专题01空间向量的线性运算与数量积运算（7大题型）（专项训练）高二数学北师大版2019选择性必修第一册

专题01 空间向量的线性运算及数量积运算 目录 A题型建模・专项突破 题型一、空间向量的概念 1 题型二、空间向量的线性运算（常考点） 2 题型三、空间向量的共线向量 5 题型四、空间向量的共面向量 6 题型五、空间向量的数量积运算（常考点） 10 题型六、用数量积求空间线段的长度或两点之间的距离 11 题型六、用数量积证明两条直线垂直（重点） 12 题型七、用数量积求异面直线的夹角（难点） 14 B综合攻坚・能力跃升 题型一、空间向量的概念 1.下列关于空间向量的说法中正确的是（    ） A．单位向量都相等 B．若，，则 C．若向量，满足，则 D．若，，则 【答案】D 【详解】对于A，单位向量是模为1的向量，但方向是任意的； 把空间中所有的单位向量移到同一起点，则终点构成一个球面，故A错误； 对于B，因为零向量的方向无法确定，规定：零向量与任意向量平行， 所以当时，与不一定平行，故B错误； 对于C，向量不能比较大小，但向量的模是实数，可以比较大小，故C错误； 对于D，相等向量的方向相同、长度相等，因此向量相等具有传递性，故D正确． 故选：D. 2.有下列关于空间向量的命题：①在同一条直线上的单位向量都相等；②只有零向量的模等于0；③在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与是相等向量；④在空间四边形ABCD中，与是相反向量；⑤在三棱柱ABC-A1B1C1中，与的模一定相等的向量一共有3个.其中正确命题的个数为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 [答案]　A　 [解析]　①错误，在同一条直线上的单位向量，方向可能相同，也可能相反，故它们不一定相等；②正确，零向量的模等于0，模等于0的向量只有零向量；③正确，与的模相等，方向相同；④错误，空间四边形ABCD中，与的模不一定相等，方向也一定不相反；⑤错误，在三棱柱ABC-A1B1C1中，与AA1的模一定相等的向量是，，，，，共5个．故选A. 3.（25-26高二上·全国·期中）（多选）下列四个命题中为真命题的是（    ） A．已知是空间中任意五点，则 B．若向量，满足，则 C．若分别表示两个空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量可以是共面向量 D．若，则四点共面 【答案】CD 【详解】对于A，，注意前者是零向量，后者是实数0，故A错误； 对于B，注意向量相等时，向量所在直线互相平行或重合， 因此当时，，四点可能在一条直线上，故B错误； 对于C，空间中的任意两个非零向量都可以平移到同一起点， 则这两个向量可以是共面向量,故C正确； 对于D，若“，不共线”，有四点共面， 若“，共线”，则四点在同一直线上，则有四点共面， 故D正确． 故选：CD. 题型二、空间向量的线性运算（常考点） 4.我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，已知四棱锥是阳马，平面，且，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，， ， 则， 故选：D. 5．（24-25高二上·河南南阳·期末）如图，在四面体中，设，为的重心，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 如图，连接，连接并延长交于点，则为中点，且， ∴. ∵为的中点，∴， ∴． 故选：A. 6．（25-26高二上·全国·期中）（多选）若为空间中不同的四点，则下列各式结果一定是零向量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】对于A，， 结果不一定为零向量，故A错误； 对于B， ，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确． 故选：BCD. 7.如图，在空间四边形ABCD中，G为△BCD的重心(三角形三条中线的交点)，点E，F，H分别为边CD，AD和BC的中点，请将下列向量运算的结果用一个向量表示，并在图中标出此向量． (1)＋＋； (2)(＋－). 解：(1)因为G是△BCD的重心， 所以＝. 所以＋＝＋＝， 又因为＝， 所以＋＝＋＝. 从而＋＋＝. (2)因为E，F，H分别为边CD，AD和BC的中点，所以(＋－)＝(2－)＝－＝－＝. 题型三、空间向量的共线向量 8．已知向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是(　　) A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D 【答案】A 解析：选A　∵＝a＋2b，＝＋＝2a＋4b＝2(a＋2b)＝2，∴∥.又与有一公共点B，∴A，B，D三点共线． 9.已知空间向量c，d不共线，设向量a＝kc＋d，b＝c－k2d，且a与b共线，则实数k的值为________． 答案：－1 解析：因为c，d不共线，所以c≠0，且d≠0. 由a与b共线知，存在λ∈R使a＝λb成立， 即kc＋d＝λ(c－k2d)， 整理得(k－λ)c＋(1＋λk2)d＝0， 所以解得k＝λ＝－1. 10.如图，已知四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且＝，＝. 求证：四边形EFGH是梯形． [证明]　∵E，H分别是AB，AD的中点， ∴＝，＝. ∵＝－＝－＝ ＝(－)＝ ＝(－)＝， ∴∥，且||＝||≠||. 又F不在直线EH上， ∴四边形EFGH是梯形． 11.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E在A1D1上，且＝2，F在对角线A1C上，且＝. 求证：E，F，B三点共线． 证明：设＝a，＝b，＝c， 因为＝2，＝， 所以＝，＝. 所以＝＝b，＝(－)＝(＋－)＝a＋b－c.所以＝－＝a－b－c＝. 又＝＋＋＝－b－c＋a＝a－b－c， 所以＝.且EF与EB有公共点E，所以E，F，B三点共线． 题型四、空间向量的共面向量 12．（24-25高二下·福建龙岩·期末）已知为空间中四点，任意三点不共线，且，若四点共面，则的值为（   ） A．2 B．1 C． D．0 【答案】C 【详解】由四点共面，所以，即， 故选：C. 13．（24-25高二下·江苏连云港·期中）（多选）关于空间向量，，，下列结论正确的是（   ） A．若存在实数，，使得，则与，共面 B．若与，共面，则存在实数，，使得 C．若，，共面，则存在实数，，，使得 D．若存在实数，，，使得，则，，共面 【答案】AC 【详解】对于选项A：若向量共线，易知与共线，显然共面； 若向量不共线，根据平面向量基本定理可知与共面； 综上所述：与，共面，故A正确； 对于选项B：若向量与共面，如果共线，与它们不共线，则不存在实数使得，故B错误； 对于选项C：若向量共线，则取，可得； 若向量不共线，根据平面向量基本定理可知：存在实数，，使得， 即，可得； 综上所述：若，，共面，则存在实数，，，使得，故C正确； 对于选项D：例如，对于任意空间向量，，均有成立， 此时无法判断，，是否共面，故D错误. 故选：AC. 14．（24-25高二下·上海·期中）在正四棱锥中，，，设平面与直线交于点，，则 ．    【答案】 【详解】， 因为，，所以， 又，故， 即，故， 因为平面与直线交于点，所以四点共面， 所以，解得.    故答案为： 15．（24-25高二上·上海·期末）有以下命题： ①若（），则与、共面； ②若与、共面，则（）； ③若（），则M、P、A、B共面； ④若M、P、A、B共面，则（）. 则所有真命题的序号是 【答案】①③ 【详解】由空间向量的共面定理可知，①和③是真命题； 对于②，当与共线，且与、不共线时，满足与、共面， 但不存在实数组，使成立，故②是假命题； 对于④，当M、A、B共线且P与M、A、B不共线时，满足M、P、A、B共面， 但不存在实数组，使成立，故④是假命题. 故答案为：①③. 16．（2025高二上·全国·期中）已知O，A，B，C，D，E，F，G，H为空间的9个点（如图所示），并且，，，，．求证： (1)A，B，C，D四点共面，E，F，G，H四点共面； (2)； (3)三点共线． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）由，， 知A，B，C，D四点共面，E，F，G，H四点共面； （2）由，，， 得 ， 所以； （3）由（2）知， 所以 ， 所以， 即，又与有一个公共点，所以三点共线． 17．（2025高二·全国·期中）如图，在平行六面体中，分别是，，的中点，是线段上的动点．    (1)求证：四点共面； (2)若且三点共线，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）设，由题可知， 则， 根据共面定理可得，，，四点共面． （2）因为且，，三点共线， 由共线定理推论可得，则. 题型五、空间向量的数量积运算（常考点） 18．[多选]下列各命题中，正确的命题是(　　) A．＝|a| B．m(λa)·b＝(mλ)a·b(m，λ∈R) C．a·(b＋c)＝(b＋c)·a D．a2b＝b2a 答案：ABC 解析：选ABC　∵a·a＝|a|2，∴＝|a|，故A正确． m(λa)·b＝(mλa)·b＝mλa·b＝(mλ)a·b，故B正确． a·(b＋c)＝a·b＋a·c，(b＋c)·a＝b·a＋c·a＝a·b＋a·c＝a·(b＋c)，故C正确． a2·b＝|a|2·b，b2·a＝|b|2·a，故D不一定正确． 19．已知a，b均为空间单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b|等于(　　) A．　　　B．　　　C．　　　D．4 答案：C 20．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则·的值为(　　) A．a2 B．a2 C．a2 D．a2 答案：C 解析：选C　·＝(＋)·＝(·＋·)＝(a×a×＋a×a×)＝a2. 21.(24-25高二上·广西名校联盟·期中)已知M，E，F均为圆柱表面上的动点，直线EF经过圆柱的中心O，，圆柱的底面圆的半径为5，则的最大值为 . 【答案】144 【详解】因为，又因为O为圆柱的中心，且M，E，F均为圆柱表面上的动点，则，当且仅当为底面圆周上时，等号成立，且，当且仅当为过O且与底面平行的圆周上时，等号成立，可得，所以的最大值144.故答案为：144. 题型六、用数量积求空间线段的长度或两点之间的距离 22.如图，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则PC等于(　　) A．6 B．6 C．12 D．144 解析：选C　因为＝＋＋，所以2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝36＋36＋36＋2×36cos 60°＝144，所以PC＝12. 23.(24-25高二上·福建泉州第七中学·期中)在斜三棱柱的底面中，，且， ，则线段的长度是（    ）    A． B．3 C． D．4 【答案】A 【详解】， , , 所以. 故选：A 24.(2025广东汕头澄海中学段考)如图所示,四面体OABC中,OA=2,OB=3,OC=4,且,,中任意两向量间的夹角均为60°,=2,=2,则||=(　　) A.　　B.　　C.　　D.2 25．已知线段AB在平面α内，线段AC⊥α，线段BD⊥AB，且与α所成的角是30°，如果AB＝a，AC＝BD＝b，求C，D间的距离． 解：由AC⊥α，知AC⊥AB.如图，过点D作DD′⊥α于点D′，连接BD′，则∠DBD′＝30°，〈，〉＝120°， 所以||2＝·＝(＋ ＋)2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝b2＋a2＋b2＋2b2cos 120°＝a2＋b2，故CD＝. 题型六、用数量积证明两条直线垂直（重点） 26.(多选题)(2024河南商丘宁陵高级中学月考)已知四面体ABCD中,AB,AC,AD两两垂直,则以下结论中一定成立的是(　　) A.|++|=|+-| B.(++)·=0 C.|++|2=||2+||2+||2 D.·=·=· 【答案】ACD　 由题意可知,,,两两垂直,所以·=·=·=0. 对于A,=++2(+)·=+, =+-2(+)·=+, 所以=, 即|++|=|+-|,故A正确; 对于B,(++)·=(++)·(-)=-, 当=时,-=0,否则不成立,故B错误; 对于C,|++|2=||2+||2+||2+2(·+·+·)=||2+||2+||2,故C正确; 对于D,·=·(-)=0, 同理可得·=0,·=0, 所以·=·=·,故D正确. 27.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD. 求证：PA⊥BD. [证明]　 由底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，知DA⊥BD，则·＝0. 由PD⊥底面ABCD，知PD⊥BD，则·＝0. 又＝＋， 所以·＝(＋)·＝·＋·＝0，即PA⊥BD. 28.如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长为. (1)设侧棱长为1，求证：AB1⊥BC1； (2)设AB1与BC1的夹角为，求侧棱的长． 解：(1)证明：＝＋，＝＋. ∵BB1⊥平面ABC， ∴·＝0，·＝0. 又△ABC为正三角形， ∴〈，〉＝π－〈，〉＝π－＝. ∵·＝(＋)·(＋) ＝·＋·＋2＋· ＝||·||·cos〈，〉＋2 ＝－1＋1＝0，∴AB1⊥BC1. (2)由(1)知·＝||·||·cos〈，〉＋2＝2－1. 又||＝ ＝ ＝||， ∴cos〈，〉＝＝， ∴||＝2，即侧棱长为2. 题型七、用数量积求异面直线的夹角（难点） 29.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，设AD＝AA1＝1，AB＝2，P是C1D1的中点，则与所成角的大小为________，·＝________． 解析：如图，连接A1D，则∠PA1D就是与所成角，连接PD，在△PA1D中，易得PA1＝DA1＝PD＝，即△PA1D为等边三角形，从而∠PA1D＝60°，即与所成角的大小为60°.因此·＝××cos 60°＝1. 答案：60°　1 30.如图，BB1⊥平面ABC，且△ABC是∠B＝90°的等腰直角三角形，▱ABB1A1，▱BB1C1C的对角线都分别相互垂直且相等，若AB＝a，求异面直线BA1与AC所成的角． 解：∵＝＋， ＝＋， ∴·＝(＋)·(＋)＝·＋·＋·＋·. ∵AB⊥BC，BB1⊥AB，BB1⊥BC， ∴·＝0，·＝0，·＝0， ·＝－a2.∴·＝－a2. 又·＝||·||·cos〈，〉． ∴cos〈，〉＝＝－， 又0°≤〈，〉≤180°， ∴〈，〉＝120°. ∴异面直线BA1与AC成60°角． 31.如图所示，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°. (1)求线段AC1的长； (2)求证：AA1⊥BD； (3)求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值． 解：(1)设＝a，＝b，＝c，则|a|＝|b|＝1，|c|＝2，a·b＝0，c·a＝c·b＝2×1×cos 120°＝－1. ∵＝＋＝＋＋＝a＋b＋c， ∴||＝|a＋b＋c|＝ ＝ ＝＝. ∴线段AC1的长为. (2)证明：∵＝c，＝b－a，∴·＝c·(b－a)＝c·b－c·a＝(－1)－(－1)＝0，∴⊥，即AA1⊥BD. (3)设异面直线AC1与A1D所成的角为θ，则cos θ＝|cos 〈，〉|＝.由(1)知＝a＋b＋c，∵＝b－c，∴·＝(a＋b＋c)·(b－c)＝a·b－a·c＋b2－c2＝0＋1＋12－22＝－2，||＝＝＝＝.∴cos θ＝＝＝.∴异面直线AC1与A1D所成角的余弦值为. 1．如图所示，已知A，B，C三点不共线，P为平面ABC内一定点，O为平面ABC外任一点，则下列能表示向量的为(　　) A．＋2＋2 B．－3－2 C．＋3－2 D．＋2－3 解析：选C　因为A，B，C，P四点共面，所以可设＝x＋y，即＝＋x＋y，由图可知x＝3，y＝－2，故选C. 2.如图，O为△ABC所在平面外一点，M为BC的中点，若＝λ与＝＋＋同时成立，则实数λ的值为__________． 解析：＝＋＝＋λ＝＋(＋)＝＋(－＋－)＝(1－λ)＋＋，所以1－λ＝，＝，解得λ＝. 答案： 3.(2025山东烟台莱州一中等三校联考)如图,平行六面体ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都为2,四边形ABCD是正方形,∠A1AD=∠A1AB=,O是B1C与BC1的交点,则直线AO与CB所成角的余弦值为(　　) A.1　　B.　　C.　　D. 【答案】D　=+=++=++, 则·=·=++·=·++·=0+×4+×2×2×cos =3, 而= =+++·+·+· =4+1+1+0+2×2×cos +×2×2×cos =9,因此||=3, 所以cos<,>===, 设直线AO与CB所成角的大小为θ,则cos θ=|cos<,>|=. 4.(2024湖南湘潭湘乡名民实验中学开学考)在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P是BC1的中点,则异面直线PD与A1B所成角的余弦值是(　　) A.　　B.　　C.　　D. 【答案】A　如图所示, =+=-, =++=++(+)=+-+=++, ∴||= ==, 又·=++·(-)=-=2,||=2, ∴cos<,>===. ∴异面直线PD与A1B所成角的余弦值是. 5.(2025河北沧州月考)在四面体ABCD中,BC=1,BD=2,∠ABC=90°,·=-,则∠CBD=　　　　.  答案　30° 解析　因为∠ABC=90°,所以·=0,又=-, 所以·=·(-)=·-·=-,因此·=, 又BC=1,BD=2,且·=||||cos∠CBD=, 所以cos∠CBD=, 又0°<∠CBD<180°,所以∠CBD=30°. 6.(2025广东汕头澄海中学段考)如图所示,四面体OABC中,OA=2,OB=3,OC=4,且,,中任意两向量间的夹角均为60°,=2,=2,则||=(　　) A. 　　B.　　C.　　D.2 【答案】A　 连接ON,由题意得 =-=+-=+-=+(-)-=-++, 而·=||||cos 60°=2×3×=3, ·=||||cos 60°=3×4×=6, ·=||||cos 60°=2×4×=4, 因此||= = ==. 7.(2024山西大学附属中学二诊)如图,在平面角大小为60°的二面角A-EF-D中,四边形ABFE、CDEF都是边长为1的正方形,则B,D两点间的距离是　　　　.  答案　 解析　∵四边形ABFE、CDEF都是边长为1的正方形,∴AE⊥EF,DE⊥EF,BF⊥EF,CF⊥EF,又平面ABFE∩平面CDEF=EF,∴平面ABFE与平面CDEF的二面角为∠AED=∠BFC=60°,易得=++,∴||2=(++)2=||2+||2++2·+2·+2·=1+1+1+0+2×1×1×cos 120°+0=2,∴||=,故B,D两点间的距离是. 8．已知ABCD为正方形，P是ABCD所在平面外的一点，P在平面ABCD上的射影恰好是正方形ABCD的中心O，Q是CD的中点，求下列各式中x，y的值． (1)＝＋x＋y； (2)＝x＋y＋. 解：(1)如图所示，＝＋，由向量加法的平行四边形法则，可得＝(＋).所以＝－－.所以＝＋＝－－.所以x＝－，y＝－. (2)因为＝＋＝＋2＝＋2(－)＝＋2－2，所以x＝2，y＝－2. 9.如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，点P是ABCD所在平面外的一点，连接PA，PB，PC，PD.设点E，F，G，H分别为△PAB，△PBC，△PCD，△PDA的重心． (1)试用向量方法证明E，F，G，H四点共面； (2)试判断平面EFGH与平面ABCD的位置关系，并用向量方法证明你的判断． 证明：(1)分别连接PE，PF，PG，PH并延长，交对边于点M，N，Q，R，连接MN，NQ，QR，RM， ∵E，F，G，H分别是所在三角形的重心，∴M，N，Q，R是所在边的中点，且＝，＝，＝，＝. 由题意知四边形MNQR是平行四边形， ∴＝＋＝(－)＋(－) ＝(－)＋(－)＝(＋). 又＝－＝－＝. ∴＝＋， 由共面向量定理知，E，F，G，H四点共面． (2)平行．证明如下： 由(1)得＝，∴∥， ∴∥平面ABCD. 又＝－＝－＝， ∴∥.即EF∥平面ABCD. 又∵EG∩EF＝E， ∴平面EFGH与平面ABCD平行． 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 空间向量的线性运算 目录 A题型建模・专项突破 题型一、空间向量的概念 1 题型二、空间向量的线性运算（常考点） 1 题型三、空间向量的共线向量 3 题型四、空间向量的共面向量 3 题型五、空间向量的数量积运算（常考点） 5 题型六、用数量积求空间线段的长度或两点之间的距离 6 题型七、用数量积证明两条直线垂直（重点） 6 题型八、用数量积求异面直线的夹角（难点） 7 B综合攻坚・能力跃升 题型一、空间向量的概念 1.下列关于空间向量的说法中正确的是（    ） A．单位向量都相等 B．若，，则 C．若向量，满足，则 D．若，，则 2.有下列关于空间向量的命题：①在同一条直线上的单位向量都相等；②只有零向量的模等于0；③在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与是相等向量；④在空间四边形ABCD中，与是相反向量；⑤在三棱柱ABC-A1B1C1中，与的模一定相等的向量一共有3个.其中正确命题的个数为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 3.（25-26高二上·全国·期中）（多选）下列四个命题中为真命题的是（    ） A．已知是空间中任意五点，则 B．若向量，满足，则 C．若分别表示两个空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量可以是共面向量 D．若，则四点共面 题型二、空间向量的线性运算（常考点） 4.我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，已知四棱锥是阳马，平面，且，若，则（    ）    A． B． C． D． 5．（24-25高二上·河南南阳·期末）如图，在四面体中，设，为的重心，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·全国·期中）（多选）若为空间中不同的四点，则下列各式结果一定是零向量的是（    ） A． B． C． D． 7.如图，在空间四边形ABCD中，G为△BCD的重心(三角形三条中线的交点)，点E，F，H分别为边CD，AD和BC的中点，请将下列向量运算的结果用一个向量表示，并在图中标出此向量． (1)＋＋； (2)(＋－). 题型三、空间向量的共线向量 8．已知向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是(　　) A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D 9.已知空间向量c，d不共线，设向量a＝kc＋d，b＝c－k2d，且a与b共线，则实数k的值为________． 10.如图，已知四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且＝，＝. 求证：四边形EFGH是梯形． 11.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E在A1D1上，且＝2，F在对角线A1C上，且＝. 求证：E，F，B三点共线． 题型四、空间向量的共面向量 12．（24-25高二下·福建龙岩·期末）已知为空间中四点，任意三点不共线，且，若四点共面，则的值为（   ） A．2 B．1 C． D．0 13．（24-25高二下·江苏连云港·期中）（多选）关于空间向量，，，下列结论正确的是（   ） A．若存在实数，，使得，则与，共面 B．若与，共面，则存在实数，，使得 C．若，，共面，则存在实数，，，使得 D．若存在实数，，，使得，则，，共面 14．（24-25高二下·上海·期中）在正四棱锥中，，，设平面与直线交于点，，则 ．    15．（24-25高二上·上海·期末）有以下命题： ①若（），则与、共面； ②若与、共面，则（）； ③若（），则M、P、A、B共面； ④若M、P、A、B共面，则（）. 则所有真命题的序号是 16．（2025高二上·全国·期中）已知O，A，B，C，D，E，F，G，H为空间的9个点（如图所示），并且，，，，．求证： (1)A，B，C，D四点共面，E，F，G，H四点共面； (2)； (3)三点共线． 17．（2025高二·全国·期中）如图，在平行六面体中，分别是，，的中点，是线段上的动点．    (1)求证：四点共面； (2)若且三点共线，求的值． 题型五、空间向量的数量积运算（常考点） 18．[多选]下列各命题中，正确的命题是(　　) A．＝|a| B．m(λa)·b＝(mλ)a·b(m，λ∈R) C．a·(b＋c)＝(b＋c)·a D．a2b＝b2a 19．已知a，b均为空间单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b|等于(　　) A．　　　B．　　　C．　　　D．4 20．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则·的值为(　　) A．a2 B．a2 C．a2 D．a2 21.(24-25高二上·广西名校联盟·期中)已知M，E，F均为圆柱表面上的动点，直线EF经过圆柱的中心O，，圆柱的底面圆的半径为5，则的最大值为 . 题型六、用数量积求空间线段的长度或两点之间的距离 22.如图，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则PC等于(　　) A．6 B．6 C．12 D．144 23.(24-25高二上·福建泉州第七中学·期中)在斜三棱柱的底面中，，且， ，则线段的长度是（    ）    A． B．3 C． D．4 24.(2025广东汕头澄海中学段考)如图所示,四面体OABC中,OA=2,OB=3,OC=4,且,,中任意两向量间的夹角均为60°,=2,=2,则||=(　　) A.　　B.　　C.　　D.2 25．已知线段AB在平面α内，线段AC⊥α，线段BD⊥AB，且与α所成的角是30°，如果AB＝a，AC＝BD＝b，求C，D间的距离． 题型七、用数量积证明两条直线垂直（重点） 26.(多选题)(2024河南商丘宁陵高级中学月考)已知四面体ABCD中,AB,AC,AD两两垂直,则以下结论中一定成立的是(　　) A.|++|=|+-| B.(++)·=0 C.|++|2=||2+||2+||2 D.·=·=· 27.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD. 求证：PA⊥BD. 28.如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长为. (1)设侧棱长为1，求证：AB1⊥BC1； (2)设AB1与BC1的夹角为，求侧棱的长． 题型八、用数量积求异面直线的夹角（难点） 29.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，设AD＝AA1＝1，AB＝2，P是C1D1的中点，则与所成角的大小为________，·＝________． 30.如图，BB1⊥平面ABC，且△ABC是∠B＝90°的等腰直角三角形，▱ABB1A1，▱BB1C1C的对角线都分别相互垂直且相等，若AB＝a，求异面直线BA1与AC所成的角． 31.如图所示，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°. (1)求线段AC1的长； (2)求证：AA1⊥BD； (3)求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值． 1．如图所示，已知A，B，C三点不共线，P为平面ABC内一定点，O为平面ABC外任一点，则下列能表示向量的为(　　) A．＋2＋2 B．－3－2 C．＋3－2 D．＋2－3 2.如图，O为△ABC所在平面外一点，M为BC的中点，若＝λ与＝＋＋同时成立，则实数λ的值为__________． 3.(2025山东烟台莱州一中等三校联考)如图,平行六面体ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都为2,四边形ABCD是正方形,∠A1AD=∠A1AB=,O是B1C与BC1的交点,则直线AO与CB所成角的余弦值为(　　) A.1　　B.　　C.　　D. 4.(2024湖南湘潭湘乡名民实验中学开学考)在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P是BC1的中点,则异面直线PD与A1B所成角的余弦值是(　　) A.　　B.　　C.　　D. 5.(2025河北沧州月考)在四面体ABCD中,BC=1,BD=2,∠ABC=90°,·=-,则∠CBD=　　　　.  6.(2025广东汕头澄海中学段考)如图所示,四面体OABC中,OA=2,OB=3,OC=4,且,,中任意两向量间的夹角均为60°,=2,=2,则||=(　　) A. 　　B.　　C.　　D.2 7.(2024山西大学附属中学二诊)如图,在平面角大小为60°的二面角A-EF-D中,四边形ABFE、CDEF都是边长为1的正方形,则B,D两点间的距离是　　　　.  8．已知ABCD为正方形，P是ABCD所在平面外的一点，P在平面ABCD上的射影恰好是正方形ABCD的中心O，Q是CD的中点，求下列各式中x，y的值． (1)＝＋x＋y； (2)＝x＋y＋. 9.如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，点P是ABCD所在平面外的一点，连接PA，PB，PC，PD.设点E，F，G，H分别为△PAB，△PBC，△PCD，△PDA的重心． (1)试用向量方法证明E，F，G，H四点共面； (2)试判断平面EFGH与平面ABCD的位置关系，并用向量方法证明你的判断． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $