1.1.6 平面直角坐标系中的距离公式-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第一册创新导学案word（北师大版2019）

数学 选择性必修·第一册[BS] 1.6　平面直角坐标系中的距离公式 (教师独具内容) 课程标准：探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离． 教学重点：两点间的距离公式、点到直线的距离公式及两条平行直线间的距离公式的应用． 教学难点：点到直线的距离公式的推导过程． 核心素养：通过研究两点间的距离公式、点到直线的距离公式及两条平行直线间的距离公式，提升数学抽象、数学运算及逻辑推理素养． 知识点一　两点间的距离公式 对于坐标平面内任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，可得A，B两点间的距离公式|AB|＝． 知识点二　点到直线的距离公式 点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离公式d＝(其中A，B不全为0)． 知识点三　两条平行直线间的距离公式 (1)两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长，也就是一条平行直线上任一点到另一直线的距离． (2)两条平行直线间的距离公式 两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(A，B不全为0，且C1≠C2)间的距离d＝(其中A，B不全为0，且C1≠C2)． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)当A，B两点的连线与坐标轴垂直时，两点间的距离公式不适用．(　　) (2)点(m，n)到直线x＋y－1＝0的距离是.(　　) (3)连接两条平行直线上两点，即得两平行线间的距离．(　　) (4)两平行线间的距离是两平行线上两点间距离的最小值．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．做一做 (1)已知点A(a，2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a＝(　　) A. B．2－ C.－1 D.＋1 (2)点P(1，2)到坐标原点O的距离等于________． (3)若点(4，3)到直线3x－4y＋C＝0的距离为1，则C＝________． (4)两平行线4x＋6y＝16与2x＋3y＋18＝0间的距离等于________． 答案　(1)C　(2)　(3)±5　(4)2 题型一　两点间的距离公式及应用 　已知四边形ABCD的各顶点分别为A(－7，0)，B(2，－3)，C(5，6)，D(－4，9)，判断这个四边形是哪种四边形． [解]　∵kAB＝－，kCD＝－，kAD＝3，kBC＝3， ∴AB∥CD，AD∥BC， 即四边形ABCD为平行四边形． 又kAB·kAD＝－1， ∴AB⊥AD，即平行四边形ABCD为矩形， ∵|AB|＝＝3， |AD|＝＝3， ∴|AB|＝|AD|，即矩形ABCD为正方形， 故四边形ABCD为正方形． 【条件探究】将本例中D点坐标改为(0，21)，则此四边形又为哪种四边形？ 解　∵kAB＝－，kCD＝－3，kAD＝3，kBC＝3， ∴AD∥BC，|AB|≠|CD|且AB⊥AD. ∴四边形ABCD为直角梯形． 感悟提升　判断四边形与三角形形状的方法 (1)判断四边形形状的方法：若两组对边均平行，则是平行四边形，进而再判断是否是矩形、菱形或正方形；若一组对边平行，进而再判断是否是等腰梯形或直角梯形；若两组对边均不平行，则为一般四边形． (2)利用两点间距离公式求出线段的长度，再根据各边长度判断三角形或四边形形状是常见题型．解题时要注意方程思想和分类讨论思想的应用． 　已知△ABC的三个顶点分别为A(－3，1)，B(3，－3)，C(1，7)， (1)判断△ABC的形状； (2)求BC边上的中线AM的长． 解　(1)解法一：∵|AB|＝＝2，|AC|＝＝2， |BC|＝＝2， ∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|， ∴△ABC是等腰直角三角形． 解法二：∵kAC＝＝， kAB＝＝－， 则kAC·kAB＝－1，∴AC⊥AB. 又|AC|＝＝2， |AB|＝＝2， ∴|AC|＝|AB|， ∴△ABC是等腰直角三角形． (2)设点M的坐标为(x，y)， ∵点M为BC的中点，∴x＝＝2，y＝＝2，即点M的坐标为(2，2)． 由两点间的距离公式得 |AM|＝＝， ∴BC边上的中线AM的长为. 题型二　点到直线的距离公式及应用 　(1)点(－1，1)到直线4x＋2y－3＝0的距离为(　　) A. B．5 C. D．4 [解析]　点(－1，1)到直线4x＋2y－3＝0的距离为＝.故选A. [答案]　A (2)已知P1(2，3)，P2(－4，5)与A(－1，2)，求过点A且与P1，P2距离相等的直线l的方程． [解]　解法一：当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－1，符合题意； 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0， 因为P1，P2到直线l的距离相等， 所以＝， 化简得|3k－1|＝|3k＋3|，解得k＝－， 故直线l的方程为x＋3y－5＝0. 综上可知，直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＋1＝0. 解法二(数形结合)：设所求直线为l，由l过点A且与P1，P2距离相等，所以l有两种情况(如图所示)． ①当P1，P2在l的同侧时，有l∥P1P2，此时可求得l的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋3y－5＝0； ②当P1，P2在l的异侧时，l必过P1P2的中点(－1，4)， 此时l的方程为x＝－1，即x＋1＝0. 所以直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＋1＝0. 感悟提升　点到直线的距离的求解方法 (1)求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式，直接应用点到直线的距离公式求解即可． (2)对于与坐标轴平行(或重合)的直线x＝a或y＝b，求点P(x0，y0)到它们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成d＝|x0－a|或d＝|y0－b|. (3)已知点到直线的距离求参数时，根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可． 　求点P0(－1，2)到下列直线的距离． (1)2x＋y－10＝0；(2)y＝－x＋2；(3)y－1＝0. 解　(1)根据点到直线的距离公式得 d＝＝2. (2)直线方程可化为x＋y－2＝0， 所以d＝＝. (3)因为直线y－1＝0平行于x轴， 所以d＝|2－1|＝1. 题型三　两条平行直线间的距离公式及应用 　求与直线2x－y－1＝0平行，且与直线2x－y－1＝0的距离为2的直线方程． [解]　解法一：由已知，可设所求的直线方程为2x－y＋C＝0(C≠－1)，则它到直线2x－y－1＝0的距离d＝＝＝2， ∴|C＋1|＝2，C＝±2－1. ∴所求的直线方程为2x－y＋2－1＝0或2x－y－2－1＝0. 解法二：设所求直线上任意一点P(x，y)， 则点P到直线2x－y－1＝0的距离为 d＝＝＝2， ∴2x－y－1＝±2. ∴所求的直线方程为2x－y＋2－1＝0或2x－y－2－1＝0. 感悟提升　求两条平行直线间距离的两种思路 (1)利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为求一条直线上任意一点到另一条直线的距离． (2)直接利用两平行线间的距离公式，当直线l1：y＝kx＋b1，l2：y＝kx＋b2，且b1≠b2时，d＝；当直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，且C1≠C2时，d＝，必须注意两直线方程中x，y的系数对应相等． 　两平行直线l1，l2分别过P1(1，0)，P2(0，5)，若l1与l2间的距离为5，求两直线的方程． 解　依题意，两直线的斜率存在， 设l1：y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0， l2：y＝kx＋5，即kx－y＋5＝0. 因为l1与l2间的距离为5， 所以＝5，解得k＝0或. 所以l1和l2的方程分别为y＝0和y＝5或5x－12y－5＝0和5x－12y＋60＝0. 1．已知点A(－2，－1)，B(a，3)，且|AB|＝5，则a的值为(　　) A．1 B．3 C．－5 D．1或－5 答案　D 解析　由两点间的距离公式得＝5，即(a＋2)2＝9，解得a＝1或－5. 2．P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋6＝0上任意的点，则|PQ|的最小值为(　　) A. B. C．3 D．6 答案　C 解析　∵＝≠，∴已知两直线平行，方程可化为3x＋4y－12＝0与3x＋4y＋3＝0.|PQ|的最小值为两平行线间的距离d＝＝3. 3．已知A，B两点都在直线y＝2x－1上，且A，B两点的横坐标之差的绝对值为，则A，B两点间的距离为(　　) A. B．2 C．3 D. 答案　D 解析　设点A(a，2a－1)，B(b，2b－1)，由题意得|a－b|＝，所以|AB|＝ ＝|a－b|＝. 4．经过两条直线x＋3y－10＝0和3x－y＝0的交点，且和原点相距为1的直线的条数为________． 答案　2 解析　由可解得故两条直线x＋3y－10＝0和3x－y＝0的交点坐标为(1，3)．又知过该点的直线与原点的距离为1，分类讨论如下：若直线的斜率不存在，则直线方程为x＝1，满足题意；若直线的斜率存在，则可设所求直线方程为y－3＝k(x－1)，整理得kx－y＋3－k＝0，因其到原点的距离为1，所以＝1，故有1＋k2＝9－6k＋k2，解得k＝.所以所求直线方程为y－3＝(x－1)．综上，满足条件的直线有2条． 5．已知直线l1：2x＋3y－1＝0与l2：4x＋6y－5＝0，直线l∥l1∥l2，且直线l在直线l1与l2的正中间位置，求直线l的方程． 解　∵直线l1的方程可化为4x＋6y－2＝0， ∴可设直线l的方程为4x＋6y＋C＝0， 又直线l在直线l1与l2的正中间位置， ∴＝， 即|C＋2|＝|C＋5|， 解得C＝－， ∴直线l的方程为4x＋6y－＝0， 整理得8x＋12y－7＝0. 一、选择题 1．直线l经过点P(－2，1)且点A(－2，－1)到直线l的距离等于1，则直线l的方程是(　　) A.x－y＋1＋2＝0 B.x＋y－1＋2＝0 C.x－y＋1＋2＝0或x＋y－1＋2＝0 D．x－y＋1＋2＝0或x＋y－1－2＝0 答案　C 解析　设直线l的方程为y＝kx＋b，即kx－y＋b＝0.∵直线l经过点P，∴b－2k＝1　①，点A(－2，－1)到直线kx－y＋b＝0的距离为＝1　②，由①②得 或∴直线l的方程为x－y＋1＋2＝0或x＋y－1＋2＝0. 2．已知两直线3x＋2y－3＝0与6x＋my＋1＝0互相平行，则它们之间的距离等于(　　) A．4 B. C. D. 答案　D 解析　因为3x＋2y－3＝0与6x＋my＋1＝0互相平行，所以－＝－，所以m＝4，所以6x＋my＋1＝0为6x＋4y＋1＝0，即3x＋2y＋＝0.所以两平行线间的距离d＝＝＝. 3．已知△ABC的三个顶点分别是A(－a，0)，B(a，0)和C，a>0，则△ABC的形状是(　　) A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．斜三角形 答案　C 解析　由已知得|AB|＝2a，|AC|＝＝a，|BC|＝ ＝a，∴|AB|2＝|AC|2＋|BC|2，∴△ABC是直角三角形． 4．直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是(　　) A．3x－2y－6＝0 B．2x＋3y＋7＝0 C．3x－2y－12＝0 D．2x＋3y＋8＝0 答案　D 解析　设所求的直线方程为2x＋3y＋C＝0，由题意可知＝，所以C＝－6(舍去)或C＝8.故所求的直线方程为2x＋3y＋8＝0. 5．已知点A(0，2)，B(2，0)，若点C在函数y＝x2的图象上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 答案　A 解析　设点C(t，t2)，直线AB的方程是x＋y－2＝0，|AB|＝2.由于△ABC的面积为2，则这个三角形中AB边上的高h满足方程×2h＝2，即h＝.由点到直线的距离公式，得＝，即|t2＋t－2|＝2，即t2＋t－2＝2或t2＋t－2＝－2，这两个方程各自有两个不相等的实数根，故这样的点C有4个． 二、填空题 6．若点(2，－k)到直线5x＋12y＋6＝0的距离是4，则k的值是________． 答案　－3或 解析　d＝＝，由题意知＝4，即＝1，所以k＝－3或k＝. 7．已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l：y＝kx－2上的两点，若|x2－x1|＝2，且|AB|＝2，则直线l的方程为________． 答案　y＝x－2或y＝－x－2 解析　|AB|＝＝＝·|x2－x1|＝×2＝2，解得k＝±1，所以直线l的方程为y＝x－2或y＝－x－2. 8．若直线m被两条平行线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0截得的线段长为2，则直线m的倾斜角是________． 答案　75°或15° 解析　如图，两平行线间的距离为|AH|＝＝，直线m被平行线截得的线段长为|AB|＝|AC|＝2，由图知直线m与l1的夹角为30°，l1的倾斜角为45°，所以直线m的倾斜角为30°＋45°＝75°或45°－30°＝15°. 三、解答题 9．已知直线l1：3x－2y－1＝0和l2：3x－2y－13＝0，直线l与l1，l2的距离分别是d1，d2，若d1∶d2＝2∶1，求直线l的方程． 解　由直线l1，l2的方程知l1∥l2，又由题意知，直线l与l1，l2均平行(否则d1＝0或d2＝0，不符合题意)． 设直线l：3x－2y＋m＝0(m≠－1且m≠－13)， 由两平行线间的距离公式，得 d1＝，d2＝， 又d1∶d2＝2∶1， 所以|m＋1|＝2|m＋13|， 解得m＝－25或m＝－9. 故所求直线l的方程为3x－2y－25＝0或3x－2y－9＝0. 10．在△ABC中，已知点A(3，3)，B(2，－2)，C(－7，1)，求∠A的平分线AD所在直线的方程． 解　设点M(x，y)为∠A的平分线上的任意一点，由两点式易得AC所在直线的方程为x－5y＋12＝0，AB所在直线的方程为5x－y－12＝0. 由角平分线的性质可知，直线AD上任意一点到直线AC，AB的距离相等， 即＝， ∴x－5y＋12＝5x－y－12或x－5y＋12＝y－5x＋12， 整理，得y＝－x＋6或y＝x. 结合图形，可知kAC<kAD<kAB，即<kAD<5， 则y＝－x＋6不符合题意，舍去． 故∠A的平分线AD所在直线的方程为y＝x. 1．两条互相平行的直线分别过点A(6，2)和B(－3，－1)，并且各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d.求： (1)d的变化范围； (2)当d取最大值时两条直线的方程． 解　(1)解法一：①当两条直线的斜率不存在时，即两条直线分别为x＝6和x＝－3，则它们之间的距离为9. ②当两条直线的斜率存在时，设这两条直线方程为l1：y－2＝k(x－6)，l2：y＋1＝k(x＋3)， 即l1：kx－y－6k＋2＝0，l2：kx－y＋3k－1＝0， ∴d＝＝， 即(81－d2)k2－54k＋9－d2＝0. ∵k∈R，且d≠9，d>0， ∴Δ＝(－54)2－4(81－d2)(9－d2)≥0， 即0<d≤3且d≠9. 综合①②可知，所求d的变化范围为(0，3]． 解法二：如图所示，显然有0<d≤|AB|， 而|AB|＝＝3， 故所求d的变化范围为(0，3]． (2)由图可知，当d取最大值时，两条直线均垂直于AB. 而kAB＝＝， ∴所求直线的斜率均为－3. 故所求的直线方程分别为y－2＝－3(x－6)和y＋1＝－3(x＋3)， 即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0. 2．已知三条直线l1：2x－y＋a＝0(a>0)，l2：－4x＋2y＋1＝0和l3：x＋y－1＝0，且l1与l2的距离是. (1)求a的值； (2)能否找到一点P，使P同时满足下列三个条件：①点P是第一象限的点；②点P到l1的距离是点P到l2的距离的；③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是∶.若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由． 解　(1)因为l2的方程可化为2x－y－＝0， 所以l1与l2的距离为 d＝＝. 因为a>0，所以a＝3. (2)设存在点P(x0，y0)满足②，则点P在与l1，l2平行的直线l′：2x－y＋c＝0上， 且＝·， 即c＝或c＝. 所以满足条件②的点P满足2x0－y0＋＝0或2x0－y0＋＝0. 若点P满足条件③，由点到直线的距离公式，有＝·， 即|2x0－y0＋3|＝|x0＋y0－1|. 所以x0－2y0＋4＝0或3x0＋2＝0. 因为点P在第一象限，所以3x0＋2＝0不可能成立． 联立方程2x0－y0＋＝0和x0－2y0＋4＝0， 解得(舍去)， 联立方程2x0－y0＋＝0和x0－2y0＋4＝0， 解得 所以P即为同时满足条件的点． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$