2.1.2 基本不等式＆2.1.3 基本不等式的应用 能力提升训练-2025-2026学年高一上学期数学湘教版必修第一册

高一上册湘教版数学必修第一册 第2章 一元二次函数、方程和不等式 2.1 相等关系与不等关系 2.1.2 基本不等式＆2.1.3 基本不等式的应用 能力提升训练 1.（2025安徽六安统考）已知，两地的距离是 .根据交通法规，两地之间的公路车速应限制在.假设油价是8元/，汽车以 的速度行驶时，耗油率为 ，司机每小时的工资是56元，由老板支付油费和司机工资，那么对老板来说，最经济的车速是( ) A. B. C. D. 2.（2025河南信阳期末）大招15,17若，则 的最小值是( ) A. B.6 C. D.9 3.（2025山东菏泽一中月考）若对于任意的，恒成立，则 的取值范围为( ) A. B. C. D. 4.（2025福建漳州期中）大招17,18已知正数,满足，则 的最小值是( ) A.17 B.16 C.15 D.14 5.（多选/2025安徽芜湖联考）大招15下列结论中，正确的有( ) A.取得最大值时的值为 B.若，则的最大值为 C. 的最小值为2 D.若，，则 6.（多选/2025甘肃嘉峪关期中）大招16,17已知正实数，满足 ，则下列选项错误的是( ) A.的最小值为2 B. 的最小值为1 C.的最小值为4 D.的最大值为 7.（2025广东联考）大招26已知，且是方程的一个根，则 的最小值是___. 8.大招19已知实数,,,，则 的最大值为_ ____. 9.（2025安徽合肥期中）我们知道，当且仅当 时等号成 立,即，的算术平均数的平方不大于， 平方的算术平均数. （1） 证明：此结论可以推广到三元，即，当且仅当 时等号成立. （2） 已知,,.若不等式 恒成立，利用（1）中的不等式，求实数 的最小值. 10. （2025江苏扬州检测）已知，，， 为正实数，利用基本不等式证明 （1），确定（2），并指出等号成立的条件，然后解（3）中的问题. （1） 请根据基本不等式，证明 ； （2） 请根据（1）中的结论，确定与 的大小关系（无须推导）； （3） 若，求 的最小值. 参考答案 1.C【解析】 记行车的总费用为,则 ,其中,由基本不等式可得 （元）,当且仅当时,即当 时,等号成立,因此对老板来说,最经济的车速是 . 2.A【解析】 因为,可得,且 （隐含“和为定值”）, 则 ,当且仅当时,即时,等号成立,所以的最小值是 . 3.B【解析】 因为不等式对任意的恒成立,所以大于等于 的最大值.因为,所以,当且仅当,即 时等号成立,所以 . 4.A【解析1】 , （已知条件中的分母分别是x+1,y,将待求式配凑成x+1+y,通过“1”的代换完成齐次化） ,当且仅当,即,时等号成立,所以 的最小值为17. 【解析2】令,则, ,而,当且仅当, ,即 ,时等号成立,所以 的最小值为17. 5.AD【解析】 （和为定值）,根据基本不等式知,当,即时, 取得最大值； （积为定值）,若,则,所以,当且仅当 , 即时取等号,则,即的最大值为 ； （积为定值） ,等号成立的条件是,即, 不存在,故结论不正确； 由,得,,由不等式的性质得 . 6.BC【解析】 因为,, , 所以（“1”的代换） ,当且仅 当时等号成立,所以 的最小值为2； ,当且仅当时等号成立,所以 的最大值为1； ,当且仅当 时等号成立,所以 的最小值为2； 因为,所以,当且仅当 时等号成立,所以的最大值为 . 7.8【解析】 由是方程的一个根可得 （利用方程的解得到两个变量的关系,便于消元）， 即,且,所以,当且仅当 ,即时等号成立,故 的最小值是8. 8. 【解析1】 要出现,,,必然有,, 的形式,因此对分母拆分,拆分得到的系数待定. ,要使分子、分母能进行约分,则分子、分母中,, 的系数比例相同,则 时有最大值,则则,即,由 得,由解题过程知即为所求式的最大值,为 . 【解析2】为简便计算,我们还可以对分母这样拆分： （ 的待定系数一致）.则,解得 ,所以, 即为所求最大值. 9.(1)【答案】 . 故,当且仅当 时等号成立. (2)【答案】 当,,时,由（1）中的不等式得 , 所以,即,当且仅当 时等号成立.因此的最大值为 .由恒成立可得 ,即实数的最小值为 . 10.(1)【答案】 因为,,当且仅当, 时等号成立, 所以当且仅当, 时等号成立. 又,当且仅当 时等号成立, 所以,当且仅当 时等号成立. (2)【答案】 ,当且仅当 时等号成立. (3)【答案】 因为,所以 ,当且仅当时取等号,所以,因此 （把 拆成两个一的目的是运用（2）中的结论，从而保证等号成立），当且仅当,时取等号,所以 的最小值为3. 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $