重难点19：破解圆锥曲线定点：圆锥曲线中过定点问题（下）（培优固本提能讲义）

重难点19：破解圆锥曲线定点：圆锥曲线中过定点问题（下） （培优固本提能讲义） 知识网络·核心根基深扎牢 1 实战演练·能力进阶攀高峰 5 题型一、“相交弦”模型过定点之“模型4” 5 题型二、“相交弦”模型过定点之“模型5” 10 题型三、“相交弦”模型过定点之“模型6” 15 题型四、“夹丸子”模型过定点 20 题型五、“手电筒”模型过定点之“动圆”过定点 27 题型精析・方法突破提能力 34 知识网络・核心根基深扎牢 题型归纳 题型1：“相交弦”模型过定点之“变形4”（过定点含垂直与定直线） 若MN过一定点且与圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）交于M和N，过M（或N）作直线的垂线，垂足为H，证明直线HN过定点。 注意：高考中常考的情况如上图，其中一条直线过定点，M（或N）作直线的垂线，垂足为H。或者看作两“定”一垂直一定直线问题1：条件是一定点，一定直线，一垂直，求定点，其中两定点可任意变换证明。 题目特征：直线过定点，M（或N）作直线的垂线。 解题方法（以上图椭圆为例）：MN过一定点(且与椭圆（0）交于M和N，过M（或N）作直线的垂线，垂足为H，证明直线HN过定点。 步骤1：设直线，找根与系数关系：设M，N，设直线， 与椭圆方程（0）联立得出：+，，再得出它们之间的倍数关系（利用非对称韦达定理求） 步骤2：求直线MH方程，找定点：由题H，则直线MH方程为：，令，则，即（1） 步骤3：用+，之间的倍数关系化简（1）中为“加”的关系即可求定点。 题型2：“相交弦”模型过定点之“变形5”（过定点垂直弦中点连线过定点） 若定点的相互垂直的直线AB，DE与圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）分别交于A,B和D,E，取DE的中点为N，AB的中点为M，证明直线MN过定点。 注意：高考中常考的情况如上图，其中一条直线过定点F。或者看作两“定”一垂直一定直线问题2：条件是一定点，两垂直直线，求定点，其中两定点可任意变换证明。 题目特征：直线为中点，AB，DE相互垂直且过定点。 解题方法（以上图椭圆为例）：若定点（t，0）的相互垂直的直线AB，DE与椭圆（0）分别交于A,B和D,E，取DE的中点为N，AB的中点为M，证明直线MN过定点。 步骤1：设直线，找根与系数关系：设直线，与椭圆方程（0）联立得出：+，，利用垂直，，之间斜率的负倒数关系求出+， 步骤2：用中点坐标公式求M，N点：：，，，，（注意，M，N坐标只含一个参数k） 步骤3：写出直线MN方程并化简为点斜式即可求定点。 题型3：“相交弦”模型过定点之“变形6”（过定点的对称直线） 若定点Q的且关于某直线对称的两条直线AQ，BQ与圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）分别交于A,B（两点是错开的），证明直线AB过定点。 注意：高考中常考的情况如上图，对称的两条直线AQ，BQ过定点Q点（在x轴或y轴上）。或者看作两“定”一对称问题：条件是一定点，两对称直线，求定点，其中两定点可任意变换证明（对称直线有时候可能告诉关于直线对称，有时候可能是倾斜角互补或斜率和为0）。 题目特征：直线AQ，BQ过定点且关于某直线对称。 解题方法（以上图椭圆为例）：若定点Q（t，0）的相互对称的直线AQ，BQ与椭圆（0）分别交于A,B（两点是错开的），证明直线AB过定点。 步骤1：设直线，找根与系数关系：设A，B，设直线，与椭圆方程（0）联立得出：+，，+， 步骤2：用点坐标表示AQ，BQ斜率：：，，（注意，M，N坐标只含一个参数k） 步骤3：由对称或斜率和为0化简： 将与代入上式，用根与系数关系进行化简求n的值即可求出定点。 题型4：“夹丸子”模型过定点 过圆锥曲线上一点A的两条直线AB，AD与圆锥曲线交于B,D，且两直线与圆相切（圆心为定点，半径变化），证明直线BD过定点。 注意：高考中常考的情况如上图，两条直线AB，AB过定点A点（椭圆顶点），与圆相切（圆心为定点，半径变化）。 题目特征：定点A在在椭圆上，圆心为定点，半径变化。 解题方法（以上图椭圆为例）：过椭圆（0）上一点A的两条直线AB，AD与圆锥曲线交于B,D，且两直线与圆相切（圆心为定点，半径变化），证明直线BD过定点。 步骤1：设直线，找两直线关系：设直线，直线，用点到直线距离公式求出与关系（圆心到切线距离为圆半径），此关系一般为为定值（或+为定值）“手电筒”模型过定点。 步骤2：设直线，与椭圆联立得。 步骤3：由韦达定理。 步骤4：根据斜率和条件，代入及韦达定理结果，化简得的关系式。 步骤5：代入直线方程，其中即为定点坐标。 注意：斜率是否存在。 题型5：“手电筒”模型过定点之“动圆”过定点 若直线MN交圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）于M、N，以MN为直径的圆过圆锥曲线上某一定点，则直线MN过定点。 题目特征：以MN为直径的圆过圆锥曲线上某一定点，直线定点与圆定点可相互怎么。 解题方法（以椭圆为例）：已知椭圆（0）上一点直线MN交椭圆于M、N，以MN为直径的圆过圆锥曲线上点，证明直线MN过定点。 步骤1：利用圆过定点得出=（直径所对圆周角为直角，斜率之积为），接招利用重难点18中的：“手电筒”模型过定点 步骤2：设直线，与椭圆联立得。 步骤3：由韦达定理。 步骤4：根据斜率和条件，代入及韦达定理结果，化简得的关系式。 步骤5：代入直线方程，其中即为定点坐标。 注意：斜率是否存在。 实战演练・能力进阶攀高峰 题型一、题型1：“相交弦”模型过定点之“变形4” 典例探究 【典型例题】已知椭圆，以的两个焦点与短轴的一个端点为顶点的三角形是等腰直角三角形，且面积为. (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于不同的两点.过作直线的垂线，垂足为.求证：直线过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据条件得到的关系式，解方程组可得结果. （2）设直线的方程为，表示直线的方程，借助韦达定理可得直线过定点. 【详解】（1）由题意得，解得， ∴椭圆E的方程为. （2） 由题意得，直线的斜率存在. 设直线的方程为，点，，则， 由得. 由得 ， ∴，. ∵，∴直线的方程为：， 令，得，即， 当时， ， ∴，故直线过定点. 当时，直线为x轴，过点. 综上，直线过定点. 举一反三 【1-2】已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，过椭圆的左焦点作不与x轴重合的直线MN与椭圆相交于M，N两点，的周长为8，过点M作直线的垂线ME，E为垂足． (1)求椭圆C的标准方程； (2)证明：直线EN经过定点P，并求定点P的坐标． 【答案】(1) (2)证明见解析，定点 【分析】（1）根据椭圆的定义及离心率公式求出，即可得解； （2）设直线MN方程：，，，，联立方程，利用韦达定理求出，，再求出直线EN方程，进而可得出结论. 【详解】（1）的周长为8，，故， ，，故，所以，， 故椭圆的标准方程为； （2）， 设直线MN方程：，，，， 联立方程，得， 所以，， 所以， 又，所以直线EN方程为：， 令，则， 所以直线EN过定点． 【1-2】已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，点P为椭圆C上任意一点，面积最大值为． (1)求椭圆C的方程； (2)过x轴上一点的直线与椭圆交于A，B两点，过A，B分别作直线的垂线，垂足为M，N两点，证明：直线，交于一定点，并求出该定点坐标． 【答案】(1) (2)证明见解析，定点 【分析】（1）由椭圆性质可知，当为短轴端点时，面积最大，结合三角形面积公式计算即可得椭圆方程； （2）当的斜率不存在时，可得直线与的交点坐标，当的斜率存在时，设出直线方程，联立直线方程与椭圆方程，可得与交点有关的韦达定理，可得直线与的方程，联立两直线方程，结合韦达定理可得，将代入，可得，即可得证. 【详解】（1）设椭圆半焦距为，∵离心率为，∴． 由椭圆性质可知，当为短轴端点时，面积最大． ∴，∴． 又，解得，，． ∴椭圆的方程为：； （2）证明：设与轴交于点，则， 当的斜率为0时，显然不适合题意； 当的斜率不存在时，直线为， ∵四边形为矩形，∴，交于线段的中点． 当直线的斜率存在且不为0时，设，， 直线为：，联立， 得， ， ∴，， 设，，则，， 联立，得， 将，代入整理得， 将代入，得 ． 综上，直线、交于定点． 【1-3】已知分别为椭圆的左、右焦点，过点且与轴不重合的直线与椭圆交于两点，的周长为8. (1)若的面积为，求直线的方程； (2)过两点分别作直线的垂线，垂足分别是，证明：直线与交于定点. 【答案】(1)或； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据给定条件，求出椭圆的方程，设出直线的方程，与椭圆的方程联立求解作答. （2）利用特殊位置探究直线与交点坐标，再就一般情况结合向量共线推理作答. 【详解】（1）因的周长为8，由椭圆定义得，即，而半焦距，又，则，椭圆的方程为， 依题意，设直线的方程为，由消去x并整理得， 设，，则，， ， 因此，解得， 所以直线的方程为或. （2）由（1）知，，则，，设直线与交点为， 则，， 而，，则，， 两式相加得：，而， 则，因此，两式相减得： ，而，则，即， 所以直线与交于定点. 题型二、题型2：“相交弦”模型过定点之“变形5” 典例探究 【典型例题】已知点，，动点满足直线与的斜率之积为，记动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)过点与曲线相交的两条线段和相互垂直（斜率存在，且在曲线上），、分别是和的中点．求证：直线过定点． 【答案】(1)（） (2)证明见解析 【分析】（1）设，根据斜率之积为列式整理即可； （2）设直线的方程为，与椭圆方程联立，利用韦达定理求出坐标，求出直线即可得定点. 【详解】（1）设，易得，直线的斜率为，直线的斜率为， 则， 整理得，则曲线方程为（）； （2）由题意可设直线的方程为（），，，， 因为分别是的中点，所以，， ，， 因为在椭圆上， 所以，由①－②，得， 即，于是有， 所以， ，解得．． ，将上式点坐标中的换成， 同理可得． ①当直线不垂直于轴时，直线的斜率， 其方程，化简得， 直线过定点． ②当直线垂直于轴时，，此时，，直线也过定点． 综上所述，直线过定点． 举一反三 【2-1】双曲线，过点P（5，0）的直线AB和CD相互垂直（斜率存在），M、N分别是线段AB和线段CD的中点．求证：直线MN过定点． 【答案】证明见解析 【分析】设直线为，利用点差法，求得，联立方程组，求得点，求得直线的方程，结合直线方程的形式，即可求解. 【详解】设直线为， ， 可得且， 由，，两式相减得到，即， 又由，解得，即， 当时，将上式M点坐标中的换成，同理可得． ①当直线不垂直于x轴时，直线的斜率， 其方程，化简得， 此时直线过定点． ②当直线垂直于x轴时，，此时，直线MN也过定点． 综上所述，直线MN过定点． 【2-2】椭圆，过点的直线和相互垂直（斜率存在），分别是和的中点．求证：直线过定点． 【答案】证明见解析 【分析】根据已知条件及中点坐标公式，利用点差法得出斜率的关系及直线方程联立， 分类讨论，结合直线的点斜式和斜截式方程即可求解. 【详解】由题意可知，设AB直线为，，,则 因为分别是的中点，所以， 因为在椭圆上， 所以，由，得，即 ，于是有， 所以， ，解得，∴． （1）当时，点即是点，此时，直线MN为轴． （2）当时，将上式点坐标中的换成，同理可得． ①当直线MN不垂直于轴时，直线MN的斜率， 其方程，化简得， ∴直线MN过定点． ②当直线MN垂直于轴时，，此时，，直线MN也过定点． 综上所述，直线MN过定点． 【2-3】抛物线，过点（2，0）的直线AC和BD相互垂直（斜率均存在），M、N分别是AC和BD的中点．求证：直线MN过定点． 【答案】证明见解析 【分析】设直线AC、BD方程，分别和抛物线联立化为y的一元二次方程， 用韦达定理写出两根之和并计算中点坐标，即M、N的坐标. 然后求出M、N的斜率，点斜式写出直线MN的方程，化简得定点坐标. 【详解】由题意可得，这两条直线的斜率均存在，且不为0， 设， 由 所以 ，所以 ， 所以 由 所以 ， 所以 故直线MN方程为， 故直线MN过定点（4，0）． 题型三、“相交弦”模型过定点之“变形6” 典例探究 【典型例题】如图，已知椭圆，不经过右焦点的直线交椭圆于，两点．若轴上任意一点到直线，的距离相等，求证：直线过定点．    【答案】证明见解析 【分析】根据题意联立得，利用直线斜率互为相反数即可求解. 【详解】联立得， 设，，则，， 由题意得直线，的倾斜角互补，即， 所以， 即 ，解得， 所以直线的方程为， 故直线恒过定点． 举一反三 【3-1】已知抛物线的焦点为，是上一点，且.椭圆的左、右顶点分别为A，B，右焦点为，是上一点. (1)求，的方程； (2)已知为上的一点（异于A，B两点），直线，分别与直线相交于P，Q两点，求的最小值； (3)已知直线与交于M，N两点，直线和的斜率分别为，，且，证明:直线过定点，并求出该定点的坐标. 【答案】(1)，的方程为 (2)6. (3)证明见解析，定点. 【分析】（1）根据抛物线的定义求出抛物线的标准方程，写出焦点，根据焦点坐标和椭圆上一点，求出椭圆标准方程即可； （2）根据圆锥曲线和直线的位置关系，设出坐标，联立方程组，根据韦达定理，表示出线段的长度，根据方程组有解情况下判别式的范围，求出参数范围，求得线段最小值； （3）根据圆锥曲线和直线的位置关系，解决直线过定点的方法，联立方程组，根据韦达定理，证明直线过定点. 【详解】（1）因为，且，所以，解得， 所以抛物线，， 设的半焦距为，则由题意得解得 所以的方程为. （2） 设，，， 因为A，R，P三点共线，所以， 又，，所以， 所以，同理， 所以. 因为点在，所以，所以， 所以， 令，则， 代入并整理，得， 所以， 解得，所以，即的最小值为6. （3） 设，， 联立消去并整理，得， 所以，化简得， 由韦达定理得，， 所以， 此时，即， 因为，，所以， 所以，因为，所以， 所以直线过定点. 【3-2】已知是椭圆 的右焦点，点在上，轴，直线与轴不重合，与交于、两点，. (1)求的方程； (2)证明：过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据给定条件，列式求出即可. （2）设出直线的方程，与方程联立，利用韦达定理及斜率坐标公式计算推理即得. 【详解】（1）依题意，，解得，， 所以的方程为. （2）点，显然的斜率存在，设的方程为，， 由消去整理，得 由直线与椭圆交于、两点，得 ， 则，由，得直线的斜率互为相反数， 即， 因此，整理得， 则，化简得， 所以直线的方程为 ，即过定点. 【3-3】已知离心率为的椭圆的右焦点为，点为椭圆上第一象限内的一点，满足垂直于轴，且. (1)求椭圆的方程； (2)直线的斜率存在，交椭圆于两点，三点不共线，且直线和直线关于直线对称，证明：直线过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得椭圆的方程. （2）设直线的方程为并与椭圆方程联立，化简写出根与系数，由计算得到，进而求得定点坐标. 【详解】（1）因为椭圆的离心率为，所以，点在椭圆上， 代入椭圆方程，有，解得， 且，可得 所以椭圆的方程为. （2）设直线的方程为，由 消去，整理得， 因为直线交椭圆于两点，所以， 设，所以， 因为直线和直线关于直线对称， 所以， 所以， 所以， 解得. 所以直线的方程为， 所以直线过定点. 题型四、“夹丸子”模型过定点 典例探究 【典型例题】已知分别为椭圆的左右焦点，分别为上下顶点，为上的点． (1)若点的坐标为，求的面积； (2)求的取值范围； (3)如图，过点作圆的两条切线分别与椭圆相交于点（不同于点），当变化时，试问直线是否过某个定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)是， 【分析】（1）由点在椭圆上，求得，再由面积公式即可求解； （2）设，得到，结合模长公式，通过配方即可求解； （3）设切线方程为,则,即.设两切线的斜率分别为,则是上述方程的两根,根据韦达定理可得:,结合已知即可求得答案. 【详解】（1）由题意知，又， 则的面积为． （2）设，则， 又，则， ∴ ， 则当时，取到最大值，当时，取到最小值2， 则的取值范围为． （3）设 过点切线方程为，则，即， 设两切线的斜率为， 则是上述方程的两根，∴， 由，得：， ∴， 同理可得：， ∴， 于是直线方程为， 令，得， 故直线过定点． 举一反三 【4-1】已知点为椭圆的右顶点，圆，过点作的两条切线分别与椭圆交于两点（不同于点）. (1)当变化时，直线的斜率乘积是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由； (2)给定一个，椭圆上的点到直线的距离的最大值为，当变化时，求的最大值，并求出此时的值. 【答案】(1)是，定值为 (2)最大值为， 【分析】（1）根据点到直线的距离公式可得为方程的两个根，即可利用韦达定理求解， （2）联立直线与椭圆方程得韦达定理，即可由点斜式与直线过定点的求法求得直线过定点，进而利用据两点距离，结合二次函数的性质求解有最大值根据两直线垂直即可分类讨论即可得解. 【详解】（1）椭圆：的右顶点，设直线的斜率分别为， 则直线的方程为，直线的方程为， 由直线与圆相切知，圆心到直线的距离， 整理得，同理可得， 则为方程的两个根，所以， 即直线的斜率乘积为定值1. （2）设， 联立，得， 则，进一步可求得，同理得， 直线的斜率 ， 则直线的方程为， 令，则， 所以直线过定点， 设椭圆上任意一点，则点到点的距离为 ， 当时，有最大值， 取，则直线的斜率为，要使最大， 则此时由直线和直线垂直， 可得直线的斜率，解得， 取，则直线的斜率为， 此时由直线和直线垂直， 可得直线的斜率，解得，舍去. 所以椭圆上存在点，当时，的最大值为. 【4-2】已知点在椭圆上，椭圆C的左右焦点分别为，，的面积为. (1)求椭圆C的方程； (2)设点A，B在椭圆C上，直线PA，PB均与圆相切，记直线PA，PB的斜率分别为，. （i）证明：； （ii）证明：直线AB过定点. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【分析】（1）利用，结合三角形的面积公式，求出，即可求椭圆的方程. (2) （i）设直线的方程为，直线的方程为，由题意可知，可得是方程的两根，利用韦达定理即可证明. （ii）设直线的方程为，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合，可得与的关系式，即可证明直线过定点. 【详解】（1）解：由题知，，的面积等于， 所以，解得，，所以，椭圆C的方程为. （2）（i）设直线PA的方程为， 直线PB的方程为，由题知， 所以，所以， 同理，， 所以，是方程的两根，所以. （ii）设，，设直线AB的方程为， 将代入得， 所以，① ，② 所以，③ ，④ 又因为，⑤ 将①②③④代入⑤，化简得， 所以，所以， 若，则直线，此时AB过点P，舍去. 若，则直线，此时AB恒过点， 所以直线AB过定点. 【4-3】已知点在椭圆C：（）上，椭圆C的左､右焦点分别为F1，F2，的面积为. (1)求椭圆C的方程； (2)设点A，B在椭圆C上，直线PA，PB均与圆O：（）相切，试判断直线AB是否过定点，并证明你的结论. 【答案】(1) (2)过定点，证明见解析 【分析】（1）结合题意，可得关于的方程，解之可得椭圆C的方程； （2）先由直线与圆相切可得，再联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理分别求出，，，，代入可得的关系式，进而可得直线AB过定点. 【详解】（1）由题知，，的面积等于， 所以，解得，所以椭圆的方程为. （2）设直线的方程为，直线的方程为， 由题知，所以， 所以，同理，， 所以是方程的两根，所以. 设，设直线的方程为， 将代入，得， 所以，① ② 所以，③ ，④ 又因为，⑤ 将①②③④代入⑤，化简得， 所以，所以， 若，则直线，此时过点，舍去. 若，则直线，此时恒过点， 所以直线过定点. 题型五、“手电筒”模型过定点之“动圆”过定点 3”（已知一直线过定点与对称点） 典例探究 【典型例题】已知椭圆C : , 经过点P，离心率是． （1）求椭圆C的方程； （2）设直线与椭圆交于两点，且以为直径的圆过椭圆右顶点，求证：直线l恒过定点． 【答案】（1）； （2）详见解析； 【详解】试题分析：（1）由椭圆过点P 得，由离心率是得,另外结合列方程组即可确定 的值从而得到椭圆C的方程； （2）设，，直线的方程为 ，或，将直线方程与椭圆方程联立消去一个变量，得到关于 或的一元二次方程，结合一元二次方程根的判别式与韦达定理以及平面向量的数量积确定的关系，从而找出定点坐标．注意不论直线的方程设为哪一种形式都要先考察它与坐标轴平行的特殊情况． 试题解析：解：（1）由，解得 ， 所以椭圆C的方程是 ． ． 5分 （2）方法一 （1）由题意可知，直线的斜率为0时，不合题意． （2)不妨设直线的方程为 ． 由 消去得． 7分 设，，则有 ①, ② 8分 因为以为直径的圆过点，所以． 由，得． 将代入上式， 得． ③ 12分 将①②代入③，得 ， 解得或（舍）． 综上，直线经过定点 14分 方法二 证明： （1）当不存在时，易得此直线恒过点． 7分 （2）当存在时．设直线，，，． 由，可得． ① ．② 9分 由题意可知 , 可得 ． 10分 整理得 ③ 把①②代入③整理得 由题意可知 解得 举一反三 【5-1】已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知直线交椭圆于不同的两点和，若直线的斜率为1，且以为直径的圆经过椭圆的右顶点，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）由椭圆的离心率及过点，结合，列方程求解即可. （2）设直线l的方程为，与椭圆方程联立，韦达定理，由题意，结合韦达定理利用数量积的坐标运算求解，即可得解. 【详解】（1）因为椭圆C的离心率为，且过点， 所以，， 又，解得，，则椭圆C的方程. （2）设直线l的方程为， 联立，消去y并整理得，， 由韦达定理得，， 因为以MN为直径的圆经过椭圆C的右顶点，所以， 即， 整理得， 因为，， 所以， 即，解得或， 因为， 所以当或时，满足条件， 则直线的方程为或. 【5-2】已知椭圆C:的离心率为长轴的右端点为. (1)求C的方程； (2)不经过点A的直线与椭圆C分别相交于两点，且以MN为直径的圆过点， ①试证明直线过一定点，并求出此定点； ②从点作垂足为，点写出的最小值（结论不要求证明）. 【答案】(1) (2)①证明见解析，定点为；②. 【分析】（1）根据题意得出关于的方程组，求得，解得求解； （2）①联立方程组得出，根据，得到，结合，列出方程求得，即可求解； ②根据，得到点落在以为直角的圆上，求得圆心坐标和半径，结合点与圆的最值，即可求解. 【详解】（1）椭圆：的离心率为，长轴的右端点为， 可得，解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）①当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 联立方程组，整理得， 可得， 设，所以， 由题意得，即， 可得 ， 所以，解得或， 当时，直线方程为，此时过，不符合题意（舍去）； 当时，直线方程为，此时过，符合题意， 当直线的斜率不存在时，设直线，根据对称性，不妨设的坐标分别为， 于是，解得，直线过点， 综上可得，直线过定点. ②由题意，过点作垂足为，点， 如图所示，点落在以为直径的圆上，且圆心坐标为，半径为， 则，所以的最小值为. 【5-3】已知双曲线的渐近线为，双曲线的左顶点为，直线与双曲线C相交于A，B（异于点P）两点． (1)求双曲线C的方程； (2)若的中点为，求直线l的方程； (3)若以为直径的圆恒过点P，试判断直线l是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)过定点，定点坐标为． 【分析】（1）根据给定条件，求出渐近线方程，进而求出即可. （2）联立直线与双曲线方程，利用韦达定理结合中点坐标公式求解. （3）利用韦达定理及数量积的坐标表示求出的关系即可得解. 【详解】（1）双曲线的渐近线为，依题意，， 而双曲线C的左顶点为，则， 所以双曲线的方程为． （2）由（1）知，双曲线的方程为，设， 由消去得，， ，且， ，由为的中点，得，解得，满足， 所以直线l的方程为，即. （3）由（2）知，．， 则 ，由以为直径的圆恒过点P，得， 于是，解得或， 当时，直线过，不符合题意； 当时，直线过定点， 所以直线l过定点，该定点坐标为.    题型精析・方法突破提能力 【突破提升训练・1】已知椭圆C：，，是其左、右焦点，为椭圆C上的一点，下列结论正确的是（    ） A．满足是直角三角形的点有四个 B．直线l为椭圆C在P点处的切线，过作于，则可能为4 C．过点作圆M：的一条切线，交椭圆C于另一点Q，（O为坐标原点）则 D．过点作圆M：的两条切线，分别交椭圆C于E，H两点，则直线EH过定点 【答案】BC 【分析】通过画出图像即可判断A项，分情况求出焦半径的范围，即可对B项判断；设出过点的切线方程并与椭圆方程联立及结合韦达定理即可对C、D项判断； 【详解】∵椭圆的标准方程为：，所以，. 对A：如下图所示， 当点在对应的，，， 个位置时，均为直角三角形， 当点在对应的， 个位置时，易得均为直角三角形， 所以共有个点使为直角三角形，故A错误； 对B：当为椭圆左顶点时，与重合，此时； 当为右顶点时，与重合，此时， 故存在点，使可能为.故B正确. 对C：设切线方程为：，即， 由，得到. 将代入椭圆：，得： ，整理：. 设，则，得. 因为 ，所以.故C正确； 对D：设切线方程为：，即， 由得到， 当时，又因为，即，此时，，，得：， 当时为另一条切线，所以得， 所以直线的方程为，即， 此时点不在直线上，故D项错误. 故选：BC. 【突破提升训练・2】已知点是椭圆C：（）的左焦点，且椭圆C经过点．过点作不与x轴重合的直线与椭圆C相交于M，N两点，过点M作直线l：的垂线，垂足为E． (1)求椭圆C的标准方程； (2)求证：直线过定点，并求定点的坐标． 【答案】(1) (2)证明见解析；过定点. 【分析】（1）由，解方程组可得答案； （2）设直线为，，，，联立直线与椭圆方程结合韦达定理可得直线方程，令可得答案. 【详解】（1）由题意知，所以，而， 故椭圆的标准方程为． （2）由题意，设直线：，，，， 联立，整理得，显然恒成立， 则，，易知：， 又，所以直线：， 令，则． 所以直线过定点． 7．已知椭圆的焦点在轴上，且经过点，左顶点为，右焦点为． (1)求椭圆的离心率和的面积； (2)已知直线与椭圆交于，两点，过点作直线的垂线，垂足为，判断直线是否过定点？若是，求出该定点：若不是，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)存在实数，使得直线经过轴上定点. 【分析】（1）由椭圆经过点，代入椭圆方程求得，结合，解得的值，进而求得离心率和的面积； （2）根据题意直线的方程为和，根据直线的方程，结合题意得到，求得，进而证明存在实数，使得直线经过轴上定点，即可得到答案. 【详解】（1）解：由题意，椭圆经过点， 可得，解得，即椭圆， 因为，即，所以椭圆的离心率为， 又由左顶点为，右焦点为，所以， 所以的面积为. （2）解：设过点作直线的垂线的方程为， 由点，，可得直线的方程为， 当时，直线的方程为，交轴于点， 当时，直线的方程为， 此时交轴于点， 若直线经过轴上的定点，则，解得，直线交轴于点， 下面证明存在实数，使得直线经过轴上定点， 联立方程组，整理得， 设，则， 设点，所以的方程为， 令，可得， 因为，所以， 所以直线经过定点， 综上可得，存在实数，使得直线经过轴上定点. 【突破提升训练・3】已知双曲线的左､右焦点分别是，并且经过点. (1)求的方程； (2)过点的直线交双曲线的右支于两点（点在第一象限），过点作直线的垂线，垂足为. （i）求证：直线经过定点； （ii）记的面积为，求的取值范围. 【答案】(1)； (2)（i）证明见解析；（ii） 【分析】（1）根据给定条件，求出即可. （2）（i）设出直线方程，与双曲线的方程联立，利用韦达定理及直线方程计算推理得证；（ii）由（i）求出的函数关系，再结合函数单调性求出范围. 【详解】（1）依题意，双曲线半焦距，则，解得， 所以双曲线的方程为. （2）（i）设，则， 由消去得， 则，解得，， 直线的方程为，即， 而 ，因此直线的方程为， 所以直线经过定点. 或令，得 ， 所以直线经过定点. （ii）由（i）知， ， 而，令， 因此在上单调递增，则， 所以的取值范围是.    【突破提升训练・4】已知双曲线的图象经过点，其中一条渐近线方程为. (1)求双曲线的标准方程； (2)过点作垂直于轴的直线，过点作直线与双曲线右支交于、两点，过点作的垂线，垂足为点.证明：直线过定点，并求出该定点的坐标. 【答案】(1) (2)证明见解析，定点坐标为 【分析】（1）根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得出双曲线的标准方程； （2）设直线的方程为，设点、，将该直线方程与双曲线方程联立，列出韦达定理，由对称性知直线过轴上的定点，由结合韦达定理可求出的值，即可得出定点的坐标. 【详解】（1）由题意可得，解得，因此，双曲线的标准方程为. （2）若直线与轴重合，则该直线与双曲线交于两个顶点，不合乎题意. 设直线的方程为，设点、， 联立可得， 由题意可得， 由韦达定理可得，， 易知点，由对称性知直线过轴上的定点， ，， 由题意可知，即， 可得，解得， 因此，直线过定点，且定点坐标为. 【突破提升训练・5】已知，动点满足与的斜率之积为定值. (1)求动点的轨迹的方程； (2)过点的直线与曲线交于 两点，且均在轴右侧，过点 作直线的垂线，垂足为. （i）求证：直线过定点； （ii）求面积的最小值. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【分析】（1）设动点的坐标，由题意列式并化简，即可得答案； （2）（i）设直线方程，联立双曲线方程，可得根与系数的关系，求出m的范围，利用直线BD的方程求出其与x轴交点坐标的表达式，化简即可证明结论； （ii）结合根与系数的关系式，求出面积的表达式，利用换元，并结合函数的单调性，即可求得答案. 【详解】（1）设动点的坐标为，由动点 满足与的斜率之积为定值， 得，即， 故动点的轨迹的方程为； （2）（i）证明：设，联立， 得， 设，    结合题意有， 解得，且， 又直线BD的方程为， 令，则 ， 故直线过定点； （ii）由题意知， 故的面积为 ， 令，则， 则， 由于在上单调递减，故在上单调递增， 故当，即时，面积取最小值. 【突破提升训练・6】双曲线的左、右焦点分别为，过作与轴垂直的直线交双曲线于两点，的面积为12，抛物线以双曲线的右顶点为焦点.    (1)求抛物线的方程； (2)如图，点为抛物线的准线上一点，过点作轴的垂线交抛物线于点，连接并延长交抛物线于点，求证：直线过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设，令，代入的方程得，结合三角形的面积求出，即可得出，从而得解； （2）由（1）知，可得的坐标，直线的方程为，代入抛物线的方程可得的坐标，进而得的方程，求解即可. 【详解】（1）   设，则， 令，代入的方程，得. 所以，所以， 故，即. 所以抛物线的方程为. （2）由（1）知，则. 直线的方程为，代入抛物线的方程有. 当时，， 所以直线的方程为，即. 所以此时直线过定点. 当时，直线的方程为，此时仍过点， 综上，直线过定点. 【突破提升训练・7】已知抛物线的焦点为，准线为，是上的动点． (1)当时，求直线的方程； (2)过点作的垂线，垂足为，为坐标原点，直线与的另一个交点为，证明：直线经过定点，并求出该定点的坐标． 【答案】(1)或 (2)直线经过定点 【分析】（1）根据抛物线焦半径公式和抛物线方程可求得点坐标，由此可求得直线方程； （2）设，可得和直线方程，将直线方程与抛物线方程联立可得；当时，可求得直线方程为：，由此可确定定点；当时，直线，恒过；综合两种情况可得结论. 【详解】（1）由抛物线方程知：，准线； 设，则，解得：， ，解得：，则或， 或， 直线的方程为：或，即或. （2）设，即，则，直线， 由得：，解得：或，； 当时，， 直线方程为：，整理可得：， 直线恒过点； 当时，直线方程为，恒过点； 综上所述：直线经过定点. 【突破提升训练・8】已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，M是C上的动点． (1)当时，求直线MF的方程． (2)过点M作l的垂线，垂足为P，O为坐标原点，直线OP与C的另一个交点为N，证明：直线MN经过定点． 【答案】(1)或 (2)证明见解析 【分析】（1）设，由抛物线定义结合可得，后可得直线MF的方程； （2）方法1，设，则，设.分斜率不存在与存在两种情况分析所过定点，当直线斜率存在时，将直线与抛物线方程联立，由结合韦达定理可得，即可得定点；方法2，设，则，将直线OP方程与抛物线方程联立，可得N坐标，后分与两种情况得PN方程，即可得定点. 【详解】（1）（1）由抛物线方程知F（2，0），准线l． 设，则，解得， ∴，解得，则或， ∴或，∴直线MF的方程为或， （2）方法1，设，则，设． 当直线MN的斜率不存在时，， 由题意知，即，可得， 此时直线MN的方程为，直线MN过点（2，0）． 当直线MN的斜率存在时，可设其直线方程为，易知． 由，得关于y的方程，，所以．由得，即，所以，所以，满足，从而直线MN的方程为，此时直线MN过定点 （2，0）．综上所述，直线MN过定点（2，0）． 方法2，设），则，∴直线OP：， 由，得关于x的方程，得或，∴． 当时，， ∴直线MN的方程为，整理可得， ∴直线MN恒过定点（2，0）． 当时，直线MN的方程为，恒过定点（2，0）． 综上所述，直线MN经过定点（2，0）． 【突破提升训练・9】已知椭圆过点，焦距为2. (1)求的方程； (2)若，过作两条相互垂直的直线，与曲线分别交于A，B，C，D四点，设线段，与的中点分别为M，N. （i）证明：直线过定点； （ii）求四边形面积的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）直线过定点；（ii） 【分析】（1）根据椭圆的焦距和椭圆上的一个点，待定系数求出椭圆标准方程. （2）根据椭圆与直线的关系，结合韦达定理，和中点弦的性质，证明直线过定点，并求出四边形面积的范围. 【详解】（1）由题意知椭圆过点，则， 因为，所以，联立方程组，解得，则， 所以椭圆的方程为. （2） （i）当两条直线的斜率都存在时，不妨设：，， 设，，，， 联立直线与椭圆的方程，得，消去整理得， 易知，根据韦达定理可知，， ，， 即.同理， 所以， 所以， 令，得，此时直线恒过. 当两条直线中有一条直线的斜率不存在时，易知，仍经过， 所以直线过定点. （ii）当两条直线中有一条直线的斜率不存在时，易知， 当两条直线的斜率都存在时，不妨设；， 由（i）得：. 同理， 则， 因为， 根据基本不等式，当且仅当时等号成立， 所以，， 综上，四边形面积的取值范围为. 【突破提升训练・10】已知是椭圆的右焦点，过点作两条相互垂直的动直线和，与交于，两点，与交于，两点. (1)若轴，求； (2)设，分别为线段，的中点，求证：直线过定点. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由轴，分别设，，根据，可得，从而可求解. （2）设，，设直线，与联立，分别求出，，再根据，从而可求解. 【详解】（1）由题意知. 因为轴，所以，两点的纵坐标相同，设为. 由椭圆方程，不妨令，， 因为，所以， 整理得，所以. （2）设，. 当与的斜率都存在时，设直线，与联立， 消去，整理得， ，， ， . 同理，用替换，可得. 当时，，两点的横坐标均为，故直线过点. 当时，，即， 此时直线过点. 当或与轴重合时，也与轴重合，此时直线也经过点， 综上可知，直线过定点. 【突破提升训练・11】已知，是双曲线C：的左、右焦点，若点为C上的一点，且，的面积为，双曲线的离心率为. (1)求曲线C的方程； (2)过曲线C左焦点的两条相互垂直的直线分别交双曲线C于和，分别是的中点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标. 【答案】(1) (2)证明见解析， 【分析】（1）利用的面积以及双曲线的离心率求得，从而求得双曲线的方程. （2）设出直线的方程并与双曲线方程联立，由根与系数关系求得两点的坐标，进而求得直线的方程，从而确定定点坐标. 【详解】（1）由点为双曲线的一点，则， 所以， 又，所以， 所以，所以，故而. 又，且，即， 所以曲线的方程为. （2）设直线的方程为：，，，中点 直线的方程为：，，，中点 由与垂直，所以， 联立方程，消去得：， 由题意需满足：， 且， 所以，. 同理：， 当时，， 故而直线为：， 即：，所以直线过定点， 当时，经检验，直线过定点， 当直线与直线，其中一条直线斜率不存在，另一条直线斜率为零时， 直线是轴，过点. 综上所述，直线过定点.      【突破提升训练・12】已知一动圆经过点，且在轴上截得的弦长为4，设动圆圆心的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)过点任意作相互垂直的两条直线，分别交曲线于不同的两点和不同的两点.设线段的中点分别为. ①求证：直线过定点R，并求出定点R的坐标；②求的最小值. 【答案】(1) (2)①证明见解析，；②4 【分析】（1）设圆心坐标，然后根据半径、圆心到直线距离和弦长一半之间的关系列方程化简可得； （2）设直线方程与抛物线方程联立消元，利用韦达定理表示出P、Q坐标，然后考察其方程可得①；用两点间距离公式表示出，通过换元转化为二次函数求解可得. 【详解】（1）设圆心.则半径、圆心到y轴距离和弦长一半满足勾股定理 .化简得： ∴曲线的方程为. （2）①易知直线的斜率存在且不为0，设直线的斜率为， .则直线的方程为. 由消去，得. . ∴.∴. 同理可得.当或时，直线的方程为； 当且时，直线的斜率为. ∴直线的方程为，即. ∴直线过定点R，其坐标为. ②由①，知，， . ∵ (当且仅当或时取等号)， 记. ∴当时，的最小值为16.∴当即或时，的最小值为4. 【突破提升训练・13】已知双曲线的一条渐近线方程为，右焦点为． (1)求C的标准方程； (2)过点F且相互垂直的两条直线和分别与C交于点A，B和点P，Q，记的中点分别为M，N，求证：直线过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意，列出关于的方程，求出它们的值，即可求得答案； （2）考虑直线斜率存在和不存在情况，存在时，设出直线方程，联立双曲线方程求出坐标，表示出直线的方程，推出直线过定点，即可证明结论. 【详解】（1）设双曲线C的半焦距为c， 根据题意得，解得， 所以C的标准方程为； （2）当直线和斜率均存在时， 设直线的方程为，，，中点， 由，消去，得， 则，，， 故； 设直线的方程为且， ，中点， 同理可得， 因为，所以，， 当时，，此时，直线的方程为； 当时，，此时直线MN的斜率， 直线的方程为， 即，此时直线过定点； 当直线和其中一条直线的斜率不存在时，所在直线为x轴，也过点， 综上所述，直线过定点. 【突破提升训练・14】已知椭圆的离心率为．点在椭圆上． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点任作椭圆的两条相互垂直的弦、，设、分别是、的中点，则直线是否过定点？若过，求出该定点坐标；若不过，请说明理由． 【答案】（1）；（2）直线过定点． 【分析】（1）根据椭圆离心率公式，结合点在椭圆上的性质、椭圆之间的关系，得到方程组，解方程组求出，的值，进而可得椭圆的方程． （2）设直线的方程，联立直线与椭圆方程，消去一未知数，得到一个一元二次方程，结合韦达定理、中点坐标公式、直线斜率公式，可得到直线斜率，直线方程，令，即可得出答案． 【详解】（1）由已知得，解得，，所以椭圆的方程为； （2）由题意知直线，的斜率存在且不为0， 设直线的方程为：， 由得， 由，且，所以，， 即，，同理，， 所以， 所以直线的方程为， 由对称性可知定点必在轴上，令，得， 所以直线过定点． 【突破提升训练・15】已知椭圆的离心率为，焦距为2． （1）求的标准方程． （2）过的右焦点F作相互垂直的两条直线，（均不垂直于x轴），交于A，B两点，交 于C，D两点．设线段AB，CD的中点分别为M，N，证明：直线MN过定点． 【答案】（1）；（2）证明见解析． 【解析】（1）由焦点得，由离心率可求得，再由求得后可得椭圆方程； （2）设直线AB的方程为，，，直线方程代入椭圆方程整理后应用韦达定理得，从而得点坐标，同理得点坐标，在直线斜率存在的情况下，求出直线斜率，得直线方程，由直线方程得定点坐标，然后说明斜率不存在时直线也过此定点． 【详解】（1）解：因为离心率，，且， 所以，，， 故的标准方程为． （2）证明：由（1）知． 设直线AB的方程为，，， 联立方程组，消去y得 ， 则，， 所以M的坐标为． 因为，所以CD的斜率为． 将M坐标中的k换为，可得N的坐标为． 当时，设直线MN的斜率为， 则， 所以直线MN的方程为， 即，则直线MN过定点． 当时，直线MN的方程为，也过点． 综上所述，直线MN过定点． 【突破提升训练・16】已知椭圆的离心率为，短轴长为4． (1)求C的标准方程； (2)过C的左焦点F作相互垂直的两条直线，（均不垂直于x轴），交C于A，B两点，交C于C，D两点．设线段AB，CD的中点分别为P，Q，证明：直线PQ恒过x轴上一定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）依题意得到方程组，即可求出、、，从而求出椭圆方程； （2）设直线AB的方程为，，，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，即可得到的坐标，将的坐标中的换为，即可得到的坐标，当时求出直线的方程，即可求出定点的坐标，当时由，即可得解； 【详解】（1）解：因为离心率，，且， 所以，，，故C的标准方程为． （2）解：由（1）知． 设直线AB的方程为，，， 联立方程组，消去y，得， 则，所以，所以的坐标为． 因为，所以CD的斜率为， 将的坐标中的换为，可得． 当，解得，此时直线PQ的方程为，恒过轴上点． 当时，，，所以，直线PQ过定点． 综上所述，直线PQ过定点． 【突破提升训练・17】已知为椭圆的下顶点，，分别为的左、右焦点，，且的短轴长为． (1)求的方程； (2)设为坐标原点，，为上轴同侧的两动点，两条不重合的直线，关于直线对称，直线与轴交于点，求的面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意根据椭圆的定义得到，再根据，即可求出、，从而求出椭圆方程； （2）设，，直线MN的方程，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，依题意可得，即可得到，从而得到直线恒过定点，即可求出面积的最大值； 【详解】（1）解：由椭圆的定义可知，所以， 因为，所以， 由C的短轴长为得，解得， 所以，， 故C的方程为. （2）解：设，， 由（1）知，所以直线过点， 因为两条不重合的直线，关于直线对称， 所以，，且M，N不同时为C左、右顶点． 设直线MN的方程，由，得， 则，， 因为直线，关于直线对称， 所以， 则 ， 所以， 即，因为，所以， 所以直线MN恒过定点，且， 当与C的上顶点或下顶点重合，即时，△OMP的面积取得最大值，即. 【突破提升训练・18】已知椭圆C：的离心率为，且过点，直线l交椭圆C于不同的两点M和N． (1)求椭圆C的标准方程； (2)直线l的斜率为1，且以MN为直径的圆经过椭圆C的右顶点，求直线l的方程； (3)已知点，若点A是椭圆的右顶点，M和N两点都在x轴上方，且．证明直线l过定点，并求出该定点坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)证明见解析， 【分析】（1）由椭圆离心率和椭圆过点，列方程求出即可得出椭圆方程； （2）设直线l的方程为，联立直线方程与椭圆方程，根据根与系数的关系及可得或，即可求出直线l的方程； （3）分析直线斜率是否存在，当直线斜率存在时，联立直线方程与椭圆方程，根据根与系数的关系及可得，即可证明直线过定点. 【详解】（1）因为椭圆C的离心率为，且过点，则，， 又，解得，，所以椭圆C的方程； （2）因为直线l的斜率为1，故设直线l的方程为，设，， 由，消去y整理得， 则，， 因为以MN为直径的圆经过椭圆C的右顶点，则， 所以，即 整理得， 所以， 即，解得或， 因为， 显然当或时，成立，所以直线l的方程为或； （3）当直线l斜率不存在时，直线l与椭圆C交于不同的两点分布在x轴两侧，不合题意． 所以直线l斜率存在，设直线l的方程为．设，， 由得，所以，． 因为，所以，- 即，整理得，化简得， 所以直线l的方程为，所以直线l过定点． 【突破提升训练・19】已知椭圆的左焦点为，离心率为，点是椭圆上一点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若为椭圆上不同于的两点，且直线关于直线对称，求证：直线的斜率为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由题意可得方程组，求出，即可求出椭圆的标准方程； （2）设直线的方程是，，联立椭圆方程由韦达定理可得：，同理可求得，即可求出直线的斜率. 【详解】（1）∵∴，又在椭圆上， ∴，解得，所以椭圆方程为：． （2）由（1）知，轴，设直线的斜率为k，因为关于直线对称，所以直线的斜率为． 又，所以直线的方程是．设， ． 将上式中的k换成得，． . 【突破提升训练・20】已知抛物线的焦点为，点在上，且. (1)求抛物线的方程； (2)过点作圆的两条切线，且分别与相交于点，（异于点）. （ⅰ）若，求.面积； （ⅱ）证明：直线过定点. 【答案】(1) (2)；证明见解析. 【分析】（1）根据焦半径公式结合题设条件可得关于的方程组，求出解后可得抛物线方程； （2）（ⅰ）设，再根据，得出k，再联立方程得出点A,B的坐标计算得出面积；（ⅱ）设直线联立得出，根据可得，由此可证直线过定点. 【详解】（1）点在上，且. 由题意得：，解得， 所以抛物线C的方程为； （2）（ⅰ）因为，设， 设圆心O到直线的距离为， 又因为，所以，所以，化简得出， 所以或； 联立直线与，得出， 所以； 联立直线与，得出， 所以； 所以 所以； （ⅱ）设直线， 联立得，得，则， 的切线斜率为， 是切线，所以 即，计算得， 所以，化简得， 直线，过定点. 【突破提升训练・21】如图，已知点在抛物线上，且轴，坐标原点到的距离为2，． (1)求的方程； (2)如图，点在上且在左侧，点在线段上，四边形为矩形，将矩形以轴为旋转轴旋转半周，其四边形成的面围成一个旋转体，求该旋转体体积的最大值； (3)如图，过点作圆（且）的切线，设与的另一个交点分别为，证明：直线过定点． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据题意求出的坐标为．代入解析式，解得即可； （2）设点，则，旋转体为圆柱，求得，再用体积公式得到，运用二次函数求最值即可； （3）设，由题意，得到直线方程，根据 直线与圆相切，得到，根据直线与圆相切可得借助同构和韦达定理得到，代入方程中计算即可. 【详解】（1）轴，到的距离为2，且， 的坐标为．在抛物线上， ，解得 抛物线方程为. （2）设点，则， 将矩形DEFG以轴为旋转轴旋转半周得到的旋转体为圆柱， 设其底面半径为，高为，则 ， 圆柱体积 ， ， 当即时，取得最大值， （3）证明：设，由题意，直线斜率均存在， 直线， 直线，即， 直线与圆相切，， 即， 同理，由直线与圆相切可得， 是方程的两个解， ，代入方程中， 得：， ，即，解得， 直线恒过定点. 【突破提升训练・22】已知椭圆 过点 和 . (1)求椭圆的方程； (2)过点 作圆的两条切线 ，两切线与椭圆的另外一个交点分别为 ，在半径 变化的过程中，直线 是否过定点? 若是，求出该定点坐标，若不是，请说明理由; (3)在题（2）中，当 时，直线 是否与圆 相切？请说明理由. 【答案】(1)； (2)存在，定点为； (3)相切，理由见详解. 【分析】（1）将已知点代入椭圆方程即可求解； （2）设出切线方程，联立椭圆方程，借助韦达定理表示出点的坐标和斜率，进而得直线方程，令，利用韦达定理化简即可得定点； （3）利用（2）中结论求出斜率，得到直线的方程，根据圆心到直线距离即可判断相切. 【详解】（1）由题知，，解得， 所以，椭圆的方程为. （2）设切线方程为，即， 则，整理得， 因为，所以直线斜率存在，且不为0，记为， 由韦达定理可知，， 联立得， 设， 则，即， 所以. 同理，，. 则， 所以，直线的方程为， 令，则 又，所以， 所以直线 过定点. （3）由（2）知，所以， 当时，， 则， 所以直线的方程为，即， 因为圆心到直线的距离， 所以直线与圆相切. 【突破提升训练・23】已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆右焦点，且 （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线：与椭圆相交于，两点（都不是顶点），且以为直径 的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）设椭圆的方程，用待定系数法求出的值；（2）解决直线和椭圆的综合问题时注意：第一步：根据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，可由点斜式设直线方程.第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程.第三步：求解判别式：计算一元二次方程根.第四步：写出根与系数的关系.第五步：根据题设条件求解问题中结论. 【详解】（1）由题意设椭圆的标准方程为， 由已知得：且， ∴，∴． ∴椭圆的标准方程为． （2）设，， 联立 得， 又， 因为以为直径的圆过椭圆的右顶点， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 解得：或 ∴直线l过点或点（舍） 【突破提升训练・24】已知双曲线. (1)过的直线与双曲线有且只有一个公共点，求直线的斜率； (2)若直线与双曲线相交于A，B两点（A，B均异于左、右顶点），且以线段为直径的圆过双曲线的左顶点C.试问：直线是否过定点，若是，求出定点坐标；若不是，说明理由. 【答案】(1)，，，； (2)直线过定点，定点坐标为. 【分析】（1）设直线，与双曲线联立，将交点个数问题转换成方程解的个数问题； （2）将直线与双曲线联立，韦达定理写出根与系数的关系，又以为直径的圆过双曲线的左顶点，所以，代入求解，得到与的关系即可得出结论. 【详解】（1）由题意得直线的斜率必存在，设， 联立，得 若，即时，满足题意， 若，即时， 令，解之得， 综上，的斜率为，，，； （2）设，，由，得， 则， ，， ∴， ∵以为直径的圆过双曲线的左顶点，∴， 因为， ∴，∴， ∴，解得或. 当时，直线的方程为，直线过定点，与已知矛盾； 当时，直线的方程为，直线过定点，经检验符合题意. 直线过定点，定点坐标为. 【突破提升训练・25】已知双曲线经过点，一条渐近线的倾斜角为. (1)求双曲线的方程； (2)若点，过双曲线的右焦点的直线交双曲线于.以为直径的圆是否恒过点，请说明理由. 【答案】(1) (2)恒过点，理由见解析 【分析】（1）由一条浙近线的倾斜角为，结合双曲线所过点可求得，由此可得双曲线方程； （2）假设存在点满足题意，可知，假设直线方程，与双曲线方程联立可得韦达定理的结论，结合向量数量积的坐标运算可化简整理可得出答案. 【详解】（1）因为双曲线的一条渐近线倾斜角为，所以， 故，故， 所以双曲线； （2）双曲线的右焦点为，当直线斜率不为零时，设直线的方程为：， 设,， 由，得 恒成立，， ， 即以直径的圆恒过点. 当直线斜率为零时，此时以为直径的圆为过点， 综上，以直径的圆恒过点. 【突破提升训练・26】如图所示，已知开口方向向上、顶点在原点的抛物线上的纵坐标为1的点到焦点的距离为2． (1)求抛物线的方程． (2)已知是直线上的动点，为抛物线的两条切线，为切点． ①求证：直线过定点； ②抛物线上是否存在定点使得以为直径的圆恰过定点？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①证明见解析；②存在， 【分析】（1）由抛物线的性质求得抛物线方程． （2）①设，设过点的切线，与抛物线方程联立，由判别式等于，得，设的斜率分别为，由韦达定理及中点坐标公式求出的中点为，由点斜式写出直线的方程即可求解； ②设，得到直线与的斜率，由斜率乘积为,得，再将①问中的韦达定理代入上式化简得，即可求解. 【详解】（1）设抛物线方程为，由抛物线定义知，， 抛物线的方程． （2）①设，由于切线斜率一定存在， 故设过点的切线， 代入中，得：， ，． 设的斜率分别为， 则 ，，， 得 ， 的中点为． 又，直线的方程：， 即：，过定点． ②设，则．同理：． ，． 把代入中得：， 所以由， ， ，解得． 存在定点，使得以为直径的圆恰过点． 【突破提升训练・27】如图，已知圆过抛物线上一点，另交抛物线于两点，且恰为圆的直径，求证：直径所在的直线必过定点． 【答案】证明见解析 【分析】设直径所在的直线方程为，联立抛物线的方程，利用一元二次方程的根与系数关系，结合直线斜率公式、互相垂直两直线斜率的关系得到即可进行求解即可. 【详解】已知抛物线方程， 设直径所在的直线方程为， 联立得，从而 由题得， 则， 则， 即， 则直线的方程为，即， 所以直径所在的直线过定点为. 【突破提升训练・28】抛物线的焦点到准线的距离等于椭圆的短轴长． (1)求抛物线的方程； (2)设是抛物线上位于第一象限的一点，过作（其中）的两条切线，分别交抛物线于点，过原点作直线的垂线，垂足为，证明点在定圆上，并求定圆方程 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接根据椭圆的短轴长求出，进而可得抛物线方程； （2）设，求出直线的方程，求出切线，的方程，然后化归为二次方程的根的问题，利用韦达定理可得直线过的定点，进而可得点所在圆的方程. 【详解】（1）由椭圆可知短轴长， 所以抛物线的焦点到准线的距离等于， 故椭圆方程为； （2）因为是抛物线上位于第一象限的一点，所以，又， 所以， 设，则直线方程为， 即， 因为：即与圆相切， 所以，整理得①， 同理，直线与圆相切可得② 由①②得是方程的两根， 所以， 代入整理得， 令，解得，故直线过定点， 所以点在以和连线为直径的圆上，且圆的方程为；    【突破提升训练・29】已知双曲线的左顶点为，过左焦点的直线与交于两点.当轴时，，的面积为3. (1)求的方程； (2)证明：以为直径的圆经过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意，可得，，进而求解； （2）设方程为，，联立直线和双曲线方程组，可得，以为直径的圆的方程为，由对称性知以为直径的圆必过轴上的定点，进而得到，进而求解. 【详解】（1）当轴时，两点的横坐标均为， 代入双曲线方程，可得，，即， 由题意，可得，解得，，， 双曲线的方程为：； （2）方法一：设方程为，， 以为直径的圆的方程为， 由对称性知以为直径的圆必过轴上的定点，令，可得 ， 而， ， 对恒成立，， 以为直径的圆经过定点； 方法二：设方程为， 由对称性知以为直径的圆必过轴上的定点. 设以为直径的圆过， ， 而 ， ， ，即对恒成立， ，即以为直径的圆经过定点. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点19：破解圆锥曲线定点：圆锥曲线中过定点问题（下） （培优固本提能讲义） 知识网络·核心根基深扎牢 1 实战演练·能力进阶攀高峰 5 题型一、“相交弦”模型过定点之“模型4” 5 题型二、“相交弦”模型过定点之“模型5” 6 题型三、“相交弦”模型过定点之“模型6” 8 题型四、“夹丸子”模型过定点 10 题型五、“手电筒”模型过定点之“动圆”过定点 12 题型精析・方法突破提能力 13 知识网络・核心根基深扎牢 题型归纳 题型1：“相交弦”模型过定点之“变形4”（过定点含垂直与定直线） 若MN过一定点且与圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）交于M和N，过M（或N）作直线的垂线，垂足为H，证明直线HN过定点。 注意：高考中常考的情况如上图，其中一条直线过定点，M（或N）作直线的垂线，垂足为H。或者看作两“定”一垂直一定直线问题1：条件是一定点，一定直线，一垂直，求定点，其中两定点可任意变换证明。 题目特征：直线过定点，M（或N）作直线的垂线。 解题方法（以上图椭圆为例）：MN过一定点(且与椭圆（0）交于M和N，过M（或N）作直线的垂线，垂足为H，证明直线HN过定点。 步骤1：设直线，找根与系数关系：设M，N，设直线， 与椭圆方程（0）联立得出：+，，再得出它们之间的倍数关系（利用非对称韦达定理求） 步骤2：求直线MH方程，找定点：由题H，则直线MH方程为：，令，则，即（1） 步骤3：用+，之间的倍数关系化简（1）中为“加”的关系即可求定点。 题型2：“相交弦”模型过定点之“变形5”（过定点垂直弦中点连线过定点） 若定点的相互垂直的直线AB，DE与圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）分别交于A,B和D,E，取DE的中点为N，AB的中点为M，证明直线MN过定点。 注意：高考中常考的情况如上图，其中一条直线过定点F。或者看作两“定”一垂直一定直线问题2：条件是一定点，两垂直直线，求定点，其中两定点可任意变换证明。 题目特征：直线为中点，AB，DE相互垂直且过定点。 解题方法（以上图椭圆为例）：若定点（t，0）的相互垂直的直线AB，DE与椭圆（0）分别交于A,B和D,E，取DE的中点为N，AB的中点为M，证明直线MN过定点。 步骤1：设直线，找根与系数关系：设直线，与椭圆方程（0）联立得出：+，，利用垂直，，之间斜率的负倒数关系求出+， 步骤2：用中点坐标公式求M，N点：：，，，，（注意，M，N坐标只含一个参数k） 步骤3：写出直线MN方程并化简为点斜式即可求定点。 题型3：“相交弦”模型过定点之“变形6”（过定点的对称直线） 若定点Q的且关于某直线对称的两条直线AQ，BQ与圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）分别交于A,B（两点是错开的），证明直线AB过定点。 注意：高考中常考的情况如上图，对称的两条直线AQ，BQ过定点Q点（在x轴或y轴上）。或者看作两“定”一对称问题：条件是一定点，两对称直线，求定点，其中两定点可任意变换证明（对称直线有时候可能告诉关于直线对称，有时候可能是倾斜角互补或斜率和为0）。 题目特征：直线AQ，BQ过定点且关于某直线对称。 解题方法（以上图椭圆为例）：若定点Q（t，0）的相互对称的直线AQ，BQ与椭圆（0）分别交于A,B（两点是错开的），证明直线AB过定点。 步骤1：设直线，找根与系数关系：设A，B，设直线，与椭圆方程（0）联立得出：+，，+， 步骤2：用点坐标表示AQ，BQ斜率：：，，（注意，M，N坐标只含一个参数k） 步骤3：由对称或斜率和为0化简： 将与代入上式，用根与系数关系进行化简求n的值即可求出定点。 题型4：“夹丸子”模型过定点 过圆锥曲线上一点A的两条直线AB，AD与圆锥曲线交于B,D，且两直线与圆相切（圆心为定点，半径变化），证明直线BD过定点。 注意：高考中常考的情况如上图，两条直线AB，AB过定点A点（椭圆顶点），与圆相切（圆心为定点，半径变化）。 题目特征：定点A在在椭圆上，圆心为定点，半径变化。 解题方法（以上图椭圆为例）：过椭圆（0）上一点A的两条直线AB，AD与圆锥曲线交于B,D，且两直线与圆相切（圆心为定点，半径变化），证明直线BD过定点。 步骤1：设直线，找两直线关系：设直线，直线，用点到直线距离公式求出与关系（圆心到切线距离为圆半径），此关系一般为为定值（或+为定值）“手电筒”模型过定点。 步骤2：设直线，与椭圆联立得。 步骤3：由韦达定理。 步骤4：根据斜率和条件，代入及韦达定理结果，化简得的关系式。 步骤5：代入直线方程，其中即为定点坐标。 注意：斜率是否存在。 题型5：“手电筒”模型过定点之“动圆”过定点 若直线MN交圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）于M、N，以MN为直径的圆过圆锥曲线上某一定点，则直线MN过定点。 题目特征：以MN为直径的圆过圆锥曲线上某一定点，直线定点与圆定点可相互怎么。 解题方法（以椭圆为例）：已知椭圆（0）上一点直线MN交椭圆于M、N，以MN为直径的圆过圆锥曲线上点，证明直线MN过定点。 步骤1：利用圆过定点得出=（直径所对圆周角为直角，斜率之积为），接招利用重难点18中的：“手电筒”模型过定点 步骤2：设直线，与椭圆联立得。 步骤3：由韦达定理。 步骤4：根据斜率和条件，代入及韦达定理结果，化简得的关系式。 步骤5：代入直线方程，其中即为定点坐标。 注意：斜率是否存在。 实战演练・能力进阶攀高峰 题型一、题型1：“相交弦”模型过定点之“变形4” 典例探究 【典型例题】已知椭圆，以的两个焦点与短轴的一个端点为顶点的三角形是等腰直角三角形，且面积为. (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于不同的两点.过作直线的垂线，垂足为.求证：直线过定点. 举一反三 【1-2】已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，过椭圆的左焦点作不与x轴重合的直线MN与椭圆相交于M，N两点，的周长为8，过点M作直线的垂线ME，E为垂足． (1)求椭圆C的标准方程； (2)证明：直线EN经过定点P，并求定点P的坐标． 【1-2】已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，点P为椭圆C上任意一点，面积最大值为． (1)求椭圆C的方程； (2)过x轴上一点的直线与椭圆交于A，B两点，过A，B分别作直线的垂线，垂足为M，N两点，证明：直线，交于一定点，并求出该定点坐标． 【1-3】已知分别为椭圆的左、右焦点，过点且与轴不重合的直线与椭圆交于两点，的周长为8. (1)若的面积为，求直线的方程； (2)过两点分别作直线的垂线，垂足分别是，证明：直线与交于定点. 题型二、题型2：“相交弦”模型过定点之“变形5” 典例探究 【典型例题】已知点，，动点满足直线与的斜率之积为，记动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)过点与曲线相交的两条线段和相互垂直（斜率存在，且在曲线上），、分别是和的中点．求证：直线过定点． 举一反三 【2-1】双曲线，过点P（5，0）的直线AB和CD相互垂直（斜率存在），M、N分别是线段AB和线段CD的中点．求证：直线MN过定点． 【2-2】椭圆，过点的直线和相互垂直（斜率存在），分别是和的中点．求证：直线过定点． 【2-3】抛物线，过点（2，0）的直线AC和BD相互垂直（斜率均存在），M、N分别是AC和BD的中点．求证：直线MN过定点． 题型三、“相交弦”模型过定点之“变形6” 典例探究 【典型例题】如图，已知椭圆，不经过右焦点的直线交椭圆于，两点．若轴上任意一点到直线，的距离相等，求证：直线过定点．    举一反三 【3-1】已知抛物线的焦点为，是上一点，且.椭圆的左、右顶点分别为A，B，右焦点为，是上一点. (1)求，的方程； (2)已知为上的一点（异于A，B两点），直线，分别与直线相交于P，Q两点，求的最小值； (3)已知直线与交于M，N两点，直线和的斜率分别为，，且，证明:直线过定点，并求出该定点的坐标. 【3-2】已知是椭圆 的右焦点，点在上，轴，直线与轴不重合，与交于、两点，. (1)求的方程； (2)证明：过定点. 【3-3】已知离心率为的椭圆的右焦点为，点为椭圆上第一象限内的一点，满足垂直于轴，且. (1)求椭圆的方程； (2)直线的斜率存在，交椭圆于两点，三点不共线，且直线和直线关于直线对称，证明：直线过定点. 题型四、“夹丸子”模型过定点 典例探究 【典型例题】已知分别为椭圆的左右焦点，分别为上下顶点，为上的点． (1)若点的坐标为，求的面积； (2)求的取值范围； (3)如图，过点作圆的两条切线分别与椭圆相交于点（不同于点），当变化时，试问直线是否过某个定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由． 举一反三 【4-1】已知点为椭圆的右顶点，圆，过点作的两条切线分别与椭圆交于两点（不同于点）. (1)当变化时，直线的斜率乘积是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由； (2)给定一个，椭圆上的点到直线的距离的最大值为，当变化时，求的最大值，并求出此时的值. 【4-2】已知点在椭圆上，椭圆C的左右焦点分别为，，的面积为. (1)求椭圆C的方程； (2)设点A，B在椭圆C上，直线PA，PB均与圆相切，记直线PA，PB的斜率分别为，. （i）证明：； （ii）证明：直线AB过定点. 【4-3】已知点在椭圆C：（）上，椭圆C的左､右焦点分别为F1，F2，的面积为. (1)求椭圆C的方程； (2)设点A，B在椭圆C上，直线PA，PB均与圆O：（）相切，试判断直线AB是否过定点，并证明你的结论. 题型五、“手电筒”模型过定点之“动圆”过定点 3”（已知一直线过定点与对称点） 典例探究 【典型例题】已知椭圆C : , 经过点P，离心率是． （1）求椭圆C的方程； （2）设直线与椭圆交于两点，且以为直径的圆过椭圆右顶点，求证：直线l恒过定点． 举一反三 【5-1】已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知直线交椭圆于不同的两点和，若直线的斜率为1，且以为直径的圆经过椭圆的右顶点，求直线的方程. 【5-2】已知椭圆C:的离心率为长轴的右端点为. (1)求C的方程； (2)不经过点A的直线与椭圆C分别相交于两点，且以MN为直径的圆过点， ①试证明直线过一定点，并求出此定点； ②从点作垂足为，点写出的最小值（结论不要求证明）. 【5-3】已知双曲线的渐近线为，双曲线的左顶点为，直线与双曲线C相交于A，B（异于点P）两点． (1)求双曲线C的方程； (2)若的中点为，求直线l的方程； (3)若以为直径的圆恒过点P，试判断直线l是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由． 题型精析・方法突破提能力 【突破提升训练・1】已知椭圆C：，，是其左、右焦点，为椭圆C上的一点，下列结论正确的是（    ） A．满足是直角三角形的点有四个 B．直线l为椭圆C在P点处的切线，过作于，则可能为4 C．过点作圆M：的一条切线，交椭圆C于另一点Q，（O为坐标原点）则 D．过点作圆M：的两条切线，分别交椭圆C于E，H两点，则直线EH过定点 【突破提升训练・2】已知点是椭圆C：（）的左焦点，且椭圆C经过点．过点作不与x轴重合的直线与椭圆C相交于M，N两点，过点M作直线l：的垂线，垂足为E． (1)求椭圆C的标准方程； (2)求证：直线过定点，并求定点的坐标． 【突破提升训练・3】已知双曲线的左､右焦点分别是，并且经过点. (1)求的方程； (2)过点的直线交双曲线的右支于两点（点在第一象限），过点作直线的垂线，垂足为. （i）求证：直线经过定点； （ii）记的面积为，求的取值范围. 【突破提升训练・4】已知双曲线的图象经过点，其中一条渐近线方程为. (1)求双曲线的标准方程； (2)过点作垂直于轴的直线，过点作直线与双曲线右支交于、两点，过点作的垂线，垂足为点.证明：直线过定点，并求出该定点的坐标. 【突破提升训练・5】已知，动点满足与的斜率之积为定值. (1)求动点的轨迹的方程； (2)过点的直线与曲线交于 两点，且均在轴右侧，过点 作直线的垂线，垂足为. （i）求证：直线过定点； （ii）求面积的最小值. 【突破提升训练・6】双曲线的左、右焦点分别为，过作与轴垂直的直线交双曲线于两点，的面积为12，抛物线以双曲线的右顶点为焦点.    (1)求抛物线的方程； (2)如图，点为抛物线的准线上一点，过点作轴的垂线交抛物线于点，连接并延长交抛物线于点，求证：直线过定点. 【突破提升训练・7】已知抛物线的焦点为，准线为，是上的动点． (1)当时，求直线的方程； (2)过点作的垂线，垂足为，为坐标原点，直线与的另一个交点为，证明：直线经过定点，并求出该定点的坐标． 【突破提升训练・8】已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，M是C上的动点． (1)当时，求直线MF的方程． (2)过点M作l的垂线，垂足为P，O为坐标原点，直线OP与C的另一个交点为N，证明：直线MN经过定点． 【突破提升训练・9】已知椭圆过点，焦距为2. (1)求的方程； (2)若，过作两条相互垂直的直线，与曲线分别交于A，B，C，D四点，设线段，与的中点分别为M，N. （i）证明：直线过定点； （ii）求四边形面积的取值范围. 【突破提升训练・10】已知是椭圆的右焦点，过点作两条相互垂直的动直线和，与交于，两点，与交于，两点. (1)若轴，求； (2)设，分别为线段，的中点，求证：直线过定点. 【突破提升训练・11】已知，是双曲线C：的左、右焦点，若点为C上的一点，且，的面积为，双曲线的离心率为. (1)求曲线C的方程； (2)过曲线C左焦点的两条相互垂直的直线分别交双曲线C于和，分别是的中点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标. 【突破提升训练・12】已知一动圆经过点，且在轴上截得的弦长为4，设动圆圆心的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)过点任意作相互垂直的两条直线，分别交曲线于不同的两点和不同的两点.设线段的中点分别为. ①求证：直线过定点R，并求出定点R的坐标；②求的最小值. 【突破提升训练・13】已知双曲线的一条渐近线方程为，右焦点为． (1)求C的标准方程； (2)过点F且相互垂直的两条直线和分别与C交于点A，B和点P，Q，记的中点分别为M，N，求证：直线过定点． 【突破提升训练・14】已知椭圆的离心率为．点在椭圆上． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点任作椭圆的两条相互垂直的弦、，设、分别是、的中点，则直线是否过定点？若过，求出该定点坐标；若不过，请说明理由． 【突破提升训练・15】已知椭圆的离心率为，焦距为2． （1）求的标准方程． （2）过的右焦点F作相互垂直的两条直线，（均不垂直于x轴），交于A，B两点，交 于C，D两点．设线段AB，CD的中点分别为M，N，证明：直线MN过定点． 【突破提升训练・16】已知椭圆的离心率为，短轴长为4． (1)求C的标准方程； (2)过C的左焦点F作相互垂直的两条直线，（均不垂直于x轴），交C于A，B两点，交C于C，D两点．设线段AB，CD的中点分别为P，Q，证明：直线PQ恒过x轴上一定点． 【突破提升训练・17】已知为椭圆的下顶点，，分别为的左、右焦点，，且的短轴长为． (1)求的方程； (2)设为坐标原点，，为上轴同侧的两动点，两条不重合的直线，关于直线对称，直线与轴交于点，求的面积的最大值． 【突破提升训练・18】已知椭圆C：的离心率为，且过点，直线l交椭圆C于不同的两点M和N． (1)求椭圆C的标准方程； (2)直线l的斜率为1，且以MN为直径的圆经过椭圆C的右顶点，求直线l的方程； (3)已知点，若点A是椭圆的右顶点，M和N两点都在x轴上方，且．证明直线l过定点，并求出该定点坐标． 【突破提升训练・19】已知椭圆的左焦点为，离心率为，点是椭圆上一点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若为椭圆上不同于的两点，且直线关于直线对称，求证：直线的斜率为定值． 【突破提升训练・20】已知抛物线的焦点为，点在上，且. (1)求抛物线的方程； (2)过点作圆的两条切线，且分别与相交于点，（异于点）. （ⅰ）若，求.面积； （ⅱ）证明：直线过定点. 【突破提升训练・21】如图，已知点在抛物线上，且轴，坐标原点到的距离为2，． (1)求的方程； (2)如图，点在上且在左侧，点在线段上，四边形为矩形，将矩形以轴为旋转轴旋转半周，其四边形成的面围成一个旋转体，求该旋转体体积的最大值； (3)如图，过点作圆（且）的切线，设与的另一个交点分别为，证明：直线过定点． 【突破提升训练・22】已知椭圆 过点 和 . (1)求椭圆的方程； (2)过点 作圆的两条切线 ，两切线与椭圆的另外一个交点分别为 ，在半径 变化的过程中，直线 是否过定点? 若是，求出该定点坐标，若不是，请说明理由; (3)在题（2）中，当 时，直线 是否与圆 相切？请说明理由. 【突破提升训练・23】已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆右焦点，且 （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线：与椭圆相交于，两点（都不是顶点），且以为直径 的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标． 【突破提升训练・24】已知双曲线. (1)过的直线与双曲线有且只有一个公共点，求直线的斜率； (2)若直线与双曲线相交于A，B两点（A，B均异于左、右顶点），且以线段为直径的圆过双曲线的左顶点C.试问：直线是否过定点，若是，求出定点坐标；若不是，说明理由. 【突破提升训练・25】已知双曲线经过点，一条渐近线的倾斜角为. (1)求双曲线的方程； (2)若点，过双曲线的右焦点的直线交双曲线于.以为直径的圆是否恒过点，请说明理由. 【突破提升训练・26】如图所示，已知开口方向向上、顶点在原点的抛物线上的纵坐标为1的点到焦点的距离为2． (1)求抛物线的方程． (2)已知是直线上的动点，为抛物线的两条切线，为切点． ①求证：直线过定点； ②抛物线上是否存在定点使得以为直径的圆恰过定点？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【突破提升训练・27】如图，已知圆过抛物线上一点，另交抛物线于两点，且恰为圆的直径，求证：直径所在的直线必过定点． 【突破提升训练・28】抛物线的焦点到准线的距离等于椭圆的短轴长． (1)求抛物线的方程； (2)设是抛物线上位于第一象限的一点，过作（其中）的两条切线，分别交抛物线于点，过原点作直线的垂线，垂足为，证明点在定圆上，并求定圆方程 【突破提升训练・29】已知双曲线的左顶点为，过左焦点的直线与交于两点.当轴时，，的面积为3. (1)求的方程； (2)证明：以为直径的圆经过定点. 1 学科网（北京）股份有限公司 $