精品解析：陕西省咸阳市彬州市2025-2026学年八年级上学期月考（一）数学试卷

2025-2026学年度第一学期第一阶段巩固练习 八年级数学 注意事项： 1．本套题共6页，建议完成时间120分钟，满分120分； 2．如有答题纸，请在答题纸上作答；如无答题纸，请将第一部分答案填写在答题栏内，第二部分直接在题上作答； 3．答题前，请将装订线内的项目填写清楚．书写要工整、规范、美观． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列四个实数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 3 2. 实数的平方根是（    ） A. B. C. D. 3. 下列式子不正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法正确的是（ ） A. 4是的算术平方根 B. 平方根等于它本身的数是0和1 C. 9的平方根是 D. 的平方根是 5. 如图，两树高分别为10米和4米，相距8米，一只鸟从一树的树梢飞到另一树的树梢，则小鸟至少要飞（　　） A. 8米 B. 9米 C. 10米 D. 11米 6. 下列是勾股数的一组是（ ） A. 3，5，9 B. 4，6，8 C. 1，，2 D. 8，15，17 7. 如图，长方体的底面边长分别为2厘米和4厘米，高为5厘米．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为（ ）厘米． A. 8 B. C. D. 8. 如图，阴影部分表示以Rt△ABC的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作S1和S2．若S1＋S2＝7，AB＝6，则△ABC的周长是（ ） A. 12.5 B. 13 C. 14 D. 15 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（每小题3分，计15分） 9. 写一个比2大，比5小的无理数：______． 10. 比较大小：_______． 11. 实数与数轴上的点_______________ 12. 有一个大正方形，是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，那么直角三角形的两条直角边长分别是_____． 13. 已知是的三边长，若，则的形状是________． 三、解答题（共12小题，计81分） 14. 解下列方程 （1） （2）． 15. 一支铅笔斜放在圆柱体的笔筒中，如图所示，笔筒的内部底面直径是，内壁高．若这支铅笔在笔筒外面部分长度是，求这支铅笔的长度是多少？ 16. 在数轴上画出表示的点． 17. 判断以12，16，20为边长的三角形的形状． 18. 如图，在中，，根据图中所标数据求阴影部分（长方形）的面积． 19. 已知(a－2)的平方根是±2，(2a＋b＋7)的立方根是3，求(a²＋b²)的算术平方根． 20. 一块试验田的形状如图，已知，，，，，，求这块试验田的面积． 21. 已知a，b，c满足（a﹣）2++＝0． （1）求a，b，c的值； （2）试判断以a，b，c为边长能否构成直角三角形，并说明理由． 22. 如图，在中，，若，． （1）求的长； （2）求的面积． 23. 如图，一架云梯长，如图那样斜靠在一面墙上．当这架云梯的顶端位于A处时，它的底端位于B处，底端离墙． （1）这架云梯的顶端到地面的距离是多少？ （2）当这架云梯的顶端从A处下滑到处时，它的底端从B处滑动到处，云梯的底端在水平方向滑动了多少米？ 24. 如图，将长方形沿着对角线折叠，使点落在处，交于点．此时，若，，求的面积． 25. 定义：为正整数，若，则称为“完美勾股数”，为的“伴侣勾股数”．如，则13是“完美勾股数”，5，12是13的“伴侣勾股数”． （1）判断填空：数__________“完美勾股数”（填“是”或“不是”）； （2）已知的三边满足．求证：是“完美勾股数”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期第一阶段巩固练习 八年级数学 注意事项： 1．本套题共6页，建议完成时间120分钟，满分120分； 2．如有答题纸，请在答题纸上作答；如无答题纸，请将第一部分答案填写在答题栏内，第二部分直接在题上作答； 3．答题前，请将装订线内的项目填写清楚．书写要工整、规范、美观． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列四个实数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是无理数的识别，根据无理数的定义，判断各选项是否为无限不循环小数． 【详解】解：选项A：是整数，属于有理数． 选项B：，结果为整数，属于有理数． 选项C：，因为5不是完全平方数，无法化简为整数或分数，且是无限不循环小数，属于无理数． 选项D：3是整数，属于有理数． 综上，只有选项C是无理数． 故选：C 2. 实数的平方根是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义是解答本题的关键．根据平方根的定义，一个正数的平方根有两个，互为相反数，即可得解． 【详解】解：， ， 的平方根是． 故选：A． 3. 下列式子不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的立方根，根据负数的立方根是负数，正数的立方根是正数进行逐项分析计算，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项运算正确，不符合题意； B、，故该选项运算正确，不符合题意； C、，故该选项运算正确，不符合题意； D、，故该选项运算错误，符合题意； 故选：D 4. 下列说法正确的是（ ） A. 4是的算术平方根 B. 平方根等于它本身的数是0和1 C. 9的平方根是 D. 的平方根是 【答案】C 【解析】 【分析】根据平方根与算术平方根的定义对各选项分析判断后利用排除法． 【详解】解：A、2是的算术平方根，选项错误，不符合题意； B、平方根等于它本身的数只有0，选项错误，不符合题意； C、9的平方根是，正确，符合题意； D、负数没有平方根，故本选项错误，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了平方根与算术平方根的定义，解题的关键是掌握负数没有平方根． 5. 如图，两树高分别为10米和4米，相距8米，一只鸟从一树的树梢飞到另一树的树梢，则小鸟至少要飞（　　） A. 8米 B. 9米 C. 10米 D. 11米 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所飞行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出，熟练掌握其性质，合理添加辅助线是解决此题的关键． 【详解】如图，过C点作于E，则四边形是矩形，连接， 由题意知：大树高为，小树高为， ∴，，， 在中， 答：小鸟至少飞行米， 故选：C． 6. 下列是勾股数的一组是（ ） A. 3，5，9 B. 4，6，8 C. 1，，2 D. 8，15，17 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股数，解题的关键是掌握勾股数的定义，如果a，b，c为正整数，且满足，那么a、b、c叫做一组勾股数．先判断所给数据是否为正整数，再验证两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方即可． 【详解】解：A．，故不是勾股数，不符合题意； B．，故不是勾股数，不符合题意； C．存在无理数，故不是勾股数，不符合题意； D．，故是勾股数，符合题意． 故选：D． 7. 如图，长方体的底面边长分别为2厘米和4厘米，高为5厘米．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为（ ）厘米． A. 8 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理求最短路径问题，熟练掌握先把立体图形展开成平面图形，构造直角三角形，根据两点之间，线段最短，计算求解即可． 将长方体展开，然后连接，利用勾股定理求的长即可． 【详解】解：如图，长方体的展开图如下： ∴，， 由勾股定理得，， ∴最短的路径长为厘米， 故选：D． 8. 如图，阴影部分表示以Rt△ABC的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作S1和S2．若S1＋S2＝7，AB＝6，则△ABC的周长是（ ） A. 12.5 B. 13 C. 14 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理得到，根据扇形面积公式、完全平方公式计算即可． 【详解】解：根据题意得：， ∵S1＋S2＝7， ∴， ∴， ∴， ∴或-8（舍去）， ∴△ABC的周长是． 故选：C 【点睛】本题考查的是勾股定理，熟练掌握如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么是解题的关键． 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（每小题3分，计15分） 9. 写一个比2大，比5小的无理数：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的大小比较，解题关键是熟练掌握无理数的定义． 先任意写出一个比2大，比5小的无理数即可． 【详解】解：，， ， ， 比2大，比5小的无理数为：， 故答案为：（答案不唯一）． 10. 比较大小：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了估算无理数的大小和实数的大小比较．先估算出的范围，再减去1，最后除以4即可． 【详解】解：， ， ， 即， 故答案为：． 11. 实数与数轴上的点_______________ 【答案】一一对应 【解析】 【详解】根据实数与数轴的关系：实数与数轴上的点是一一对应的. 故答案为一一对应. 12. 有一个大正方形，是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，那么直角三角形的两条直角边长分别是_____． 【答案】3，2 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的证明，正确表示出大正方形与小正方形的面积是解题的关键．设直角三角形较长直角边为，较短直角边为，根据大正方形与小正方形的面积得出关于、的等式求解即可． 【详解】解：设直角三角形较长直角边为，较短直角边为， 小正方形的边长为， 小正方形面积是1， ， ， 大正方形面积是13，即， ， ， ， ， ， ， 故答案为：3，2． 13. 已知是的三边长，若，则的形状是________． 【答案】直角三角形 【解析】 【分析】本题可根据绝对值、平方数和算术平方根的非负性求出三角形三边的长度，再根据三边长度关系，利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状．本题主要考查了绝对值、平方数和算术平方根的非负性以及勾股定理的逆定理．熟练掌握绝对值、平方数和算术平方根的非负性质（若干个非负数的和为，则每个非负数都为），以及勾股定理的逆定理（若三角形的三边、、满足，则这个三角形是直角三角形）是解题的关键． 【详解】解：∵，，，且， ∴ 解得 ∵，， ∴， ∴是直角三角形． 故答案为：直角三角形． 三、解答题（共12小题，计81分） 14. 解下列方程 （1） （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了运用平方根解方程，运用立方根解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用平方根解方程，即可作答． （2）运用立方根解方程，即可作答． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴． 15. 一支铅笔斜放在圆柱体的笔筒中，如图所示，笔筒的内部底面直径是，内壁高．若这支铅笔在笔筒外面部分长度是，求这支铅笔的长度是多少？ 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，在中：由勾股定理计算出的长度即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得：， 在中：由勾股定理得， ∵这支铅笔在笔筒外面部分长度是， ∴这支铅笔的长度是． 16. 在数轴上画出表示的点． 【答案】 如图所示： 【解析】 【分析】作一个直角三角形，两直角边长分别是1和2，这个直角三角形的斜边长就是，然后在数轴上表示出即可． 【详解】首先过O作垂线，再截取AO=2，然后连接A和表示1的点B，再以O为圆心，AB长为半径画弧，与原点右边的坐标轴的交点为． 【点睛】本题考查的知识点是勾股定理的应用，解题关键是找出以为斜边的直角三角形的直角边长． 17. 判断以12，16，20为边长的三角形的形状． 【答案】直角三角形 【解析】 【分析】勾股定理的逆定理：在三角形中，如果有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，再根据勾股定理的逆定理进行判断即可. 【详解】解： 以12，16，20为边长的三角形是直角三角形. 【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，掌握利用勾股定理的逆定理判断三角形是直角三角形是解题的关键. 18. 如图，在中，，根据图中所标数据求阴影部分（长方形）的面积． 【答案】 【解析】 【分析】先利用勾股定理计算的长，再利用长方形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴． ∴阴影部分的面积为． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，熟记勾股定理并灵活运用是解本题的关键． 19. 已知(a－2)的平方根是±2，(2a＋b＋7)的立方根是3，求(a²＋b²)的算术平方根． 【答案】10 【解析】 【分析】根据平方根、立方根的定义和已知条件可知a﹣2＝4，2a+b+7＝27，列方程解出a、b，最后代入代数式求解即可． 【详解】解：∵a﹣2的平方根是±2， ∴a﹣2＝4， ∴a＝6， ∵2a+b+7的立方根是3 ∴2a+b+7＝27 把a的值代入解得： b＝8， ∴a2+b2=36+64=100， 100的算术平方根为10． ∴(a²＋b²)的算术平方根为：10 【点睛】此题考查平方根，立方根的概念，解题关键在于掌握运算法则，难易程度适中． 20. 一块试验田的形状如图，已知，，，，，，求这块试验田的面积． 【答案】 【解析】 【分析】连接，在直角中，由勾股定理可得的长，在中根据三边长度和勾股定理的逆定理可得也是直角三角形，然后再由直角和直角的面积和求得这块试验田的面积即可； 【详解】解：如图，连接， 在中，，，， 由勾股定理可得， ∵，，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴该试验田面积， 故这块试验田的面积是； 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，掌握相关定理是解题关键． 21. 已知a，b，c满足（a﹣）2++＝0． （1）求a，b，c的值； （2）试判断以a，b，c为边长能否构成直角三角形，并说明理由． 【答案】（1）a＝2，b＝4，c＝2， （2）以a，b，c为边长能构成直角三角形，理由如下： ∵， ∴以a，b，c为边长能构成直角三角形． 【解析】 【分析】（1）根据绝对值的非负性、平方的非负性和二次根式的非负性即可求出a，b，c的值； （2）根据勾股定理的逆定理判定即可. 【详解】（1）根据题意得：a﹣＝0，b﹣4＝0，c﹣2＝0， 解得：a＝2，b＝4，c＝2， （2） 略 【点睛】此题考查的是绝对值的非负性、平方的非负性和二次根式的非负性和直角三角形的判定，掌握绝对值的非负性、平方的非负性和二次根式的非负性和利用勾股定理的逆定理判定直角三角形是解决此题的关键. 22. 如图，在中，，若，． （1）求的长； （2）求的面积． 【答案】（1） （2）24 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，三角形面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用勾股定理列式计算，即可作答． （2）结合三角形的面积公式进行列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：∵，，． ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得， ∵， ∴的面积． 23. 如图，一架云梯长，如图那样斜靠在一面墙上．当这架云梯的顶端位于A处时，它的底端位于B处，底端离墙． （1）这架云梯的顶端到地面的距离是多少？ （2）当这架云梯的顶端从A处下滑到处时，它的底端从B处滑动到处，云梯的底端在水平方向滑动了多少米？ 【答案】（1）这架云梯的顶端到地面的距离是 （2）梯子的底端在水平方向滑动了 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理，是解题的关键： （1）利用勾股定理进行求解即可； （2）利用勾股定理求出的长，再利用线段的和差关系进行求解即可． 【小问1详解】 解：在中，由勾股定理得， 即， ∴， 答：这架云梯的顶端到地面的距离是； 【小问2详解】 解：∵梯子的顶端A下滑了4m至点， ∴， 在中，由勾股定理得， 即 ， ∴， ∴ 答：梯子的底端在水平方向滑动了． 24. 如图，将长方形沿着对角线折叠，使点落在处，交于点．此时，若，，求的面积． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，设，则，在中利用勾股定理即可列方程求得x的值，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：由题意得，， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得：， ∴， ∴． 25. 定义：为正整数，若，则称为“完美勾股数”，为的“伴侣勾股数”．如，则13是“完美勾股数”，5，12是13的“伴侣勾股数”． （1）判断填空：数__________“完美勾股数”（填“是”或“不是”）； （2）已知的三边满足．求证：是“完美勾股数”． 【答案】（1）是 （2） 证明： 是“完美勾股数” 【解析】 【分析】本题考查了勾股数，完全平方公式． （1）根据“完美勾股数”的定义判断即可； （2）根据完全平方公式求出的值，再根据“完美勾股数”的定义判断即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴数是“完美勾股数” 故答案为：是 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $