25.1锐角的三角比的意义（4大题型提分练）数学沪教版五四制九年级上册

25.1 锐角的三角比的意义 知识点一 锐角三角比的概念 ★1. 正弦 （1）定义：在中，，锐角的对边与斜边的比叫做的正弦，记作，即； （2）符号语言:在中,，. ★2. 余弦 （1）定义：在中，，锐角的邻边与斜边的比叫做的余弦，记作，即； （2）符号语言:在中,， ★3. 正切 （1）定义：在中，，锐角的对边与邻边的比叫做的正切，记作，即； （2）符号语言:在中,，. ★4. 余切 （1）定义：在中，，锐角的邻边与对边的比叫做的余切，记作，即； （2）符号语言:在中,，. 注意： (1)在直角三角形中,锐角的正弦、余弦、正切、余切反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值,它没有单位 (2)在表示正弦、余弦、正切、余切时,单字母表示的角通常省略角的符号,而三个字母表示的角不能省略角的符号.如的正弦、余弦、正切、余切分别记为,,，;的正弦、余弦、正切、余切分别记为,，， (3),,,是完整的符号，不能写成 ,,, (5)在中，，,,的对边分别是,,.由正弦、余弦、正切、余切的定义可知 ，，，. 知识点二 锐角三角比中的相互关系 (1) 直角三角形中要分清锐角的对边和邻边. (2) 在中，，可知,所以互余，即,. 题型一 正弦的概念辨析 解题技巧提炼 在中，，锐角的对边与斜边的比叫做的正弦，记作，即. 1．如图，在中，，CD、CE分别是斜边AB上的高和中线，下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，，的余角相等即可判断A，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即，可得，则，即可判断B选项，根据A选项可得，即，即可判断C，根据，可得,，即可判断D选项． 【详解】解：，， 故A选项正确，不符合题意； CD、CE分别是斜边AB上的高和中线， ， 故B选项不正确，符合题意； ，即， 故C选项正确，不符合题意； ，即, 又 故D选项正确，不符合题意． 故选B． 【点睛】本题考查了三角形中线，高线，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，锐角三角函数，找出图中相等的角是解题的关键． 2．在中，，那么锐角的正弦等于（      ） A． B． C． D．． 【答案】B 【分析】根据锐角三角函数的定义可直接得出结果． 【详解】在中，，那么锐角的正弦=， 故选：B． 【点睛】本题考查锐角三角函数的定义，属于基础题，需要熟练掌握锐角三角函数的定义． 3．（23-24九年级下·广东深圳·开学考试）如图，在中，，，，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，根据正弦，余弦，正切的定义进行计算，即可解答，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键. 【详解】解：在中, 故选：． 4．（23-24九年级上·广西贺州·期末）在中，，各边都扩大2倍，则锐角A的三角函数值（    ） A．扩大2倍 B．不变 C．缩小 D．扩大 【答案】B 【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义，三角形相似的判定和性质，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义，三角形相似的判定和性质，根据三角形相似的判定，可以确定各边扩大后的三角形与原三角形相似，再根据相似三角形的性质可知锐角A的度数不变，所以锐角A对应的三角函数值就不变． 【详解】解：因为各边扩大后的三角形与原三角形相似，锐角A的度数不变，锐角A对应的三角函数值就不变． 故选：B． 5．（23-24九年级上·湖南娄底·期末）在中，，、、分别为、、的对边，下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角函数的知识，熟记正弦、余弦和正切的定义是解题的关键．正弦是对边比斜边，余弦是邻边比斜边，正切是对边比邻边，据此可判断． 【详解】解：如下图， A. ，故该选项不成立，不符合题意； B. ，故该选项不成立，不符合题意； C. ，故该选项不成立，不符合题意； D. ，故该选项成立，符合题意． 故选：D． 题型二 余弦的概念辨析 解题技巧提炼 在中，，锐角的邻边与斜边的比叫做的余弦，记作，即； 6．（2024·河北邢台·一模）如图，已知在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查余弦的定义，根据余弦的定义即可解答． 【详解】解：在中，． 故选：C． 7．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】考查锐角三角函数的定义，熟练掌握正弦，余弦的定义是解题的关键． 【详解】解：，， 故选A． 8．（22-23九年级下·天津红桥·阶段练习）如图，在中，，为斜边的高，D为垂足，则下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角函数的定义计算判断即可． 【详解】解：A、由，故该项错误，不符合题意； B、由，故该项错误，不符合题意； C、由，故该项错误，不符合题意； D、由，故该项正确，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查了三角函数，熟练掌握三角函数的基本定义是解题的关键． 9．（2023·福建泉州·一模）在中，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角函数的定义得到，设，，利用勾股定理得到，即可求出的值． 【详解】解：如图，中，，， ， 设，， 由勾股定理得：， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了锐角三角函数，勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题关键． 10．（22-23九年级下·山东济南·开学考试）如图，在中，，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角函数的定义直接逐个判断即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ∵在中，，， ∴，故A错误，不符合题意， ，故B错误，不符合题意， ，故C错误，不符合题意， ，故D正确，符合题意， 故选D． 【点睛】本题考查三角函数的定义，解题的关键是判断不同直角三角形中的直角边与斜边． 11．（23-24九年级上·上海普陀·阶段练习）已知是锐角，化简： ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了锐角三角函数，化简二次根式，根据锐角的余弦值小于1化简二次根式，然后合并即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：1． 题型三 正切的概念辨析 解题技巧提炼 在中，，锐角的对边与邻边的比叫做的正切，记作，即. 12．（23-24九年级上·上海松江·阶段练习）在中，，，，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的定义，先根据勾股定理求出，再根据锐角三角函数的定义即可解答；理解三角函数的相关定义是解题的关键． 【详解】解：如图:∵，， ∴， ∴． 故选：A． 13．（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在矩形中，，，若点在边上，连接、，是以为腰的等腰三角形，则的值为 ． 【答案】或 【分析】根据题意可知需要分类讨论：和两种情况，可求出的长，进而可求出的值． 【详解】解：在矩形中，，． 如图1，当时，点是的中垂线与的交点，则． 在中，， 如图2，当时，也是以为腰的等腰三角形， ， 综上所述，或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的判定和勾股定理．解题时，要分类讨论，以防漏解是解题的关键． 14．（22-23九年级下·吉林长春·阶段练习）如图，在中，，作交边于点D．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】先求出，设，求出，在根据余弦的概念求出即可． 【详解】解：， ， ， 设， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角函数，解题的关键是求出的长度． 15．（2023·江西赣州·一模）在平面直角坐标系中，已知，，点在轴上，连接，把绕点顺时针旋转得到线段，连接．若是直角三角形，点的横坐标为 ． 【答案】2或或 【分析】分情况讨论：①当点在轴的正半轴上，且时，②当点在轴的正半轴上，且时，③当点在轴的负半轴上，且时，利用全等三角形及直角三角形的性质和正切值求解即可． 【详解】解：，， ，， 设点， 当时，点在直线上（且不与点重合）， 点不能为直角顶点， ①如图，当点在轴的正半轴上，且时， 由旋知，，， ，， ， ， ，， ， ，即点的横坐标为2； ②如图，当点在轴的正半轴上，且时， 过点作于点，则， 由旋转可知，，， ，， ， ， ，， ， ， ，，， ， ， ，即， 解得：或（不合题意，舍去）， 点的横坐标为； ③如图，当点在轴的负半轴上，且时， 过点作于点，则， 同理可得， ，， ，， 同理可得， ， ，即， 解得：或（不合题意，舍去）， 点的横坐标为； 综上所述，点的横坐标为2或或， 故答案为：2或或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，角的正切，解题的关键是熟练掌握知识点，注意分类讨论思想的运用． 16．（2024·上海虹口·二模）如图，在中，，延长至点，使得，过点、分别作，，与相交于点，连接． (1)求证：； (2)连接交于点，连接交于点．如果，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理等，解题的关键是掌握平行四边形和矩形的判定方法． （1）先证四边形是平行四边形，得出从而证出四边形是矩形，即可证明结论； （2）设，算出，证明，求出 ，进而证出结论； 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形， ， ， ， 又，点D在的延长线上， ， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是矩形， ； （2）解：如图，   四边形是平行四边形， ， 设， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中， ， ， ， 在中， ， ， ． 17．如图，在中，于，． (1)求证：． (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据三角函数的概念可知，，根据即可得结论； （2）由的余弦值和（1）的结论即可求得，利用勾股定理求得，即可求解． 【详解】（1）证明：，，， ， ； （2）解：，， ， ， ，， ， ， 的面积=． 【点睛】本题考查了直角三角形中的有关问题，主要考查了勾股定理，三角函数的有关计算，熟练掌握三角函数的概念是解题关键． 题型四 余切的概念辨析 解题技巧提炼 在中，，锐角的邻边与对边的比叫做的余切，记作，即. 18．（22-23九年级上·上海奉贤·期中）在中，各边的长度都缩小4倍，那么锐角A的余切值（  ） A．扩大4倍 B．保持不变 C．缩小2倍 D．缩小4倍 【答案】B 【分析】根据题意可知大小不变，即得出锐角A的余切值保持不变． 【详解】解：∵在中，各边的长度都缩小4倍， ∴各角的大小不变，即大小不变． ∵一个角的锐角三角函数值只与角的大小有关， ∴锐角A的余切值保持不变． 故选B． 【点睛】本题考查锐角三角函数．理解一个角的锐角三角函数值只与角的大小有关是解题关键． 19．在Rt△ABC中，如果，那么表示的(        ) A．正弦 B．正切 C．余弦 D．余切 【答案】D 【分析】根据余切的定义求解可得． 【详解】在Rt△ABC中，∵∠C=90°， ∴cotA=， 故选D． 【点睛】本题主要考查锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握正弦、余弦、正切、余切的定义． 20．在Rt△ABC中，∠C=90°，如果cos∠A=，那么cot∠A= ． 【答案】 【详解】如图所示： ∵在Rt△ABC中，∠C=90°，cos∠A＝＝， ∴设AC=2x，则AB=3x， ∴由勾股定理得到：BC=， ∴cot∠A=. 故答案是：. 21．已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，A、两点的坐标分别为和，如果将绕着原点旋转后，点A落在轴上，点落在点处，那么的值为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化、旋转的性质、锐角三角函数的定义等知识点，熟记相关性质是解题的关键． 根据点A的坐标判断出与轴的夹角为，再根据旋转的性质可得，根据等边对等角可得，如图：过点作轴于，然后求出、，再分两种情况求出，最后根据余切的定义列式计算即可解答． 【详解】解：， 与轴的夹角为， 旋转后与轴的夹角为且， ， 如图：过点作轴于， 则， 如图，若顺时针旋转，则， ， 若逆时针旋转，则， ， 综上所述，的值为或． 故答案为：或． 22．（22-23九年级上·上海浦东新·阶段练习）在中，，，那么等于（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】画出图形，根据锐角三角函数的定义求出即可． 【详解】解：如图，   ， 在中，，， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握锐角三角函数的定义是关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 25.1 锐角的三角比的意义 知识点一 锐角三角比的概念 ★1. 正弦 （1）定义：在中，，锐角的对边与斜边的比叫做的正弦，记作，即； （2）符号语言:在中,，. ★2. 余弦 （1）定义：在中，，锐角的邻边与斜边的比叫做的余弦，记作，即； （2）符号语言:在中,， ★3. 正切 （1）定义：在中，，锐角的对边与邻边的比叫做的正切，记作，即； （2）符号语言:在中,，. ★4. 余切 （1）定义：在中，，锐角的邻边与对边的比叫做的余切，记作，即； （2）符号语言:在中,，. 注意： (1)在直角三角形中,锐角的正弦、余弦、正切、余切反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值,它没有单位 (2)在表示正弦、余弦、正切、余切时,单字母表示的角通常省略角的符号,而三个字母表示的角不能省略角的符号.如的正弦、余弦、正切、余切分别记为,,，;的正弦、余弦、正切、余切分别记为,，， (3),,,是完整的符号，不能写成 ,,, (5)在中，，,,的对边分别是,,.由正弦、余弦、正切、余切的定义可知 ，，，. 知识点二 锐角三角比中的相互关系 (1) 直角三角形中要分清锐角的对边和邻边. (2) 在中，，可知,所以互余，即,. 题型一 正弦的概念辨析 解题技巧提炼 在中，，锐角的对边与斜边的比叫做的正弦，记作，即. 1．如图，在中，，CD、CE分别是斜边AB上的高和中线，下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 2．在中，，那么锐角的正弦等于（      ） A． B． C． D．． 3．（23-24九年级下·广东深圳·开学考试）如图，在中，，，，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·广西贺州·期末）在中，，各边都扩大2倍，则锐角A的三角函数值（    ） A．扩大2倍 B．不变 C．缩小 D．扩大 5．（23-24九年级上·湖南娄底·期末）在中，，、、分别为、、的对边，下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 题型二 余弦的概念辨析 解题技巧提炼 在中，，锐角的邻边与斜边的比叫做的余弦，记作，即； 6．（2024·河北邢台·一模）如图，已知在中，，则（    ） A． B． C． D． 7．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，若，则（    ） A． B． C． D． 8．（22-23九年级下·天津红桥·阶段练习）如图，在中，，为斜边的高，D为垂足，则下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 9．（2023·福建泉州·一模）在中，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 10．（22-23九年级下·山东济南·开学考试）如图，在中，，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（23-24九年级上·上海普陀·阶段练习）已知是锐角，化简： ． 题型三 正切的概念辨析 解题技巧提炼 在中，，锐角的对边与邻边的比叫做的正切，记作，即. 12．（23-24九年级上·上海松江·阶段练习）在中，，，，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 13．（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在矩形中，，，若点在边上，连接、，是以为腰的等腰三角形，则的值为 ． 14．（22-23九年级下·吉林长春·阶段练习）如图，在中，，作交边于点D．若，则的值为 ． 15．（2023·江西赣州·一模）在平面直角坐标系中，已知，，点在轴上，连接，把绕点顺时针旋转得到线段，连接．若是直角三角形，点的横坐标为 ． 16．（2024·上海虹口·二模）如图，在中，，延长至点，使得，过点、分别作，，与相交于点，连接． (1)求证：； (2)连接交于点，连接交于点．如果，求证：． 17．如图，在中，于，． (1)求证：． (2)若，，求的面积． 题型四 余切的概念辨析 解题技巧提炼 在中，，锐角的邻边与对边的比叫做的余切，记作，即. 18．（22-23九年级上·上海奉贤·期中）在中，各边的长度都缩小4倍，那么锐角A的余切值（  ） A．扩大4倍 B．保持不变 C．缩小2倍 D．缩小4倍 19．在Rt△ABC中，如果，那么表示的(        ) A．正弦 B．正切 C．余弦 D．余切 20．在Rt△ABC中，∠C=90°，如果cos∠A=，那么cot∠A= ． 21．已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，A、两点的坐标分别为和，如果将绕着原点旋转后，点A落在轴上，点落在点处，那么的值为 ． 22．（22-23九年级上·上海浦东新·阶段练习）在中，，，那么等于（  ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$