13.3.2 三角形的外角 课件-2025-2026学年 人教版（2024）八年级数学上册

该初中数学课件聚焦三角形外角的定义、性质及推论，通过具体三角形角度计算的思考问题导入，从已学的三角形内角和定理自然过渡到外角探究，搭建从内角到外角的学习支架。 其亮点在于以“思考-猜想-多证法-符号语言-分层练习”为主线，培养数学思维与数学语言表达。如用内角和定理和平行线两种证法推导外角性质，结合符号语言规范表述，练习覆盖基础到综合运用，助力学生发展几何直观与推理能力，教师使用可提升教学系统性和效率。

2025-2026学年人教版（2024）数学八年级上册 13.3.2 三角形的外角 第十三章 三角形 授课教师： 阿老师 . 班 级： 托克逊县第一中学8（11）班 . 时 间： 2025.09 . 1.理解三角形的外角的概念，并能够在复杂图形中找出三角形的外角. 2.掌握三角形外角的性质，会利用三角形外角的性质进行角度的计算和证明． 学习目标 同学们，假设现在我们在一个巨大的三角形广场游玩.从顶点 A 出发，依次沿着 AB、BC、CA 边走回起点，这三次转身的角度藏着什么秘密？今天，就让我们一起探索三角形外角的性质！ A B C 情景导入 如图，把△ABC 的一边 BC 延长，得到∠ACD. 外角 B A C D 三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角. 探究新知 知识点 三角形的外角 D 如图，把△ABC 的一边 BC 延长，得到∠ACD. ∠ACD 是 △ABC 的一个外角 ①角的顶点是三角形的顶点； ②角的一边是三角形的一边； ③角的另一边是三角形某边的延长线. A B C 像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角. 探究新知 A B C 想一想：△ABC 有多少个外角？ 1 2 4 3 5 6 一共有 6 个外角： ∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠6. 每个顶点处都有两个外角，它们是_______. 对顶角 研究时，通常只在每个顶点处取一个外角进行讨论. 探究新知 D A B C 外角 相邻的内角 对于外角∠ACD 来说， ∠ACB 是与它相邻的内角， 不相邻的内角 ∠A，∠B是与它不相邻的内角. 探究新知 跟踪训练 如图，点B，C分别在∠EAF的边AE，AF上，点D在线段AC上，则下列是△ABD的外角的是 （ ） A.∠BCF B.∠CBE C.∠DBC D.∠BDF D 探究新知 思考 如图，在△ABC中，∠A=70°，∠B=60°，∠ACD是△ABC的一个外角.能由∠A，∠B求出∠ACD吗？如果能，∠ACD与∠A，∠B有什么关系？ A B C D ( ( ( 70° 60° 解：由三角形内角和定理，得 ∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-70°-60°=50°. 由平角的定义，得 ∠ACD=180°-∠ACB=180°-50°=130°. 又∠A+∠B=70°+60°=130°， 所以∠ACD=∠A+∠B. 探究新知 猜想：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 已知：____________________________________ 求证：____________________________ △ABC中，∠ACD 是△ABC 的一个外角. ∠A +∠B =∠ACD. ∠A +∠B +∠ACB = 180°. 又∵ ∠ACD +∠ACB = 180°， ∴∠A +∠B =∠ACD (等量代换). 证明：由三角形的内角和等于180°，得 D A B C 探究新知 过 C 作 CE 平行于 AB， ∴∠2 = ∠B (两直线平行，同位角相等)， ∠1 = ∠A (两直线平行，内错角相等)， ∴∠ACD = ∠1 + ∠2 = ∠A + ∠B. 已知：____________________________________ 求证：____________________________ △ABC中，∠ACD 是△ABC 的一个外角. ∠A +∠B =∠ACD. D A B C E 1 2 证法二： 探究新知 推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. D A B C 外角 符号语言： ∵∠ACD是△ABC 的一个外角，∴∠ACD =∠A +∠B. 推论是由定理直接推出的结论. 和定理一样，推论可以作为进一步推理的依据. 探究新知 ∠ACD ______∠A ∠ACD ______∠B 判断： ∠ACD = ∠A +∠B ＞ ＞ 推论：三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角. D A B C 外角 探究新知 针对训练 ∠1 = 40° ∠2 = 140° ∠1 = 110° ∠2 = 70° ∠1 = 50° ∠2 = 140° 说出下列各图形中∠1 和∠2 的度数. 教材P16练习 （1） （2） （3） 探究新知 针对训练 教材P16练习 （4） （5） （6） ∠1 = 55° ∠2 = 70° ∠1 = 80° ∠2 = 40° ∠1 = 60° ∠2 = 30° 探究新知 教材P15例题 第4题 例 4 如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD 是 △ABC 的三个外角，它们的和是多少？ A B C E F D 1 2 3 探究新知 教材P15例题 第4题 解： 由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得 ∠BAE =∠2 + ∠3， ∠CBF =∠1 +∠3，∠ACD =∠1 +∠2. 所以∠BAE +∠CBF +∠ACD = 2(∠1 +∠2 +∠3). 由∠1 +∠2 +∠3 = 180°，得 ∠BAE +∠CBF +∠ACD = 2×180° = 360°. A B C E F D 1 2 3 探究新知 解法二：如图，∠BAE +∠1 = 180° ① ， ∠CBF +∠2 = 180° ②， ∠ACD +∠3 = 180° ③， 又知∠1 +∠2 +∠3 = 180°， ① + ② + ③ 得 ∠BAE +∠CBF +∠ACD + (∠1+∠2+∠3) = 540°， 所以∠BAE +∠CBF +∠ACD = 540° – 180° = 360°. A B C E F D 1 2 3 探究新知 A B C E F D 1 2 3 解法三：过 A 作 AM 平行于 BC， 所以∠ACD = ∠EAM， ∠CBF = ∠BAM， 所以 ∠BAE +∠CBF +∠ACD = ∠BAE +∠BAM +∠EAM = 360°. M 探究新知 知识点 三角形的外角 推论：三角形的外角和等于 360°. A B C E F D 1 2 3 探究新知 复习巩固 1. 求出下列各图形中的 x 的值： 【教材P16习题13.3 第1题】 （1） （2） 解:（1）∵x° = 180° – 39° – 108° = 33°，∴x = 33. （2）∵x° + x° + x° = 180° ，∴x = 60. 课堂练习 21 （3） （4） （3）∵x° + x° + 72° = 180° ， ∴2x = 180 – 72 = 108. ∴x = 54. （4）∵x° + (x – 36)° + (x + 36)° = 180° ， ∴x = 60. 课堂练习 2.（1）一个三角形最多有几个直角？为什么？ （2）一个三角形最多有几个钝角？为什么？ （3）直角三角形的外角可以是锐角吗？为什么？ 【教材P16习题13.3 第2题】 课堂练习 解:（1）一个三角形最多有一个直角. 若一个三角形有两个直角，则不能满足三角形的内角和定理. （2）一个三角形最多有一个钝角. 若一个三角形有两个钝角，则不能满足三角形的内角和定理. （3）不可以. 若一个直角三角形的外角是锐角，则在一个三角形中有一个直角和一个钝角，则不能满足三角形的内角和定理. 课堂练习 3. 在△ABC 中，∠B 比∠A 大 10°，∠C 比∠B 大 10°. 求△ABC 各内角的度数. 【教材P16习题13.3 第3题】 解：由题意可知∠B =∠A + 10°， ∠C =∠B + 10° =∠A + 20°， 又∠A +∠B +∠C = 180°， ∴∠A +∠A + 10° +∠A + 20°= 180°， 即 3∠A + 30°= 180°. ∴∠A = 50°， ∠B =∠A + 10° = 60°，∠C =∠B + 10° =70°. 课堂练习 4. 如图，在△ABC 中，AD⊥BC，垂足为 D，∠1 =∠2，∠C = 65°. 求∠BAC 的度数. 【教材P16习题13.3 第4题】 课堂练习 解：∵ AD ⊥ BC，∴∠ADB =∠ADC = 90°. ∵∠1 =∠2， ∴∠2 =∠1 = ×(180° −∠ADB) = × 90° = 45°. ∴∠BAC = 180° − (∠2 +∠C) = 180° − (45° + 65°) = 70°. 课堂练习 综合运用 5. 如图，AB // CD，∠A = 40°，∠D = 45°. 求∠1 和∠2 的度数. 【教材P17习题13.3 第5题】 解：∵ AB // CD， ∴ ∠1 = ∠A = 40°. ∴∠2 =∠1 +∠D = 40° + 45° = 85°. 课堂练习 6. 如图，AB // CD，AE 与 CD 相交于点 O，∠A = 45°，∠C =∠E. 求∠C 的度数. 【教材P17习题13.3 第6题】 解：∵ AB // CD，∴ ∠DOE =∠A = 45°. 又∠DOE =∠C +∠E，且∠C =∠E， ∴∠C = ∠DOE = ×45°= 22.5°. 课堂练习 7. 如图，B 处在 A 处的南偏西 45°方向，C 处在 A 处的南偏东 15°方向，C 处在 B 处的北偏东 80°方向. 求∠ACB 的度数. 【教材P17习题13.3 第7题】 课堂练习 解：如图，设点 B 的正北方向的射线为 BD，点 A 的正南方向的射线为 AE. 由题意可知 ∠BAE = 45°，∠EAC = 15°，∠DBC = 80°， ∴∠BAC = 45° + 15° = 60°. 由 DB // AE 可得∠DBA =∠BAE = 45°， ∴∠ABC =∠DBC −∠DBA = 80° − 45° = 35°. 在 △ABC 中，∠ACB = 180° −∠BAC −∠ABC = 180° − 60° − 35° = 85°. D E 课堂练习 8. 如图，在△ABC 中，D 是边 AB 上一点，E 是边 AC 上一点， BE，CD 相交于点 F，∠A = 62°，∠ACD = 35°，∠ABE = 20°. 求∠BDC 和 ∠BFD 的度数. 【教材P17习题13.3 第8题】 解： ∠BDC = 97°， ∠BFD = 63°. 课堂练习 9. 如图，在△ABC 中，∠A = 100°，∠1 =∠2，∠3 =∠4. 求 x 的值。 【教材P17习题13.3 第9题】 解：∵∠1 =∠2，∠3 =∠4，∠A = 100°， ∴∠A +∠ABC +∠ACB = 100° + 2∠2 + 2∠4 = 180°. ∴∠2 + ∠4 = 40°. ∴x° = 180° − (∠2 +∠4) = 180° − 40° = 140° . ∴x = 140. 课堂练习 拓广探索 10. 如图，AB // CD，∠BAE =∠DCE = 45°. 填空： ∵AB // CD， ∴∠1 + 45°+∠ 2 + 45°=_____. ∴∠1 +∠2 =______. ∴∠E =_______. 180° 90° 90° 【教材P17习题13.3 第10题】 课堂练习 11. 如图，CE 是△ABC 的外角∠ACD 的平分线，且 CE 交 BA 的延长线于点 E. 求证∠BAC =∠B + 2∠E. 【教材P17习题13.3 第11题】 证明：∵CE 是 ∠ACD 的平分线， ∴∠ACE =∠ECD =∠B +∠E. ∴∠BAC =∠ACE +∠E = ∠B +∠E +∠E = ∠B + 2∠E. 课堂练习 知识点1 三角形的外角 1.下图中 是三角形的一个外角的是( ) D A. B. C. D. 返回 考试考法 36 2.如图， 的外角是_______、_______. （第2题） 返回 考试考法 37 知识点2 三角形外角的性质 3.如图， ， ，则 的度数是( ) A （第3题） A. B. C. D. 返回 考试考法 38 4.如图，若 ，则 的度数为( ) B （第4题） A. B. C. D. （第5题） 5.［2025西安月考］如图，，点，， 在同一直线上，若 ， ，则 的度数是( ) B A. B. C. D. 返回 考试考法 39 6.将一副三角板按如图所示的方式摆放，则 的度数是( ) C A. B. C. D. 返回 考试考法 40 （第7题） 7.如图，在中， ， ， 且是的角平分线，则____ . 65 （第8题） 8.如图，点在的平分线上，点在 上，， ，则 _____. 返回 考试考法 41 9.如图，在中，， 平分 的外角.求证： . 证明：由三角形外角的性质，得 . ， . 平分 ， . . 返回 考试考法 42 知识点3 三角形的外角和 10.［教材例4变式］如图，，，是 的三个 外角， ，则_____ . 230 （第10题） 返回 考试考法 43 （第11题） 11.如图，在中，是上一点，是 上一 点，，相交于点， ， ， ，则 的度数是 ( ) D A. B. C. D. 返回 考试考法 44 （第12题） 12.如图，点在轴上，点在轴上， 的平分线 交的外角的平分线于点，则 的度数 是( ) B A. B. C. D. 返回 考试考法 45 （第13题） 13.如图，在三角形纸片中， ，若按 图中虚线将剪去，则_____ . 215 （第14题） 14.［2025肇庆月考］如图， ， ， ，则 _____. 返回 考试考法 46 15.如图是可调躺椅示意图，与的交点为， ， ， ， .为了舒适，需调整 的大小，使 ，且，，保持不变，则 应调整为_____. （第15题） 返回 考试考法 47 三角形的外角 定义 三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角. 性质 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 三角形的外角和 三角形的外角和等于360°. 课堂小结 必做作业：从教材习题中选取； 选做作业：完成练习册本课时的习题. 作业 谢谢观看！ $