25.1-2锐角的三角比 学案 2025-2026学年 沪教版(上海)九年级数学第一学期

该初中数学导学案围绕锐角三角比展开，引导学生理解正弦、余弦、正切、余切的概念及30°、45°、60°特殊锐角的三角比值。通过正比例函数动点和圆上动点问题情境导入，衔接直角三角形边的关系与函数知识，搭建从具体到抽象的学习支架。 资料以问题链驱动概念形成，通过观察图像、讨论特殊角三角形、表格归纳等活动，培养学生的抽象能力和几何直观。分层练习题从基础计算到综合应用，助力学生用数学语言表达三角比关系，发展推理意识和应用意识，提升学习效率。

锐角三角比 【学习目标】 1．理解锐角三角比的概念； 2．会求特殊锐角（30°、45°、60°）的三角比的值． 【学习过程】 知识点一、锐角三角比 1. 已知B点为正比例函数y= x图像上的一个动点，过点B向x轴作垂线，垂足为C，观察图像思考，线段BC、OB之间的比值是否为一个定值？ 2. 在直角坐标系中，以O为圆心，5cm为半径作圆，B为第一象限内圆上的一个动点，OB与x轴的夹角为α，过点B作BC⊥x轴，垂足为C，思考α在0o-90o之间变化时，α的三角比如何变化？ 如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°： ∠A所对的直角边BC记为，叫做∠A的对边， ∠A相邻的直角边AC记为，叫做∠A的邻边， 同理，∠B的对边为_____________； ∠B的邻边为___________________； 直角∠C所对的边记为，叫做斜边. 3. 知识点归纳： ⑴把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作：sinA ⑵把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作：______ ⑶把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作：______ ⑷把锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作：_______ 1. 如图，在中，，，垂足为点Q． 1. 在中，的对边是______，的邻边是______； 在中，的对边是______，的邻边是______． 1. 在____中，的对边是MP；在____中，的邻边是NQ． 1. 的邻边是______，的对边是______． 1. ________________. 1. ___________________;_________________. 1. 在中，，AC = 4，BC = 5，求sinA、cot A、tan B、cosB的值． 1. 如图，已知正比例函数的图像上有一动点A，x轴上有一动点B，求和的值． 1. 已知，在中，，BC = 9，sin A =． 求：（1）AB的长；（2）sin B的值． 1. 已知，在中，，sin A =，求sin B的值． 1. 在中，AB = 13，BC = 12，AC = 5，求、、和． 1. 在中，AB = BC = 5，BC = 6，求、、和． 总结：一个锐角的正切、余切、正弦、余弦统称为这个锐角的三角比． 定义 表达式 取值范围 相互关系 正 切 （为锐角） 余 切 （为锐角） 正 弦 （为锐角） 余 弦 （为锐角） 讨论：画30°、45°、60°的直角三角形，完成下列表格 A 30° 45° 60° 思考：观察上表，每一列锐角三角比的值随角度增大有什么变化？ 【例8】 如图，在中，AB = 20，BC = 21，AC = 13，求的四个三角比的值． 【例9】 如图，矩形ABCD中，AB=5，AD=3，将矩形沿过点A的直线l翻折后点B落在边CD上的点E处，直线l与BE、BC分别交于点M、N，求∠AEB的余切值和∠CNE的正弦值。 【巩固练习】 1．在中，若∠C=90°，如果将这个三角形的各边都扩大2倍后得到△A´B´C´ 那么与间的关系是（ ） A、 B、 C、 D、不能确定 2. 在△ABC中，，，则下列判断中最确切的是（ ） A． △ABC是等腰三角形 B． △ABC是等腰直角三角形 C． △ABC是直角三角形 D． △ABC是一般锐角三角形 3. 在Rt△ABC中，各边的长都扩大了倍，那么锐角A对应的四个三角比值 （ ） A.都扩大了倍 B.都缩小了倍 C.没有变化 D.不能确定 4. 在Rt△ABC中，，若a=3，b=4，则c= ， _____， ， ， ． 5. Rt△ABC中，∠C=90°，，则tanA=____，若sin36°=cosA，则∠A= __ ． 6. 化简：是锐角，则=_____________. 7. 已知锐角∠A满足关系式，则的值为____________. 8. 如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（　　） A．2 B． C． D． 9. 直线与轴正半轴的夹角为，那么下列结论正确的是（ ）. （A）； （B） ； （C）； （D）. 10. 如果∠A为锐角，且，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 11. 如图，两条宽度为1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的夹角为，则它们重叠部分的面积为（ ） A． B． C． D． 12．计算：（1）； （2）； （3）； （4）. 13. 已知△ABC中的∠A与∠B满足（1﹣tanA）2+|sinB﹣|=0 （1）试判断△ABC的形状． （2）求（1+sinA）2﹣2﹣（3+tanC）0的值． 14. 如图，正方形ABCD中，边长AD=2cm，N为AB中点，AG⊥BN交BC于点E， （1）求tan∠NAG （2）求tan∠NEG 作业 1. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知∠A和它的对边a，那么下列关系中，正确的是（ 　） （A）c＝asinA； （B）c＝； （C）c＝atanA； （D）c＝． 2. 在直角坐标平面内有一点,那么与轴正半轴的夹角的正弦值为（ ） ．； ．； ．； ．. 3. 在△中，，，那么△是（ ） .钝角三角形； .直角三角形； .锐角三角形； .等腰三角形 4.如果，则下列各式中成立的是（ ） A． B． C． D． 5.已知在△ABC中，∠C=90°，BC=8，AB=10，点G为重心，那么tan∠GCB的值为 ． 6.观察下列各式： ① ② ③ ④ 其中正确的结论有_____________. 7.计算：． 8. 如图，△ABC中，∠C＝900，D为BC上一点，且AD=BD，AC=DC，求∠B的度数和 的值． 9. 直线交x轴于点A，交y轴于点B，OD⊥AB，D为垂足，求∠AOD的余弦值及余切值. 10. 将两块三角板如图放置，其中∠C=∠EDB=90°，∠A=45°，∠E=30°，AB=DE=6，求重叠部分四边形DBCF的面积. 11. 如图，在△ABC中，∠ABC=∠C，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD=BC，BE=4，求tanC和AD的值． 12. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D、E分别在AC、AB上，BD平分∠ABC，AE=6， DE⊥AB，，求的值. 13. 如图，已知在等腰三角形△ABC中，AB=AC=13，BC=10，求顶角∠A的四种锐角三角比值. 14. 如图，小明将一张矩形纸片ABCD沿CE折叠，B点恰好落在AD边上的F点处，若 AB：BC=4:5，求的值. 九年级·数学·暑假课程 学科网（北京）股份有限公司 $