2.1 等式性质与不等式的性质（精讲）-《一隅三反》2025-2026学年高一上学期数学（人教A版2019必修第一册）

2.1 等式性质与不等式的性质（精讲） 考向一 用不等式表示不等关系 【例1-1】（25-26高一上·全国·单元测试）中国国家铁路集团有限公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过．设携带品外部尺寸长、宽、高分别为（单位：），若体积不超过，用数学关系式可表示为（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】C 【解析】由长、宽、高之和不超过，得，由体积不超过，得． 故选：C 【例1-2】（23-24高一上·福建泉州·期中）体育课是体育教学的基本组织形式，主要使学生掌握体育与保健基础知识，基本技术、技能，实现学生的思想品德教育，提高其运动技术水平．新学期开学之际，某校计划用不超过1500元的资金购买单价分别为120元的篮球和140元的足球．已知该校至少要购买8个篮球，且至少购买2个足球，则不同的选购方式有（    ） A．6种 B．7种 C．8种 D．5种 【答案】D 【解析】设购买的篮球个数为，足球个数为，且，根据题意可得， 解得符合题意的有序实数对可以是， 共5种不同的购买方式.故选：D 【一隅三反】 1．（24-25高一上·全国·课后作业）一个工厂原来每天可以加工件商品，经过工艺改革后该工厂每天可以加工的商品比原来多件，且天加工的商品将超过件，这一关系可用不等式表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得现在工厂每天加工的商品数为件，则该工厂30天加工的商品数为件， 所以题中关系表示为.故选：B. 2．（24-25高一上·全国·随堂练习）某高速公路要求行驶的车辆的速度v的最大值为120km/h，同一车道上的车间距d不得小于10m，用不等式表示为（   ） A．且 B．或 C．且 D．或 【答案】A 【解析】由速度v的最大值为120km/h，故，由车间距d不得小于10m，故， 即有且.故选：A. 3．（23-24高一上·新疆·期中）某校新生加入乒乓球协会的学生人数多于加入篮球协会的学生人数，加入篮球协会的学生人数多于加入足球协会的学生人数，加入足球协会学生人数的3倍多于加入乒乓球协会和加入篮球协会的学生人数之和，若该校新生每人只能加入其中一个协会，则该校新生中加入这三个协会的总人数至少为（    ） A．9 B．12 C．15 D．18 【答案】C 【解析】依题意，设加入乒乓球协会、篮球协会、足球协会的学生人数分别为a，b，c， 则，又， 若，则，不满足； 若，则，不满足； 若，则，不满足； 若，则，满足； 则，，，则. 故选：C. 考向二 作差法、作商法比较代数式的大小 【例2-1】（24-25高一上·福建泉州·期末）互不相等的实数满足：且，则下列关系成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为， 又因为实数互不相等，故，即； 又因为，所以， 即，故. 综上： 故选：D 【例2-2】（24-25高一上·全国·课后作业）若，，其中，则的大小关系是（　　） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【解析】由题意知， ， 因为，， 所以， 即， 所以， 故. 故选：A. 【例2-3】（2025上海）设，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，， 则. 故，当且仅当时，取等号，故选：D 【一隅三反】 1．（24-25高一上·新疆和田·期末）已知，则与大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以.故选：C. 2．（24-25高二下·河北邢台·阶段练习）（多选）若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】，，， ，所以， ， 所以，所以，所以B、C、D正确，A错误.故选：BCD 3．（25-26高一上·河北·阶段练习）设，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由， ， ， 而， 则，即. 故选：D 考向三 代数式的范围 【例3】（25-26高一上·全国·课后作业）已知，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】A：由不等式的同向可加性得，即，对； B：同乘，不等式变号，得，又， 由不等式的同向可加性得，即，对； C：由B项结论及，利用不等式的同向同正可乘性得，即，对； D：因为，则有又， 由不等式的同向同正可乘性得，则，错. 故选：D 【一隅三反】 1．（25-26高一上·江苏无锡）（多选）已知，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】对于A，由可得，故A正确， 对于B,由，则，故B错误， 对于C,当时，则，当时，则，此时，则，综上可得，故C正确， 对于D,由可得，当时，则，当，则，故，进而，综上可得，故D正确， 故选：ACD 2．（23-24高一上·贵州·阶段练习）（多选）已知，，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】对于A，∵，，∴，，∴，故A正确； 对于B，∵，，∴，故B正确； 对于C，∵，∴，又∵，∴，故C不正确； 对于D，∵，∴，又，∴，∴，∴，故D正确； 故选：ABD 3．（2025高三·全国·专题练习）（多选）已知，则下面判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】，；，， 根据不等式的同向可加性得：，，， 根据同向正值不等式可乘性得：， 综上，. 故选：ACD. 考向四 不等式的性质 【例4-1】（25-26高一上·新疆·期中）设为实数，且，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对A：若，则，故A错误； 对B：因为，两边同除以，可得，故B正确； 对C：因为，所以，故C错误； 对D：因为，两边同乘以，得：，故D错误. 故选：B 【例4-2】（25-26高一上·河南·阶段练习）设，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于ABD，取，则，， ，ABD错误； 对于C，，而，则， ，，因此，C正确. 故选：C 【例4-3】（2024高一上·全国·专题练习）已知，且，求证： 【答案】证明见解析． 【解析】因为，且，可得，， 所以， 所以，可得， 又因为， 所以， 所以，所以， 因为，由不等式的性质，可得，故． 【一隅三反】 1．（24-25高一上·江苏南通·期末）若a＞b，c＞d，则（   ） A． B．a－c＞b－d C．a－d＞b－c D．ac＞bd 【答案】C 【解析】 选项A：若，则.所以选项错误. 选项B：若,满足，但是.所以选项B错误. 选项C：因为所以又因为，所以所以选项C正确 选项D：若,满足，但是,所以选项D错误. 故选：C. 2．（2025高一上·江苏·专题练习）若、、为实数，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 【答案】B 【解析】对于A，当时，，故A错误； 对于B：因为 ，则，所以，，所以，故B正确， 对于C，取，满足，显然不成立，故C错误； 对于D： ，因为，得，又，所以，所以，故D错误.故选：B 3．（25-26高三上·陕西西安·开学考试）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【解析】对于A，若，当时，，此时，故A错误； 对于B，若，取，此时，则，故B错误； 对于C，若，不等式两边同时乘以，则， 对，不等式两边同时乘以，则，所以，故C正确； 对于D，若，取，此时，则，故D错误， 故选：C. 4（24-25高一上·全国·课前预习）已知，求证：． 【答案】证明见解析 【解析】证明：因为，所以，，， 所以， 所以，即， 所以． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1 等式性质与不等式的性质（精讲） 考向一 用不等式表示不等关系 【例1-1】（25-26高一上·全国·单元测试）中国国家铁路集团有限公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过．设携带品外部尺寸长、宽、高分别为（单位：），若体积不超过，用数学关系式可表示为（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【例1-2】（23-24高一上·福建泉州·期中）体育课是体育教学的基本组织形式，主要使学生掌握体育与保健基础知识，基本技术、技能，实现学生的思想品德教育，提高其运动技术水平．新学期开学之际，某校计划用不超过1500元的资金购买单价分别为120元的篮球和140元的足球．已知该校至少要购买8个篮球，且至少购买2个足球，则不同的选购方式有（    ） A．6种 B．7种 C．8种 D．5种 【一隅三反】 1．（24-25高一上·全国·课后作业）一个工厂原来每天可以加工件商品，经过工艺改革后该工厂每天可以加工的商品比原来多件，且天加工的商品将超过件，这一关系可用不等式表示为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·全国·随堂练习）某高速公路要求行驶的车辆的速度v的最大值为120km/h，同一车道上的车间距d不得小于10m，用不等式表示为（   ） A．且 B．或 C．且 D．或 3．（23-24高一上·新疆·期中）某校新生加入乒乓球协会的学生人数多于加入篮球协会的学生人数，加入篮球协会的学生人数多于加入足球协会的学生人数，加入足球协会学生人数的3倍多于加入乒乓球协会和加入篮球协会的学生人数之和，若该校新生每人只能加入其中一个协会，则该校新生中加入这三个协会的总人数至少为（    ） A．9 B．12 C．15 D．18 考向二 作差法、作商法比较代数式的大小 【例2-1】（24-25高一上·福建泉州·期末）互不相等的实数满足：且，则下列关系成立的是（   ） A． B． C． D． 【例2-2】（24-25高一上·全国·课后作业）若，，其中，则的大小关系是（　　） A． B． C． D．不确定 【例2-3】（2025上海）设，，则（    ）． A． B． C． D． 【一隅三反】 1．（24-25高一上·新疆和田·期末）已知，则与大小关系是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·河北邢台·阶段练习）（多选）若，，，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·河北·阶段练习）设，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 考向三 代数式的范围 【例3】（25-26高一上·全国·课后作业）已知，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【一隅三反】 1．（25-26高一上·江苏无锡）（多选）已知，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·贵州·阶段练习）（多选）已知，，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2025高三·全国·专题练习）（多选）已知，则下面判断正确的是（    ） A． B． C． D． 考向四 不等式的性质 【例4-1】（25-26高一上·新疆·期中）设为实数，且，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【例4-2】（25-26高一上·河南·阶段练习）设，则（　　） A． B． C． D． 【例4-3】（2024高一上·全国·专题练习）已知，且，求证： 【一隅三反】 1．（24-25高一上·江苏南通·期末）若a＞b，c＞d，则（   ） A． B．a－c＞b－d C．a－d＞b－c D．ac＞bd 2．（2025高一上·江苏·专题练习）若、、为实数，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 3．（25-26高三上·陕西西安·开学考试）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4（24-25高一上·全国·课前预习）已知，求证：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $