精品解析：内蒙古自治区赤赤峰红旗中学2025-2026学年高二上学期暑假收心检测（开学考试）数学试题

赤峰红旗中学高二年级期初暑假收心检测 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数过定点P，幂函数的图象经过点P，则该幂函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，满足：，，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，三棱柱中，点E，F，G，H分别为，，，的中点，则下列说法错误的是（ ）． A. E，F，G，H四点共面 B. 与是异面直线 C. ，，三线共点 D. 7. 如图，一个底面半径为2dm，母线长为的圆锥形封闭透明容器内部装有一种液体，当圆锥底面向下平放在水平桌面上时，液面的高度恰好为圆锥的高的，则当圆锥的顶点在桌面上，且底面平行于水平桌面时，液面的高度为（ ） A. B. 2dm C. 3dm D. 8. 设的内角的对边分别为，且，为的平分线且与BC交于点D，，则面积的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题为假命题的是（　　） A. 用二分法求方程在上的近似解时，经计算，，则下一步应计算的正负 B. 不等式的解集是 C. 函数的零点是 D. 若，则 10. 函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 的图象向左平移个单位长度后得到函数 C. 的图象关于直线对称 D. 若方程在上有且只有6个根，则 11. 已知函数，函数，则（ ） A. 函数的值域为 B. 不存在实数，使得 C. 若恒成立，则实数的取值范围为 D. 若函数恰好有5个零点，则函数的5个零点之积的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若命题：“，”为假命题，则实数a的取值范围为____________. 13. 在中，点是线段上任意一点（不包含端点），点为线段的中点，点为线段上靠近点的三等分点，若，则的最小值为______． 14. 鼎湖峰，矗立于浙江省缙云县仙都风景名胜区，状如春笋拔地而起，其峰顶镶嵌着一汪小湖.某校开展数学建模活动，有建模课题组的学生选择测量鼎湖峰的高度，为此，他们设计了测量方案.如图，在山脚A测得山顶P得仰角为45°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走了90米到达B点（A，B，P，Q在同一个平面内），在B处测得山顶P得仰角为60°，则鼎湖峰的山高为______米. 四、解答题 15. 已知平面向量. （1）若，求的值； （2）若，求的值. （3）若与的夹角是钝角，求的取值范围. 16. 已知函数（），且函数图象的一个对称中心为. （1）求的值； （2）求的单调递增区间； （3）若在区间上的值域是，求m的取值范围. 17. 在中，三个内角所对的边分别为，已知，且. （1）求角B ; （2）若的周长为，D为BC的中点.求中线AD的长度. 18. 如图，在正三棱柱中，D为AB的中点，，． （1）证明：． （2）证明：平面． （3）求二面角的正切值． 19. 当的三个内角均小于时，使得的点为的“费马点”；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为的“费马点”.已知在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，P是的“费马点”. （1）若，，. ①求； ②设的周长为，求的值； （2）若，，求实数的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 赤峰红旗中学高二年级期初暑假收心检测 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知化简得出，即可根据复数的几何意义得出答案. 【详解】由， 可知复数在复平面内所对应的点为，该点位于第四象限． 故选：D． 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题可知，根据分式不等式的等价条件可得集合，又可得集合，然后求交集即可. 【详解】根据题意，所以， 又，所以， 则. 故选：C. 3. 已知函数过定点P，幂函数的图象经过点P，则该幂函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数型函数恒过定点求出，代入幂函数解析式得，进而可得图象. 【详解】因为，当时，，所以过定点， 设幂函数，幂函数的图象经过点P，代入，即，解得， 所以幂函数为，定义域，结合定义域和图象，可知C正确， 故选：C. 4. 已知向量，满足：，，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意结合数量积可得，再结合投影向量的定义运算求解. 【详解】由题意可知：， 因为，即，可得， 所以在上的投影向量为. 故选：D. 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用同角的正余弦平方关系化为齐次式可求值. 【详解】 . 故选：D. 6. 如图，三棱柱中，点E，F，G，H分别为，，，的中点，则下列说法错误的是（ ）． A. E，F，G，H四点共面 B. 与是异面直线 C. ，，三线共点 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用线线平行的传递性与平面公理的推论即可判断AB；利用平面的基本事实推理判断C；举反例即可判断D. 【详解】对于A，在三棱柱中，分别为的中点， 连接， 由是的中位线，得， 由，且，得四边形是平行四边形， 则，，因此四点共面，A正确； 对于B，因为平面，平面，， 所以与是异面直线，正确； 对于C，延长，相交于点， 由，平面，得平面， 由，平面，得平面， 而平面平面，则，三线共点，C正确； 对于D，由，且可知，四边形是梯形， 若∠=∠，则梯形是等腰梯形，而题设条件无法得出， 所以D不一定正确. 7. 如图，一个底面半径为2dm，母线长为的圆锥形封闭透明容器内部装有一种液体，当圆锥底面向下平放在水平桌面上时，液面的高度恰好为圆锥的高的，则当圆锥的顶点在桌面上，且底面平行于水平桌面时，液面的高度为（ ） A. B. 2dm C. 3dm D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合圆锥体积公式，利用液体的体积相等可求答案. 【详解】因为圆锥的底面半径为2dm，母线长为，所以高为， 当圆锥底面向下平放在水平桌面上时，液面的高度恰好为圆锥的高的， 所以液面的半径为1，此时液体的体积为， 当圆锥的顶点在桌面上，且底面平行于桌面时，此时液体的形状是倒立的圆锥， 设圆锥的底面半径为，高为，则有，即， .此时液体的体积为， 由，得，所以. 故选：D. 8. 设的内角的对边分别为，且，为的平分线且与BC交于点D，，则面积的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将已知条件化简可求得的值，再利用三角形面积的关系列出关于的等式，最后利用基本不等式即可求解. 【详解】， ，即， ，，， 为的平分线且与BC交于点，， ，即， 又，解得，当且仅当时等号成立， 的面积， 的面积的最小值为. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题为假命题的是（　　） A. 用二分法求方程在上的近似解时，经计算，，则下一步应计算的正负 B. 不等式的解集是 C. 函数的零点是 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据二分法的计算方法，可判定A正确；根据正切函数的性质，求得不等式的解集，可判定B不正确；令，求得函数的零点，可判定C不正确；结合实例，可判定D错误. 【详解】对于A，因为，即， 所以函数在上存在零点， 根据二分法，下一次应计算的正负，所以A正确； 对于B，由，根据正切函数的性质，可得， 即不等式的解集为，所以B不正确； 对于C，由函数，令，即， 解得或，所以函数的零点分别为和，所以C不正确； 对于D，例如：，此时满足，但，所以D错误. 故选：BCD. 10. 函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 的图象向左平移个单位长度后得到函数 C. 的图象关于直线对称 D. 若方程在上有且只有6个根，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据图象得到 再由得到，然后由的图象过点求得解析式后逐项判断. 【详解】由图象得，，而，则， 由的图象过点，得，解得， 而的周期有，即，解得， 因此，A正确； 函数的图象向左平移个单位长度后得到的新函数是： ，非奇非偶函数，B错误； ，C正确； 显然， 若方程在上有且只有6个根，则，D正确. 故选：ACD. 11. 已知函数，函数，则（ ） A. 函数的值域为 B. 不存在实数，使得 C. 若恒成立，则实数的取值范围为 D. 若函数恰好有5个零点，则函数的5个零点之积的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据指数以及对数函数的性质即可求解A，根据即可求解B，根据二次函数的性质即可求解C，根据函数图象，结合对数的运算即可求解D. 【详解】对于A，由于,，故函数的值域为，A正确， 对于B，当时，有，故B错误， 对于C， 由于，要使恒成立，则或，解得，故C正确 对于D， 令，则或， 作出的图象如下：要使有5个零点，如图，则， 由于，同理可得， 故，故D正确， 故选：ACD 【点睛】方法点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若命题：“，”为假命题，则实数a的取值范围为____________. 【答案】 【解析】 【分析】分析可知命题“”为真命题，对实数的取值进行分类讨论，再根据二次不等式恒成立即可求解. 【详解】由题意可知，题“”为真命题， 当时，由可得，不符合题意， 当时，根据题意知不等式恒成立则， 解之可得. 故答案为： 13. 在中，点是线段上任意一点（不包含端点），点为线段的中点，点为线段上靠近点的三等分点，若，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量的共线运算及平面向量基本定理找到的关系，再用代换法求最小值即可. 【详解】 由已知可得：， 又因为在线段上，所以有，且， 根据平面向量基本定理可知：， 所以有，且，即 则， 当且仅当，即时取等号， 故答案为：. 14. 鼎湖峰，矗立于浙江省缙云县仙都风景名胜区，状如春笋拔地而起，其峰顶镶嵌着一汪小湖.某校开展数学建模活动，有建模课题组的学生选择测量鼎湖峰的高度，为此，他们设计了测量方案.如图，在山脚A测得山顶P得仰角为45°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走了90米到达B点（A，B，P，Q在同一个平面内），在B处测得山顶P得仰角为60°，则鼎湖峰的山高为______米. 【答案】 【解析】 【分析】在中，利用正弦定理求，进而在中求山的高度. 【详解】由题知，，，则，， 又，所以，所以，， 在中，， 根据正弦定理有， 且， 则， 在中，. 所以山高为米. 故答案为：. 四、解答题 15. 已知平面向量. （1）若，求的值； （2）若，求的值. （3）若与的夹角是钝角，求的取值范围. 【答案】（1）或3： （2）1或 （3） 【解析】 【分析】（1）利用即可； （2）利用得出值，再利用求模公式； （3）利用且不共线即可. 【小问1详解】 若，则. 整理得，解得或. 故的值为或3. 【小问2详解】 若，则有，即，解得或 当时，，则，得； 当时，，则，得. 综上，的值为1或. 【小问3详解】 因与的夹角是钝角，则，即，得， 又当与共线时，有，得，不合题意，则 综上，的取值范围为. 16. 已知函数（），且函数图象的一个对称中心为. （1）求的值； （2）求的单调递增区间； （3）若在区间上的值域是，求m的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式以及辅助角公式化简，再根据即可求出； （2）令即可求出； （3）先求出，再结合函数图象可得. 【小问1详解】 ， 因函数图象的一个对称中心为，则， 则，即， 因，则当时，. 【小问2详解】 由（1）可知，， 令，得， 故的单调递增区间为； 【小问3详解】 ，则， 因，结合函数图象可知， 欲使在区间上的值域是， 则，即， 故的取值范围为. 17. 在中，三个内角所对的边分别为，已知，且. （1）求角B ; （2）若的周长为，D为BC的中点.求中线AD的长度. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由向量平行的坐标表示得，应用正弦边角关系、三角恒等变换整理化简得，进而求角； （2）由题设、，应用向量数量积的运算律、余弦定理得、，进而求边长，代入即可得. 【小问1详解】 由题设，可得， 由正弦边角关系知， 所以， 即， 所以，而，故， 由，则； 【小问2详解】 由题设，则， 又，则， 所以， 由，，则，可得， 综上，，所以，即. 18. 如图，在正三棱柱中，D为AB的中点，，． （1）证明：． （2）证明：平面． （3）求二面角的正切值． 【答案】（1） 在等边中，因为为的中点，可得， 在正三棱柱中，可得平面，且平面， 所以， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以. （2） 由（1）知平面，且平面，所以， 在直角中，由，可得， 在直角中，因为，可得，可得， 在直角中，由，可得， 则满足，所以， 因为，且平面，所以平面. （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，分别证得和，利用线面垂直的判定定理，证得平面，进而证得； （2）由（1）知平面，得到，再由，证得，结合线面垂直的判定定理，即可证得平面. （2）过点作，分别证得和，得到为二面角的平面角，在直角中，求得的长，结合，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：过点作，垂足为， 由（2）知平面，且平面，所以， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以， 所以为二面角的平面角， 在直角中，由，可得， 又由（1）知平面，且平面，所以， 在直角中，可得， 在直角中，可得， 所以二面角的正切值为. 19. 当的三个内角均小于时，使得的点为的“费马点”；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为的“费马点”.已知在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，P是的“费马点”. （1）若，，. ①求； ②设的周长为，求的值； （2）若，，求实数的最小值. 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】（1）①利用正弦定理将题目中的条件.转换成仅含有角的值，再利用副助角公式求解出；②在中，由余弦定理得到的关系，再结合等面积法建立的另外一个等式关系，进而求解出所要求的等量关系. （2）先利用角的三角函数的关系，判断出三角形是直角三角形，接着设，，，仿照第一小问的思路找到的等量关系，然后利用基本不等式求解出最值，又根据，即有，从而得解. 【小问1详解】 ① ， 则 ②设 而， 在中，由余弦定理得: 同理有 则 在中由余弦定理知: 即 又则 又等面积法知： 则，， 故 【小问2详解】 因为 所以 所以 所以所以为直角三角形， 点为的费马点，则， 设，，，， 则由得； 由余弦定理得， ， ， 故由得， 即，而，故， 当且仅当，结合，解得时，等号成立， 又，即有，解得或（舍去）， 故实数的最小值为． 【点睛】关键点点睛：本题关键是理解并应用费马点的定义，第三问关键是设，，，从而推导出、，再利用基本不等式及一元二次不等式求出的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $