专题2.2 等腰三角形（一课一练））2025-2026学年浙教版八年级上册数学同步讲练

【学霸提优】2025-2026学年数学八年级上册同步练习浙教版 专题2.2等腰三角形（一课一练） 一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定） 1．若等腰三角形的一边长是10，另一边长是8，则它的周长是（   ） A．28 B．26 C．18 D．26或28 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得等腰三角形边长可以是10，10，8或10，8，8， 两种情况都符合三角形三边关系， 所以周长是28或26． 故选：D． 2．有下列长度的三条线段，能组成等腰三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形，三角形的三边关系， 根据三角形的三边关系判断能否成为三角形，再根据等腰三角形的定义解答即可. 【详解】解：因为，不能组成三角形，所以A不符合题意； 因为，不能组成三角形，所以B不符合题意； 因为，不能组成三角形，所以C不符合题意； 因为，能组成三角形，且两边相等，所以D符合题意. 故选：D. 3．如图表示三角形的分类，关于P、Q区域有甲、乙两种说法：甲：P是等腰三角形；乙：Q是等边三角形，则对于这两种说法，正确的是（   ） A．甲对 B．乙对 C．甲、乙均不对 D．甲、乙均对 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形的分类，等腰三角形的定义． 根据等边三角形或等腰直角三角形是特殊的等腰三角形作答即可． 【详解】解：三角形按边分为三边都不等的三角形，等腰三角形（两边相等的等腰三角形，三边相等的等边三角形）， ∴P是等腰三角形；Q是等边三角形或等腰直角三角形， ∴只有甲说法正确， 故选：A． 4．如果等腰三角形两边长是和，那么它的周长是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查等腰三角形的定义及三角形三边关系，熟练掌握等腰三角形的定义及三角形三边关系；根据题意可分当边长为腰长和当边长为腰长时，然后进行求解即可． 【详解】解：由题意可分：当边长为腰长时，则该等腰三角形的三边长分别为，，，符合三角形三边关系， 所以它的周长为； 当边长为腰长时，则该等腰三角形的三边长分别为，，，符合三角形三边关系， 所以它的周长为； 故选C． 5．如图， 在中，，，平分交于D，于E，若，则的周长是 （    ）       A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质．先利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，，然后求出，进而可得的周长． 【详解】解：， ， 平分， ， 在和中， ， ∴， ，， ， ， 所以，的周长为． 故选：D． 6．如图所示，四条线段的长度分别为：，它们首尾顺次相接围成四边形（阴影部分），连接，的长度随四边形的形状变化而变化．当为等腰三角形时，的长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．5或7 【答案】A 【分析】本题考查三角形的三边关系，等腰三角形的性质，掌握知识点是解题的关键． 先求出，再根据为等腰三角形，求出的长为5或7，继而判断是否符合题意,即可解答． 【详解】解：如图，在中，根据三角形的三边关系，得 ， 即 ∵为等腰三角形， ∴当时，,且，符合题意； 当 时，不符合题意，舍去， ∴． 故选A． 7．定义：等腰三角形的底边长与其腰长的比值k称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰三角形的周长为，，则它的“优美比”k为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键． 分两种情况：为腰或为底边，再根据三角形周长可求得底边或腰的长度，即可得到它的优美比． 【详解】解：当为腰时，则底边； 此时，优美比； 当为底边时，则腰为； 此时，优美比； 故选：C． 8．如图，中，，D是边上一点（不与A，C重合），则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形三边关系定理，结合图形解答即可． 本题考查了三角形三边关系定理的应用，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：A、由三角形三边关系可得：，，故， 正确； B、由三角形三边关系可得：，正确； C、根据题意，得，，可得：，即，正确； D、无法得出，错误； 故选：D． 9．若是的三边，满足，则的形状是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解的应用，三角形三边关系，等腰三角形的判定，正确对等式左边进行因式分解是解题的关键．由已知等式可得，根据三角形的三边关系可得，据此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵为三边， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， 故选：A． 10．如图，等腰的周长为30，且，中线将这个三角形的周长分为两部分，两部分的差为6，则的长（ ） A．6 B．14 C．14或6 D．12或8 【答案】C 【分析】本题考查了三角形中线的性质及三角形三边关系，设，，由是边上的中线，得到，分两种情况：当的周长比的周长大6时，当的周长比的周长大6时，建立二元一次方程组求解，再利用三角形三边关系检验即可求解，掌握三角形三边关系，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：设，，是边上的中线， ， 分两种情况： 当的周长比的周长大6时， ， 解得：， 的三边长分别为12，12，6， ， 能组成三角形； 当的周长比的周长大6时， 即， 解得：， 的三边长分别为8，8，14； ， 能组成三角形； 综上所述：的长为6或14． 故选：C． 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11．若实数、满足，则以、的值为两边长的等腰三角形的周长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了绝对值的非负性，等腰三角形的定义，三角形的三边关系，解题的关键是掌握以上性质． 根据绝对值的非负性求出的值，然后根据三角形的三边关系和等腰三角形的定义进行求解即可． 【详解】解：∵实数x，y满足， ∴， ∵3、3、6不能组成三角形， ∴等腰三角形的三边长分别为3、6、6， ∴等腰三角形周长为． 故答案为：15． 12．周长为13，那么边长为整数的等腰三角形共有 个． 【答案】3 【分析】本题考查等腰三角形的定义，三角形三边长关系，二元一次方程的应用； 设腰长为x，底边长为y，列出二元一次方程，结合腰长为x，底边长为y都是整数，且任意两边之和大于第三边，即可求解． 【详解】解：设腰长为x，底边长为y， 则，即， ∵腰长为x，底边长为y都是整数，且任意两边之和大于第三边， ∴， ∴， ∴，或，或， ∴周长为13，那么边长为整数的等腰三角形共有3个． 故答案为：3． 13．如图，数轴上A点表示数10，B点表示数6，C为线段上一点，当以三条线段为边，可以围成等腰三角形时，点C表示数 ． 【答案】2或3或4 【分析】本题考查等腰三角形的定义，两点间的距离，先求出的长，分3种情况进行讨论求解即可． 【详解】∵数轴上A点表示数10，B点表示数6， ∴，， 当以三条线段为边，可以围成等腰三角形时，分3种情况： ①时，此时，符合题意，则：点C表示数4； ②时，此时，符合题意，则：点C表示数2； ③时，符合题意，则：点C表示数3； 综上：点C表示数2或3或4； 故答案为：2或3或4． 14．等腰三角形其中两个角的比是，这个三角形的顶角可能是 度或 度． 【答案】 20 120 【分析】本题考查了等腰三角形， 分为当顶角较小时和当顶角较大时两种情况，然后根据等腰三角形的性质两底角相等求解． 【详解】解：当顶角较小时，顶角度数是：（度） 当顶角较大时，顶角度数为：（度） 答：这个等腰三角形的顶角是20度或120度． 故答案为：20，120． 15．一个等腰三角形的周长是48厘米．其中两条边的长度比是，这个三角形的底边长是( )厘米． 【答案】 【分析】本题考查了比的应用、设三边长度分别为厘米、厘米、厘米，再根据等腰三角形的周长建立方程求出的值，由此即可得出答案． 【详解】解：由题意，两条边的长度比是，只可能三边之比为，不存在 设这个等腰三角形的三边长度分别为厘米、厘米、厘米， 则， 解得， 则这个等腰三角形的底边长是（厘米）， 故答案为：． 16．已知等腰三角形，腰长为，底边长为，若该三角形的周长为，则底边长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，平方差公式，一元一次方程的求解．熟练掌握等腰三角形的性质，平方差公式，一元一次方程的求解是解题的关键． 根据等腰三角形的周长公式可以列出方程，然后求解出的值，进而求得底边的长度． 【详解】解：等腰三角形的周长， 化简方程得： 方程两边同时乘以得：， 解得：． 当时，，腰长为，底边长为 ，能构成三角形． 故答案为：． 17．如图，中，，点在上，．将线段沿着的方向平移得到线段，与边相交于，并构成以为底边的等腰，则的周长为 ． 【答案】13 【分析】本题考查了图形的平移，等腰三角形的性质，由平移得到可得是解决本题的关键． 由图形平移，即沿着的方向平移得到线段，可得到两个信息，，且，再结合等腰三角形的腰长相等计算周长即可． 【详解】解：因为线段沿着的方向平移得到线段， 又， 所以，且， 又因为， 所以， 又因为是以为底边的等腰三角形， 所以， 则的周长为． 故答案为：13 ． 18．在第1个中，，，在上取一点C，延长到，使得；在上取一点D，延长到，使得；…，按此做法进行下去，以为顶点的等腰三角形的底角的度数为 °．（用含n的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质． 根据题意得出，的度数，找出规律是解答此题的关键．先根据等腰三角形的性质求出的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出，及的度数，找出规律即可得出第个等腰三角形的底角的度数，进而求出以为顶点的等腰三角形的底角的度数． 【详解】解：∵在中， ∴第个等腰三角形的底角：， ∵是的外角， ∴第个等腰三角形的底角：； ∵，是的外角， ∴第个等腰三角形的底角：， 同理可得，第个等腰三角形的底角：， ∴第个等腰三角形的底角的度数为：， ∴以为顶点的等腰三角形的底角的度数为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 19．如图，在△ABC中，，，延长至点D，连接，以为直角边作等腰三角形，其中，连接． (1)若，求的长； (2)与有何位置关系？请说明理由． 【答案】(1) (2)与垂直，理由见解析 【分析】本题主要考查三角形全等的判定及性质，了解并能熟练运用手拉手模型证明三角形全等是解题关键． （1）利用等腰三角形证明角度相等，用证明，得出即可； （2）利用三角形全等的性质得到，再通过互余证明垂直即可． 【详解】（1）证明：∵和都是等腰直角三角形， ∴，， ∵，， ∴，即， ∴； ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：与垂直． 理由如下： ∵， ∴， 而， ∴， ∴． 20．图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点、、均在格点上，在给定的网格中，只用无刻度的直尺，分别按下列要求画图，保留作图痕迹． (1)在图①中，边上找点，使； (2)在图②中，边上找点，使； (3)在（2）的前提下，作点关于的对称点． 【答案】(1)画图见解析； (2)画图见解析； (3)画图见解析． 【分析】本题考查了作图——轴对称变换，作垂线，解题的关键是理解题意，正确作出图形. （）如图中，取格点，连接交于点，线段即为所求； （）如图中，构造等腰直角三角形，交于点，点即为所求； （）如图中，取格点，连接，，交于点，连接，延长，交于点，点即为所求. 【详解】（1）解：如图中，线段即为所求； （2）解：如图，点即为所求； （3）解：如图，点即为所求． 21．【代数推理】设的三边长是、、，周长是，其中，． (1)直接写出及的取值范围； (2)当为奇数时，求的最大值和最小值． (3)若小于的偶数，判断的形状． 【答案】(1)，； (2)最大为，最小为 (3)是等腰三角形，理由见解析过程． 【分析】本题考查了三角形的三边关系，三角形的分类等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． （1）利用三角形三边关系进而得出的取值范围，进而得出答案； （2）根据奇数的定义和的取值范围，可求解； （3）根据偶数的定义，以及的取值范围即可求的值，利用等腰三角形的定义得出即可． 【详解】（1）解：因为，， 所以． 故周长的范围为． （2），，为奇数， ， 最大为，最小为． （3）周长为小于的偶数， 或． 当为时，； 当为时，． 当时，，为等腰三角形； 当时，，为等腰三角形． 综上所述，是等腰三角形． 22．“提公因式法”是分解因式的一种常用方法，例如：①，②，为了拓展同学们的思维，老师要求对多项式：进行分解因式．爱动脑筋的小明思考了一会儿发现，虽然这个多项式的四项没有公因式，但对这个多项式先进行简单的分组后，问题就可以得到解决． 即： 请仿照以上方法，完成下列任务： (1)分解因式：； (2)若的三边分别为：，，，且，请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)； (2)是等腰三角形，理由见解析． 【分析】本题主要考查了分解因式，等腰三角形的定义，熟知分解因式的方法是解题的关键． （1）把原式分组得到，再利用提公因式（数）法把两项都分解因式，进而提取公因式分解因式即可； （2）把已给条件式分组得到，再利用提公因式法和平方差公式分解因式得到，进而得到，据此可得结论． 【详解】（1）解： ； （2）解：是等腰三角形，理由如下： ， ， ， ， ∵， ∴， ， 即：， 是等腰三角形． 23．问题：用n根相同的木棒搭一个三角形(木棒无剩余)，能搭成多少种不同的等腰三角形？探究：不妨假设能搭成m种不同的等腰三角形，为探究m与n之间的关系，我们可以先从特殊情况入手，通过试验、观察、类比，最后归纳、猜测得出结论． 探究一： （1）用3根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？ 此时，显然能搭成一种等腰三角形． ∴ 当时，． （2）用4根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？ 只可分成1根木棒、1根木棒和2根木棒这一种情况，不能搭成三角形． ∴ 当时，． （3）用5根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？ 若分成1 根木棒、1根木棒和3根木棒，则不能搭成三角形． 若分成2根木棒、2根木棒和1根木棒，则能搭成一种等腰三角形． ∴ 当时，． （4）用6根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？ 若分成1根木棒、1根木棒和4根木棒，则不能搭成三角形． 若分成2根木棒、2根木棒和2根木棒，则能搭成一种等腰三角形． ∴ 当时，． 综上所述，可得表①． 表①∶ 3 4 5 6 1 0 1 1 探究二： （1）用7根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？ 若分成1根木棒、1根木棒和5根木棒，则不能搭成三角形． 若分成2根木棒、2根木棒和3根木棒，则能搭成一种等腰三角形． 若分成3根木棒、3根木棒和1根木棒，则能搭成一种等腰三角形． ∴ 当时，． （2）用8根、9根、10根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？(仿照上述探究方法，将结果填在表②中) 表②∶ 7 8 9 10 2 你不妨分别用11根、12根、13根、14根相同的木棒继续进行探究…… 问题解决：用n根相同的木棒搭一个三角形(木棒无剩余)，能搭成多少种不同的等腰三角形？ (设n分别等于4k-1，4k，4k+1，4k+2，其中k是正整数，把结果填在表③中) 表③∶ 问题应用：用2025根相同的木棒搭一个三角形(木棒无剩余)，能搭成 种不同的等腰三角形． 【答案】探究二（2）1，2，2；问题解决：，，，；问题应用： 【分析】探究二（2）仿照探究一中的方法，将木棒分成相等的两部分和另一部分，利用三角形成立的条件进行判断即可； 问题解决：从两个表格中总结出规律填表即可 问题应用：用2025和4的倍数关系，结合问题解决中的规律即可解答． 【详解】解：探究二（2）①用8根相同的木棒搭一个三角形， 即分成2根木棒、3根木棒和3根木棒，则能搭成一种等腰三角形， 此时，能搭成1种等腰三角形， 当时，． ②用9根相同的木棒搭一个三角形， 即分成1根木棒、4根木棒和4根木棒，则能搭成一种等腰三角形， 即分成3根木棒、3根木棒和3根木棒，则能搭成一种等腰三角形， 此时，能搭成2种等腰三角形， 当时，． ③用10根相同的木棒搭一个三角形， 即分成2根木棒、4根木棒和4根木棒，则能搭成一种等腰三角形， 即分成3根木棒、3根木棒和4根木棒，则能搭成一种等腰三角形， 此时，能搭成2种等腰三角形， 当时，． 填表如下： 7 8 9 10 2 1 2 2 问题解决：由规律可知， 用根相同的木棒搭一个三角形，底边可以是1、3、5、……根木棒，能搭成种等腰三角形， 用根相同的木棒搭一个三角形，底边可以是2、4、6、……根木棒，能搭成种等腰三角形， 用根相同的木棒搭一个三角形，底边可以是1、3、5、……根木棒，能搭成种等腰三角形， 用根相同的木棒搭一个三角形，底边可以是2、4、5、……根木棒，能搭成种等腰三角形， 填表如下： 问题应用：， 用2025根相同的木棒搭一个三角形，能搭成506种不同的等腰三角形． 【点睛】本题考查的是基本作图及等腰三角形，解题的关键是掌握等腰三角形的性质及三角形成立的条件． 24．如图，在长方形ABCD中，，，点以每秒1个单位长度的速度从点向点运动，同时点以每秒2个单位长度的速度从点向点运动，设、两点运动的时间为（秒），点为边CD上任意一点（点不与点、重合），连接PQ、QE． (1)请直接用含，的代数式表示线段QD的长度； (2)当时. ①若点是CD的中点，当图中存在等腰三角形时，求的值； ②若与全等，求DE的长； (3)若在边AD上总存在点，使得（点、、的对应点分别为点，，），请直接写出的取值范围． 【答案】(1)线段的长度为 (2)①；②或 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的性质，列代数式，一元一次不等式的应用；熟练掌握相关定理是解题的关键．注意当不能确定对应点的时候要注意分情况讨论． （1）利用路程，速度，时间的关系求出，即可解决问题； （2）当时．由题意得：， ①若点是的中点，则，根据题意只有，解答即可． ②由题意得：，当时：当时，分别建立方程，解方程即可求解； （3）由，知，故，得，可得，即可解得答案． 【详解】（1）解：根据题意，， ， ∴线段的长度为； （2）解：当时． 由题意得：， ①若点是的中点，则， 当时，，解得：． ②当时，， 解得：， 此时； 当时：， 解得：， 此时； 综上所述：或时，与全等； （3）解：， ， 由知：， 解得：， ， ， 即． ， ， ， 即； 由①②解得：， ∴满足条件的取值范围为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 【学霸提优】2025-2026学年数学八年级上册同步练习浙教版 专题2.2等腰三角形（一课一练） 一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定） 1．若等腰三角形的一边长是10，另一边长是8，则它的周长是（   ） A．28 B．26 C．18 D．26或28 2．有下列长度的三条线段，能组成等腰三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．如图表示三角形的分类，关于P、Q区域有甲、乙两种说法：甲：P是等腰三角形；乙：Q是等边三角形，则对于这两种说法，正确的是（   ） A．甲对 B．乙对 C．甲、乙均不对 D．甲、乙均对 4．如果等腰三角形两边长是和，那么它的周长是（    ） A． B． C．或 D． 5．如图， 在中，，，平分交于D，于E，若，则的周长是 （    ）       A． B． C． D． 6．如图所示，四条线段的长度分别为：，它们首尾顺次相接围成四边形（阴影部分），连接，的长度随四边形的形状变化而变化．当为等腰三角形时，的长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．5或7 7．定义：等腰三角形的底边长与其腰长的比值k称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰三角形的周长为，，则它的“优美比”k为（   ） A． B． C．或 D．或 8．如图，中，，D是边上一点（不与A，C重合），则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 9．若是的三边，满足，则的形状是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形 10．如图，等腰的周长为30，且，中线将这个三角形的周长分为两部分，两部分的差为6，则的长（ ） A．6 B．14 C．14或6 D．12或8 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11．若实数、满足，则以、的值为两边长的等腰三角形的周长是 ． 12．周长为13，那么边长为整数的等腰三角形共有 个． 13．如图，数轴上A点表示数10，B点表示数6，C为线段上一点，当以三条线段为边，可以围成等腰三角形时，点C表示数 ． 14．等腰三角形其中两个角的比是，这个三角形的顶角可能是 度或 度． 15．一个等腰三角形的周长是48厘米．其中两条边的长度比是，这个三角形的底边长是( )厘米． 16．已知等腰三角形，腰长为，底边长为，若该三角形的周长为，则底边长为 ． 17．如图，中，，点在上，．将线段沿着的方向平移得到线段，与边相交于，并构成以为底边的等腰，则的周长为 ． 18．在第1个中，，，在上取一点C，延长到，使得；在上取一点D，延长到，使得；…，按此做法进行下去，以为顶点的等腰三角形的底角的度数为 °．（用含n的式子表示） 三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 19．如图，在△ABC中，，，延长至点D，连接，以为直角边作等腰三角形，其中，连接． (1)若，求的长； (2)与有何位置关系？请说明理由． 20．图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点、、均在格点上，在给定的网格中，只用无刻度的直尺，分别按下列要求画图，保留作图痕迹． (1)在图①中，边上找点，使； (2)在图②中，边上找点，使； (3)在（2）的前提下，作点关于的对称点． 21．【代数推理】设的三边长是、、，周长是，其中，． (1)直接写出及的取值范围； (2)当为奇数时，求的最大值和最小值． (3)若小于的偶数，判断的形状． 22．“提公因式法”是分解因式的一种常用方法，例如：①，②，为了拓展同学们的思维，老师要求对多项式：进行分解因式．爱动脑筋的小明思考了一会儿发现，虽然这个多项式的四项没有公因式，但对这个多项式先进行简单的分组后，问题就可以得到解决． 即： 请仿照以上方法，完成下列任务： (1)分解因式：； (2)若的三边分别为：，，，且，请判断的形状，并说明理由． 23．问题：用n根相同的木棒搭一个三角形(木棒无剩余)，能搭成多少种不同的等腰三角形？探究：不妨假设能搭成m种不同的等腰三角形，为探究m与n之间的关系，我们可以先从特殊情况入手，通过试验、观察、类比，最后归纳、猜测得出结论． 探究一： （1）用3根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？ 此时，显然能搭成一种等腰三角形． ∴ 当时，． （2）用4根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？ 只可分成1根木棒、1根木棒和2根木棒这一种情况，不能搭成三角形． ∴ 当时，． （3）用5根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？ 若分成1 根木棒、1根木棒和3根木棒，则不能搭成三角形． 若分成2根木棒、2根木棒和1根木棒，则能搭成一种等腰三角形． ∴ 当时，． （4）用6根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？ 若分成1根木棒、1根木棒和4根木棒，则不能搭成三角形． 若分成2根木棒、2根木棒和2根木棒，则能搭成一种等腰三角形． ∴ 当时，． 综上所述，可得表①． 表①∶ 3 4 5 6 1 0 1 1 探究二： （1）用7根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？ 若分成1根木棒、1根木棒和5根木棒，则不能搭成三角形． 若分成2根木棒、2根木棒和3根木棒，则能搭成一种等腰三角形． 若分成3根木棒、3根木棒和1根木棒，则能搭成一种等腰三角形． ∴ 当时，． （2）用8根、9根、10根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？(仿照上述探究方法，将结果填在表②中) 表②∶ 7 8 9 10 2 你不妨分别用11根、12根、13根、14根相同的木棒继续进行探究…… 问题解决：用n根相同的木棒搭一个三角形(木棒无剩余)，能搭成多少种不同的等腰三角形？ (设n分别等于4k-1，4k，4k+1，4k+2，其中k是正整数，把结果填在表③中) 表③∶ 问题应用：用2025根相同的木棒搭一个三角形(木棒无剩余)，能搭成 种不同的等腰三角形． 24．如图，在长方形ABCD中，，，点以每秒1个单位长度的速度从点向点运动，同时点以每秒2个单位长度的速度从点向点运动，设、两点运动的时间为（秒），点为边CD上任意一点（点不与点、重合），连接PQ、QE． (1)请直接用含，的代数式表示线段QD的长度； (2)当时. ①若点是CD的中点，当图中存在等腰三角形时，求的值； ②若与全等，求DE的长； (3)若在边AD上总存在点，使得（点、、的对应点分别为点，，），请直接写出的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $