专题06 三角形中的常见模型及最值问题（期中真题汇编，广西专用）八年级数学上学期人教版2024

专题06 三角形中的常见模型及最值问题 4大高频考点概览 考点01 倍长中线模型 考点02 一线三等角模型 考点03 旋转模型 考点04 最值问题 地 城 考点01 倍长中线模型 1．(24-25八上·广西玉林玉州区·期中)某数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使，请你写出证明“”的推理过程． (1)求证：； (2)由（1）的结论，根据与之间的关系，求的取值范围； (3)【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】如图2中，，，是的中线，，，且，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)12 【解析】（1）证明：延长到点E，使， 在和中， ， ∴， （2）解：∵， ∴， 在中，， ∴， ∴； （3）解：如图3，延长，交于点， ∵， ∴， ∴， ∵是中线， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴． 2．(24-25八上·广西玉林玉林七县·期中)综合与实践 【问题呈现】某数学课外兴趣小组碰到以下问题：如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．小明的方法为：延长到，使，连接，构造，再利用三角形三边关系，从而解决问题．数学课外兴趣小组经过合作交流，得到了如下的方法：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．请根据上述方法解决下面问题： 【理解运用】如图2，是的中线，交于点，交于点，且．求证： 【实践应用】如图3，点是边的中点，分别交、于点、，求证：． 【答案】[理解运用]证明见解析；[实践应用]证明见解析 【解析】[理解运用]证明：如图，延长到，使，连接， ∵是中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； [实践应用]证明：如图，延长到点，使，连接、， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中， ∴． 地 城 考点02 一线三等角模型 3．(24-25八上·广西南宁横州百合镇第三初级中学·期中)如图，于点，于点，点是上一点，，，，则的长为（    ）． A．6 B．8 C．10 D．16 【答案】D 【解析】解：∵，，， ∴ ∴，， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴． 故选：D． 4．(24-25八上·广西南宁江南区·期中)如图1，在平面直角坐标系中，，，直线交坐标轴于和． (1)若和满足，则点A的坐标为______，点B的坐标为______，点C的坐标为______． (2)如图2，点，点分别在y轴正半轴和x轴负半轴上，其中a，b满足，点C在第四象限，过点C作轴于点P，求的值； (3)如图3，若y轴恰好平分，与y轴交于点D，过点C作轴于点E，问与有怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)，理由见解析 【解析】（1）解： 和满足， ，， ，， 点的坐标为，点的坐标为， ，， 过点C作轴，垂足为D，则， ， ∴， ∴， ，， ， ，， ， 点在第四象限， 点的坐标为：． （2）解： 轴， ， ， 又， ， ， 又， ， ，， ， ． 点，点分别在轴正半轴和轴负半轴上运动， ． ， ． （3）解：延长交的延长线与点， y轴恰好平分， ， 轴于点E， ， ， ， ． ，， 轴， 轴， ， ， ， ， 又 ， ， ， ． 5．(24-25八上·广西柳州·期中)阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． (1)问题解决：如图1，在等腰直角中，，过点作直线，于点于点，则与的数量关系是____________； (2)问题探究：如图2，在等腰直角中，，过点作直线于点于点，求的长； (3)拓展延伸：如图3．在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，求点坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【解析】（1）解：与的数量关系是． 证明：， ∴， ∴， 又∵， ∴ ∴； （2）解：， ， ， ， 在与中， ， ， 又， ； （3）解：过点作轴，过点作轴，过点作轴，分别交于点， 轴，轴，轴， ， 又， ， ， 在与中， ， ， ， ， 点坐标为 6．(24-25八上·广西玉林容县·期中)（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D、E．证明：． （2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线l上，并且有，其中α为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过的边、向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点I，求证：I是的中点． 【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3）见解析 【解析】解：（1）如图1， 直线l，直线l， ∴， ， ∴， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； （2）成立，理由如下： 如图， 证明如下： ， ∴， ∴， 在和中． ． ∴，， ∴； （3）如图3， 过E作于M，的延长线于N． ∴， ， ， 是边上的高， ， ， ， ， ， ， 同理， ， ， 在△EMI和△GNI中， ， ， ， I是的中点． 地 城 考点03 旋转模型 7．(24-25八上·广西玉林玉州区·期中)如图，在和中，，，，．连接，交于点M，连接．下列结论：①，②，③，④平分．其中正确的结论有（    ） A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④ 【答案】D 【解析】解： ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴，，故③正确； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，故①正确； 过点O作于E，于F， ∵， ∴，， ∴， ∴平分，故④正确； ∴， ∵,,且, ∴．故②错误； 综上所述正确的有①③④． 故选：D． 8．(24-25八上·广西南宁四校联考·期中)如图，已知C是线段上的任意一点（端点除外），分别以为边并且在的同一侧作等边三角形和等边三角形，连接交于点M，连接交于点N．给出以下四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】证明：∵都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，，故②正确； ∴是等边三角形， ∴， ∴，故③正确； 根据现有条件无法证明， ∴无法证明，故④错误； ∴正确的有3个， 故选：C． 9．(24-25八上·广西柳州融水苗族自治县·期中)如图，已知，，． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)证明见解析(2) 【解析】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴ ； （2）解：由（1）知， ∵， ∴． 10．(24-25八上·广西玉林玉林七县·期中)如图，已知和中，，，相交于点P． (1)证明：； (2)求的度数； 【答案】(1)证明见解析(2) 【解析】（1）证明：∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴； （2）解：∵ ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ． 11．(24-25八上·广西南宁四校联考·期中)【问题初探】 和是两个都含有角的大小不同的直角三角板    （1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，D、B，C在同一直线上，连接，请证明： 【类比探究】 （2）当三角板保持不动时，将三角板绕点B顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由． 【拓展延伸】 如图（3），在四边形中，，连接，，，A到直线的距离为7，请求出的面积． 【答案】（1）见解析；（2），；（3） 【解析】（1）∵和是两个都含有角的大小不同的直角三角板，    ∴，，， ∴， ∴； （2），，理由如下： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 延长与交于点，      ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）过作交延长线于，过作交于，    ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵A到直线的距离为7， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 12．(24-25八上·广西贵港桂平·期中)（1）如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，当△DCE旋转至点A，D，E在同一直线上，连接BE．填空：①∠AEB的度数为 ；②线段AD，BE之间的数量关系为 ． （2）如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，，点A，D，E三点在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之前的数量关系．并说明理由． （3）图1中的△ACB和△DCE，在△DCE旋转中当点A，D，E在不同一直线上时，设AD与BE相交于点O，旋转角 尝试在图中探索∠AOE的度数，直接写出结果，不必说明理由． 【答案】（1）①60°；②AD=BE；（2）∠AEB =90°；AE =BE+2CM；（3）∠AOE的度数是60°或120°． 【解析】解：（1）①如图1， ∵△ACB和△DCE均为等边三角形， ∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°， ∴∠ACD=∠BCE， 在△ACD和△BCE中， ， ∴△ACD≌△BCE（SAS）． ∴∠ADC=∠BEC． ∵△DCE为等边三角形， ∴∠CDE=∠CED=60°， ∵点A，D，E在同一直线上， ∴∠ADC=120°， ∴∠BEC=120°， ∴∠AEB=∠BEC-∠CED=60°， 故答案为：60°； ②∵△ACD≌△BCE， ∴AD=BE， 故答案为：AD=BE； （2）∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形， ∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°． ∴∠ACD=∠BCE， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴BE=AD，∠ADC=∠BEC， ∵△DCE为等腰直角三角形， ∴∠CDE=∠CED=45°． ∵点A，D，E在同一直线上， ∴∠ADC=135°． ∴∠BEC=135°， ∴∠AEB=∠BEC-∠CED=90°， ∵△DCE为等腰直角三角形，CM为△DCE中DE边上的高， ∴CM为△DCE的中线， ∴CM， 由图可得：AE=AD+DE=BE+2CM； 即AE =BE+2CM； （3）如图3， 由（1）知△ACD≌△BCE， ∴∠CAD=∠CBE， ∵∠CAB=∠CBA=60°， ∴∠OAB+∠OBA=120°， ∴∠AOE=180°-120°=60°， 如图4， 同理求得∠AOB=60°， ∴∠AOE=120°， ∴∠AOE的度数是60°或120°． 13．(24-25八上·广西钦州浦北县·期中)小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形． （1）问题发现：如图1，若△ABC和△ADE均是顶角为40°的等腰三角形，BC、DE分别是底边，求证：BD＝CE； （2）拓展探究：如图2，若△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一条直线上，连接BE，则∠AEB的度数为　 　；线段BE与AD之间的数量关系是　 　； （3）解决问题：如图3，若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一条直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系并说明理由．    【答案】（1）见解析；（2）60°，BE＝AD；（3）∠AEB＝90°，AE＝BE+2CM，理由见解析 【解析】解：（1）∵△ABC和△ADE均是顶角为40°的等腰三角形， ∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD， ∴∠BAD＝∠CAE， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴BD＝CE； （2）∵△ABC和△ADE均是等边三角形， ∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝∠CDE＝∠CED＝60°， ∴∠ACB﹣∠BCD＝∠DCE﹣∠BCD， ∴∠ACD＝∠BCE， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC， ∵∠CDE＝60°， ∴∠BEC＝∠ADC＝180°﹣∠CDE＝120°， ∵∠CED＝60°， ∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝60°， 故答案为：60°，BE＝AD； （3）AE＝BE+2CM，理由： 同（1）（2）的方法得，△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC， ∵△CDE是等腰直角三角形， ∴∠CDE＝∠CED＝45°， ∴∠ADC＝180°﹣∠CDE＝45°， ∴∠BEC＝∠ADC＝135°， ∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝135°﹣45°＝90°， ∵CD＝CE，CM⊥DE， ∴DM＝ME， ∵∠DCE＝90°， ∴DM＝ME＝CM． ∴AE＝AD+DE＝BE+2CM． 地 城 考点04 最值问题 14．(24-25八上·广西池宜州区·期中)如图，在等边三角形中，边上的中线，E是上的一个动点，F是边上的一个动点，在点E，F运动的过程中，的最小值是（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【解析】解：如图：连接， 是等边三角形，是中线， 垂直平分， ， ， 当点C，点E，点F三点共线，且时，值最小，即的值最小． 此时：是等边三角形，，， ， 即的最小值是6， 故选A． 15．(24-25八上·广西玉林容县·期中)如图，等腰三角形的底边长为4，面积是16，腰的垂直平分线分别交边于E，F点．若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【解析】解：连接， ∵是等腰三角形，点D是边的中点， ∴，， ∴， 解得， ∵是线段的垂直平分线， ∴点C关于直线的对称点为点A， ∴的长为的最小值， ∴周长的最小值为． 故选：C． 16．(24-25八上·广西玉林玉州区·期中)如下图所示，在中，，平分，为线段上一动点，为边上一动点，当的值最小时，的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：在上截取，连接，如图所示： ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当A、P、E在同一直线上，且时，最小，即最小，过点A作于点E，交于点P，如图所示： ∵，， ∴， ∴，故A正确． 故选：A． 17．(24-25八上·广西柳州融水苗族自治县·期中)如图，在中，，于点，，，点为边上的动点，点为边上的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【解析】解：连接，过点作， ，，，， ，， ， 当、、三点共线且时，的最小值为， ， ，即的最小值为， 故答案为：． 18．(24-25八上·广西柳州柳城县东泉中学，太平中学，文昌中学等·期中)如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，取的中点，的中点．则在旋转过程中，线段的最小值 ． 【答案】2.5 【解析】解：连接，如图：   将绕顶点顺时针旋转得到， ，， 为的中点， ， ，为中点， ， 在中，， 当，，不能构成三角形，且在上时，取最小值，此时，如图：   的最小值为． 故答案为：． 19．(24-25八上·广西池宜州区·期中)如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点、、在小正方形的顶点上． (1)在图中画出与关于直线成轴对称的； (2)的面积为______． (3)在直线上确定点，使得最小． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【解析】（1）解：如图所示，即为所求， ； （2）解：的面积； （3）解：如图所示，点即为所求． 20．(24-25八上·广西南宁江南区·期中)如图，在平面直角坐标系中，在坐标系中，，．    (1)在图中画出关于x轴的对称图形； (2)分别写出对应点，，的坐标； (3)请在图中的x轴上找一点P，使得的值最小，并直接写出点P的坐标． 【答案】(1)图见解析 (2)，， (3)图见解析， 【解析】（1）解：如图所示，关于轴的对称图形，    （2），，． （3）解：连接，与x轴交于点P，即为所求，    ∴，则， 由图得点P的坐标为． 21．(24-25八上·广西来宾兴宾区·期中)如图，某城镇要在街道旁修建一个牛奶站，向居民区，区提供牛奶． (1)任务一：利用尺规作图，在图1中确定街道上牛奶站所建的位置，使区，区到它的距离相等（不写作法，保留作图痕迹）； (2)任务二：为了配送到区和区的距离之和最短，那么牛奶站在街道上的哪个位置？ 小明同学将利用所学的知识巧妙地解决了这个问题．如图2，作关于直线的对称点，连接与直线交于点，点就是所求的位置． 请你阅读下列解题的过程，并完成填空： 证明：如图2，在直线上另取任一点，连结，，， 直线是点，的对称轴，点，在上， __________，__________， __________． 在中， ， ． ，即最小． (3)任务三：如图3，有两条公路和经过村庄，它们的夹角，现要在距离村庄500米的种植园处新建如图所示的三条小路，，，使三条小路刚好围成一个三角形，求周长的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)，， (3)500米 【解析】（1）解：如图1所示，牛奶站应建在点处． （2）证明：如图2，在直线上另取任一点，连结，，， 直线是点，的对称轴，点，在上， ，， ． 在中， ， ． ，即最小； （3）解：如图3所示，分别作点关于，的对称点、，连接， 分别交，于点M、N，此时的周长最小，其最小值等于的长． 由对称的性质可得米，，， ， 是等边三角形， 米 米． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 三角形中的常见模型及最值问题 4大高频考点概览 考点01 倍长中线模型 考点02 一线三等角模型 考点03 旋转模型 考点04 最值问题 地 城 考点01 倍长中线模型 1．(24-25八上·广西玉林玉州区·期中)某数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使，请你写出证明“”的推理过程． (1)求证：； (2)由（1）的结论，根据与之间的关系，求的取值范围； (3)【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】如图2中，，，是的中线，，，且，求的长． 2．(24-25八上·广西玉林玉林七县·期中)综合与实践 【问题呈现】某数学课外兴趣小组碰到以下问题：如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．小明的方法为：延长到，使，连接，构造，再利用三角形三边关系，从而解决问题．数学课外兴趣小组经过合作交流，得到了如下的方法：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．请根据上述方法解决下面问题： 【理解运用】如图2，是的中线，交于点，交于点，且．求证： 【实践应用】如图3，点是边的中点，分别交、于点、，求证：． 地 城 考点02 一线三等角模型 3．(24-25八上·广西南宁横州百合镇第三初级中学·期中)如图，于点，于点，点是上一点，，，，则的长为（    ）． A．6 B．8 C．10 D．16 4．(24-25八上·广西南宁江南区·期中)如图1，在平面直角坐标系中，，，直线交坐标轴于和． (1)若和满足，则点A的坐标为______，点B的坐标为______，点C的坐标为______． (2)如图2，点，点分别在y轴正半轴和x轴负半轴上，其中a，b满足，点C在第四象限，过点C作轴于点P，求的值； (3)如图3，若y轴恰好平分，与y轴交于点D，过点C作轴于点E，问与有怎样的数量关系？请说明理由． 5．(24-25八上·广西柳州·期中)阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． (1)问题解决：如图1，在等腰直角中，，过点作直线，于点于点，则与的数量关系是____________； (2)问题探究：如图2，在等腰直角中，，过点作直线于点于点，求的长； (3)拓展延伸：如图3．在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，求点坐标． 6．(24-25八上·广西玉林容县·期中)（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D、E．证明：． （2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线l上，并且有，其中α为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过的边、向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点I，求证：I是的中点． 地 城 考点03 旋转模型 7．(24-25八上·广西玉林玉州区·期中)如图，在和中，，，，．连接，交于点M，连接．下列结论：①，②，③，④平分．其中正确的结论有（    ） A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④ 8．(24-25八上·广西南宁四校联考·期中)如图，已知C是线段上的任意一点（端点除外），分别以为边并且在的同一侧作等边三角形和等边三角形，连接交于点M，连接交于点N．给出以下四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．(24-25八上·广西柳州融水苗族自治县·期中)如图，已知，，． (1)求证：； (2)求的度数． 10．(24-25八上·广西玉林玉林七县·期中)如图，已知和中，，，相交于点P． (1)证明：； (2)求的度数； 11．(24-25八上·广西南宁四校联考·期中)【问题初探】 和是两个都含有角的大小不同的直角三角板    （1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，D、B，C在同一直线上，连接，请证明： 【类比探究】 （2）当三角板保持不动时，将三角板绕点B顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由． 【拓展延伸】 如图（3），在四边形中，，连接，，，A到直线的距离为7，请求出的面积． 12．(24-25八上·广西贵港桂平·期中)（1）如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，当△DCE旋转至点A，D，E在同一直线上，连接BE．填空：①∠AEB的度数为 ；②线段AD，BE之间的数量关系为 ． （2）如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，，点A，D，E三点在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之前的数量关系．并说明理由． （3）图1中的△ACB和△DCE，在△DCE旋转中当点A，D，E在不同一直线上时，设AD与BE相交于点O，旋转角 尝试在图中探索∠AOE的度数，直接写出结果，不必说明理由． 13．(24-25八上·广西钦州浦北县·期中)小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形． （1）问题发现：如图1，若△ABC和△ADE均是顶角为40°的等腰三角形，BC、DE分别是底边，求证：BD＝CE； （2）拓展探究：如图2，若△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一条直线上，连接BE，则∠AEB的度数为　 　；线段BE与AD之间的数量关系是　 　； （3）解决问题：如图3，若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一条直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系并说明理由．    地 城 考点04 最值问题 14．(24-25八上·广西池宜州区·期中)如图，在等边三角形中，边上的中线，E是上的一个动点，F是边上的一个动点，在点E，F运动的过程中，的最小值是（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 15．(24-25八上·广西玉林容县·期中)如图，等腰三角形的底边长为4，面积是16，腰的垂直平分线分别交边于E，F点．若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 16．(24-25八上·广西玉林玉州区·期中)如下图所示，在中，，平分，为线段上一动点，为边上一动点，当的值最小时，的度数是（    ） A． B． C． D． 17．(24-25八上·广西柳州融水苗族自治县·期中)如图，在中，，于点，，，点为边上的动点，点为边上的动点，则的最小值是 ． 18．(24-25八上·广西柳州柳城县东泉中学，太平中学，文昌中学等·期中)如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，取的中点，的中点．则在旋转过程中，线段的最小值 ． 19．(24-25八上·广西池宜州区·期中)如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点、、在小正方形的顶点上． (1)在图中画出与关于直线成轴对称的； (2)的面积为______． (3)在直线上确定点，使得最小． 20．(24-25八上·广西南宁江南区·期中)如图，在平面直角坐标系中，在坐标系中，，．    (1)在图中画出关于x轴的对称图形； (2)分别写出对应点，，的坐标； (3)请在图中的x轴上找一点P，使得的值最小，并直接写出点P的坐标． 21．(24-25八上·广西来宾兴宾区·期中)如图，某城镇要在街道旁修建一个牛奶站，向居民区，区提供牛奶． (1)任务一：利用尺规作图，在图1中确定街道上牛奶站所建的位置，使区，区到它的距离相等（不写作法，保留作图痕迹）； (2)任务二：为了配送到区和区的距离之和最短，那么牛奶站在街道上的哪个位置？ 小明同学将利用所学的知识巧妙地解决了这个问题．如图2，作关于直线的对称点，连接与直线交于点，点就是所求的位置． 请你阅读下列解题的过程，并完成填空： 证明：如图2，在直线上另取任一点，连结，，， 直线是点，的对称轴，点，在上， __________，__________， __________． 在中， ， ． ，即最小． (3)任务三：如图3，有两条公路和经过村庄，它们的夹角，现要在距离村庄500米的种植园处新建如图所示的三条小路，，，使三条小路刚好围成一个三角形，求周长的最小值． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $