14.2 三角形全等的判定 课件 2025-2026学年人教版数学八年级上册

14.2 三角形全等的判定 课时1 用“SAS”判定三角形全等 第十四章 全等三角形 22051 1.探索并正确理解三角形全等的判定方法“SAS”. 2.经历探索三角形全等的过程，会用“SAS”判定方法证明两个三角形全等及进行简单的应用. 3.了解“SSA”不能作为两个三角形全等的条件. 学习目标 22051 【问题】如图有一池塘.要测池塘两端A、B的距离，可无法直接到达，因此这两点的距离无法直接量出.你能想出办法来吗？ A B 在平地上取一个可直接到达A和B的点C， 连接AC并延长至D使CD=CA 连接BC并延长至E使CE=CB 连结ED， 那么量出DE的长，就是A、B的距离. C E D 为什么？ 情境导入 22051 在上一节，我们学习了全等三角形的性质，知道了全等三角形的对应边相等、对应角相等． 反过来，具备什么条件的两个三角形全等呢？ 我们从构成三角形的元素——边、角的关系出发，研究三角形全等的判定方法. 新知讲解 22051 根据全等三角形的定义，如果△ABC与△DEF满足三条边分别相等，三个角分别相等，即 AB=DE，AC=DF，BC=EF，∠A =∠D， ∠B =∠E， ∠C =∠F， 就能判定△ABC△DEF 能否在上述六个条件中选择部分条件，简捷地判定两个三角形全等呢? 我们按照条件由少到多的顺序进行研究. 新知讲解 22051 【探究1】先任意画出一个△ABC．再画一个△A'B'C'，使△ABC与△A'B'C'满足上述六个条件中的一个（一边或一角分别相等），你画出的△A'B'C'与△ABC一定全等吗？ 1.有一条边相等的两个三角形 2.有一个角相等的两个三角形 当满足一个条件时，不能确保两个三角形全等. 新知讲解 22051 【探究2】满足上述六个条件中的两个条件可以判定两个三角形全等吗？ 如果给出两个条件，有哪几种情况？ ①有两个角对应相等的两个三角形 ③有一个角和一条边对应相等的两个三角形 ②有两条边对应相等的两个三角形 新知讲解 22051 ①有两条边分别相等，可以判定两个三角形全等吗？ 不能 新知讲解 22051 ②有两个角分别相等，可以判定两个三角形全等吗？ 不能 新知讲解 22051 ③有一条边一个角对应相等，可以判定两个三角形全等吗？ 不能 新知讲解 22051 2.两个条件： （3）两角；（4）两边；（5）一边一角． 结论：只给出一个或两个条件时，都不能保证所画的三角形一定全等. 1.一个条件： （1）一角；（2）一边． 归纳 22051 【探究3】满足上述六个条件中的三个条件相等，可以判定的三角形全等吗？ 直观上，如果∠A， AB， AC的大小确定了，△ABC的形状、大小也就确定了，也就是说，在△A′B′C′与△ABC中，如果∠A′ = ∠A， A′B′ = AB， A′C′=AC，那么△A′B′C′△ABC.这个判断正确吗？ A′ B′ C′ A B C 新知讲解 22051 如图，由∠A′ =∠A可知， ①如果使点A′与点A重合，并且使射线A′B′与射线AB重合，那么射线A′C′与射线AC重合; ②再由A′B′ = AB， A′C′ = AC，可知点B′，C′分别与点B，C重合. 这样， △A′B′C′的三个顶点与△ABC的三个顶点分别重合， △A′B′C′与△ABC能够完全重合，因而△A′B′C′ △ABC. 新知讲解 22051 “边角边”判定方法： 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等. (简写成“边角边”或“SAS”). 在△ABC 和△A′B′C′中， AB = A′B′ ，∠A=∠A′， AC=A′C′， ∴△ABC△A′B′C′(SAS). 是两边的“夹角” 几何语言： A′ B′ C′ A B C 归纳 22051 A B C E D 根据前面所学的内容可知在△ABC 与△EDC中： ∵CD=CA,∠ECD=∠ACB,CE=CE ∴ △ABC△EDC，∴DE=BA 在平地上取一个可直接到达A和B的点C， 连接AC并延长至D使CD=CA 连接BC并延长至E使CE=CB 连结ED， 那么量出DE的长，就是A、B的距离.为什么？ 【解答导入问题】如图有一池塘.要测池塘两端A、B的距离，可无法直接到达，因此这两点的距离无法直接量出.你能想出办法来吗？ 新知讲解 22051 因为全等三角形的对应边相等、对应角相等，所以在证明线段相等或角相等时，可以通过证明它们是全等三角形的对应边或对应角来解决. 例1 如图，AC=AD，AB平分∠CAD，求证∠C =∠D. 分析：如果能证明△ABC△ABD， 就可以得出∠C =∠D. 由题意可知，△ABC与△ABD 具备“边角边”的条件. 例题讲解 22051 例1 如图，AC=AD，AB平分∠CAD，求证∠C =∠D. 证明：∵ AB平分∠CAD 在△ABC 和△ABD 中， ∴△ABC△ABD(SAS). AC = AD， ∠CAB= ∠DAB AB = AB， ∴ ∠CAB = ∠DAB ∴ ∠C = ∠D AB既是△ABC的边又是△ABD 的边，我们称它为这两个三角形的公共边. 例题讲解 22051 【思考】我们知道，如果两个三角形的两边和它们的夹角分别相等，那么这两个三角形全等，如果两个三角形的两边和其中一边的对角分别相等，那么这两个三角形全等吗? 新知讲解 22051 如图，△ABC 和△ABD 满足两边和其中一边的对角分别相等，即 AB=AB，AC=AD，∠B=∠B，但△ABC 与△ABD 不全等. 两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等(SSA不能作为两个三角形全等的条件). B A C D 新知讲解 22051 边角边 内容 有两边及夹角对应相等的两个三角形全等（简写成 “SAS”) 应用 为证明线段和角相等提供了新的证法 注意 1.已知两边，必须找“夹角” 2.已知一角和这角的一夹边，必须找这角的另一夹边 课堂小结 22051 1.如图所示，已知∠1=∠2，若用“SAS.”证明△ACB△BDA，还需要加上条件（ ） A.AD=BC B.AC=BD C.∠C=∠D D.OA=OB B 随堂小练 基础 22051 2.如图 所示，BE=CD,AE=AD,∠1=∠2，∠2=100°，∠BAE=60°则∠CAE的度数为（ ） A.20° B.30° C.40° D.50° C 随堂小练 基础 22051 3. 如图，已知ABC，下面甲、乙、丙、丁四个三角形中，与△ABC全等的是（ ） B 随堂小练 基础 22051 4.如图，AC=BC，AE=CD，AE⊥CE于点E，BD⊥CD于点D，AE=7，BD=2，则DE的长是（ ） A.7 B.5 C.3 D.2 B 随堂小练 基础 22051 5.已知：如图，A、F、C、D在同一直线上，AB//DE，AB=DE，AF=CD， 求证：(1)BC=EF；(2)BC//EF. 证明：(1)∵ AB//DE 在△ABC 和△DEF中， △ABC△DEF(SAS). AB=DE， ∠A=∠D AC=DF， ∴ ∠A = ∠D ∴ BC = EF ∵AF=CD，CF=CF 随堂小练 提升 22051 证明：(2)∵ △ABC△DEF(SAS). ∴ ∠BCA= ∠EFD ∴ BC//EF （内错角相等，两直线平行） 5.已知：如图，A、F、C、D在同一直线上，AB//DE，AB=DE，AF=CD， 求证：(1)BC=EF；(2)BC//EF. 随堂小练 提升 22051 14.2 三角形全等的判定 课时2 用“ASA”或“AAS”判定三角形全等 第十四章 全等三角形 22051 1.探索并掌握“ASA”和“AAS”判定方法； 2.会用“ASA”和“AAS”判定方法证明两个三角形全等； 3.经历猜想，作图验证，逻辑推理的几何探究过程，发展问题分析能力和几何表述能力. 学习目标 22051 如图，小明不慎将一块三角形玻璃打碎为三块，他是否可以只带其中的一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具吗？如果可以，带哪块去合适？ 你能说明其中理由吗？ 首先可以淘汰哪块玻璃？ 情境导入 22051 ②:延长后不与原玻璃大小相同 如图，小明不慎将一块三角形玻璃打碎为三块，他是否可以只带其中的一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具吗？如果可以，带哪块去合适？ 你能说明其中理由吗？ 情境导入 22051 ③:延长后仍不与原玻璃大小相同 如图，小明不慎将一块三角形玻璃打碎为三块，他是否可以只带其中的一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具吗？如果可以，带哪块去合适？ 你能说明其中理由吗？ 情境导入 22051 那么只能选择①号玻璃，为什么呢？ 如图，小明不慎将一块三角形玻璃打碎为三块，他是否可以只带其中的一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具吗？如果可以，带哪块去合适？ 你能说明其中理由吗？ 情境导入 22051 通过这块碎玻璃我们能够了解原三角形的哪些信息，你的猜想是什么？由此我们可以得出全等三角形新的判定方法吗？ 通过碎片我们可以得知原三角形的两个角及它们的夹边 猜想：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等. 新知讲解 22051 【探究1】如图，直观上，AB，∠A，∠B 的大小确定了，△ABC 的形状、大小也就确定了. 也就是说，在△A'B'C' 与△ABC 中，如果 A'B' = AB，∠A' =∠A， ∠B' =∠B，那么△A'B'C'△ABC. 这个判断正确吗？ A′ B′ C′ A B C 新知讲解 22051 C A B (A') (B') (C') 如图，由 A'B' = AB可知， ①使点 A 与点 A' 重合，点 B' 在射线 AB 上，那么点 B' 与点 B 重合; ②由∠A' =∠A， ∠B' =∠B， 可知射线 A'C' 与射线 AC 重合，射线 B'C' 与射线 BC 重合，于是射线 A'C'，B'C' 的交点C' 与射线 AC，BC 的交点C重合. 这样， △A′B′C′的三个顶点与△ABC的三个顶点分别重合， △A′B′C′与△ABC能够完全重合，因而△A′B′C′ △ABC. 新知讲解 22051 “角边角”判定方法： 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等 (简写成“角边角”或“ASA”). 在△ABC 和△A′B′C′中， ∠A = ∠A′， AB = A′B′ ， ∠B = ∠B ′ ， ∴△ABC△A′B′C′ (ASA). 是两角的“夹边” 几何语言： A′ B′ C′ A B C 归纳 22051 例2 如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，∠B=∠C.求证AD=AE. 分析：如果能证明△ACD△ABE，就可以得出AD=AE．由题意可知，△ACD和△ABE具备“角边角”的条件. 证明：在△ACD和△ABE ∴△ACD△ABE(ASA). ∠A =∠A， AC= AB ∠C =∠B， ∴ AD = AE 例题讲解 22051 【探究2】如果两个三角形的两角和其中一组等角的对边分别相等，那么这两个三角形全等吗？ 分析：根据三角形的内角和定理，如果两个三角形的两个角分别相等，那么它们的另一个角也相等．这样，可以利用“角边角”的基本事实，就可以判定这两个三角形全等， 新知讲解 22051 如图，在△ABC 和△A‘B’C‘中，∠A=∠A'，∠B=∠B'，BC=B'C'．请你按照上述思路证明△ABC△A'B'C'. ∴△ACD△ABE(ASA). ∠B =∠B' ， BC= B'C' ∠C =∠C' ， 证明： ∵ ∠A=∠A'，∠B=∠B' ∴ ∠C=∠C' 在△ABC和△A'B'C'. 新知讲解 22051 “角角边”判定方法： 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(简写成“角角边”或“AAS”). 在△ABC 和△A′B′C′中， ∠A = ∠A′， ∠B = ∠B ′ ， BC = B′C′ ， ∴△ABC△A′B′C′ (AAS). 是等角的“对边” 几何语言： A′ B′ C′ A B C 归纳 22051 内容 两角及夹边对应相等的两个三角形全等 （简写成“ASA”） 两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等 （简写成“AAS”） 角边角 角角边 应用 为证明三角形全等，进一步证明线段相等和角度相等提供了新的证法 注意 注意“角角边”、“角边角”中两角与边的区别 课堂小结 22051 1.下列各图中a,b,c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是（　　） A．甲和乙 B．乙和丙 C．甲和丙 D．只有丙 B 随堂小练 基础 22051 2. 在△ABC与△A′B′C′中，已知∠A＝44°，∠B＝67°，∠C′＝69° ，∠A′＝44°，且AC＝A′C′，那么这两个三角形（　 ） A．一定不全等　 B．一定全等　 　 C．不一定全等　　 D．以上都不对 B 随堂小练 基础 22051 3.如图，已知∠ACB=∠DBC，∠ABC=∠CDB，判别下面的两个三角形是否全等，并说明理由. 不全等，因为BC虽然是公共边，但不是对应边. A B C D 随堂小练 基础 22051 4.如图，△ABC的两条高AD，BE相交于点F，请添加一个条件，使得△ADC△BEC（不添加其他字母及辅助线），你添加的条件是___________.　 AC=BC 随堂小练 基础 22051 5.已知：如图， AB⊥BC，AD⊥DC，∠1=∠2, 求证：AB=AD. A C D B 1 2 证明： ∵ AB⊥BC，AD⊥DC， ∴∠B=∠D=90 °. 在△ABC和△ADC中， ∠1=∠2（已知）， ∠B=∠D（已证）， AC=AC （公共边）， ∴ △ABC△ADC (AAS)， ∴AB=AD. 随堂小练 提升 22051 6.已知：如图，△ABC△A′B′C′ ，AD，A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的高.试说明AD＝A′D′ ，并用一句话说出你的发现. A B C D A ′ B ′ C ′ D ′ 随堂小练 提升 22051 证明：∵△ABC△A′B′C′ ， ∴AB=A'B'（全等三角形对应边相等）， ∠ABD=∠A'B'D'（全等三角形对应角相等）. ∵AD⊥BC，A'D'⊥B'C'， ∴∠ADB=∠A'D'B'. 在△ABD和△A'B'D'中， ∠ADB=∠A'D'B'（已证），∠ABD=∠A'B'D'（已证）， AB=AB（已证）， ∴△ABD△A'B'D'.所以AD=A'D'. 全等三角形对应边上的高也相等. A B C D A ′ B ′ C ′ D ′ 随堂小练 提升 22051 14.2 三角形全等的判定 课时3 用“SSS”判定三角形全等 第十四章 全等三角形 22051 1.探索并掌握“边边边”判定方法，并会用“边边边”证明三角形全等. 2.能用尺规作图：已知三边作三角形. 3.构建三角形全等条件的探索思路，体会研究几何问题的方法. 学习目标 22051 我们已经学过的判定两个三角形全等的方法有哪些？ 前面我们研究了两个三角形的两边和一角(SAS)分别相等的情况，以及两角和一边(ASA、AAS)分别相等的情况. 接下来研究三边、三角分别相等的情况. 复习导入 22051 【探究】如图，直观上，AB，BC，CA的大小确定了，△ABC的形状、大小也就确定了．也就是说，在A'B'C'与△ABC 中，如果 A'B'=AB，B'C'=BC，C'A'=CA，那么△A'B'C‘≌△ABC.这个判断正确吗？ A C B A′ B′ C′ 新知讲解 22051 C A B (A') (B') (C') 如图，由 A'B' = AB可知， ①使点 A 与点 A' 重合，点 B' 在射线 AB 上，那么点 B' 与点 B 重合; ②使点 C' 落在直线 AB 的含有点 C 的一侧； ③点 C 是以点 A 为圆心、AC 为半径的圆和以点 B 为圆心、BC 为半径的圆的交点，点 C' 是以点 A' 为圆心、A'C' 为半径的圆和以点 B' 为圆心. 这样， △A′B′C′的三个顶点与△ABC的三个顶点分别重合， △A′B′C′与△ABC能够完全重合，因而△A′B′C′ △ABC. 新知讲解 22051 “角边角”判定方法： 三边分别相等的两个三角形全等. (简写成“边边边”或“SSS”). 在△ABC 和△A′B′C′中， AB = A′B′ BC = B′C′ AC = A′C′ ∴△ABC△A′B′C′ (ASA). 几何语言： A′ B′ C′ A B C 归纳 22051 【思考】为什么三角形具有稳定性？ 三角形的三边确定一个三角形的形状和大小. 用三根木条钉成一个三角形后，三角形木架的形状、大小就不变了，也就是三角形具有稳定性. 新知讲解 22051 上面的分析过程也告诉我们： 已知三角形的三边，可以利用直尺和圆规作一个三角形. 如图，已知三条线段 a，b，c（其中任意两条线段的和大于第三条线段），求作△ABC，使其边分别为 a，b，c. a b c 新知讲解 22051 a b c 作法：(1) 作线段 AB = c； (2) 分别以点 A，B 为圆心，线段 b，a 为半径作弧，两弧相交于点 C； (3) 连接 AC，BC，则△ABC 就是所求作的三角形. A B C c b a 新知讲解 22051 例3 在如图所示的三角形钢架中，AB = AC，AD 是连接点 A 与 BC 中点 D 的支架. 求证 AD⊥BC. 分析：如果△ABD△ACD，那么∠ADB = ∠ADC，从而有AD⊥BC.而△ABD与△ACD具备“边边边”的条件. 公共边AD AB = AC BD = CD D是 BC 的中点 AD = AD 例题讲解 22051 证明：∵D 是 BC 的中点，∴BD = CD， ∴△ABD△ACD （SSS）， AB = AC， BD = CD， AD = AD， ∴ ∠ADB = ∠ADC， 在△ABD 和△ACD 中， 又∵∠ADB +∠ADC = 180°，∴∠ADB = 90°， ∴AD⊥BC . 例3 在如图所示的三角形钢架中，AB = AC，AD 是连接点 A 与 BC 中点 D 的支架. 求证 AD⊥BC. 例题讲解 22051 【思考】三角分别相等的两个三角形全等吗？ 三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 新知讲解 22051 判定方法 简称 图示 A B C C' A' B' A B C C' A' B' A B C C' A' B' A B C C' A' B' 三边分别相等 两边和它们的 夹角分别相等 两角和它们的 夹边分别相等 两角分别相等且其中 一组等角的对边相等 SSS SAS AAS ASA 归纳 22051 边边边(SSS) 三边分别相等的两个三角形全等（SSS）. 尺规作图：已知三角形的三边作三角形. 课堂小结 22051 1.如图，D,F是线段BC上的两点，AB=EC，AF=ED， 要使△ABF△ECD ，还需要条件 (填一个条件即可）. A E B D F C BF=CD 随堂小练 基础 22051 2.如图，AB＝CD，AD＝BC, 则下列结论： ①△ABC△CDB； ②△ABC△CDA； ③△ABD△CDB； ④ BA∥DC. 正确的个数是 ( ) A . 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 C O A B C D 随堂小练 基础 22051 3. 已知：如图，AB=AE，AC=AD，BD=CE，求证：△ABC△AED. 证明：∵BD=CE, ∴BD－CD=CE－CD . ∴BC=ED . 在△ABC和△ADE中， AC=AD（已知）， AB=AE（已知）， BC=ED（已证）， ∴△ABC△AED（SSS）. 随堂小练 提升 22051 4.已知：∠AOB．求作：∠A'O'B'，使∠A'O′B'=∠AOB, （1）如图1，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C,D； （2）如图2，画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径作弧，交O′A′于点C′； （3）以点C′为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧交于点D′； （4）过点D′画射线O′B'，则∠A'O'B'=∠AOB． 根据以上作图步骤， 请你证明∠A'O'B′=∠AOB． 随堂小练 提升 22051 证明：由作法得OD=OC=O′D′=O′C′，CD=C′D′， 在△OCD和△O′C′D′中 ∴△OCD△O′C′D′（SSS）， ∴∠COD=∠C′O′D′，即∠A'O'B′=∠AOB． 随堂小练 提升 22051 5.如图，AB＝AC，BD＝CD，BH＝CH，图中有几组全等的三角形？它们全等的条件是什么？ △ABD△ACD(SSS) AB=AC， BD=CD， AD=AD， △ABH△ACH(SSS) AB=AC， BH=CH， AH=AH， △BDH△CDH(SSS) BH=CH， BD=CD， DH=DH， H D C B A 随堂小练 提升 22051 14.2 三角形全等的判定 课时4 用三角形全等的判定解决尺规作图问题 第十四章 全等三角形 22051 1.会用尺规作一个角等于已知角，了解作图的原理. 2.通过尺规作图，提升对几何知识的综合运用能力以及动手操作能力. 学习目标 22051 【思考】线段和角都是基本的几何图形，也是构成其他几何图形的元素，我们已经学习了作一条线段等于已知线段的尺规作图，如何用直尺和圆规作一个角等于已知角呢？ 新课导入 22051 a A a B 作一条线段等于已知线段： a a B 新知讲解 22051 如图，已知∠AOB，要用直尺和圆规作一个角与其相等. O A B 作一个角等于已知角： 关键是能用直尺和圆规确定∠AOB 的大小. 新知讲解 22051 分析：对于一个三角形，其三条边、三个角是确定的，如果能将∠AOB“放在”某个三角形中，作为其一个角，而我们又能用直尺和圆规作出这个三角形，那么就说明可以用直尺和圆规确定∠AOB.进而再作出一个与其全等的三角形，根据全等三角形的性质，∠AOB 的对应角就是要求作的角. O A B 新知讲解 22051 【思考】如何围绕∠AOB 构建一个三角形？ 如图，在∠AOB 的边 OA，OB 上分别取点 C，D，连接 C，D，得到△COD. ∠AOB 就是△COD的一个内角. C D 为了作图方便，一般取OC = OD. O A B 新知讲解 22051 O' C' D' 再作出△C'O'D' ，使 △C'O'D' △COD，则∠C'O'D' =∠COD=∠AOB 由此我们得到作一个角∠ A'O'B'等于已知角∠ AOB 的方法. C D O A B 新知讲解 22051 已知：∠AOB. 求作： ∠A′O′B′ 使∠A′O′B′ =∠AOB . O D B C A O′ C′ B′ D′ 作法：（1）以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D； （2）作一条射线O′A′ ，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′； （3）以点 C′ 为圆心，CD 长为半径画弧，与第(2)步中所画的弧交于点D′； （4）过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′=∠AOB. A′ 新知讲解 22051 与“作一条线段等于已知线段”一样，“作一个角等于已知角”也是基本、常用的尺规作图，利用它可以进一步完成其他尺规作图. 例4 如图，已知直线 AB 及直线 AB 外一点 C，利用直尺和圆规过点 C 作直线 AB 的平行线 CD. C A B 分析：我们知道，同位角相等，两直线平行．可以利用这个结论，过点C作直线AB的平行线CD．为此需要先作出截线，再作出相等的同位角. 例题讲解 22051 作法：（1）过点 C 作一条直线，与直线 AB 相交于点 E； （2）在点 C 处作∠CEB 的同位角∠FCD，使∠FCD=∠CEB； C A B E F D （3）反向延长 CD，得直线 CD，则直线 CD // AB. 你还有其他的方法吗？ 例题讲解 22051 利用“内错角相等，两直线平行”，过点C作直线AB的平行线CD. E F D 如图，直线 CD 即所求作直线. C A B 例题讲解 22051 例5 如图，已知线段 a，b 和∠α，求作△ABC，使 AB = a，AC = b，∠A =∠α. α b a 例题讲解 22051 b a （2）在射线AD上截取AB = a，在射线AE上截取AC = b； （3）连接BC．△ABC 就是所求作的三角形． 作法：（1）作∠DAE =∠α； B C α E A D α 例题讲解 22051 尺规作图 作一个角等于已知角，依据：SSS 过直线外一点作这条直线的平行线, 依据：“同位角相等，两直线平行” 或“内错角相等，两直线平行” 已知两边及其夹角作三角形， 已知两角及其夹边作三角形. 课堂小结 22051 1.已知点C在∠AOB的OB边上，用尺规过点C作CN∥OA，作图痕迹如图所示.下列对弧FG的描述，正确的是（ ） A.以点C为圆心，OD的长为半径的弧 B.以点C为圆心，OM的长为半径的弧C.以点E为圆心，DM的长为半径的弧 D.以点E为圆心，CE的长为半径的弧 C 随堂小练 基础 22051 2.如图，点C在∠AOB的边OB上，用直尺和圆规作∠BCN＝∠AOC，这个尺规作图的依据是（ ） A．SAS B．SSS C．AAS D．ASA B 随堂小练 基础 22051 3.下列四种基本尺规作图分别表示：①作一个角等于已知角；②作一个角的平分线；③过直线外一点作已知直线的垂线；④作一条线段的垂直平分线，则对应作法错误的是（ ） A．① B．② C．③ D．④ D 随堂小练 基础 22051 4.下面是小明同学设计的“作一个角等于已知角”的尺规作图过程. 已知：∠O， 求作：一个角，使它等于∠O. 作法：如图：①在∠O的两边上分别任取一点A，B； ②以点A为圆心，OA为半径画弧；以点B为圆心，OB为半径画弧；两弧交于点C； ③连结AC,BC ，所以∠C即为所求作的角. 请根据小明设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形；(保留作图痕迹) （2）证明所作角等于∠O． 随堂小练 提升 22051 解：（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）∵AO=AC，BO=BC，AB=AB， ∴ △AOB△ACB (SSS). 随堂小练 提升 22051 14.2 三角形全等的判定 课时5 用“HL”判定直角三角形全等 第十四章 全等三角形 22051 1.探索并理解“斜边、直角边(HL)”判定条件. 2.能运用“HL”判定方法证明两个直角三角形全等. 学习目标 22051 如图，舞台背景的形状是两个直角三角形，为了美观，工作人员需要知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量，你能帮工作人员想个办法吗？ 情境导入 22051 如图，Rt△ABC中，∠C =90°，直角边是_____、_____，斜边是______. C B A AC BC AB 【思考】前面学过的四种判定三角形全等的方法,对直角三角形是否适用？ 新知讲解 22051 A B C A′ B′ C′ 1.若测得AC= A′C′，∠A=∠A′，则可以用_______判断△ABC△A′B′C′； 2.若测得AC=A′C′，∠C=∠ C′，则可以用_______判断△ABC△A′B′C′ ； ASA AAS 3.若测得AB= A′B′，∠A=∠A′， ∠B=∠B′则可以用_______判断△ABC△A′B′C′； 4.若测得AC=A′C′，∠A=∠ A′， AB= A′B′则可以用_______判断△ABC△A′B′C′ . ASA SAS 新知讲解 22051 如图，已知AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，△ABC△DEF吗？ A B C D E F 证明三角形全等不存在SSA定理. 新知讲解 22051 如果这两个三角形都是直角三角形，即∠B=∠E=90°，且AC=DF，BC=EF，现在能 判定△ABC△DEF吗？ A B C D E F 新知讲解 22051 分析：由∠C′ =∠C = 90°可知，如果点 C′与点C 重合，并且使射线 C'A' 与射线 CA 重合，那么射线 C'B' 与射线 CB 重合.由B'C' = BC ，可知点 B' 与点 B 重合. 【探究】如图，在△ABC 和△A'B'C' 中，∠C =∠C′ = 90°，A′B′ = AB，B′C′ = BC. 这两个三角形全等吗？ A B C A′ B′ C′ 新知讲解 22051 为了判断点A′与点A是否重合，我们讨论射线CA上除点C，A外的点与点B的连线和边AB的大小关系. C A B (C') (B') ① 设点 M 在直角边 AC (不包括端点)上，连接 BM，则∠BMA ＞∠C，∠BMA是钝角． ② 若过点 M 且垂直于 BM 的直线与线段 AB 相交于点 M′，则有 AB ＞ BM′ ＞ BM． M 外角的性质 M' 垂线段最短 新知讲解 22051 ③ 设点 N 在线段 CA 的延长线上，连接 BN，同理可得BN > AB. ④ 因此，在射线 CA 上，与点 B 的连线长度等于 AB 的点只有一个. ⑤再由点 A′ 在射线 CA 上，A′B′ = AB，可知点 A′与点 A 重合． C A B (C') M M' N 在点 A 下方时，长度 < AB； 在点 A 上方时，长度 > AB. (A') (B') 新知讲解 22051 △A'B'C'的三个顶点与△ABC 的三个顶点分别重合， △A'B'C'与△ABC 能够完全重合， 因而△A'B'C' △ABC C A B (B') (A') (C') 新知讲解 22051 斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全等 （可以简写成“斜边、直角边”或“HL”） 在Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′中， A′B′ = AB， BC = B′C′， ∴ Rt△ABCRt△A′B′C′ (HL). 几何语言： C′ B′ A′ A B C 应用“HL”的前提条件是在直角三角形中. “斜边、直角边”判定方法： 归纳 22051 例6 如图， AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为 C，D，AC = BD. 求证 BC = AD. A B D C 分析：如果能证明Rt△ABCRt△BAD，就可以得出BC=AD.由题意可知，Rt△ABC和Rt△BAD具备“斜边、直角边”的条件. 证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD， ∴∠C =∠D = 90°. 在 Rt△ABC 和 Rt△BAD 中， ∴Rt△ABCRt△BAD (HL). ∴BC = AD. AB = BA， AC = BD， 例题讲解 22051 内容 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. 前提条件 在直角三角形中 使用方法 只须找除直角外的两个条件即可（两个条件中至少有一个条件是一对对应边相等） 斜边、直角边 （HL） 课堂小结 22051 1. 判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（ ） A.两条直角边对应相等 B.斜边和一锐角对应相等 C.斜边和一条直角边对应相等 D.两个锐角对应相等 D 随堂小练 基础 22051 2. 如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E ，AD、CE交于点H，已知EH＝EB＝3，AE＝4， 则 CH的长为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 3.如图，△ABC中，AB=AC，AD是高，则△ADB与△ADC （填“全等”或“不全等”），根据 （用简写法）. 全等 HL A 随堂小练 基础 22051 4. 如图，在△ABC中，已知BD⊥AC，CE ⊥AB，BD=CE. 求证：△EBC△DCB. A B C E D 证明：∵ BD⊥AC，CE⊥AB， ∴∠BEC=∠BDC=90 °. 在 Rt△EBC 和Rt△DCB 中， CE=BD, BC=CB . ∴ Rt△EBCRt△DCB (HL). 随堂小练 提升 22051 $