学易金卷：九年级数学上学期期中模拟卷（重庆专用，人教版）

( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2025-2026学年九年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版九年级级上册第二十一章~第二十三章（含八年级部分知识）。 第一部分（选择题 共40分） 1、 选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列方程是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 2．在函数的图象上有三点，，则下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 3．下列云纹图案中，是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 4．将抛物线向左平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（   ） A． B． C． D． 5． 如图，绕点A按顺时针方向旋转后得到，且点D恰好是边的中点，交于F，则的值为（   ） A．3 B． C．4 D． 6．将一元二次方程化为一般形式为（    ） A． B． C． D． 7．在同一坐标系中，二次函数与一次函数的图象可能是（   ） A．B．C．D． 8．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（   ） A． B．且 C．且 D． 9．如图，四边形为正方形，为对角线上一点，连接，将绕着点顺时针旋转交的延长线于点，，则的值为（    ） A． B． C． D． 10．已知整式，其中，，，均为整数，，且，下列结论： ①满足条件的整式中有4个单项式； ②若，则方程一定有实数解； ③若，则满足条件的整式共有5个； 其中说法正确的个数是（    ）． A．0 B．1 C．2 D．3 第二部分（非选择题 共110分） 2、 填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11．若是一元二次方程的一个根，则b的值为 ． 12．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是 ． 13．若二次函数的部分图象如图所示，关于x的一元二次方程的一个解，则另一个解 ． 14．已知等腰的一边，而另外两边的边长恰好是关于的一元二次方程的两实数根，则这个三角形的周长为 ． 15．如图，为等腰直角三角形，，，点是直线上的一个动点，连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，当最小时，此时长为 ． 16．若一个四位正整数除以千位数字余数为，且满足十位数字与百位数字之差等于个位数字，则称正整数为“劳动数”．例如：因为，且，所以是“劳动数”，则最小的“劳动数”为 ．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，且满足为整数时，则满足条件的“劳动数”的最大值为 ． 三、解答题：本题共2小题，每小题8分，共16分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．解方程： (1)； (2) 18．为了解学生的安全知识掌握情况，某校举办了安全知识竞赛．现从七、八年级的学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述、分析．所有学生的成绩均高于60分（成绩得分用表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生的竞赛成绩为：66，67，68，68，75，83，84，86，86，87，87，87，87，89，95，95，96，98，98，100． 八年级20名学生的竞赛成绩在C组的数据是：81，82，83，84，86，88． 七、八年级所抽学生的竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 85 85 中位数 86 众数 91 八年级所抽学生竞赛成绩统计图 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中______，______，______； (2)根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的安全知识竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)该校七年级有1600名学生，八年级有1000名学生参加了此次安全知识竞赛，估计该校七、八年级参加此次安全知识竞赛成绩优秀（）的学生人数一共是多少？ 四、解答题：本题共7小题，每小题10分，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19．先化简，再求代数式的值，其中． 20．在学习平行四边形后，小函进行了拓展性研究．她发现，平行四边形中，在边上截，连接，作的角平分线交于点E，则．她的解决思路是通过证明两条线段所在的四边形是平行四边形得出结论．请根据她的思路完成以下作图和填空： 用直尺和圆规，在边上截，连接，作的角平分线，交于点E（只保留作图痕迹）． 已知：如图，四边形是平行四边形，，平分，交于点E． 求证：． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴______， ∵平分， ∴______， ∴， ∴ ∵， ∴______， ∴______， ∴ ∴四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）， ∴． 21．年8月，某音乐节推出了普通票与VIP票．据了解，1张普通票比1张票便宜元，用元买的普通票的数量与用元买的票的数量相同． (1)求普通票与VIP票的单价分别是多少元； (2)据统计，音乐节首日普通票销量是张，票销量是张．第二天由于天气原因，两种票的销售均受到影响，组委会为了刺激销售，进行了降价促销，普通票单价降低了m元，销量仍减少了张，票单价保持不变，销量减少了张，最终第二天总销售额比首日少了元，求m的值． 22．如图，四边形为某街心花园的平面图，经测量，，，且． (1)求的度数； (2)若射线为公园的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点处安装一个监控装置来监控道路的车辆通行情况．已知摄像头能监控的最远距离为，请问在道路上，且与点B距离的一辆车能否被摄像头监控到？请说明理由． 23．如图，在四边形中，，于点E，，，．动点P从点A出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度运动，同时动点Q从点E出发，沿折线方向以每秒1个单位长度的速度运动．当点Q到达点D时，P、Q两点都停止运动．设动点P运动的时间为x秒，的面积为y． (1)请直接写出y关于x的函数关系式并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出的面积小于3时x的取值范围． 24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，连接，． (1)求该抛物线的表达式： (2)过点作，交抛物线于点，点 为直线 下方抛物线上一动点，连接交于点F．将线段沿轴左右平移，线段的对应线段为线段，当四边形的面积最大时，求点的坐标及的最小值； (3)将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过点，点在新抛物线上． 在（2）中，当四边形 的面积最大时，若，求点的横坐标，并写出其中一个点的横坐标的求解过程． 25．在中，，，点D为边上一动点，连接，将绕着D点逆时针方向旋转得到，连接． (1)如图1，，点D恰好为中点，与交于点G，若，求的长度； (2)如图2，与交于点F，连接，在延长线上有一点P，，求证：； (3)如图3，与交于点F，且平分，点M为线段上一点，点N为线段上一点，连接，，点K为延长线上一点，将沿直线翻折至所在平面内得到，连接，在M，N运动过程中，当取得最小值，且时，请直接写出的值． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年九年级数学上学期期中模拟卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题4分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题4分，共24分） 11．____________________ 12．____________________ 13.____________________ 14．____________________ 15．____________________ 16．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（8分） 年级 七年级 八年级 平均数 85 85 中位数 86 众数 91 三、解答题（共16分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19（10分） 20（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（10分） 22.（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2025-2026学年九年级数学上学期期中模拟卷 参考答案 第一部分（选择题共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1 2 6 7 8 10 C B A B C B C 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11.4 12.（-3,2 13.-1 14.14或16 15.35 2 16. 5044 9121 三、解答题：本题共2小题，共16分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.【详解】(1)解：a=1,b=-3,c=1 .△=b2-4ac=(-32-4×1×1=5 (2分) 5与-35 (4分) 2 (2)解：原方程可化为：3x(x-1)-2(x-1)=0 (x-103x-2)=0 (2分) x-1=0,3x-2=0 5=b6号 (4分) 18.【详解】(1)解：：从七、八年级的学生中各随机抽取20名学生参加竞赛， :八年级A组的人数为20×10%=2（人），B组的人数为20×20%=4（人），C组的人数有6人， 八年级D组有20-2-4-6=8（人），则m%=8 ×100%=40%, 20 1/14 窗学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 .m=40, :中位数落在C组，是第10,11位同学成绩的平均数，即a=84+86=85, 2 :七年级20名学生的竞赛成绩为：66,67,68,68,75,83,84,86,86,87,87,87,87,89,95,95， 96,98,98,100， .出现次数最多的是87， .b=87, 故答案为：85,87,40： (3分) (2)解：八年级学生的安全知识竞赛成绩较好，理由如下， :七年级的众数小于八年级的众数， ∴.八年级学生的安全知识竞赛成绩较好； (5分) (3)解：样本中七年级安全知识竞赛成绩优秀(x>90)的学生人数6人，八年级安全知识竞赛成绩优秀 (x>90)的学生人数8人， :1600×6+1000×8=480+400=880(人， 20 20 :.该校七、八年级参加此次安全知识竞赛成绩优秀(x>90)的学生人数一共约是880人. (8分) 四、解答题：本题共7小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19.【详解】解：a-3a 0÷a-2-5 a+2 a+2 =a-3.a-2(a+2)-5 a+2 a+2 a-3.a2-9 a+2a+2 =a-3.(a-3(a+3) a+2 a+2 =0-3 a+2 a+2(a-3)(a+3 s、1 (5分) a+3 :a2-4a+3=0, .a-1a-3=0, 解得4=1，a2=3, 2/14 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 由题意得，a≠-2，±3， ∴.a=1, (8分) 代入=1，原式=3= 1+34 (10分) 20.【详解】解：如图所示： D (6分) B 证明：：四边形ABCD是平行四边形， .AB∥CD,AB=CD,AD=BC, ∴.∠ECF=∠CEB, :CE平分∠BCD, .∠ECF=∠BCE, ∴.∠CEB=∠ECB, ∴.BE=BC, AD=DF, .BE DF, :AB -BE CD DF, :AE CF. :四边形AECF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）， .AF CE. 故答案为：∠CEB,∠ECB,DF,CD-DF. (10分) 21.【详解】(1)解：设普通票的每张为x元，则IP票的每张为x+60)元， 由题意得： 720_1080 xx+60 解得：x=120, 经检验，x=120是原方程的解，且符合题意， 则x+60=120+60=180元， 答：普通票每张为120元，IP票的每张为180元； (5分) 3/14 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 (2)解：(120-m /400-m+180360-m+490m=400x120+360×180, 2 3 m2-30m=0, 2 m1=60,m2=0(舍)， 答：m的值为60. (10分) 22.【详解】(1)解：连接AC, E B :AB=BC=30V2m,4B=90°， AC=VAB2+BC=V30V2+30V2=60m,∠CAB=∠ACB=45°， AD=20v3m,CD=40v3m, 在△ACD中，有AC2+AD2=602+(205=(405=CD2, .△ACD是直角三角形， .∠CAD=90°， .∠DAB=LCAD+∠CAB=90°+45°=135°. (5分) (2)解：这辆车不能被摄像头监控到，理由如下： 过点D作DM⊥DA,交BA的延长线于M, E D y B 由(1)知，∠DAB=135°， .∠DAM=180°-∠DAB=180°-135°=45°， 4/14 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 :DM⊥DA, ∠ADM=90°， ∴.△ADM是等腰直角三角形，即DM=DA=20V3m, 即点M为摄像头能监控的最远位置， 在Rt ADM中，AM=VAD2+DM2=V20V5+(205=206m, :车到点B距离为70W2m,AB=30√2m, 车到点A距离为40V2m, :40V2>20√6， “.这辆车不能被摄像头监控到。 (10分) 23.【详解】(1)解：：AB=AE+BE=12,CE+CD=4+2=6, .12÷2=6÷1=6$, 可知P、Q两点同时停止运动， AE=8,CE=4, 8÷2=4÷1=4(s, 可知P、Q两点分别同时到达E、C, 当0≤x<4时，如图，AP=2x,EQ=x, D .PE=8-2x, E y=2x(8-2x)=4x-x2, 当4<x≤6时，PE=2x-8, DOC y=×4x2x-8=4r-16, 2 E P B 4x-x2(0<x<4) 综上所述：y= 4x-164<x≤6) (4分) 5/14 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 (2)解：如图： 8 6 432 012345678xs 该函数的性质：当0<x<2时，y随x的增大而增大，当2≤x<4时，y随x的增大而减小，当4<x≤6时， y随x的增大而增大； (7分) (3)解：如图， 9 6 43 y=3 012345678xs 当0<x<4,y=3时，则4x-x2=3, x=1或3， 当4<x≤6，y=3时，则4x-16=3, 19 .x= 41 综上所述：△P0的面积小于3时，x的取值范围为0<x<1或3<x<4或4<x<19 4 (10分) 24.【详解】(1)解：：抛物线y=ax2+bx-1过点A(2,0)和B(-1,0), 4a+2b-1=0 将两点坐标代入得： a-b-1=0 a= 解方程组得： 1 b=- 2 .抛物线表达式为y= x21 (3分) 2》解在 2-1中，令x=0,得y=-1, 6/14 学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 .C0,-1, 「2k+b=0 设直线4C的解析式为y=x+b,则6=-1 1 解得， 2, b=-1 1 直线AC的解析式为y=2-1, :BNI‖AC, ∠ABN=LBAC, tan∠ABN=tan∠BAC= 2 设8N与y销交于点M,则0M08= w -m+n=0 设直线BN的解析式为y=mx+n,则，1， n= 2 1 m=- 解得， 2 n= 2 :直线BN的解析式为y= 11 -x+ 2, y=Ir_ x-1 2 2 [x=-1x=3 由 =11 得 或 y=21 y=- y=0 2 2 .N(3,2), 设CN所在直线解析式为y=x+g,则 3r+g=2 (8=-1 P=1 解得， g=-1' .CN所在直线解析式为y=x-1, P-小 BN I AC, SBNC S.BNF 7/14 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 当四边形BCPF的面积：S西边形BCPF=Sg边形BcPN-S,BPw=S.Bcv+S.NCP-S.BCw=S.NCP 作NH⊥y轴于点H,连接PH, S.NCP =S.HNP +S.HCP -SHNC, w-传-小-+2 当1=号时，四边形8CPF的面积最大，--1= 2 此时， r 作平行四边形O,CC,4,则CC,=O,4=0A=2,A,C=O,C, :C(0,-1, C(2,-1, 作点C关于x轴的对称点G,连接AC2,PC2,则A,C,=AC2, 0C=AC2,C22,1, .PA+CO,≥C,P 答：当四边形BCPF的面积最大时，点P的坐标为 ?),PA+C0的最小值为5 8 (7分) y◆ M B 3)解：-1o.c0,-,y=- x-1, 新函数y=x--x--1-1-- x-1, 2 2 8/14 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 即y=x2-3x-1, 22 对称轴为x=2' 3 作CD川x轴，交新函数图象于点D, :C0,-1, .D(3,-1, 点-1，点P3》 -p+9=0 设直线BP的解析式为y=px+9,则3 1 D= 4 解得 1 9= 4 :直线BP的解析式为y=一4x-4' x-中，令x=0,得y=- 在y=-4-4 41 直线B即与x的交点坐标为704》 1 -×3-=-1, 4 4 ·.D(3,-1)为直线BP与新抛物线的交点， :CDlx轴， .∠ABP=∠BDC,LOCD=90°， 作CEI‖BD,则LECD=∠BDC, .∠ABP=LECD, :∠ABP+90°=∠OCA+∠QCA, .∠QCA=∠ECD+∠OCD-∠OCA=∠ECA, :.CE与新抛物线的交点为Q, 过点D作DKIy轴，交CE于点K, :TD‖CK,DK TC, :.四边形TCKD为平行四边形， 9/14 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ok-0--- ·点K纵坐标为-1-3-2 = 4 4 3引 设直线CE的解析式为y=ex-1,则3e-1=-7 解得e=子 :直线CE的解析式为y=子-1， =1x23 5 -1 X= 由 2 得 x=0 或 1 y=-1 13 y=- -x-1 y=- 4 P 》 :A2,0,B-1,0),C0,-1,D3,-1, .AB =CD,ABI CD, 连接AD,BC,则四边形ABCD为平行四边形， AC与BD交点记为R,则R为AC的中点， :A2,0,C(0,-1, 》 作CG与CQ关于CA对称，作AS II CE,交CG于点S,则∠SCA=∠QCA=∠CAS, .AS=CS, 连接并延长SR,交CQ于S, .SR⊥AC, .S与S关于点R对称， s2+(h+12=2+(2-s)2 设5到.则方2-h=-x2--1 21 4 s21 h=14 10/14■■■■ 2025-2026学年九年级数学上学期期中模拟卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 好 题：字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效：在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题4分，共40分） 1[A][B][C[D] 5[A][B][CD] 9[A][B][CD] 2 [A][B][C][D] 6A]B][C]D] 10[AB][C]D] 49 3[A][B][C][D] 7[A]B][C]D] 扇 4[A]B][C][D] 8[A]B][C]D] 二、 填空题（每小题4分，共24分） 11 12 的 14 5 6 器 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（共16分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.(8分) 18.(8分) 年级 七年级 八年级 平均数 85 85 中位数 86 a 众数 b 91 10% 20% D m% 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19(10分) 20(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(10分) 22.(10分) E D A B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(10分) K987 D 65432 012345678xs 24.(10分) 0 C 备用图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(10分) HD 图1 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 2025-2026学年九年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版九年级级上册第二十一章~第二十三章（含八年级部分知识）。 第一部分（选择题 共40分） 1、 选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列方程是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 2．在函数的图象上有三点，，则下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 3．下列云纹图案中，是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 4．将抛物线向左平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（   ） A． B． C． D． 5． 如图，绕点A按顺时针方向旋转后得到，且点D恰好是边的中点，交于F，则的值为（   ） A．3 B． C．4 D． 6．将一元二次方程化为一般形式为（    ） A． B． C． D． 7．在同一坐标系中，二次函数与一次函数的图象可能是（   ） A．B．C．D． 8．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（   ） A． B．且 C．且 D． 9．如图，四边形为正方形，为对角线上一点，连接，将绕着点顺时针旋转交的延长线于点，，则的值为（    ） A． B． C． D． 10．已知整式，其中，，，均为整数，，且，下列结论： ①满足条件的整式中有4个单项式； ②若，则方程一定有实数解； ③若，则满足条件的整式共有5个； 其中说法正确的个数是（    ）． A．0 B．1 C．2 D．3 第二部分（非选择题 共110分） 2、 填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11．若是一元二次方程的一个根，则b的值为 ． 12．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是 ． 13．若二次函数的部分图象如图所示，关于x的一元二次方程的一个解，则另一个解 ． 14．已知等腰的一边，而另外两边的边长恰好是关于的一元二次方程的两实数根，则这个三角形的周长为 ． 15．如图，为等腰直角三角形，，，点是直线上的一个动点，连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，当最小时，此时长为 ． 16．若一个四位正整数除以千位数字余数为，且满足十位数字与百位数字之差等于个位数字，则称正整数为“劳动数”．例如：因为，且，所以是“劳动数”，则最小的“劳动数”为 ．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，且满足为整数时，则满足条件的“劳动数”的最大值为 ． 三、解答题：本题共2小题，每小题8分，共16分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．解方程： (1)； (2) 18．为了解学生的安全知识掌握情况，某校举办了安全知识竞赛．现从七、八年级的学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述、分析．所有学生的成绩均高于60分（成绩得分用表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生的竞赛成绩为：66，67，68，68，75，83，84，86，86，87，87，87，87，89，95，95，96，98，98，100． 八年级20名学生的竞赛成绩在C组的数据是：81，82，83，84，86，88． 七、八年级所抽学生的竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 85 85 中位数 86 众数 91 八年级所抽学生竞赛成绩统计图 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中______，______，______； (2)根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的安全知识竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)该校七年级有1600名学生，八年级有1000名学生参加了此次安全知识竞赛，估计该校七、八年级参加此次安全知识竞赛成绩优秀（）的学生人数一共是多少？ 四、解答题：本题共7小题，每小题10分，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19．先化简，再求代数式的值，其中． 20．在学习平行四边形后，小函进行了拓展性研究．她发现，平行四边形中，在边上截，连接，作的角平分线交于点E，则．她的解决思路是通过证明两条线段所在的四边形是平行四边形得出结论．请根据她的思路完成以下作图和填空： 用直尺和圆规，在边上截，连接，作的角平分线，交于点E（只保留作图痕迹）． 已知：如图，四边形是平行四边形，，平分，交于点E． 求证：． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴______， ∵平分， ∴______， ∴， ∴ ∵， ∴______， ∴______， ∴ ∴四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）， ∴． 21．年8月，某音乐节推出了普通票与VIP票．据了解，1张普通票比1张票便宜元，用元买的普通票的数量与用元买的票的数量相同． (1)求普通票与VIP票的单价分别是多少元； (2)据统计，音乐节首日普通票销量是张，票销量是张．第二天由于天气原因，两种票的销售均受到影响，组委会为了刺激销售，进行了降价促销，普通票单价降低了m元，销量仍减少了张，票单价保持不变，销量减少了张，最终第二天总销售额比首日少了元，求m的值． 22．如图，四边形为某街心花园的平面图，经测量，，，且． (1)求的度数； (2)若射线为公园的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点处安装一个监控装置来监控道路的车辆通行情况．已知摄像头能监控的最远距离为，请问在道路上，且与点B距离的一辆车能否被摄像头监控到？请说明理由． 23．如图，在四边形中，，于点E，，，．动点P从点A出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度运动，同时动点Q从点E出发，沿折线方向以每秒1个单位长度的速度运动．当点Q到达点D时，P、Q两点都停止运动．设动点P运动的时间为x秒，的面积为y． (1)请直接写出y关于x的函数关系式并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出的面积小于3时x的取值范围． 24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，连接，． (1)求该抛物线的表达式： (2)过点作，交抛物线于点，点 为直线 下方抛物线上一动点，连接交于点F．将线段沿轴左右平移，线段的对应线段为线段，当四边形的面积最大时，求点的坐标及的最小值； (3)将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过点，点在新抛物线上． 在（2）中，当四边形 的面积最大时，若，求点的横坐标，并写出其中一个点的横坐标的求解过程． 25．在中，，，点D为边上一动点，连接，将绕着D点逆时针方向旋转得到，连接． (1)如图1，，点D恰好为中点，与交于点G，若，求的长度； (2)如图2，与交于点F，连接，在延长线上有一点P，，求证：； (3)如图3，与交于点F，且平分，点M为线段上一点，点N为线段上一点，连接，，点K为延长线上一点，将沿直线翻折至所在平面内得到，连接，在M，N运动过程中，当取得最小值，且时，请直接写出的值． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级数学上学期期中模拟卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版九年级级上册第二十一章~第二十三章（含八年级部分知识）。 第一部分（选择题 共40分） 1、 选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列方程是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、，分母有未知数，不是整式方程，故本选项错误，不符合题意； B、，未强调，故本选项错误，不符合题意； C、，整理后为，是一元二次方程，符合题意； D、，是二元二次方程，不符合题意； 故选：C． 2．在函数的图象上有三点，，则下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴图象上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴， 故选：C． 3．下列云纹图案中，是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：中心对称图形是绕一个点旋转后与原图形能够重合的图形，A选项符合题意． 故选：A． 4．将抛物线向左平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：抛物线向左平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线解析式是， 故选：B． 5． 如图，绕点A按顺时针方向旋转后得到，且点D恰好是边的中点，交于F，则的值为（   ） A．3 B． C．4 D． 【答案】A 【详解】解：绕点按顺时针方向旋转后得到， ，， ，． 为等边三角形， ，． 点是边的中点， ， ， ， ， 在直角中，，， ． 在直角中，，， ， ， ， ． 故选：A． 6．将一元二次方程化为一般形式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：一元二次方程化为一般形式为， 故选：B． 7．在同一坐标系中，二次函数与一次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵二次函数与一次函数， ∴当时，抛物线的开口向上，直线过一，三，四象限； 当时，抛物线的开口向下，直线过一，二，四象限； 故符合题意的只有选项A． 故选A． 8．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（   ） A． B．且 C．且 D． 【答案】C 【详解】解：的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 且． 故选：C． 9．如图，四边形为正方形，为对角线上一点，连接，将绕着点顺时针旋转交的延长线于点，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：过点作的平行线交于点，交于点，如图， 设，则， ∵四边形为正方形， ∴，，，， ∴四边形为矩形， ∴，， 在中，∵， ∴， 在中，∵，， ∴， ∵绕着点顺时针旋转交的延长线于点， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 10．已知整式，其中，，，均为整数，，且，下列结论： ①满足条件的整式中有4个单项式； ②若，则方程一定有实数解； ③若，则满足条件的整式共有5个； 其中说法正确的个数是（    ）． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】解：， 这个单项式不满足条件， 满足条件的整式的单项式为这三种， 故①不正确； ， ， 则可得， 解得， ， ， 方程一定有实数解，故②正确； 当时，只有这一种情况， 当时，此时中有一个数是，其余三个是，则有4种情况， 满足条件的整式共有5个； 故③正确， 故选：C． 第二部分（非选择题 共110分） 2、 填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11．若是一元二次方程的一个根，则b的值为 ． 【答案】4 【详解】解：把代入一元二次方程， 得， ∴． 故答案为：4． 12．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是 ． 【答案】 【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为：． 13．若二次函数的部分图象如图所示，关于x的一元二次方程的一个解，则另一个解 ． 【答案】 【详解】解：二次函数的对称轴为，关于x的一元二次方程的一个解，另一个解为， ， ， 故答案为：． 14．已知等腰的一边，而另外两边的边长恰好是关于的一元二次方程的两实数根，则这个三角形的周长为 ． 【答案】14或16 【详解】解：， ， ， 或， ， ∵是等腰三角形， ∴或， ∴或， ①当等腰的三边长分别为时，满足三角形的三边关系， 则此时这个三角形的周长为； ②当等腰的三边长分别为时，满足三角形的三边关系， 则此时这个三角形的周长为； 综上，这个三角形的周长为14或16， 故答案为：14或16． 15．如图，为等腰直角三角形，，，点是直线上的一个动点，连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，当最小时，此时长为 ． 【答案】 【详解】解：过点M作交的延长线于点N，如图， ∵将线段绕点顺时针旋转，得到线段， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴≌， ∴，， ∵， 在中，由勾股定理可得： ， 即当时，取得最小值，即取得最小值， ∴， ∵， 在中，， ∴当最小时，此时长为． 故答案为：． 16．若一个四位正整数除以千位数字余数为，且满足十位数字与百位数字之差等于个位数字，则称正整数为“劳动数”．例如：因为，且，所以是“劳动数”，则最小的“劳动数”为 ．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，且满足为整数时，则满足条件的“劳动数”的最大值为 ． 【答案】 【详解】解：由题意可得，当时，有最小“劳动数”， ∵一个四位正整数除以千位数字余数为， ∴个位数字为或， ∵十位数字与百位数字之差等于个位数字， 时，要使有最小“劳动数”， 则，，“劳动数”为； 时，要使有最小“劳动数”， 则，，“劳动数”为； ∴最小“劳动数”为； ∵若关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∵一个四位正整数是“劳动数” ∴，即， ∴， ∴， ∴，则， ∵四位正整数除以千位数字余数为， ∴， ∴， ∵满足条件的“劳动数”的最大值， ∴， ∴， ∵，为正整数， ∴时，， 则，，不符合题意； 当，即， 则，， 此时，不符合题意； 当，即， 则，， 此时，符合题意； 故答案为：，． 三、解答题：本题共2小题，每小题8分，共16分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．解方程： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴ （2）解：原方程可化为： 18．为了解学生的安全知识掌握情况，某校举办了安全知识竞赛．现从七、八年级的学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述、分析．所有学生的成绩均高于60分（成绩得分用表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生的竞赛成绩为：66，67，68，68，75，83，84，86，86，87，87，87，87，89，95，95，96，98，98，100． 八年级20名学生的竞赛成绩在C组的数据是：81，82，83，84，86，88． 七、八年级所抽学生的竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 85 85 中位数 86 众数 91 八年级所抽学生竞赛成绩统计图 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中______，______，______； (2)根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的安全知识竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)该校七年级有1600名学生，八年级有1000名学生参加了此次安全知识竞赛，估计该校七、八年级参加此次安全知识竞赛成绩优秀（）的学生人数一共是多少？ 【答案】(1)，， (2)八年级学生的安全知识竞赛成绩较好，理由见详解 (3)该校七、八年级参加此次安全知识竞赛成绩优秀（）的学生人数一共约是人 【详解】（1）解：∵从七、八年级的学生中各随机抽取20名学生参加竞赛， ∴八年级组的人数为（人），组的人数为（人），组的人数有人， ∴八年级组有（人），则， ∴， ∴中位数落在组，是第位同学成绩的平均数，即， ∵七年级20名学生的竞赛成绩为：66，67，68，68，75，83，84，86，86，87，87，87，87，89，95，95，96，98，98，100， ∴出现次数最多的是， ∴， 故答案为：，，； （2）解：八年级学生的安全知识竞赛成绩较好，理由如下， ∵七年级的众数小于八年级的众数， ∴八年级学生的安全知识竞赛成绩较好； （3）解：样本中七年级安全知识竞赛成绩优秀（）的学生人数人，八年级安全知识竞赛成绩优秀（）的学生人数人， ∴（人）， ∴该校七、八年级参加此次安全知识竞赛成绩优秀（）的学生人数一共约是人． 四、解答题：本题共7小题，每小题10分，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19．先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】， 【详解】解： ， ∵， ∴， 解得，， 由题意得，， ∴， 代入，原式． 20．在学习平行四边形后，小函进行了拓展性研究．她发现，平行四边形中，在边上截，连接，作的角平分线交于点E，则．她的解决思路是通过证明两条线段所在的四边形是平行四边形得出结论．请根据她的思路完成以下作图和填空： 用直尺和圆规，在边上截，连接，作的角平分线，交于点E（只保留作图痕迹）． 已知：如图，四边形是平行四边形，，平分，交于点E． 求证：． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴______， ∵平分， ∴______， ∴， ∴ ∵， ∴______， ∴______， ∴ ∴四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）， ∴． 【答案】作图见解析； 【详解】解：如图所示； 证明：∵四边形是平行四边形， 平分 ， ， ∴四边形是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)， ∴． 故答案为：． 21．年8月，某音乐节推出了普通票与VIP票．据了解，1张普通票比1张票便宜元，用元买的普通票的数量与用元买的票的数量相同． (1)求普通票与VIP票的单价分别是多少元； (2)据统计，音乐节首日普通票销量是张，票销量是张．第二天由于天气原因，两种票的销售均受到影响，组委会为了刺激销售，进行了降价促销，普通票单价降低了m元，销量仍减少了张，票单价保持不变，销量减少了张，最终第二天总销售额比首日少了元，求m的值． 【答案】(1)普通票每张为元，票的每张为元 (2) 【详解】（1）解：设普通票的每张为元，则票的每张为元，， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则元， 答：普通票每张为元，票的每张为元； （2）解：， ， ，（舍）， 答：的值为． 22．如图，四边形为某街心花园的平面图，经测量，，，且． (1)求的度数； (2)若射线为公园的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点处安装一个监控装置来监控道路的车辆通行情况．已知摄像头能监控的最远距离为，请问在道路上，且与点B距离的一辆车能否被摄像头监控到？请说明理由． 【答案】(1) (2)这辆车不能被摄像头监控到，理由见解析． 【详解】（1）解：连接， ∵，， ∴，， ∵，， 在中，有， ∴是直角三角形， ∴， ∴． （2）解：这辆车不能被摄像头监控到，理由如下： 过点作，交的延长线于， 由（1）知，， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，即， 即点为摄像头能监控的最远位置， 在中，， ∵车到点距离为，， ∴车到点距离为， ∵， ∴这辆车不能被摄像头监控到． 23．如图，在四边形中，，于点E，，，．动点P从点A出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度运动，同时动点Q从点E出发，沿折线方向以每秒1个单位长度的速度运动．当点Q到达点D时，P、Q两点都停止运动．设动点P运动的时间为x秒，的面积为y． (1)请直接写出y关于x的函数关系式并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出的面积小于3时x的取值范围． 【答案】(1) (2)作图见解析，性质：当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大（不唯一） (3)或或 【详解】（1）解：∵，， ∴， 可知P、Q两点同时停止运动， ∵，， ∴， 可知P、Q两点分别同时到达、， 当时，如图，，， ， ， 当时，， ， 综上所述：； （2）解：如图： 该函数的性质：当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大； （3）解：如图， 当，时，则， 或3， 当，时，则， ， 综上所述：△的面积小于3时，的取值范围为或或． 24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，连接，． (1)求该抛物线的表达式： (2)过点作，交抛物线于点，点 为直线 下方抛物线上一动点，连接交于点F．将线段沿轴左右平移，线段的对应线段为线段，当四边形的面积最大时，求点的坐标及的最小值； (3)将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过点，点在新抛物线上． 在（2）中，当四边形 的面积最大时，若，求点的横坐标，并写出其中一个点的横坐标的求解过程． 【答案】(1)； (2)当四边形的面积最大时，点的坐标为，的最小值为； (3)点的横坐标为或． 【详解】（1）解：∵抛物线过点和， ∴将两点坐标代入得： 解方程组得：， ∴抛物线表达式为． （2）解：在中，令，得， ∴， 设直线的解析式为，则 解得，， ∴直线的解析式为， ∵， ∴， ∴， 设与轴交于点，则， ∴， 设直线的解析式为，则， 解得，， ∴直线的解析式为， 由得或， ∴， 设所在直线解析式为，则， 解得，， ∴所在直线解析式为， 设， ∵， ∴， 当四边形的面积： 作轴于点，连接， , ∴, ∴， 当时，四边形的面积最大，． 此时，， 作平行四边形，则，， ∵， ∴， 作点关于轴的对称点，连接，，则， ∴，， ∴， 答：当四边形的面积最大时，点的坐标为，的最小值为． （3）解：∵，，， ∴新函数， 即， 对称轴为， 作轴，交新函数图象于点， ∵， ∴， ∵点，点， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 在中，令，得， ∴直线与的交点坐标为， ∵， ∴为直线与新抛物线的交点， ∵轴， ∴，， 作，则， ∴， ∵， ∴， ∴与新抛物线的交点为， 过点作轴，交于点， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴点纵坐标为， ∴， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 由得或， ∴， ∵，，，， ∴，， 连接，，则四边形为平行四边形， 与交点记为，则为的中点， ∵，， ∴， 作与关于对称，作，交于点，则， ∴， 连接并延长，交于， ∴， ∴与关于点对称， 设，则， ∴， 设直线的解析式为，则， 解得，， ∴直线的解析式为， 由得或， ∴， 答：点的横坐标为或． 25．在中，，，点D为边上一动点，连接，将绕着D点逆时针方向旋转得到，连接． (1)如图1，，点D恰好为中点，与交于点G，若，求的长度； (2)如图2，与交于点F，连接，在延长线上有一点P，，求证：； (3)如图3，与交于点F，且平分，点M为线段上一点，点N为线段上一点，连接，，点K为延长线上一点，将沿直线翻折至所在平面内得到，连接，在M，N运动过程中，当取得最小值，且时，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵点D为中点， ∴， ∴， ∵将绕着D点逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴； （2）证明：如图2，过点D作交于点H， ∵，， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵将绕着D点逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图3，在上截取，连接， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当点M，点，点D三点共线，且时，有最小值， 如图4， ∵，， ∴， 由折叠的性质得，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴点B，点Q，点D三点共线， 由折叠的性质得，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． / 学科网（北京）股份有限公司 $