22.3 实际问题与二次函数讲义【八大考点+八大题型】-2025-2026学年人教版九年级上册数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破

22.3 实际问题与二次函数 【考点归纳】 【知识梳理】 知识点一 利用二次函数解决利润问题 利润问题主要涉及两个等量关系：利润=售价-进价； 总利润=单件商品的利润×销售量． 在日常生活中，经常遇到求最大利润、最高产量等问题，在解答此类问题时，应建立函数模型，把它们转化为求函数的最值问题，然后列出相应的函数解析式，从而解决问题． 知识点二 利用二次函数求图形面积的最值 二次函数的最值：一般地，当a>0（a<0）时，抛物线y=ax2+bx+c的顶点是最低（最高）点，也就是说，当x=时，二次函数y=ax2+bx+c有最小（最大）值，最小（最大）值为． 知识点三 利用二次函数解决抛物线形问题 在实际生活中，如拱门、桥洞等问题，都可以通过建立二次函数模型来解答．在解答此类问题的过程中，要运用数形结合思想和函数思想，在图形上先建立合适的平面直角坐标系，再根据题意设出适当的函数解析式，然后由已知点的坐标，利用待定系数法求出函数解析式，最后根据函数解析式来分析解答问题． 知识点四 应用二次函数解决实际问题的基本思路 ①理解题意； ②分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系； ③用函数解析式表示它们之间的关系；④用数学方法求解； ⑤检验结果的合理性． 【题型探究】 题型一、图形问题 【例1】．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）如图，一边靠墙（墙足够长），其它三边用长的篱笆围成一个矩形花圃，这个花圃的最大面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的应用，理解题意，正确列出函数关系式是解答的关键．设，花圃面积为，根据题意得，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：设，花圃面积为，则， 根据题意，， ∵， ∴当时，S有最大值，最大值为32， 故这个花圃的最大面积是， 故选：C． 【跟踪训练1】．（24-25九年级上·河南平顶山·期末）为了节省材料，某工厂利用岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为80米的材料围成一个由三块面积相等的小长方形组成的矩形区域（如图），若米，则下列4个结论：①米；②；③；④矩形的最大面积为300平方米．其中正确结论的个数为（   ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了求二次函数的最大值，用代数式表示，长方形的面积相等，且，根据图示可知，则，设，根据面积相等得，再根据面积相等得出a，x的关系，即可判断A，B，C，再根据得出二次函数讨论极值即可． 【详解】解：如图所示，材料总长为80米，设，且， ∵长方形的面积相等， ∴， ∴， ∴， ∴． 根据分析得， ∴． ∵用总长为80米的材料围成一个由三块面积相等的小长方形， ∴， 解得， ∴， ∴米． 所以①错误，不符合题意； 根据题意，设由①得， ∵. ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 所以②不正确，不符合题意； 根据题意，设由①的论证结果可知， ∴， 所以③正确，符合题意； 根据②可知 ∴， ∴长方形的面积是， ∴根据抛物线的顶点可知， ∴（平方米）， 所以结论④正确，符合题意． 正确的有2个． 故选：B． 【跟踪训练2】．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，某校劳动实践基地用总长为的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为x（单位：m），与墙平行的一边长为y（单位：m），面积为S（单位：）． (1)直接写出y与x，S与x之间的函数解析式（写x的取值范围）； (2)矩形实验田的面积S能达到吗？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由； (3)当x的值是多少时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)，， (2)当时，矩形实验田的面积S能达到， (3)当时，S有最大值 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，二次函数的应用，二次函数的最值问题，理解题意，正确列出方程与函数表达式是解题的关键； （1）根据，求出y与x的函数解析式，根据矩形面积公式求出S与x的函数解析式； （2）先求出x的取值范围，再将代入函数中，求出x的值； （3）将S与x的函数配成顶点式，求出S的最大值． 【详解】（1）解：由题意得：， ， ， ； ， ， ， ， 即， ， ； （2）解：当时，， 即， 分解因式得：， 或， 或（舍去）， 即当时，矩形实验田的面积S能达到； （3）解：将函数解析式化为顶点式可得： ， 当时，S有最大值． 题型二、拱桥问题 【例2】．（25-26九年级上·新疆和田·阶段练习）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽． (1)建立平面直角坐标系并写出函数解析式． (2)水面下降，水面宽度增加多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平面直角坐标系、二次函数解决实际问题： （1）建立平面直角坐标系，根据抛物线顶点坐标设顶点式，再代入点求出解析式； （2）根据新的纵坐标，求出对应横坐标即可求出增加的宽度 【详解】（1）以拱顶为原点，水平方向为轴，竖直方向为轴建立平面直角坐标系 则抛物线的顶点在原点，设其解析式为 当拱顶离水面时，水面宽 即当时， 将代入解析式得： 解得： 所以函数解析式为： （2）当水面下降时，此时拱顶离水面，即 代入解析式得： 解得： 此时水面宽度为 原水面宽 所以水面宽度增加： 【跟踪训练1】．（24-25九年级上·全国·期中）一座隧道的截面由抛物线和长方形组成，长方形的长为8m，宽为2m，隧道的最高点P位于的中央且距地面6m，建立如图所示的坐标系． (1)求抛物线的解析式． (2)一辆货车高4m，宽2m，能否从该隧道内通过，为什么？ (3)如果隧道内设双行道，那么这辆货车是否可以顺利通过，为什么？ 【答案】(1) (2)可以通过 (3)可以通过 【分析】此题考查抛物线的性质及其应用，将抛物线上的两个点之间的水平距离与货车宽度作比较，从而来解决实际问题． （1）设出抛物线的解析式，根据抛物线顶点坐标，代入解析式； （2）令，解出x的值，然后将与车宽作比较即可求解； （3）隧道内设双行道后，将（2）求出时的抛物线线上两点的距离与2个车宽作比较． 【详解】（1）解：由题意可知抛物线的顶点坐标， 设抛物线的方程为， 又因为点在抛物线上， 所以有． 所以． 因此抛物线为：． （2）解：令，则有， 解得，， ， ∴货车可以通过； （3）解：由（2）可知， ∴货车可以通过． 【跟踪训练2】．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图是一座廊桥正中间最高的桥拱的示意图，其形状可近似看作抛物线型．工作人员利用无人机经过多次测量，测得桥拱的最高点A到水面的距离为，距离左、右侧桥墩的水平距离均为，已知桥墩露出水面的高度，以所在直线为x轴，垂直于且过最高点A的直线为y轴建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)为让游客能有更好的体验，工作人员计划在桥拱上悬挂灯带（灯带利用卡扣固定），使得灯带与水面平行，，且均与水面垂直，为保证安全，要求灯带底部D，G距水面的距离为，当灯带总长度最大时，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的应用，求二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题意，设该抛物线的函数表达式为，再把把代入，进行计算，即可作答． （2）先设，再分别表示，则灯带总长度，再结合二次函数的性质进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，， 故设该抛物线的函数表达式为， ∵距离左、右侧桥墩的水平距离均为，已知桥墩露出水面的高度， 即， 把代入，得， 解得， ∴该抛物线的函数表达式为； （2）解：∵该抛物线的函数表达式为， ∴设， 则， ∵灯带与水面平行，，且均与水面垂直，为保证安全，要求灯带底部D，G距水面的距离为， ∴， ∴灯带总长度， ∵， ∴当时，灯带总长度有最大值， 即， 故的长为． 题型三、增长率问题 【例3】．（24-25九年级上·内蒙古赤峰·期中）最新报道显示，2023年我国新能源汽车累计销量为万辆，销量逐年增加，若2025年的累计销量为y万辆，平均每年增长率为x，则y关于x的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的解析式，学会由实际问题抽象出函数的关系式是解题的关键．利用2025年的累计销量2023年的累计销量平均每年增长率，即可得到函数解析式． 【详解】解：根据题意，y关于x的函数解析式为． 故选：C． 【跟踪训练1】．（24-25九年级上·重庆·期中）某厂今年一月份新产品的研发资金为10万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y（万元）关于x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了根据实际问题抽象出二次函数解析式，直接利用二月的研发资金为：，故三月份新产品的研发资金为：，进而得出答案，正确表示出三月份的研发资金是解题关键． 【详解】∵每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x， ∴该厂今年三月份新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为：， 故选：C． 【跟踪训练2】．（24-25九年级上·云南昆明·阶段练习）为方便市民出行，某公司第一个月在市内投放了1500辆电动自行车，计划第三个月投放电动自行车辆，设该公司第二、三两个月投放电动自行车数量的月平均增长率为，那么与的函数关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系，理解在第一个月投放1500辆电动自行车的基础上增长2次得到y是解题的关键． 在第一个月投放1500辆电动自行车的基础上，增长2次即可得到y，据此列出一元二次方程即可． 【详解】解：第二个月投放单车数量， 第三个月投放单车数量． 故选A． 题型四、销售问题 【例4】．（25-26九年级上·吉林·阶段练习）“抖音”平台爆红网络，某电商在“抖音”上直播带货，已知该产品的进货价为70元/件，为吸引流量，该电商在直播中承诺自家商品价格永远不会超过110元/件，根据一个月的市场调研，商家发现当售价为110元/件时，日销售量为20件，售价每降低1元，日销售量增加2件． (1)当销售量为30件时，产品售价为 元/件． (2)直接写出日销售量y（件）与售价x（元/件）的函数关系式： （写化简后的解析式并写出自变量取值范围）． (3)该产品的售价每件应定为多少，电商每天可盈利最大并求出最大值？ 【答案】(1)105 (2) (3)售价每件应定为95元，电商每天可盈利最大，最大值为1250元 【分析】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用； （1）根据“当售价为110元/件时，日销售量为20件，售价每降低1元，日销售量增加2件”列式计算，即可解题； （2）根据“当售价为110元/件时，日销售量为20件，售价每降低1元，日销售量增加2件”，找出销售量y（件）与售价x（元/件）的函数关系式，即可解题； （3）利用配方法，结合平方式的非负性，求出每天的最大利润情况，即可解题． 【详解】（1）解：∵商家发现当售价为110元/件时，日销售量为20件，售价每降低1元，日销售量增加2件． ∴当销售量为30件时，日销售量增加件，则售价降低元， ∴当销售量为30件时，产品售价为元/件， 故答案为：． （2）解：据题意得：， ∵该产品的进货价为70元/件，且该电商在直播中承诺自家商品价格永远不会超过110元/件， ∴日销售量（件）与售价（元/件）的函数关系式为； （3）解：设电商每天可盈利元， 由题意得，， ∵，， 当时，取最大值1250， ∴当该产品的售价每件应定为95元，利润最大值为1250元． 答：当该产品的售价每件应定为95元，利润最大值为1250元． 【跟踪训练1】．（25-26九年级上·广西南宁·阶段练习）公安交警部门提醒市民，骑行出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售100个，6月份销售144个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为400个，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到6000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ (3)在（2）的条件下，当售价定为多少元时利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为 (2)该品牌头盔的实际售价应定为50元/个 (3)当售价定为55元时利润最大，最大利润为6250元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）根据月销售利润每个头盔的利润月销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值即可求出结论． （3）设利润为，则，根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． （2）解：设该品牌头盔的实际售价为y元， 依题意，得：， 整理，得：， 解得：，， 要使顾客尽可能得到实惠，取， 答：该品牌头盔的实际售价应定为50元． （3）解：设利润为w，则 ， ，函数开口向下， ∴当时，w最大，最大利润为6250元． 1【跟踪训练2】．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）某宾馆有40间客房，当客房的定价为210元/天时，客房全部住满；当房价每上调10元时，会有1间客房空置，宾馆对居住的每间房间支出30元/天的费用，根据规定，房价不得高于300元/天．设房价上调10x元（x为正整数），设一天入住的房间数为y． (1)直接写出y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围； (2)房价为多少元时，宾馆的利润最大？最大利润为多少？ 【答案】(1)； (2)房价为300元时，宾馆的利润最大，最大利润是8370元 【分析】此题考查一次函数与二次函数的应用． （1）根据当每个房间每天房价增加10元，就会空闲一个房间，可以写出与的函数关系式； （2）利用配方法将（2）中的二次函数化成顶点式，再求二次函数的最大值即可得利润的最大值，特别注意自变量的取值的范围． 【详解】（1）解：依题意，得， 每个房间每天的房价不得高于300元， ； （2）解：设宾馆一天的利润为元， ， ，， ∴当时，w取得最大值，此时（元）， 房价为（元）， 答：房价为300元时，宾馆的利润最大，最大利润是8370元． 题型五、投球问题 【例5】．（25-26九年级上·江苏·课后作业）某学生推铅球，铅球出手点处）的高度是，出手后的铅球沿一段抛物线弧（如图）运行，当运行到最高时，水平距离是． (1)试求铅球行进高度与水平距离之间的函数关系式； (2)如果将轴平移至直线，轴平移至直线，原抛物线不动，在新的坐标系下，求原抛物线弧的函数表达式． 【答案】(1)（） (2) 【分析】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）根据函数图象设出函数关系式，再将A点坐标代入求解即可求解； （2）设抛物线的表达式，将A点坐标代入即可求解． 【详解】（1）解：由已知可设抛物线的函数表达式是（其中． 抛物线经过了点 解之，得． 故所求的函数表达式为， 令，得或．不合题意，舍去）． 自变量的取值范围是． （2）解：原抛物线的顶点在坐标原点，开口向下，且过点， 所以设抛物线的表达式为， 则解得：， 故所求抛物线弧的函数表达式是． 【跟踪训练1】．（24-25九年级下·河南信阳·阶段练习）投壶  投壶，源于射礼，是中国古代宴饮时做的一种投掷游戏．投壶的规则：由游戏者轮流站在离壶一定距离的地方，用手把箭投向壶中并计算得分．箭在空中飞行的轨迹可以近似看成抛物线．同学们受游戏启发，将箭抽象为一个动点，并建立了如图所示的平面直角坐标系（单位长度为）．某同学将箭从处抛出，箭的飞行轨迹为抛物线的一部分，且当箭的最大高度为时，距离投出点的水平距离为．把壶近似看作矩形，已知壶口的宽度，壶的高度． (1)求抛物线的表达式． (2)若箭刚好由点处擦边投入壶中，求人离壶的距离． (3)在（2）的条件下，该同学再次投掷，仅调整了将箭抛出时的高度，其他条件不变，要使得箭再次投入壶中，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)米 (3) 【分析】本题考查二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，根据实际情况设出相应的函数解析式是解题的关键． （1）由题可知抛物线的顶点为，则，将点代入，即可求函数的解析式即可； （2）令，求出，则（米）； （3）设再次投掷时箭的飞行轨迹对应的抛物线轨迹为，将代入，求得，则函数解析式为，由此可得． 【详解】（1）解：∵箭的最大高度为时，距离投出点的水平距离为， ∴抛物线的顶点为， ∴， ∵抛物线经过点， ∴， 解得， ∴； （2）解：令， 解得或（舍）， ∵四边形是矩形， ∴， ∴（米）， ∴人离壶的距离为米； （3）解：设再次投掷时箭的飞行轨迹对应的抛物线轨迹为， 当箭刚好由点处擦边投入壶中时，将代入， 得， 解得， ∴， ∴． 【跟踪训练2】．（2025·湖北武汉·模拟预测）某校将举行“迎五四青年节”投篮比赛，为取得好成绩，小明在课余时间进行了大量投篮练习．如图1，将篮球从点掷出，篮球在处落到地面，篮球的运动路线可看作是抛物线的一部分．为研究这个过程，小明以水平地面为轴建立如图的平面直角坐标系，点与轴的水平距离为，且距离水平地面（轴）为，点与轴的水平距离为，抛物线与轴交于点． (1)请直接写出：①抛物线的解析式为 ； ②求抛物线的顶点坐标为 (2)比赛前夕，班委会制定了比赛规则，如图2，以点为中心放置一个高为，直径为的圆柱形球筐，其截面为矩形，若抛物线恒过、两点（落地点会发生变化）． ①求出解析式中与之间满足的关系式； ②若篮球能掷入圆筐，求出解析式中的取值范围． 【答案】(1)①；② (2)①；② 【分析】本题考查二次函数的应用，待定系数法确定函数的解析式，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键． （1）①运用待定系数法求函数解析式即可； ②把解析式配方为顶点式，得到顶点坐标即可； （）①把点的坐标代入解析式得到和的关系式即可； ②分别求出点、的坐标，代入解析式求出的值，即可得到的取值范围． 【详解】（1）解：①由抛物线，过点，， 得， ∴ ∴； ②∵， ∴抛物线的顶点坐标是． （2）解：①∵点的坐标为， ∵抛物线经过点， ∴，整理得：； ②∵，圆筐的截面为矩形， ∴，， 当抛物线经过点时，，解得：； 当抛物线经过点时，，解得：； 综上可得：， 题型六、喷水问题 【例6】．（25-26九年级上·河南信阳·阶段练习）某圆形洗手盆上安装了一款水龙头，其弯曲部分呈抛物线形，以水龙头底部与洗手盆台面的交点O为坐标原点，直立部分所在直线为y轴，垂直于的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，测得水龙头最高点P距x轴，距y轴． (1)直接写出点P的坐标__________； (2)若沿水龙头喷出的水柱仍然按照原来的抛物线轨迹运动，且在台面的落点到直立部分的距离为，求水龙头直立部分的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的求出二次函数的解析式，是解题的关键： （1）根据点到坐标轴的距离，写出点P的坐标即可； （2）根据题意得到抛物线与轴的交点坐标，设出顶点式，待定系数法求出函数解析式，求出抛物线与轴的交点即可得出结果。 【详解】（1）解：∵点P距x轴，距y轴，且点在第一象限， ∴， 故答案为：； （2）解：由题意得，设抛物线解析式为，且抛物线经过点， ∴，解得， 因此， 当时，， ∴水龙头直立部分的长度为． 【跟踪训练1】．（25-26九年级上·北京·阶段练习）某广场有一个喷泉，水流从垂直于地面的水管喷出，长为2米，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度（米）与水平距离（米）之间近似满足函数关系，下面是水流高度和水平距离之间的几组数据： /米 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 /米 2 2.625 3 3.125 3 2.625 2 (1)根据上述数据，直接写出水流喷出的最大高度，并求出满足条件的函数关系式； (2)由于调整了水压，水流喷出高度与水平距离之间近似满足函数关系，调整后水流落点为，则____________．（填“”，“＝”或“”）． 【答案】(1)水流喷出的最大高度为米； (2) 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意，求出函数解析式是解题的关键． （1）由表格数据可得水流喷出的最大高度，再由待定系数法求解函数解析式； （2）分别令两个方程，解一元二次方程求解出和即可． 【详解】（1）解： 由表格可得抛物线对称轴为直线， ∴水流喷出的最大高度为米， 由题意可得，抛物线经过点，，， 将上述三个点坐标代入中，得 ， 解得 ， ∴函数关系式为； （2）解：对于，当，则， 解得：或（舍）， ∴， 对于，当，则， 或（舍）， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪训练2】．（25-26九年级上·陕西安康·阶段练习）小红观察到一处喷水景观喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：喷水装置竖立在地面上、建立如图所示的平面直角坐标系，其中一条水柱距地面的高度与水柱距喷水头的水平距离之间满足关系式． (1)求喷头与地面的距离； (2)已知身高的小红现直立在距离喷水装置有的水柱正下方的点处，此时她的头顶并未接触到水柱，小红想要继续沿方向直立行走，当她的头顶恰好接触到水柱时，距离点多远？ 【答案】(1)喷头与地面的距离为 (2)当小红的头顶恰好接触到水柱时，距离点有远 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，掌握顶点式求二次函数解析式是解题的关键． （1）将代入计算即可； （2）将代入，解方程，结合二次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：当时，． 答：喷头与地面的距离为． （2）解：将代入得． 解得（舍），， ， 答：当小红的头顶恰好接触到水柱时，距离点有远． 题型七、图形运动问题 【例7】．（25-26九年级上·广西南宁·阶段练习）在矩形中，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)当t为何值时，的长度等于？ (2)是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． (3)是否存在t的值，使的面积最大，若存在，请直接写出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或2时，； (2)存在秒，能够使得五边形的面积等于．理由见解析 (3) 【分析】本题考查一元二次方程的应用，二次函数的应用，正确的列出方程和二次函数的解析式是解题的关键： （1）表示出的长，根据勾股定理，列出方程进行求解即可； （2）分割法求五边形的面积，列出方程进行求解即可； （3）将的面积转化为二次函数求最值即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∴当时，， 解得：或； （2）存在，理由如下： ∵五边形的面积， ∴当五边形的面积等于时，， 解得：或， ∵点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动， ∴当点到达点时，， ∴， ∴当时，五边形的面积等于； （3）存在， ∵， ∵， ∴当时，的面积最大为． 【跟踪训练1】．（25-26九年级上·浙江）如图，矩形的两边长，点M、N分别从A、B同时出发．M在边上沿方向以每秒的速度匀速运动，N在边上沿方向以每秒的速度匀速运动，当N到达C点时，M、N停止运动．设运动时间为t秒、的面积为． (1)求S关于t的函数关系式，并写出t的取值范围； (2)求的面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确列出函数关系式，是解题的关键： （1）由题意，求出的长，利用面积公式求出解析式，再根据当N到达C点时，M、N停止运动，求出取值范围即可； （2）根据二次函数的性质，求最值即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， ∴， ∴， 当N到达C点时，则， ∴； 故：； （2）∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随着的增大而增大， ∵， ∴当时，最大为； 即：的面积的最大值为． 【跟踪训练2】．（24-25九年级下·吉林松原·期中）如图，在中，，，，点为边的中点．点从点出发，以3单位长度/s的速度沿方向运动，到点停止．当点与、两点不重合时，过点作交于点，点在点右侧，，以、为边作矩形．设点的运动时间为． (1)直接写出线段长．（用含的代数式表示） (2)求当点落在线段上时的值． (3)设矩形与重叠部分图形面积为，求与之间的函数关系式． 【答案】(1)当时，．当时， (2) (3) 【分析】本题考查矩形的性质，动点问题； （1）分为或两种情况解答即可； （2）由题意列方程求出t值即可； （3）分为，或三种情况求出关系式即可． 【详解】（1）解：∵是的中点， ∴， 当时，． 当时，． （2）解：当点落在线段上时，． ， 解得； （3）当时，如图，点在的左侧，设与交于点，重叠部分是， 这时， ∵， ∴， ∴， ． 当时，如图，点在的右侧，点在的左侧，设直线交矩形的两边长于点，，则重叠部分为五边形， 这时， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 当时，如图，点在的右侧，点在的左侧，设直线交矩形的两边长于点，，交于点，则重叠部分为五边形， 则， ． ∴． 题型八：二次函数与其他知识交汇问题 【例8】．（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）如图1，物理活动课上，同学们做了一个小球弹射实验，小球从斜坡点O处以一定的方向弹出，小球的飞行路线近似地看作是抛物线的一部分，首先落到斜坡上的点A处． 第一步：如图-2，根据小球飞行路线，以过点O的水平直线为x轴，过点O的铅垂直线为y轴建立平面直角坐标系． 第二步：分析图象得出，小球飞行的水平距离与小球飞行的高度的变化规律如表： 0 1 2 3 4 5 … 0 2.5 4 4.5 4 2.5 … 第三步：在平面直角坐标系中，斜坡的函数表达式为． 根据以上内容回答下列问题： (1)求小球飞行的高度与水平距离的函数表达式（不要求写自变量的范围）； (2)如图3，在斜坡点B（靠近点O）位置处种了一棵树，树的高度为米，若小球恰好经过树的最高点，求点B的坐标； (3)直接写出小球在飞行过程中距坡面的最大铅直高度． 【答案】(1)函数表达式为 (2) (3)小球在飞行过程中距坡面的最大铅直高度为． 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的实际应用，正确理解题意，求出函数解析式是解题的关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）设，则小树顶端点的坐标为，将其代入解方程即可； （3）建立新的函数，设铅直高度为，由题意得，再利用二次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：设小球飞行的高度与水平距离的函数表达式为， 由表格得：，解得：，∴函数表达式为； （2）解：由题意得，设，∴小树顶端点的坐标为， 将其代入得，，解得：，∵在斜坡点B（靠近点O）位置处种了一棵树，，∴不符合题意，舍去，∴； （3）解：设铅直高度为，由题意得，∴； ∵，∴当时，取得最大值为， ∴小球在飞行过程中距坡面的最大铅直高度为． 【跟踪训练1】．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C． (1)求抛物线对应的二次函数表达式； (2)点P在抛物线对称轴上，当是以为底的等腰三角形时，求点P的坐标； (3)在抛物线上存在点Q，使得，直接写出Q的坐标______． 【答案】(1) (2) (3)点Q的坐标为或或或． 【分析】（1）由交点式可直接得出抛物线的解析式； （2）设，根据列出方程，进而求得点坐标； （3）过点作轴于点，交于点，求得直线的解析式为，设点的坐标为，则点的坐标为，根据题意得到，列方程求出m的值即可． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴， ， ； （2）解：， ∴对称轴为直线， 当时，， ∴， 设， ， ， ， ； （3）解：过点作轴于点，交于点，如图所示， 当时，， ∴， ∴， ∵，， ∴设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 设点的坐标为，则点的坐标为， ∵， ∴， ∴，即， 整理得， 当， 解得或， 当时，， 当时，， ∴点Q的坐标为或； 当， 解得或， 当时，， 当时，， ∴点Q的坐标为或； ∴点Q的坐标为或或或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了求二次函数解析式，一次函数解析式，勾股定理列方程，掌握二次函数的基本性质，熟练运用割补法求解平面直角坐标系中三角形的面积问题是解题关键． 【跟踪训练2】．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图像与一次函数的图像交于A，B两点，已知．      (1)求抛物线的表达式； (2)点C是直线上方抛物线上的一动点，连接，．点M，N是y轴上的两动点（M在N上方），且满足，连接，，当的面积取得最大值时，求的最小值； (3)当（2）中取得最小值时，若Q是抛物线对称轴上位于直线上方的一动点，是否存在以C、M、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）首先确定，将，两点代入并求解即可； （2）过点C作轴交直线于点E， 设点C坐标为，易得点E 坐标为，可知，结合三角形面积公式可得，由二次函数的性质可得当时，有最大值，此时，将点 B 关于y轴的对称点，再向上平移3个单位得到，连接、，,则有，即可获得答案； （3）根据待定系数法求出直线解析式，则可求点M的坐标，设，分三种情况讨论：；；，根据两点间距离公式构建关于m的方程，求解即可． 【详解】（1）解：对于一次函数，令，可得， ∴， 将，两点代入， 可得，解得， 则抛物线的表达式为； （2）解：过点C作轴交直线于点E， 设点C坐标为，    ∴点E 坐标为，∴， ∵，，∴，∴当时，有最大值，此时，将点 B 关于y轴的对称点，再向上平移3个单位得到，连接、，,则，，， 是平行四边形， ， ， ， 即当点、、三点共线时，有最小值，，， 即最小值为； （3）解：设直线解析式为， 把，代入，得，解得，∴，当时，， ∴， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线，对于，当时，， 设，当时，， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴； 当时，， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴； 当时，， 解得（不符合题意，舍去）， 综上，点Q的坐标为或． 【高分演练】 一、单选题 1．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）某商城计划销售拉布布，每个进货价为50元．调查发现，当销售价为120元时，平均每天能售出80个；而当销售价每降低1元时，平均每天就能多售出5个．设每个拉布布降价x元时，每天获得的利润为y元，则y关于x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程即可． 【详解】由题意，可列y关于x的函数关系式为：． 故选：A． 2．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）黄山毛峰是安徽最具代表性的绿茶之一，产于黄山山区，新茶一上市就获得全国人民的追捧，某地第一天销售额为万元，以后每天销售额按相同的增长率增长，三天后销售额累计达万元，若把增长率记作，则关于的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式是解题的关键． 由第一天的销售额及以后每天销售额的增长率，可得出第二、三天的销售额，再将三天的销售额相加，即可找出关于的函数关系式． 【详解】解：该地第一天销售额为万元，以后每天销售额按相同的增长率增长，增长率记作， 第二天销售额为万元，第三天销售额为万元． 根据题意得：． 故选：D． 3．（25-26九年级上·陕西延安·阶段练习）如图，某大桥的桥拱可以用抛物线的一部分表示，其函数关系式为，当水面宽度为时，水面与桥拱顶部的高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了二次函数的实际应用，根据题意得的横坐标为，把直接代入解析式即可解答，掌握二次函数的对称性是解题的关键． 【详解】解：根据题意得的横坐标为，将代入得：， ∴， ∴， ∴水面与桥拱顶部的高度等于， 故选：． 4．（25-26九年级上·广西南宁·阶段练习）某宾馆有20个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间会全部住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出40元的各种费用．则房价定为多少时，宾馆利润取得最大值是（    ） A．210 B．220 C．230 D．240 【答案】B 【分析】本题涉及二次函数的实际应用，核心是根据利润的构成建立二次函数模型，再利用二次函数的顶点式（或顶点坐标公式）求利润的最大值，其中利润 每个房间利润 入住房间数是建立函数的关键。设房价定为元，根据利润 （房价 支出费用） 入住房间数，列出利润的函数表达式，再根据二次函数的性质求最值． 【详解】设房价定为元，宾馆的利润为元， 当房价为元时，每个房间的定价增加了元， 因为每增加元就有一个房间空闲，所以空闲的房间数为，则入住的房间数为， 每个房间的利润为元， 所以利润， 化简： ， 对于二次函数（），当时，函数在处取得最大值， 在中，，， 则． 故选：B． 5．（24-25九年级下·吉林长春·阶段练习）某商场购进一批文创商品，进价为每件20元．当售价为每件28元时，每周可卖出160件；售价每降低1元，每周销量增加20件，设每件售价为x元，每周利润为y元，y与x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据实际问题列二次函数关系式，根据每周的利润=每件商品的利润×销售量，列出函数关系式即可． 【详解】解：由题意得：． 故选：A． 6．（24-25九年级下·江西宜春·阶段练习）某湖面上有一座抛物线形拱桥，按如图所示的方式建立平面直角坐标系，得到抛物线的函数解析式为，正常水位时，水面宽为，此时拱顶到水面的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据题意可得：把代入，进行计算，即可求解． 【详解】解：∵水面宽为， ∴的横坐标为 把代入 得： ∴ ∴此时拱顶到水面的距离为 故选：A． 7．（24-25九年级上·河南周口·期末）数学来源于生活，伞是生活中常见的一种工具．伞撑开后如图1所示，由此发现数学知识抛物线．如图2，以伞柄所在的直线为y轴，以伞骨，的交点O为坐标原点建立平面直角坐标系，C为抛物线上的点，点A，B在抛物线上，，关于y轴对称．已知抛物线的表达式为，若点A到x轴的距离是，则A，B两点之间的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的应用，轴对称的性质，先求出点到轴的距离为，再结合轴对称的性质即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵点A到x轴的距离是， ∴令，则， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴点到轴的距离为， ∵点A，B在抛物线上，，关于y轴对称， ∴， 故选：D． 8．（25-26九年级上·全国）如图，某同学在校运会跳高比赛中采用背跃式，跳跃路线是一条抛物线．他跳跃的高度y（单位：m）与跳跃时间x（单位：s）之间具有函数关系，那么他能跳过的最大高度为（    ） A． B． C．1m D． 【答案】A 【分析】本题考查了配方法求抛物线的最值，熟练进行配方是解题的关键．利用配方法把一般式转化为顶点式，确定二次函数的最值即为所求． 【详解】解： ， 当时，有最大值为， 他能跳过的最大高度为. 故选：A ． 9．（24-25八年级下·重庆渝中·期末）新世纪商场销售某种电视，每台进价为6500元，销售价为6900元，平均每天能售出6台；调查发现，当销售价每降低50元，平均每天就能多售出2台，商场要想使这种电视的销售利润平均每天达到1800元，每台电视应该降价多少元?若设每台电视降价元，根据题意可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题列出一元二次方程，能够表示出一台电视的利润和销售量增加的部分是解题的关键．根据利润问题公式：总利润单台利润销售数量，单台利润为原售价减进价再减去降价，销售数量随降价增加，即可列出方程． 【详解】解：设每台电视降价元， 降价后单台利润是元，卖出的台数是台， 商场要想使这种电视的销售利润平均每天达到1800元， 可列方程为， 故选：B． 10．（2025·河南驻马店·三模）如图，在边长为的正方形中，动点P从点A出发沿A→B的方向以1 cm/s的速度运动；同时，动点Q从点D出发沿D→C→B的方向以的速度运动．当点Q到达点B时，点P，Q同时停止运动．设的面积为y（），运动时间为x（），下列能大致反映y与x之间函数关系的图象是（    ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数与二次函数，正方形的性质，动点问题，正确作出图形是解题的关键。 根据点Q所在正方形的不同边上，分类讨论，逐一计算，即可解答。 【详解】解：①当点Q在上时，如图 有，， ∴（）． 此时y与x之间的函数为一次函数． ②当点Q在上时，如图 有，， ∴， ∴（）． 此时y与x之间的函数为二次函数． 综上所述，符合当时，图像为一次函数；时，图像为二次函数，只有B选项． 故选B． 二、填空题 11．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）年级的一名高个子男生推铅球，铅球的运动轨迹可看作某条抛物线的一部分，已知这名男生的出手处A点离地面的高度为2米，当球运动到点B最高处5米时，离该男生站立地点O的水平距离为6米．以点O为原点建立如图所示的坐标系，有一个横截面为矩形的竹筐，长米，高米（不考虑竹筐的宽度），若铅球可落入筐内（不含G，F点），请求竹筐的边到O点的水平距离m的取值范围 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的实际应用．根据题意，得到为顶点坐标，设出顶点式，待定系数法求出函数解析式，再求出时的函数值，结合，即可得出结果． 【详解】解：根据题意可知，，且为顶点坐标， 设抛物线的解析式为， 将代入，得，解得， 抛物线的解析式为； 令，得． 解得，（舍去）． ， ． 故答案为：． 12．（25-26九年级上·福建莆田·阶段练习）将一条长为16米绳子截成两条绳子，分别用这两条围成两个正方形，求这两个正方形面积和的最小值 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据题意得出二次函数解析式，再根据二次函数的性质即可得到答案． 【详解】解：设其中一条的长度为，则另一条绳子的长度为，两个正方形的边长分别为，． 设两个正方形的面积之和为， 则． ∵， ∴当时，取得最小值，最小值为8． 故答案为：8． 13．（25-26九年级上·浙江衢州·阶段练习）小汽车刹车距离与速度之间的函数关系式为，一辆小汽车速度为，在前方处停放一辆故障车，此时刹车 有危险（填“会”或“不会”）． 【答案】会 【分析】此题主要考查二次函数在实际中的应用，熟练掌握把自变量v代入函数关系式，求得因变量从而作出比较是解题的关键. 把小汽车的速度代入函数关系式，求得小汽车的刹车距离，然后与作比较即可. 【详解】解：将代入， 得． ∴此时刹车会有危险． 故答案为：会． 14．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）从地面竖直向上发射出的物体离地面的高度满足关系式，其中是物体运动的时间，是物体被发射出时的速度科学小组在高的实验楼前从地面竖直向上发射出小球，如图所示若发射出小球的初速度，当小球离地面的高度与实验楼的高度相同时，的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查二次函数的实际应用，理解题意是解题关键．将，代入求解即可． 【详解】解：将，代入，得：， 解得：，． 故答案为：或． 15．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图1是某城市广场音乐喷泉，出水口处的水流呈抛物线形，该水流喷出的高度（）与水平距离（）之间的关系如图2所示，点为该水流的最高点，点为该水流的落地点，且，垂足为点，．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式． 根据题意可得点，设抛物线的解析式为，把点代入，可求出抛物线的解析式，然后令，即可求解． 【详解】解：∵，，，， ∴点， 设抛物线的解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 当时，， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴点C的坐标为， ∴， 即的长为． 故答案为： 三、解答题 16．（2025九年级上·内蒙古·专题练习）某商店销售龙年春晚吉祥物形象“龙辰辰”纪念品，已知每件进价为7元，当销售单价定为9元时，每天可以销售200件，市场调查反映：销售单价每提高1元，日销量将会减少10件，物价部门规定：销售单价不能超过进价的2倍，设该纪念品的销售单价为x（元），日销量为y（件），日销售利润为w（元）． (1)求y与x的函数关系式： (2)求日销售利润w（元）与销售单价x（元）的函数关系式，当x为何值时，日销售利润最大，并求出最大利润． 【答案】(1) (2)，当x为14时，日销售利润最大，最大利润1050元 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的应用，正确列出函数解析式是解题的关键； （1）根据销售量等于原有每天的销售量减去因售价提高而减少的销售量，即可列出函数关系式，进而写出自变量的取值范围； （2）根据日销售利润等于单件的利润与日销售量的乘积，列出二次函数式，再求出最大值即可． 【详解】（1）解：根据题意得，， 故y与x的函数关系式为； （2）解：根据题意得，， ∵， ∴当时，w随x的增大而增大， 当时，w最大值为1050， 答：当x为14时，日销售利润最大，最大利润1050元． 17．（25-26九年级上·陕西榆林·阶段练习）小红观察到一处喷水景观喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：喷水装置竖立在地面上，建立如图所示的平面直角坐标系，其中一条水柱距地面的高度y（m）与水柱距喷水头的水平距离x（m）之间满足关系式． (1)求喷头P与地面的距离OP； (2)已知身高的小红现直立在距离喷水装置的水柱正下方的点B处，此时她的头顶并未接触到水柱，小红想要继续沿方向直立行走，当她的头顶恰好接触到水柱时，距离点B多远？ 【答案】(1) (2)离点远 【分析】利用本题重点考查​二次函数的性质与实际应用​，​理解二次函数表达式各参数的意义，并将实际问题转化为数学问题求解是解题的关键​． （1）令，求出即得答案； （2）计算当，求出，再用结果减去3即得答案． 【详解】（1）当时，， 答：喷头P与地面的距离为0.4m． （2）将代入得：， 解得（舍），， ， 答：当小红的头顶恰好接触到水柱时，距离点B 3m远． 18．（2025九年级上·内蒙古·专题练习）某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元，经过市场调查发现，该文具每天的销售数量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价/元 … 12 13 14 … 每天销售数量/件 … 36 34 32 … (1)求出y与x之间的函数解析式，写出自变量取值范围． (2)若该超市每天销售这种文具获利192元，则销售单价为多少元？ (3)设销售这种文具每天获利w（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)元 (3)当销售单价为元时，每天获利最大，最大利润是元 【分析】本题主要考查一次函数与二次函数的实际应用，解题关键是根据题意建立函数模型，再利用函数的性质求解． （1）利用待定系数法求解y与x之间的函数关系式，再根据题意写出自变量取值范围即可； （2）把代入函数解析式求出自变量的值，根据题意舍去不合题意的解即可； （3）依题意得，，根据二次函数性质求出的最大值即可． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为， 将、代入得， ， 解得，， ∴y与x的函数关系式为． （2）解：依题意得，， 解得，，（舍去）， ∴销售单价应为元． （3）依题意得，， ∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，有最大值，， ∴当销售单价为元时，每天获利最大，最大利润是元． 19．（25-26九年级上·北京·开学考试）在一次社会实践活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两墙足够长），用6米长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围两边），设米． (1)如果花园的面积为5平方米，求x的值； (2)如果在点P处有一棵树到墙的距离分别是4米和1米，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树粗细），直接写出花园面积的最大值． 【答案】(1)1或5 (2)8平方米 【分析】本题考查二次函数的应用，熟知矩形的面积公式及二次函数的增减性是解题关键． （1）根据米可知米，再根据矩形的面积公式即可得出结论； （2）根据题意列出s和x的函数关系式，然后根据题意求出x的取值范围，然后根据函数的性质求出最大值． 【详解】（1）解：设米，可知米， 根据题意得：． 解这个方程得：，， 答：x的值为1或5； （2）解：设周围的矩形面积为s， 则 ∵在P处有一棵树与墙、的距离分别是4米和1米， ∴， ∴． ∵抛物线开口向下，当时，s随x的增大而增大， ∴当时，s有最大值为， ∴花园面积的最大值是8平方米． 20．（25-26九年级上·山西吕梁）在一次劳动课中，老师准备了一些长为、宽为的长方形硬纸板，准备利用这些纸板制作无盖的长方体纸盒，且每张纸板可制作两个纸盒（接头处忽略不计）．如图，活动小组将纸板在四个直角处裁掉四个边长为的正方形，再在中间裁掉一块正方形，再分别沿着虚线折起来，得到两个相同的无盖长方体纸盒，其中一个纸盒的底面是矩形． (1)求制作的无盖纸盒的底面的边的长； (2)写出一个无盖纸盒的体积y（单位：）与x（单位：）之间的函数关系式，并求出当x的值为5时，单个无盖纸盒的体积y的值． 【答案】(1) (2)，当时， 【分析】本题考查了列代数式、长方体的展开图、二次函数解析式和求函数值： （1）根据及裁剪后的图形关系即可求解； （2）根据长方体的体积公式表示出y，再求值即可． 【详解】（1）解：如图为两个无盖纸盒的展开图： 由图可知，， 故． 故边的长为； （2）解：根据题意，可知无盖纸盒的长宽高分别为：， ∴， ∴当时，． 21．（25-26九年级上·吉林松原·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线经过原点O和点．点P是抛物线上的点，其横坐标为m，点Q的坐标为．连接PQ、PO、QO． (1)求该抛物线对应的函数解析式； (2)当时，求的面积； (3)求m为何值时，线段的长为2； (4)当该抛物线在内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)，，， (4) 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质、坐标与图形，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． （1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）当时，可得，，由此可得，再根据三角形面积公式即可求解； 分别求有一条边与轴重合，可知与轴重合，则，即可求的值； （3）根据，解方程即可； （4）根据当该抛物线在内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，点在对称轴右侧，而且点在点上方，列不等式组即可解答． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点和原点， ∴， 解得， ∴； （2）解：当时， 点在抛物线上，其横坐标为， ， 又∵点Q的坐标为．即 ∴轴， ， ∴． （3）点在抛物线上，其横坐标为， ， 又∵点Q的坐标为， ∴， ∵，即， 解得：，，，． （4）∵该抛物线在内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时， 如图所示，点在对称轴右侧，而且点在点上方，      ，即： 解得． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 22.3 实际问题与二次函数 【考点归纳】 【知识梳理】 知识点一 利用二次函数解决利润问题 利润问题主要涉及两个等量关系：利润=售价-进价； 总利润=单件商品的利润×销售量． 在日常生活中，经常遇到求最大利润、最高产量等问题，在解答此类问题时，应建立函数模型，把它们转化为求函数的最值问题，然后列出相应的函数解析式，从而解决问题． 知识点二 利用二次函数求图形面积的最值 二次函数的最值：一般地，当a>0（a<0）时，抛物线y=ax2+bx+c的顶点是最低（最高）点，也就是说，当x=时，二次函数y=ax2+bx+c有最小（最大）值，最小（最大）值为． 知识点三 利用二次函数解决抛物线形问题 在实际生活中，如拱门、桥洞等问题，都可以通过建立二次函数模型来解答．在解答此类问题的过程中，要运用数形结合思想和函数思想，在图形上先建立合适的平面直角坐标系，再根据题意设出适当的函数解析式，然后由已知点的坐标，利用待定系数法求出函数解析式，最后根据函数解析式来分析解答问题． 知识点四 应用二次函数解决实际问题的基本思路 ①理解题意； ②分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系； ③用函数解析式表示它们之间的关系；④用数学方法求解； ⑤检验结果的合理性． 【题型探究】 题型一、图形问题 【例1】．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）如图，一边靠墙（墙足够长），其它三边用长的篱笆围成一个矩形花圃，这个花圃的最大面积是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】．（24-25九年级上·河南平顶山·期末）为了节省材料，某工厂利用岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为80米的材料围成一个由三块面积相等的小长方形组成的矩形区域（如图），若米，则下列4个结论：①米；②；③；④矩形的最大面积为300平方米．其中正确结论的个数为（   ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【跟踪训练2】．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，某校劳动实践基地用总长为的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为x（单位：m），与墙平行的一边长为y（单位：m），面积为S（单位：）． (1)直接写出y与x，S与x之间的函数解析式（写x的取值范围）； (2)矩形实验田的面积S能达到吗？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由； (3)当x的值是多少时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？ 题型二、拱桥问题 【例2】．（25-26九年级上·新疆和田·阶段练习）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽． (1)建立平面直角坐标系并写出函数解析式． (2)水面下降，水面宽度增加多少？ 【跟踪训练1】．（24-25九年级上·全国·期中）一座隧道的截面由抛物线和长方形组成，长方形的长为8m，宽为2m，隧道的最高点P位于的中央且距地面6m，建立如图所示的坐标系． (1)求抛物线的解析式． (2)一辆货车高4m，宽2m，能否从该隧道内通过，为什么？ (3)如果隧道内设双行道，那么这辆货车是否可以顺利通过，为什么？ 【跟踪训练2】．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图是一座廊桥正中间最高的桥拱的示意图，其形状可近似看作抛物线型．工作人员利用无人机经过多次测量，测得桥拱的最高点A到水面的距离为，距离左、右侧桥墩的水平距离均为，已知桥墩露出水面的高度，以所在直线为x轴，垂直于且过最高点A的直线为y轴建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)为让游客能有更好的体验，工作人员计划在桥拱上悬挂灯带（灯带利用卡扣固定），使得灯带与水面平行，，且均与水面垂直，为保证安全，要求灯带底部D，G距水面的距离为，当灯带总长度最大时，求的长． 题型三、增长率问题 【例3】．（24-25九年级上·内蒙古赤峰·期中）最新报道显示，2023年我国新能源汽车累计销量为万辆，销量逐年增加，若2025年的累计销量为y万辆，平均每年增长率为x，则y关于x的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】．（24-25九年级上·重庆·期中）某厂今年一月份新产品的研发资金为10万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y（万元）关于x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】．（24-25九年级上·云南昆明·阶段练习）为方便市民出行，某公司第一个月在市内投放了1500辆电动自行车，计划第三个月投放电动自行车辆，设该公司第二、三两个月投放电动自行车数量的月平均增长率为，那么与的函数关系是（   ） A． B． C． D． 题型四、销售问题 【例4】．（25-26九年级上·吉林·阶段练习）“抖音”平台爆红网络，某电商在“抖音”上直播带货，已知该产品的进货价为70元/件，为吸引流量，该电商在直播中承诺自家商品价格永远不会超过110元/件，根据一个月的市场调研，商家发现当售价为110元/件时，日销售量为20件，售价每降低1元，日销售量增加2件． (1)当销售量为30件时，产品售价为 元/件． (2)直接写出日销售量y（件）与售价x（元/件）的函数关系式： （写化简后的解析式并写出自变量取值范围）． (3)该产品的售价每件应定为多少，电商每天可盈利最大并求出最大值？ 【跟踪训练1】．（25-26九年级上·广西南宁·阶段练习）公安交警部门提醒市民，骑行出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售100个，6月份销售144个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为400个，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到6000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ (3)在（2）的条件下，当售价定为多少元时利润最大，最大利润是多少？ 【跟踪训练2】．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）某宾馆有40间客房，当客房的定价为210元/天时，客房全部住满；当房价每上调10元时，会有1间客房空置，宾馆对居住的每间房间支出30元/天的费用，根据规定，房价不得高于300元/天．设房价上调10x元（x为正整数），设一天入住的房间数为y． (1)直接写出y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围； (2)房价为多少元时，宾馆的利润最大？最大利润为多少？ 题型五、投球问题 【例5】．（25-26九年级上·江苏·课后作业）某学生推铅球，铅球出手点处）的高度是，出手后的铅球沿一段抛物线弧（如图）运行，当运行到最高时，水平距离是． (1)试求铅球行进高度与水平距离之间的函数关系式； (2)如果将轴平移至直线，轴平移至直线，原抛物线不动，在新的坐标系下，求原抛物线弧的函数表达式． 【跟踪训练1】．（24-25九年级下·河南）投壶  投壶，源于射礼，是中国古代宴饮时做的一种投掷游戏．投壶的规则：由游戏者轮流站在离壶一定距离的地方，用手把箭投向壶中并计算得分．箭在空中飞行的轨迹可以近似看成抛物线．同学们受游戏启发，将箭抽象为一个动点，并建立了如图所示的平面直角坐标系（单位长度为）．某同学将箭从处抛出，箭的飞行轨迹为抛物线的一部分，且当箭的最大高度为时，距离投出点的水平距离为．把壶近似看作矩形，已知壶口的宽度，壶的高度． (1)求抛物线的表达式． (2)若箭刚好由点处擦边投入壶中，求人离壶的距离． (3)在（2）的条件下，该同学再次投掷，仅调整了将箭抛出时的高度，其他条件不变，要使得箭再次投入壶中，请直接写出的取值范围． 【跟踪训练2】．（2025·湖北武汉·模拟预测）某校将举行“迎五四青年节”投篮比赛，为取得好成绩，小明在课余时间进行了大量投篮练习．如图1，将篮球从点掷出，篮球在处落到地面，篮球的运动路线可看作是抛物线的一部分．为研究这个过程，小明以水平地面为轴建立如图的平面直角坐标系，点与轴的水平距离为，且距离水平地面（轴）为，点与轴的水平距离为，抛物线与轴交于点． (1)请直接写出：①抛物线的解析式为 ； ②求抛物线的顶点坐标为 (2)比赛前夕，班委会制定了比赛规则，如图2，以点为中心放置一个高为，直径为的圆柱形球筐，其截面为矩形，若抛物线恒过、两点（落地点会发生变化）． ①求出解析式中与之间满足的关系式； ②若篮球能掷入圆筐，求出解析式中的取值范围． 题型六、喷水问题 【例6】．（25-26九年级上·河南信阳·阶段练习）某圆形洗手盆上安装了一款水龙头，其弯曲部分呈抛物线形，以水龙头底部与洗手盆台面的交点O为坐标原点，直立部分所在直线为y轴，垂直于的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，测得水龙头最高点P距x轴，距y轴． (1)直接写出点P的坐标__________； (2)若沿水龙头喷出的水柱仍然按照原来的抛物线轨迹运动，且在台面的落点到直立部分的距离为，求水龙头直立部分的长度． 【跟踪训练1】．（25-26九年级上·北京·阶段练习）某广场有一个喷泉，水流从垂直于地面的水管喷出，长为2米，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度（米）与水平距离（米）之间近似满足函数关系，下面是水流高度和水平距离之间的几组数据： /米 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 /米 2 2.625 3 3.125 3 2.625 2 (1)根据上述数据，直接写出水流喷出的最大高度，并求出满足条件的函数关系式； (2)由于调整了水压，水流喷出高度与水平距离之间近似满足函数关系，调整后水流落点为，则____________．（填“”，“＝”或“”）． 【跟踪训练2】．（25-26九年级上·陕西安康·阶段练习）小红观察到一处喷水景观喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：喷水装置竖立在地面上、建立如图所示的平面直角坐标系，其中一条水柱距地面的高度与水柱距喷水头的水平距离之间满足关系式． (1)求喷头与地面的距离； (2)已知身高的小红现直立在距离喷水装置有的水柱正下方的点处，此时她的头顶并未接触到水柱，小红想要继续沿方向直立行走，当她的头顶恰好接触到水柱时，距离点多远？ 题型七、图形运动问题 【例7】．（25-26九年级上·广西南宁·阶段练习）在矩形中，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)当t为何值时，的长度等于？ (2)是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． (3)是否存在t的值，使的面积最大，若存在，请直接写出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【跟踪训练1】．（25-26九年级上·浙江）如图，矩形的两边长，点M、N分别从A、B同时出发．M在边上沿方向以每秒的速度匀速运动，N在边上沿方向以每秒的速度匀速运动，当N到达C点时，M、N停止运动．设运动时间为t秒、的面积为． (1)求S关于t的函数关系式，并写出t的取值范围； (2)求的面积的最大值． 【跟踪训练2】．（24-25九年级下·吉林松原·期中）如图，在中，，，，点为边的中点．点从点出发，以3单位长度/s的速度沿方向运动，到点停止．当点与、两点不重合时，过点作交于点，点在点右侧，，以、为边作矩形．设点的运动时间为． (1)直接写出线段长．（用含的代数式表示） (2)求当点落在线段上时的值． (3)设矩形与重叠部分图形面积为，求与之间的函数关系式． 题型八：二次函数与其他知识交汇问题 【例8】．（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）如图1，物理活动课上，同学们做了一个小球弹射实验，小球从斜坡点O处以一定的方向弹出，小球的飞行路线近似地看作是抛物线的一部分，首先落到斜坡上的点A处． 第一步：如图-2，根据小球飞行路线，以过点O的水平直线为x轴，过点O的铅垂直线为y轴建立平面直角坐标系． 第二步：分析图象得出，小球飞行的水平距离与小球飞行的高度的变化规律如表： 0 1 2 3 4 5 … 0 2.5 4 4.5 4 2.5 … 第三步：在平面直角坐标系中，斜坡的函数表达式为． 根据以上内容回答下列问题： (1)求小球飞行的高度与水平距离的函数表达式（不要求写自变量的范围）； (2)如图3，在斜坡点B（靠近点O）位置处种了一棵树，树的高度为米，若小球恰好经过树的最高点，求点B的坐标； (3)直接写出小球在飞行过程中距坡面的最大铅直高度． 【跟踪训练1】．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C． (1)求抛物线对应的二次函数表达式； (2)点P在抛物线对称轴上，当是以为底的等腰三角形时，求点P的坐标； (3)在抛物线上存在点Q，使得，直接写出Q的坐标______． 【跟踪训练2】．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图像与一次函数的图像交于A，B两点，已知．      (1)求抛物线的表达式； (2)点C是直线上方抛物线上的一动点，连接，．点M，N是y轴上的两动点（M在N上方），且满足，连接，，当的面积取得最大值时，求的最小值； (3)当（2）中取得最小值时，若Q是抛物线对称轴上位于直线上方的一动点，是否存在以C、M、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【高分演练】 一、单选题 1．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）某商城计划销售拉布布，每个进货价为50元．调查发现，当销售价为120元时，平均每天能售出80个；而当销售价每降低1元时，平均每天就能多售出5个．设每个拉布布降价x元时，每天获得的利润为y元，则y关于x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）黄山毛峰是安徽最具代表性的绿茶之一，产于黄山山区，新茶一上市就获得全国人民的追捧，某地第一天销售额为万元，以后每天销售额按相同的增长率增长，三天后销售额累计达万元，若把增长率记作，则关于的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·陕西延安·阶段练习）如图，某大桥的桥拱可以用抛物线的一部分表示，其函数关系式为，当水面宽度为时，水面与桥拱顶部的高度为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·广西南宁·阶段练习）某宾馆有20个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间会全部住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出40元的各种费用．则房价定为多少时，宾馆利润取得最大值是（    ） A．210 B．220 C．230 D．240 5．（24-25九年级下·吉林长春·阶段练习）某商场购进一批文创商品，进价为每件20元．当售价为每件28元时，每周可卖出160件；售价每降低1元，每周销量增加20件，设每件售价为x元，每周利润为y元，y与x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级下·江西宜春·阶段练习）某湖面上有一座抛物线形拱桥，按如图所示的方式建立平面直角坐标系，得到抛物线的函数解析式为，正常水位时，水面宽为，此时拱顶到水面的距离为（　　） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·河南周口·期末）数学来源于生活，伞是生活中常见的一种工具．伞撑开后如图1所示，由此发现数学知识抛物线．如图2，以伞柄所在的直线为y轴，以伞骨，的交点O为坐标原点建立平面直角坐标系，C为抛物线上的点，点A，B在抛物线上，，关于y轴对称．已知抛物线的表达式为，若点A到x轴的距离是，则A，B两点之间的距离是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·全国）如图，某同学在校运会跳高比赛中采用背跃式，跳跃路线是一条抛物线．他跳跃的高度y（单位：m）与跳跃时间x（单位：s）之间具有函数关系，那么他能跳过的最大高度为（    ） A． B． C．1m D． 9．（24-25八年级下·重庆渝中·期末）新世纪商场销售某种电视，每台进价为6500元，销售价为6900元，平均每天能售出6台；调查发现，当销售价每降低50元，平均每天就能多售出2台，商场要想使这种电视的销售利润平均每天达到1800元，每台电视应该降价多少元?若设每台电视降价元，根据题意可列方程（   ） A． B． C． D． 10．（2025·河南驻马店·三模）如图，在边长为的正方形中，动点P从点A出发沿A→B的方向以1 cm/s的速度运动；同时，动点Q从点D出发沿D→C→B的方向以的速度运动．当点Q到达点B时，点P，Q同时停止运动．设的面积为y（），运动时间为x（），下列能大致反映y与x之间函数关系的图象是（    ） A．B．C．D． 二、填空题 11．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）年级的一名高个子男生推铅球，铅球的运动轨迹可看作某条抛物线的一部分，已知这名男生的出手处A点离地面的高度为2米，当球运动到点B最高处5米时，离该男生站立地点O的水平距离为6米．以点O为原点建立如图所示的坐标系，有一个横截面为矩形的竹筐，长米，高米（不考虑竹筐的宽度），若铅球可落入筐内（不含G，F点），请求竹筐的边到O点的水平距离m的取值范围 ． 12．（25-26九年级上·福建莆田·阶段练习）将一条长为16米绳子截成两条绳子，分别用这两条围成两个正方形，求这两个正方形面积和的最小值 ． 13．（25-26九年级上·浙江衢州·阶段练习）小汽车刹车距离与速度之间的函数关系式为，一辆小汽车速度为，在前方处停放一辆故障车，此时刹车 有危险（填“会”或“不会”）． 14．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）从地面竖直向上发射出的物体离地面的高度满足关系式，其中是物体运动的时间，是物体被发射出时的速度科学小组在高的实验楼前从地面竖直向上发射出小球，如图所示若发射出小球的初速度，当小球离地面的高度与实验楼的高度相同时，的值为 ． 15．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图1是某城市广场音乐喷泉，出水口处的水流呈抛物线形，该水流喷出的高度（）与水平距离（）之间的关系如图2所示，点为该水流的最高点，点为该水流的落地点，且，垂足为点，．若，，则的长为 ． 三、解答题 16．（2025九年级上·内蒙古·专题练习）某商店销售龙年春晚吉祥物形象“龙辰辰”纪念品，已知每件进价为7元，当销售单价定为9元时，每天可以销售200件，市场调查反映：销售单价每提高1元，日销量将会减少10件，物价部门规定：销售单价不能超过进价的2倍，设该纪念品的销售单价为x（元），日销量为y（件），日销售利润为w（元）． (1)求y与x的函数关系式： (2)求日销售利润w（元）与销售单价x（元）的函数关系式，当x为何值时，日销售利润最大，并求出最大利润． 17．（25-26九年级上·陕西榆林·阶段练习）小红观察到一处喷水景观喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：喷水装置竖立在地面上，建立如图所示的平面直角坐标系，其中一条水柱距地面的高度y（m）与水柱距喷水头的水平距离x（m）之间满足关系式． (1)求喷头P与地面的距离OP； (2)已知身高的小红现直立在距离喷水装置的水柱正下方的点B处，此时她的头顶并未接触到水柱，小红想要继续沿方向直立行走，当她的头顶恰好接触到水柱时，距离点B多远？ 18．（2025九年级上·内蒙古·专题练习）某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元，经过市场调查发现，该文具每天的销售数量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价/元 … 12 13 14 … 每天销售数量/件 … 36 34 32 … (1)求出y与x之间的函数解析式，写出自变量取值范围． (2)若该超市每天销售这种文具获利192元，则销售单价为多少元？ (3)设销售这种文具每天获利w（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 19．（25-26九年级上·北京·开学考试）在一次社会实践活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两墙足够长），用6米长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围两边），设米． (1)如果花园的面积为5平方米，求x的值； (2)如果在点P处有一棵树到墙的距离分别是4米和1米，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树粗细），直接写出花园面积的最大值． 20．（25-26九年级上·山西吕梁）在一次劳动课中，老师准备了一些长为、宽为的长方形硬纸板，准备利用这些纸板制作无盖的长方体纸盒，且每张纸板可制作两个纸盒（接头处忽略不计）．如图，活动小组将纸板在四个直角处裁掉四个边长为的正方形，再在中间裁掉一块正方形，再分别沿着虚线折起来，得到两个相同的无盖长方体纸盒，其中一个纸盒的底面是矩形． (1)求制作的无盖纸盒的底面的边的长； (2)写出一个无盖纸盒的体积y（单位：）与x（单位：）之间的函数关系式，并求出当x的值为5时，单个无盖纸盒的体积y的值． 21．（25-26九年级上·吉林松原·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线经过原点O和点．点P是抛物线上的点，其横坐标为m，点Q的坐标为．连接PQ、PO、QO． (1)求该抛物线对应的函数解析式； (2)当时，求的面积； (3)求m为何值时，线段的长为2； (4)当该抛物线在内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，直接写出m的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $