师大版选择性必修第一册第1~4期 由kx-y+2k-1=0得y+1=k(x+2), 所以直线上的方程为)-1=-之(x+,即：+2+2=0 所以直线恒过定点B(-2,-1), 所以1AB1=√(-2-2)2+(-1-2)7=5. 选择②：由题意可设直线私的方程为六+六 =1,m≠0， 14.以C为原点，DC,BC边分别为x轴，y轴建立平面直角 因为直线2过点A(-4,1), 坐标系，如图2，则W(-120,-80),M(-60,-200), 所以2+日=1，解得m=- N' 所以直线6的方程为2+片=1，即x+2y+2=0 (2)由(1)可知直线2的方程为x+2y+2=0, 令y=0,可得x=-2, 所以直线2在x轴上的截距为-2， 所以直线1在x轴上的截距为-2. 图2 故直线1过点(-2,0)，代入ax+2y-12=0, N关于x轴的对称点为W'(-120,80),W'关于y轴的对称 得-2a+2×0-12=0,解得a=-6. 点为W"(120,80), 19.(1)证明：由kx-y+2+3k=0可得 直线MW”方向为本球射出方向， k(x+3)+2-y=0, 80+20014 故tam(受-0）=20+0 9 =9,tane =14 g8e2 y=2, 四、解答题 所以（经过定点P(-3,2), 15.解：(1)依题意，(-1，√3)是直线l的一个方向向量， 即直线过定点(-3,2)，且定点在第二象限， 所以直线1的斜率k=-5, 所以无论k取何值，直线始终经过第二象限 所以直线1的倾斜角为120° (2)解：设直线1的倾斜角为a,则0<a<号， (2)直线的倾斜角是钝角， m-3 可得1PA1=2,1PB1=3 则直线斜率ka=二m十<0， sin a cos a 1 1 一+ sin a cos a 解得m<2或m>3. 所以号PI+子1PB1= sin a cos a sin acos a 所以实数m的范围是(-0,2)U(3,+0). 16.解：(1)由题图知点A(60,6),B(80,10). 令i=sina+cosa=万in(a+牙） 由直线方程的两点式可求得直线AB的方程是 因为0<a<受，可得 x-5y-30=0. (2)依题意，令y=0,解得x=30, 子<a+子<<m(+）≤1， 即旅客最多可免费携带30千克的行李. 17.解：(1)由直线的两点式方程，得边AC所在直线的方 则t=万in(a+晋）e(1,5], 程为奶=80即-2y+8=0 将t=sina+cosa两边平方可得 2=(sin a cos a)2 =1 +2sin a.cos a, 由直线的两点式方程，得边AB所在直线的方程为一4 6-4 所以sin acos&= 2-1 2 20即x+y-4:0 所以PA1+子1PB=naC sin acos a (2)由题意，得点D的坐标为(-4,2)， 2t 2 由直线的两点式方程，得中线BD所在直线的方程为)二子 6-2 =-4周2x-+0=0 因为y=t-上在(1,2]上单调递增， t 18.解：(1)选择①：由题意可设直线，的方程为y-1=k(x+ 4), 所以0<1-1≤2 因为直线马的斜率是直线y=-子的斜辛的2倍， ≥5，所以2≥2a, 故y=一 1 t一t 所以k=-2, 1 当且仅当t=√2时取等号， 3 高中数学北师大版选择性必修第一册第1~4期 此时t=万in(a+平）=万， 即两直线交点坐标为(2,0)， 代人kx-y+3=0得：2k-0+3=0→k=- 可得a=平，所以k=ana=am T =1, 2 故选(C). 所以直线1的方程为x-y+5=0. 3.直线l1:y=3ax-2过定点A(0,-2),直线b2:a(2x+ 第2期2版参考答案 5y)-(x+1)=0过定点B(-1,号) 专项小练一 1.ABD:2.D:3.B. 所以1A1-√-1-02+号-(-2丁=号 4.4；5.垂直 4.设M(x,》,且=多， 6.解：因为c=2+25-2:-万 2-4 期(x-6y-2)=子1-，7- kc=2-22-2.2 0-4 2' -6=高1-， 则e6c=-万×号=-l 得 解得x3, -2=1-w, ly=5, 所以AC⊥BC.故△ABC是直角三角形. 代人直线y=mx-7,得5=3m-7,解得m=4. 专项小练二 5.△ABC的顶点为A(0,0),B(4,0),C(3,W3), 1.AD;2.C;3.C. 4.(-4,3)；5.-3. 所以重心c(仔，9） 6.解：(1)解方程组 3x-y+4=0, 「x=-5, 设△ABC的外心为W(2,a),则IAWI=1WCI, 得 x+3y+2=0, 即2+a=√(3-2)2+(5-a)2,解得a=0, =-5 所以W(2,0),则该三角形的欧拉线即直线GW,其方程为 所以这两条直线相交，交点坐标是(-子，-专）】 及0 3 (2)l2:9x-15y+30=0可化为方程3x-5y+10=0, y-0= —(x-2), 3x-5y+10=0:有无数多个解， 3-2 所 l9x-15y+30=0 化简得5x-y-25=0. 故l1:3x-5y+10=0与b2:9x-15y+30=0重合 6.当x≥0时，由-alxl=-a+x可得-ax=-a+x, 专项小练三 1.B:2.BCD:3.A. 当a-1时，解得。中行 当x<0时，由-alxl=-a+x可得ax=-a+x, 2攻4： 解得x=- 6.解：(1)由点到直线的距离公式可得 a-1: d=3×3-4×(-2)-1L=16 32+(-4)7 5 所以Q+1≥0， 其中a<0,解得a<-1. a (2)由直线y=6与x轴平行，得d=16-(-2)I=8. la-<0, (3)d=131=3. 7.因为直线y=kx+2026的斜率存在，所以x1≠x2, 第2期3,4版参考答案 由题意厂=缸+2026， ly2=kx2+2026, §1.4~§1.6同步核心素养测评 则x1y2-y1=x1(kx2+2026)-x(kx1+2026)= 一、单项选择题 2026(x1-x2)≠0， 1~4 BCAD 5~8 ABBA 故l:xx+yy=1与2：2x+2y=1相交， 提示： 所以方程组总有唯一解，(A),(D)错误，(B)正确； 1因为+y-5=0 3x+y-3=0 的解为厂-1， y=6, 若=↓是方程组的一组解，则西+2=1 ly =2 lx2+2y2=1, 所以集合A∩B中的元素是两直线的交点(-1,6)， 则点P(,少1)，P2(2,y2)在直线x+2y=1, 即A∩B={(-1,6). 2由2+y-4=0,x=2, 即y=之+分上， → lx-y-2=0,y=0, 但已知这两个点在直线y=kx+2026上，而这两条直线不 4 高中数学北师大版选择性必修第一册第1~4期 是同一条直线， (2)直线ax+2y+8=0分别与另外两条直线平行. 所以=1不可能是方程组的一组解，(C)错误 当ax+2y+8=0与4x+3y=10平行时， 1y=2 8由题意联立两直线方程=+2，化简得k-x=6, 有号=号≠80解得a=多 Ly =kx-4. 当ax+2y+8=0与2x-y=10平行时， k-1=-6,即k=-5时，x=-1,y=1; 有号=子≠0解得a=-4 k-1=-3,即k=-2时，x=-2,y=0; 故选(B)(C)(D). k-1=-2,即k=-1时，x=-3,y=-1; 三、填空题 k-1=-1,即k=0时，x=-6,y=-4; k-1=1,即k=2时，x=6,y=8; :13.25:141 12710 k-1=2,即k=3时，x=3,y=5; 提示： k-1=3,即k=4时，x=2,y=4: 12.由两直线平行可得m=2. k-1=6,即k=7时，x=1,y=3. 直线3x+y-3=0变形为6x+2y-6=0, 所以k的值可以取8个，(A)正确. 二、多项选择题 所以距离为d=1+6L=70 √6+2 =20 9.AC;10.ABD;11.BCD. 提示： 13设B关于直线y=子的对称点为B'(气6)， x=5-3 9.联立方程x+y-3=0, r%o -2 解得 k+1 则 o-1 =-3, Ly kx +3k-2 解得B'(2,-1). y= 6k-2 k+1 b+2=马×o+1 3 因为两直线的交点在第四象限， 2, ,5-3k 由平面几何知识得IACI+|BCI的最小值即是IB'AI= k+1 >0, 所以 √/(2+2)2+(-1-1)2=25. 6k-2<0 解得-1<k<分故远(A)(C), 14.直线l:mx-y+m=0,即m(x+1)-y=0,恒过定 k+1 点(-1,0)， 10.对于(A),当k=0时，直线2的方程为x=0,此时直 直线l3:(m+1)x-y+(m+1)=0, 线马的倾斜角为7，故(A)项正确： 即m(x+1)+x-y+1=0,也恒过定点(-1,0)， 所以直线41与l3相交于定点A(-1,0) 对于(B),当k=-时，直线的方程为x-y-1=0, 由+m+》=0、。解得任=0， 可知 与1重合，此时两直线有公共点； (m+1)x-y+(m+1)=0, 【y=m+1, 当k≠-号时，有1×k-(-1)×(k+1)=2k+1≠0， 直线2与直线相交于点B(0,m+1): 由题可得直线(，与直线l,2相互垂直，所以△ABC是C为直 即41,2一定相交， 角的直角三角形 综上所述，对任意的实数k,直线1与直线2都有公共点， 因为点A到l2:x+my-m(m+1)=0的距离 故(B)正确； 1AC1=-1-m(m+1)L=m+m+L 对于(C),由(B)可知，当k=-2时，直线，与4，重合，故 √/1+m √1+m 点B到l1:mx-y+m=0的距离 (C)错误； 对于(D),要使直线l1与直线2垂直，则应有k+1-k= 1BC1=-m=1+ml= 1 m+1 m2+1 0,该方程无解，所以对任意的实数k,直线与直线2都不垂 所以△ABC的面积 直，故(D)正确。 故选(A)(B)(D). s=1AC1BC1=分×t m2+1 11.若是三条直线两两相交，且交点不重合，则这三条直线 把平面分成7部分； 如果这三条直线将平面划分为六部分包括两种情况能够成 m<0时，△ABC的面积不可能取到最大值； 立： m=0时，S=2 1 (1)直线ax+2y+8=0过另外两条直线的交点. 由4x+3y=10和2x-y=10的交点是(4，-2)， m>0时， m 代入解得a=-1; t≤2反分当仅当n1时等 5 高中数学北师大版选择性必修第一册第1~4期 号成立，此时5=2(1+分)=子 即-2.2+D=-1,解得=1， t+1t+3 综上，当m=1时，△ABC的面积S取得最大值子 综上，t的值为1或-1. 18.解：(1)设AB边的垂直平分线所在的直线为L, 四、解答题 15.解：如图1，设P(0,3)点关于直线x-y+1=0的对称 由题可知kw=子=2则与=-分， 点的坐标为P'(a,b), 又可知AB的中点坐标为（子+）， 所以1的方程为y-4=-(x-)） 0 即y=之+兴 123 (2)设B关于直线x-y+3=0的对称点M的坐标为(a, 图1 b), b-3 =-1, 则 a-1 1b-3=-1, 解得a=0所以M0,4). a 1+a_3+b b=4, 2 2 +3=0, 解得a=2,b=1, 由题可知A,M两点都在直线AC上， 所以P'(2,1) 设Q(-2,3),N为直线x-y+1=0上的点， 所以直线4C的斜*为二合=宁， 则PWI=IPW'I. 则1QWI+PWI=IQWI+lP'WI≥IQP'I, 所以直线4C的方程为y-4=宁x-0), 当且仅当Q,N,P'三点共线时取等号. 所以AC所在直线的方程为x-2y+8=0. 而1QP'1=√(-2-2)2+(3-1)7=25， 19.解：显然四边形ABCD为等腰梯形， 因为a>0,根据等腰梯形的对称性可知：当b>1或b≤ 所以最短总路程为2√5. 0时不符合题意，所以0<b≤1. 16解：(1)由2x-y+3=0解得= 当a=分b=1时，设直线C:=之+1与y轴的交点 1 13x-y+2=0, ly=5, 即两直线的交点坐标为(1,5) F(0,1),根据等腰梯形的对称性可知符合题意； 则直线经过点(1,5)和(2,3)， 由两点式方程得号二号号 当a>方b=1时，设直线y=+1与梯形上.下底分 别交于M,N,如图2， 化简得所求直线方程为2x+y-7=0. (2)由3x+y-1=0可得直线的斜率为-3， 故平行于直线3x+y-1=0的直线的斜率为-3， 结合(1)可知两条直线y=2x+3与3x-y+2=0的交 E N O 点为(1,5)， 图2 由点斜式方程得y-5=-3(x-1), 因为三角形MCF与三角形NEF全等， 化简得所求直线方程为3x+y-8=0. 17.解：因为A,B两点纵坐标不相等， 所以直线y=ax+1(a>2)】 1 将四边形ABCD分割为面 所以AB与x轴不平行，而AB⊥CD, 积相等的两部分； 所以CD与x轴不垂直，则-t≠3，即t≠-3. 1 当0<a<2时，设直线y=6与y轴交于G点，与梯形 ①当AB与x轴垂直时，-t-3=-2t-4, 解得t=-1,此时C,D的纵坐标均为-1， 的两腰交于Q,P, 所以CD∥x轴，此时AB⊥CD,满足题意 由题直线y=ax+b(a>0)将四边形ABCD分割为面积 ②当AB与x轴不垂直时，由斜率公式 相等的两部分，则设该直线与梯形的两腰交于K,H.如图3， 如=2-4-2-1可=- 4-2 k如-名号=2， t+3 0 因为AB⊥CD,所以kAB·kD=-1, 图3 -6 高中数学北师大版选择性必修第一册第1~4期 可知直线AD:y=x+4,BC:y=4-x, 2.由题意知动点P的轨迹是以(1,3)为圆心，2为半径的 4-b 圆，结合图形可知该圆经过第一、二象限 联立=x+4, 「x= 解得 3.因为以A(x1,y1),B(x2,y2)为直径的两端点的圆的方 y=ax+b, ly ta=b a-1 程为(x-x1)(x-x2)+(y-1)(y-y2)=0, 所以有(x+1)(x-5)+(y-2)(y+6)=0 同理可得Q6-4).H(任兰)4-6,6 →(x2-4x)+(y2+4y）-17=0 由题意可得S一5ak+5am=子56花a, →(x-2)2+(y+2)2=25. 4.由题意知C(6,-8),10C1=√6+(-8)7=10， 即8+8206-宁4-6)(6-0-）+4 所以以0C为直径的圆的半径为5，圆心为(3，-4)， 故所求圆的方程为(x-3)2+(y+4)2=25. (0+-）=6, 5.把原圆的方程写成标准方程为 整理得-公-路6e(0,子)且0<6≤1， (x-2)2+(y+3)2=10, 由于两圆共圆心，可设另一个圆方程为 解得4-√10<b≤1. (x-2)2+(y+3)2=2, 把x=1,y=-1代人所设方程，得 综上所述，b的取值范围是(4-√10,1]. (1-2)2+(-1+3)2=2, 第3期2版参考答案 所以2=5， 所以所求的圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=5, 专项小练一 化简为2+y2-4x+6y+8=0. 1.B;2.B;3.C 6.由题意知，满足条件的点P在平面内所组成的图形的面 4.(x-2)2+(y+1)2=1;5.4. 积是以6为半径的圆的面积减去以2为半径的圆的面积，即 6.解：设圆(x-3)2+y2=9的圆心为C, 32m. 则C(3,0),圆的半径为3. 7.(3A+1)x+(2入+1)y=5A+2整理为(3x+2y-5)入 因为P为弦MN的中点，所以kcp·kuy=-1. +x+y-2=0, 又6如=号=-分所以如=2 令3x+2-5=0 解得1， 所以直线MW的方程为y-1=2(x-1), lx+y-2=0, ly=1, 即2x-y-1=0. 所以定点P的坐标为P(1,1), 专项小练二 代入圆的方程中(1+2)2+(1+1)2>4， 1.D;2.C;3.D. 所以P(1,1)在圆外. 4.x-y+1=0;5.(-∞，-13). 设圆C的半径为r=2, 6.解：(1)因为x2+y2=0,所以x=0且y=0. 所以IMPI的最大值应该为IPC1+r(如图1)， 即方程表示一个点(0,0). (2)原方程可化为(x-1)2+(y-1)2=5. 即方程表示圆心为(1,1)，半径为√5的圆. (3)原方程可化为(x+a)2+(y+b)2=a2+b2, 当a=b=0时，方程表示一个点(0,0)， 图1 当a2+2≠0时，方程表示圆心为(-a,-b),半径为 又1PC1=(-2-1)2+(-1-1)7=3, √a2+6的圆. 所以IMP1的最大值为√3+2. 8.由题易得，P在两圆外， 第3期3,4版参考答案 则IPMI的最小值为IPC1I-1, 圆的标准方程与一般方程同步核心素养测评 同理IPWI的最小值为IPC2I-3, 一、单项选择题 则IPMI+PWI的最小值为IPC1+IPC2I-4. 1~4 BADC 5 ~8 BCBA 作C1(2,3)关于x轴的对称点C1(2,-3)(图略)， 提示： 所以IPCI+PC21=|PCI+lPC2I≥1CC2I=52(当 1.方程x2+y2-6x=0可化为(x-3)2+y2=9,所以圆 且仅当C1,P,C2三点共线时，IPCI+PC2I取最小值)， 心坐标为(3,0)，半径为9=3. (I PM I +I PNI)=(I PC I +1 PC2 1)i-4 高中数学北师大版选择性必修第一册第1~4期 =52-4. 对于(C),如图4所示，函数y=g(x)是偶函数，y=g(x) 二、多项选择题 也是圆0的一个太极函数，故(C)不正确： 9.AC;10.ACD;11.AD. 对(B),根据选项(C)的分析，圆O的太极函数可以是偶 提示： 函数，不一定关于原点对称，故(B)不正确； 9.(A)中，由x2+y2-2x+4y-4=0, 得(x-1)2+(y+2)2=9, 所以圆C的半径为3，其面积为π·32=9π，正确； (B)中，将x2+y2-2y=0化为标准方程为 x2+(y-1)2=1,故圆心为(0,1)，错误； 图5 (C)中，圆心坐标为(-1，-1)， 对于(D),因为y=sinx是奇函数， 1AB1=4+16=25,r=5, 所以它的图象将圆x2+y2=1的周长与面积同时等分， 所以以线段AB为直径的圆的方程为 如图5所示，因此函数y=sinx是圆O的一个太极函数，故 (x+1)2+(y+1)2=5,正确； (D)正确. (D)中，由圆C:(x-2)2+(y+4)2=5, 三、填空题 可得圆C的圆心坐标为(2，-4)，半径为5， 12.(-2,1)；13.(-∞，1)： 则10C1=2+(-4)7=25, 14.(x-4)2+(y-2)2=10(去掉(3,5)，(5，-1)两点) 所以1P01的最小值为10C1-√5=√5，错误。 提示； 10依题意方B,AB:im号-4g=125, 12.由题意得m2+1=3m-1,解得m=1或m=2. 3 当m=1时，方程为+y2+4-2y+号=0， 解得AB=45. 设AB边的中点为D, 即(x+22+(y-1)2=3,圆心为(-2,1)： 则点M在CD上，且DB=45=25, 当m=2时，方程为5x2+5y2+8x-4y+10=0, 2 且DM=2,点V在以M为圆心，1为半径的圆上， 即(+专)+（号）广号不表示园 N.NB=(ND+D·(N⑦+DB) 故圆心坐标是(-2,1). =(N⑦)2-(DB)2 13.圆的方程变为(x+1)2+(y-2)2=5-a, =1N012-12 所以其圆心为(-1,2)，且5-a>0,即a<5. 又圆关于直线y=2x+b成轴对称， 所以2=-2+b,所以b=4. 所以a-b=a-4<1.故答案为(-0,1). 14.设C(x,y),1AB1=√(3-4)2+(5-2)7=1⑩， 因为△ABC是以BC为底边的等腰三角形， 图2 所以ICAI=IABI=√10， 结合图2可知1N⑦1m=2-1=1, 即点C的轨迹是以A为圆心，√0为半径的圆. 1N⑦1m=2+1=3, 又点A,B,C构成三角形，即三点不可共线， 故W.NBe[-11,-3]. 则轨迹中需去掉点B(3,5)及点B关于点A对称的点(5， 11.对于(A),设y=f(x)=x3+x, -1),所以点C的轨迹方程为(x-4)2+(y-2)2=10(去掉 因为f(-x)=(-x)3+(-x)=-x3-x=-f(x), (3,5),(5,-1)两点) 所以函数y=x3+x是奇函数，它的图象将圆0：x2+y2= 四、解答题 1的周长与面积分别等分，如图3所示， 15.解：设圆心坐标为(a,-2a+3),则圆的半径 所以函数y=x+x是圆O的一个太极函数，故(A)正确； r=/(a-0)2+（-2a+3-0)2 x+x =√5a2-12a+9 g(x) 当a= 时7=35 5 5 图3 图4 故所求圆的方程为 —8 高中数学北师大版选择性必修第一册第1~4期 (-)广+(-号)=号 所以点G的轨迹方程是(x-3)2+(y-1)?=2 16.解：如图6，以AB所在直线为x轴，弦AB的垂直平分线 19.解：(1)设P(x,y),则1PA12=(x+1)2+y 为y轴，建立平面直角坐标系.设圆弧的圆心为C,连接AC, 1PB12=(x-3)2+y2, 所以PA=x+1+子 1 = 1 PBI(x-3)+y 3 则9(x+1)2+9y2=(x-3)2+y2, 整理得曲线C的方程为x2+3x+y2=0. 图6 (2②)由(1)得曲线c为圆，即C(+2)广+y:号 则40=之=6， 设其关于直线x+y-2=0对称的圆的圆心为(x,y), x- 2 所以0C=√AC-0A2=√292-62≈28.373， -+ -2=0, 2 2 rx=2, 即圆心的坐标为C(0,-28.373), 则 解得 =1 y=2 所以圆弧AB的方程为 3 x+2 x2+(y+28.373)2=29(-6≤x≤6，y≥0) 所以曲线C关于直线x+y-2=0对称的曲线方程为 17.解：(1)设圆P的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则由已 r12+02+D+0+F=0, rD=-5, -2+(-3= 知得42+02+40+0+F=0,解得E=7, 6+(-2)2+60-2E+F=0,LF=4 (3)由点(3,3)到圆心C的距离为 故圆P的方程为x2+y2-5x+7y+4=0. d √(3+) +(3-0)2=5. (2)由圆的对称挂可知周心P的碳华标为兰=三 因为圆C的半径r= 2 故圆心P(各2），故圆P的半径为r=1AP 所以点(3,3)到圆C的最短距离为 √1-)+0-2y= 5 d-r=5- 3 7 2 >3 做圆P的标准方程为(-多)广+(-2=空 故在圆C上不存在点D,使得D到点 ,3 的距离为3。 18.解：(1)设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=己， 得到圆心坐标为(a,b),半径为r, 第4期2版参考答案 将A与B的坐标分别代入圆方程得 (-1-a)2+(1-b)2=2, 专项小练一 (-2-a)2+(-2-b)2=2, 1.A;2.B;3.B 消去r,整理得a+3b+3=0, ① 4.x-y-2=0;5.2. 将圆心坐标代人x+y-1=0得a+b-1=0, ② 6.解：已知圆的圆心为(0,0)，半径为万， 联立①②解得a=3,b=-2, 圆心到直线的距离d= r2=(-1-3)2+(1+2)2=25, ② 则圆C的标准方程为(x-3)2+(y+2)2=25. 当d<√2，即-2<b<2时，直线与圆相交； (2)设N(x1,y1),G(x,y), 当d=2,即b=±2时，直线与圆相切： 因为线段MN的中点是G, 当d>2,即b<-2或b>2时，直线与圆相离. +3 2x, 专项小练二 1=2x-3, 所以由中点公式得 → 1.D;2.C;3.A. 当1+4 =y y1=2y-4 4.4x+3y-2=0;5.外切. (2 6.解：设所求圆的圆心为P(a,b), 因为N在圆C上，所以(2x-6)2+(2y-2)2=25, 即(x-3P+0-12-空， 所以/(a-4)+(b+1)7=1. ① (1)若两圆外切，则有 9 高中数学北师大版选择性必修第一册第1~4期 √/(a-2)2+(b+1)2=1+2=3. ② 设D(3),则有+(3+)°-6学 由①②，解得a=5,b=-1, 所以所求圆的方程为(x-5)2+(y+1)2=1. 解得a=√46. (2)若两圆内切，则有 所以要使小船通过圆拱桥，船宽最长为2√46。 /(a-2)2+(b+1)2=2-1=1. ③ 因为6.5<46<7，所以13<2√46<14， 由①③，解得a=3,b=-1, 所以船宽最长约为13米 所以所求圆的方程为(x-3)2+(y+1)2=1. 7.当射线OP绕O点从x轴正半轴逆时针匀速旋转到射线 综上，所求圆的方程为 OC时，所扫过的内部图形面积在变大，而且根据图2显示，变 (x-5)2+(y+1)2=1或(x-3)2+(y+1)2=1. 化量△S也在变大； 第4期3,4版参考答案 直线与圆、圆与圆的位置关系同步核心素养测评 一、单项选择题 1 ~4 CDDA 5 ~8 CBAD 提示： 图2 图3 2.两圆的圆心分别为A(3,-2),B(7,1), 当射线OP绕O点从射线OC逆时针匀速旋转到y轴正半 半径分别为r=2,R=6, 轴时，所扫过的内部图形面积在变大，而且根据图3显示，变化 两圆心距为1AB1=√(7-3)2+(1+2)=5， 量△S在变小，综合选项可得，选项(A)符合 而R-T<IABI<R+r,所以两圆相交 8.设G为△A1A2A的重心， 3.由题意可得圆心C(1,-4)到直线1的距离d≤5， A B:+A B:+A B:=A G+GB+Ac+GB,+A C+CB 即3-4×（-4)+m≤5，解得me[-44,6]. 5 =3GB, 4.因为圆0上恰有三个点到直线1的距离等于1， 因为1AB,+AB+AB1=i, 所以圆心0(0,0)到直线l:y=x+b的距离d=1, 所以1函=号=， 所以丛=1，解得6=2或6=-2 2 即B,在以点6为圆心，=子为半径的圆上面。 5.设这100个圆的半径从小到大依次为r1,12,…,「m, 则由题知，子=1. 因为每相邻的两个圆中，小圆的切线被大圆截得的弦长都 为2，即2-斤=1，-2=1，…，-=1，i-im=1, 即=1+斤=2，=1+弓=3，…，7=1+的=100， 所以T1m=10. 6.如图1，拱形桥ACB 图4 设点G与坐标原点重合， 4 =1, 则IB,B21+1B,BI+1B,B1≥1-1=3-3 当且仅当B1,B2,B都在线段OB4上时，等号成立， IB B I +1 B,BI+BBI 图1 以AB所在的直线为x轴，以线段AB的垂直平分线为y轴， ≤r1+r2+r2+3+3+T4 1.2 建立平面直角坐标系，则A(-10,0),B(10,0),C(0,5),圆心在y 号+子×2+1x2+手=5， 轴上，设为E(0,b), 当且仅当B,O,B2在线段BB4上面，且B1在线段OB,上， 则有1AE1=1CE1,即100+b=15-b1, B2在线段OB4上时，等号成立. 整理可得26+15=0，解得b=-5 综上所述，IB,B21+1B2B1+1BB,1的取值范围为[1,5]： 2 二、多项选择题 所以圆心为E(0,-罗），半径为1CE1=15-61= 25 9.ABD:10.AB:11.BCD. 所以圆的方程为2+(+空)=空 提示： 9.对于(A),因为两个圆相交，所以有两条公切线，正确； 1016.(15分)求过两条直线y=2x+3与3x-y+2=0的交点， 18.(17分)在△ABC中，A(2,5),B(1,3) 19.(17分)已知点A(-4,0),B(4,0),C(2,2),D(-2,2),直 且分别满足下列条件的直线方程 (1)求AB边的垂直平分线所在的直线方程： 线y=ax+b(a>0)将四边形ABCD分割为面积相等的两部分，求 (1)过点P(2,3); (2)若∠BAC的角平分线所在的直线方程为x-y+3=0,求 b的取值范围。 (2)平行于直线3x+y-1=0. AC所在直线的方程. 高中数学·选择性必修第一册（北师大版）同步棱心素养测评 17.(15分)已知A(-t-3,2),B(-2t-4,4),C(-t,t),D(3 3t+2),若直线AB⊥CD,求t的值. 高中数学·选择性必修第一册（北师大版）同步核心素养测评 参考答案见下期 本版责任编辑：张朝卿 报纸编辑质量反馈电话： 高中数学 0351-5271268 2025年7月14日·星期 报纸发行质量反馈电话： 羞理橘 第 2期总第1146期 北师大 0351-5271248 选择性必修第一册 珠峰上的“绿色”守护者 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社编辑出版 社长：徐文伟国内统一连续出版物号：CN14-0707(F)邮发代号：21-168 在西藏定日县城 有一位家喻户晓的人 新知导学 线的交点坐标与对应方程组解的 对应关 一、巧求函数最值 两直线的位置关系 系 函数的最值问题一直是我们学习的难点 一次仁旦达，他出 2.两直线的交点求法：求两直线Ax+By+ 尤其当函数中含有两个根式时，更是难上加难， 生于1987年，是一位登 山向导，也是环保卫士 学习三注意 C1=0(A,B,≠0)与A2x+B2y+C2=0(A2B 而学习中，我们应“明知山有虎，偏向虎山行”。 ≠0)的交点坐标，只需求两直线方程联立所得 例1求函数y= x2+6x+73 15岁时，次仁旦达 ©江西刘胜文 方程组4，x+B,)+C=0的解即可 /x2-4x+8的最小值 进入西藏登山学校，开 42x+B2y+C2=0 一、应注意两种方法探究两条直线的位置 巧转妙解： 启专业登山学习。从基 3.方程组的解与两直线位置关系的对应情况： 础的系绳扣，到攀岩、高 关系 ①方程组有唯一解，与1，相交：②方程组无解 将原函数变形为y 1.从“斜率”判断入手：两条直线1：y=kx →l1∥l2;③方程组有无数个解→与l,重合 /(x+3)2+(0-8)2 海拔登山等技能，他刻 +b1,l2:y=k2x+b2的位置关系：①L1∥l2台k 三、应注意两个距离公式中的数形结合思 √(x-2)2+(0-2),并理 苦钻研，为日后的登山 =k2,b1≠b2;②L1⊥2台k1·k2=-1.当两条直 解为点(x,0)到(-3,8)与 事业筑牢根基。2002至 (-3 1.两点间的距离公式：两点P(x1,y), (2,2)距离之和，易得最小值 2018年，他4次成功登顶 线的斜率都不存在时，两条直线也平行；当两条 直线的一条斜率不存在，另一条的斜率为0时， P2(x2,2)间的距离 即为点(-3,8)关于x轴的对称点(-3，-8)与点 珠峰。2012至2016年 这两条直线也垂直 P,P2I=√(x2-x1)2+(y2-y1)月 (2,2)之间的距离，为55 他与队友历时1756天 2.从“系数比”判断入手：用“系数比”判断两 2.点到直线的距离公式：点P(,0)到直 线Ax+By+C=0的距离 所以原函数的最小值为55， 完成登顶七大洲最高 条直线L1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2= 1=I。+Bo+c1 赋诗一首： 峰，并徒步到达南北极 0的位置关系：①平行4，B2-AB,=0(斜率)且 点的“7+2”活动，征服全 √A2+B 稀奇稀奇真稀奇，两个根式坐一起.根式里 B,C2-B,C1≠0（在y轴上截距）；②相交台→MB2 面是二次，二次里面藏秘密.合理变形看仔细 球9个地理极限，点。 特别注意： A2B1≠0：③重合与4B2-A2B1=0且B1C2-B2C 原是两点间距离数形结合来分析，对称思想显 然而，每次登顶，他 ①公式1，形助数，认识斜线段在两坐标细 =0:④垂直41A2+BB2=0. 上的射影，利用勾股定理可推导和记忆公式： 神奇 都痛心于珠峰的垃圾污 二、应注意直线的交点和对应方程组解的 ②公式2中的距离是垂直距离； 染。随着登山者增多，珠 对应关系 ③运用公式2时，直线方程先化为一般形 峰生态遭到破坏，大量 巧学妙用 1.感悟数与形的完美统 一：要注意理解直 式，且公式中分子必须带绝对值符号. 生活垃圾、登山垃圾堆 积，甚至还有排泄物。于 题多解 解法二：（坐标法） 两点间的距离公 是，次仁旦达决心行动 相交问题 设所求直线1与1，L,的交点分别是A,B 起来。2018年，他与其他 则由条件知A,B关于原点对称 ©四川庞勇 登山者在珠峰大本营海 多解探究 由于点A在直线l1:3x-y+1=0上， 二、巧证不等式 拔5200米以上区域，开 所以设点A坐标(a,3a+1) 不等式的证明也是我们学习的一个难点 ◎湖南张慧玲 则点B的坐标为(-a,-3a-1), 展3次大规模垃圾清理 目前还没有学到.没学到的问题一定不能解决 学习数学是需要通过做一定的练习，不断 代入l2的方程得2(-a)+(-3a-1)-6 行动，共清理出5240公 吗？关于这个问题，我们来看下面一道例题. 积累知识与方法，从而更加深刻地理解概念和 =0 斤生活垃圾、1000公斤 学会灵活运用基本理论解决问题.因此在平时 例2已知a,b,c,d都是实数，求证：√a2+b 登山垃圾，以及2260公 解得a=- 的学习中可以针对一个问题，从多角度进行分 √e+≥√a-c)2+(b-d) 斤排泄物。 析，争取寻找更多的解决方法，从而达到上述目 16-0 巧转妙解： 在恶劣环境下，捡 的.下面以一道直线相交题为例进行多解研究， 所以直线l的方程为y-0= 5 一(x-0) 从题目的外表形式观察到腰诞的结论的 7 垃圾艰难又危险。强风 例一条直线1被两直线l1:3x-y+1=0, 5 -0 右端与平面上两点间的距 低温、稀薄空气，每一步 2:2x+y-6=0截得的线段的中点恰好是坐标 d 即16x-7y=0. 离公式很相似，而左端可看 都如履薄冰，但他从未 原点，则该直线方程为 解法回眸：本解法紧紧抓住交点及对称关 作是点到原点的距离公式， 退缩。在他的影响下，越 解法一：（方程法） 系，通过设出交点的坐标，充分利用点在直线上 不妨设A(a,b),B(c,d), 来越多人加入环保行 设所求直线l的方程为y=kx, 建立方程求得交点的坐标，进而求得直线方程， 如图2所示，则 列。同年4月30日，西藏 与l,山的交点分别是A,B, 整个过程运算量比较小. 1AB1=(a-c)2+(b-d)2 喜马拉雅高山环保基金 则由/=， 会在珠峰大本营成立 3x-y+1=0, 解得A3与)： 1 解法三：（结构分析法） 0A1=√a2+b, 设所求直线1与1,1,2的交点分别是A,B, OB1=√c+d2 高山环保走向制度化 由P=x, 解得B,6,6k 设A(xo,yo),则B点坐标为(-x,-yo) 在△OAB中，由三角形三边之间的关系知 常态化。 l2x+y-6=0, k+2'k+2 因为A,B分别在l,L2上， I OAI +1 OBI>I ABI. ① 次仁旦达，用行动 6 是-3++2 =0,解得k= 16 当且仅当线段AB过原点O时， 7 所以3，-。+1=0， 诠释对珠峰的热爱，用 -2x0-y0-6=0, OAI+1 OBI =1 ABI 坚持守护珠峰的纯净 所以直线的方程为y=6 ①×6+②得16x0-7,=0, 即点A在直线16x-7y=0上. 故√a++√+ 他是当之无愧的珠峰守 即16x-7y=0. 又直线16x-7y=0过原点， ≥/(a-c)2+(b-d)2 护者，激励着我们守折 解法回眸：本解法是最常规的一种解法，即 即原点0和A点确定的直线方程为16x-7y 赋诗一首： 地球家园。 根据题意设出所求直线方程，然后通过解方程 =0.所以直线1的方程为16x-7y=0. 三个根式来“结义”，三个“距离”显本质 组求得两个交点的坐标，再利用中点坐标公式 解法回眸：本解法主要是抓住所求直线上 张图形现眼前，一目了然明道理.三角形与不 建立方程求得直线斜率k的值，进而求得直线方 的两个点，利用这两个点的坐标满足结构相同 等式，原来它们有关系！有了关系好证题，披荆 程，但整个过程的计算量比较大， 的方程，然后抽象出所求直线的方程 斩棘夺胜利！ 2 素养专练 数理极 专项小练一、两条直线的平行与垂直 专项小练二、两条直线的交点坐标 专项小练三、平面直角坐标系中的距离公式 1.(多选)下列说法错误的是 1.(多选)下列选项中，正确的有( 1.点(0,5)到直线2x-y=0的距离是 (A)如果两条直线平行，则它们的斜率相等 (A)直线l1:x-y+2=0和l2:2x+y-5= (B)如果两条直线垂直，则它们的斜率互为负 0的交点坐标为(1,3) 倒数 (B)直线l1:x-2y+4=0和l2:2x-4y+8 (A) (B)5 (C)如果两条直线斜率互为负倒数，则它们 =0的交点坐标为(2,1) 垂直 (C)直线l,:2x+y+2=0和2：y=2x+3 (c)号 (D)5 4 (D)如果直线的斜率不存在，则这条直线 的交点坐标为(-2,2) 定平行于y轴 (D)直线l1:x-2y+1=0和l2:y=x,13:2x 2.(（多选)对于√/x2+2x+5,下列说法正确 2.直线1,2的倾斜角分别为1,2，且11 的是 +y-3=0两两相交 2,则 () 2.已知集合A={(x,y)1x+y-4=0,B (A)可看作点(x,0)与点(1,2)的距离 (A)a41-a2=90° (B)a2-a1=90° ={(x,y)I2x-y-5=0},则A∩B= (B)可看作点(x,0)与点(-1，-2)的距离 (C)a1=a2 (D)|a1-a2I=90° (C)可看作点(x,0)与点(-1,2)的距离 3.已知四点A(-m.0),B0,-号).c(-行 (A){1,3} (B){(1,3) (D)可看作点(x,1)与点(-1，-1)的距离 (C){(3,1) (D)⑦ 3.平行直线l,:3x-y=0与l2:3x-y+0 0,D(0,n)(m≠0，n≠0)，则直线AB和CD的 3.过直线l1x-2y+4=0与直线l2:x+y+1 =0的距离等于 () =0的交点，且过原点的直线方程为 ( (A)1(B)0(C)10(D)3 位置关系是 (A)2x+y=0 (B)2x-y=0 4.已知A(5,-2),B(-1,2),C(a,0),且 (A)平行 (B)垂直 (C)x+2y=0 (D)x-2y=0 1AB1=2IBC1,则实数a= (C)相交但不垂直 (D)与m,n的取值 4.直线3x+2y+6=0和2x+5y-7=0的 5.已知点P是直线1：y=2x+3上任一点， 有关 交点坐标为 M(4,-1),则IPM1的最小值为 4.经过点P(-2,-1),Q(3,a)的直线与 5.已知直线l1:ax+y+1=0与l22x-by-1 6.求点P(3,-2)到下列直线的距离： 倾斜角是45°的直线平行，则a= =0相交于点M(1,1),则a-b= (1)3x-4y-1=0;(2)y=6;(3)y轴， 5.直线l,l2的斜率是方程x2-3x-1=0的 6.判断下列直线是否相交，若相交，求出交 两根，则L与2的位置关系是 点的坐标 6.已知△ABC的三个顶点分别是A(2,2+ (1)l1:3x-y+4=0,l2:x+3y+2=0; 2√2)，B(0,2-22),C(4,2),试判断△ABC的 (2)l:3x-5y+10=0,1:9x-15y+30=0. 形状. 数理报社试题研究中心 参考答案见下期 第1期2版参考答案 2直线的锦是监角，则值线继。产<0， 得-2a+2×0-12=0,解得a=-6. 专项小练 19.(1)证明：由kx-y+2+3k=0可得 1.C:2D,3.BD47 解得m<2或m>3. k(x+3)+2-y=0, 所以实数m的范围是(-0,2)U(3,+0）. 5)9或-9.a)等 16.解：(1)由题图知点A(60,6),B(80,10). 由68：可得22以1经过定点(-3. ly=2. 由直线方程的两点式可求得直线AB的方程是x-5y-302), 6.解：当2m=m,即m=0时，直线l垂直于x轴，其斜率 =0. 即直线过定点(-3,2)，且定点在第二象限， 不存在： (2)依题意，令y=0,解得x=30,即旅客最多可免费 所以无论k取何值，直线始终经过第二象限. 当2m≠m,即m≠0时，直线的余斜率k=2-1=-L 携带30千克的行李. m -2m m 17.解：(1)由直线的两点式方程，得边AC所在直线的 (2)解：设直线1的倾斜角为a,则0<a<牙， 方程粉4-80即x-2+8=0 2 3 专项小练二 1.A;2.C;3.BD.4.2x-y+2=0: 可得1PA1=P1=coSa 由直线的两点式方程，得边AB所在直线的方程为 2x, 5.y= 0≤x<10, Y- 所以1PA+阳1=a+a 3,10≤x≤40. =20即x+y-4=0 sin a cos a 5 6.解：经过点(1,2)，且斜率为 y=3x-1 (2)由题意，得点D的坐标为(-4,2)， sin acos a 3的直线，即y-2=3(x-1), 3 由直线的两点式方程，得中线BD所在直线的方程为 化简得y=3x-1; 2- 名号=即2-y+10=0 令1=sina+cosa=2sim(a+平） 经过点(1,2)，且斜率为-3的 直线，即y-2=-3(x-1), 18.解：(1)选择①：由题意可设直线2的方程为y-1=k(x 因为0<a<牙，可得晋<u+子<要，号<血(a 213 +4}. 化简得y=-3x+5. 图象如右图所示 y=-3.x+5 因为直线2的斜率是直线y=- 4x的斜率的2倍， +）≤1，则t=n(a+年）e(1, 专项小练三 所以k=-2 将t=sima+cosa两边平方可得？=(sina+cos a)2 1.A;2.A;3.AC.4.x-4y+7=0;5.-3. 6.解：设AC边的中点为D,由中点坐标公式可求得D -1+2in&·osa,j所以inao a-之，阴以21PA1+ 点的坐标为(4,4)，则直线BD即为所求. 所以直线，2的方程为y-1=- 由直线方的两点式得二吕=牛兰 之x+4)即x+2y+2PB1=西+cg=2 =0. sin acos a 即所求直线方程为x-2y+4=0. 述择②：由题意可设直线人的方程为+六=1， 第1期3,4版参考答案 m≠0 因为y=1-在(1，万]上单调递增， 一、单项选择题1~4ADAB5~8ADDD 二、多项选择题9.ACD:10.BD:11.ACD. 因为直线6过点4(-4，).那以2会产+六=山， 以01 解得m=-1. 三填空题12.4：13.5：14 ≥.所以2工=2万，当且假当1 故y=1 所以直线，的方程为2+六=1，即x+2y+2=0 t一 t- 四、解答题 (2)由(1)可知直线2的方程为x+2y+2=0, 15.解：(1)依题意，(-1,5)是直线1的一个方向向 令y-0,可得x2,所以直线5在轴上的藏距为万时取等号，此时1=万sn(。+平）=E, 量 -2, 所以直线的斜率k=-3 所以直线l1在x轴上的截距为-2. 可得&=牙，所以k=tana=tan年=1， 所以直线l的倾斜角为120°. 故直线l1过点(-2,0)，代入ax+2y-12=0, 所以直线l的方程为x-y+5=0. 7.已知P(x1,y1),P2(x2y2)是直线y=kx+2026(k为常数) 13.已知4(-2,1)，B(1,2),点C为直线y=x上的动点，则 §1.4~§1.6同步核心素养测评 上两个不同的点，则关于x和y的方程组 ∫x1x+y1y=1, ’的解的情 xzx+yay=1 AC1+IBCI的最小值为 ◆数理报社试题研究中心 14.已知直线1：mx-y+m=0,l2:x+my-m(m+1)=0, 况，下列说法正确的是 L3:(m+1)x-y+(m+1)=0,三条直线围成△ABC,则当△ABC 第I卷选择题（共58分)》 (A)无论k,P,P2如何，总是无解 面积取得最大时m的值为 (B)无论k,P,P2如何，总有唯一解 四、解答题：本题共5小题，共77分： 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (C)存在k,P,P,使=1是方程组的一组解 15.(13分)唐代诗人李预的《古从军行》中两句诗为：“白日登 1.A={(x,y)Ix+y-5=0},B={(x,y)I3x+y-3=0}, y=2 山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题 则集合A∩B= ( (D)存在k,P,P2,使之有无穷多解 “将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发， (A)-1,6 (B){(-1,6) 8.在直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点称为整点.设k为 先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面角 (C){(6,-1) (D) 整数，当两直线y=x+2与y=x-4的交点为整点时，k的值可以 坐标系中，设军营所在位置为(-2,3)，若将军从(0,3)处出发，河岸 高中 2.已知三条直线2x+y-4=0,kx-y+3=0,x-y-2=0 的 ( 线所在直线方程为x-y+1=0.求“将军饮马”的最短总路程 交于一点，则实数k= ( (A)8个 (B)9个 (A)-1 (B)1 中数学 (C)7个 (D)6个 选择性必修第 c)- (D)号 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分 9.若直线1，：y=x+3k-2与直线l2:x+y-3=0的交点在 3.直线l1:3ax-y-2=0和直线l2:(2a-1)x+5ay-1=0分 第四象限，则实数k的取值可以是 ( ) 别过定点A和B,则1AB1= ( 册 (号 (®)号 (A)0 (B)S (D)89 (C)- (D)-1 (c号 5 10.已知直线l:x-y-1=0和直线l2:(k+1)x+y+k=0(k 同步核 4.已知点M1(6,2)和M2(1,7),直线y=mx-7与线段M1M2 ∈R),则下列结论正确的是 ( ) 的交点M分有向线段M,M2的比为3：2，则m的值为 心 ·选择性必修第一册（北师大版）同步核心素养测评 素养测评 (B)-2 (A)存在实数k,使得直线，的倾斜角为 3 (B)对任意的实数k,直线l,与直线，都有公共点 (c) (D)4 (C)对任意的实数k,直线l,与直线2都不重合 5.数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次 (D)对任意的实数k,直线L,与直线，都不垂直 提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心 11.如果三条直线ax+2y+8=0,4x+3y=10和2x-y=10 到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三 将平面分为六个部分，那么实数a的取值为 角形的欧拉线.已知△ABC的顶点为A(0,0),B(4,0),C(3,5),则 (A)3 (B)-4 该三角形的欧拉线方程为 ( (C)-1 (D)8 3 (A)5x-y-25=0 (B)x-W3y-23=0 (C)5x-y-2=0 (D)x-3y-2=0 第Ⅱ卷非选择题（共92分） 6.若y=-a|x1的图象与直线y=-a+x(a<0)有两个不 同的交点，则a的取值范围是 ( 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (A)(-1,0) (B)(-∞，-1) 12.两直线3x+y-3=0与6x+my+1=0平行，则它们之间 (C)(-0,0) (D){-1 的距离为