2.1.1有理数的加法 讲义 2025-2026学年人教版数学七年级上册

2.1.1 有理数的加法 学习目标 1. 理解有理数加法的意义，掌握有理数加法法则，并能准确地进行有理数的加法运算。 2. 经历探索有理数加法法则的过程，理解有理数加法中“符号”和“绝对值”的确定方法，培养观察、归纳、概括的能力。 3. 能运用有理数加法解决简单的实际问题，体会数学与生活的联系。 4. 掌握有理数加法的运算律（交换律和结合律），并能运用运算律简化有理数的加法运算。 知识点讲解 一、有理数加法的意义 有理数的加法与小学学过的正数加法类似，是将两个或多个有理数合并成一个有理数的运算。但由于引入了负数，有理数的加法比正数加法更具一般性，需要特别注意符号的处理。 二、有理数加法法则 1. 同号两数相加：取相同的符号，并把绝对值相加。 · 若两个加数都是正数，例如(+3) + (+5)，结果为正，绝对值相加3 + 5 = 8，所以(+3) + (+5) = +8。 · 若两个加数都是负数，例如(-3) + (-5)，结果为负，绝对值相加3 + 5 = 8，所以(-3) + (-5) = -8。 · 用字母表示（设a > 0, b > 0）： · (+a) + (+b) = +(a + b) · (-a) + (-b) = -(a + b) 2. 异号两数相加：绝对值相等时和为0（互为相反数的两个数相加得0）；绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 · 绝对值相等（互为相反数）：例如(+3) + (-3) = 0。 · 绝对值不相等： · 正数的绝对值较大：例如(+5) + (-3)，正数绝对值5大于负数绝对值3，结果为正，用5 - 3 = 2，所以(+5) + (-3) = +2。 · 负数的绝对值较大：例如(+3) + (-5)，负数绝对值5大于正数绝对值3，结果为负，用5 - 3 = 2，所以(+3) + (-5) = -2。 · 用字母表示（设a > 0, b > 0）： · 若a = b，则(+a) + (-b) = 0。 · 若a > b，则(+a) + (-b) = +(a - b)，(-a) + (+b) = -(a - b)。 · 若a < b，则(+a) + (-b) = -(b - a)，(-a) + (+b) = +(b - a)。 3. 一个数同0相加，仍得这个数。 · 例如：0 + (+5) = +5，(-3) + 0 = -3，0 + 0 = 0。 三、有理数加法的一般步骤 1. 确定和的符号：根据两个加数的符号，按照加法法则确定结果的符号。 2. 计算和的绝对值：根据两个加数的符号关系，确定是将绝对值相加还是相减。 3. 写出结果：将确定的符号和计算得到的绝对值组合起来。 四、有理数加法的运算律 1. 加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。 · 用字母表示：a + b = b + a 2. 加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。 · 用字母表示：(a + b) + c = a + (b + c) 运算律的作用：运用加法交换律和结合律，可以使一些有理数的加法运算变得简便。例如，将互为相反数的两个数结合相加得0；将同号的数结合相加；将能凑成整十、整百的数结合相加等。 五、有理数加法在生活中的应用 有理数的加法在生活中有着广泛的应用，例如： · 温度的上升与下降（零上温度用正数表示，零下温度用负数表示）。 · 海拔高度的变化（高于海平面用正数表示，低于海平面用负数表示）。 · 财务的收入与支出（收入用正数表示，支出用负数表示）。 · 向东、向西（或其他相反方向）行走的路程等。 在解决实际问题时，关键是要确定正方向（或规定哪种意义为正），并用正负数表示相应的量，然后根据题意列出加法算式进行计算。 例题解析 例1：计算下列各题 (1)(+8) + (+5) (2)(-8) + (-5) 例2：计算下列各题 (1)(+8) + (-5) (2)(+5) + (-8) (3)(-3) + (+3) 例3：计算(-12) + 0 例4：一天早晨的气温是-5℃，中午上升了10℃，中午的气温是多少摄氏度？ 例5：运用加法运算律计算下列各题 (1)(+26) + (-18) + 5 + (-16) (2) + + + + 巩固练习 一、选择题 (每小题只有一个正确答案) 1. 计算(-3) + (-9)的结果是（ ） A.6 B.-6 C.12 D.-12 2. 下列计算正确的是（ ） A.(+5) + (-6) = 1 B.(-5) + 0 = 5 C.(-2) + (+3) = -1 D.(-10) + (+10) = 0 3. 两个有理数的和为正数，则这两个数（ ） A. 都是正数 B. 一个正数，一个负数，且正数的绝对值较大 C. 至少有一个正数 D. 无法确定 4. 运用加法运算律计算(-2) + (+3) + (+2) + (-4)最简便的方法是（ ） A.[(-2) + (+3)] + [(+2) + (-4)] B.[(-2) + (+2)] + [(+3) + (-4)] C.[(-2) + (-4)] + [(+3) + (+2)] D.(-2) + [(+3) + (+2)] + (-4) 5. 小明在一条东西走向的跑道上，先走了+10米，又走了-8米，他现在的位置相对于出发点（ ） A. 向东2米 B. 向西2米 C. 向东18米 D. 向西18米 二、填空题 1. (+7) + (+4) =_________ 2. (-3) + (-7) =_________ 3. (+12) + (-5) =_________ 4. (-11) + (+6) =_________ 5. 6. 0 + (-15) =_________ 7. + =_________ 8. (-2) + (+5) + (-4) + (+3) =_________ 9. 若|a| = 3，|b| = 5，且a、b同号，则a + b =_________ 10. 一只蚂蚁从某点出发，在一条直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，爬行的各段路程依次为（单位：cm）：+5，-3，+10，-8，-6，+12，-10。则蚂蚁最终回到了出发点吗？_________（填“是”或“否”） 三、解答题 1. 计算下列各题： (1)(-15) + (+20) (2) + (3)(+) + (-) (4)(-) + (+) (5)(-3) + (+7) + (-9) + (+8) (6)1.2 + + 2.3 + 2. 已知a = -2，b = +3，c = -5，求a + b + c的值。 3. 某仓库原有货物50箱，其中上午运进30箱，下午又运进-15箱（运进为正，运出为负），则现在仓库共有多少箱货物？ 4. 某潜水员先潜入水下40米，然后又上升18米，此时潜水员在水下多少米处？（规定水面为0米，水下为负） 5. 出租车司机小李某天下午的营运全是在东西走向的人民大道上进行的。如果规定向东为正，向西为负，他这天下午行车里程（单位：千米）如下： +15，-2，+5，-1，+10，-3，-2，+12，+4，-5，+6 (1) 将最后一名乘客送到目的地时，小李距下午出车时的出发点多远？在出发点的什么方向？ (2) 若汽车耗油量为0.1升/千米，这天下午小李共耗油多少升？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1.1 有理数的加法 学习目标 1. 理解有理数加法的意义，掌握有理数加法法则，并能准确地进行有理数的加法运算。 2. 经历探索有理数加法法则的过程，理解有理数加法中“符号”和“绝对值”的确定方法，培养观察、归纳、概括的能力。 3. 能运用有理数加法解决简单的实际问题，体会数学与生活的联系。 4. 掌握有理数加法的运算律（交换律和结合律），并能运用运算律简化有理数的加法运算。 知识点讲解 一、有理数加法的意义 有理数的加法与小学学过的正数加法类似，是将两个或多个有理数合并成一个有理数的运算。但由于引入了负数，有理数的加法比正数加法更具一般性，需要特别注意符号的处理。 二、有理数加法法则 1. 同号两数相加：取相同的符号，并把绝对值相加。 · 若两个加数都是正数，例如(+3) + (+5)，结果为正，绝对值相加3 + 5 = 8，所以(+3) + (+5) = +8。 · 若两个加数都是负数，例如(-3) + (-5)，结果为负，绝对值相加3 + 5 = 8，所以(-3) + (-5) = -8。 · 用字母表示（设a > 0, b > 0）： · (+a) + (+b) = +(a + b) · (-a) + (-b) = -(a + b) 2. 异号两数相加：绝对值相等时和为0（互为相反数的两个数相加得0）；绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 · 绝对值相等（互为相反数）：例如(+3) + (-3) = 0。 · 绝对值不相等： · 正数的绝对值较大：例如(+5) + (-3)，正数绝对值5大于负数绝对值3，结果为正，用5 - 3 = 2，所以(+5) + (-3) = +2。 · 负数的绝对值较大：例如(+3) + (-5)，负数绝对值5大于正数绝对值3，结果为负，用5 - 3 = 2，所以(+3) + (-5) = -2。 · 用字母表示（设a > 0, b > 0）： · 若a = b，则(+a) + (-b) = 0。 · 若a > b，则(+a) + (-b) = +(a - b)，(-a) + (+b) = -(a - b)。 · 若a < b，则(+a) + (-b) = -(b - a)，(-a) + (+b) = +(b - a)。 3. 一个数同0相加，仍得这个数。 · 例如：0 + (+5) = +5，(-3) + 0 = -3，0 + 0 = 0。 三、有理数加法的一般步骤 1. 确定和的符号：根据两个加数的符号，按照加法法则确定结果的符号。 2. 计算和的绝对值：根据两个加数的符号关系，确定是将绝对值相加还是相减。 3. 写出结果：将确定的符号和计算得到的绝对值组合起来。 四、有理数加法的运算律 1. 加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。 · 用字母表示：a + b = b + a 2. 加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。 · 用字母表示：(a + b) + c = a + (b + c) 运算律的作用：运用加法交换律和结合律，可以使一些有理数的加法运算变得简便。例如，将互为相反数的两个数结合相加得0；将同号的数结合相加；将能凑成整十、整百的数结合相加等。 五、有理数加法在生活中的应用 有理数的加法在生活中有着广泛的应用，例如： · 温度的上升与下降（零上温度用正数表示，零下温度用负数表示）。 · 海拔高度的变化（高于海平面用正数表示，低于海平面用负数表示）。 · 财务的收入与支出（收入用正数表示，支出用负数表示）。 · 向东、向西（或其他相反方向）行走的路程等。 在解决实际问题时，关键是要确定正方向（或规定哪种意义为正），并用正负数表示相应的量，然后根据题意列出加法算式进行计算。 例题解析 例1：计算下列各题 (1)(+8) + (+5) 解： (+8) + (+5) = +（同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加） = +(8 + 5) = +13 = 13 解析：两个加数都是正数（同号），所以和的符号为正，绝对值为两个加数绝对值的和，即8 + 5 = 13，结果为13。 (2)(-8) + (-5) 解： (-8) + (-5) = -（同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加） = -(8 + 5) = -13 解析：两个加数都是负数（同号），所以和的符号为负，绝对值为两个加数绝对值的和，即8 + 5 = 13，结果为-13。 例2：计算下列各题 (1)(+8) + (-5) 解： (+8) + (-5) = +（异号两数相加，正数的绝对值较大，取正号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值） = +(8 - 5) = +3 = 3 解析：两个加数异号，正数8的绝对值8大于负数-5的绝对值5，所以和的符号为正，绝对值为8 - 5 = 3，结果为3。 (2)(+5) + (-8) 解： (+5) + (-8) = -（异号两数相加，负数的绝对值较大，取负号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值） = -(8 - 5) = -3 解析：两个加数异号，负数-8的绝对值8大于正数5的绝对值5，所以和的符号为负，绝对值为8 - 5 = 3，结果为-3。 (3)(-3) + (+3) 解： (-3) + (+3) = 0（互为相反数的两个数相加得0） 解析：-3和+3是互为相反数，根据法则，它们的和为0。 例3：计算(-12) + 0 解： (-12) + 0 = -12（一个数同0相加，仍得这个数） 解析：任何数与0相加，结果还是这个数本身，所以-12 + 0 = -12。 例4：一天早晨的气温是-5℃，中午上升了10℃，中午的气温是多少摄氏度？ 解： 早晨气温是-5℃，中午上升了10℃，“上升”用正数表示。 所以中午的气温为：(-5) + (+10) = +（异号两数相加，正数的绝对值较大，取正号，用较大绝对值减去较小绝对值） = +(10 - 5) = +5 = 5℃ 答：中午的气温是5℃。 解析：本题考查有理数加法在温度变化中的应用。将早晨气温记为-5，上升的温度记为+10，两者相加即为中午的气温。 例5：运用加法运算律计算下列各题 (1)(+26) + (-18) + 5 + (-16) 解： (+26) + (-18) + 5 + (-16) = [(+26) + 5] + [(-18) + (-16)]（加法交换律和结合律，将正数结合，负数结合） = (+31) + (-34)（分别计算括号内的和） = -(34 - 31)（异号两数相加，负数绝对值大，取负号，用大绝对值减小绝对值） = -3 解析：观察算式中各数的特点，发现+26和+5都是正数，-18和-16都是负数。利用加法交换律和结合律将它们分别结合起来相加，可以使计算简便。先算26 + 5 = 31，再算-18 + (-16) = -34，最后算31 + (-34) = -3。 (2) + + + + 解： + + + + = [ + ] + [ + ] + （加法交换律和结合律，将能凑整的小数结合） = (-4) + (-7) + 7.3（分别计算括号内的和：-1.75 -2.25 = -4；1.5 -8.5 = -7） = [(-4) + (-7)] + 7.3（先将前两个负数相加） = (-11) + 7.3 = -（异号两数相加，负数绝对值大） = -3.7 解析：本题中，-1.75与-2.25相加可得整数-4，+1.5与-8.5相加可得-7。利用加法运算律将它们优先结合，可以简化计算过程。 巩固练习 一、选择题 (每小题只有一个正确答案) 1. 计算(-3) + (-9)的结果是（ ） A.6 B.-6 C.12 D.-12 2. 下列计算正确的是（ ） A.(+5) + (-6) = 1 B.(-5) + 0 = 5 C.(-2) + (+3) = -1 D.(-10) + (+10) = 0 3. 两个有理数的和为正数，则这两个数（ ） A. 都是正数 B. 一个正数，一个负数，且正数的绝对值较大 C. 至少有一个正数 D. 无法确定 4. 运用加法运算律计算(-2) + (+3) + (+2) + (-4)最简便的方法是（ ） A.[(-2) + (+3)] + [(+2) + (-4)] B.[(-2) + (+2)] + [(+3) + (-4)] C.[(-2) + (-4)] + [(+3) + (+2)] D.(-2) + [(+3) + (+2)] + (-4) 5. 小明在一条东西走向的跑道上，先走了+10米，又走了-8米，他现在的位置相对于出发点（ ） A. 向东2米 B. 向西2米 C. 向东18米 D. 向西18米 二、填空题 1. (+7) + (+4) =_________ 2. (-3) + (-7) =_________ 3. (+12) + (-5) =_________ 4. (-11) + (+6) =_________ 5. 6. 0 + (-15) =_________ 7. + =_________ 8. (-2) + (+5) + (-4) + (+3) =_________ 9. 若|a| = 3，|b| = 5，且a、b同号，则a + b =_________ 10. 一只蚂蚁从某点出发，在一条直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，爬行的各段路程依次为（单位：cm）：+5，-3，+10，-8，-6，+12，-10。则蚂蚁最终回到了出发点吗？_________（填“是”或“否”） 三、解答题 1. 计算下列各题： (1)(-15) + (+20) (2) + (3)(+) + (-) (4)(-) + (+) (5)(-3) + (+7) + (-9) + (+8) (6)1.2 + + 2.3 + 2. 已知a = -2，b = +3，c = -5，求a + b + c的值。 3. 某仓库原有货物50箱，其中上午运进30箱，下午又运进-15箱（运进为正，运出为负），则现在仓库共有多少箱货物？ 4. 某潜水员先潜入水下40米，然后又上升18米，此时潜水员在水下多少米处？（规定水面为0米，水下为负） 5. 出租车司机小李某天下午的营运全是在东西走向的人民大道上进行的。如果规定向东为正，向西为负，他这天下午行车里程（单位：千米）如下： +15，-2，+5，-1，+10，-3，-2，+12，+4，-5，+6 (1) 将最后一名乘客送到目的地时，小李距下午出车时的出发点多远？在出发点的什么方向？ (2) 若汽车耗油量为0.1升/千米，这天下午小李共耗油多少升？ 参考答案与解析 一、选择题 1. D 解析：(-3) + (-9) = -(3 + 9) = -12，同号两数相加，取负号，绝对值相加。 2. D 解析：A.(+5) + (-6) = -(6 - 5) = -1，故A错误； B.(-5) + 0 = -5，故B错误； C.(-2) + (+3) = +(3 - 2) = 1，故C错误； D.(-10) + (+10) = 0，互为相反数相加得0，故D正确。 3. C 解析：A选项，两个正数的和为正数，但两个有理数的和为正数不一定都是正数，例如(-1) + 3 = 2，故A错误； B选项，一个正数一个负数且正数绝对值大，和为正数，但也可能两个都是正数，故B不全面； C选项，至少有一个正数，正确，如果两个都是负数或零，和不可能为正数； D选项，C正确，故D错误。 4. B 解析：(-2) + (+3) + (+2) + (-4) = [(-2) + (+2)] + [(+3) + (-4)] = 0 + (-1) = -1，将互为相反数的-2和+2结合，计算简便，故B选项最简便。 5. A 解析：向东为正，先走+10米，再走-8米（向西走8米）。 位置为(+10) + (-8) = +(10 - 8) = +2米，即向东2米，故选A。 二、填空题 1. 11 解析：(+7) + (+4) = +(7 + 4) = 11 2. -10 解析：(-3) + (-7) = -(3 + 7) = -10 3. 7 解析：(+12) + (-5) = +(12 - 5) = 7 4. -5 解析：(-11) + (+6) = -(11 - 6) = -5 5. 9 解析：因为(-9) + 9 = 0，所以括号里填9（互为相反数的两数和为0）。 6. -15 解析：0 + (-15) = -15 7. 0 解析： + = 0（互为相反数的两数和为0）。 8. 2 解析：(-2) + (+5) + (-4) + (+3) = [(-2) + (-4)] + [(+5) + (+3)] = (-6) + (+8) = 2 9. 8或-8 解析：|a| = 3，则a = 3或a = -3；|b| = 5，则b = 5或b = -5。 因为a、b同号，所以当a = 3，b = 5时，a + b = 3 + 5 = 8； 当a = -3，b = -5时，a + b = -3 + (-5) = -8。 故a + b = 8或-8。 10. 是 解析：将各段路程相加：(+5) + (-3) + (+10) + (-8) + (-6) + (+12) + (-10) = [5 + 10 + 12] + [(-3) + (-8) + (-6) + (-10)] = 27 + (-27) = 0 蚂蚁最终回到了出发点，故填“是”。 三、解答题 1. (1) 解：(-15) + (+20) = +(20 - 15) = 5 (2) 解： + = - = -3.6 (3) 解：(+) + (-) = (+) + (-) = +( - -) = - (4) 解：(-) + (+) = (-) + (+) = -( - ) = - = -（约分） (5) 解：(-3) + (+7) + (-9) + (+8) = [(-3) + (-9)] + [(+7) + (+8)] = (-12) + 15 = 3 (6) 解：1.2 + + 2.3 + = + [ + ] = 3.5 + (-5) = -1.5 2. 解：已知a = -2，b = +3，c = -5。 a + b + c = (-2) + (+3) + (-5) = [(-2) + (-5)] + (+3) = (-7) + 3 = -4 3. 解：原有货物50箱，上午运进30箱，下午运进-15箱（即运出15箱）。 现在共有货物：50 + 30 + (-15) = 80 + (-15) = 65（箱） 答：现在仓库共有65箱货物。 4. 解：潜入水下40米记为-40米，上升18米记为+18米。 此时潜水员的位置：(-40) + (+18) = -(40 - 18) = -22（米） 答：此时潜水员在水下22米处。 5. 解： (1) 小李距出发点的距离为所有行车里程之和： (+15) + (-2) + (+5) + (-1) + (+10) + (-3) + (-2) + (+12) + (+4) + (-5) + (+6) = 15 - 2 + 5 - 1 + 10 - 3 - 2 + 12 + 4 - 5 + 6 = (15 + 5 + 10 + 12 + 4 + 6) + (-2 - 1 - 3 - 2 - 5) = 52 + (-13) = 39（千米） 结果为正，所以在出发点的东方。 答：小李距下午出车时的出发点39千米，在出发点的东方。 (2) 总耗油量与行驶的总路程有关，总路程是所有行车里程的绝对值之和： |+15| + |-2| + |+5| + |-1| + |+10| + |-3| + |-2| + |+12| + |+4| + |-5| + |+6| = 15 + 2 + 5 + 1 + 10 + 3 + 2 + 12 + 4 + 5 + 6 = 65（千米） 共耗油：65 × 0.1 = 6.5（升） 答：这天下午小李共耗油6.5升。 学科网（北京）股份有限公司 $