专题10 期中解答真题百练通关9大压轴题型（期中专项训练）七年级数学上学期新教材北师大版

专题10 期中解答真题百练通关9大压轴题型 题型一 丰富的图形世界压轴题 题型六 数轴上动点的新定义问题 题型二 分类讨论化简绝对值 题型七 有理数运算的应用 题型三 几何意义化简绝对值 题型八 整式加减——化简求值 题型四 数轴上的单动点问题 题型九 数字、图形规律问题 题型五 数轴上的双动点问题 题型一 丰富的图形世界压轴题 1．（2024·25七年级下·北京·期中）某班计划用一些长方形的卡纸，为同学们制作棱长为的正方体心愿语盒．设计组提供了如图1所示的两种心愿语盒的展开图，制作组按照展开图可围成如图2所示的心思语盒（不考虑接缝） 材料组准备了以下三种类型的卡纸供选择，规格如下表： 卡纸型号 型号Ⅰ 型号Ⅱ 型号Ⅲ 卡纸规格（单位：） （如图1网格） 制作组要制作16个心愿语盒，通过合理选择展开图的样式、卡纸的型号和数量，发现使所选卡纸的总成本最低的方案是： 型号Ⅰ的卡纸1张，型号Ⅱ的卡纸1张，型号Ⅲ的卡纸2张． 按照该方案，请在如图型号Ⅱ和型号Ⅲ的卡纸上，画出各纸盒的展开图（只画外轮廓即可）． 2．（2024·25六年级上·山东威海·期中）将图1所示的大正方体在顶点处截去一个小正方体后，得到图2所示的几何体． (1)设原来大正方体的表面积为，图2所示的几何体表面积为，那么与的大小关系是：____；（填“>”“<”或“=”） (2)图3的实线图形是图2所示几何体表面展开图的一部分，请在图3的虚线区域将图2的展开图补全； (3)设原来大正方体的棱长之和为m，图2所示几何体的棱长之和为n，小明认为：n刚好比m多出大正方体3条棱的长度，小明的说法是否正确？若正确，请说明理由；若不正确，所截去的小正方体的棱长与原大正方体的棱长之间具备怎样的数量关系时，才会正确？ 3．（2024·25七年级上·汕头 期中）一个几何体是由若干个大小相同的小正方体搭成，从左面、上面看到的这个几何体的形状图如图所示，这样的几何体只有一种吗？它最多需要多少个小正方体？最少需要多少个小正方体？ 4．（2024·25七年级上·广东深圳·期中）【综合实践】某综合实践小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． 【知识准备】 （1）下列图形中，不是无盖正方体的表面展开图的是_______；（填序号） 【实践探索】 （2）综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒） ①图1方式制作一个无盖的长方体盒子的方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来．则长方体纸盒的底面周长为______（用含a，b的式子表示）； ②图2方式制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．如果，．则该长方体纸盒的体积为_____． 【实践分析】 （3）一个无盖长方体的长、宽、高分别为，（它缺一个长为，宽为的长方形盖子），如图是该长方体的一种平面展开图，它的外围周长为．事实上，该长方体的平面展开图还有不少，请你画出该无盖长方体外围周长最大的一种表面展开图，并求出最大外围周长的值． 题型二 分类讨论化简绝对值 5．（2024·25七年级上·福建福州·期中）已知，求的最大值与最小值． 6．（2023七年级·全国·竞赛）已知是非零有理数，且，求． 7．（2024·25七年级上·四川达州·阶段练习）已知，，，且，，求的值． 8．（2025六年级上·全国·专题练习）已知，求的最大值和最小值． 9．（2025·26七年级上·全国·课后作业）(1)对于有理数x，y，若，则的值是________． (2)已知，求的值． (3)若a，b，c都是非零有理数，求的值． 10．（2025·26七年级上·湖北武汉·阶段练习）已知：，，…，，都是不等于0的有理数，请你探究以下问题： (1)若，则______； (2)若，则______； (3)若，求的值； (4)由以上探究可知，若，则共有______个不同的值；在这些不同的值中，最大的值和最小的值的差等于______；的这些所有的不同的值的和的绝对值等于______． 题型三 几何意义化简绝对值 11．（2024·25七年级上·山东济南·阶段练习）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)数轴上表示4和1的两点之间的距离是________；表示和2两点之间的距离是________；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．如果表示数a和的两点之间的距离是3，那么________． (2)若数轴上表示数a的点位于与2之间，则的值为________； (3)利用数轴找出所有符合条件的整数点x，使得，这些点表示的数的和是________． (4)当________时，的值最小，最小值是________． 12．（2025·26七年级上·重庆·阶段练习）（1）阅读：如图，点A、B在数轴上分别表示实数a、b，则A、B两点之间的距离可以表示为． （2）理解： ①数轴上表示2和5的两点之间的距离是_____，数轴上表示和的两点之间的距离是______； ②表示x与的距离，若，则x的值为_____； （3）运用： ③当代数式取最小值时，相应的x的取值范围是_____； ④当代数式的最小值是_____； （4）提升： 的最小值为_____． 13．（2025·山东青岛·模拟预测）【问题提出】的最小值是多少？ 【阅读理解】为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手．的几何意义是a这个数在数轴上对应的点到原点的距离，那么可以看作a这个数在数轴上对应的点到1的距离；就可以看作a这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和，下面我们结合数轴研究的最小值．我们先看a表示的点可能的3种情况，如图所示： （1）如图①，a在1的左边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1． （2）如图②，a在1，2之间（包括在1，2上），可以看出a到1和2的距离之和等于1． （3）如图③，a在2的右边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1．因此，我们可以得出结论：当a在1，2之间（包括在1，2上）时，有最小值1． 【问题解决】 (1)的几何意义是 ，请你结合数轴探究：的最小值是 ． (2)的几何意义是 ，请你结合数轴探究：的最小值是 ，并在图④的数轴上描出得到最小值时a所在的位置，由此可以得出a的值为 ． 14．（2024·25七年级上·河南南阳·期中）阅读： 我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难人微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离；因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离． （1）发现问题：代数式的最小值是多少？ （2）探究问题：如图，点分别表示数． 因为的几何意义是线段与的长度之和， 所以当点在线段上时，；当点在点的左侧或点的右侧时，，所以的最小值是3． (1)借助数轴，说明的最小值是多少？ (2)当代数式的最小值是1时，直接写出此时的a值． 15．（2025·河北·一模）【定义】数轴上表示数a，b的点A，B之间的距离． 【应用】如图，在数轴上，点表示的数为，点表示的数为，点C表示的数为6，动点P表示的数为x． (1)求点A，B之间的距离； (2)①点P，A之间的距离为______，点P，C之间的距离为______；（用含x的代数式表示） ②求的最小值； (3)已知动点P从点A出发，沿着数轴的正方向运动，到终点C停止运动，直接写出的最大值及最小值． 题型四 数轴上的单动点问题 16．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，在数轴上点，分别表示的数为，4，是一动点，从点出发以每秒2个单位长度的速度向右运动，已知点是的中点，当，两点相距4个单位长度时，求点的运动时间． 17．（2024·25七年级上·浙江温州·期中）如图，在数轴上有A，B，C三点从左到右排列，a，b，c所对应的点分别为A，B，C，已知：a是最大的负整数，b是a的相反数，，请回答问题：    (1)请直接写出a、b、c的值． ______， ______， ______； (2)点P为数轴上一动点，现以点P为折点，将数轴向右对折． ①若对折后点A与点C重合，求此时点P代表的数； ②若对折后，A，B，C三点互不重合且其中一点到另外两点的距离相等，请直接写出此时点P代表的数是______． 18．（2025·26七年级上·全国·课后作业）如下图，已知数轴上两点对应的数分别为为数轴上的一个动点，其对应的数为． (1)若点P到点A，B的距离相等，则x的值为_________． (2)若将数轴折叠，使A，B两点重合，则表示的点与表示__________的点重合． (3)若数轴上M，N两点之间的距离为2025（点M在点N的左侧），且M，N两点经过（2）中的方式折叠后互相重合，求M，N两点表示的数． 19．（2024·25七年级上·福建漳州·期中）已知在数轴上，一动点Q从原点O出发，沿着数轴以每秒4个单位长度的速度来回移动，第1次移动是向右移动1个单位长度，第2次移动是向左移动2个单位长度，第3次移动是向右移动3个单位长度，第4次移动是向左移动4个单位长度，第5次移动是向右移动5个单位长度，……. (1)求出2.5秒钟后动点Q移动______次； (2)第7次移动后，点Q在表示数______的位置上，运动时间为______s； (3)第n次移动后，点Q运动时间为______s. (4)如果在数轴上有一个定点A，且A与原点O相距10个单位长度，问：动点Q从原点出发，可能与A重合，若能，则第一次与点A重合需要多长时间？若不能，请说明理由. 题型五 数轴上的双动点问题 20．（2024七年级上·安徽·专题练习）如图，，，三个点在数轴上表示的数分别为，，，且．动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向终点运动． (1)求，，的值； (2)点运动到点前，若点到点距离是到点距离的3倍，求点运动的时间； (3)若点运动的同时，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向点运动，点到达点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点，在点开始运动后，，两点之间的距离能否为2个单位长度？如果能，请求出此时点表示的数；如果不能，请说明理由． 21．（2024·25七年级上·全国·期中）绝对值是研究我们数学问题的重要符号． 【代数意义】 正数和 0 的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数 已知：都是不等于0的有理数，请你探究以下问题： （1）①若，则 ；②若，则 ； 【几何意义】 在数轴上，一个数到原点的距离叫做该数的绝对值， 表示数轴上表示数a的点和表示数b的点的距离． （2）如图，数轴上点表示，点表示，动点从点出发以每秒个单位的速度向右运动，到达点时停止运动；动点从点出发向以每秒个单位的速度向左运动，几秒后、两点之间的距离是个单位长度？ 22．（2024·25七年级上·江苏扬州·期中）如图，将一条数轴在原点和点处各折一下，得到一条“形数轴”．图中点A表示，点表示，点表示，我们称点和点在“形数轴”上相距个长度单位．动点，同时出发，点从点出发，以单位秒的速度沿着“形数轴”的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复到原来的速度；动点从点出发，以单位秒的速度沿着“形数轴”的负方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复到原来的速度．设运动的时间为秒． 请根据以上条件回答： (1)动点从点运动至点需要多少时间？ (2)当，两点相遇时，求值； (3)当，两点在“形数轴”上相距的长度与，两点在“形数轴”上相距的长度相等时，则的值为______(直接写出结果)． 23．（2024·25七年级上·贵州遵义·阶段练习）观察、理解与应用． 题目：如图数轴上有三点A、B和C，其中A点在处，B点在2处，C点在原点处． (1) ，表示的意义是 ； (2)，，即用字母表示线段长，，猜想： ，设P、Q在数轴上分别表示的数为和220，则线段 ； (3)归纳：如果M、N在数轴上表示的数分别为，，则线 ； (4)应用：若动点P，Q分别从点和2处同时出发，沿数轴负方向运动；已知点P的速度是每秒1个单位长度，点Q的速度是每秒2个单位长度，问： ①t为2秒时P，Q两点的距离是多少？（列算式解答） ②t为 秒时P，Q两点之间的距离为2？ 题型六 数轴上动点的新定义问题 24．（2024·25七年级上·福建泉州·期中）阅读理解，完成下列各题： 定义：已知、、为数轴上任意三点，若点到点的距离是它到点的距离的3倍，则称点是的3倍点．例如：如图1，点是的3倍点，点不是的3倍点，但点是的3倍点，根据这个定义解决下面问题： (1)在图1中，点______的3倍点（填写“是”或“不是”）；的3倍点是点______（填写或或或）； (2)如图2，、为数轴上两点，点表示的数是，点表示的数是5，若点是的3倍点，则点表示的数是______； (3)若、为数轴上两点，点在点的左侧，，一动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，设运动时间为秒，求当为何值时，点恰好是和两点的3倍点？（用含的代数式表示）． 25．（2024·25七年级上·北京朝阳·期中）在数轴上，点表示的数为1，点表示的数为3，对于数轴上的图形，给出如下定义：为图形上任意一点，为线段上任意一点，如果线段的长度有最小值，那么称这个最小值为图形关于线段的极小距离，记作，线段；如果线段的长度有最大值，那么称这个最大值为图形关于线段的极大距离，记作，线段． 例如：点表示的数为4，则点，线段点，线段．    已知点为数轴原点，点为数轴上的动点． (1)（点，线段)=_________，（点，线段）_________； (2)若点表示的数，点表示数(线段，线段，求的值； (3)点C从原点出发，以每秒2个单位长度沿轴正方向匀速运动，点从表示数的点出发，第1秒以每秒2个单位长度沿轴正方向匀速运动，第2秒以每秒4个单位长度沿轴负方向匀速运动，第3秒以每秒6个单位长度沿轴正方向匀速运动，第4秒以每秒8个单位长度沿轴负方向匀速运动，……，按此规律运动，两点同时出发，设运动的时间为秒，若(线段，线段)小于或等于6，直接写出的取值范围（可以等于0）． 26．（2024·25七年级上·福建福州·期中）在数轴上有，两点，点表示的数为．对点给出如下定义：当时，将点向右移动3个单位长度，得到点；当时，将点向左移动个单位长度，得到点．称点为点关于点的“联动点”．如图，点表示的数为．    (1)在图中画出当时，点关于点的“联动点”； (2)点从数轴上表示的位置出发，以每秒1个单位的速度向右运动．点从数轴上表示5的位置同时出发，以相同的速度向左运动，两个点运动的时间为秒． ①点表示的数为__________（用含的式子表示）； ②是否存在，使得此时点关于点的“联动点”佮好与原点重合？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 27．（2024·25七年级上·福建三明·阶段练习）数轴上有A，B，C 三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“关联点”. 例：如图1所示，数轴上点A，B，C 所表示的数分别为1，3，4，因为，所以称点B 是点A，C的“关联点”．                               图1 (1)如图2所示，点A表示数，点B 表示数1，下列各数2，4，6所对应的点分别是C1，C2，C3其中是点A，B  的“关联点”的是 ;                                        图2 (2)如图3所示，点A 表示数，点B 表示数15，P 为数轴上一个动点： ①若点P 在点B 的左侧，且P 是点A，B  的“关联点”，求此时点P 表示的数； ②若点P 在点B 的右侧，点P，A，B   中，有一个点恰好是其它两个点的“关联点”， 请求出此时点P 表示的数.                              图3 题型七 有理数运算的应用 28．（2024·25六年级上·上海·期中）外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定送餐量超过40单（送一次外卖为一单）的部分记为“”，低于40单的部分记为“”，下表是该外卖小哥一周的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量/单 (1)求外卖小哥这一周平均每天送餐多少单． (2)外卖小哥每天的工资由底薪30元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过40单的部分，每单补贴4元；超过40单但不超过50单的部分，每单补贴6元：超过50单的部分，每单补贴8元．求外卖小哥这一周工资收入多少元． 29．（2024·25七年级上·湖南益阳·期中）金秋时节，水城沅江，桔满枝头．某桔农采摘了一批新品柑桔，刚好装了 200   箱，以每箱 的重量为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如 下表： 每箱与标准重量 的差值（单位：） 0 1 2.5 箱数 10 40 20 30 20 80 (1)这 200 箱柑桔中，最重的一箱比最轻的一箱重多少千克？ (2)与标准重量相比较，这 200 箱总计超过或不足多少千克？ (3)若柑桔以每千克 4 元的价格出售，则这批柑桔可卖多少元？ 30．（2024·25七年级上·四川自贡·期中）在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位:千米）:， ，， ， ，， ，. (1)请你帮忙确定B地相对于A地的方位? (2)救灾过程中，冲锋舟离出发点A最远处有多远? (3)若冲锋舟每千米耗油0.5升，油箱容量为28升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油? 31．（2024·25七年级上·福建龙岩·期中）某公司为了更好地为客户服务，专门派一名司机小张接送客户．小张从本公司出发向东行驶的公里数记作正数，向西行驶的公里数记作负数，他的一天的记录如下（单位：）：． (1)请计算说明小张最后是否回到了公司？ (2)请计算小张这一天一共跑了多少千米？ (3)在接送过程中，小张离公司最远的距离是多少千米？（直接写出答案） 32．（2024·25七年级上·宁夏吴忠·期中）如图是某种细胞分裂示意图，这种细胞每过30分钟便由1个分裂成2个．根据此规律可得：    (1)这样的一个细胞经过2小时后可分裂成_______个细胞； (2)这样的一个细胞经过n（n为正整数）小时后可分裂成_______个细胞． 33．（2024·25七年级上·四川广元·期中）一只蚂蚁从某点处出发在一直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，爬行的路程依次为（单位：），，，，，，． (1)蚂蚁第_________次爬行后离原出发点最远？最远距离是_________． (2)通过计算说明蚂蚁最后是否回到出发点？若没回到出发点，那么它停留在哪个位置处？ (3)在爬行过程中，如果蚂蚁每爬奖励一粒芝麻，那么蚂蚁共得多少粒芝麻？ 题型八 整式加减——化简求值 34．（2024·25七年级上·安徽滁州·期中）已知多项式是关于x，y的四次三项式． (1)求m的值； (2)若多项式，化简，并求当x与y互为倒数，y的绝对值为1时的值． 35．（2025·26七年级上·全国·期中）阅读理解：如图式子，求式子的值，小花同学提出了一种解法如下：原式，把整体代入得到原式．仿照小花的方法，完成下面各题． (1)如果那么 ． (2)已知，求的值． (3)已知，，求的值． 36．（2024·25七年级上·浙江杭州·期中）阅读材料：我们知道，，类似的，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： （1）把看成一个整体，合并的结果是 ． （2）已知，求的值； 拓展探索： （3）已知，，，求的值． 37．（2024·25七年级上·湖南湘西·阶段练习）已知多项式． (1)若多项式的值与字母x的取值无关，求a、b的值； (2)在（1）的条件下，求多项式的值； (3)在（1）的条件下，求 ． 38．（2024·25七年级上·江西抚州·期中）理解与思考：整体代换是数学的一种思想方法，例如：，则 ；我们将作为一个整体代入，则原式．仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)若，则 ； (2)如果，求的值； (3)若，，求的值． 39．（2024·25七年级上·福建厦门·期中）设． (1)若，求A的值； (2)若使求得的A的值与（1）中的结果相同，则整数x，y的值还可以是多少? 说明理由，并写出至少一种结果． 题型九 数字、图形规律问题 40．（2024·25七年级上·浙江绍兴·期中）探索规律：从1开始，连续的自然数相加，它们的和的倒数情况如下表： 分母中加数的个数（n） 和的倒数 2 3 4 5 … … (1)根据表中规律，求_____； (2)根据表中规律，则_____； (3)求的值． 41．（2025·26七年级上·全国·期中）观察下面三行数： ，9，，81，…；………………………第①行 1，，9，，…；………………………第②行 ，10，，82，…．……………………第③行 (1)第①行数按什么规律排列？ (2)第②③行数与第①行数分别有什么关系？ (3)设x，y，z分别为第①②③行的第2025个数，求的值． 42．（2024·25七年级上·吉林四平·期中）观察下面三行数： 2、、8、、32、、……① 0、、6、、30、、……② 2、、14、、62、、……③ (1)第①行第7个数是______； (2)第①行第n个数是______； (3)请说出第②行数与第①行相对应的数有什么关系？ (4)第1列的3个数之和为4，第二列3个数之和为，是否存在一列数3数之和为1020？若存在，说明是哪三个数；若不存在，说明理由． 43．（2024·25七年级下·山东青岛·期中）【知识回顾】观察下列各式： ； ； ； 【理解应用】 根据你发现的规律解答下列各题： （1）根据以上规律可知，_____； （2）你能否由此归纳出一般性规律：_____； （3）若是正整数，且，请化简：_____ 【能力提升】 （4）计算： 44．（2024·25七年级上·北京·期中）在黑板上先依次写下两个正有理数，接下来对进行操作： 如果且，则将和依次写在黑板上，作为新的，并将原擦掉；如果且，则将和依次写在黑板上，作为新的，并将原擦掉；以上过程称为一次操作．只要黑板上新的满足，就再进行下一次操作；如果新的满足，则操作停止． (1)如果在黑板上先写下的数是，接下来进行几次操作后停止？说明理由： (2)如果在黑板上先写下的数是，则第次操作后，黑板上的两个数依次是_________，__________； (3)如果在黑板上先写下的是两个真分数，，且进行有限次操作后，操作停止，则的所有可能值为__________． 45．（2024·25七年级上·全国·期中）观察下列三列数： 、、、、、、…① 、、、、、、…② 、、、、、、…③ (1)第①行第10个数是 ，第②行第15个数是 ； (2)在②行中，是否存在三个连续数，其和为1001？若存在，求这三个数；若不存在，说明理由； (3)若在每行取第k个数，这三个数的和正好为399，则 ． 1．某海港货场不断有轮船卸下货来，又不断用汽车将货物运走．如果用9辆车，12小时可以清场；如果用8辆车，16小时可以清场．该场开始只用3辆车，10小时后增加了若干辆车，再过4小时就已清场，那么后来增加了多少辆车？ 2．一个长方形的周长是42厘米，经分割两次（图中甲、乙两图），图甲中四部分的面积比，图乙中四部分的面积比为，已知长方形D和长方形P宽的差与长的差之比是，求原大长方形的面积是多少平方厘米？ 3．已知，晓风错将“”看成“”，算得结果． (1)计算的表达式； (2)求正确的结果的表达式； (3)晓华说（2）中的结果的大小与的取值无关，对吗？若，，求（2）中代数式的值． 4．有这样一道题“如果代数式的值为，那么代数式的值是多少？”，爱动脑筋的汤同学解题过程如下： 原式． 汤同学把作为一个整体求解．整体思想是中学数学解题中的一种重要思想方法，请仿照上面的解题方法，完成下面的问题： 【简单应用】 （1）已知，则______； （2）已知，求的值； 【拓展提高】 （3）已知，，求代数式的值． 5．数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离．因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与所对应的点之间的距离． （1）【探究问题】 如图，数轴上，点A，B，P分别表示数，2，x，因为的几何意义是线段与的长度之和，当点P在线段上时，，而当点P在点A的左侧或点B的右侧时，．所以当点P在线段上时，有最小值，最小值是3． 填空： 若， 则x的值为 ； （2）【解决问题】 ①直接写出式子的最小值为 ； ②若代数式的最小值是2，则a的值为 ； （3）【实际应用】如图，在一条笔直的街道上有E，F，G，H四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为．已知E，F，G，H四个小区各有2个，2个，2个，1个学生在同一所中学的同一班级上学，安全起见，这7个同学约定先在街道上某处汇合，再一起去学校．聪明的他们通过分析，发现在街道上的M处汇合使所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，请问汇合地点M设置在什么位置的时候，所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，并求出此最小值． 6．在数学实践课上，老师提供了如图1所示的矩形卡纸，要求大家利用它制作一个底面为正方形的礼品盒．小明按照图2的方式裁剪（其中），恰好得到纸盒的展开图，并利用该展开图折成一个礼品盒，如图3所示． (1)若，直接用含的代数式表示出的长； (2)如果要求折成的礼品盒的两个相对的面上分别印有“吉祥”和“如意”，如图4所示，那么应选择的纸盒展开图图样是________． A．        B． C．        D． (3)今有两种不同型号的矩形卡纸，其规格、单价如表所示： 卡纸型号 型号I 型号II 规格（单位：） 单价（单位：元） 3 5 现要制作10个这种底面是边长为的正方形，高为的礼品盒．请你合理选择上述卡纸（包括卡纸的型号及相应型号卡纸的张数），并在卡纸上画出设计示意图（包括一张卡纸可制作几个礼品盒，其展开图在卡纸上的分布情况），并计算出你所用卡纸的总费用． 7．数学课上老师出了一道题计算：，老师在教室巡视了一圈，发现同学们都做不出来，于是给出答案： 解：令 S＝，① 则2S＝，② ②－①得． 根据以上方法请计算： (1)；（写出过程，结果用幂表示） (2)_______．（结果用幂表示） 8．阅读理解： 如图，从左边第一个格子开始向右数，在每个格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等． 1 ● ○ 7 … (1)可知 ， ， ． (2)试判断第2025个格子中的数是多少，并给出相应的理由． (3)判断：前n个格子中所填整数之和能否为2025？若能，求出n的值；若不能，请说明理由． (4)若在前三个格子中任取两个数并用大数减去小数得到差值，而后将所有的这样的差值累加起来称为累差值．例如：前三项的累差值为，则前三项的累差值为 ；若取前十项，那么前十项的累差值为多少？（请给出必要的计算过程） 9．在数的学习过程中，我们总会对其中一柴具有某种特性的数充满好奇，例如：定义：对于一个各个数位上的数字均不为零的三位自然数m，若m的十位数字等于其个位数字的2倍，则称这个自然数m为“好数”，当三位自然数m为“好数”时，交换m的百位数字和十位数字后会得到一个新的三位自然数n，规定，例如：当时，因为，所以是“好数”，此时，则． (1)写出最大的好数和最小的好数，并分别求出它们的值； (2)已知一个三位自然数t是“好数”，t的各个数位上的数字和记为k，若能被8整除，求所有满足条件的三位自然数t． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 期中解答真题百练通关9大压轴题型 题型一 丰富的图形世界压轴题 题型六 数轴上动点的新定义问题 题型二 分类讨论化简绝对值 题型七 有理数运算的应用 题型三 几何意义化简绝对值 题型八 整式加减——化简求值 题型四 数轴上的单动点问题 题型九 数字、图形规律问题 题型五 数轴上的双动点问题 题型一 丰富的图形世界压轴题 1．（2024·25七年级下·北京·期中）某班计划用一些长方形的卡纸，为同学们制作棱长为的正方体心愿语盒．设计组提供了如图1所示的两种心愿语盒的展开图，制作组按照展开图可围成如图2所示的心思语盒（不考虑接缝） 材料组准备了以下三种类型的卡纸供选择，规格如下表： 卡纸型号 型号Ⅰ 型号Ⅱ 型号Ⅲ 卡纸规格（单位：） （如图1网格） 制作组要制作16个心愿语盒，通过合理选择展开图的样式、卡纸的型号和数量，发现使所选卡纸的总成本最低的方案是： 型号Ⅰ的卡纸1张，型号Ⅱ的卡纸1张，型号Ⅲ的卡纸2张． 按照该方案，请在如图型号Ⅱ和型号Ⅲ的卡纸上，画出各纸盒的展开图（只画外轮廓即可）． 【答案】见解析 【详解】解：型号Ⅰ卡纸，每张这样的卡纸可制作1个心愿语盒A或1个心愿语盒B， 如图，一张型号Ⅱ的卡纸，可以画出3个心愿语盒B的展开图； 如图，型号Ⅲ卡纸，每张卡纸可制作6个心愿语盒B，则2张型号Ⅲ的卡纸可画12个． 所以型号Ⅰ的卡纸1张，型号Ⅱ的卡纸1张，型号Ⅲ的卡纸2张一共可画个心愿语盒． 2．（2024·25六年级上·山东威海·期中）将图1所示的大正方体在顶点处截去一个小正方体后，得到图2所示的几何体． (1)设原来大正方体的表面积为，图2所示的几何体表面积为，那么与的大小关系是：____；（填“>”“<”或“=”） (2)图3的实线图形是图2所示几何体表面展开图的一部分，请在图3的虚线区域将图2的展开图补全； (3)设原来大正方体的棱长之和为m，图2所示几何体的棱长之和为n，小明认为：n刚好比m多出大正方体3条棱的长度，小明的说法是否正确？若正确，请说明理由；若不正确，所截去的小正方体的棱长与原大正方体的棱长之间具备怎样的数量关系时，才会正确？ 【答案】(1)= (2) 作图见详解 (3)不正确，所截的小正方体的棱长是大正方体棱长的一半 【详解】（1）解：如图所示， 截去的面与相等，面与相等，面与面相等， ∴， 故答案为：； （2）解：根据题意，作图如下， （3）解：不正确，理由如下， 根据题意，，，， 截去了，增加了，截去了，增加了，截去了，增加了， ∴截去的长为，增加的长为， ∴所截的小正方体的棱长是大正方体棱长的一半，才会正确 3．（2024·25七年级上·汕头 期中）一个几何体是由若干个大小相同的小正方体搭成，从左面、上面看到的这个几何体的形状图如图所示，这样的几何体只有一种吗？它最多需要多少个小正方体？最少需要多少个小正方体？ 【答案】不止一种，最多需要15个小正方体，最少需要10个小正方体 【详解】结合左面看到的几何体，在从上面看到的图上写出最多以及最少时小正方体的个数，如图：    最多有：（个）， 最少有：（个）， 即可知：这样的几何体不止一种，最多需要15个小正方体，最少需要10个小正方体． 【点睛】本题考查从不同角度观看几何体的知识，解题的关键是具有一定的空间想象力，属于中考常考题型． 4．（2024·25七年级上·广东深圳·期中）【综合实践】某综合实践小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． 【知识准备】 （1）下列图形中，不是无盖正方体的表面展开图的是_______；（填序号） 【实践探索】 （2）综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒） ①图1方式制作一个无盖的长方体盒子的方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来．则长方体纸盒的底面周长为______（用含a，b的式子表示）； ②图2方式制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．如果，．则该长方体纸盒的体积为_____． 【实践分析】 （3）一个无盖长方体的长、宽、高分别为，（它缺一个长为，宽为的长方形盖子），如图是该长方体的一种平面展开图，它的外围周长为．事实上，该长方体的平面展开图还有不少，请你画出该无盖长方体外围周长最大的一种表面展开图，并求出最大外围周长的值． 【答案】（1）②（2）①②1000（3）见解析， 【详解】（1）解：②不能折成一个无盖正方体纸盒，①③④能折成一个无盖正方体纸盒， 故答案为：②； （2）①解：由题意可知，长方体纸盒的底面为正方形，其边长为， ∴长方体纸盒的底面周长为， 故答案为：； ②由题意可知，该长方体纸盒的长为，高为，宽为， ∴该长方体纸盒的体积为， 故答案为：1000； （3）解：由题意知：边长最长的都剪，边长最短的剪得最少，如图， 所以该长方体表面展开图的最大外围周长为． 题型二 分类讨论化简绝对值 5．（2024·25七年级上·福建福州·期中）已知，求的最大值与最小值． 【答案】的最大值为5,最小值为 【详解】(1)当,时,有 ∴；                        (2)当,时,有 ∴或； ∴或 (3)当,时,有 ∴；                          (4)当,时,有 ∴或 ∴或 综上,可得:的最大值为5,最小值为. 【点睛】本题主要考查了绝对值的性质，绝对值中含有未知数时要进行分类讨论，这是解题的关键. 6．（2023七年级·全国·竞赛）已知是非零有理数，且，求． 【答案】0或 【详解】解：∵是非零有理数，且， ∴中必为两正一负或一正两负， 不妨设，，，则，，， ∴ ； 再设，，，则，，， ∴ ． 综上，原式的值为0或． 7．（2024·25七年级上·四川达州·阶段练习）已知，，，且，，求的值． 【答案】或 【详解】解：∵，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 当时，； 当时，． 综上，的值为或． 8．（2025六年级上·全国·专题练习）已知，求的最大值和最小值． 【答案】最大值为5，最小值为 【详解】解：当时，， ∴当时，有最大值； 当时，有最小值； 当时，． 综上可得最大值为5，最小值为． 9．（2025·26七年级上·全国·课后作业）(1)对于有理数x，y，若，则的值是________． (2)已知，求的值． (3)若a，b，c都是非零有理数，求的值． 【答案】 ； ； 或或 【详解】（1）解：∵，∴一正一负， 则：，和一个为，一个为. ∴原式=. 故答案为：. （2）解：∵，∴和一正一负. 则， ∴. （3）解：①若均为正，则原式=； ②若两正一负，则原式=； ③若两负一正，则原式=； ④若均为负，则原式=. 故答案为或或. 10．（2025·26七年级上·湖北武汉·阶段练习）已知：，，…，，都是不等于0的有理数，请你探究以下问题： (1)若，则______； (2)若，则______； (3)若，求的值； (4)由以上探究可知，若，则共有______个不同的值；在这些不同的值中，最大的值和最小的值的差等于______；的这些所有的不同的值的和的绝对值等于______． 【答案】(1) (2)0或 (3)或 (4)2025，4048，0 【详解】（1）解：当时，， 当时，； 故答案为：； （2）当，时，， 当，时，， 当，时，， 当，时，； 则答案为：0或； （3）当，，时，， 当，，时，， 当，，时，， 当，，时，， 当，，时，， 当，，时，， 当，，时，， 则的值为或； （4）由以上探究可知，的不同值的个数为个， 的不同值的个数为个， 的不同值的个数为个， 对于， 每一个，2，，的值为1或， 由此可知的不同值的个数为个， 当时，共有个不同的值， 当所有的都为1时，取得最大值， 最大值为， 当所有的都为时，取得最小值， 最小值为， 则最大值与最小值的差为：， 的取值为，，，2022，2024，这些数是关于0对称的， 则的这些所有的不同的值的和为： ， 所以的这些所有的不同的值的和的绝对值为0． 故答案为：2025，4048，0． 题型三 几何意义化简绝对值 11．（2024·25七年级上·山东济南·阶段练习）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)数轴上表示4和1的两点之间的距离是________；表示和2两点之间的距离是________；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．如果表示数a和的两点之间的距离是3，那么________． (2)若数轴上表示数a的点位于与2之间，则的值为________； (3)利用数轴找出所有符合条件的整数点x，使得，这些点表示的数的和是________． (4)当________时，的值最小，最小值是________． 【答案】(1)3，5；2或 (2)6 (3)12 (4)1，7 【详解】（1）解： 4与1两点间距离：；与2两点间的距离：； 由已知得：，即， 解得或． 故答案为：3，5；2或； （2）解：由已知得：，故，； ∴原式． 故答案为：6； （3）解：当时，，不符题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符题意； 综上：x的取值范围为， 故该范围下整数点为：， 这些整数点的和为：． 故答案为：12； （4）解：与（3）同理可得：当时，取最小值7， 又∵当时，取最小值0， ∴当时，值最小，最小值为7． 故答案为：1，7． 12．（2025·26七年级上·重庆·阶段练习）（1）阅读：如图，点A、B在数轴上分别表示实数a、b，则A、B两点之间的距离可以表示为． （2）理解： ①数轴上表示2和5的两点之间的距离是_____，数轴上表示和的两点之间的距离是______； ②表示x与的距离，若，则x的值为_____； （3）运用： ③当代数式取最小值时，相应的x的取值范围是_____； ④当代数式的最小值是_____； （4）提升： 的最小值为_____． 【答案】（2）①3；5；②或2；（3）③；④5；（4）5 【详解】解：（2）①数轴上表示2和5的两点之间的距离是， 数轴上表示和的两点之间的距离是； 故答案为：3；5 ②根据题意得表示x与的距离为3， ∴x的值为或2； 故答案为：或2 （3）③根据题意得：表示x到与到2的距离之和， 当x在与2之间时，x到与到2的距离之和最小， 即代数式取最小值时，相应的x的取值范围是； 故答案为： ④根据题意得：表示x到、2与4的距离之和， ∴当时，代数式取得最小值，为； 故答案为：5 （4）∵， ∴表示x到与2的距离之和的2倍，再加上x到2的距离， ∴当时，取得最小值，最小值为． 故答案为：5 13．（2025·山东青岛·模拟预测）【问题提出】的最小值是多少？ 【阅读理解】为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手．的几何意义是a这个数在数轴上对应的点到原点的距离，那么可以看作a这个数在数轴上对应的点到1的距离；就可以看作a这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和，下面我们结合数轴研究的最小值．我们先看a表示的点可能的3种情况，如图所示： （1）如图①，a在1的左边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1． （2）如图②，a在1，2之间（包括在1，2上），可以看出a到1和2的距离之和等于1． （3）如图③，a在2的右边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1．因此，我们可以得出结论：当a在1，2之间（包括在1，2上）时，有最小值1． 【问题解决】 (1)的几何意义是 ，请你结合数轴探究：的最小值是 ． (2)的几何意义是 ，请你结合数轴探究：的最小值是 ，并在图④的数轴上描出得到最小值时a所在的位置，由此可以得出a的值为 ． 【答案】(1)a这个数在数轴上对应的点到2和5两个点的距离之和；3； (2)a这个数在数轴上对应的点到1，2，3这三个点的距离之和；图见解析；2；2． 【详解】（1）由题可知，的几何意义是a这个数在数轴上对应的点到2和5两个点的距离之和， 当a在2和5之间时（包括2，5上），a到2和5的距离之和等于3，此时取得最小值是3； 故答案为：a这个数在数轴上对应的点到2和5两个点的距离之和；3； （2）由题可知，的几何意义是a这个数在数轴上对应的点到1，2，3这三个点的距离之和， ①如图，a在1的左边，可以得到a到1，2，3的距离之和大于3； ②如图，a在1上时，可以得到a到1，2，3的距离之和等于3； ③如图，a在1的右边2的左边时，可以得到a到1，2，3的距离之和大于2小于3； ④如图，a在2上时，可以得到a到1，2，3的距离之和等于2； ⑤如图，a在2的右边3的左边时，可以得到a到1，2，3的距离之和大于2小于3； ⑥如图，a在3上时，可以得到a到1，2，3的距离之和等于3； ⑦如图，a在3的右边，可以得到a到1，2，3的距离之和大于3； 可知的最小值是2，最小值时a的值为2，图如下： 故答案为：a这个数在数轴上对应的点到1，2，3这三个点的距离之和；2；2． 14．（2024·25七年级上·河南南阳·期中）阅读： 我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难人微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离；因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离． （1）发现问题：代数式的最小值是多少？ （2）探究问题：如图，点分别表示数． 因为的几何意义是线段与的长度之和， 所以当点在线段上时，；当点在点的左侧或点的右侧时，，所以的最小值是3． (1)借助数轴，说明的最小值是多少？ (2)当代数式的最小值是1时，直接写出此时的a值． 【答案】(1)5 (2)或 【详解】（1）解：因为． 如图，表示点到点的距离与点到点的距离之和， 当点在线段上时，， 当点在点的左侧或点的右侧时，， 所以的最小值是； （2）解：当为或时，代数式为或， 数轴上表示数2的点到表示数3的点的距离为1，数轴上表示数4的点到表示数3的点的距离也为1， 当为或时，原式的最小值是1． 15．（2025·河北·一模）【定义】数轴上表示数a，b的点A，B之间的距离． 【应用】如图，在数轴上，点表示的数为，点表示的数为，点C表示的数为6，动点P表示的数为x． (1)求点A，B之间的距离； (2)①点P，A之间的距离为______，点P，C之间的距离为______；（用含x的代数式表示） ②求的最小值； (3)已知动点P从点A出发，沿着数轴的正方向运动，到终点C停止运动，直接写出的最大值及最小值． 【答案】(1)6 (2)①；；②14 (3)的最小值为14，最大值为22 【详解】（1）解：点，之间的距离； （2）解：①点，之间的距离为，点，之间的距离为； 故答案为：；； ②由①可知表示的意义是点到点，的距离之和， 当在数轴上表示的点在表示和（包括和的点之间时，取得最小值，最小值为14； （3）解：的几何意义是表示有理数的点到，，6所对应的三点距离之和， 当时，的值最小，最小值为14； 当时，的值最大，最大值为22； 的最小值为14，最大值为22． 题型四 数轴上的单动点问题 16．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，在数轴上点，分别表示的数为，4，是一动点，从点出发以每秒2个单位长度的速度向右运动，已知点是的中点，当，两点相距4个单位长度时，求点的运动时间． 【答案】9秒或1秒 【详解】解：因为两点相距4个单位长度，且点是的中点， 所以两点相距8个单位长度． 分两种情况讨论： ①当点在点右边时， 因为点表示的数为4， 所以点表示的数为12， 所以． 又因为点的速度为每秒2个单位长度，所以点的运动时间为（秒）； ②当点在点左边时， 因为点表示的数为4， 所以点表示的数为， 所以． 又因为点的速度为每秒2个单位长度，所以点的运动时间为（秒）． 综上所述，点的运动时间为9秒或1秒． 17．（2024·25七年级上·浙江温州·期中）如图，在数轴上有A，B，C三点从左到右排列，a，b，c所对应的点分别为A，B，C，已知：a是最大的负整数，b是a的相反数，，请回答问题：    (1)请直接写出a、b、c的值． ______， ______， ______； (2)点P为数轴上一动点，现以点P为折点，将数轴向右对折． ①若对折后点A与点C重合，求此时点P代表的数； ②若对折后，A，B，C三点互不重合且其中一点到另外两点的距离相等，请直接写出此时点P代表的数是______． 【答案】(1)，1，4 (2)①点P代表的数为1.5；②0.75或2或3.5 【详解】（1）最大的负数时，的相反数是1，绝对值是4的正数时4． 故答案为：，1，4． （2）①点表示，点表示4，经点对折后点与点重合， 点表示的数为：． ②折后，不动，在之间到，距离相等． 折后对应的数：． 点表示的数为：． 折后，动，不动，在之间到，距离相等， 折后对应的数：， 点表示的数为：． 折后，动，不动，点在之间到，距离相等， 折后对应的数：， 点表示的数为：． 故答案为：0.75或2或3.5． 18．（2025·26七年级上·全国·课后作业）如下图，已知数轴上两点对应的数分别为为数轴上的一个动点，其对应的数为． (1)若点P到点A，B的距离相等，则x的值为_________． (2)若将数轴折叠，使A，B两点重合，则表示的点与表示__________的点重合． (3)若数轴上M，N两点之间的距离为2025（点M在点N的左侧），且M，N两点经过（2）中的方式折叠后互相重合，求M，N两点表示的数． 【答案】(1) (2) (3)点对应的数为，点对应的数为 【详解】（1）解：点到点的距离相等， ， 解得：． （2）解：将数轴折叠，使两点重合， 折叠点表示的数为． 设与表示的点重合的点为数， 则即， 解得：， 所以表示的点与表示的点重合． （3）解：设点表示的数是，则点表示的数是， 两点经过（2）中的方式折叠后互相重合 即 解得： 点对应的数为，点对应的数为 19．（2024·25七年级上·福建漳州·期中）已知在数轴上，一动点Q从原点O出发，沿着数轴以每秒4个单位长度的速度来回移动，第1次移动是向右移动1个单位长度，第2次移动是向左移动2个单位长度，第3次移动是向右移动3个单位长度，第4次移动是向左移动4个单位长度，第5次移动是向右移动5个单位长度，……. (1)求出2.5秒钟后动点Q移动______次； (2)第7次移动后，点Q在表示数______的位置上，运动时间为______s； (3)第n次移动后，点Q运动时间为______s. (4)如果在数轴上有一个定点A，且A与原点O相距10个单位长度，问：动点Q从原点出发，可能与A重合，若能，则第一次与点A重合需要多长时间？若不能，请说明理由. 【答案】(1)4 (2)4，7 (3) (4)能，47.5秒或52.5秒 【详解】（1）解：, 点走过的路程是：, 所以共移动4次 故答案为：4． （2）解：处于： ； 点走过的路程是 , (秒) 故答案为：4，7． （3）解：第次移动后，点运动时间为 （4）解：①当点A在原点右边时，设需要第n次到达点A， 则， 解得 则第一次与A重合需要时间是：         ②当点A在原点左边时，设需要第n次到达点A， 则， 解得      则第一次与A重合需要时间是： 综上，第一次与A重合需要时间47.5s或52.5s． 【点睛】本题主要考查了数轴的知识，弄清题中的移动规律是解本题的关键.分情况讨论求解，弄清楚跳到点处的次数的计算方法是关键. 题型五 数轴上的双动点问题 20．（2024七年级上·安徽·专题练习）如图，，，三个点在数轴上表示的数分别为，，，且．动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向终点运动． (1)求，，的值； (2)点运动到点前，若点到点距离是到点距离的3倍，求点运动的时间； (3)若点运动的同时，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向点运动，点到达点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点，在点开始运动后，，两点之间的距离能否为2个单位长度？如果能，请求出此时点表示的数；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)当点的运动时间为：（秒时，点到点距离是到点距离的3倍 (3)点表示的数为或0或3或4 【详解】（1）解：， ，，， ，，． （2）由（1）可知，， 因为点在之间，且点到点的距离是到点距离的3倍， 所以， 因为点表示的数为8，点在点的左边， 所以点表示的数为：， 所以， 因为点以每秒1个单位长度的速度运动， 所以当点的运动时间为：（秒时，点到点距离是到点距离的3倍． （3）能，理由如下： 点从点运动到点需要秒，而点从点运动到点需要秒，点到达点时，此时点表示的数为2， 所以当点从点运动到点的过程中，点从点运动到点，又从点返回，因此可分为四种情况讨论： 点到达点之前： ①点在点右侧，两点同向而行， 运动时间为秒，所以此时点表示的数为； ②当点在点左侧，两点同向而行， 运动时间为秒，所以此时点表示的数为； 点从点返回后： ③当点在点左侧，两点背向而行， 运动时间为秒，所以此时点表示的数为； ④当点在点右侧，两点背向而行， 运动时间为秒，所以此时点表示的数为． 综上所述，点表示的数为或0或3或4． 【点睛】本题考查了数轴上两点之间的距离、数轴上动点问题、绝对值的非负性、乘方运算的符号规律，熟练掌握数轴上两点之间的距离公式及分类讨论思想解决问题是解题的关键． 21．（2024·25七年级上·全国·期中）绝对值是研究我们数学问题的重要符号． 【代数意义】 正数和 0 的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数 已知：都是不等于0的有理数，请你探究以下问题： （1）①若，则 ；②若，则 ； 【几何意义】 在数轴上，一个数到原点的距离叫做该数的绝对值， 表示数轴上表示数a的点和表示数b的点的距离． （2）如图，数轴上点表示，点表示，动点从点出发以每秒个单位的速度向右运动，到达点时停止运动；动点从点出发向以每秒个单位的速度向左运动，几秒后、两点之间的距离是个单位长度？ 【答案】（1），或；（2）秒或秒后、两点之间的距离是个单位长度 【详解】解：（1）①当时，，则， 当时，，则， 故答案为：． ②当，同为正数时， ； 当，同为负数时， ； 当，异号时， ； 所以或． 故答案为：或． （2）∵与点之间的距离为， P、Q相遇前：（秒） P、Q相遇后：（秒） 答：秒或秒后、两点之间的距离是个单位长度 22．（2024·25七年级上·江苏扬州·期中）如图，将一条数轴在原点和点处各折一下，得到一条“形数轴”．图中点A表示，点表示，点表示，我们称点和点在“形数轴”上相距个长度单位．动点，同时出发，点从点出发，以单位秒的速度沿着“形数轴”的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复到原来的速度；动点从点出发，以单位秒的速度沿着“形数轴”的负方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复到原来的速度．设运动的时间为秒． 请根据以上条件回答： (1)动点从点运动至点需要多少时间？ (2)当，两点相遇时，求值； (3)当，两点在“形数轴”上相距的长度与，两点在“形数轴”上相距的长度相等时，则的值为______(直接写出结果)． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【详解】（1）解：点表示，点表示，点表示， ，，， ， 动点从点运动至点需要； （2）从到需要，从到需要， 在上运动时，表示的数为，表示的数为， ， 解得， 当，两点相遇时，的值为； （3）①当时，在上，在上，表示的数为表示的数为 ， 解得， ②当时，在上，在上，表示的数为，表示的数为 ， 解得； ③当时，在上，在上，表示的数为，表示的数为， ， 解得； ④当时，在上，在上，表示的数为，表示的数为， ， 方程无解； ⑤当时，在上，在上，表示的数为，表示的数为， ， 解得； 综上所述，的值为或或或． 故答案为：或或或． 23．（2024·25七年级上·贵州遵义·阶段练习）观察、理解与应用． 题目：如图数轴上有三点A、B和C，其中A点在处，B点在2处，C点在原点处． (1) ，表示的意义是 ； (2)，，即用字母表示线段长，，猜想： ，设P、Q在数轴上分别表示的数为和220，则线段 ； (3)归纳：如果M、N在数轴上表示的数分别为，，则线 ； (4)应用：若动点P，Q分别从点和2处同时出发，沿数轴负方向运动；已知点P的速度是每秒1个单位长度，点Q的速度是每秒2个单位长度，问： ①t为2秒时P，Q两点的距离是多少？（列算式解答） ②t为 秒时P，Q两点之间的距离为2？ 【答案】(1)3，数轴上表示的点到原点的距离 (2)5，320 (3) (4)①3；②3或7 【详解】（1）解：，表示的意义是数轴上表示的点到原点的距离； 故答案为：3，数轴上表示的点到原点的距离； （2），； 故答案为：5，320； （3）根据题意可得：； 故答案为：； （4）①根据题意可得， 为2秒时，点表示的数为，点表示的数为， ； ②设经过秒，点表示的数为，点表示的数为， 则， 化简得， 可得或， 解得：或． 故答案为：3或7． 【点睛】本题主要考查了绝对值，熟练掌握数轴上两点间距离的计算方法意义绝对值的性质进行求解是解决本题的关键． 题型六 数轴上动点的新定义问题 24．（2024·25七年级上·福建泉州·期中）阅读理解，完成下列各题： 定义：已知、、为数轴上任意三点，若点到点的距离是它到点的距离的3倍，则称点是的3倍点．例如：如图1，点是的3倍点，点不是的3倍点，但点是的3倍点，根据这个定义解决下面问题： (1)在图1中，点______的3倍点（填写“是”或“不是”）；的3倍点是点______（填写或或或）； (2)如图2，、为数轴上两点，点表示的数是，点表示的数是5，若点是的3倍点，则点表示的数是______； (3)若、为数轴上两点，点在点的左侧，，一动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，设运动时间为秒，求当为何值时，点恰好是和两点的3倍点？（用含的代数式表示）． 【答案】(1)是， (2)3或9 (3)当或或时，点恰好是和两点的3倍点 【详解】（1）解：由图可知：， 是，的3倍点， ， ，的3倍点是点， 故答案为：是，； （2）解：， 当点在线段上时， 点是，的3倍点， ， 此时点表示的数是3， 当点在点右侧时， 点是，的3倍点， ， 点表示的数是9． 故答案为：3或9； （3）解：，， ， 恰好是和两点的3倍点， 点是，的3倍点或点是，的3倍点 或 即：或或， 或或， 当或或时，点恰好是和两点的3倍点． 25．（2024·25七年级上·北京朝阳·期中）在数轴上，点表示的数为1，点表示的数为3，对于数轴上的图形，给出如下定义：为图形上任意一点，为线段上任意一点，如果线段的长度有最小值，那么称这个最小值为图形关于线段的极小距离，记作，线段；如果线段的长度有最大值，那么称这个最大值为图形关于线段的极大距离，记作，线段． 例如：点表示的数为4，则点，线段点，线段．    已知点为数轴原点，点为数轴上的动点． (1)（点，线段)=_________，（点，线段）_________； (2)若点表示的数，点表示数(线段，线段，求的值； (3)点C从原点出发，以每秒2个单位长度沿轴正方向匀速运动，点从表示数的点出发，第1秒以每秒2个单位长度沿轴正方向匀速运动，第2秒以每秒4个单位长度沿轴负方向匀速运动，第3秒以每秒6个单位长度沿轴正方向匀速运动，第4秒以每秒8个单位长度沿轴负方向匀速运动，……，按此规律运动，两点同时出发，设运动的时间为秒，若(线段，线段)小于或等于6，直接写出的取值范围（可以等于0）． 【答案】(1)1，3 (2)或 (3)或 【详解】（1）解：∵点O到线段AB的最小距离为：， ∴（点，线段)=1， ∵点O到线段AB的最小距离为：， ∴（点，线段)=3， 故答案为：1，3． （2）当线段在线段左侧时： （线段，线段）， 解得：， 当线段在线段右侧时： （线段，线段）， 解得：， 综上：或． （3）当时，点C表示的数为0，点D表示的数为-2，则， 当时，点C表示的数为2t,点D表示的数为,则，成立； 当时，点C表示：2，点D表示：， 此时：（线段，线段），符合题意； 当时，点C表示：4，点D表示：， 此时：（线段，线段），不符合题意； 当时，点C表示：，点D表示：， ∴此时：（线段，线段）， 解得：， ∴， ∵时，点C表示：6，点D表示：， ∴（线段，线段），符合题意； 当时，点C表示：，点D表示：， ∴此时：（线段，线段）， 解得：， ∵当时，点C表示：8，点D表示：， ∴（线段，线段），不符合题意； 当时，点C表示：，在6和8之间；点D表示：，在2和6之间， ∴此时：（线段，线段）， 或（线段，线段）， 解得：， ∴， 当时，点C表示：10，点D表示：， 此时：（线段，线段），不符合题意； 当时，点C表示：，在8和10之间；点D表示：，在和4之间， ∴此时，，则当时，（线段，线段）， 综上：或． 【点睛】本题主要考查了数轴上的点表示数，数轴上两点之间的距离，熟练掌握计算数轴上两点间的距离的方法，正确理解题意，进行分类讨论是解题的关键． 26．（2024·25七年级上·福建福州·期中）在数轴上有，两点，点表示的数为．对点给出如下定义：当时，将点向右移动3个单位长度，得到点；当时，将点向左移动个单位长度，得到点．称点为点关于点的“联动点”．如图，点表示的数为．    (1)在图中画出当时，点关于点的“联动点”； (2)点从数轴上表示的位置出发，以每秒1个单位的速度向右运动．点从数轴上表示5的位置同时出发，以相同的速度向左运动，两个点运动的时间为秒． ①点表示的数为__________（用含的式子表示）； ②是否存在，使得此时点关于点的“联动点”佮好与原点重合？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①；②不存在，理由见解析 【详解】（1）解：当时，将点向右移动3个单位长度，得到点； 表示的数是，如图：    （2）①点表示的数为， 故答案为：； ②不存在恰好与原点重合，理由如下： 表示的数是， 当时，， 表示的数是， 此时不存在恰好与原点重合； 当时，表示的数是， 此时不存在恰好与原点重合， 综上所述，不存在恰好与原点重合． 【点睛】本题考查数轴上的动点问题，解题的关键是用含的代数式表示点运动后所表示的数． 27．（2024·25七年级上·福建三明·阶段练习）数轴上有A，B，C 三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“关联点”. 例：如图1所示，数轴上点A，B，C 所表示的数分别为1，3，4，因为，所以称点B 是点A，C的“关联点”．                               图1 (1)如图2所示，点A表示数，点B 表示数1，下列各数2，4，6所对应的点分别是C1，C2，C3其中是点A，B  的“关联点”的是 ;                                        图2 (2)如图3所示，点A 表示数，点B 表示数15，P 为数轴上一个动点： ①若点P 在点B 的左侧，且P 是点A，B  的“关联点”，求此时点P 表示的数； ②若点P 在点B 的右侧，点P，A，B   中，有一个点恰好是其它两个点的“关联点”， 请求出此时点P 表示的数.                              图3 【答案】(1)C2 (2)①点P表示的数为，；②点P表示的数为 【详解】（1）解：∵ ∴点C1不是点A，B的“关联点” ∵ ∴ 即：点是点A，B的“关联点” ∵ ∴点不是点A，B的“关联点” 故答案为： （2）解：解：设点P在数轴上表示的数为 ①（i）当点在之间时， 若，则 解得： 若，则 解得： （ii）当点在点左侧时， 则，即： 解得： 故：点P表示的数为，； ②（i）当点为点的“关联点”时， 则，即： 解得： （ii）当点为点的“关联点”时， 则，即： 解得： 或,即： 解得： （iii）当点为点的“关联点”时， 则，即： 解得： 故：点P表示的数为 【点睛】本题以新定义题型为背景，考查了数轴上两点间的距离公式．掌握相关结论，进行分类讨论是解题关键． 题型七 有理数运算的应用 28．（2024·25六年级上·上海·期中）外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定送餐量超过40单（送一次外卖为一单）的部分记为“”，低于40单的部分记为“”，下表是该外卖小哥一周的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量/单 (1)求外卖小哥这一周平均每天送餐多少单． (2)外卖小哥每天的工资由底薪30元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过40单的部分，每单补贴4元；超过40单但不超过50单的部分，每单补贴6元：超过50单的部分，每单补贴8元．求外卖小哥这一周工资收入多少元． 【答案】(1)45 (2)1574元 【详解】（1）解：根据题意，得外卖小哥这一周平均每天送餐单数为：（单）． 答：外卖小哥这一周平均每天送餐45单． （2）解：∵外卖小哥每天的工资由底薪30元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过40单的部分，每单补贴4元；超过40单但不超过50单的部分，每单补贴6元：超过50单的部分，每单补贴8元． ∴本周工资为： （元）． 答：外卖小哥这一周工资收入1574元． 29．（2024·25七年级上·湖南益阳·期中）金秋时节，水城沅江，桔满枝头．某桔农采摘了一批新品柑桔，刚好装了 200   箱，以每箱 的重量为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如 下表： 每箱与标准重量 的差值（单位：） 0 1 2.5 箱数 10 40 20 30 20 80 (1)这 200 箱柑桔中，最重的一箱比最轻的一箱重多少千克？ (2)与标准重量相比较，这 200 箱总计超过或不足多少千克？ (3)若柑桔以每千克 4 元的价格出售，则这批柑桔可卖多少元？ 【答案】(1)5.5千克 (2)超过80千克 (3)12320元 【详解】（1）∵， ∴（千克）， 故最重的一箱比最轻的一箱重5.5千克 故答案为：5.5； （2） （千克）， 故200箱苹果总计超过80千克； （3）（元）， 故出售这200箱苹果可卖12320元． 30．（2024·25七年级上·四川自贡·期中）在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位:千米）:， ，， ， ，， ，. (1)请你帮忙确定B地相对于A地的方位? (2)救灾过程中，冲锋舟离出发点A最远处有多远? (3)若冲锋舟每千米耗油0.5升，油箱容量为28升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油? 【答案】(1)B地在A地的西边4千米 (2)救灾过程中，冲锋舟离出发点最远处有千米 (3)冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充5升油 【详解】（1）解： （千米）， ∴B地在A地的西边4千米； （2）解：第一次航行后距离A地千米； 第二次航行后距离A地（千米）； 第三次航行后距离A地（千米）； 第四次航行后距离A地（千米）； 第五次航行后距离A地（千米）； 第六次航行后距离A地（千米）； 第七次航行后距离A地（千米）； 第八次航行后距离A地（千米）； ∴第四次航行后距离A地千米，冲锋舟离出发点A最远处， ∴救灾过程中，冲锋舟离出发点最远处有千米. （3）解： （升）， （升）． ∴冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充5升油． 31．（2024·25七年级上·福建龙岩·期中）某公司为了更好地为客户服务，专门派一名司机小张接送客户．小张从本公司出发向东行驶的公里数记作正数，向西行驶的公里数记作负数，他的一天的记录如下（单位：）：． (1)请计算说明小张最后是否回到了公司？ (2)请计算小张这一天一共跑了多少千米？ (3)在接送过程中，小张离公司最远的距离是多少千米？（直接写出答案） 【答案】(1)小张最后回到了公司，见解析； (2)小张这一天一共跑了36千米； (3)在接送过程中，小张离公司最远的距离是6千米． 【详解】（1）解： 答：小张最后回到了公司； （2）解：（千米） 答：小张这一天一共跑了36千米； （3）解：第一天：离公司千米， 第二天： ，离公司3千米， 第三天：，离公司2千米， 第四天：，离公司6千米， 第五天：，离公司1千米， 第六天：，离公司4千米， 第七天： ，离公司0千米， 在接送过程中，小张离公司最远的距离是6千米． 32．（2024·25七年级上·宁夏吴忠·期中）如图是某种细胞分裂示意图，这种细胞每过30分钟便由1个分裂成2个．根据此规律可得：    (1)这样的一个细胞经过2小时后可分裂成_______个细胞； (2)这样的一个细胞经过n（n为正整数）小时后可分裂成_______个细胞． 【答案】(1)16 (2) 【详解】（1）经过2小时，即第4个30分钟后，可分裂成个细胞， ∴经过2小时后，可分裂成16个细胞； 故答案为：16； （2）解：根据题意，一个细胞第1个30分钟分裂成2个，即个细胞； 第2个30分钟分裂成4个，即个； … 依此类推，第n个30分钟分裂为个细胞； 经过n小时即个30分钟分裂为个细胞； 故答案为：． 【点睛】本题考查幂的应用，熟记幂的相关定义及计算是解决问题的关键． 33．（2024·25七年级上·四川广元·期中）一只蚂蚁从某点处出发在一直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，爬行的路程依次为（单位：），，，，，，． (1)蚂蚁第_________次爬行后离原出发点最远？最远距离是_________． (2)通过计算说明蚂蚁最后是否回到出发点？若没回到出发点，那么它停留在哪个位置处？ (3)在爬行过程中，如果蚂蚁每爬奖励一粒芝麻，那么蚂蚁共得多少粒芝麻？ 【答案】(1)三， (2)最后回到出发点 (3)蚂蚁共得粒芝麻 【详解】（1）解：第一次爬行距离点：， 第二次爬行距离点：， 第三次爬行距离点：， 第四次爬行距离点：， 第五次爬行距离点：， 第六次爬行距离点：， 第七次爬行距离点：， ∴小虫第三次爬行后离原出发点最远，最远距离是； 故答案为：三，； （2） 蚂蚁最后回到出发点； （3） （粒）， 答：蚂蚁共得粒芝麻． 题型八 整式加减——化简求值 34．（2024·25七年级上·安徽滁州·期中）已知多项式是关于x，y的四次三项式． (1)求m的值； (2)若多项式，化简，并求当x与y互为倒数，y的绝对值为1时的值． 【答案】(1) (2)，的值为 【详解】（1）解：∵多项式是关于x，y的四次三项式， ∴，， ∴； （2）解：由（1）得，， ∵ ∴ ， ∵x与y互为倒数， ∴， ∵y的绝对值为1， ∴， ∴． 35．（2025·26七年级上·全国·期中）阅读理解：如图式子，求式子的值，小花同学提出了一种解法如下：原式，把整体代入得到原式．仿照小花的方法，完成下面各题． (1)如果那么 ． (2)已知，求的值． (3)已知，，求的值． 【答案】(1)1 (2)11 (3) 【详解】（1）由得 所以 故答案为：1 （2）    把代入得：原式= （3） 36．（2024·25七年级上·浙江杭州·期中）阅读材料：我们知道，，类似的，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： （1）把看成一个整体，合并的结果是 ． （2）已知，求的值； 拓展探索： （3）已知，，，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1） ， 故答案为：； （2）， ； （3），，， ． 37．（2024·25七年级上·湖南湘西·阶段练习）已知多项式． (1)若多项式的值与字母x的取值无关，求a、b的值； (2)在（1）的条件下，求多项式的值； (3)在（1）的条件下，求 ． 【答案】(1) (2) (3)62 【详解】（1）解： ， ∵多项式的值与字母x的取值无关， ∴， ∴； （2）解： ， 当时，原式； （3）解： ， 当时，原式． 38．（2024·25七年级上·江西抚州·期中）理解与思考：整体代换是数学的一种思想方法，例如：，则 ；我们将作为一个整体代入，则原式．仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)若，则 ； (2)如果，求的值； (3)若，，求的值． 【答案】(1)2024 (2)11 (3)64 【详解】（1）解：， ， ， 故答案为：； （2）解：， ； （3）解：，， ，， ． 39．（2024·25七年级上·福建厦门·期中）设． (1)若，求A的值； (2)若使求得的A的值与（1）中的结果相同，则整数x，y的值还可以是多少? 说明理由，并写出至少一种结果． 【答案】(1)18 (2)，（答案不唯一），理由见解析 【详解】（1）解： ． ∵，，， ∴，， 解得：，， ∴； （2）解：由（1）可知， ∴满足，即，即可使求得的A的值与（1）中的结果相同． 当时，， ∴当，时，即满足使求得的A的值与（1）中的结果相同． 题型九 数字、图形规律问题 40．（2024·25七年级上·浙江绍兴·期中）探索规律：从1开始，连续的自然数相加，它们的和的倒数情况如下表： 分母中加数的个数（n） 和的倒数 2 3 4 5 … … (1)根据表中规律，求_____； (2)根据表中规律，则_____； (3)求的值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：∵，，，， ∴， 故答案为：或； （3）解： ； 41．（2025·26七年级上·全国·期中）观察下面三行数： ，9，，81，…；………………………第①行 1，，9，，…；………………………第②行 ，10，，82，…．……………………第③行 (1)第①行数按什么规律排列？ (2)第②③行数与第①行数分别有什么关系？ (3)设x，y，z分别为第①②③行的第2025个数，求的值． 【答案】(1)第①行数按（n为正整数）规律排列 (2)见解析 (3)1 【详解】（1）解：∵，9，，81，，729…； ∴第①行数是：，，，，…， 即第①行数按（n为正整数）规律排列； （2）解：第②行数是第①行数相应位置的数乘，即； 第③行数比第①行数相应位置的数大1，即； （3）解：∵，，， ∴ ． 42．（2024·25七年级上·吉林四平·期中）观察下面三行数： 2、、8、、32、、……① 0、、6、、30、、……② 2、、14、、62、、……③ (1)第①行第7个数是______； (2)第①行第n个数是______； (3)请说出第②行数与第①行相对应的数有什么关系？ (4)第1列的3个数之和为4，第二列3个数之和为，是否存在一列数3数之和为1020？若存在，说明是哪三个数；若不存在，说明理由． 【答案】(1)128 (2) (3)第②行数等于第①行相应数减去2 (4)不存在，理由见解析 【详解】（1）解：观察数据可知，第①行第7个数是， 故答案为：128． （2）解：观察数据可知，第①行的数都是2的乘方得到，且偶数个数的系数为负， 所以第①行第n个数是， 故答案为：． （3）解：观察数据可知，第②行的数等于第①行相应数减去2； （4）解：不存在，理由如下： 观察数据可知，第②行的数等于第①行相应数减去2，第③行的数是第①行与第②行相应的数的和， 由题意可知，同一列的数字符号相同，那么这三个数都是正数， 设第①行的数为，第②行相应的数为，第③行相应的数为， ∴这一列三个数的和为， 整理得， 那么这3个数为256、254、510， ， ∴256在第八列， 但第八列是负数，故不存在这样的数． 43．（2024·25七年级下·山东青岛·期中）【知识回顾】观察下列各式： ； ； ； 【理解应用】 根据你发现的规律解答下列各题： （1）根据以上规律可知，_____； （2）你能否由此归纳出一般性规律：_____； （3）若是正整数，且，请化简：_____ 【能力提升】 （4）计算： 【答案】（1）（2）；（3）（4） 【详解】（1）解：根据规律，右边的首项是左边第一个括号里最高项次数加1次幂，第二项是1，两数作差即可， 故， 故答案为：． （2）解：根据规律，右边的首项是左边第一个括号里最高项次数加1次幂，第二项是1，两数作差即可， 故， 故答案为：． （3）解：根据题意，得， 故 故答案为：． （4）解：根据题意，得， 故答案为：． 44．（2024·25七年级上·北京·期中）在黑板上先依次写下两个正有理数，接下来对进行操作： 如果且，则将和依次写在黑板上，作为新的，并将原擦掉；如果且，则将和依次写在黑板上，作为新的，并将原擦掉；以上过程称为一次操作．只要黑板上新的满足，就再进行下一次操作；如果新的满足，则操作停止． (1)如果在黑板上先写下的数是，接下来进行几次操作后停止？说明理由： (2)如果在黑板上先写下的数是，则第次操作后，黑板上的两个数依次是_________，__________； (3)如果在黑板上先写下的是两个真分数，，且进行有限次操作后，操作停止，则的所有可能值为__________． 【答案】(1)2次操作，理由见详解． (2) (3)3 【详解】（1）解：初始． 第一次操作：因为且，新的，新的． 第二次操作：因为且，新的，新的． 满足，故操作停止．所以经过次操作后停止； （2）解：初始初始，． 第一次操作∶因为且，新的，新的． 第二次操作∶因为且，新的，新的． 第三次操作∶因为且，新的，新的． 第四次操作∶因为且，新的，新的． 第五次操作∶因为且，新的，新的． 第六次操作∶因为且，新的，新的． 观察发现操作会循环，循环节长度为． ，循环节内第二次操作后． 所以第次操作后； 故答案为：． （3）解： 初始，是两个真分数．则为整数． 当且时，即大于等于，且小于等于时， 解得（不合题意，舍去） 当且时， 小于时， ，． 假设当，时，则，则终止操作． 即小于等于，且大于等于，解得（不合题意，舍去） 同理：，， 即小于等于，且大于等于，解得（不合题意，舍去） 同理，， 即小于等于，且大于等于，解得 同理，， 即小于等于，且大于等于，解得（不合题意，舍去） 故答案为：3． 45．（2024·25七年级上·全国·期中）观察下列三列数： 、、、、、、…① 、、、、、、…② 、、、、、、…③ (1)第①行第10个数是 ，第②行第15个数是 ； (2)在②行中，是否存在三个连续数，其和为1001？若存在，求这三个数；若不存在，说明理由； (3)若在每行取第k个数，这三个数的和正好为399，则 ． 【答案】(1)； (2)不存在；理由见解析 (3)201 【详解】（1）解：根据规律可得，第①行第10个数是； 第②行第15个数是； 故答案为：；； （2）解：不存在．理由如下： 由（1）可知，第②行数的第n个数是， 设三个连续整数为，，， 当n为奇数时，则， 化简得，， 解得，（舍）， 当n为偶数时，则， 化简得，， 解得，（不合题意，舍去）， 综上，不存在三个连续数，其和为1001； （3）解：当k为奇数时，根据题意得， ， 解得，， 当k为偶数时，根据题意得， ， 解得，（舍去）， 综上，． 1．某海港货场不断有轮船卸下货来，又不断用汽车将货物运走．如果用9辆车，12小时可以清场；如果用8辆车，16小时可以清场．该场开始只用3辆车，10小时后增加了若干辆车，再过4小时就已清场，那么后来增加了多少辆车？ 【答案】19辆 【详解】解：将一辆车一小时运的货看为1份 9辆车12小时运份，8辆车16小时运份， 所以每小时从轮船上卸货份， 原来货场上有货份， 3辆车10小时货场上有货份， 再过4小时清场，共运走货份， 需要车辆， 所以其中增加车有辆． 2．一个长方形的周长是42厘米，经分割两次（图中甲、乙两图），图甲中四部分的面积比，图乙中四部分的面积比为，已知长方形D和长方形P宽的差与长的差之比是，求原大长方形的面积是多少平方厘米？ 【答案】原大长方形的面积是90平方厘米 【详解】解：因为， 所以长方形P的宽是大长方形宽的，长是大长方形的， 因为， 所以长方形D的宽是大长方形宽的，长是大长方形的， 因为，， 所以， 所以长方形的宽与长的比为， ， 所以长方形的长为（厘米），宽为（厘米）， 所以面积为（平方厘米）， 答：原大长方形的面积是90平方厘米． 3．已知，晓风错将“”看成“”，算得结果． (1)计算的表达式； (2)求正确的结果的表达式； (3)晓华说（2）中的结果的大小与的取值无关，对吗？若，，求（2）中代数式的值． 【答案】(1) (2) (3)结果的大小与的取值无关，0 【详解】（1）解：∵ ∴ . 故的表达式为. （2）解： . 故正确的结果的表达式为. （3）解：由（2）得 ∵代数式中无字母c ∴其值与c无关是对的 将，代入得： . 4．有这样一道题“如果代数式的值为，那么代数式的值是多少？”，爱动脑筋的汤同学解题过程如下： 原式． 汤同学把作为一个整体求解．整体思想是中学数学解题中的一种重要思想方法，请仿照上面的解题方法，完成下面的问题： 【简单应用】 （1）已知，则______； （2）已知，求的值； 【拓展提高】 （3）已知，，求代数式的值． 【答案】（）；（）；（）． 【详解】解：（） ， ∵， ∴原式 ， 故答案为：； （） ， ∵， ∴原式 ； （） ， ∵，， ∴原式 ． 5．数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离．因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与所对应的点之间的距离． （1）【探究问题】 如图，数轴上，点A，B，P分别表示数，2，x，因为的几何意义是线段与的长度之和，当点P在线段上时，，而当点P在点A的左侧或点B的右侧时，．所以当点P在线段上时，有最小值，最小值是3． 填空： 若， 则x的值为 ； （2）【解决问题】 ①直接写出式子的最小值为 ； ②若代数式的最小值是2，则a的值为 ； （3）【实际应用】如图，在一条笔直的街道上有E，F，G，H四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为．已知E，F，G，H四个小区各有2个，2个，2个，1个学生在同一所中学的同一班级上学，安全起见，这7个同学约定先在街道上某处汇合，再一起去学校．聪明的他们通过分析，发现在街道上的M处汇合使所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，请问汇合地点M设置在什么位置的时候，所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，并求出此最小值． 【答案】（1）1或3；（2）①6；②或；（3）当M在点F上时，四个点到M的距离之和最小，所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和的最小值为 【详解】解：（1）表示x所对应的点与2所对应的点之间的距离为1， ∴或， 故答案为：1或3； （2）①表示x所对应的点到4和所对应的点的距离之和，当x在4和之间时，有最小值， ∴的最小值为， 故答案为：6； ②表示x所对应的点到和所对应的点的距离之和，当x在和之间时，有最小值，最小值为， ∵代数式的最小值是2， ∴， 解得：或， 故答案为：或； （3）如图所示，设M表示的数为x，距离之和为s， 则所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和为： 表示x所对应的点到、、、、、、七个点的距离之和， ∴奇数个点时取正中间的数时有最小值，即时，， ∴当M在点F上时，四个点到M的距离之和最小，所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和的最小值为． 6．在数学实践课上，老师提供了如图1所示的矩形卡纸，要求大家利用它制作一个底面为正方形的礼品盒．小明按照图2的方式裁剪（其中），恰好得到纸盒的展开图，并利用该展开图折成一个礼品盒，如图3所示． (1)若，直接用含的代数式表示出的长； (2)如果要求折成的礼品盒的两个相对的面上分别印有“吉祥”和“如意”，如图4所示，那么应选择的纸盒展开图图样是________． A．        B． C．        D． (3)今有两种不同型号的矩形卡纸，其规格、单价如表所示： 卡纸型号 型号I 型号II 规格（单位：） 单价（单位：元） 3 5 现要制作10个这种底面是边长为的正方形，高为的礼品盒．请你合理选择上述卡纸（包括卡纸的型号及相应型号卡纸的张数），并在卡纸上画出设计示意图（包括一张卡纸可制作几个礼品盒，其展开图在卡纸上的分布情况），并计算出你所用卡纸的总费用． 【答案】(1) (2)C (3)见解析 【详解】（1）解：如图： 上述图形折叠后变成： 由折叠和题意可知，，， ∵四边形是正方形， ∴，即， ∴，即， ∵，， ∴． （2）解：根据几何体的展开图可知，“吉”和“如”在对应面上，“祥”和“意”在对应面上，而对应面上的字中间相隔一个几何图形，且字体相反， ∴C选项符合题意， 故选：C． （3）解：①只选型号Ⅰ卡纸：礼品盒展开图分步情况，如图所示： ∴用一张型号Ⅰ卡纸可以制作这样的礼品盒3个， ∴制作10个这样的礼品盒，需要的卡片张数为， ∴需要张型号Ⅰ卡片， 则需要的费用为：（元）； ②只选型号Ⅱ卡纸：礼品盒展开图分步情况，如图所示： ∴用一张型号Ⅱ卡纸可以制作这样的礼品盒3个， ∴制作10个这样的礼品盒，需要的卡片张数为， 需要张Ⅱ型号型片， 则需要的费用为：（元）； ③用1张型号Ⅰ卡纸，3张型号Ⅱ卡纸，，也可以制作10个这样的礼品盒，需要的费用为：（元）； ④用2张型号Ⅰ卡纸，2张型号Ⅱ卡纸，，也可以制作10个这样的礼品盒，需要的费用为：（元）； ⑤用3张型号Ⅰ卡纸，1张型号Ⅱ卡纸，，也可以制作10个这样的礼品盒，需要的费用为：（元）． 7．数学课上老师出了一道题计算：，老师在教室巡视了一圈，发现同学们都做不出来，于是给出答案： 解：令 S＝，① 则2S＝，② ②－①得． 根据以上方法请计算： (1)；（写出过程，结果用幂表示） (2)_______．（结果用幂表示） 【答案】(1)，过程见详解 (2) 【详解】（1）解：令，① 则，② ②－①得， 即； （2）解：令，① 则，② ②－①得， ∴ ∴． 8．阅读理解： 如图，从左边第一个格子开始向右数，在每个格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等． 1 ● ○ 7 … (1)可知 ， ， ． (2)试判断第2025个格子中的数是多少，并给出相应的理由． (3)判断：前n个格子中所填整数之和能否为2025？若能，求出n的值；若不能，请说明理由． (4)若在前三个格子中任取两个数并用大数减去小数得到差值，而后将所有的这样的差值累加起来称为累差值．例如：前三项的累差值为，则前三项的累差值为 ；若取前十项，那么前十项的累差值为多少？（请给出必要的计算过程） 【答案】(1)1，7， (2)第2025个格子中的数是，理由见解析 (3)能， (4)20； 【详解】（1）解：∵任意三个相邻格子中所填整数之和都相等， ∴，， ∴，， ∴所有数字是1，7，○三个数的循环， ∵第9个数是， ∴． 故答案为：1，7，． （2）解：第2025个格子中的数是；理由如下： 这一列数为：1，7，，1，7，……， ∴， ∴第2025个格子中的数是． （3）解：前n个格子中所填整数之和能为2025；理由如下： ∵，而， ∴； （4）解：根据题意得：； 由于前10个数中1出现了4次，而7与各出现了3次， ∴前10项的累差值 ， 故答案为：． 9．在数的学习过程中，我们总会对其中一柴具有某种特性的数充满好奇，例如：定义：对于一个各个数位上的数字均不为零的三位自然数m，若m的十位数字等于其个位数字的2倍，则称这个自然数m为“好数”，当三位自然数m为“好数”时，交换m的百位数字和十位数字后会得到一个新的三位自然数n，规定，例如：当时，因为，所以是“好数”，此时，则． (1)写出最大的好数和最小的好数，并分别求出它们的值； (2)已知一个三位自然数t是“好数”，t的各个数位上的数字和记为k，若能被8整除，求所有满足条件的三位自然数t． 【答案】(1)984，1；121， (2)342，284，684，742 【详解】（1）解：∵是三位自然数且各个数位上的数字均不为零，要使“好数”最大，百位数字应尽量大， ∴百位最大是9． 根据“好数”定义，十位数字等于个位数字的2倍，个位数字最大只能是4，此时十位数字是8， ∴最大的好数， 交换m的百位数字和十位数字后得到， ∵， ∴； 要使“好数”最小，百位数字应尽量小， ∴百位最小是1，个位数字最小是1， ∴十位数字是2， ∴最小的好数， 交换m的百位数字和十位数字后得到， ∵， ∴； （2）设三位自然数t的百位数字为a，个位数字为b，则十位数字为， ∴， 交换t的百位数字和十位数字后得到， ∵， ∴， ∵t的各个数位上的数字和， ∴， ∵k能被8整除，即能被8整除， 当时： 若，则，解得，此时； 若，则，解得，此时； 当时： 若，则，解得，此时； 若，则，解得，此时． 综上所述，所有满足条件的三位自然数t为342，284，684，742． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $