2025-2026学年人教版数学七年级上册重难点复习3：一元一次方程及应用

2025-2026人教版数学七年级上学期重难点复习3：一元一次方程及应用 一、一元一次方程的相关概念 1．下列四个方程中，一元一次方程是（　　） A． B． C． D． 2．关于x的方程是一元一次方程，则k的值为（　　）． A． B． C． D． 3．方程3x-5=4x+8经移项得3x-4x=8+5，这实际上是在方程两边都加上（　　） A．4x-5 B．4x+5 C．-4x-5 D．-4x+5 4．已知是关于的方程的解，则的值是（　　） A．-5 B．-6 C．-3 D．8 5．下列方程变形中，错误的是（　　） A．变形为 B．变形为 C．变形为 D．变形为 6．将方程去分母得（　　） A． B． C． D． 7．阅读框图，在四个步骤中，依据“等式性质”的步骤是　 　（填序号）． 解： 去括号得：…………① 移项得：…………② 合并同类项得：…………③ 系数化为1得：…………④ 二、解一元一次方程 8．在解方程时，小江的解法如下： 解：去分母，得2（2x-1）=6-x-2...第①步 去括号，得4x-2=6-x-2..第②步 移项，得4x+x=6-2+2...第③步 则5x=6..第④步 解得x=..第⑤步 小江同学的解法正确吗?若不正确，请指出他在第 ▲ 步开始出现错误，并写出 正确的解题过程. 9．解方程： （1）1-3（x-3）=2x （2） 10．解方程 （1）； （2）． 11．解方程 （1） （2）． 三、含参的一元一次方程 12．已知关于 的一元一次方程 的解为 ，则关于 的一元一次方程 的解为 　 　． 13．方程的解与关于x的方程 的解互为倒数，求k的值. 14．嘉琪在做课本上的随堂练习解方程：时，不小心将墨迹盖住了一个数字，跟同桌咨询后得知该方程的解为，求“■”处被墨盖住的数应该是多少？ 15．若关于x的方程2x﹣3=1和 有相同的解，求k的值． 16．小马虎解关于x的方程 去分母时，两边同时乘6，然而方程右边的“-1”忘记乘6，因而求得的解为x .求： （1）的值. （2）此方程正确的解. 17．已知a，b为常数，关于x的方程 无论k为何值，它的解总是x=2，求a+b的值. 18．（1）已知关于x 的二次三项式 当x取某一特殊值x0时，无论a，b如何变化，代数式的值都是定值，请求出x0及该定值. （2）圆圆同学发现关于x的代数式（2k-1）x+k+3一个有意思的性质：当x取某一特殊值x0时，无论 k 的值如何变化，这个代数式的值都是定值.请你求出x0及该定值. 四、一元一次方程的应用 19．某景区定制一批文创用品，要求每套文创用品中包括2个书签和1个冰箱贴。已知生产厂家共有70位工人，每位工人每天可生产15个书签，或生产10个冰箱贴。问厂家如何安排工人才能使得每天生产的书签和冰箱贴刚好配套？若设安排x位工人生产书签，则根据题意可列方程（　　） A．10x=2×15 （70- x） B．15x=2×10 （70-x） C．2×10x=15 （70-x） D．2×15x=10 （70-x） 20．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一，书中记载：“今有人共买鸡，人出九，盈十一：人出六，不足十六，问人数几何？”意思是：“有若干人共同出钱买鸡，如果每人出九钱，那么多了十一钱：如果每人出六钱，那么少了十六钱． 问：共有几个人？”设有x个人共同买鸡，依题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 21．由于换季，商场准备对某商品打折出售，如果按原售价的七折出售，将亏损40元，而按原售价的八五折出售，将盈利20元，则该商品的进货价为　 　元． 22． 2024 年，盲盒风潮依旧不减，各款盲盒层出不穷，让人眼花缭乱．镇海区某工厂共有 800名工人，负责生产 两种盲盒。 （1）若该工厂生产盲盒 的人数比生产盲盒 的人数的 3 倍少 200 人，请求出生产盲盒 的工人人数； （2）为了促销，工厂按商家要求生产盲盒大礼包，该大礼包由 3 个盲盒 和 4 个盲盒 组成．已知每个工人平均每天可以生产 10 个盲盒 或 20 个盲盒 ，且每天只能生产其中的一种盲盒．该工厂应该安排多少名工人生产盲盒 ，多少名工人生产盲盒 才能使每天生产的盲盒正好配套？ 23．工业园区某机械厂的一个车间主要负责生产螺丝和螺母，该车间有工人44人，其中女生人数比男生人数的2倍少10人，每个工人平均每天可以生产螺丝50个或者螺母120个． （1）该车间有男生、女生各多少人？ （2）已知一个螺丝与两个螺母配套，为了使每天生产的螺丝螺母恰好配套，应该分配多少工人负责生产螺丝，多少工人负责生产螺母？ 24．美丽嵊州吸引了很多游客，使民宿经济得到蓬勃发展，甲、乙两个旅行团同时来嵊州旅游，住进了西白山下的同一家农家乐．已知乙团人数比甲团人数多4人，两团人数之和等于72人． （1）问甲、乙两个旅行团的人数各是多少人？ （2）若乙团中儿童人数恰为甲团中儿童人数的3倍少2人，农家乐消费标准为每人每天90元，儿童6折优惠，其余不优惠，若两旅行团在此农家乐每天消费的费用相同，求甲、乙两团儿童人数各是多少人． 五、实践探究题 25．根据表中的素材， 完成下面的任务： 如何设计奖品购买及兑换方案？ 素材 1 文具店销售某种钢笔与笔记本，已知钢笔每支 10 元，笔记本每本 5 元. 素材 2 学校用 1100 元购买这种钢笔和笔记本， 其数量之比为 . 素材 3 文具店开展 "满送" 优惠活动，每满 130 元送1 张兑换券， 满 260 元送 2 张兑换券， 以此类推. 学校花费 1100 元后， 将兑换券全部用于商品兑换最终， 笔记本与钢笔数量相同. （1）【任务一：探究购买方案】分别求出换前购买钢笔和笔记本的数量. （2）【任务二：确定兑换方式】求出用于兑换钢笔的兑换券的张数. 26．七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究宁波地铁的运行． 素材 1 宁波轨道交通 1 号线是宁波第 1 条建成运营的地铁线路，极大地便利了市民的日常出行．为了研究方便，地铁运行过程中速度看成恒定，每相邻两站的间距都可近似看成相等，且每相邻两站之间地铁的运行时间都为 2 分钟，每站停靠时间 30 秒．如图 1 是 1 号线部分线路图： 素材 2 小明觉得可以用数轴上的动点来刻画地铁的运行过程，他以东门口站为原点，建立了如下图 2的数轴．其中数字 1 代表江厦桥东站，数字 2 代表舟孟北路站，以此类推．数轴上的动点 可以用来刻画运动的地铁，动点 每次运动到一个整数点时，都需要暂停 30 秒，代表地铁到站停靠． （1）图2 中数字 5 代表　 　站． （2）如图 2，动点 从原点出发，运动 分钟到数字 3 和数字 4 之间时（不含数字 3 和数字 4），求点 在数轴上表示的数（用含 的代数式表示）． （3）如图 3， 从江厦桥东站上车，往东环南路方向乘坐地铁，同时 从福庆北路站上车，往东门口方向坐地铁．若两辆地铁恰好同时从江厦桥东和福庆北路出发，则出发多久后两人在数轴上刚好相距 2.5 个单位长度． 27．根据一下素材，探索完成任务： 如何设计宣传牌? 素材1 一块长方形宣传牌如图(a)所示，长330cm，宽220cm，拟在上面书写24个字，宣传牌中间可以用来设计的部分也是长方形，且长是宽的1.55倍；四周空白部分的宽度相等. 素材2 如图(b)所示，为了美观，将设计部分分成大小相等的上、中、下三个长方形栏目，栏日与栏日之间的中缝间距相等. 素材3 如图(c)所示，每栏划出正方形方格，中间有十字间隔，横向两行中间间隔和竖向中 间间隔宽度比为1：2. 任务1 (1)分析数量关系.设四周宽度为xcm，用含x的代数式分别表示设计部分的长和宽 任务2 (2)确定四周宽度，求出四周宽度x的值. 任务3 (3)确定栏目大小. ①求每个栏目的竖直高度； ②求长方形栏目与栏目之间中缝的间距 28． 【综合与实践】 木杆与重物 学习了一元一次方程后，老师在综合实践课上让同学们探讨木杆与重物的实验问题，实验通过改变L2的长度和砝码的重量来保持木杆的平衡，并用表格记录了实验数据如下： 【实践发现】 实验次数 左边 右边 砝码重量M1（克） 支点O到左边挂重物处的距离L1（cm） 砝码重量M2（克） 支点O到右边挂重物处的距离L2（cm） 1 20 40 20 40 2 20 40 40 20 3 20 40 60 13.33 4 20 40 80 10 5 20 40 100 8 … M1 L1 M2 L2 小明从表中发现这样的规律：， ， ， ， ，… . 【实践运用】根据上面规律解决下列问题： （1）若，则L2=　 　cm； （2）若M1的重量是50克，L1的长度是40cm，L2的长度是10cm，则M2等于多少克才能保持木杆平衡？ （3）学习小组根据这个原理自制了一个杆秤，如图所示，提纽处O是支点，已知AO为5cm，秤砣重量是500克，不放重物时，秤砣放在C处时秤杆平衡，此时，放入重物时，秤砣放在B处时秤杆平衡，此时，则重物的重量约是多少斤？（1斤=500克） 29．某学习小组开展了以“居民用电如何计费”为主题的项目化学习． 学习小组首先了解了浙江省电网销售电价： 单位：元/千瓦时（含税） 普通电价 峰时电价 谷时电价 第一阶梯：年用电量2760千瓦时及以下部分 0.5380 0.5680 0.2880 第二阶梯：年用电量2760~4800（不包含2760）千瓦时部分 0.5880 0.6180 0.3380 第三阶梯：年用电量4800（不包含4800）千瓦时以上部分 0.8380 0.8680 0.5880 备注：居民生活用电分时电价时段划分：高峰时段：8：00-22：00，低谷时段：22：00-次日8：00． 然后对“月用电量200千瓦时（其中峰电100千瓦时）需缴多少电费？”探究结果如下： 不使用峰谷电 使用峰谷电 第一阶梯 （元） （元） 第二阶梯 （元） ②________元 第三阶梯 ①________元 （元） 请依据上述素材，解答下列问题： （1）填空：表中①________；②________ （2）已知晶晶家在2024年5月用电量为300千瓦时，且处于第一阶梯，她建议爸爸妈妈申请办理峰谷电，因为用峰谷电可以使本月电费减少元，请问晶晶家5月份用了多少千瓦时的峰电，多少千瓦时的谷电？ （3）2024年10月份小菲家用电量为200千瓦时，小华家用电量比小菲家少，在两家都不使用峰谷电的情况下，小华家的当月电费却超过了小菲家元，求小华家当月用电量（结果精确到1千瓦时）． 30．综合与实践：设计完成工程的最短工期方案（最短工期是指完成某项工程所需的最短时间）． 【背景素材】某公司要生产某大型产品60件，已知甲，乙，丙三家子工厂完成一件产品的时间分别为4天，6天，5天．现计划：①三家子工厂同时开始生产；②分配给甲工厂的数量是丙的2倍． 【问题解决】为设计方案，可以通过特殊情况或满足部分条件逐步进行探究． （1）思考1（特值分析）：若该公司将20件产品分配给甲工厂，则最短工期为多少天？ （2）思考2（减少要素）：若不考虑素材②，仅由甲、乙两工厂完成，则当两家工厂同时完成生产时工期最短，求如何分配产品件数与最短工期． （3）思考3（方案探究）：如何分配三家工厂的生产任务使得工期最短，并求出最短工期．（注：如你直接挑战思考3并正确解答也给满分） 31．综合与实践：在学习《整式的加减》时，我们探究了月历中数字之间的关系和变化规律．已知月历中同行的数从左向右依次递增1，同列的数从上向下依次递增7． （1）探究1 图1是某月的月历，现要探究带阴影的“口”字方框中的4个数（框中圈出的数没有空白）的数量关系，方框可以任意移动；小明是先假设左上角的数为m，他通过计算发现斜对角的两个数字之和均为　 　，从而他得出结论：“口”字方框中的4个数满足斜对角两数之和　 　（填“相等”或“不相等”）； （2）探究2 小明又探究了图2中带阴影的十字方框中的5个数（框中圈出的数没有空白）的数量关系，发现当十字框任意移动位置时这5个数之和总是5的倍数，请你通过计算说明他的结论成立的理由； （3）探究3 小明还探究了在图3中任意选取“H”形框中的7个数（如阴影部分所示）的规律，他认为这7个数的和可以是133，你认为他的说法正确吗？并说明理由． 答案解析部分 1．【答案】D 2．【答案】B 3．【答案】D 4．【答案】C 5．【答案】B 6．【答案】B 7．【答案】②，④ 8．【答案】解：第①步开始出现错误， 正解： 2(2x-1)=6-(x-2) 4x-2=6-x+2 4x+x=6+2+2 5x=10 x=2 9．【答案】（1）解：1-3(x-3)=2x 1-3x+9=2x 5x=10 x=2 （2）解：2(3x-2)=4x-1-6 6x-4=4x-7 2x =-3 x= 10．【答案】（1）解： 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得； （2）解： 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化1得． 11．【答案】（1）解：去括号得：， 移项合并得：， 解得： （2）解：去分母得：， 移项合并得： 12．【答案】-2025 13．【答案】解：， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 化系数为1，得x=. ∵的倒数是， ∴将x=代入方程， 则， 解得k=1. 14．【答案】解：设被墨水盖住的数是m， 则方程为2−(m−x)＝−2， 移项得：2＋2＝m−x， 合并同类项得：m−x＝4， ∴x＝m−4． 将x＝－3代入x＝m−4，得m−4＝－3， ∴m＝1， 即“■”处被墨盖住的数应该是1. 15．【答案】解：方程2x-3=1的解是x=2， 把x=2代入 =k-3x，得 解得 16．【答案】（1）解：由题意可知x=4是方程2(2x-1)=3(x+a)-1的解， 所以：2×7=3(4+a)-1， 所以a=1， 所以 ； （2）解：由(1)，得原方程为 17．【答案】解：把x=2代入方程 得 2（2k+a）=6-（4+ bk）， 4k+2a=6-4-bk， （4+b）k=2-2a， ∵无论k为何值，它的解总是x=2， ∴4+b=0，2-2a=0， 解得b=-4，a=1， ∴a+b=-3. 18．【答案】（1）解：原式 1）b+3， ∴当 且x-1=0时，原式=3. 由x-1=0解得x=1， 当x=1时， 定值为3. （2） 解：原式=2kx-x+k+3=(2x+1)k+3-x， ∴当2x+1=0，即 x=时， 原式 =3-x=3-（）=. ∴x0=，定值为 19．【答案】B 20．【答案】A 21．【答案】320 22．【答案】（1）解：设该工厂生产盲盒B的工人人数为x，则生产盲盒A的人数为(3x﹣200). 根据题意，得 x+(3x﹣200)＝800 解得 x＝250 答：该工厂生产盲盒B的工人人数为250. （2）解：设该工厂安排a名工人生产盲盒A，(800﹣a)名工人生产盲盒B 根据题意，得 解得 a＝480 则800﹣a＝320 答：该工厂应该安排480名工人生产盲盒A，320名工人生产盲盒B 23．【答案】（1）解：设该车间有男生x人，则女生人数是人，则 ． 解得 则． 答：该车间有男生18人，则女生人数是26人． （2）解：设应分配y名工人生产螺丝， 该车间有工人44人 ，则名工人生产螺母， 因为每个工人平均每天可以生产螺丝50个或者螺母120个 ， 所以 解得：， 答：分配24名工人生产螺丝，20名工人生产螺母． 24．【答案】解：（1）设甲旅行团的人数为x人，那么乙旅行团的人为(x+4)人， 由题意得：x+x+4=4×18， 解得：x=34， ∴x+4=38 答：甲、乙两个旅行团的人数各是34人，38人． （2）设甲团儿童人数为m人，则可知乙团儿童人数为（3m﹣2）人， 则甲团成人有（34﹣m）人，乙团成人有（38﹣3m+2）人． 根据题意列方程得： 90（34﹣m）+m×90×60%=90（38﹣3m+2）+（3m﹣2）×90×60%， 解得：m=6． 则3m﹣2=16． 答：甲团儿童人数为6人，乙团儿童人数为16人． 25．【答案】（1）解：设兑换前购买钢笔的数量为x，则笔记本的数量为. 根据题意，得，解得x=80. 故. 即购买钢笔80支，购买笔记本60本. （2）解：1100÷130=8……60，可知学校花费1100元后，能兑换8张兑换券. 由（1）可知，使用兑换券前购买了钢笔80支，笔记本60本. 则设用了a张兑换券用于兑换钢笔，则8-a张兑换券用于兑换笔记本，根据题意，有 80+2a=60+4（8-a），解得a=2. 即用于兑换钢笔的兑换券的张数为2. 26．【答案】（1）世纪大道 （2）点P在数轴上表示的数为 （3）解：设A运动t分钟后在数轴上表示的数为a ① 当两辆地铁相遇前相距2.5个单位长度时 a＝＝2.75 则t＝＝4(分钟) ② 当两辆地铁相遇后相距2.5个单位长度时 a＝＝5.25 则t＝＝10.5(分钟) 综上所述，出发4分钟或10.5分钟后两人相距2.5个单位长度 27．【答案】解：（1）根据题意，设计部分的长为（330﹣2x）cm，宽为（220﹣2x）cm．（2）∵设计的部分也是长方形，且长是宽的1.55倍， ∴330﹣2x＝1.55（220﹣2x），解得x＝10． ∴四周宽度是10cm．（3）①设计部分的长为330﹣2×10＝310（cm），宽为220﹣2×10＝200（cm）， 设每个栏目的竖直高度为y cm，每栏横向两行中间间隔是a cm，则竖向中间间隔宽度为2a cm， 根据正方形边长相等，可得，解得y＝100． ∴每个栏目的竖直高度为100cm． ②∵＝5（cm）， ∴长方形栏目与栏目之间中缝的间距为5cm． 28．【答案】（1）16 （2）解：50×40=10M2 M2=200 答：M2等于200克才能保持木杆平衡. （3）解：设物体的重量约是m克，则 5m=（211）×500 m=2000 2000÷500=4（斤） 答：重物的重量约是4斤. 29．【答案】（1）①，② （2）解：设晶晶家5月份用了x千瓦时的峰电，则谷电用了千瓦时． 由题意得， 解得． 所以谷电（千瓦时）． 答：晶晶家5月份用了120千瓦时的峰电，180千瓦时的谷电． （3）解：∵小华家用电量比小菲家少，可是当月电费却超过了小菲家，∴小华和小菲家的电费不在同一阶梯． 设小华家当月用电量为x千瓦时． ①若小菲家处于第一阶梯，小华家处于第二阶梯， 则由题意得， 解得， 与已知矛盾，故舍去． ②若小菲家处于第一阶梯，小华家处于第三阶梯， 则由题意得， 解得，符合题意． ③若小菲家处于第二阶梯，小华家处于第三阶梯， 则由题意得， 解得，符合题意． 综上所述，小华家当月用电量为150千瓦时或162千瓦时． 30．【答案】（1）解：思考1：分配给甲工厂20件时，分配给丙工厂10件，分配给乙工厂件， 甲完成的时间为：（天）， 乙完成的时间为：（天）， 丙完成的时间为：（天）， 因此最短工期为180天； （2）解：思考2：设分配给甲工厂x件，分配给乙工厂件， 则， 解得， 则，， 因此分配给甲工厂36件，分配给乙工厂24件，最短工期为144天； （3）解：思考3：设分配给丙工厂件，分配给甲工厂件，分配给乙工厂件， 甲完成的时间为：（天）， 乙完成的时间为：（天）， 丙完成的时间为：（天）， ， 当甲、乙两家工厂同时完成生产时工期最短， 则， 解得， 为整数， 应取13或14， 当时，甲、乙完成的时间分别为104天，126天，最短工期为126天； 当时，甲、乙完成的时间分别为112天，108天，最短工期为112天； ， 时，工期最短， 即分配给甲，乙，丙工厂的产品数量分别为28件，18件，14件，最短工期为112天． 31．【答案】（1）；相等 （2）解：设十字方框中的5个数中间的数是a，则另4个数是， ， 十字框任意移动位置时这5个数之和总是5的倍数. （3）解：设“H”形框中的7个数中间的数是b，则另6个数是， 根据题意得：， 解得：， 因19在这一排的最左边，故不合题意， 所以这7个数的和不可以是133，他的说法错误． 1 学科网（北京）股份有限公司 $