专题02 圆与方程（期中知识清单）高二数学上学期苏教版选择性必修第一册

专题02 圆与方程（3知识&9题型&2易错） 【答案】 一、1、 2、 3、点在圆内、点在圆外、点在圆上 二、1、直线与圆相交 直线与圆相交 2、直线与圆相切 直线与圆相切 3、直线与圆相离 直线与圆相离 三、1、两圆相交 2、两圆内切 3、两圆外切 4、两圆相离 5、两圆内含（时两圆为同心圆） 【清单01】圆的方程 （1）圆的标准方程：，圆心坐标为（a，b），半径为 （2）圆的一般方程：，圆心坐标为，半径 （3）圆的直径式方程：若，则以线段AB为直径的圆的方程是 【清单02】点与圆的位置关系 （1）点与圆的位置关系： ①点P在圆外； ②点P在圆上； ③点P在圆内． （2）点与圆的位置关系： ①点P在圆外； ②点P在圆上； ③点P在圆内． 【清单03】直线与圆的位置关系 1．直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系有3种，相离，相切和相交 2．直线与圆的位置关系判断 （1）几何法（圆心到直线的距离和半径关系） 圆心到直线的距离，则： 直线与圆相交，交于两点，； 直线与圆相切； 直线与圆相离 （2）代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数） 由， 消元得到一元二次方程，判别式为，则： 直线与圆相交； 直线与圆相切； 直线与圆相离． 【清单04】圆与圆的位置关系 用两圆的圆心距与两圆半径的和差大小关系确定，具体是： 设两圆的半径分别是，（不妨设），且两圆的圆心距为，则： 两圆相交； 两圆外切； 两圆相离 两圆内切； 两圆内含（时两圆为同心圆） 设两个圆的半径分别为，，圆心距为，则两圆的位置关系可用下表来表示： 位置关系 相离 外切 相交 内切 内含 几何特征 代数特征 无实数解 一组实数解 两组实数解 一组实数解 无实数解 公切线条数 4 3 2 1 0 【清单05】一些经典结论 （1）过圆上一点的圆的切线方程为． （2）过圆上一点的圆的切线方程为 （3）过圆上一点的圆的切线方程为 （4）求过圆外一点的圆的切线方程时，应注意理解： ①所求切线一定有两条； ②设直线方程之前，应对所求直线的斜率是否存在加以讨论．设切线方程为，利用圆心到切线的距离等于半径，列出关于的方程，求出值．若求出的值有两个，则说明斜率不存在的情形不符合题意；若求出的值只有一个，则说明斜率不存在的情形符合题意 【题型一】求圆的方程 【例1】、（24-25高二上·广东惠州·期中）的三个顶点分别是、、. (1)求边上的高所在直线的方程； (2)求的外接圆（为圆心）的标准方程. 【答案】(1)的方程为 (2) 【难度】0.85 【知识点】求过已知三点的圆的标准方程、直线的点斜式方程及辨析 【分析】（1）求出直线的斜率，可得出直线的斜率，结合点斜式可得出直线的方程； （2）圆的方程为，将三个顶点的坐标代入圆的方程，求出、、的值，可得出圆的一般方程，再化为标准方程即可. 【详解】（1）因为直线的斜率为，所以上的高所在直线的斜率为， 所以上的高所在直线的方程为，即直线的方程为． （2）设圆的方程为（其中， 因为、、三点都在圆上，可得，                 解得，，，满足， 所以所求圆的方程为，即. 【变式1-1】、（24-25高二上·北京怀柔·期末）在平面内，、是两个不同的定点，是动点，若，则点的轨迹为（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】轨迹问题——圆 【分析】建系设出、、的坐标，利用已知条件，转化求解的轨迹方程，推出结果即可． 【详解】在平面内，，是两个定点，是动点，以方向为正方向，线段的中点为原点， 建立平面直角坐标系，设， 则，，设点的坐标为， 所以， 因为，即， 所以，即， 化简得， 所以点的轨迹为圆． 故选：A． 【变式1-2】（25-26高二上·全国·课后作业）经过圆与直线的交点，且在轴上的弦长为的圆的方程是 ． 【答案】或 【难度】0.65 【知识点】求直线与圆交点的坐标、已知圆的弦长求方程或参数 【分析】方法一，所求圆过已知圆与直线的交点，且直线和圆方程已知，可以设过直线与圆交点的圆系方程来求解；方法二，设圆方程为，由弦长为求得k值. 【详解】方法一： 设所求圆的方程为，该圆与轴的交点坐标分别为，． 在圆方程中，令得，则，，则． 联立，解得或则点，在所求圆上， 所以解得或 故所求圆的方程为或． 方法二： 设所求圆的方程为， 且与轴交点的纵坐标为， 令得，化简得， 所以，， 由两边平方得，所以， 化简得，解得或． 检验知两个值都符合题意， 所以所求圆的方程为， 或， 即或． 故答案为：或． 【变式1-3】、（25-26高二上·河南南阳·开学考试）根据下列条件，求圆的方程. (1)圆心是，且过点； (2)经过点，且以线段AB为直径的圆的方程； (3)已知的三个顶点为，求的外接圆方程. 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、求过已知三点的圆的标准方程 【分析】（1）确定半径，可得圆的标准方程. （2）可直接写出圆的直径式方程，再化成标准方程即可. （3）用待定系数法可求圆的一般方程. 【详解】（1）所求圆的标准方程为：， 即. （2）所求圆的直径式方程为：， 即. （3）设所求圆的方程为. 由题意得：，解得. 所以所求圆的一般方程为. 【题型二】由关圆的轨迹方程 【例2】、（25-26高二上·重庆·开学考试）点在圆上运动，它与点所连线段中点为，则点轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】轨迹问题——圆 【分析】设点，结合中点坐标公式可得，进而代入即可求解. 【详解】设点，， 因为为的中点， 所以，则，即， 又因为动点在圆上，所以， 则，即， 则点轨迹方程为. 故选：A. 【变式2-1】、（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）已知圆，是圆上的动点，点，若动点满足，则点的轨迹方程为（    ） A．( B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】线段的定比分点、轨迹问题——圆 【分析】设，，由，得到，代入圆方程即可求解. 【详解】设，，由，得， 所以， 又因为点在圆上， 所以，即. 故选：B 【变式2-2】（24-25高二下·广东深圳·期中）点，点是圆上的一个动点，则线段的中点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】轨迹问题——圆 【分析】设出点坐标，得出点坐标，代入圆方程，即可得到线段的中点M的轨迹方程. 【详解】设点的坐标为，因为点是线段的中点， 可得，点在圆上， 则，即. 故选：A. 【变式2-3】（2025高三·全国·专题练习）已知圆，点在直线上，若圆上存在两点，使得，则点的横坐标的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】判断直线与圆的位置关系、点与圆的位置关系求参数 【分析】先判断出与相离，根据圆的性质以及勾股定理，设点的坐标为，从而得到不等式，求出答案. 【详解】由题意可得圆心，到的距离为， 故与相离， 根据圆上存在两点使得，即三点共线， 且，其中最大值为圆的直径2，故的最大值为1， 过作， 设，则， 故, 由于，故 设点的坐标为，则有， 求得. 故选：D． 【题型三】点与圆的位置关系 【例3】、（24-25高二下·安徽·阶段练习）“点在圆外”是“直线与圆相交”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】判断点与圆的位置关系、判断直线与圆的位置关系、判断命题的充分不必要条件 【分析】利用点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】由题意可知，圆的圆心为原点，半径为， 若点在圆外，则， 则圆心到直线的距离为，此时，直线与圆相交， 即“点在圆外”“直线与圆相交”； 若直线与圆相交，则，可得， 不妨取，，则，此时，点在圆内， 所以，“点在圆外”“直线与圆相交”. 因此，“点在圆外”是“直线与圆相交”的充分不必要条件. 故选：A 【变式3-1】（24-25高二上·北京昌平·期末）“”是“坐标原点在圆的外部”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】必要条件、点与圆的位置关系求参数 【分析】先由“坐标原点在圆的外部”得且，进而可得. 【详解】由坐标原点在圆的外部可得，即且， 故“”是“且”的必要不充分条件， 故选：B 【变式3-2】、（24-25高三上·天津和平·期末）若直线：与圆：相交于，两点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】判断点与圆的位置关系、直线过定点问题、圆的弦长与中点弦 【分析】先求出直线过定点，在圆内，连接，当和垂直时，最小，由垂径定理得到答案. 【详解】， 令，解得， 故直线过定点， 又，故在圆内， ，故圆心，半径为4， 连接，当和垂直时，最小， 其中， 由垂径定理得. 故选：C 【题型四】直线与圆的位置关系 【例4】、（25-26高二上·河南南阳·阶段练习）已知直线与圆相切，则圆和圆的位置关系是（    ） A．相交 B．外切 C．内切 D．外离 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、判断圆与圆的位置关系 【分析】首先根据直线与圆的位置关系求，再计算圆心距，结合公式判断两圆的位置关系. 【详解】圆的圆心，半径， 由直线与圆相切，得，解得（负根舍去）， 所以，， 圆的圆心，半径， 因为，所以圆和圆相交. 故选：A 【变式4-1】（25-26高二上·河南·阶段练习）已知关于的方程有两个相异实根，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数 【分析】问题转换成直线与半圆的交点个数，即可求解. 【详解】不妨令， 则由得， 直线经过定点， 如图，当直线与半圆相切时， ， 当直线与半圆恰有两个公共点时符合题意， 数形结合可知，的取值范围为．    故选：A 【变式4-2】、（2025高三·全国·专题练习）已知直线l：与圆C：相切，且l关于x轴对称的直线与圆C有2个交点，则 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、判断直线与圆的位置关系 【分析】利用直线与圆相切可求得或，分类讨论，利用直线关于轴对称的直线有两个交点可求得. 【详解】由圆C：得圆心，半径为， 由点到直线的距离可得圆心到直线的距离， 即，解得或． 当时，直线：， 圆：，则直线关于轴对称的直线为：． 因为圆心到直线的距离， 所以直线与圆有2个交点，满足题意； 当时，直线：，圆：， 则直线关于轴对称的直线为：， 因为圆心到直线的距离， 所以直线与圆没有交点，不满足题意，舍去；综上，． 故答案为：． 【题型五】弦长与切线问题 【例5】、（2025高三·全国·专题练习）圆过点的切线方程为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】过圆上一点的圆的切线方程 【分析】解法一先判断点与圆的位置关系，利用即可求直线的斜率，利用点斜式即可求解； 解法二先判断点与圆的位置关系，利用切线方程为即可求解. 【详解】解法一由知点在圆上，连接， 设切线为，则，如图，，则， 则切线的斜率为，所以切线方程为， 整理得． 故答案为：. 解法二  由知点在圆上， 则所求切线的方程为， 整理得． 故答案为：. 【变式5-1】（25-26高二上·全国·课后作业）如图，圆，点为直线上一动点，过动点作圆的两条切线，切点分别为．则直线的方程为 ，直线所经过的定点的坐标为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】切点弦及其方程、直线过定点问题 【分析】方法一：可得四点共圆，求出以为直径的圆，与圆方程联立即可求出直线的方程，进而可求出定点的坐标；方法二：求出以为圆心，为半径的圆方程，与圆方程联立即可求出直线的方程，进而可求出定点的坐标；方法三：对于圆 ，若点在圆外，过点作圆的两条切线，切点分别为、，则切点弦所在直线的方程为 ，直接用结论写出直线的方程，进而可求出定点的坐标. 【详解】如图，连接， 方法一 ：因为都是圆的切线，所以，，所以四点共圆， 且为直径，所以切点弦实际上是以为直径的圆与圆的公共弦， 则以为直径的圆的圆心为，半径为， 故以为直径的圆的方程为， 两圆方程相减得直线的方程为， 令，则，所以直线过定点． 方法二：实际上是以为圆心，为半径的圆与圆的相交弦． ，，所以， 在中，， 所以以为圆心，为半径的圆的方程为， 两圆方程相减，可得圆和圆的公共弦所在直线的方程为， 即，令，则，所以直线过定点． 方法三：直线的方程为，即， 令，得，所以直线过定点． 故答案为：； 【变式5-2】（25-26高二上·全国·课前预习）圆C的半径为r，直线l与圆C交于A，B两点，且圆心C到直线l的距离，其中M为弦AB的中点，则 ，弦长 . 【答案】 【难度】0.94 【知识点】圆的弦长与中点弦 【分析】利用勾股定理求圆的弦长. 【详解】圆C的半径为r，圆心C到直线l的距离，则为中点，且, 中, ，. 故答案为：； 【变式5-3】设直线与圆相交于两点，且，则为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求点到直线的距离、由直线与圆的位置关系求参数、已知圆的弦长求方程或参数 【分析】作出图象，求出和的长，利用勾股定理即可求出的值. 【详解】由题意， 在中， 在中，，半径为， 直线与圆相交于两点，且， 设中点为C，连接，， 由几何知识得，，， 在Rt中，， 由勾股定理得，，即，解得， 故选：B. 【题型六】圆上的点到直线的距离最值与个数问题 【例6】、（2025·重庆·三模）过圆O：外的点作O的一条切线，切点为M，则（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】切线长 【分析】根据切线的意义知，由勾股定理可求. 【详解】由题意有，即. 故选：B. 【变式6-1】（23-24高二上·江苏·单元测试）若直线l：与圆C： 交于M，N两点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、圆的一般方程与标准方程之间的互化、求点到直线的距离、圆的弦长与中点弦 【分析】求出圆心到直线的距离，表示出弦长，结合正弦函数的值域，得的最小值. 【详解】依题意，圆C化成标准方程为， 故圆心到直线l：的距离， 故，当且仅当时等号成立， 所以. 故选：C． 【变式6-2】（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知直线与圆相交于两点，则的最小值为（   ） A． B．2 C．4 D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】平面向量数量积的几何意义、直线过定点问题、用定义求向量的数量积、圆的弦长与中点弦 【分析】首先求出圆心坐标与半径，再求出直线过定点，即可求出，设的中点为，则，根据数量积的几何意义得到，即可得解. 【详解】圆的圆心为，半径， 直线，即，令，解得， 所以直线恒过点，又， 所以当时，弦的长度取得最小值，即， 设的中点为，则， 所以. 故选：C 【题型七】圆与圆的位置关系 【例7】、已知圆的标准方程是，圆关于直线对称，则圆与圆的位置关系为（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．内含 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】判断圆与圆的位置关系、由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】先根据圆关于直线对称求出，进而求得圆的圆心和半径，利用两圆心的距离与半径和和差比较即可判断. 【详解】由题意可得，圆的圆心为，半径为5. 因为圆关于直线对称， 又的圆心为， 所以，解得， 所以圆，圆心为，半径为2， 则两圆圆心距， 因为， 所以圆与圆的位置关系是相交. 故选：C. 【变式7-1】已知圆，圆，则这两个圆的位置关系为（    ）. A．外离 B．外切 C．相交 D．内含 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】判断圆与圆的位置关系 【分析】求得两个圆的圆心和半径，求得圆心距，由此确定正确选项. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆方程可化为， 圆的圆心为，半径为，圆心距， 因为， 所以两个圆的位置关系是相交. 故选：C. 【变式7-2】（25-26高二上·全国·课后作业）（多选）已知圆和圆相交于两点，则下列结论正确的是（    ） A．两圆相交 B．直线的方程为 C．两圆有两条公切线 D．线段的长为 【答案】ACD 【难度】0.85 【知识点】判断圆与圆的位置关系、相交圆的公共弦方程、两圆的公共弦长 【分析】对于AC，由两圆圆心距与两圆半径关系可得两圆位置关系；对于B，两圆方程相减可得直线的方程；对于D，由B分析可得到直线的距离，据此可得线段长度. 【详解】对于AC，圆的圆心是，半径为2；圆的圆心是，半径为1， 圆心距为，所以两圆相交，公切线有两条．故AC正确； 对于B，将两圆方程相减，整理得．故B不正确； 对于D，点到直线的距离为， 所以．故D正确. 故选：ACD 【变式7-3】（25-26高二上·全国·单元测试）点在圆上，点在圆上，则（    ） A．两个圆的公切线有2条 B．的取值范围为 C．两个圆上任意一点关于直线的对称点仍在对应圆上 D．到两个圆的公共弦所在直线的距离为 【答案】BC 【难度】0.85 【知识点】判断圆与圆的位置关系、圆的公切线条数 【分析】根据题意确定圆心及半径，根据两圆位置关系逐项判断即可. 【详解】易知圆的圆心为，半径， 将圆化为，可知圆心为，半径， 对于A，易知，可知两圆外离，所以两个圆的公切线有4条，故A错误； 对于B，易知的最小值为，最大值为， 所以｜PQ｜的取值范围为，故B正确； 对于C，显然两圆圆心都在直线上， 因此直线为两圆对称轴，故C正确； 对于D，由选项A可知两圆外离，即不存在公共弦，故D错误. 【题型八】两圆公共弦与公切线问题 【例8】、圆与圆的公共弦长为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】两圆的公共弦长 【分析】将两圆方程作差可得出相交弦所在直线的方程，求出圆的圆心到相交弦所在直线的距离，利用勾股定理可求得相交弦长. 【详解】将圆与圆的方程作差可得， 所以，两圆相交弦所在直线的方程为， 圆的圆心为原点，半径为， 原点到直线的距离为， 所以，两圆的公共弦长为. 故答案为：. 【变式8-1】（25-26高二上·全国·单元测试）若圆，圆的两交点分别为A，B，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】相交圆的公共弦方程、两圆的公共弦长 【分析】方法一：求得相交弦方程，由圆的圆心为，半径为2即可求解；方法二：联立两圆的方程把两点坐标求出来即可. 【详解】方法一  将两圆的方程作差，可得，即直线AB的方程为，圆的圆心为，半径为2， 则到直线的距离为，故． 方法二  联立解得或 所以． 故选：B. 【变式8-2】（24-25高二上·全国·课后作业）若圆与圆有且仅有一条公切线，则（    ） A． B．1 C． D．0 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】判断圆与圆的位置关系、由圆的位置关系确定参数或范围、圆的公切线条数 【分析】公切线的条数确定两圆的位置关系，进而得到圆心距和两圆的半径之间的关系，计算即可. 【详解】由题意得，圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为， 又两圆有且仅有一条公切线，则两圆的位置关系为内切，所以，即，解得． 故选：C. 【变式8-3】（24-25高二上·全国·课后作业）圆与圆心为直线所过的定点，半径为的圆的公切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】判断圆与圆的位置关系、直线过定点问题、圆的公切线条数 【分析】先求出直线所过定点，再由两圆心距离大于半径之和得到两圆相离，最后可得公切线条数； 【详解】由题意得，圆的圆心为，半径为， 所以圆与圆的圆心距， 即圆与圆相离， 故有4条公切线． 故选：D. 【题型九】综合问题 【例9】、（2025高三·全国·专题练习）古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果，写出了《圆锥曲线论》，此书中有许多关于平面轨迹的问题，例如：平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆．后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆．已知平面内有两点和，且该平面内的点P满足． (1)求点P的轨迹方程； (2)若点P的轨迹关于直线对称，求的最小值． 【答案】(1) (2)． 【难度】0.65 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、基本不等式“1”的妙用求最值、轨迹问题——圆 【分析】（1）设点P的坐标为，根据列方程化简可得结论， （2）由条件可得，由此可得，展开利用基本不等式求其最小值. 【详解】（1）设点P的坐标为，因为，又，， 所以， 所以， 所以， 所以，即， 所以点P的轨迹方程为． （2）因为点P的轨迹关于直线对称， 所以圆心在此直线上，即， 所以， 所以， 当且仅当，，即，时，等号成立． 故的最小值为． 【变式9-1】（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线，圆． (1)若直线是圆的一条对称轴，求的值； (2)从①若直线被圆截得的弦长为4，②若直线被圆截得的弦长最短这两个条件中选择一个作为已知，求直线的方程． 注：若选择两个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、已知圆的弦长求方程或参数 【分析】（1）根据题意直线过圆的圆心，将代入直线的方程，计算得． （2）根据题意直线恒过定点．代入圆的方程判断在圆内部，可得直线与圆恒相交．①三角形中勾股定理计算得到点到直线AB的距离，再根据点到直线距离公式计算的结果；②设定点为点，依题意当直线与垂直时，直线被圆截得的弦长最短，利用两直线斜率之积为，计算可得直线的结果； 【详解】（1）因为直线是圆的一条对称轴， 所以直线过圆的圆心（圆是轴对称图形，直径所在直线都是对称轴）， 将代入直线的方程，得，解得． （2）直线，即，则直线恒过定点． 因为，所以定点在圆内部，所以直线与圆恒相交． 若选①． 如图1，设直线与圆交于两点，连接，则． 过点作于点，则， 所以，即点到直线AB的距离． 由，得， 所以直线的方程为．    若选②． 设定点为点，则直线与垂直时，直线被圆截得的弦长最短（如图2）， 此时，故， 直线的方程为．    【变式9-2】（25-26高二上·全国·单元测试）已知圆，圆交于A，B两点，在第二象限． (1)求以AB为直径的圆的方程； (2)若过点的直线（斜率存在）交圆于点，交圆于点，且，求直线CD的方程． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、相交圆的公共弦方程、已知圆的弦长求方程或参数 【分析】（1）将两圆方程相减可得直线AB的方程为，可得所求圆的圆心，再结合勾股定理求解出半径即可求解； （2）设直线CD的方程是，根据题设结合勾股定理、点到直线的距离公式建立方程求解即可. 【详解】（1）根据题意，圆，圆心为，半径为3， 圆，圆心为，半径为4， 两圆方程相减整理得，所以直线AB的方程为， 所以所求圆的圆心为，半径为， 所以以AB为直径的圆的方程为． （2）在第二象限，由（1）可得， 如图，不妨设点C，D分别在圆和圆上，易知直线CD的斜率存在， 设直线CD的方程是，即， 则点到直线CD的距离为， 点到直线CD的距离为， 因为，所以，解得， 所以直线CD的方程为，即． 【变式9-3】（25-26高二上·全国·单元测试）已知圆，圆． (1)若两圆内含，求实数的取值范围． (2)是否存在实数，使得两圆公共弦的长度为2？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，． 【难度】0.65 【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围、两圆的公共弦长 【分析】（1）根据两圆内含关系得出两圆心距离小于，进而求得的范围. （2）根据圆的弦长公式进行求解即可. 【详解】（1）由题意，得，半径，半径． 因为两圆内含，所以， 所以，即，解得， 又因为，所以，故的取值范围为． （2）两圆方程相减，可得两圆的公共弦所在直线方程为． 假设存在实数，使得两圆公共弦的长度为2， 因为，半径， 所以点到直线的距离． 又因为，所以， 解得，因为，所以． 【题型一】容易圆轨迹方程中定义不存在的点 【例1】、已知等腰三角形的一腰的两个端点分别是，则另一腰的一个端点的轨迹方程是（    ） A． B．（除去两点） C．（除去两点） D．（除去两点） 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求平面轨迹方程、轨迹问题——圆 【分析】设点，由，可得，又点与点不重合且不共线，所以需除去两点． 【详解】设点， 由，得， 即， 又点与点不重合且不共线，所以需除去两点． 故选：B． 【变式1-1】（2025高三·全国·专题练习）过圆上一点作圆的一条动弦，为弦的中点． (1)求点的轨迹方程； (2)设点关于点的对称点为为坐标原点，将线段绕原点按逆时针方向旋转后，所得线段为，求的取值范围． 【答案】(1)（点除外） (2) 【难度】0.65 【知识点】定点到圆上点的最值（范围）、轨迹问题——圆 【分析】（1）由垂径定理得，则在以线段为直径的圆上，求出圆心与半径即可得到轨迹方程. （2）根据，表示出点的坐标，进而得到，转化为到定点的距离的倍，求出即可得到取值范围. 【详解】（1）连接，由垂径定理知，，所以点的轨迹是以线段为直径的圆（除去点）．    因为点，则其中点坐标为． 又圆的半径，故点的轨迹方程是（点除外）. （2）如图，因为点关于点对称，设点，则点．    设点，因为线段由绕原点按逆时针方向旋转得到， 则，且，即，且． 由，得． 令，则，所以． 因此点的坐标为． 所以． 设点，则． 而点为圆上的点，设圆心的坐标为， 则， ． 故的取值范围是． 【题型二】容易忽略二元二次方程表示圆的一般方程的充要条件 【例2】、（24-25高二上·浙江杭州·阶段练习）方程表示圆的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】二元二次方程表示的曲线与圆的关系 【分析】利用方程表示圆的条件，列式计算得解. 【详解】由方程表示圆，得， 所以. 故选：D 【变式2-1】（24-25高二上·安徽·期中）若点在圆的外部，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】二元二次方程表示的曲线与圆的关系、点与圆的位置关系求参数 【分析】根据点在圆外以及圆的一般式满足的系数关系即可列不等式求解. 【详解】由于点在圆的外部，故 ，解得， 故选：C 【变式2-2】方程表示圆，则实数a的取值范围（　　） A．R B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】二元二次方程表示的曲线与圆的关系 【分析】首先判断出，然后方程两边除以，再按，求出的取值范围. 【详解】方程表示圆，必须有二次项，故，方程两边除以得，根据得，上式当时成立，故选B. 【点睛】本小题主要考查二元二次方程表示圆的条件，属于基础题. 【变式2-3】、若点在圆外，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】二元二次方程表示的曲线与圆的关系、点与圆的位置关系求参数 【分析】将已知圆的方程化为标准方程，找出圆心的坐标和半径，并求出满足圆成立的条件时的范围，利用两点间的距离公式求出的值，比较和半径的大小关系，列出关于的不等式，即可求得答案. 【详解】把圆的方程化为标准方程为：， 可得圆心的坐标为，半径，且，即. 根据题意点在圆外， 即， 即有，整理可得，即， 计算可得或，又，可得或， 则实数的取值范围是. 故选:. 【点睛】本题考查了由点和圆的位置关系求参数的取值范围，解题时的方法是判断点到圆心的距离和半径进行比较大小，需要注意圆成立时满足的条件，这里容易出错. 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 圆与方程（3知识&9题型&2易错） 【清单01】圆的方程 （1）圆的标准方程： ，圆心坐标为（a，b），半径为 （2）圆的一般方程： ，圆心坐标为 ，半径 （3）圆的直径式方程：若，则以线段AB为直径的圆的方程是 【清单02】点与圆的位置关系 （1）点与圆的位置关系： ① 点P在圆外； ② 点P在圆上； ③ 点P在圆内． （2）点与圆的位置关系： ① 点P在圆外； ② 点P在圆上； ③ 点P在圆内． 【清单03】直线与圆的位置关系 1．直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系有3种， 、 、 2．直线与圆的位置关系判断 （1）几何法（圆心到直线的距离和半径关系） 圆心到直线的距离，则： 直线与圆相交，交于两点，； 直线与圆相切； 直线与圆相离 （2）代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数） 由， 消元得到一元二次方程，判别式为，则： 直线与圆相交； 直线与圆相切； 直线与圆相离． 【清单04】圆与圆的位置关系 用两圆的圆心距与两圆半径的和差大小关系确定，具体是： 设两圆的半径分别是，（不妨设），且两圆的圆心距为，则： 两圆相交； 两圆外切； 两圆相离 两圆内切； 两圆内含（时两圆为同心圆） 设两个圆的半径分别为，，圆心距为，则两圆的位置关系可用下表来表示： 位置关系 相离 外切 相交 内切 内含 几何特征 代数特征 无实数解 一组实数解 两组实数解 一组实数解 无实数解 公切线条数 4 3 2 1 0 【清单05】一些经典结论 （1）过圆上一点的圆的切线方程为 ． （2）过圆上一点的圆的切线方程为 （3）过圆上一点的圆的切线方程为 （4）求过圆外一点的圆的切线方程时，应注意理解： ①所求切线一定有两条； ②设直线方程之前，应对所求直线的斜率是否存在加以讨论．设切线方程为，利用圆心到切线的距离等于半径，列出关于的方程，求出值．若求出的值有两个，则说明斜率不存在的情形不符合题意；若求出的值只有一个，则说明斜率不存在的情形符合题意 【题型一】求圆的方程 【例1】、（24-25高二上·广东惠州·期中）的三个顶点分别是、、. (1)求边上的高所在直线的方程； (2)求的外接圆（为圆心）的标准方程. 【变式1-1】、（24-25高二上·北京怀柔·期末）在平面内，、是两个不同的定点，是动点，若，则点的轨迹为（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【变式1-2】（25-26高二上·全国·课后作业）经过圆与直线的交点，且在轴上的弦长为的圆的方程是 ． 【变式1-3】、（25-26高二上·河南南阳·开学考试）根据下列条件，求圆的方程. (1)圆心是，且过点； (2)经过点，且以线段AB为直径的圆的方程； (3)已知的三个顶点为，求的外接圆方程. 【题型二】由关圆的轨迹方程 【例2】、（25-26高二上·重庆·开学考试）点在圆上运动，它与点所连线段中点为，则点轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】、（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）已知圆，是圆上的动点，点，若动点满足，则点的轨迹方程为（    ） A．( B． C． D． 【变式2-2】（24-25高二下·广东深圳·期中）点，点是圆上的一个动点，则线段的中点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2025高三·全国·专题练习）已知圆，点在直线上，若圆上存在两点，使得，则点的横坐标的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【题型三】点与圆的位置关系 【例3】、（24-25高二下·安徽·阶段练习）“点在圆外”是“直线与圆相交”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3-1】（24-25高二上·北京昌平·期末）“”是“坐标原点在圆的外部”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3-2】、（24-25高三上·天津和平·期末）若直线：与圆：相交于，两点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【题型四】直线与圆的位置关系 【例4】、（25-26高二上·河南南阳·阶段练习）已知直线与圆相切，则圆和圆的位置关系是（    ） A．相交 B．外切 C．内切 D．外离 【变式4-1】（25-26高二上·河南·阶段练习）已知关于的方程有两个相异实根，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【变式4-2】、（2025高三·全国·专题练习）已知直线l：与圆C：相切，且l关于x轴对称的直线与圆C有2个交点，则 ． 【题型五】弦长与切线问题 【例5】、（2025高三·全国·专题练习）圆过点的切线方程为 ． 【变式5-1】（25-26高二上·全国·课后作业）如图，圆，点为直线上一动点，过动点作圆的两条切线，切点分别为．则直线的方程为 ，直线所经过的定点的坐标为 ． 【变式5-2】（25-26高二上·全国·课前预习）圆C的半径为r，直线l与圆C交于A，B两点，且圆心C到直线l的距离，其中M为弦AB的中点，则 ，弦长 . 【变式5-3】设直线与圆相交于两点，且，则为（    ） A．2 B． C．3 D． 【题型六】圆上的点到直线的距离最值与个数问题 【例6】、（2025·重庆·三模）过圆O：外的点作O的一条切线，切点为M，则（    ） A．2 B． C． D．4 【变式6-1】（23-24高二上·江苏·单元测试）若直线l：与圆C： 交于M，N两点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知直线与圆相交于两点，则的最小值为（   ） A． B．2 C．4 D． 【题型七】圆与圆的位置关系 【例7】、已知圆的标准方程是，圆关于直线对称，则圆与圆的位置关系为（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．内含 【变式7-1】已知圆，圆，则这两个圆的位置关系为（    ）. A．外离 B．外切 C．相交 D．内含 【变式7-2】（25-26高二上·全国·课后作业）（多选）已知圆和圆相交于两点，则下列结论正确的是（    ） A．两圆相交 B．直线的方程为 C．两圆有两条公切线 D．线段的长为 【变式7-3】（25-26高二上·全国·单元测试）（多选题）点在圆上，点在圆上，则（    ） A．两个圆的公切线有2条 B．的取值范围为 C．两个圆上任意一点关于直线的对称点仍在对应圆上 D．到两个圆的公共弦所在直线的距离为 【题型八】两圆公共弦与公切线问题 【例8】、圆与圆的公共弦长为 . 【变式8-1】（25-26高二上·全国·单元测试）若圆，圆的两交点分别为A，B，则（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（24-25高二上·全国·课后作业）若圆与圆有且仅有一条公切线，则（    ） A． B．1 C． D．0 【变式8-3】（24-25高二上·全国·课后作业）圆与圆心为直线所过的定点，半径为的圆的公切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【题型九】综合问题 【例9】、（2025高三·全国·专题练习）古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果，写出了《圆锥曲线论》，此书中有许多关于平面轨迹的问题，例如：平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆．后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆．已知平面内有两点和，且该平面内的点P满足． (1)求点P的轨迹方程； (2)若点P的轨迹关于直线对称，求的最小值． 【变式9-1】（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线，圆． (1)若直线是圆的一条对称轴，求的值； (2)从①若直线被圆截得的弦长为4，②若直线被圆截得的弦长最短这两个条件中选择一个作为已知，求直线的方程． 注：若选择两个条件分别解答，按第一个解答计分． 【变式9-2】（25-26高二上·全国·单元测试）已知圆，圆交于A，B两点，在第二象限． (1)求以AB为直径的圆的方程； (2)若过点的直线（斜率存在）交圆于点，交圆于点，且，求直线CD的方程． 【变式9-3】（25-26高二上·全国·单元测试）已知圆，圆． (1)若两圆内含，求实数的取值范围． (2)是否存在实数，使得两圆公共弦的长度为2？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由． 【题型一】容易圆轨迹方程中定义不存在的点 【例1】、已知等腰三角形的一腰的两个端点分别是，则另一腰的一个端点的轨迹方程是（    ） A． B．（除去两点） C．（除去两点） D．（除去两点） 【变式1-1】（2025高三·全国·专题练习）过圆上一点作圆的一条动弦，为弦的中点． (1)求点的轨迹方程； (2)设点关于点的对称点为为坐标原点，将线段绕原点按逆时针方向旋转后，所得线段为，求的取值范围． 【题型二】容易忽略二元二次方程表示圆的一般方程的充要条件 【例2】、（24-25高二上·浙江杭州·阶段练习）方程表示圆的条件是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25高二上·安徽·期中）若点在圆的外部，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】方程表示圆，则实数a的取值范围（　　） A．R B． C． D． 【变式2-3】、若点在圆外，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $