学易金卷：九年级数学上学期期中模拟卷（北京专用，人教版）

2025-2026学年九年级数学上学期期中模拟卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版九年级上册第二十一章~第二十四章。 第一部分（选择题 共16分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列方程中，属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．下列图形是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，点A，B，C都在上，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，点C的对应点恰好落在斜边上，连接．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．在同一坐标系中，二次函数与一次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 7．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（　　） A． B．且 C． D．且 8．已知二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，有下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第二部分（非选择题 共84分） 2、 填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9．方程的根是 ． 10．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是 ． 11．若点在二次函数的图象上，则与的大小关系是 ． 12．如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到，点B的对应点为E，点A的对应点D落在线段上，连接．若，则 ． 13．如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，则分别从同时出发，经过 秒钟，使的面积等于． 14．已知二次函数的图象如图所示，则一元二次方程的解是 ． 15．如图，与都是等边三角形，连接，，，，若将绕点顺时针旋转，当点、、在同一条直线上时，线段的长为 ． 16．四位同学在研究二次函数（）时，对函数的图象及性质进行了如下描述： 甲同学：函数的最小值为； 乙同学：当时，； 丙同学：是一元二次方程（）的一个根； 丁同学：函数图象的对称轴是直线； 已知这四位同学中只有一位同学的结论是错误的，则该同学是 ． 3、 解答题：本题共12小题，共68分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（5分）解方程： (1) (2)． 18．（5分）已知二次函数的图象经过点． (1)求的值； (2)求二次函数图象与轴的交点坐标． 19．（5分）已知： (1)若将绕点按逆时针方向旋转后得到，画出； (2)写出点对应点的坐标． 20．（6分）如图，以的边为直径作，点A在上，点D在线段的延长线上，． (1)求证：直线是的切线； (2)若直径，求图中阴影部分的面积． 21．（5分）如图，二次函数的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点，已知一次函数的图象经过该二次函数图象上的点A及点B． (1)求二次函数与一次函数的解析式； (2)根据图象直接写出时x的取值范围． 22．（6分）已知关于的方程． (1)若方程有两个实数根，求实数的取值范围； (2)若方程有两个实数根，，且，求的值． 23．（5分）先化简，再求值：，其中是一元二次方程的根． 24．（6分）如图，在中，，；将绕点A按逆时针方向旋转得到，连接，交于点F． (1)求证：； (2)求的度数． 25．（5分）2025年春节联欢晚会吉祥物“巳（si）升升”，设计灵感来源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形憨态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，在市场上一度走红． (1)某商店销售A，B两款“巳升升”吉祥物，已知款吉祥物的单价比款吉祥物的单价高20元，若顾客花800元购买款吉祥物的数量与花600元购买款吉祥物的数量相同，则A，B两款吉祥物的单价分别是多少元？ (2)若款吉祥物的进价为每件60元，经市场调查发现，当售价定为每件100元，则每天能销售款吉祥物20件，而售价每降价1元，每天可多售出款吉祥物2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使每天销售后获利1200元，则款吉祥物售价应降低多少元？ 26．（6分）近期，全国多地新能源汽车充电站迎来升级改造，遮阳棚成为标配设施，为车主提供更舒适、安全的充电环境．图①是某弧形遮阳棚横截面的示意图，其中棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，棚顶的端点为该抛物线的最高点，点到地面的距离为3米，棚顶与立柱的交点到地面的距离为2米，且点和点的水平距离为6米． (1)按如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的函数解析式； (2)现有一辆观光车需要充电，如图②是观光车的截面图，已知车身长约5米，车厢最高点与遮阳棚接触点离地面高约米，请通过计算说明这辆观光车是否可以完全停进遮阳棚正下方； (3)为了让弧形遮阳棚更加稳固和美观，计划在遮阳棚内侧安装钢架．如图③所示，钢架分两段，其中一段连接点与点，然后在棚顶上某处取点，在钢架和棚顶之间竖直安装第二段钢架．求出第二段钢架长度的最大值． 27．（7分）为等边三角形，射线绕点顺时针旋转得到射线，在射线上取一点，连接，过点A，C分别作射线的垂线，将点关于对称得到点，连接． (1)依据题意补全图形； (2)求证：无论为何值均为等边三角形； (3)猜想的数量关系，并证明． 28．（7分）在平面直角坐标系中，的半径为1．对于线段给出如下定义：若线段与有两个交点，，且，则称线段是的“倍弦线”． (1)如图，点的横、纵坐标都是整数，在线段，，中，的“倍弦线”是_____； (2)的“倍弦线”与直线交于点，求点纵坐标的取值范围； (3)若的“倍弦线”过点，直线与线段有公共点，直接写出的取值范围． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级数学上学期期中模拟卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版九年级上册第二十一章~第二十四章。 第一部分（选择题 共16分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列方程中，属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A选项：方程中含有个未知数，且未知项的最高次数是， 是二元一次方程，不是一元二次方程，故A选项不符合题意； B选项：方程中，若，则方程是一元二次方程，若，则方程不是一元二次方程，故B选项不符合题意； C选项：方程中分母中有未知数，是分式方程， 不是一元二次方程，故C选项不符合题意； D选项：方程中含有个未知数，且未知项的最高次数是， 是一元二次方程，故D选项符合题意． 故选：D． 2．下列图形是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形，故该选项不合题意； B、能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形，故该选项符合题意； C、不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形，故该选项不合题意； D、不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形，故该选项不合题意． 故选：B ． 3．如图，点A，B，C都在上，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵与是同弧所对的圆周角和圆心角， ∴． 故选：B． 4．抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选：． 5．如图，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，点C的对应点恰好落在斜边上，连接．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：旋转得到，点落在上， ，，， ， ． 故选：A． 6．在同一坐标系中，二次函数与一次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵二次函数与一次函数， ∴当时，抛物线的开口向上，直线过一，三，四象限； 当时，抛物线的开口向下，直线过一，二，四象限； 故符合题意的只有选项A． 故选A． 7．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（　　） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， 解得：， ∵， ∴的取值范围是且， 故选：． 8．已知二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，有下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【详解】因为抛物线开口向下，所以， 对称轴为， ，即， 因为抛物线与y轴交点在x轴上方， ， ，故①不正确； 因为抛物线与x轴有两个交点，所以方程有两个不相等的实数根， ， 故②不正确； 当时，，当时，， ，， ， 即， ，故③不正确； ， ， 若，则， 即，则有，而由题意可知，故④正确； 综上可知正确的只有1个，所以A选项是正确的． 故选：A． 第二部分（非选择题 共84分） 2、 填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9．方程的根是 ． 【答案】 【详解】解：方程为， 整理可得， 整理可得， 解得 故答案为： ． 10．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是 ． 【答案】 【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为：． 11．若点在二次函数的图象上，则与的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图像性质．通过分析二次函数的开口方向及对称轴，结合点的横坐标位置，可以判断纵坐标的大小关系． 【详解】解：当时，二次函数随x的增大而增大， 点在二次函数的图象上， ． 12．如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到，点B的对应点为E，点A的对应点D落在线段上，连接．若，则 ． 【答案】 【详解】解：由旋转的性质可得， ∴，， 设， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13．如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，则分别从同时出发，经过 秒钟，使的面积等于． 【答案】秒或秒 【详解】解：设经过秒钟，的面积等于，由题意得， ， ，， ∴经过秒或秒时，的面积等于， 故答案为：秒或秒． 14．已知二次函数的图象如图所示，则一元二次方程的解是 ． 【答案】， 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点坐标为， 抛物线与x轴的一个交点坐标与对称轴距离为：． ∴根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标：． ∴抛物线与x轴的一个交点坐标为． 即或2时，． ∴一元二次方程的解为，． 故答案为：，． 15．如图，与都是等边三角形，连接，，，，若将绕点顺时针旋转，当点、、在同一条直线上时，线段的长为 ． 【答案】或 【详解】解：，是等边三角形， ，， 是等边三角形，， ， 当点在的延长线上时，如图，过点作于，则， 在中，，， ， 根据勾股定理得，， ， 在中，根据勾股定理得，； 当点在的延长线上时，如图，过点作于，则， 在中，，， ， 根据勾股定理得，， ， 在中，根据勾股定理得，， 综上所述，或， 故答案为：或． 16．四位同学在研究二次函数（）时，对函数的图象及性质进行了如下描述： 甲同学：函数的最小值为； 乙同学：当时，； 丙同学：是一元二次方程（）的一个根； 丁同学：函数图象的对称轴是直线； 已知这四位同学中只有一位同学的结论是错误的，则该同学是 ． 【答案】乙 【详解】解：函数的最小值为时，可得：，即①， 当时，，可得：②， 是一元二次方程（）的一个根，可得：③， 函数图象的对称轴是直线时，可得：④， 当甲不对时，由②和③联立，得，，不满足④，故不成立． 当乙不对时，由③和④联立，得，，满足①，故成立． 当丙不对时，由①和④联立，得，，不满足②，故不成立． 当丁不对时，由②和③联立，得，，不满足①，故不成立． 综上所述，可得：乙同学的结论是错误的． 故答案为：乙 3、 解答题：本题共12小题，共68分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（5分）解方程： (1) (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：， 变形为， 两边同时加上1得：， 开方得： 或， ∴，； （2）解：， 整理得：，即， 因式分解得：， 可得或， ，． 18．（5分）已知二次函数的图象经过点． (1)求的值； (2)求二次函数图象与轴的交点坐标． 【答案】(1) (2)二次函数图象与轴的交点坐标为 【详解】（1）解：∵此函数的图象经过点， ∴将代入， ∴； （2）解：二次函数，令，则有， 解得， 故二次函数图象与x轴的交点坐标为． 19．（5分）已知： (1)若将绕点按逆时针方向旋转后得到，画出； (2)写出点对应点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）解：如图：即为所求； （2）解：由图知：． 20．（6分）如图，以的边为直径作，点A在上，点D在线段的延长线上，． (1)求证：直线是的切线； (2)若直径，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：连接，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即是的切线； （2）解：∵， ∴， 在中，， ∴，， 所以， 因为， 所以， 所以． 21．（5分）如图，二次函数的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点，已知一次函数的图象经过该二次函数图象上的点A及点B． (1)求二次函数与一次函数的解析式； (2)根据图象直接写出时x的取值范围． 【答案】(1)； (2)或 【详解】（1）解：把代入，可得 解得， 所以二次函数解析式为，展开得． 当时，， 所以． 二次函数的对称轴为直线， 因为点与关于对称轴对称， 所以． 把，代入，可得 解得，， 所以一次函数解析式为． （2）解：∵，， ∴由图象可知，时的取值范围是或． 22．（6分）已知关于的方程． (1)若方程有两个实数根，求实数的取值范围； (2)若方程有两个实数根，，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由题意可知，， 若方程有两个实数根则， ，即， 解得． （2）根据一元二次方程有两个实数根，， 由根与系数关系可知： ，， ，， ，即， ， ，即． 23．（5分）先化简，再求值：，其中是一元二次方程的根． 【答案】，1． 【详解】解：原式 ． ∵是方程的根， ∴． ∴． ∴ 原式． 24．（6分）如图，在中，，；将绕点A按逆时针方向旋转得到，连接，交于点F． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2)的度数为． 【详解】（1）证明：∵将绕点A按逆时针方向旋转得到， ∴，，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：由（1）知，，， ∴是等腰三角形， ∴， ∴的度数为． 25．（5分）2025年春节联欢晚会吉祥物“巳（si）升升”，设计灵感来源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形憨态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，在市场上一度走红． (1)某商店销售A，B两款“巳升升”吉祥物，已知款吉祥物的单价比款吉祥物的单价高20元，若顾客花800元购买款吉祥物的数量与花600元购买款吉祥物的数量相同，则A，B两款吉祥物的单价分别是多少元？ (2)若款吉祥物的进价为每件60元，经市场调查发现，当售价定为每件100元，则每天能销售款吉祥物20件，而售价每降价1元，每天可多售出款吉祥物2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使每天销售后获利1200元，则款吉祥物售价应降低多少元？ 【答案】(1)款吉祥物的单价为80元，款吉祥物的单价为60元； (2)售价应降低20元． 【详解】（1）解：设款吉祥物的单价为元，则款吉祥物的单价为元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ， 答：款吉祥物的单价为80元，款吉祥物的单价为60元； （2）解：设售价应降低y元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 又要尽量减少库存， ． 答：售价应降低20元． 26．（6分）近期，全国多地新能源汽车充电站迎来升级改造，遮阳棚成为标配设施，为车主提供更舒适、安全的充电环境．图①是某弧形遮阳棚横截面的示意图，其中棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，棚顶的端点为该抛物线的最高点，点到地面的距离为3米，棚顶与立柱的交点到地面的距离为2米，且点和点的水平距离为6米． (1)按如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的函数解析式； (2)现有一辆观光车需要充电，如图②是观光车的截面图，已知车身长约5米，车厢最高点与遮阳棚接触点离地面高约米，请通过计算说明这辆观光车是否可以完全停进遮阳棚正下方； (3)为了让弧形遮阳棚更加稳固和美观，计划在遮阳棚内侧安装钢架．如图③所示，钢架分两段，其中一段连接点与点，然后在棚顶上某处取点，在钢架和棚顶之间竖直安装第二段钢架．求出第二段钢架长度的最大值． 【答案】(1) (2)这辆观光车不可以完全停进遮阳棚正下方 (3)钢架长度的最大值是米 【详解】（1）解：由题可得：抛物线的顶点的坐标为． 设与的函数解析式为， 抛物线的函数解析式为． 点的坐标为， 将点代入函数解析式中，得，解得． 抛物线的函数解析式为． （2）解：根据题意：设点的坐标为， 将代入中， 得：， 解得：（舍去），． ， 这辆观光车不可以完全停进遮阳棚正下方． （3）解：设直线的函数解析式为． 将点代入中， 得， 直线的函数解析式为． 抛物线的一般式为， 且是抛物线上的点， 设点的坐标为． ∵轴，点的横坐标为，点在上， 点的坐标为， ． 当时，取最大值，最大值为． 钢架长度的最大值是米． 27．（7分）为等边三角形，射线绕点顺时针旋转得到射线，在射线上取一点，连接，过点A，C分别作射线的垂线，将点关于对称得到点，连接． (1)依据题意补全图形； (2)求证：无论为何值均为等边三角形； (3)猜想的数量关系，并证明． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)，证明见详解 【详解】（1）解：依据题意补全图形，如图所示： （2）解：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵是的外角， ∴， ∵关于对称， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴无论为何值均为等边三角形； （3）解：的数量关系为，证明如下： 在上截取，连接， ∵是等边三角形， ∴ 在和中 ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 则， 整理得， 在中， ∴ 则 整理得， 故， ∵， ∴， 则， 即． 28．（7分）在平面直角坐标系中，的半径为1．对于线段给出如下定义：若线段与有两个交点，，且，则称线段是的“倍弦线”． (1)如图，点的横、纵坐标都是整数，在线段，，中，的“倍弦线”是_____； (2)的“倍弦线”与直线交于点，求点纵坐标的取值范围； (3)若的“倍弦线”过点，直线与线段有公共点，直接写出的取值范围． 【答案】(1)、； (2)； (3)． 【详解】（1）解：如图1， ，， ，是的“倍弦线”， 与不相交，， 和不是的“倍弦线”， 故答案为：、； （2）解：如图2， 以为圆心，3 为半径画圆交直线于和， ， ； （3）解：如图3， 以为圆心，2为半径画圆，直线与相切， 此时， 以为圆心，1为半径作，直线与相切， 此时， ． / 学科网（北京）股份有限公司 $ ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2025-2026学年九年级数学上学期期中模拟卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版九年级上册第二十一章~第二十四章。 第一部分（选择题 共16分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列方程中，属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．下列图形是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，点A，B，C都在上，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，点C的对应点恰好落在斜边上，连接．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．在同一坐标系中，二次函数与一次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 7．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（　　） A． B．且 C． D．且 8．已知二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，有下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第二部分（非选择题 共84分） 2、 填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9．方程的根是 ． 10．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是 ． 11．若点在二次函数的图象上，则与的大小关系是 ． 12．如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到，点B的对应点为E，点A的对应点D落在线段上，连接．若，则 ． 13．如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，则分别从同时出发，经过 秒钟，使的面积等于． 14．已知二次函数的图象如图所示，则一元二次方程的解是 ． 15．如图，与都是等边三角形，连接，，，，若将绕点顺时针旋转，当点、、在同一条直线上时，线段的长为 ． 16．四位同学在研究二次函数（）时，对函数的图象及性质进行了如下描述： 甲同学：函数的最小值为； 乙同学：当时，； 丙同学：是一元二次方程（）的一个根； 丁同学：函数图象的对称轴是直线； 已知这四位同学中只有一位同学的结论是错误的，则该同学是 ． 3、 解答题：本题共12小题，共68分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（5分）解方程： (1) (2)． 18．（5分）已知二次函数的图象经过点． (1)求的值； (2)求二次函数图象与轴的交点坐标． 19．（5分）已知： (1)若将绕点按逆时针方向旋转后得到，画出； (2)写出点对应点的坐标． 20．（6分）如图，以的边为直径作，点A在上，点D在线段的延长线上，． (1)求证：直线是的切线； (2)若直径，求图中阴影部分的面积． 21．（5分）如图，二次函数的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点，已知一次函数的图象经过该二次函数图象上的点A及点B． (1)求二次函数与一次函数的解析式； (2)根据图象直接写出时x的取值范围． 22．（6分）已知关于的方程． (1)若方程有两个实数根，求实数的取值范围； (2)若方程有两个实数根，，且，求的值． 23．（5分）先化简，再求值：，其中是一元二次方程的根． 24．（6分）如图，在中，，；将绕点A按逆时针方向旋转得到，连接，交于点F． (1)求证：； (2)求的度数． 25．（5分）2025年春节联欢晚会吉祥物“巳（si）升升”，设计灵感来源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形憨态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，在市场上一度走红． (1)某商店销售A，B两款“巳升升”吉祥物，已知款吉祥物的单价比款吉祥物的单价高20元，若顾客花800元购买款吉祥物的数量与花600元购买款吉祥物的数量相同，则A，B两款吉祥物的单价分别是多少元？ (2)若款吉祥物的进价为每件60元，经市场调查发现，当售价定为每件100元，则每天能销售款吉祥物20件，而售价每降价1元，每天可多售出款吉祥物2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使每天销售后获利1200元，则款吉祥物售价应降低多少元？ 26．（6分）近期，全国多地新能源汽车充电站迎来升级改造，遮阳棚成为标配设施，为车主提供更舒适、安全的充电环境．图①是某弧形遮阳棚横截面的示意图，其中棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，棚顶的端点为该抛物线的最高点，点到地面的距离为3米，棚顶与立柱的交点到地面的距离为2米，且点和点的水平距离为6米． (1)按如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的函数解析式； (2)现有一辆观光车需要充电，如图②是观光车的截面图，已知车身长约5米，车厢最高点与遮阳棚接触点离地面高约米，请通过计算说明这辆观光车是否可以完全停进遮阳棚正下方； (3)为了让弧形遮阳棚更加稳固和美观，计划在遮阳棚内侧安装钢架．如图③所示，钢架分两段，其中一段连接点与点，然后在棚顶上某处取点，在钢架和棚顶之间竖直安装第二段钢架．求出第二段钢架长度的最大值． 27．（7分）为等边三角形，射线绕点顺时针旋转得到射线，在射线上取一点，连接，过点A，C分别作射线的垂线，将点关于对称得到点，连接． (1)依据题意补全图形； (2)求证：无论为何值均为等边三角形； (3)猜想的数量关系，并证明． 28．（7分）在平面直角坐标系中，的半径为1．对于线段给出如下定义：若线段与有两个交点，，且，则称线段是的“倍弦线”． (1)如图，点的横、纵坐标都是整数，在线段，，中，的“倍弦线”是_____； (2)的“倍弦线”与直线交于点，求点纵坐标的取值范围； (3)若的“倍弦线”过点，直线与线段有公共点，直接写出的取值范围． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ 2025-2026学年九年级数学上学期期中模拟卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 好 题：字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 巢 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题2分，共16分） 1[A][B][C[D] 5[A][B][C][D] 2[AB][C][D] 6[AJ[B][C][D] 4 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 闻 4[A]B][C]D] 8[A][B][C][D] 二、 填空题（每小题2分，共16分） 9. 10 12 14 5 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（共68分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.(5分) 18.(5分) 19.(5分) 4 3 B -5-4-3-2 012345 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(6分) B 21.(5分) 1B A 22.(6分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(5分) 24.(6分) 公 A 100° D 40° 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(5分) 26.(6分) B 0 图① 夕 ⊙ ⊙ O 图② C B D A 0 图③ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 27.(7分) A D 28.(7分) V桌 备用图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）厨学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2025-2026学年九年级数学上学期期中模拟卷 参考答案 第一部分（选择题共16分) 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1 2 4 5 6 8 0 B A B 第二部分（非选择题共84分） 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9.=05=-2 10.(-3,2 11.y<⅓ 12.4 13.2秒或4秒 14.=-85=2 15.4W5酸4W5 16.乙 三、解答题：本题共12小题，共68分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(5分) 2x2+4x-9=0 【详解】(1)解： 9 变形为x2+2x= 2 1/12 @学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 两边同时加上1得：(x+)2= 2 开方得： 1=2或x+1=-22 √22 2 :书=②2 -√22-2 2,x3= 2 (3分) (2)解.(2x+1(x-2)=7 整理得：2x2-4x+x-2-7=0,即2x2-3x-9=0, 因式分解得：(2x+3(x3到=0 可得2x+3=0或x-3=0, 3 5=-2,32=3 (5分) 18.(5分) 【详解】(1)解：，此函数的图象经过点 3,4 将34刊代入y=9如+3x6-5=4 ∴.a=-l: (3分) (2)解：二次函数少=-r+6x-5 0 则有x+6x-5=0 解得↓5=5 1,0),5,0) 故二次函数图象与x轴的交点坐标为 (5分) 19.(5分) 【详解】(1)解：如图： △AB,C即为所求： 2/12 耐学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 5 4 3 2 B (3分) 54-32 34 50 -5 (2)解：由图知： 4(-3,-2) (5分) 20.(6分) 【详解】(1)证明：连接OA,则∠COA=2∠B, AD=AB, .∠B=∠D=30°， .∠C0A=60°， .∠0AD=180°-60°-30°=90°， .OA⊥AD, 即AD是⊙O的切线： (3分) (2)解：BC=4, .0A=0C=2, 在Rt△OAD中，OA=2, OD=204=4 AD=23 所以8ao0140-2x26-25. 因为∠C0A=60°， 3/12 耐学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 60m222 所以S扇形cOA= =。π， 3603 所以S影=S.00S04=25-2红 3· (6分) 21.(5分) 【详解】(1)解： 4L,0代入=(《-2)+m,可得 (1-22+m=0 解得m=-1, 所以二次函数解析式为片=-2少- ，展开得少=-4+3 当x=0时，片=0-4×0+3=3 所yC03) 二次函数片=x-2}2- 的对称轴为直线=2 因为点B与C关于对称轴对称， 所以B(43列 把110，B(43 代入马=+b,可得 k+b=0 4k+b=3 解得k=1,b=-1, 所以一次函数解析式为片=(- (3分) (2)解：·41,0).B(4,3) 由图象可知， 片>”时*的取值范围是<1或>4。 (5分) 22.(6分) x2-4x+2k+1=0 【详解】(1)解：由题意可知， 4/12 耐学科网·学易金卷 www zxxk com 做好卷，就用学易金卷 若方程有两个实数根则， △=(-4-42k+20,即16-8-420， 解得 2. (3分) (2)根据一元二次方程-4x+2+1=0有两个实数根义， X1 X2 由根与系数关系可知： x+x2=4xx2=2k+1 x2-2x1-2x2+9=02(x+x2)+1=9 六-2x-2%+2++-6+1=0,即6=-1， .X=4-x2=5 .xx3=-5=2k+1 ，即=3 (6分) 23.(5分) a2-1-a2+2a2a2-a 【详解】解：原式a(a+1)a2+2a+1 =2a-1.(a+0 a(a+1)a(2a-1) s0+1 a2· (3分) :“是方程--1=0 的根， a-a-1=0 ∴.a2=a+l. 原式 (5分) 24.(6分) 【详解】(1)证明：，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转1OO°得到△ADE, 5/12 耐学科网·学易金卷 www zxxk com 做好卷，就用学易金卷 ∴.AB=AD,AC=AE,∠BAD=∠CAE=100°， ..AB=AC, .AB=AD=AC=AE, 在△ABD和△ACE中， AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE :.△MBD≌CE(SAS)) ∴.BD=CE: (3分) (2)解：由(1)知，AB=AD,∠BAD=100°， .△ABD是等腰三角形， ∠48D-1s0-∠B0-×1so-10=40, ∴.∠ABD的度数为40°. (6分) 25.(5分) 【详解】(1)解：设B款吉祥物的单价为x元，则A款吉祥物的单价为 x+20)元， 800600 根据题意得：x+20x, 解得：x=60, 经检验，x=60是所列方程的解，且符合题意， ∴.x+20=60+20=80 答：A款吉祥物的单价为80元，B款吉祥物的单价为60元： (3分) (2)解：设售价应降低y元，则每件的销售利润为 100-y-60) 元，每天的销售量为 20+2列件， (100-y-60)(20+2y)=1200 根据题意得： y2-30y+200=0 整理得： 解得： 4=102=20 又要尽量减少库存， 6/12 @学科网·学易金卷 www zxxk com 做好卷，就用学易金卷 y=20 答：售价应降低20元 (5分) 26.(6分) 【详解】()解：由题可得：抛物线的顶点B的坐标为6,3)， 设'与x的函数解析式为=ax-'+k(0≤r≤6， 抛物线的函数解析式为y=a(x-6)+3 “点A的坐标为 0,2) :将点A代入函数解析式中，得2=a(0-62+3,解得a=36 抛物线的晒数解析式为=花-65+305≤61. (2分) (2)解：根据题意：设点P的坐标为25)， 将y=25代入=6x-6+3中， 得：25=6-6+3， 解得：=6+32 (舍去)，5=6-35」 .6-3v2+5>6 ·这辆观光车不可以完全停进遮阳棚正下方. (4分) (3)解：设直线1B的函数解析式为'=c+2(k*0) 将点463引代入y=c+2中， 得 6 :直线AB的函数解析式为y=石x+2. 7/12 耐学科网·学易金卷 www zxxk com 做好卷，就用学易金卷 抛物线y= -3的式为y=6+2。 36 且C是抛物线上的点， 设点c的坐标为不产行+2习 :.CD∥y ，点”的横坐标为，点P在1 D 上 1 点。的坐标为，石x+2, D 6 .CD=-1 r2+x+2- 1 6 3 62s- 36r+x 1 61 1 :当x=3时，CD取最大值，最大值为y=36 +3 6 :.钢架CD长度的最大值是4米 (6分) 27.(7分) 【详解】(1)解：依据题意补全图形，如图所示： P (1分) B (2)解：，△ABC是等边三角形， AB=BC=AC,∠ABC=∠ACB=∠BAC=60° ∴.∠ABP+∠CBP=60°， .∠BCD=∠ABP .∠BCD+∠CBD=60°， .∠CDE是△BCD的外角， ∴.∠CDE=∠BCD+∠CBP=60°， ,D,E关于CG对称， ∴.CD=CE, .∠CDE=60°， 8/12 耐学科网·学易金卷 www zxxk com 做好卷，就用学易金卷 .△CDE是等边三角形， ∴.无论a为何值△CDE均为等边三角形； (4分) (3)解： AH,CG,BH 的数量关系为4H+2CG=V5BH 证明如下： 在BP上截取BQ=CD,连接AQ, ,△ABC是等边三角形， AB=BC=AC,∠ABC=∠ACB=∠BAC=60° 在△ABQ和△BCD中 AB=BC ∠ABP=∠BCD BO=CD :.△ABO≌ABCD(SAS) ∠BAQ=∠CBD .∠ACD+∠BCD=∠ACB=60°，∠BCD+∠CBD=60°， ∠ACD=∠CBD=∠BAQ ,△CDE是等边三角形， ∴.CD=CE=ED,∠DCE=60°， CG⊥BP, ∴∠DcG=∠ACD+∠ACG-=DCE=30, ,AH⊥BP, .AH∥CG, ∴.∠HAC=∠ACG, 9/12 耐学科网·学易金卷 www zxxk com 做好卷，就用学易金卷 .∠ACD+∠HAC=30°， ∠ACD=∠CBD=∠BAQ ∠BAQ+∠HAC=30° :.∠Q1h=∠BAC-(∠BAQ+∠HMC=30 在Rt△AQH中，∠QAH=30°， QA=20H 则AH=VA02-0H=V30H 整理得QH-5, 3 在Rt△CDG中，∠DCG=30° 0c-c0 CG-VCcD- -5cD 2 整理得CD= 2 -CG. 3 故B0=CD=2 3 CG, ..BQ+OH =BH CG+AH-BH .3 3 则2W5CG+V5AH=3H 即4H+2CG=V3BH (7分) 28.(7分) 【详解】(1)解：如图1， 10/12 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年九年级数学上学期期中模拟卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题2分，共16分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题2分，共16分） 9． ____________________ 10．____________________ 11． ____________________ 12．____________________ 13. ____________________ 14．____________________ 15．____________________ 16．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（5分） 19.（5分） 三、解答题（共68分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（5分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20. （6分） 21.（5分） 22.（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（5分） 24.（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25．（5分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26.（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 27． （7分） 28．（7分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $