13.3三角形的内角与外角讲义2025-2026学年人教版数学八年级上册

13.3三角形的内角与外角 学习目标 1. 理解三角形内角和定理的内容，并能运用该定理解决简单的角度计算问题。 2. 理解三角形外角的定义，掌握三角形外角的两个重要性质，并能运用这些性质进行角度的计算和简单的推理。 3. 经历探索三角形内角和定理和外角性质的过程，体会转化的数学思想，培养逻辑推理能力和初步的几何直观。 4. 在运用数学知识解决问题的过程中，感受数学的严谨性和结论的确定性，激发学习数学的兴趣。 知识点讲解 一、三角形的内角和定理 1. 内容：三角形三个内角的和等于。 2. 符号表示：在中，。 3. 理解：无论三角形的形状、大小如何变化，其三个内角的度数之和始终是固定不变的。这是三角形的一个基本性质。 二、三角形的外角 1. 定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 · 一个三角形有6个外角，但通常每个顶点处取一个外角，因此常说一个三角形有3个外角。 2. 三角形外角的性质： · 性质1：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。 · 性质2：三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。 例题解析 例1 在中，若，，求的度数。 例2 一个三角形的三个内角度数之比为 2:3:4，求这个三角形各个内角的度数。 例3 在中，，，求的外角的度数。 巩固练习 一、选择题 (每小题只有一个正确选项) 1. 三角形的三个内角中，最多有几个钝角？ ( ) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 2. 在中，若，，则的度数为 ( ) A. 50° B. 60° C. 65° D. 70° 3. 一个三角形的一个外角是，与它不相邻的一个内角是，则另一个不相邻的内角是 ( ) A. 50° B. 60° C. 70° D. 120° 4. 在直角三角形中，两个锐角的度数之和是 ( ) A. 45° B. 90° C. 180° D. 不确定 5. 下列说法中，正确的是 ( ) A. 三角形的一个外角等于两个内角的和 B. 三角形的一个外角小于它的一个内角 C. 三角形的一个外角大于与它不相邻的一个内角 D. 三角形的外角和是 二、填空题 1. 在中，，，则度。 2. 三角形的一个内角是，它的一个外角是，则与这个外角不相邻的另一个内角是 ______ 度。 3. 一个等腰三角形的顶角是，则它的一个底角是 ______ 度。 4. 在中，的外角是，，则度。 5. 三角形三个外角的和等于 ______ 度。 三、解答题 1. 已知一个三角形的两个内角分别是和，求第三个内角的度数，并判断这个三角形是什么类型的三角形（按角分）。 2. 在中，，求三个内角的度数，并指出它是什么特殊三角形。 3. 一个三角形的最大内角是最小内角的5倍，另一个内角是最小内角的3倍，求这个三角形各个内角的度数。 学科网（北京）股份有限公司 $ 13.3三角形的内角与外角 学习目标 1. 理解三角形内角和定理的内容，并能运用该定理解决简单的角度计算问题。 2. 理解三角形外角的定义，掌握三角形外角的两个重要性质，并能运用这些性质进行角度的计算和简单的推理。 3. 经历探索三角形内角和定理和外角性质的过程，体会转化的数学思想，培养逻辑推理能力和初步的几何直观。 4. 在运用数学知识解决问题的过程中，感受数学的严谨性和结论的确定性，激发学习数学的兴趣。 知识点讲解 一、三角形的内角和定理 1. 内容：三角形三个内角的和等于。 2. 符号表示：在中，。 3. 理解：无论三角形的形状、大小如何变化，其三个内角的度数之和始终是固定不变的。这是三角形的一个基本性质。 二、三角形的外角 1. 定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 · 一个三角形有6个外角，但通常每个顶点处取一个外角，因此常说一个三角形有3个外角。 2. 三角形外角的性质： · 性质1：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。 · 性质2：三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。 例题解析 例1 在中，若，，求的度数。 分析：直接利用三角形内角和定理，三角形三个内角的和为，已知两个角，求第三个角，用总和减去已知的两个角的度数即可。 解答过程： 因为在中， 已知， 所以 答案：的度数为。 例2 一个三角形的三个内角度数之比为 2:3:4，求这个三角形各个内角的度数。 分析：已知三个内角的度数比，可以设每一份为 x，则三个内角的度数分别为 2x，3x，4x。再根据三角形内角和定理列出方程求解。 解答过程： 设这个三角形的三个内角的度数分别为 2x，3x，4x。 因为三角形内角和为，所以 则 答案：这个三角形三个内角的度数分别为，，。 例3 在中，，，求的外角的度数。 分析：首先可以利用三角形内角和定理求出的度数，然后根据外角与相邻内角互补（和为求出其外角的度数。或者，也可以直接利用三角形外角的性质1，的外角等于。 解答过程： 在中，（三角形内角和定理） 已知， 所以 因为与其外角互补，设的外角为 所以 巩固练习 一、选择题 (每小题只有一个正确选项) 1. 三角形的三个内角中，最多有几个钝角？ ( ) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 2. 在中，若，，则的度数为 ( ) A. 50° B. 60° C. 65° D. 70° 3. 一个三角形的一个外角是，与它不相邻的一个内角是，则另一个不相邻的内角是 ( ) A. 50° B. 60° C. 70° D. 120° 4. 在直角三角形中，两个锐角的度数之和是 ( ) A. 45° B. 90° C. 180° D. 不确定 5. 下列说法中，正确的是 ( ) A. 三角形的一个外角等于两个内角的和 B. 三角形的一个外角小于它的一个内角 C. 三角形的一个外角大于与它不相邻的一个内角 D. 三角形的外角和是 二、填空题 1. 在中，，，则度。 2. 三角形的一个内角是，它的一个外角是，则与这个外角不相邻的另一个内角是 ______ 度。 3. 一个等腰三角形的顶角是，则它的一个底角是 ______ 度。 4. 在中，的外角是，，则度。 5. 三角形三个外角的和等于 ______ 度。 三、解答题 1. 已知一个三角形的两个内角分别是和，求第三个内角的度数，并判断这个三角形是什么类型的三角形（按角分）。 2. 在中，，求三个内角的度数，并指出它是什么特殊三角形。 3. 一个三角形的最大内角是最小内角的5倍，另一个内角是最小内角的3倍，求这个三角形各个内角的度数。 巩固练习答案 一、选择题 1. 答案：B 解析：因为三角形内角和为，钝角是大于小于的角，如果有两个或三个钝角，内角和会超过，所以最多有1个钝角。 2. 答案：C 解析：在中，。已知，，设，则。，，。所以。 3. 答案：A 解析：根据三角形外角性质1，外角等于不相邻的两个内角和。设另一个不相邻内角为 (x)，则，。 4. 答案：B 解析：直角三角形有一个角是，所以两个锐角之和为。 5. 答案：C 解析：A选项错误，应为“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”；B选项错误，三角形的外角可能大于、等于（直角三角形中）或小于（钝角三角形中与钝角相邻的外角）它的一个内角，但“大于与它不相邻的任何一个内角”是正确的；D选项错误，三角形的外角和是。 二、填空题 1.答案：80 解析：。 2.答案：50 解析：已知内角为，外角为。根据外角性质1，外角等于不相邻的两个内角和。设另一个不相邻内角为 (x)，则，。 3.答案：40 解析：等腰三角形两底角相等。顶角是，则两个底角和为，一个底角为。 4.答案：70 解析：的外角是，则。在中，。 5.答案：360 解析：三角形每个顶点处的内角与外角之和为，三个顶点处内外角总和为，内角和为，所以外角和为。 三、解答题 1. 答案：第三个内角为，这个三角形是锐角三角形。 解析：第三个内角的度数为。因为三个内角都小于（，，），所以这个三角形是锐角三角形。 2. 答案：三个内角分别为，，，它是直角三角形。 解析：设，则，。根据三角形内角和定理，，，。所以，，。有一个角是，所以是直角三角形。 3. 答案：这个三角形各个内角的度数分别为，，。 解析：设最小内角的度数为 (x)，则最大内角为 (5x)，另一个内角为 (3x)。根据三角形内角和定理，，，。所以最小内角为，另一个内角为，最大内角为。 学科网（北京）股份有限公司 $