专题05 等腰三角形（期中真题汇编，广西专用）八年级数学上学期人教版2024

专题06 等腰三角形 6大高频考点概览 考点01 等腰三角形的定义 考点02 等边对等角 考点03 三线合一 考点04 等腰三角形的判定 考点05 等边三角形的性质与判定 考点06 含有30°锐角的直角三角形 地 城 考点01 等腰三角形的定义 1．(24-25八上·广西玉林玉林七县·期中)在平面直角坐标系内有一点，为原点，是坐标轴上的一个动点，若以点、、为顶点的三角形是等腰三角形，则符合条件的动点的个数为（   ） A． B． C． D． 2．(24-25八上·广西贵港港南区·期中)等腰三角形的两边长分别为4，8，则其周长为：（   ） A．16 B．20 C．16或20 D．12 3．(24-25八上·广西桂林永福县·期中)等腰三角形中，一个角为50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为（　　） A．150° B．80° C．50°或80° D．70° 4．(24-25八上·广西防城港上思县·期中)如图，在中，，，于D，则等于（    ） A． B． C． D． 5．(24-25八上·广西来宾兴宾区·期中)如图，在中，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M和点N，作直线分别交､于点D和点E，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 6．(24-25八上·广西防城港防城区·期中)在等腰三角形中，它的两边长分别为和，则它的周长为 ． 7．(24-25八上·广西百色田阳区·期中)等腰三角形有一个角的度数为，则它一条腰上的高与另一条腰的夹角的度数是 ． 8．(24-25八上·广西防城港防城区·期中)如图，在的网格中，以为一边，点在格点处，使为等腰三角形的点有 个； 9．(24-25八上·广西贵港港南区·期中)如图，在中，，，点从点出发以每秒速度向点运动，点从点同时出发以每秒速度向点运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当是以为底的等腰三角形时，运动的时间是 秒． 10．(24-25八上·广西钦州浦北县·期中)在中，，． (1)求长度的取值范围； (2)若为等腰三角形，则它的周长为________． 11．(24-25八上·广西防城港上思县·期中)课间，小明拿着老师的等腰直角三角尺玩，不小心掉到两墙之间，如图所示，，，，． (1)求证：． (2)若，请你帮小明求出砌墙砖块的厚度的大小（假设每块砖的厚度相等）． 地 城 考点02 等边对等角 12．(24-25八上·广西贵港平南县·期中)如图，在中，，的垂直平分线交于点，的垂直平分线正好经过点，与相交于点，则的度数是(    )    A． B． C． D． 13．(22-23八上·广西南宁第十四中学·期中)如图，，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 14．(24-25八上·广西柳州·期中)如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和E，∠B＝60°，∠C＝25°，则∠BAD为（    ） A．50° B．70° C．75° D．80° 15．(24-25八上·广西桂林灌阳县·期中)如图，在中，，点D为线段上一动点（不与点B，C重合），连接，作，交线段于点E，下列结论：①；②若，则；③当时，则D为中点；④当为等腰三角形时，；其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 16．(24-25八上·广西贵港覃塘区·期中)已知等腰三角形的一个内角等于，则它的一个底角是 ． 17．(24-25八上·广西南宁四校联考·期中)在中，，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线，交于点D，连接，则的度数为 ． 18．(24-25八上·广西南宁高新初级中学·期中)小丽从一张等腰三角形纸片ABC（AB＝AC）中恰好剪出五个如图所示的小等腰三角形，其中BC＝BD，EC＝EF＝FG＝DG＝DA，则∠B＝ °． 19．(24-25八上·广西池宜州区·期中)如图，在 中，，点 D是的延长线上一点，是线段的垂直平分线，交于点 F． 求证：点 E在线段的垂直平分线上． 20．(24-25八上·广西贵港港南区·期中)如图，已知，． （1）用尺规作边的垂直平分线；（保留作图痕迹，不写作法） （2）若边的垂直平分线交于、交于； ①连接，求的周长； ②若，求的度数． 21．(24-25八上·广西贵港覃塘区·期中)如图①所示，在中，高、相交于点，． (1)求证：； (2)求的度数； (3)如图②，延长到点，过点作的垂线交的延长线于点，当时，直接写出线段、、的数量关系：_____． 地 城 考点03 三线合一 22．(24-25八上·广西北海合浦县·期中)如图，，，于，则长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 23．(24-25八上·广西玉林玉州区·期中)如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法是：从电线杆上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳和，当固定点B、C到脚杆E的距离相等，点B、E、C在同一直线上时，电线杆就垂直于，工程人员这种操作方法的依据是（    ） A．等边对等角 B．等腰三角形的三线合一 C．垂线段最短 D．是的垂直平分线 24．(24-25八上·广西玉林玉林七县·期中)如图，在中，，，，且，则的度数为 ． 25．(24-25八上·广西钦州浦北县·期中)如图，D为内一点，平分，，若，则 ．    26．(24-25八上·广西南宁横州百合镇第三初级中学·期中)如图，厂房屋顶钢架是等腰三角形，其中，立柱，且顶角．求和的度数． 27．(24-25八上·广西防城港防城区·期中)如图，在中，，是的高．点分别在上，且，连接． (1)求证：； (2)若，求的度数． 28．(24-25八上·广西南宁横州百合镇第三初级中学·期中)等腰三角形是特殊的三角形，红领巾，屋顶，衣架，三角铁的横截面等，都有着等腰三角形的身影．等腰三角形中除了两腰相等，还有其他相等的线段，如，等腰三角形两腰上的中线相等．下面我们继续进行等腰三角形中的线段探究之旅： 如图1，中，，是底边的中线，于点于点． (1)与相等吗？请证明你的结论． (2)若将底边中点D沿着对称轴移动到其他位置（不与点A重合），如图2，图3所示，其他条件不变，与还相等吗？请证明你的结论． (3)根据以上探究你得到什么性质？请用文字语言描述出来． 地 城 考点04 等腰三角形的判定 29．(24-25八上·广西池宜州区·期中)如图，在中，与的平分线交于点I，过点I作交于点D，交于点E，且，，，则下列说法错误的是（    ）． A．和是等腰三角形 B． C．的周长是8 D． 30．(24-25八上·广西南宁凤岭北学区·期中)如图所示，中，，，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等腰三角形．其作法错误的是（    ） A．B．C．D． 31．(24-25八上·广西来宾兴宾区·期中)已知，如图，在等腰中，是的中点，点，分别在，上，且始终满足．则下面三个结论：①；②；③．其中正确的是（   ） A．①③ B．②③ C．①② D．①②③ 32．(24-25八上·广西贵港平南县·期中)如图，在等腰三角形ABC中，BD为∠ABC的平分线，∠A=36°，AB=AC=a，BC=b，则CD=（   ） A． B． C．a-b D．b-a 33．(24-25八上·广西玉林玉林七县·期中)如图，在△ABC中，∠A =65°，∠B =45°, BC的垂直平分线分别交AB、BC于D、E，则∠ACD= °. 34．(24-25八上·广西南宁凤岭北学区·期中)如图．在中，，，分别垂直平分，交线段于，，的延长线交于点，设为中点，连接． (1)求的度数； (2)证明：； (3)连接，的周长为，的周长为，求的长． 35．(24-25八上·广西南宁凤岭北学区·期中)如图，在中，，，点在线段上运动（点不与点重合），连接，作，交线段于点． (1)当时，______，______； (2)线段的长度为何值时，，请说明理由； (3)在点的运动过程中，当是等腰三角形时，求的度数． 36．(24-25八上·广西来宾兴宾区·期中)小明同学在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点作于点，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的、、、在同一平面上），过点作于点，测得，． (1)小明认为与一定相等，你同意他的看法吗？请说明理由； (2)连接，若，求的度数； (3)求的长． 37．(24-25八上·广西来宾武宣县·期中)已知：如图，点是等边三角形内一点，且，外一点满足，平分．    (1)求证：； (2)求的度数． (3)若，试判断与的位置关系，并说明理由． 38．(24-25八上·广西玉林玉州区·期中)建立模型：（）如图，过线段上一点作，过分别作于，于，且，求证：； 类比迁移：（）如图，直线交两坐标轴于点、，满足． ①求的值； ②点在第二象限内，连接，若在直角中，是斜边，且，求点的坐标； ③如图，在②的条件下，在边上取一点，作，且，连接，求的大小． 地 城 考点05 等边三角形的性质与判定 39．(24-25八上·广西贵港覃塘区·期中)如图，，等边的顶点B在直线b上，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 40．(24-25八上·广西防城港上思县·期中)等边三角形的对称轴有 条． 41．(24-25八上·广西贵港平南县·期中)如图，等边的边长为，D、E分别是上的点，将沿直线折叠，点A落在点处，且点在外部，则阴影部分图形的周长为 ．    42．(24-25八上·广西北海合浦县·期中)如图，在中，，，，将沿射线方向平移2个单位后得到，连接，则的长为 ． 43．(24-25八上·广西河池凤山县·期中)如图，在等边中，是边上的高，延长至点E，使，则的长为 ． 44．(24-25八上·广西贵港覃塘区·期中)已知：如图，在等边三角形的边上取中点，的延长线上取一点，使．求证： (1)； (2)． 45．(24-25八上·广西钦州浦北县·期中)货轮在海上以每小时40海里的速度沿南偏东的方向航行，已知货轮在B处时，测得灯塔A在其北偏东的方向上，航行半小时后货轮到达C处，此时测到灯塔A在其北偏东的方向上，求货轮到达C处时与灯塔A的距离． 46．(24-25八上·广西钦州浦北县·期中)如图，在是等边三角形，是中线，过作 ，交延长线于点． (1)求的度数； (2)求证：是的中线． 47．(24-25八上·广西池宜州区·期中)如图1，在中，，，为边上任一点，连接，延长到，使．设． (1)则的大小为______（用含的代数式表示）； (2)如图2，点在的平分线上，连接、，若，判断的形状并加以证明． 48．(24-25八上·广西南宁高新初级中学·期中)已知，在等边三角形中，点在直线上，点在的延长线上，且． (1)如图①，当点为边的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：______（填“”、“”或“”）． (2)如图②，当点为边上任意一点时，确定线段与的大小关系是：______（填“”、“”或“”）； 证明：过点作，交于点． ， （请把证明过程补充完整） (3)在等边三角形中，当点在线段的延长线上，点在线段的延长线上时，如图③，线段与的大小关系是：______（填“”、“”或“”），并说明理由． 地 城 考点06 含有30°锐角的直角三角形 49．(24-25八上·广西南宁四校联考·期中)如图，已知：，点、、…在射线上，点、、…在射线上，、、…均为等边三角形，若，则的边长为（    ） A． B． C． D． 50．(24-25八上·广西南宁四校联考·期中)在中，，，，则 ． 51．(24-25八上·广西钦州浦北县·期中)如图，中，，于点D，，，则的长是 ． 52．(24-25八上·广西南宁高新初级中学·期中)如图，在中，，，，则 ． 53．(24-25八上·广西南宁江南区·期中)如图，点是等边中边的中点，点，分别在，边上，且，若，，则的周长为 ．    54．如图①是某市地铁入口的双闸门，如图②，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，求当双翼收起时，两机箱之间的最大宽度为 ． 55．(24-25八上·广西玉林玉林七县·期中)如图，于点，于点，与交于，且，，． (1)求证：点在的平分线上． (2)求的长． 56．(24-25八上·广西防城港上思县·期中)如图，已知在中，，为边的中点，过点作，，垂足分别为，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 等腰三角形 6大高频考点概览 考点01 等腰三角形的定义 考点02 等边对等角 考点03 三线合一 考点04 等腰三角形的判定 考点05 等边三角形的性质与判定 考点06 含有30°锐角的直角三角形 地 城 考点01 等腰三角形的定义 1．(24-25八上·广西玉林玉林七县·期中)在平面直角坐标系内有一点，为原点，是坐标轴上的一个动点，若以点、、为顶点的三角形是等腰三角形，则符合条件的动点的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：∵， ∴， （1）当点在轴上，设点， 则，， ①为等腰三角形底边，则， ∴； ∴， 解得：， 此时点坐标为； ②为等腰三角形一条腰，则， 则符合条件的点有三个，坐标为，，； （2）当点在轴上，设点， 则，， ①为等腰三角形底边，则， ∴； ∴， 解得：， 此时点坐标为； ②为等腰三角形一条腰，则， 则符合条件的点有三个，坐标为，，； 综上所述，符合条件的点的坐标为，，，，，，或，共有个． 故选：A． 2．(24-25八上·广西贵港港南区·期中)等腰三角形的两边长分别为4，8，则其周长为：（   ） A．16 B．20 C．16或20 D．12 【答案】B 【解析】解：分两种情况： 当4为腰长，8为底边长时， ∵，不符合三角形三边关系， ∴该三角形不存在； 当8为腰长，4为底边长时， ∵，符合三角形三边关系， ∴该三角形周长为：． 故选：B． 3．(24-25八上·广西桂林永福县·期中)等腰三角形中，一个角为50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为（　　） A．150° B．80° C．50°或80° D．70° 【答案】C 【解析】解：①50°是底角，则顶角为：180°−50°×2＝80°； ②50°为顶角， ∴顶角的度数为50°或80°． 故选C． 4．(24-25八上·广西防城港上思县·期中)如图，在中，，，于D，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：，， ， 又， ， ． 故选：C． 5．(24-25八上·广西来宾兴宾区·期中)如图，在中，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M和点N，作直线分别交､于点D和点E，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：由题意可知：MN是线段AB的垂直平分线， ∴DB=DA， ∴∠B=∠BAD=50°， 又AB=AC， ∴∠B=∠C=50°， ∴∠BAC=80°， ∴∠CAD=∠BAC-∠BAD=30°， 故选：A． 6．(24-25八上·广西防城港防城区·期中)在等腰三角形中，它的两边长分别为和，则它的周长为 ． 【答案】/20厘米 【解析】解：等腰三角形的两条腰相等 ①当腰为时：三角形的周长为：； ②当腰为时：因为，此时不存在三角形． 故答案为：． 7．(24-25八上·广西百色田阳区·期中)等腰三角形有一个角的度数为，则它一条腰上的高与另一条腰的夹角的度数是 ． 【答案】或 【解析】解：当的角为顶角时，如下图， ∴一腰上的高与另一条腰所夹的角为， 当的角为底角时，则：顶角， ∴一腰上的高与另一条腰所夹的角为； 故答案为：或． 8．(24-25八上·广西防城港防城区·期中)如图，在的网格中，以为一边，点在格点处，使为等腰三角形的点有 个； 【答案】5 【解析】解：如图，当为底边时，以为底边的等腰三角形有3个， 如图，当为腰时，以为腰的等腰三角形有2个， 综上所述，使为等腰三角形的点有个， 故答案为：5． 9．(24-25八上·广西贵港港南区·期中)如图，在中，，，点从点出发以每秒速度向点运动，点从点同时出发以每秒速度向点运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当是以为底的等腰三角形时，运动的时间是 秒． 【答案】4 【解析】解：设运动的时间为，则，， ∵是以为底的等腰三角形， ∴，即， 解得，． 故答案为：4． 10．(24-25八上·广西钦州浦北县·期中)在中，，． (1)求长度的取值范围； (2)若为等腰三角形，则它的周长为________． 【答案】(1)(2)16 【解析】（1）解：∵在中，， ∴，即 ∴； （2）解：∵为等腰三角形， ①当时，，符合题意 ∴它的周长为； ②当时，，不能围成三角形，故不符合题意． 综上所述，它的周长为16． 11．(24-25八上·广西防城港上思县·期中)课间，小明拿着老师的等腰直角三角尺玩，不小心掉到两墙之间，如图所示，，，，． (1)求证：． (2)若，请你帮小明求出砌墙砖块的厚度的大小（假设每块砖的厚度相等）． 【答案】(1)见解析(2) 【解析】（1）证明：为等腰直角三角形， ，． 又，， ， ，， 则． 在和中， ； （2）解：一块墙砖的厚度为， ，， 由（1）可知， ，． ． ，即砌墙砖块的厚度为． 地 城 考点02 等边对等角 12．(24-25八上·广西贵港平南县·期中)如图，在中，，的垂直平分线交于点，的垂直平分线正好经过点，与相交于点，则的度数是(    )    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：如图，连接，   是的垂直平分线， ， ， ， 是的垂直平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选D． 13．(22-23八上·广西南宁第十四中学·期中)如图，，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：∵，， ∴， ∵， ∴，故C正确． 故选：C． 14．(24-25八上·广西柳州·期中)如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和E，∠B＝60°，∠C＝25°，则∠BAD为（    ） A．50° B．70° C．75° D．80° 【答案】B 【解析】∵DE是AC的垂直平分线， ∴DA=DC， ∴∠DAC=∠C=25°， ∵∠B=60°，∠C=25°， ∴∠BAC=95°， ∴∠BAD=∠BAC-∠DAC=70°， 故选B． 15．(24-25八上·广西桂林灌阳县·期中)如图，在中，，点D为线段上一动点（不与点B，C重合），连接，作，交线段于点E，下列结论：①；②若，则；③当时，则D为中点；④当为等腰三角形时，；其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解析】解：， ， ，， ，故①正确； 若， 由①得， ， ，故②正确； 若，则可得， ， D为中点，故③正确； 根据三角形外角的性质，可得， 故， 当时， ； 当， ，故④不正确， 所以正确的为①②③，为3个， 故选：C． 16．(24-25八上·广西贵港覃塘区·期中)已知等腰三角形的一个内角等于，则它的一个底角是 ． 【答案】或 【解析】解：当的角为等腰三角形的顶角时， 底角的度数； 当的角为等腰三角形的底角时，其底角为， 故它的底角的度数是或． 故答案为：或． 17．(24-25八上·广西南宁四校联考·期中)在中，，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线，交于点D，连接，则的度数为 ． 【答案】/60度 【解析】解：由作图可知：为线段的垂线平分线， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 故答案为：． 18．(24-25八上·广西南宁高新初级中学·期中)小丽从一张等腰三角形纸片ABC（AB＝AC）中恰好剪出五个如图所示的小等腰三角形，其中BC＝BD，EC＝EF＝FG＝DG＝DA，则∠B＝ °． 【答案】67.5 【解析】解：设∠ECF＝x， ∵EC＝EF， ∴∠EFC＝∠ECF＝x， ∴∠GEF＝2x， ∵EF＝GF， ∴∠FGE＝∠GEF＝2x， ∴∠DFG＝∠FGE+∠ECF＝3x， ∵DG＝GF， ∴∠GDF＝∠DFG＝3x， ∴∠AGD＝∠GDF+∠ECF＝4x， ∵DG＝DA， ∴∠A＝4x， ∴∠BDC＝∠A+∠ECF＝5x， ∵BC＝BD， ∴∠BDC＝∠BCD＝5x， ∴∠ACB＝∠BCD+∠ECF＝6x， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACD＝6x， ∵∠A+∠B+∠ACB＝180°， ∴4x+6x+6x＝180°，解得：x＝， ∴∠B＝＝67.5°． 故答案为：67.5． 19．(24-25八上·广西池宜州区·期中)如图，在 中，，点 D是的延长线上一点，是线段的垂直平分线，交于点 F． 求证：点 E在线段的垂直平分线上． 【解析】证明：∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴点E在的垂直平分线上． 20．(24-25八上·广西贵港港南区·期中)如图，已知，． （1）用尺规作边的垂直平分线；（保留作图痕迹，不写作法） （2）若边的垂直平分线交于、交于； ①连接，求的周长； ②若，求的度数． 【答案】（1）见解析；（2）①11；②26° 【解析】解：（1）如图，DE即为所求； （2）①∵DE是BC边的垂直平分线， ∴BD=DC， ∵AB=4，AC=7， ∴△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+AC=4+7=11； ②∵BD=CD， ∴∠DBC=∠C， ∴∠ADB=∠DBC+∠C=52°， ∴∠DBC=26°． 21．(24-25八上·广西贵港覃塘区·期中)如图①所示，在中，高、相交于点，． (1)求证：； (2)求的度数； (3)如图②，延长到点，过点作的垂线交的延长线于点，当时，直接写出线段、、的数量关系：_____． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【解析】（1）证明：在中，是高线， ∴， ∴． ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴． ∵， ∴； （3）解：． 如图所示，在上截取，连接， ∵是的高，， ∴． ∵， ∴， ∴． 由（2）可知，即， ∴， ∴， 即． ∵， ∴， ∴， ∴． 地 城 考点03 三线合一 22．(24-25八上·广西北海合浦县·期中)如图，，，于，则长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】解：∵，，， ∴； 故选B． 23．(24-25八上·广西玉林玉州区·期中)如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法是：从电线杆上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳和，当固定点B、C到脚杆E的距离相等，点B、E、C在同一直线上时，电线杆就垂直于，工程人员这种操作方法的依据是（    ） A．等边对等角 B．等腰三角形的三线合一 C．垂线段最短 D．是的垂直平分线 【答案】B 【解析】∵ ∴， 故工程人员这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”， 故选：B． 24．(24-25八上·广西玉林玉林七县·期中)如图，在中，，，，且，则的度数为 ． 【答案】 【解析】解：∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为． 故答案为：． 25．(24-25八上·广西钦州浦北县·期中)如图，D为内一点，平分，，若，则 ．    【答案】5 【解析】解：延长与交于点E，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：5． 26．(24-25八上·广西南宁横州百合镇第三初级中学·期中)如图，厂房屋顶钢架是等腰三角形，其中，立柱，且顶角．求和的度数． 【答案】； 【解析】解：∵且， ∴， ∵，， ∴． 27．(24-25八上·广西防城港防城区·期中)如图，在中，，是的高．点分别在上，且，连接． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析(2) 【解析】（1）证明：，是的高， ，， ∵，∴， 在和中， ， ； （2）解：，， ， ， ， ． 28．(24-25八上·广西南宁横州百合镇第三初级中学·期中)等腰三角形是特殊的三角形，红领巾，屋顶，衣架，三角铁的横截面等，都有着等腰三角形的身影．等腰三角形中除了两腰相等，还有其他相等的线段，如，等腰三角形两腰上的中线相等．下面我们继续进行等腰三角形中的线段探究之旅： 如图1，中，，是底边的中线，于点于点． (1)与相等吗？请证明你的结论． (2)若将底边中点D沿着对称轴移动到其他位置（不与点A重合），如图2，图3所示，其他条件不变，与还相等吗？请证明你的结论． (3)根据以上探究你得到什么性质？请用文字语言描述出来． 【答案】(1)；见解析 (2)成立；见解析 (3)等腰三角形底边中线上的点到两腰的距离相等 【解析】（1）解：与相等； ∵，是底边的中线， ∴平分， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：成立； ∵，是底边的中线， ∴平分， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：根据以上探究可以得到：等腰三角形底边中线上的点到两腰的距离相等． 地 城 考点04 等腰三角形的判定 29．(24-25八上·广西池宜州区·期中)如图，在中，与的平分线交于点I，过点I作交于点D，交于点E，且，，，则下列说法错误的是（    ）． A．和是等腰三角形 B． C．的周长是8 D． 【答案】B 【解析】解：∵与分别平分与， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴和是等腰三角形，故A正确； 根据题意，无法得到，故B错误； ∵，， ∴， ∵，， ∴的周长,故C正确； ∵， ∴， ∵与分别平分与， ∴ ， ∴，故D正确． 故选：B． 30．(24-25八上·广西南宁凤岭北学区·期中)如图所示，中，，，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等腰三角形．其作法错误的是（    ） A．B．C．D． 【答案】B 【解析】A.由作法可知，以点A为圆心，为半径画弧，交于点D， ， 是等腰三角形，不符合题意； B.由作法可知，是线段是垂直平分线， 和不一定是等腰三角形，符合题意； C. 由作法可知，分别以点B、点A为圆心，大于为半径画弧，连接弧线，交于点D，交于点E， 是线段是垂直平分线， 是等腰三角形，不符合题意； D. 由作法知，是的角平分线， ， 是等腰三角形，不符合题意； 故选：B． 31．(24-25八上·广西来宾兴宾区·期中)已知，如图，在等腰中，是的中点，点，分别在，上，且始终满足．则下面三个结论：①；②；③．其中正确的是（   ） A．①③ B．②③ C．①② D．①②③ 【答案】D 【解析】解：如图，连接， ∵在等腰中，，D是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴即， ∵，， ∴， ∴，，故①正确； ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴，故③正确； 故选：D． 32．(24-25八上·广西贵港平南县·期中)如图，在等腰三角形ABC中，BD为∠ABC的平分线，∠A=36°，AB=AC=a，BC=b，则CD=（   ） A． B． C．a-b D．b-a 【答案】C 【解析】解：∵在等腰△ABC中，BD为∠ABC的平分线，∠A=36°， ∴∠ABC=∠C=2∠ABD=72°， ∴∠ABD=36°=∠A， ∴BD=AD， ∴∠BDC=∠A+∠ABD=72°=∠C， ∴BD=BC， ∵AB=AC=a，BC=b， ∴CD=AC-AD=a-b， 故选：C． 33．(24-25八上·广西玉林玉林七县·期中)如图，在△ABC中，∠A =65°，∠B =45°, BC的垂直平分线分别交AB、BC于D、E，则∠ACD= °. 【答案】25°. 【解析】在△ABC中, ∵∠A=65°,∠B=45°， ∴∠ACB=180°−∠A−∠B=70°， ∵DE是BC的垂直平分线， ∴DB=DC， ∴∠DCB=∠B=45°， ∴∠ACD=∠ACB−∠DCB=70°−45°=25°. 故答案为25°. 34．(24-25八上·广西南宁凤岭北学区·期中)如图．在中，，，分别垂直平分，交线段于，，的延长线交于点，设为中点，连接． (1)求的度数； (2)证明：； (3)连接，的周长为，的周长为，求的长． 【答案】(1)(2)见详解(3) 【解析】（1）解： ，分别垂直平分， ， ， ， ， ， 又， ； （2）连接， ，分别垂直平分， ， ， 点F在线段的垂直平分线上， 又点为中点， ； （3） ，分别垂直平分， ，， 的周长为， ， 的周长为， ， ， ， ， ． 35．(24-25八上·广西南宁凤岭北学区·期中)如图，在中，，，点在线段上运动（点不与点重合），连接，作，交线段于点． (1)当时，______，______； (2)线段的长度为何值时，，请说明理由； (3)在点的运动过程中，当是等腰三角形时，求的度数． 【答案】(1)， (2)当时，， (3)的度数为或 【解析】（1）解：， ， ， ， ， ， 故答案为：，； （2）当时，，理由如下： ，，， ， ， 当时， ， ； （3）当是等腰三角形时，分情况讨论： 当时， ， ， 又， 点E和点C重合，不符合题意，舍去； 当时， ， ， ； 当时， ， ，， ； 综上所述：的度数为或． 36．(24-25八上·广西来宾兴宾区·期中)小明同学在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点作于点，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的、、、在同一平面上），过点作于点，测得，． (1)小明认为与一定相等，你同意他的看法吗？请说明理由； (2)连接，若，求的度数； (3)求的长． 【答案】(1)同意他的看法，即，理由见解析 (2) (3) 【解析】（1）解：同意他的看法，即，理由如下： ； （2）解：连接如图所示， 由旋转的性质可知． 是等腰三角形， ． ， ； （3）解：由旋转的性质可知 ， 又， ． 37．(24-25八上·广西来宾武宣县·期中)已知：如图，点是等边三角形内一点，且，外一点满足，平分．    (1)求证：； (2)求的度数． (3)若，试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，理由见解析 【解析】（1）证明：三角形是等边三角形， ， ， ， 平分， ， 在和中， ， ； （2）解：三角形是等边三角形， ，， 在和中， ， ， ， ， ， 由（1）得，， ； （3）解：， 理由如下： 由（1）得，， ， 由（2）得，， ， ， ， ， 如图，令交于点，   ， 则 ， ， ， ． 38．(24-25八上·广西玉林玉州区·期中)建立模型：（）如图，过线段上一点作，过分别作于，于，且，求证：； 类比迁移：（）如图，直线交两坐标轴于点、，满足． ①求的值； ②点在第二象限内，连接，若在直角中，是斜边，且，求点的坐标； ③如图，在②的条件下，在边上取一点，作，且，连接，求的大小． 【答案】（）证明见解析；（）①，；②；③ 【解析】（）证明：∵，，， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴； （）解：①∵， ∴，， 解得，； ②由①可得，，， 过作于， 由题可得，， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴； ③过点作于点，过作于， 则， ∴，， ∴，   ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 地 城 考点05 等边三角形的性质与判定 39．(24-25八上·广西贵港覃塘区·期中)如图，，等边的顶点B在直线b上，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：∵是等边三角形， ∴， 过C作 直线l， ∵直线 直线m， ∴直线 直线， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 40．(24-25八上·广西防城港上思县·期中)等边三角形的对称轴有 条． 【答案】3 【解析】解：根据等边三角形特征：等边三角形的对称轴有3条，是底边中线所在直线，故答案为：3． 41．(24-25八上·广西贵港平南县·期中)如图，等边的边长为，D、E分别是上的点，将沿直线折叠，点A落在点处，且点在外部，则阴影部分图形的周长为 ．    【答案】3 【解析】解：∵等边的边长为， ∴， ∵沿直线折叠，点A落在点处， ∴， ∴阴影部分图形的周长为： ， 故答案为：3． 42．(24-25八上·广西北海合浦县·期中)如图，在中，，，，将沿射线方向平移2个单位后得到，连接，则的长为 ． 【答案】4 【解析】解：沿射线方向平移2个单位后得到， ，，， ∴， ∴ 是等边三角形， ， 故答案为：4． 43．(24-25八上·广西河池凤山县·期中)如图，在等边中，是边上的高，延长至点E，使，则的长为 ． 【答案】3 【解析】解：∵是等边三角形， ∴， ∵是边上的高线， ∴D为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：3． 44．(24-25八上·广西贵港覃塘区·期中)已知：如图，在等边三角形的边上取中点，的延长线上取一点，使．求证： (1)； (2)． 【解析】（1）证明：∵是等边三角形，是的中点， ∴，， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵是等边三角形，是的中点， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴． 45．(24-25八上·广西钦州浦北县·期中)货轮在海上以每小时40海里的速度沿南偏东的方向航行，已知货轮在B处时，测得灯塔A在其北偏东的方向上，航行半小时后货轮到达C处，此时测到灯塔A在其北偏东的方向上，求货轮到达C处时与灯塔A的距离． 【答案】20海里 【解析】解：如图， 根据题意得：， ， ， 又， ， 是等边三角形， （海里）， 答：货轮到达处时与灯塔的距离是20海里． 46．(24-25八上·广西钦州浦北县·期中)如图，在是等边三角形，是中线，过作 ，交延长线于点． (1)求的度数； (2)求证：是的中线． 【答案】(1)(2)见解析 【解析】（1）解：∵是等边三角形，是中线， ∴平分， ∴， ∵ ， ∴； （2）证明：由（1）可知，，， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∵在等边三角形中，， ∴， ∴是的中线． 47．(24-25八上·广西池宜州区·期中)如图1，在中，，，为边上任一点，连接，延长到，使．设． (1)则的大小为______（用含的代数式表示）； (2)如图2，点在的平分线上，连接、，若，判断的形状并加以证明． 【答案】(1) (2)是等边三角形，证明见解析 【解析】（1）解：∵，， ∴， ∴； （2）解：是等边三角形，证明如下： ∵在中，，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵点在的平分线上， ∴， 由（1）可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形． 48．(24-25八上·广西南宁高新初级中学·期中)已知，在等边三角形中，点在直线上，点在的延长线上，且． (1)如图①，当点为边的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：______（填“”、“”或“”）． (2)如图②，当点为边上任意一点时，确定线段与的大小关系是：______（填“”、“”或“”）； 证明：过点作，交于点． ， （请把证明过程补充完整） (3)在等边三角形中，当点在线段的延长线上，点在线段的延长线上时，如图③，线段与的大小关系是：______（填“”、“”或“”），并说明理由． 【答案】(1) (2)；证明过程见详解 (3)；理由见详解 【解析】（1）解：，理由如下： ∵是等边三角形，点是的中点， ∴平分，，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 故答案为： （2）证明：过点作，交于点． ， ， ， ∵是等边三角形且， ∴，，，， ∴是等边三角形，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 即， （3）解：过点作 ，交的延长线于点，如图所示： ∵是等边三角形， ∴，， ∴，∘， 即， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ 地 城 考点06 含有30°锐角的直角三角形 49．(24-25八上·广西南宁四校联考·期中)如图，已知：，点、、…在射线上，点、、…在射线上，、、…均为等边三角形，若，则的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的边长：， 同理可得， 的边长：， 的边长：， …， 可归纳得的边长， ∴的边长为． 故选：B． 50．(24-25八上·广西南宁四校联考·期中)在中，，，，则 ． 【答案】2 【解析】解：在Rt△ABC中，∵∠C=90°，∠A=30°，AB=4， ∴BC=AB=2． 故答案为：2． 51．(24-25八上·广西钦州浦北县·期中)如图，中，，于点D，，，则的长是 ． 【答案】 【解析】解：∵，， ∴，， ∵，即， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 52．(24-25八上·广西南宁高新初级中学·期中)如图，在中，，，，则 ． 【答案】6 【解析】解：在中，，，， ∴， ∴， 故答案为：6． 53．(24-25八上·广西南宁江南区·期中)如图，点是等边中边的中点，点，分别在，边上，且，若，，则的周长为 ．    【答案】30 【解析】解：如图，作,垂足分别为M、N．    ∵是等边三角形， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， 设， ∵，，， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的周长为30． 故答案为：30． 54．如图①是某市地铁入口的双闸门，如图②，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，求当双翼收起时，两机箱之间的最大宽度为 ． 【答案】60 【解析】解：过点A作于点E，过点B作于点F， ∵，， ∴，， ∴通过闸机的物体最大宽度为． 故答案为：60． 55．(24-25八上·广西玉林玉林七县·期中)如图，于点，于点，与交于，且，，． (1)求证：点在的平分线上． (2)求的长． 【答案】(1)证明见解析(2) 【解析】（1）证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴点在的平分线上； （2）解：由（1）知：点在的平分线上， 即平分， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴是直角三角形， ∴， ∴的长为． 56．(24-25八上·广西防城港上思县·期中)如图，已知在中，，为边的中点，过点作，，垂足分别为，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析；(2)． 【解析】（1）证明：，， ， 又， ， 又 为边中点， ， 在和中，， ； （2）解：，， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $