2.1 等式性质与不等式的性质（精练）-《一隅三反》2025-2026学年高一上学期数学（人教A版2019必修第一册）

2.1 等式性质与不等式的性质（精练） 题组一 用不等式表示不等关系 1．（24-25高一上·全国·课后作业）在开山工程爆破时，已知导火线燃烧的速度是0.5 cm/s，人跑开的速度为4 m/s，为了使点燃导火线的人能够在爆破时跑到100 m以外的安全区，导火线的长度x（cm）应满足的不等式为（　　） A．4×≥100 B．4×≤100 C．4×＞100 D．4×＜100 2．（24-25高一上·河南·阶段练习）在某校新生军训考核评比中，甲班的分数大于乙班的分数，甲班和乙班的分数之和大于170，且不大于190.设甲班和乙班的分数分别为，则用不等式组表示为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·贵州遵义·阶段练习）持续的高温干燥天气导致某地突发山火，现需将物资运往灭火前线．从物资集散地到灭火前线-共，其中靠近灭火前线的山路崎岖，需摩托车运送，其他路段可用汽车运送．已知在可用汽车运送的路段，运送的平均速度为，设需摩托车运送的路段平均速度为，为使物资能在1小时内到达灭火前线，则x应该满足的不等式为（    ）． A． B． C． D． 4．（23-24高一上·四川南充·阶段练习）火车站有某公司待运的甲种货物1530吨，乙种货物1150吨．现计划用A，B两种型号的货箱共50节运送这批货物．已知35吨甲种货物和15吨乙种货物可装满一节A型货箱，25吨甲种货物和35吨乙种货物可装满一节B型货箱，据此安排A，B两种货箱的节数，下列哪个方案不满足：（    ） A．A货箱28节，B货箱22节 B．A货箱29节，B货箱21节 C．A货箱31节，B货箱19节 D．A货箱30节，B货箱20节 5．（24-25高一上·全国·课后作业）（多选）下列说法正确的是（    ） A．某人月收入（单位：元）不高于2000元可表示为“” B．小明的体重为kg，小华的体重为 kg，则小明比小华重表示为“” C．某变量至少为可表示为“” D．某变量不超过可表示为“” 6．（23-24湖南衡阳·阶段练习）（多选）某工艺厂用A、B两种型号不锈钢薄板制作矩形、菱形、圆3种图形模板，每个图形模板需要A、B不锈钢薄板及该厂2种薄板张数见下表 矩形 菱形 圆 总数 A 5 3 10 55 B 12 6 13 125 该厂签购制作矩形、菱形、圆3种模板分别为x，y，z（）块.上述问题中不等关系表示正确为（    ） A． B． C． D． 题组二 作差法、作商法比较代数式的大小 1．（24-25高一上·四川南充·阶段练习）设，，则，的大小关系为（ 　） A． B．M≤N C． D．无法确定 2．（25-26北京延庆·阶段练习）已知，则下列大小关系不正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·河北·阶段练习）比较大小： ．（填“>”或“<”） 4．（25-26高一上·山西太原·阶段练习）已知，，则与的大小关系为 . 5．（2025高一上·上海·专题练习）若，，则M、N的大小关系是M N 6．（24-25高一上·广东惠州·阶段练习）比较下列两个代数式的大小 (1)和 ； (2)已知， 和. 7．（25-26高一上·河北衡水·开学考试）用作差比较法判断大小： (1)与的大小 (2)与的大小 8．（23-24高一上·云南玉溪·期中）（1）比较与的大小． （2）已知，，比较与的大小． 9．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）（1）已知，比较与的大小． （2）比较与的大小． 10．（23-24高一上·贵州六盘水·期中）从下列三组式子中选择一组比较大小： ①设，比较的大小； ②设，比较的大小； ③设，比较的大小. 注：如果选择多组分别解答，按第一个解答计分. 题组三 代数式的范围 1．（24-25浙江嘉兴·期中）（多选）已知实数x，y满足，，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·辽宁）（多选）已知且，则（    ） A．的取值范围是 B．的取值范围是 C．ab的取值范围是 D．的取值范围是 3．（25-26高一上·湖北武汉·阶段练习）已知，，则的取值范围为 . 4（24-25 广东肇庆·阶段练习）实数满足，则的取值范围是 . 5．（24-25北京）若实数满足，则的取值范围是 ． 6．（24-25高一上·河北衡水·阶段练习）已知，则的取值范围是 ． 7．（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）已知则的取值范围为 ． 8．（24-25高一上·四川成都·期中）已知，则的取值范围为 .（用区间表示） 9．（24-25高一上·河北衡水·阶段练习）已知实数，满足，，则的取值范围是 ． 10．（25-26高一上·全国·课后作业）（1）已知，，，试求证：． （2）已知，，试求与的取值范围． （3）已知，，求的取值范围． 题组四 不等式的性质 1．（25-26高一上·全国·课前预习）若，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，那么 D．若，则 2（24-25高一上·广东江门·期中）下列命题是真命题的是（      ） A．若，则. B．若，则 C．若，则 D．若，，则 3．（24-25高一上·四川广安·期中）下列命题中错误的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 4．（24-25高二下·湖北武汉·期末）已知正实数满足，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·贵州遵义·阶段练习）已知，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·云南昭通·期中）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．（25-26高一上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）（多选）已知，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 8．（25-26高一上·河南·开学考试）（多选）已知，则下列命题错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1 等式性质与不等式的性质（精练） 题组一 用不等式表示不等关系 1．（24-25高一上·全国·课后作业）在开山工程爆破时，已知导火线燃烧的速度是0.5 cm/s，人跑开的速度为4 m/s，为了使点燃导火线的人能够在爆破时跑到100 m以外的安全区，导火线的长度x（cm）应满足的不等式为（　　） A．4×≥100 B．4×≤100 C．4×＞100 D．4×＜100 【答案】C 【解析】导火线燃烧的时间为s，人在这段时间跑的路程为4×m．由题意可得4×＞100. 故选：C. 2．（24-25高一上·河南·阶段练习）在某校新生军训考核评比中，甲班的分数大于乙班的分数，甲班和乙班的分数之和大于170，且不大于190.设甲班和乙班的分数分别为，则用不等式组表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得.故选：D 3．（23-24高一上·贵州遵义·阶段练习）持续的高温干燥天气导致某地突发山火，现需将物资运往灭火前线．从物资集散地到灭火前线-共，其中靠近灭火前线的山路崎岖，需摩托车运送，其他路段可用汽车运送．已知在可用汽车运送的路段，运送的平均速度为，设需摩托车运送的路段平均速度为，为使物资能在1小时内到达灭火前线，则x应该满足的不等式为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意汽车所用时间加上摩托车所用时间小于1小时，即，故选：D． 4．（23-24高一上·四川南充·阶段练习）火车站有某公司待运的甲种货物1530吨，乙种货物1150吨．现计划用A，B两种型号的货箱共50节运送这批货物．已知35吨甲种货物和15吨乙种货物可装满一节A型货箱，25吨甲种货物和35吨乙种货物可装满一节B型货箱，据此安排A，B两种货箱的节数，下列哪个方案不满足：（    ） A．A货箱28节，B货箱22节 B．A货箱29节，B货箱21节 C．A货箱31节，B货箱19节 D．A货箱30节，B货箱20节 【答案】C 【解析】设A、B货箱分别有x，y节，则， A：共50节且，，满足； B：共50节且，，满足； C：共50节且，，不满足； D：共50节且，，满足； 故选：C. 5．（24-25高一上·全国·课后作业）（多选）下列说法正确的是（    ） A．某人月收入（单位：元）不高于2000元可表示为“” B．小明的体重为kg，小华的体重为 kg，则小明比小华重表示为“” C．某变量至少为可表示为“” D．某变量不超过可表示为“” 【答案】BCD 【解析】某人月收入（单位：元）不高于2000元可表示为“”，故A错误； 小明的体重为kg，小华的体重为 kg，则小明比小华重表示为“”，故B正确； 某变量至少为可表示为“”，故C正确； 某变量不超过可表示为“”，故D正确. 故选：BCD 6．（23-24湖南衡阳·阶段练习）（多选）某工艺厂用A、B两种型号不锈钢薄板制作矩形、菱形、圆3种图形模板，每个图形模板需要A、B不锈钢薄板及该厂2种薄板张数见下表 矩形 菱形 圆 总数 A 5 3 10 55 B 12 6 13 125 该厂签购制作矩形、菱形、圆3种模板分别为x，y，z（）块.上述问题中不等关系表示正确为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】因为每个矩形模板需要5张A薄板，每个菱形模板需要3张A薄板，每个圆模板需要10张A薄板，且共有55张A薄板，所以， 因为每个矩形模板需要12张B薄板，每个菱形模板需要6张B薄板，每个圆模板需要13张B薄板，且共有125张B薄板，所以.故选：BC. 题组二 作差法、作商法比较代数式的大小 1．（24-25高一上·四川南充·阶段练习）设，，则，的大小关系为（ 　） A． B．M≤N C． D．无法确定 【答案】A 【解析】依题意，，所以.故选：A 2．（25-26北京延庆·阶段练习）已知，则下列大小关系不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，则，， 所以 ，故A正确； 已知，当时，，故B错误； 已知，则，，所以，即，故C正确； 已知，则，又，所以，所以，故D正确. 故选：B. 3．（25-26高一上·河北·阶段练习）比较大小： ．（填“>”或“<”） 【答案】> 【解析】 令函数，其图象为开口向上的抛物线， 故对所有实数成立. 因此， 所以 故答案为：>. 4．（25-26高一上·山西太原·阶段练习）已知，，则与的大小关系为 . 【答案】 【解析】， 因为，， 所以，， 所以， 所以. 故答案为： 5．（2025高一上·上海·专题练习）若，，则M、N的大小关系是M N 【答案】 【解析】令，则，， ， 所以. 故答案为： 6．（24-25高一上·广东惠州·阶段练习）比较下列两个代数式的大小 (1)和 ； (2)已知， 和. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）由， 则，当且仅当时取等号； （2）由， 因为，所以， 又因为，所以， 即有， 则有. 7．（25-26高一上·河北衡水·开学考试）用作差比较法判断大小： (1)与的大小 (2)与的大小 【答案】(1) (2)答案见解析 【解析】（1）因为， 所以. （2）， 因为（且只有时取等号）， 所以若，则，即； 若，则，即； 若，则，即. 8．（23-24高一上·云南玉溪·期中）（1）比较与的大小． （2）已知，，比较与的大小． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）因为， 所以； （2）， 因为，， 所以，， 所以， 所以． 9．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）（1）已知，比较与的大小． （2）比较与的大小． 【答案】（1），（2） 【解析】（1）， 由于，所以，所以， 故 （2）， 因为，即 所以. 10．（23-24高一上·贵州六盘水·期中）从下列三组式子中选择一组比较大小： ①设，比较的大小； ②设，比较的大小； ③设，比较的大小. 注：如果选择多组分别解答，按第一个解答计分. 【答案】①； ②； ③； 【解析】①， 因为，所以，即；. ② ，. ③方法一（作差法） ， 因为，所以， 所以， 所以. .. 方法二（作商法）因为，所以， 所以， 所以. . 题组三 代数式的范围 1．（24-25浙江嘉兴·期中）（多选）已知实数x，y满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】实数x，y满足，， 由不等式的同向可加性和同向同正可乘性，有，，AC选项正确； 由，得，B选项错误；由，得，D选项正确.故选：ACD 2．（24-25高一上·辽宁）（多选）已知且，则（    ） A．的取值范围是 B．的取值范围是 C．ab的取值范围是 D．的取值范围是 【答案】ABC 【解析】因为且，， 所以，，故AB正确； 当时，，又，所以，故； 当时，又，所以；当时，； 综上，且，可得，故C正确； 当时，，又，所以，故； 当时，又，所以；当时，； 综上，且，可得，故D错误. 故选：ABC. 3．（25-26高一上·湖北武汉·阶段练习）已知，，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】因为，所以，又，两不等式式相加可得， 则的取值范围为.故答案为：. 4（24-25 广东肇庆·阶段练习）实数满足，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】设， 则解得,所以 因为，所以 ， 可得，即的取值范围为. 故答案为：. 5．（24-25北京）若实数满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】令， ，解得， ，则， ，即． 故答案为：. 6．（24-25高一上·河北衡水·阶段练习）已知，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】∵，∴，∵，∴ ，故的取值范围是. 故答案为：. 7．（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）已知则的取值范围为 ． 【答案】 【解析】假设，则，解得， 因为，所以； 又因为，所以； 由上两同向不等式相加得：， 整理得： 故答案为： 8．（24-25高一上·四川成都·期中）已知，则的取值范围为 .（用区间表示） 【答案】 【解析】因为，所以，所以， 所以的取值范围为，故答案为： 9．（24-25高一上·河北衡水·阶段练习）已知实数，满足，，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】因为， 由，所以， 由，所以， 所以， 即的取值范围是． 故答案为： 10．（25-26高一上·全国·课后作业）（1）已知，，，试求证：． （2）已知，，试求与的取值范围． （3）已知，，求的取值范围． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3） 【解析】（1）证明：因为，所以．又，所以，所以，所以．又，所以． （2）解：因为，，所以，且，所以．因为，所以．又因为，所以．故的取值范围是，的取值范围是． （3）解：由，得．又，所以，即．故的取值范围是． 题组四 不等式的性质 1．（25-26高一上·全国·课前预习）若，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，那么 D．若，则 【答案】B 【解析】取，有，A错误； 因为，所以，所以，所以，B正确； 取，显然，C错误； 因为，所以，即，D错误． 故选：B 2（24-25高一上·广东江门·期中）下列命题是真命题的是（      ） A．若，则. B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】D 【解析】对于A，取，则，，此时，A错误； 对于B，取，则，，此时，B错误； 对于C，取，则，C错误； 对于D，由，得，， 因此，即，D正确. 故选：D 3．（24-25高一上·四川广安·期中）下列命题中错误的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】C 【解析】因为，所以，因为，所以，A正确； 因为，所以，所以，B正确； C错误，比如，而； 因为，，所以，所以，D正确. 故选：C 4．（24-25高二下·湖北武汉·期末）已知正实数满足，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】A选项，当时，，此时即， 当时，，此时即，所以A错误； B选项，当时，，成立， 当时，，，所以B错误； C选项，当时，取，此时，不满足， 当时，取，此时，不满足，故C错误； D选项，等价于， 当时，，，此时， 当时，，，此时，D正确； 故选：D. 5．（24-25高一下·贵州遵义·阶段练习）已知，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，但，故A错误； ，但，故B错误； 因为，所以，所以，又，所以， 所以，故C正确； ，但，故D错误. 故选：C. 6．（24-25高一上·云南昭通·期中）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【解析】对A，举例，满足，但，故A错误； 对B，举例，满足，但，故B错误； 对C，若，即，故C错误， 对D，，因为，则， 则，即. 故选：D. 7．（25-26高一上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）（多选）已知，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【解析】对于A，当时，满足，但，故A错误； 对于B,，若，则，故，B正确； 对于C，若，满足，但，故C错误； 对于D， 若，又，则，D正确. 故选：BD 8．（25-26高一上·河南·开学考试）（多选）已知，则下列命题错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABD 【解析】对于A选项，若，，则，故A错误； 对于B选项，若，则当时，，故B错误； 对于C选项，若，则，两边同时乘以得，故C正确； 对于D选项，当时，满足，此时，故D错误. 故选：ABD. 1 学科网（北京）股份有限公司 $