2.2 基本不等式（精讲）-《一隅三反》2025-2026学年高一上学期数学（人教A版2019必修第一册）

2.2 基本不等式（精讲） 考向一 公式法 【例1-1】（25-26高一上·全国·课前预习）已知，则的最大值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】因为，要使根式有意义，则，所以，解得． 又，当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为2． 故选：C. 【例1-2】（25-26高一上·全国·课后作业）已知，则取最大值时的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以， 当且仅当，，即时等号成立. 故选：C 【例1-3】（25-26北京顺义）已知且，则的最小值为（   ） A．4 B．6 C． D．8 【答案】A 【解析】由题意有， 当且仅当时，等号成立， 则的最小值为. 故选：A. 【一隅三反】 1．（2025北京）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D．不存在 【答案】A 【解析】由于，则，故， 当且仅当，即时取等号，即的最小值为.故选：A. 2．（24-25高一上·江苏淮安·阶段练习）如果，那么当取得最小值时m的值为（ 　 ） A．－4 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【解析】由于，故，当且仅当，即时取等号， 故选：B 3．（25-26高一上·河南·阶段练习）若，则的最大值为 ． 【答案】81 【解析】因为，所以， 即,解得， 即81，当且仅当时，等号成立． 故答案为： 4．（25-26高一上·全国·课前预习）已知，若，则的最大值为 ． 【答案】2 【解析】因为，，所以，当且仅当时等号成立， 故的最大值为2．故答案为：2 考向二 常数替换法 【例2-1】（25-26江苏扬州），，，则的最小值是（    ） A．12 B．13 C．16 D．18 【答案】C 【解析】因为，则； 当且仅当时，即时，等号成立，因此的最小值是16. 故选：C 【例2-2】（25-26高一上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）已知实数、，且，则的最小值是（   ） A．4 B．6 C． D．2 【答案】A 【解析】由题设， 当且仅当，即时取等号，故的最小值为4. 故选：A 【例2-3】（25-26江苏镇江）已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，且，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为.故选：D. 【一隅三反】 1．（25-26四川成都）设且，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【解析】， 当且仅当，即时取等号.所以的最小值为.故选：A. 2．（2025·广东梅州·模拟预测）已知，且，则的最小值是（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【解析】由得，即， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为8.故选：D 3．（24-25高一下·湖南岳阳·期末）已知且，则的最小值为（   ） A． B． C．4 D．6 【答案】B 【解析】已知，且， 法一：由得， 则， 当且仅当时取等号，则的最小值为； 法二：由得，则， 当且仅当，即，时取等号，则的最小值为．故选：B. 考向三 配凑法 【例3-1】（25-26高一上·江苏无锡·阶段练习）若，则的最小值为 . 【答案】 【解析】由，得， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为.故答案为： 【例3-2】（23-24高一下·贵州遵义·期中）已知，则的最小值是 ． 【答案】2 【解析】因为，所以， 当且仅当．即时，等号成立．故答案为：2 【例3-3】（24-25高一上·广东江门·期末）若，则的最小值是 . 【答案】/ 【解析】因为 ，所以 ， 当且仅当 ，即 时取等号，故答案为： 【例3-4】（24-25高一上·上海·开学考试）若，则的最小值为 . 【答案】4 【解析】当时，，则， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为4.故答案为：4 【一隅三反】 1．（2025高一上·全国·专题练习）已知且，则的最小值为 ． 【答案】9 【解析】由，得，令，则， 故， 当且仅当即时等号成立，也即，即时，等号成立， 故的最小值为9．故答案为：9. 2．（2025湖北）函数 的最大值为 . 【答案】/ 【解析】因为，则， 所以≤， 当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为.故答案为：. 3．（2025海南）函数的最小值为 ． 【答案】 【解析】由，又， 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以原函数的最小值为.故答案为： 考向四 消元法 【例4】（25-26重庆）已知正实数满足，则的最小值是（    ） A． B．4 C．5 D． 【答案】B 【解析】由有：， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，故选：B. 【一隅三反】 1．（25-26江苏南通）已知a，，且，则的最小值是（    ） A．6 B．9 C．13 D． 【答案】C 【解析】，因a，， 则，同理易得. 则. 从而， 当且仅当，即时取等号. 故选：C 2.（2024四川眉山）设 ,则的最小值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】A 【解析】由题意，所以， 得到， 当且仅当，即时， 等号成立，则的最小值为． 故选：A. 3．（2024·辽宁丹东）已知，，，则的最小值为（       ） A． B． C． D．3 【答案】B 【解析】因为，所以， 则， 因为， 当且仅当，即时，取等号，所以的最小值为.故选：B. 考向五 求参数 【例5】（23-24高一上·黑龙江佳木斯·期中）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】因为，， 所以， 当且仅当，时，等号成立，即当且仅当，时，等号成立， 所以的最小值为， 因为恒成立，所以，所以 所以的取值范围是，故答案为：. 【一隅三反】 1．（23-24高一上·山东泰安·期中）已知实数，且恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，可得：， 又因为，，则， 当且仅当，即时取等号，所以， 由恒成立，可得，即实数m的取值范围为. 故选：A. 2.（2025浙江）若两个正实数满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为两个正实数满足，所以， 当且仅当，即时取等号， 因为不等式有解，所以大于的最小值，即，解得或， 即实数的取值范围是，故选：C 3．（24-25吉林白城·阶段练习）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】设 ，，则 ，且 ，， ， 当且仅当时，即时取等；， .故答案为：. 考向六 基本不等式的综合运用 【例6-1】（24-25高一上·全国·课后作业）下列结论正确的是（    ） A．若，且，则 B．当时， C．当时，的最小值为2 D．当时， 【答案】B 【解析】对于A，当时，显然不成立，A错误； 对于B，当时，，，当且仅当时取等号，B正确； 对于C，当时，，当且仅当时取等号，而，不能取到等号，C错误； 对于D，取，，D错误. 故选：B 【例6-2】（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）设，则下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，得，则， 又，则，所以. 故选：B 【一隅三反】 1．（25-26江苏淮安·阶段练习）（多选）若m，n都为正实数，且则（   ） A．mn的最大值为1 B．的最小值为9 C．的最小值为2 D． 【答案】ABC 【解析】对于A，因为，，所以， 当且仅当时，取等号，所以的最大值为1，故A正确； 对于B，， 当且仅当，即时，取等号，所以的最小值为9，故B正确； 对于C，由，得，当且仅当时，取等号， 所以的最小值为2，故C正确； 对于D，因为，， 所以，故D错误. 故选：ABC. 2．（25-26云南）（多选）已知正数a，b满足，则（   ） A．b的取值范围是 B．的最小值为 C．的最小值为2 D．的最小值 【答案】AB 【解析】对于选项A：因为正数a，b满足， 则，，解得，，故A正确， 对于选项B：因为， 整理可得，解得，或（舍去）， 当且仅当时，等号成立， 所以，故B正确； 对于选项C：因为，则， 所以2不是的最小值，故C错误； 对于选项D：因为，则， 且，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为，故D错误. 故选：AB. 3．（24-25高一上·贵州·期末）（多选）已知，下列不等式正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】对于选项A：因为，，当且仅当时取等号，故A正确。 对于选项B：因为，所以，当且仅当时取等号，故B正确. 对于选项C：当时，，故C错误. 对于选项D：，当且仅当，即时取等号.故D正确. 故选：ABD 4．（24-25高一上·江苏南京·期末）（多选）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】对于A，由，得，A正确； 对于B，由，得，B错误； 对于C，由，得，则，，C正确； 对于D，由，得，则，D错误. 故选：AC 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2 基本不等式（精练） 题组一 公式法 1．（24-25高一上·全国·课前预习）已知，求的最大值； 【答案】 【解析】∵，∴，∴， ∴当且仅当，即时，． 2．（25-26安徽·阶段练习）已知正数满足，则的最大值为 . 【答案】9 【解析】正数满足，根据基本不等式可得， 当且仅当时，等号成立，∴ab的最大值为9．故答案为：9 3．（2025·上海杨浦）已知，则的范围是 ． 【答案】 【解析】由，可得，所以， 当且仅当时，等号成立，所以，所以的范围是. 故答案为：. 4．（25-26四川成都）已知正数满足，则的最大值为 . 【答案】 【解析】已知正数满足， 根据基本不等式，（取等号）， 即，即， 于是，得到，当时，时，的最大值为. 故答案为： 题组二 常数替换法 1．（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）已知正数满足，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D．5 【答案】A 【解析】正数满足，则 ， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为. 故选：A 2．（25-26四川成都）设，且，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【解析】， 当且仅当，即时取等号.故选：A. 3．（23-24高一上·贵州黔南·阶段练习）已知且，则的最小值为（    ） A． B．8 C．9 D．10 【答案】C 【解析】因为，所以， 当且仅当，即，时等号成立. 故选：C. 4．（25-26安徽·阶段练习）已知正实数x，y满足，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】由题意得，， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为.故答案为： 5．（25-26高二上·安徽·阶段练习）已知正实数满足，则的最小值为 . 【答案】 【解析】由且，所以， 当且仅当，即时取等号.故答案为： 6．（25-26湖北宜昌·阶段练习）已知，，，则的最小值为 . 【答案】或 【解析】由，，，得. ， 当且仅当，即，由，得时不等式等号成立. 所以当时，有最小值. 故答案为：. 7．（25-26高一上·天津·期中）已知均为正数，且，则的最小值 . 【答案】 【解析】已知均为正数，且，所以， 则， 当且仅当，即时，取得等号， 又，所以当，时，取得最小值. 故答案为： 题组三 配凑法 1．（22-23高一上·云南楚雄·阶段练习）函数 的最小值是（    ） A． B．3 C．6 D．12 【答案】A 【解析】 因为 所以 ， (当且仅当 即 时，等号成立 故最小值为， 故选：A 2．（25-26重庆·阶段练习）已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意知：实数，且， 又 因为 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以，即的最小值为. 故选：B 3．（25-26高一上·河南·阶段练习）若，且，则的最小值为（　　） A．60 B．64 C．56 D．28 【答案】A 【解析】因， 则， ， 当且仅当时，等号成立， 由解得， 即当时，的最小值为60． 故选：A 4．（24-25高一上·湖南益阳·阶段练习）已知，则函数的最小值是 ． 【答案】 【解析】因为， 当且仅当，即时，等号成立.所以函数的最小值是故答案为:. 5．（24-25福建泉州·期中）函数在上的最大值为 ． 【答案】 【解析】因为，，令，则， 则， 当且仅当，即时，等号成立．故的最大值为．故答案为： 6．（24-25上海闵行·期中）已知，的最小值为 . 【答案】 【解析】由，则， 当且仅当时，即时取等号，此时取得最小值． 故答案为： 7．（24-25高一下·陕西西安·阶段练习）函数的最小值为 ． 【答案】 【解析】因为，令，则， 又因为，可得， 因为，当且仅当时，即，即时，等号成立， 所以，即的最小值为. 故答案为：. 题组四 消元法 1．（2024·河南·郑州四中）已知a＞0，且a2－b＋4＝0，则（       ） A．有最大值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值 【答案】D 【解析】因为，所以， 所以， 当且仅当时取等号，∴ 有最小值故选：D. 2．（2024·辽宁丹东）已知，，，则的最小值为（       ） A． B． C． D．3 【答案】B 【解析】因为，所以， 则， 因为， 当且仅当，即时，取等号，所以的最小值为.故选：B. 3．（2024河南）（多选）已知正实数a，b满足，则的可能取值为（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】BD 【解析】由题意可得， 令，由于，则，， 由于对勾函数在单调递减，在单调递增，所以， ，故，所以． 故选：BD． 4．（2024北京）设正实数，，满足，则当取得最大值时，的最大值为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由正实数，，满足， ．， 当且仅当时取等号，此时． ，当且仅当时取等号，即的最大值是1．故选：D 5．（2025安徽）已知，，，则的最小值为 ． 【答案】4 【解析】由题知，，由基本不等式，得，当且仅当时，等号成立. 所以，当且仅当时，等号成立． 令，，则，整理得，解得（舍去）或， 即，当且仅当时等号成立，所以的最小值为4. 故答案为：4. 题组五 求参数 1．（25-26高一上·天津·期中）对满足的任意正实数、，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由不等式恒成立，即， ，，且， ， 当且仅当，即时取等号， ， ，即， 解得， 故实数的取值范围是. 故选：C 2．（2025高一·全国·专题练习）已知，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B．，或 C． D．，或 【答案】A 【解析】， ，当且仅当时等号成立， 恒成立，， 解得. 故选：A. 3．（2025高三·全国·专题练习）若关于x的不等式对任意恒成立，则正实数a的可能值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【解析】，则， 原题意等价于对任意恒成立， 由，，则， 可得， 当且仅当，即时取得等号， ∴，解得． 故正实数的取值集合为. 故选：A． 4．（24-25高一上·四川达州·期中）已知，，若不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．64 B．25 C．13 D．12 【答案】B 【解析】，，则， 不等式 恒成立，即恒成立， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即实数m的最大值为. 故选：B. 5．（24-25高一上·安徽池州·期中）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，，且，则， 则， 所以 ， 当且仅当时， 即当，时，所以的最小值为， 因为恒成立，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 6．（24-25高一上·江西·阶段练习）若对于任意，不等式恒成立，则实数m的取值范围为（   ） A．或 B． C． D．或 【答案】B 【解析】依题意有， 因为,故，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，得． 故选：B 7．（24-25高一上·福建福州·阶段练习）已知实数，且，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【解析】由，， 则， 当且仅当，即时等号成立， 要使恒成立，则， 解得，即实数的取值范围为. 故选：A. 8．（25-26高一上·山东聊城·阶段练习）若对任意恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】因为，所以，当且仅当即时取等号. 所以，当且仅当时取等号. 所以，当且仅当时，取得最大值. 因为恒成立，所以，所以. 所以实数的取值范围是. 故答案是：. 9．（24-25高二下·江苏常州·阶段练习）已知，，且，若不等式恒成立，则的最大值为 . 【答案】8 【解析】由， 因为，，所以有， 当且仅当时取等号， 所以有， 故答案为：. 10．（24-25高一上·河南漯河·阶段练习）已知正数，满足，若恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【解析】正数，满足， 由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立， 则只需，解得， 故实数的取值范围为 故答案为： 题组六 基本不等式的综合运用 1．（24-25高一上·河北石家庄·期中）下列不等式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A：当时，，故A错误； 对于B：取，，故B错误； 对于C：当时，无意义，故C错误； 对于D：，取等条件为，即，故D正确. 故选：D 2．（24-25高一上·江苏南京·期中）“”是“”的（    ） A．充分不必要条 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】当时，，当且仅当即时取等号，所以充分性成立； 当时，成立，不满足，所以必要性不成立. 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：. 3．（2025高三·全国·专题练习）设a、b为正数，且，比较ab的值与的大小（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以， 当且仅当且，即且时，取等号． 故选：A． 4．（24-25高一上·上海·阶段练习）下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，取，，C错误； 对于D，取，，D错误. 故选：A 5．（24-25高二下·吉林长春·期末）（多选）已知，则（   ） A．的最小值为 B．ab的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】AC 【解析】A：由，当且仅当取等号，对； B：由，则，当且仅当时取等号，错； C：由，当且仅当时取等号，对； D：由，则，故，错. 故选：AC 6．（24-25高一上·陕西延安·阶段练习）（多选）下列结论正确的有（    ） A．当时， B．当时，最小值为 C．当时， D．当时， 【答案】AD 【解析】对于A，当时，，所以， 当且仅当，即时取等号，故A正确； 对于B，，当且仅当，即时取等号，又因为，故等号取不到，故B错误； 对于C，当时，，所以，当且仅当，即时等号成立，故C错误； 对于D，当时，，当且仅当，即时取等号．故D正确. 故选：AD 7．（23-24高一上·广东深圳·期末）（多选）已知，都是正实数，且.则下列不等式成立的有（ ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】因为a，b都是正实数，且， 对于A， 由基本不等式，当且仅当时等式成立，故A正确； 对于B，， 当且仅当，即，时等式成立，故B错误； 对于C，因为， 所以，当且仅当时等式成立，故C错误； 对于D，， 当且仅当时等式成立，故D正确. 故选：AD. 8．（23-24高一上·河北·阶段练习）（多选）下列结论正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．的最小值为2 D．的最小值为2 【答案】AB 【解析】当时，， 当且仅当时，即时等号成立，故A正确； 当时，， 当且仅当时，即时等号成立，故B正确； 当时，显然不成立，故C错误； 因为， 当且仅当时等号成立，此时无解，故取不到等号，故D错误． 故选：AB 9．（23-24高一上·浙江杭州·期末）（多选）已知，，，均为实数，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【解析】对于A，，若，则，A错误； 对于B，由，得，而，则，B正确； 对于C，由，得，显然， ，因此，C正确； 对于D，由，得，D正确. 故选：BCD 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2 基本不等式（精讲） 考向一 公式法 【例1-1】（25-26高一上·全国·课前预习）已知，则的最大值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【例1-2】（25-26高一上·全国·课后作业）已知，则取最大值时的值为（    ） A．1 B． C． D． 【例1-3】（25-26北京顺义）已知且，则的最小值为（   ） A．4 B．6 C． D．8 【一隅三反】 1．（2025北京）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D．不存在 2．（24-25高一上·江苏淮安·阶段练习）如果，那么当取得最小值时m的值为（ 　 ） A．－4 B．4 C．8 D．16 3．（25-26高一上·河南·阶段练习）若，则的最大值为 ． 4．（25-26高一上·全国·课前预习）已知，若，则的最大值为 ． 考向二 常数替换法 【例2-1】（25-26江苏扬州），，，则的最小值是（    ） A．12 B．13 C．16 D．18 【例2-2】（25-26高一上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）已知实数、，且，则的最小值是（   ） A．4 B．6 C． D．2 【例2-3】（25-26江苏镇江）已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【一隅三反】 1．（25-26四川成都）设且，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C． D． 2．（2025·广东梅州·模拟预测）已知，且，则的最小值是（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 3．（24-25高一下·湖南岳阳·期末）已知且，则的最小值为（   ） A． B． C．4 D．6 考向三 配凑法 【例3-1】（25-26高一上·江苏无锡·阶段练习）若，则的最小值为 . 【例3-2】（23-24高一下·贵州遵义·期中）已知，则的最小值是 ． 【答案】2 【例3-3】（24-25高一上·广东江门·期末）若，则的最小值是 . 【例3-4】（24-25高一上·上海·开学考试）若，则的最小值为 . 【一隅三反】 1．（2025高一上·全国·专题练习）已知且，则的最小值为 ． 2．（2025湖北）函数 的最大值为 . 3．（2025海南）函数的最小值为 ． 考向四 消元法 【例4】（25-26重庆）已知正实数满足，则的最小值是（    ） A． B．4 C．5 D． 【一隅三反】 1．（25-26江苏南通）已知a，，且，则的最小值是（    ） A．6 B．9 C．13 D． 2.（2024四川眉山）设 ,则的最小值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 3．（2024·辽宁丹东）已知，，，则的最小值为（       ） A． B． C． D．3 考向五 求参数 【例5】（23-24高一上·黑龙江佳木斯·期中）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是 . 【一隅三反】 1．（23-24高一上·山东泰安·期中）已知实数，且恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2.（2025浙江）若两个正实数满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25吉林白城·阶段练习）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是 . 考向六 基本不等式的综合运用 【例6-1】（24-25高一上·全国·课后作业）下列结论正确的是（    ） A．若，且，则 B．当时， C．当时，的最小值为2 D．当时， 【例6-2】（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）设，则下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【一隅三反】 1．（25-26江苏淮安·阶段练习）（多选）若m，n都为正实数，且则（   ） A．mn的最大值为1 B．的最小值为9 C．的最小值为2 D． 2．（25-26云南）（多选）已知正数a，b满足，则（   ） A．b的取值范围是 B．的最小值为 C．的最小值为2 D．的最小值 3．（24-25高一上·贵州·期末）（多选）已知，下列不等式正确的有（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·江苏南京·期末）（多选）若，则（   ） A． B． C． D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $