高三数学月考质量检测卷（范围：第一章集合与常用逻辑用语、不等式～第七章空间向量与立体几何）（全国通用）2026年高考数学一轮复习高效培优系列

2026年高三数学备考阶段测试 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：集合与常用逻辑用语、不等式+函数及其性质+导数及其应用+三角函数与解三角形+平面向量与复数+数列+空间向量与立体几何。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知复数z满足，则（    ） A． B．2 C． D． 3．帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2所示（线段长度代表速度大小，单位：m/s），则该时刻的真风为（   ） 级数 名称 风速大小（单位：m/s) 2 轻风 1.6~3.3 3 微风 3.4~5.4 4 和风 5.5~7.9 5 劲风 8.0~10.7 A．轻风 B．微风 C．和风 D．劲风 4．行列式是近代数学中研究线性方程的有力工具，最简单的二阶行列式的运算定义如下：， 已知是等比数列的前项和，若，则（    ） A．31 B．63 C．127 D．255 5．若函数是奇函数，则（    ） A． B． C．0 D．1 6．设甲：；乙：，则甲是乙的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．已知，，则（   ） A． B． C． D． 8．已知经过圆锥的轴的截面是正三角形，用平行于底面的截面将圆锥分成两部分，若这两部分几何体都存在内切球（与各面均相切），则上、下两部分几何体的体积之比是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．矩形的面积为，如果矩形的长为，宽为，对角线为，周长为，下列正确的（   ） A．（） B．（） C．（） D．（） 10．以下有关三角函数的说法正确的为（    ） A．， B．，使得 C．在定义域内有偶数个零点 D．， 11．直四棱柱中，底面为菱形，，，P为中点，点在四边形内（包括边界）运动，下列结论正确的是（    ） A．若，且，则四面体的体积为定值 B．若平面，则的最小值为 C．若的外心为，则为定值2 D．若，则点的轨迹长度为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知函数，则 ． 13．已知、为锐角，，，则 . 14．数列满足，若不等式 恒成立，则正整数的最大值为 . 四、解答题 15．记的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，求边上高的最大值． 16．已知数列中，，，且，，成等比数列，数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)设是数列前项和，求. 17．如图，已知四边形为平行四边形，为的中点，，.将沿折起，使点到达点的位置，使平面平面. (1)求证：； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 18．设函数. (1)讨论的单调性； (2)时， 若， 求证：. 19．高中教材必修第二册选学内容中指出：设复数对应复平面内的点，设，，则任何一个复数都可以表示成：的形式，这种形式叫做复数三角形式，其中是复数的模，称为复数的辐角，若，则称为复数的辐角主值，记为.复数有以下三角形式的运算法则：若，则：，特别地，如果，那么，这个结论叫做棣莫弗定理.请运用上述知识和结论解答下面的问题： (1)求复数，的模和辐角主值（用表示）； (2)设，，若存在满足，那么这样的有多少个？ (3)求和： 试卷第2页，共5页 试卷第1页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高三数学备考阶段测试 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：集合与常用逻辑用语、不等式+函数及其性质+导数及其应用+三角函数与解三角形+平面向量与复数+数列+空间向量与立体几何。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以，因为，即，解得， 所以，， 故选：B． 2．已知复数z满足，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【详解】令，则，且，所以，则，所以，可得，即，所以. 故选：C 3．帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2所示（线段长度代表速度大小，单位：m/s），则该时刻的真风为（   ） 级数 名称 风速大小（单位：m/s) 2 轻风 1.6~3.3 3 微风 3.4~5.4 4 和风 5.5~7.9 5 劲风 8.0~10.7 A．轻风 B．微风 C．和风 D．劲风 【答案】A 【详解】由题意及图得，视风风速对应的向量为：， 视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和， 船速方向和船行风速的向量方向相反， 设真风风速对应的向量为，船行风速对应的向量为， ∴，船行风速：， ∴，， ∴由表得，真风风速为轻风， 故选：A. 4．行列式是近代数学中研究线性方程的有力工具，最简单的二阶行列式的运算定义如下：，已知是等比数列的前项和，若，则（    ） A．31 B．63 C．127 D．255 【答案】C 【详解】根据题意可得：，因为数列是等比数列，，则化简得， 因为，所以.所以. 故选：C. 5．若函数是奇函数，则（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【详解】因为是奇函数，定义域关于原点对称， 所以对任意,， 即，解得. 故选：D 6．设甲：；乙：，则甲是乙的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】由可得，由可得，所以由推不出，即充分性不成立； 由也推不出，即必要性不成立.所以甲是乙的既不充分也不必要条件. 故选:D. 7．已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，则，且，可得，则， ， 所以， 故选：B. 8．已知经过圆锥的轴的截面是正三角形，用平行于底面的截面将圆锥分成两部分，若这两部分几何体都存在内切球（与各面均相切），则上、下两部分几何体的体积之比是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，作出圆锥的轴截面， 设上、下两部分几何体的两部分的内切球的球心分别为，，半径分别为，， 即，， 根据题意可知为正三角形，易知，圆锥的底面半径， ，又， ，， 上部分圆锥的底面半径为，高为， 又圆锥的底面半径为，高为， 上部分圆锥的体积与圆锥的体积之比为， 上、下两部分几何体的体积之比是． 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．矩形的面积为，如果矩形的长为，宽为，对角线为，周长为，下列正确的（   ） A．（） B．（） C． （） D．（） 【答案】ABD 【详解】对于A，因为矩形的面积为，矩形的长为，宽为， 所以，得，所以矩形的周长为（），所以A正确， 对于B，由选项A，可知（），所以B正确， 对于C，因为矩形的面积为，对角线为，长为，宽为， 所以，当且仅当时等号成立， 所以，， 因为，所以，所以矩形的周长为（），所以C错误， 对于D，由选项C可知，，所以， 因为，所以（），所以D正确， 故选：ABD 10．以下有关三角函数的说法正确的为（    ） A．， B．，使得 C．在定义域内有偶数个零点 D．， 【答案】BD 【详解】对于A，，故A错误. 对于B，因为， 所以，使得，故B正确. 对于C，因为，所以为奇函数，因为在定义域内，所以，故有奇数个零点，故C错误. 对于D，，故D正确. 故选：BD 11．直四棱柱中，底面为菱形，，，P为中点，点在四边形内（包括边界）运动，下列结论正确的是（    ） A．若，且，则四面体的体积为定值 B．若平面，则的最小值为 C．若的外心为，则为定值2 D．若，则点的轨迹长度为 【答案】AB 【详解】对于A，取的中点分别为，连接，则，，， 因为，，所以，， 所以三点共线，所以点在，因为，， 所以,平面，平面，所以∥平面， 所以点到平面的距离为定值，因为的面积为定值， 所以四面体的体积为定值，所以A正确； 对于B，因为，因为平面，平面， 所以∥平面，又平面，，平面， 所以平面平面，取的中点，连接，则，， 所以，所以四点共面，所以平面平面， 即在上，当时，取最小值， 因为，所以，，所以，所以重合，所以的最小值为，所以B正确； 对于C，若的外心为，过作于， 因为， 所以，所以C错误； 对于D，过作，垂足为，因为平面， 平面，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 又在中，， 所以，， 在中，，，，所以， 则在以为圆心，2为半径的圆上运动， 在上取点，使得，则， 所以点的轨迹为圆弧，因为，所以， 则圆弧等于，所以D错误； 故选：AB 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知函数，则 ． 【答案】0 【详解】由题意知，． 故答案为：0 13．已知、为锐角，，，则 . 【答案】 【详解】因为，为锐角， 则，， 可得， 且、为锐角，则，所以. 故答案为：. 14．数列满足，若不等式 恒成立，则正整数的最大值为 . 【答案】35 【详解】由得 由得 两边平方得 则是以1为首项，1为公差的等差数列，即 因为所以那 可得则正整数的最大值为35. 故答案为：35 四、解答题 15．记的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，求边上高的最大值． 【答案】(1)(2). 【详解】（1）因为，由正弦定理得：①， 因为，所以. 故①式可变形为， 即，化简得：， 因为，所以，故. 因为，故.…………………………………………………………….6分 （2）设外接圆的半径为， 由正弦定理得：，则，，， 又，故得，…………………………………………….8分 由（1）知，故，则， 由余弦定理得：，即，……………………………………………10分 则，当且仅当时等号成立， 设边上高为，由三角形的面积公式得：，即. 故边上高的最大值为.………………………………………………………………………….13分 16．已知数列中，，，且，，成等比数列，数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)设是数列前项和，求. 【答案】(1)(2) 【详解】（1），，成等比数列，，即， 数列为等差数列，设其公差为， 由得：，，.………………………………………………………………….7分 （2）由（1）得：； 当为偶数时，； 当为奇数时，； 综上所述：.………………………………………………………………….15分 17．如图，已知四边形为平行四边形，为的中点，，.将沿折起，使点到达点的位置，使平面平面. (1)求证：； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析(2) 【详解】（1）因为四边形为平行四边形，由为的中点， ，，则为等边三角形，所以. 则，所以为等腰三角形， 可得，，即，……………………….3分 因为平面平面，平面平面，平面， 则平面，………………………………………………………………………….5分 且平面，所以.………………………………………………………….6分 （2）作，过作， 由面面得面 则两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系. ，，，，…………………………….8分 设平面的一个法向量为 由知可取，……………………………………………….11分 同理得平面的一个法向量.………………………………………………….12分 设平面与平面的夹角为. 则.……………………………………………………………….14分 面与面夹角的余弦值为.……………………………………………………….15分 18．设函数. (1)讨论的单调性； (2)时， 若， 求证：. 【答案】(1)当 时，在上单调递增； 当 时，在和上单调递增， 在单调递减； (2)证明见解析 【详解】（1）解：因为， 所以………………………………………………………………………….1分 令，…………………………………………………………………….2分 则， 令，得，………………………………………………………………….3分 当时，，则在单调递减； 当时，，则在单调递增； 所以，………………………………………………………………………….4分 当时，， 即， 则在上单调递增；…………………………………………….5分 当时，， 易知当趋于时，趋于， 当趋于时，趋于， 由零点存在性定理知， ， 不妨设， 使得， 当 时，， 即， 当 时，， 即 当 时，， 即 所以 在和上单调递增， 在单调递减；……………………….7分 综上所述：当 时，在上单调递增； 当 时，在和上单调递增， 在单调递减；……………………….8分 （2）证明： 构造函数， + -2，， 整理得 ，……………………………………….9分 ， (当时等号成立)， 所以在上单调递增， 则， 所以在上单调递增，，………………………………………….11分 这里不妨设， 欲证， 即证, 由 (1) 知时，在上单调递增， 则需证， 由已知， 所以有，………………………………………………………………………………….14分 只需证， 即证 ， 由在上单调递增， 且时， 有， 故 成立， 从而，得证.………………………………………………………………………………………….17分 19．高中教材必修第二册选学内容中指出：设复数对应复平面内的点，设，，则任何一个复数都可以表示成：的形式，这种形式叫做复数三角形式，其中是复数的模，称为复数的辐角，若，则称为复数的辐角主值，记为.复数有以下三角形式的运算法则：若，则：，特别地，如果，那么，这个结论叫做棣莫弗定理.请运用上述知识和结论解答下面的问题： (1)求复数，的模和辐角主值（用表示）； (2)设，，若存在满足，那么这样的有多少个？ (3)求和： 【答案】(1)，；(2)506；(3)1017. 【详解】（1）由复数，， ， 得； 而，则，， 又，，所以.……………………………………….5分 （2）由， 因此，则， 则，解得，而，， 即，于是，显然符合条件的有506个， 所以这样的有506个.……………………………………………………………………….10分 （3）令，而，则， 令， 则， 两边同乘，得， 两式相减得 ，因此， ， 因此，所以.…………………………………………….17分 试卷第2页，共15页 试卷第1页，共15页 学科网（北京）股份有限公司 $