精品解析：浙江省嘉兴市平湖市当湖高级中学2025-2026学年高一上学期9月阶段性测试数学试题

当湖高级中学2025学年第一学期高一年级9月阶段性测试数学试题 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分． 1. 已知集合，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据并集概念进行计算. 【详解】. 故选：C 2. 已知集合，则满足条件的集合的个数有（ ）． A. 6 个 B. 7 个 C. 8 个 D. 9 个 【答案】C 【解析】 【分析】利用子集的定义写出集合即可求解. 【详解】由子集的定义可知集合有，，，，，，，共个，故C正确. 故选：C. 3. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】由全称命题的否定可直接得到结果. 【详解】由全称命题的否定知：原命题的否定为，. 故选：D. 4. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】解绝对值不等式求出，从而得到，，得到答案. 【详解】，解得， 因为，，所以是的必要不充分条件. 故选：B 5. 已知，则函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据换元法，设，得，代入即可求解． 【详解】设，则， 所以， 所以， 故选：D． 6. 已知关于的不等式的解集是，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用三个二次关系计算参数的关系，再解一元二次不等式即可. 【详解】由条件可知，的两个实数根是和，且， 则，得，， 所以，即， 解得：， 所以不等式的解集为. 故选：A 7. 函数的图象与直线的交点个数（ ） A. 至少有1个 B. 至多有1个 C. 仅有1个 D. 可能有无数多个 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的定义判断. 【详解】当x在定义域内任意取一个值,都有唯一的一个函数值与之对应,函数的图象与直线有唯一交点； 当x不在定义域内时,函数值不存在,函数的图象与直线没有交点。故函数 的图象与直线至多有一个交点，即函数的图象与直线的交点至多有一个， 故选：B. 8. 已知函数满足对任意，都有成立，则a的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题得函数在定义域上单调递增，列出不等式组得解. 【详解】因为对任意都有， 所以函数在定义域上单调递增， 所以， 解得， 所以a的范围是 故选：B 二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分． 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列各组函数中，是同一函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】CD 【解析】 【分析】根据同一函数的定义，对每组函数的定义域与对应关系进行比较判断. 【详解】对于选项. 函数，定义域为，化简得. 函数，定义域为. 两函数的定义域虽相同，但对应关系不一致，所以不是同一函数.选项错误. 对于选项. 函数，定义域为. 函数，定义域为，化简得. 两函数对应关系不一致，所以不是同一函数.选项错误. 对于选项. 函数，定义域为，值域为. 函数，定义域为，值域为. 即对，有.故两函数是同一函数.选项正确. 对于选项. 函数，定义域为. 函数，定义域为. 对，有，故两函数是同一函数.选项正确. 故选： 10. 已知 满足且，下列选项中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据，结合不等式的性质，即可由选项逐一求解. 【详解】由于且，故， 对于A,由于，故，A正确， 对于B,，故，B正确， 对于C,若，则，故C错误， 对于D,，故，D正确， 故选：ABD 11. 已知关于x的不等式的解集是，其中，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由一元二次不等式的解集可得判断A、D，再将题设转化为，结合二次函数的性质，应用数形结合的方法判断B、C. 【详解】由题设，不等式，即的解为， ∴，则， ∴，，则A正确，D正确； 原不等式可化为， 令， 由题意可知函数的零点分别为且图象开口向下， 与直线两交点的横坐标分别为，且， 作出函数的大致图象如图所示，    ∴由图知：，，故B错误，C正确. 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12. 设函数，若，则实数a的值为___________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据可知，再结合即可求出a的值． 【详解】∵， ∴， ∴， 故答案为：5． 13. 已知集合，集合，命题：，命题：，若是的充分条件，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用充分条件的定义，结合集合的包含关系列式求解即得. 【详解】命题，命题，由是的充分条件，得，即 因此，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 14. 已知，函数在区间上的最大值是5，则a的取值范围是__________ 【答案】 【解析】 【详解】，分类讨论： ①当时，， 函数的最大值，舍去； ②当时，，此时命题成立； ③当时，， 则：或，解得：或 综上可得，实数的取值范围是． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合 （1）求集合A； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）移项作差把分式不等式转化成一元二次不等式，解不等式即可； （2）利用一元二次不等式的解法把集合具体化，再根据集合的运算法则计算即得答案. 【小问1详解】 由移项得：， 通分：， 等价于：， 因此，不等式的解为：， 集合 . 【小问2详解】 由因式分解得：， 不等式的解集为：， 所以集合 ； 由，得：； 所以. 16. 已知，. （1）用定义判断并证明函数在上的单调性； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）在上为增函数. 证明：任取，，且， 所以. 因为， 所以， 则，即， 所以函数在上为增函数. （2）. 【解析】 【分析】（1）在上为增函数，任取，，且，化简并判断与零的大小关系，得出结论； （2）利用函数的定义域和单调性，列出不等式组，解出实数的取值范围． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，在上单调递增，又， 所以 解得 即， 所以的取值范围是. 【点睛】方法点睛：本题考查定义法判断函数的单调性，考查利用函数的单调性解不等式，考查学生计算能力，定义法证明单调性的步骤： 1.取值，在定义域或者给定区间上任意取任取，不妨设； 2.作差，变形，对化简，通过因式分解或者配方法等，判断出差值的符号； 3.定号，确定差值的符号，当符号不确定时，可以分类讨论； 4.判断，根据定义得出结论． 17. 已知，函数． （1）当时，画出的图象，并写出的单调递增区间； （2）当时，求在区间上的最小值． 【答案】（1） 所以的单调递增区间为：，； （2） 当时，在区间上的最小值为， 当时，在区间上的最小值为， 【解析】 【分析】（1）把代入，将函数分段表示出，画出函数图象，求出单调增区间作答. （2）分类讨论，和，分段求出函数在区间上的最小值. 【小问1详解】 当时，， 作图： 所以的单调递增区间为：，； 【小问2详解】 当时，， 当时，在区间上的最小值为， 当时，在区间上的最小值为， 18. 求下列各式的最值 （1）已知，求函数 的最大值 （2）设，则的最小值 （3）设正实数，，满足，当取得最大值时，求的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用基本不等式可得即可求解； （2）由再利用基本不等式即可求解； （3）由题意可得可得，从而可得得到取等条件及，从而可求得，从而可求解. 【小问1详解】 由题知，则，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以函数 的最大值为. 【小问2详解】 由，，且， 则， 当且仅当，即，时取等号， 所以则的最小值为. 【小问3详解】 由，且，可得， 则， 当且仅当，即时取等号，此时， 所以，当时取到最大值， 所以当取得最大值时的最大值为. 19. 已知函数,，集合． （1）若集合中有且仅有个整数，求实数的取值范围； （2）集合，若存在实数，使得，求实数b的取值范围． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据条件解不等式，即，分、、得到集合，通过二次函数的对称轴分析，又集合中有且仅有3个整数，故个整数只可能是，然后由集合列出不等式组，解不等式组即可得的取值范围； （2）分和两种情况分别写出集合， 对应的解集，根据列出不等式组，综合利用不等式的性质，求出的取值范围即可． 【小问1详解】 由， 由于对称轴为，所以，集合中有且仅有个整数，所以集合的个整数只可能是， 若即时，集合与题意矛盾，所以； 若即时，集合， 则解得， 若即时，集合， 则解得， 综上所述实数的取值范围是； 【小问2详解】 若即时，集合，， 因为，所以即解得， 若即时，集合， 则 设集合，因为，即，如图所示， 则即得， 所以可得，所以，所以 又因为， 所以即. 综上所述的取值范围是． 【点睛】本题考查利用不等式的整数解求参数，由于二次函数的零点之间的大小不确定，需对参数进行讨论，考查了分类讨论思想的应用，同时也考查了利用集合的包含关系求参数，正确理解并表达集合是解题的关键，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 当湖高级中学2025学年第一学期高一年级9月阶段性测试数学试题 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分． 1. 已知集合，则为（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，则满足条件的集合的个数有（ ）． A. 6 个 B. 7 个 C. 8 个 D. 9 个 3. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知，则函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 6. 已知关于的不等式的解集是，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 7. 函数的图象与直线的交点个数（ ） A. 至少有1个 B. 至多有1个 C. 仅有1个 D. 可能有无数多个 8. 已知函数满足对任意，都有成立，则a的范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分． 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列各组函数中，是同一函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 10. 已知 满足且，下列选项中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知关于x的不等式的解集是，其中，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12. 设函数，若，则实数a的值为___________． 13. 已知集合，集合，命题：，命题：，若是的充分条件，则实数的取值范围是______. 14. 已知，函数在区间上的最大值是5，则a的取值范围是__________ 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合 （1）求集合A； （2）． 16. 已知，. （1）用定义判断并证明函数在上的单调性； （2）若，求实数的取值范围. 17. 已知，函数． （1）当时，画出的图象，并写出的单调递增区间； （2）当时，求在区间上的最小值． 18. 求下列各式的最值 （1）已知，求函数 的最大值 （2）设，则的最小值 （3）设正实数，，满足，当取得最大值时，求的最大值． 19. 已知函数,，集合． （1）若集合中有且仅有个整数，求实数的取值范围； （2）集合，若存在实数，使得，求实数b的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $