第二十五章 锐角的三角比（复习讲义）数学沪教版五四制九年级上册

第二十五章 锐角的三角比（复习讲义） 1.能清晰阐述锐角的正弦、余弦、正切的定义，明确其与直角三角形边的关系。 2.能根据直角三角形中已知的边或角，运用锐角三角比求出未知的边或角，包括已知一个锐角和一条边，求另外两条边；已知两条边，求一个锐角等情况，计算过程中能准确选择合适的三角比，确保结果的准确性。 3.能进行含有特殊锐角三角比的实数运算，包括加减乘除、乘方以及开方运算，同时能结合二次根式、分式等知识进行综合运算，熟练掌握运算顺序和技巧。 4.能运用锐角三角比解决与测量高度、距离、坡度等相关的实际问题，例如测量建筑物的高度、河宽、山坡的坡度等，在解题过程中能合理构造直角三角形，选择合适的三角比建立方程或算式，求出未知量，并能对结果进行合理的解释和检验。 知识点01 锐角的三角比 一个锐角的正切、余切、正弦、余弦统称为这个锐角的三角比． 定义 表达式 取值范围 相互关系 正 切 （为锐角） 余 切 （为锐角） 正 弦 （为锐角） 余 弦 （为锐角） 知识点02 特殊锐角的三角比的值 1 1 知识点03 锐角的三角比性质 ①当锐角增大时，这个锐角的正切与正弦值都增大，这个锐角的余切与余弦值都减小； ②若，则； ③. 知识点04 解直角三角形的基本类型 在直角三角形中，由已知元素求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形． 在中，如果，那么它的三条边和两个锐角之间有以下的关系： （1）三边之间的关系： （2）锐角之间的关系： （3）边角之间的关系： ， ， 知识点05 解直角三角形的应用 1.仰角与俯角 在测量过程中，常常会遇到仰角和俯角．如图，当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，视线在水平线下方的角叫做俯角． 2.方向角 指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方向角． 如图：北偏东30°，北偏西70°，南偏东50°，南偏西45°． 3.坡度（坡比）、坡角 在修路、挖河、开渠等设计图纸上，都需要注明斜坡的倾斜程度． 如图，坡面的铅垂高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i，即． 坡度通常写成1 : m的形式，如． 坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作． 坡度i与坡角之间的关系：． 题型一 角的正弦值及其应用 【例1】（24-25九年级上·上海虹口·阶段练习）如图，在中，，那么边的长是（    ） A． B．1 C．2 D． 【变式1-1】在中，，，，则 ． 【变式1-2】（24-25九年级上·上海青浦·期中）在中，，，，那么 ． 【变式1-3】（24-25九年级上·上海虹口·期中）已知：如图，中，，点是边上的一点，且，，． (1)求的长； (2)作于，求的正弦值． 题型二 角的余弦值及其应用 【例2】（24-25九年级上·上海杨浦·阶段练习）在中，，如果，，那么的长是（    ） A．3 B． C． D． 【变式2-1】（2025·上海杨浦·一模）在中，，，垂足为点，，，那么的长为 【变式2-2】（24-25九年级上·上海浦东新·期末）将平行四边形的边沿直线l翻折后，点B、C的对应点、落在直线上．如果，，那么此平行四边形四个内角中，锐角的余弦值为 ． 【变式2-3】（23-24九年级上·上海静安·期末）如图，中，，，.点、分别在边、上，，那么的长为 .（用含的代数式表示）    题型三 角的正切（余切）值及其应用 【例3-1】（24-25九年级上·上海普陀·阶段练习）在中，，，，那么等于（   ） A． B． C． D． 【例3-2】（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知为锐角，且，那么的余弦值为 ． 【变式3-1】（24-25九年级上·上海松江·期中）已知，在中，，则 ． 【变式3-2】在中，，，则的值为 ． 【变式3-3】（22-23九年级上·上海杨浦·期中）如图，已知中，，，，边的垂直平分线分别交、于点、．求线段的长． 题型四 锐角的三角比性质 【例4-1】（2023·上海静安·一模）如果，那么与的差（   ）． A．大于 B．小于 C．等于 D．不能确定 【例4-2】（23-24九年级上·上海·阶段练习） （选填“＞”或“＝”或“＜”） 【变式4-1】如果锐角A的度数是25°，那么下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（23-24九年级下·上海杨浦·阶段练习） （选填“”或“”或“”） 【变式4-3】比较、、和的大小，并由小到大排列： ． 题型五 特殊角三角比的混合运算 【例5-1】（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）计算：． 【例5-2】（25-26九年级上·上海·阶段练习）计算：． 【例5-3】（24-25九年级下·上海虹口·阶段练习）计算：． 【变式5-1】（24-25九年级下·上海虹口·阶段练习）计算：． 【变式5-2】（24-25九年级下·上海·阶段练习）计算：． 【变式5-3】（24-25九年级下·上海浦东新·阶段练习）计算：． 题型六 解直角三角形的相关计算 【例6-1】（25-26九年级上·上海浦东新·阶段练习）如图，已知在中，，正方形的顶点G、F分别在边上，点D、E在斜边上，那么正方形的边长为 ． 【例6-2】（2025·上海·模拟预测）如图，在中，，，点在边上，且， (1)求的值； (2)求的值． 【变式6-1】（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）如图，在中， (1)求边的长； (2)如果点E在边上，且，求的长． 【变式6-2】（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，在中，，垂足为点H，点D是边的中点，．求： (1)边的长； (2)的正切值． 题型七 仰角俯角问题 【例7】（24-25九年级上·上海普陀·阶段练习）如图，小华在教学楼距地面9米高的窗口处，测得正前方旗杆顶部点的仰角为，旗杆底部点的俯角为，升旗时，国旗上端悬挂在距地面米处，若国旗随国歌声匀速升起，并在国歌播放45秒结束时到达旗杆顶端，则国旗上升的速度为 米/秒．（参考数据：，，） 【变式7-1】（24-25九年级上·上海·阶段练习）为了测量铁塔的高度，在离铁塔底部a米的地方，用测角仪测得塔顶的仰角为α，已知测角仪的高度为h米，那么铁塔的高度为 米． 【变式7-2】（2025·上海金山·二模）如图，小海想测量塔的高度，塔在围墙内，小海只能在围墙外测量．这时无法测得观测点到塔的底部的距离，于是小海在观测点处仰望塔顶，测得仰角为，再往塔的方向前进米至观测点处，测得塔顶的仰角为，点、、在一直线上，小海测得塔的高度为 米（小海的身高忽略不计，用含、的三角比和的式子表示）． 【变式7-3】（24-25九年级上·上海·阶段练习）随着科学技术的不断进步，无人机被广泛应用到实际生活中，小进利用无人机来测量广场、两点之间的距离，如图所示，小进在广场的处遥控无人机，无人机在处距离地面的飞行高度是．此时从无人机测得广场处的俯角为，小进抬头仰视无人机时，仰角为，若小进的身高，（点、、、在同一平面内）．（参考数据：，，，） (1)求仰角的正弦值； (2)求、两点之间的距离．（结果精确到）． 题型八 方位角问题 【例8-1】（2025·上海长宁·一模）如图，点A位于点的北偏西方向，点位于点的东北方向，线段为一条东西向的公路的一部分，如果点到公路的距离是米，那么公路的长为 ． 【例8-2】（24-25九年级上·上海·阶段练习）“国庆黄金周”期间，某公园游客络绎不绝，现有一艘游船载着游客在公园湖中游览．当游船行驶至A处时，船上游客发现岸上沧浪亭P和清风亭Q都在东北方向；当游船向正东方向行驶600米到达B处时，游客发现清风亭Q在北偏西方向；当游船继续向正东方向行驶400米到达C处时，游客发现沧浪亭P在北偏西方向． (1)求A处到沧浪亭P的距离； (2)求沧浪亭P与清风亭Q之间的距离．注：计算结果请保留根号． 【变式8-1】（2025·上海徐汇·一模）如图，货船在灯塔的北偏西方向，客船在灯塔的东北方向，客船在货船的正东方向，如果货船与客船相距50千米，那么客船与灯塔的距离约是 千米（结果保留根号）． 【变式8-2】（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，一艘海轮位于小岛C的南偏东方向、距离小岛120海里的A处，该海轮从A处沿正北方向航行一段距离后，到达位于小岛C北偏东方向的B处． (1)求该海轮从A处到B处的航行过程中与小岛C之间的最短距离（结果保留根号）； (2)如果该海轮以每小时20海里的速度从B处沿方向行驶，求它从B处到达小岛C的航行时间（结果精确到0.1小时）．（参考数据：，）． 题型九 坡度坡比问题 【例9】（2025·上海宝山·模拟预测）有一斜坡的坡度i=12∶5，斜坡上最高点到地面的距离为2.4米，那么这个斜坡的长度为 米． 【变式9-1】（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）如果坡角为的斜坡的坡度，那么的值为 ． 【变式9-2】（24-25九年级上·上海杨浦·阶段练习）如图，在平地上种植树时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为．如果在坡度为的山坡上种植树，也要求株距为，那么相邻两树间的坡面距离为 ． 【变式9-3】（2023·上海·模拟预测）如图，斜坡的坡度为，坡顶B到水平地面（）的距离为3米，在B处、C处分别测得顶部点E的仰角为和，点A、C、D在一直线上，求的高度（精确到1米）．（参考数据：，，，，，） 题型十 解直角三角形其它应用 【例10-1】（2025·上海·中考真题）某公司需要员工上班时通过门禁，在门禁上方设置了人脸扫描仪，已知扫描仪（线段）的竖直高度2.7米，某人（线段）身高为1.8米，扫描仪测得，那么该人与扫描仪的水平距离为 米．（备用数据：，，，精确到米） 【例10-2】（2025·上海宝山·模拟预测）图1是某商场入口处摆放的“楼层导购图”展板．图2是其横断面的示意图． 信息1：经过测量得到：，，，．（底座的高度忽略不计） 信息2：P为顾客看展板时眼睛所在的位置，，垂足在的延长线上，当视线与展板垂直时，称点为“最佳观察点”． (1)求：展板最低点B到地面的距离； (2)如果，当点为“最佳观测点”时，求点到的距离．（参考数据：） 【变式10-1】（2025·上海奉贤·二模）如图1为《天工开物》记载的用于舂捣谷物的工具---“碓(duì)”的结构简图，图2为其平面示意图．已知于点B，与水平线l相交于点O，．如果分米，分米，，那么点C到水平线l的距离为 分米． 【变式10-2】（2025·上海松江·一模）图1是一款高清视频设备．图2是该设备放置在水平桌面上的示意图，垂直于水平桌面，垂足为点，点处有一个摄像头．经测量，厘米，厘米，． (1)求摄像头到桌面的距离； (2)如果摄像头可拍摄的视角，且，求桌面上可拍摄区域的宽度（的长）． （参考数据：，．） 基础巩固通关测 一、单选题 1．（24-25九年级上·上海浦东新·期中）在中，，那么的值等于（　　） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·上海·阶段练习）在A处观察B处时的仰角为，那么在B处观察A处时的俯角为（    ）． A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如果斜坡的坡面的铅垂高度米，水平宽度米，那么斜坡的坡角为（    ）． A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）在中，，用含与m的式子表示．下列四种表示方法中，正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）在平面直角坐标系内，点Q的坐标为，射线与x轴正半轴的夹角为，那么下列四个选项中正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25九年级上·上海普陀·阶段练习）拦水坝的横截面为梯形，其中斜面的坡比为，若自向走了米，那么升高的高度为 米． 7．（24-25九年级上·上海·阶段练习）在直角坐标平面中，点A的坐标，如果射线与x轴正半轴的夹角为α，那么 ． 8．（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）已知在中，，那么的值为 ． 三、解答题 9．（24-25九年级上·上海浦东新·期末）计算：． 10．（24-25九年级上·上海崇明·阶段练习）计算： 11．（2024·上海普陀·二模）如图，在中，，点在边上，，．    (1)求的长； (2)求的值． 12．（24-25九年级上·上海闵行·期中）某体育看台侧面的示意图如图所示，观众区的坡度为，顶端离水平地面的高度为10m，从顶棚的处看处的仰角，竖直的立杆上、两点间的距离为处到观众区底端处的水平距离为3m，求：顶棚的处离地面的高度．（，结果精确到0.1m） 13．（2024·上海静安·三模）已知：如图，第一象限内的点在反比例函数的图像上，点在轴上，轴，点的坐标为，且．求： (1)反比例函数的解析式； (2)点的坐标； (3)的余弦值． 能力提升进阶练 一、单选题 1．（2025·上海虹口·二模）如图，直线，直线分别与、相交于点、，与之间的距离为8，小明同学利用尺规按以下步骤作图：①以点为圆心，以任意长为半径作弧交于点，交于点；②分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线交于点．那么的长是（    ） A．6 B．6.4 C．8 D．10 二、填空题 2．（25-26九年级上·上海·阶段练习）如图，在正方形纸片中，点E是边的中点．将该纸片的右下角向上翻折，使点C与点E重合，边翻折至的位置，与交于点P，那么的值是 ． 3．（24-25九年级下·上海·阶段练习）已知：如图，中，，，，垂足为点，点关于直线、的对称点分别是点、．如果，那么的值为 ． 4．（2025·上海·模拟预测）已知等边三角形的边长为4，点D、E分别是边上的点，将沿直线翻折，点A的对应点落在边上（不与C点重合），设，那么m的取值范围是 ． 5．（24-25九年级上·上海普陀·阶段练习）在中，，点在边上，连接，把分成两个部分，其中与原三角形相似，是等腰三角形，则 ． 6．（24-25九年级上·上海虹口·阶段练习）如图，将矩形的边绕平面上一点旋转至射线上，点、的对应点分别为点，如果，那么的值是 ．    三、解答题 7．（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）如图，用三个形状大小完全相同的正方形拼成一个长方形，的三个顶点分别位于小正方形的顶点位置，试求的正切值． 8．（24-25九年级上·上海·阶段练习）世博公园是魔都的一处宝藏之地，而双子山，就像是世博公园的璀璨明珠．这座人工打造的山体别具一格，充满了独特的魅力．某数学兴趣小组用无人机垂直上升至距水平地面140米的P点，测得双子山顶端A的俯角是，再将无人机沿水平方向飞行200米到达点Q，测得双子山底端的俯角是，求双子山的高度．（结果精确到1米） 参考数据：，，． 9．（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）某个小组在探究等分线段的方法的过程中发现：可以用折纸的方法将一条线段三等分． 具体方法如下：如图，将正方形纸片对折，得到折痕（其中，点分别是边的中点），连接，将纸片沿翻折，使点落在点处，连接并延长交于．那么就是线段的一个三等分点． (1)试求的正弦值； (2)求证：点线段的一个三等分点． 10．（24-25九年级上·上海松江·期中）已知：如图，在中，．矩形的顶点G、F在边上，顶点D、E分别在上．    (1)若，求矩形的面积； (2)连接交于点，若平分，求的长． 11．（24-25九年级上·上海徐汇·阶段练习）图1是古代数学家杨辉在《详解九章算法》中对“邑的计算”的相关研究．数学兴趣小组也类比进行了如下探究：如图2，正八边形游乐城的边长为，南门设立在边的正中央，游乐城南侧有一条东西走向的道路，在上（门宽及门与道路间距离忽略不计），东侧有一条南北走向的道路，处有一座雕塑．在处测得雕塑的仰角为，在处测得雕塑在北偏东方向上．结合探究，请解决一下问题： (1)________度；[提示：多边形的内角和公式为] (2)点到道路的距离=________千米； (3)若该小组成员徐汇出南门后沿道路向东行走，求他离处不超过多少千米，才能确保观察雕塑不会受到游乐城的影响？（结果精确到0.1） [参考数据：，，，，] 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 第二十五章锐角的三角比（复习讲义) 单元目标聚焦·明核心 1能清晰阐述锐角的正弦、余弦、正切的定义，明确其与直角三角形边的关系。 2.能根据直角三角形中已知的边或角，运用锐角三角比求出未知的边或角，包括已知一个锐角和一条边，求 另外两条边；已知两条边，求一个锐角等情况，计算过程中能准确选择合适的三角比，确保结果的准确性。 3能进行含有特殊锐角三角比的实数运算，包括加减乘除、乘方以及开方运算，同时能结合二次根式、分式 等知识进行综合运算，熟练掌握运算顺序和技巧。 4能运用锐角三角比解决与测量高度、距离、坡度等相关的实际问题，例如测量建筑物的高度、河宽、山坡 的坡度等，在解题过程中能合理构造直角三角形，选择合适的三角比建立方程或算式，求出未知量，并能 对结果进行合理的解释和检验。 知识图谱梳理 因基础 知识点01锐角的三角比 知识点02特殊锐角的三角比的值 教材要点精析 知识点03锐角的三角比性质 知识点04解直角三角形的基本类型 知识点05解直角三角形的应用 题型一角的正弦值及其应用 题型二角的余弦值及其应用 题型三角的正切（余切）值及其应用 题型四锐角的三角比性质 锐角的三角比 题型五特殊角三角比的混合运算 考点题型突破 2 题型六解直角三角形的相关计算 题型七仰角俯角问题 题型八方位角问题 题型九坡度坡比问题 题型十解直角三角形其它应用 基础巩固通关测 分层阶梯训练 能力提升进阶练 1/56 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 教材要点精析•夯重点 知识点01锐角的三角比 一个锐角的正切、余切、正弦、余弦统称为这个锐角的三角比. 定义 表达式 取值范围 相互关系 正 tan A= LA的对边 tanA=d b 切 ∠A的邻边 tanB=b tan A>0 a (∠A为锐角) 1 tan A=- b t4 余 ∠A的邻边 cot A= cotA>0 cot A= 切 ∠A的对边 cotB= b (∠A为锐角) 正 ∠A的对边 sin A= sinA=a 0<sin A<I 弦 斜边 c sin B=b (∠A为锐角) sinA=cos90°-∠A 余 b ∠A的邻边 cos A= 0<c0sA<1 cosA=sin(90°-∠A cosA= 弦 斜边 CosB=a (∠A为锐角) 知识点02特殊锐角的三角比的值 =30° 0=60° 0=45° tan a 3 1 3 cota 5 5 1 3 sina 1 B √2 2 2 cosa 5 2 2 2 2 知识点03锐角的三角比性质 ①当锐角增大时，这个锐角的正切与正弦值都增大，这个锐角的余切与余弦值都减小； ②若∠A+∠B=90°，则tanA=cotB;sinA=cosB; ③tan A.cot A=l. 知识点04解直角三角形的基本类型 在直角三角形中，由己知元素求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形. 在RtAABC中，如果∠C=90°，那么它的三条边和两个锐角之间有以下的关系： 2/56 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)三边之间的关系： a2+b2=c2 (2)锐角之间的关系： LA+∠B=90° (3)边角之间的关系： sin A=cosB=a, cosA=sinB=b c tanA=cotB=a, b'cot4=tanB=b 知识点05解直角三角形的应用 1.仰角与俯角 在测量过程中，常常会遇到仰角和俯角.如图，当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视 线在水平线上方的角叫做仰角，视线在水平线下方的角叫做俯角. ,视线 铅 垂， 人仰角 水平线 线 工俯角 、视线 2.方向角 指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方向角 如图：北偏东30°，北偏西70°，南偏东50°，南偏西45°. 北 北偏东30 北偏西70° 309 70° 45°509 南偏东50 南偏西45° 3坡度（坡比）、坡角 在修路、挖河、开渠等设计图纸上，都需要注明斜坡的倾斜程度. 如图，坡面的铅垂高度h和水平宽度1的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作，即1=么 坡度通常写成1：m的形式，如i=1:1.5. 坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作· 3/56 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 h 坡度i与坡角o之间的关系：i=二=tana. 考点题型突破·拓思维 题型一角的正弦值及其应用 【例1】(24-25九年级上上海虹口阶段练习)如图，在R△ABC中，∠C=90°，AB=3,sinB=2,那么边 3 AC的长是() B A 3 B.1 C.2 D.5 【答案】C 【详解】解：：在R1△4BC中，∠C=90,AB=3,sinB=AC=2 AB 3' :.AC=2 故选：C 【变式1-1】在△ABC中，∠C=90°，a=3,b=5,则sinA= 【答案】3v34 34 【详解】解：由勾股定理知，c=√a2+b2=V32+52=√34· ..sind=a 33V34 V3434 故答案为： 3V34 34 4/56 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 4 【变式1-2】(24-25九年级上上海青浦期中)在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10,sin4=4,那么 5 BC= 【答案】8 【详解】解：如图：在Rt△ABC中，∠C=90°， 4 sn4=亏4B=10, :BC=AB sin A=8, 故答案为：8. 【变式1-3】(24-25九年级上上海虹口期中)已知：如图，ABC中，∠BAC=90°，点E是边AC上的 一点，且∠ABE=∠C,AB=3,AC=4. B (1)求BE的长； (2)作ED⊥BC于D,求LEBC的正弦值. 【详解】(1)解：：∠A=∠A,∠ABE=∠C, .△ABE∽△ACB, AB AE BE AC AB BC' :AB=3,AC=4, 又：∠A=90°， BC=√AB2+AC2=V32+42=5, :38E, 45 E (2)解：如图，过点E作ED⊥BC于D, 5/56 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E B D AB AE AC AB ,AB=3,AC=4, 9 :AE= 4 EC=AC-AB- :∠A=∠EDC=90°，∠C=∠C, △CED∽△CBA, ED EC AB BC' .ED=AB-EC21 BC 20 在RtaBED中，sim∠EBC=ED-Z BE 25 题型二 角的余弦值及其应用 【例2】(2425九年级上上海杨浦阶段续习)在R1048C中，∠C=90,如果4C=2,c心s4-子，那么 2 AB的长是() A.3 B. 4-3 C.5 D.13 【答案】A 【详解】解：如图， :c0sA=4C=2 AB3,4C=2, 3 AB=×2=3, 故选：A 6/56 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式2-1】(2025上海杨浦一模)在Rt△ABC中，LACB=90°，CD⊥AB,垂足为点D,BC=9, eos ZACD=3 那么AB的长为 【答案】12 【详解】解：如图， A :∠ACB=90°， B LACD+∠BCD=90°， :CD⊥AB, ∠CDB=90°， .∠BCD+∠B=90°， LB=∠ACD, cos∠B=cos∠4CD=3 Cos∠B= BC3 AB 4 4 4 AB=4BC=4x9=12, 3 3 故答案为：12. 【变式2-2】(24-25九年级上·上海浦东新期末)将平行四边形ABCD的边BC沿直线1翻折后，点B、C 的对应点B、C落在直线AD上.如果4B=2BC,AC-4 C'D B'D ,那么此平行四边形四个内角中，锐角的余 弦值为 【答案】2 4 【详解】解：如图， C B B,C要想落在AD上，I应为与BC平行的线，且I到AD、BC的距离相等， 7156 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 BB⊥I,CC⊥I, BB'⊥AD,CC'⊥AD, :AB=CD,BB'=CC',∠AB'B=∠OC'C, △ABB'≌△DCC', AB'=x,BC=m,AB =2m,B'C'=m,AC'=AB'+B'C'=m+x,C'D AB'=x, 0物-S品 m+xx x m-x 整理得，2=m, 2 解得，x= -m, 2 √ COsA=AB' m√2， 2 AB 2m 4 故答案为： 2 4 【变式2-3】(23-24九年级上上海静安期末)如图，R1AABC中，∠AC8=90°，BC=a,c0sB=2点D 4 、E分别在边AB、BC上，∠CDE=LEDB=LB,那么AD的长为 (用含a的代数式表 示) A D 【答案】2 【详解】解：如图所示，过点E作EG⊥AB于点G, 8/56 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 F G E ZEDB=ZABC :ED=EB, cos∠ABC=3 BE=4设BG=3k,则DE=BE=4h,BD=6k, BG 3 .BC=a, .CE=a-4k, 过点B作BF∥DE交CD的延长线于点F, ∴.∠EDB=∠DBF,LCDE=∠F .∠CDE=∠EDB ∴.∠DBF=∠F, :DF=DB :BF∥DE CD CE CD CE DF EB ，即 DB EB CD a-4k 6k 4k 解得：CD=3 4-6M 又·∠DCE=∠BCD,∠CDE=∠CBD △CDE∽△CBD CE-CD CD CB 3 4=20-6 24-6 a 9/56 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 解得：k=50 36 .BD=6k=5a 6 ZACB =90.COs ZABC=BC=a .AB = BC 3a,则AD=4。 4 COS∠ABC —z→x2重 6 a 故答案为：2 题型三 角的正切（余切)值及其应用 【例3-1】(2425九年级上·上海普陀阶段练习)在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=12,AC=5,那么 cotB等于() 高 B. 12 13 c号 D. 12 【答案】C 【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=12,AC=5, .cot B= BC_12 AC 5 故选C. 1 【例3-2 】(24-25九年级上上海阶段练习)已知a为锐角，且ana=2,那么a的余弦值为. 【答案】25 【详解】解：如图， B a A C tana= BC 1 AC2' 设BC=a,则AC=2a，, AB=V√AC2+BC2=√5a, 10/56