2.4.1 圆的标准方程 课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件围绕圆的标准方程及点与圆的位置关系展开，通过“新知探究”中问题引导学生利用两点间距离公式推导方程，结合知识梳理明确圆心半径的确定条件，搭建从具体几何关系到抽象代数表达的学习支架。 其亮点在于通过典例分析（如与y轴相切的圆、直径端点的圆）和几何法、待定系数法两种求解策略，培养学生数学思维的推理能力与数学眼光的几何直观。反思与感悟环节系统总结方法，学生能深化理解，教师使用可提升教学针对性与效率。

2.4 圆的方程 2.4.1 圆的标准方程 学习目标 1.掌握圆的定义及标准方程.(重点) 2.能准确判断点与圆的位置关系.(难点) 3.会用待定系数法求圆的标准方程(难点) 刘雨萌 导语 多边形和圆是平面几何中的两类基本图形.建立直线的方程后，我们可以运用它研究多边形这些“直线形”，解决边所在直线的平行或垂直、边与边的交点以及点到线段所在直线的距离等问题.类似地，为了研究圆的有关性质，解决与圆有关的问题，我们首先需要建立圆的方程. 刘雨萌 新知探究 一、圆的标准方程 问题1 类似于直线方程的建立过程，为建立圆的方程，我们首先考虑确定一个圆的几何要素. 圆是怎样定义的？确定它的要素又是什么呢？各要素与圆有怎样的关系？ 提示　平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径. 确定圆的要素：圆心和半径， 圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小. 刘雨萌 问题2 已知圆心为A(a，b)，半径为r，你能推导出圆的方程吗？ 新知探究 提示　如图，设圆上任一点M(x，y)，则|MA|=r， 由两点间的距离公式，得=r， 两边平方，得(x-a)2+(y-b)2=r2. 刘雨萌 知识梳理 确定圆的标准方程需要两个条件：圆心坐标与半径. (x-a)2+(y-b)2=r2 x2+y2=r2 注：(1)当圆心在原点即A(0，0)，半径长r=1时，方程为x2+y2=1，称为单位圆. (2)相同的圆，建立的坐标系不同时，圆心坐标不同，导致圆的方程不同，但是半径是不变的. (3)圆上的点都满足方程，满足方程的点都在圆上. 刘雨萌 典例分析 例1 (1)与y轴相切，且圆心坐标为(-5，-3)的圆的标准方程为 　　　　 .  (x+5)2+(y+3)2=25 ∵圆心坐标为(-5，-3)，又与y轴相切，∴该圆的半径为5， ∴该圆的标准方程为(x+5)2+(y+3)2=25. (2)以两点A(-3，-1)和B(5，5)为直径端点的圆的标准方程是 　　　　　　　　.  (x-1)2+(y-2)2=25 ∵AB为直径，∴AB的中点(1，2)为圆心， |AB|==5为半径， ∴该圆的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=25. 刘雨萌 反思与感悟 求圆的标准方程的策略 (1)确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，其中常用到中点坐标公式、两点间距离公式. (2)有时应用平面几何知识如“弦的中垂线必过圆心” “两条弦的中垂线的交点必为圆心”等来解决. 刘雨萌 跟踪训练 跟踪训练1 　求满足下列条件的圆的标准方程： (1)圆心是(4，0)，且过点(2，2)； r2=(2-4)2+(2-0)2=8， ∴圆的标准方程为(x-4)2+y2=8. (2)圆心在y轴上，半径为5，且过点(3，-4). 设圆心为C(0，b)，则(3-0)2+(-4-b)2=52， ∴b=0或b=-8，∴圆心为(0，0)或(0，-8)，又r=5， ∴圆的标准方程为x2+y2=25或x2+(y+8)2=25. 刘雨萌 跟踪训练 (课本83页例1)　求圆心为A(2，-3)，半径为5的圆的标准方程，并判断点M1(5，-7)，M2(-2，-1)是否在这个圆上. 圆心为A(2，-3)，半径为5的圆的标准方程是(x-2)2+(y+3)2=25. 把点M1(5，-7)的坐标代入方程(x-2)2+(y+3)2=25的左边，得(5-2)2+(-7+3)2 =25，左右两边相等，点M1的坐标满足圆的方程，所以点M1在这个圆上. 把点M2(-2，-1)的坐标代入方程(x-2)2+(y+3)2=25的左边，得(-2-2)2+(-1+3)2=20，左右两边不相等，点M2的坐标不满足圆的方程，所以点M2不在这个圆上(如图). 刘雨萌 问题3 点M0(x0，y0)在圆x2+y2=r2内的条件是什么？在圆x2+y2=r2外的条件又是什么？ 新知探究 二、点与圆的位置关系 位置关系 几何法：利用距离判断 代数法：利用方程判断 点在圆外 d r (x0-a)2+(y0-b)2 r2 点在圆上 d r (x0-a)2+(y0-b)2 r2 点在圆内 d r (x0-a)2+(y0-b)2 r2 圆C：(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)，其圆心为C(a，b)，半径为r，点P(x0，y0)， 设d=|PC|=. > = < > = < 刘雨萌 典例分析 例2 (1)已知a，b是方程x2-x-=0的两个不相等的实数根，则点P(a，b)与圆C：x2+y2=8的位置关系是 A.点P在圆C内 B.点P在圆C外 C.点P在圆C上 D.无法确定 √ (2)已知点P(2，1)和圆C：+(y-1)2=1，若点P在圆C上，则实数a=　　　　 ；若点P在圆C外，则实数a的取值范围为　　　　　　.  -2或-6 a<-6或a>-2 刘雨萌 反思与感悟 判断点与圆的位置关系的两种方法 (1)几何法：利用点到圆心的距离与半径比较大小并作出判断. (2)代数法：把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小，并作出判断. 刘雨萌 跟踪训练 跟踪训练2 　已知点M(5+1，)在圆(x-1)2+y2=26的内部，则a的取值范围为　　　　.  [0，1) 由题意知 即解得0≤a<1. 刘雨萌 新知探究 三、求圆的标准方程 (课本83页例2 待定系数法)　△ABC的三个顶点分别是A(5，1)，B(7，-3)，C(2，-8)，求△ABC的外接圆的标准方程. 设所求的方程是(x-a)2+(y-b)2=r2. ① 因为A(5，1)，B(7，-3)，C(2，-8)三点都在圆上，所以它们的坐标都满足方程①. 于是即 刘雨萌 观察上面的式子，我们发现，三式两两相减，可以消去a2，b2，r2， 得到关于a，b的二元一次方程组 解此方程组，得 代入(5-a)2+(1-b)2=r2，得r2=25. 所以，△ABC的外接圆的标准方程是(x-2)2+(y+3)2=25. 刘雨萌 新知探究 （课本84页例3 几何法）　已知圆心为C的圆经过A(1，1)，B(2，-2)两点，且圆心C在直线l：x-y+1=0上，求此圆的标准方程. 方法一　设圆心C的坐标为(a，b).因为圆心C在直线l：x-y+1=0上， 所以a-b+1=0. ① 因为A，B是圆上两点，所以|CA|=|CB|. 根据两点间距离公式，有= 即a-3b-3=0. ② 由①②可得a=-3，b=-2. 所以圆心C的坐标是(-3，-2). 圆的半径r=|AC|==5. 所以，所求圆的标准方程是(x+3)2+(y+2)2=25 刘雨萌 方法二　如图，设线段AB的中点为D. 由A，B两点的坐标为(1，1)，(2，-2)，可得点D的坐标为 直线AB的斜率为kAB==-3. 因此，线段AB的垂直平分线l'的方程是y+=即x-3y-3=0. 由垂径定理可知，圆心C也在线段AB的垂直平分线上， 所以它的坐标是方程组的解. 解这个方程组，得所以圆心C的坐标是(-3，-2). 圆的半径r=|AC|==5. 所以，所求圆的标准方程是(x+3)2+(y+2)2=25. 刘雨萌 典例分析 例3 求经过点P(1，1)和坐标原点O，并且圆心在直线2x+3y+1=0上的圆的标准方程. 方法一　(待定系数法) 设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2， 则有 即圆的标准方程是(x-4)2+(y+3)2=25. 刘雨萌 例3 求经过点P(1，1)和坐标原点O，并且圆心在直线2x+3y+1=0上的圆的标准方程. 方法二　(几何法) 由题意知OP是圆的弦，其垂直平分线为x+y-1=0. ∵弦的垂直平分线过圆心， ∴得 即圆心坐标为(4，-3)，半径为r==5. 即圆的标准方程是(x-4)2+(y+3)2=25. 典例分析 刘雨萌 反思与感悟 求圆的标准方程的两种方法 (1)几何法：利用图形的几何性质，如圆的性质等，直接求出圆的圆心和半径，从而得到圆的标准方程. (2)待定系数法：由三个独立条件得到三个方程，解方程组得到圆的标准方程中的三个参数，从而确定圆的标准方程. 刘雨萌 课堂小结 刘雨萌 随堂演练 1.以(2，-1)为圆心，4为半径的圆的标准方程为 A.(x+2)2+(y-1)2=4 B.(x+2)2+(y+1)2=4 C.(x-2)2+(y+1)2=16 D.(x+2)2+(y-1)2=16 √ 2.点P(1，3)与圆x2+y2=24的位置关系是 A.在圆外 B.在圆内 C.在圆上 D.不确定 √ 3.若点P(5a+1，12a)在圆(x-1)2+y2=1的外部，则a的取值范围为 A.a> B.a<-C.a>或a<- D.不确定 √ 4.与圆(x-2)2+(y+3)2=16同圆心，且过点P(-1，1)的圆的标准方程为 　　　　　　　　　.  (x-2)2+(y+3)2=25 刘雨萌 课后作业 步步高练透163页 作业23 1-10（必写） 11-14（学有余力的写） 15-16（对数学有追求的写） 刘雨萌 本节内容结束 $