2.1.1 等式与不等式 能力提升训练-2025-2026学年高一上学期数学湘教版必修第一册

高一上册湘教版数学必修第一册 第2章 一元二次函数、方程和不等式 2.1 相等关系与不等关系 2.1.1 等式与不等式 能力提升训练 1.（2025甘肃永昌一高期中）已知，为正实数，则“”是“ ”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.（2025黑龙江齐齐哈尔期中）已知三个不等式:;; .若以其中两个不等式为条件,剩下的一个不等式为结论,则能得到的真命题的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 3.（多选/2025天津西青区期中）下列四个选项能推出 的有( ) A. B. C. D. 4.（多选/2025河南商丘期末）若，且 ，则( ) A. B. C. D. 5.（多选）已知,，且， ，则下列不等式中，一定成 立的是( ) A. B. C. D. 6.（多选/2025辽宁沈阳统考）已知，满足的解集为集合 ， 则下列命题为真命题的是( ) A.， B.， C.， D.， 7.（2025吉林白城市实验高级中学期中）若,,,均为实数，使不等式 和都成立的一组值 是___________________________（只要举出适合条件的一组值即可）. 8. （2024九省联考）以表示数集中最大的数.设 ， 已知或，则,, 的最小值为__. 9.李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量,李明对这四种水果进行促销:一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付 元.每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的 . （1） 当 时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付_____元; （2） 在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则 的最大值为____. 10.设,为实数，满足,，则 的最大值为____. 11.（2025甘肃武威检测）（1） 比较与 的大小； （2） 若，，证明： . 12.（1） 已知，，求证： ； （2）（2025河南郑州检测）已知，求证：“ ”的充要条件是“ ”. 13. （2025浙江杭州期中节选）对于四个正数,,,，如果 ，那么称 是 的“下位序列”. （1） 对于2,3,7,11，试求 的“下位序列”; （2） 设,,,均为正数，且是的“下位序列”，试判断:,, 之间的大小关系，并证明你的结论. 参考答案 1.C【解析】 由,得,所以 ,则充分性成立； 由,得,则,所以 ,则必要性成立. 综上可知,“”是“ ”的充要条件. 2.D【解析】 由得,两边同乘,得 ,故由①③可以推导出②;由,在两边同乘,得 ,故由①②可以推导出③; 移项后通分,得,结合,得 ,故由②③可以推导出①. 综上所述,以其中两个为条件,余下的一个为结论,可组成3个真命题. 3.ACD【解析】 移项通分后得,即为 . 当时,,,所以 ； 当时,,,所以 ； 当时,,,所以 ； 当时,,,所以 . 4.BC【解析】 由得,又,故,由 可得,即,由可得,所以,故,由 可得,即,所以 ； 举反例,不妨设,,,满足和,此时 , ； 两边同除以得, （实际是可乘性,即两边同时乘以 ） 由,,得,即,不等式两边同除以得 ,所以 . 5.ABC【解析】 由知,,所以,因此 （可乘性）,即 ； 由倒数法则知,作差得 （两个分式的分子、分母同乘2后,将分子中的2换成） （通分）,所以 ； 作差得,因为且 , 所以和 不能同时成立,因此 ,即 ； 由得,又,可得 , 所以 ,当且仅当,时等号成立,然而,所以 不一定成立. 6.BC【解析】 方法一:待定系数法.令,则 解得故 , 又,故 , 又,所以 . 方法二:双换元法.设,,则,,所以 ,由于,所以,又,故 ,即 . 7.（答案不唯一） 【解析】 由知,,同号,,同号,且 . 因为,所以 .所以在取时只需满足以下条件即可:,同号,,同号,,异号； . 令,,,,不妨取,,,则,取 ,则 满足要求. 8. 【解析】 令,,,其中,,,令, , ,则,, , 所以 若,则,故 . 由及不等式的同向可加性得,则 . 若,则,即 , 由及不等式的同向可加性得,则 ,当且仅当 且,,时等号成立,即 时等号成立. 综上可知,,,的最小值为 . 9.(1)130【解析】 顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,总价为（元）,又 ,所以优惠10元,顾客实际需要付款130元. (2)15【解析】 设顾客一次购买的水果总价为元.由题意易知,当时, ,当时,,得对任意恒成立,又,所以 的最大值为15. 10.32【解析】 待定系数法.设,所以, ,所以,,即 . 由得到（乘方法则）,由得到 （倒数法则）,由不等式的同向同正可乘性得,即 的最大值为32,当且仅当即 时取到最大值． 另解双换元法.设,,得,由①得 ,将③代入得，即,所以.由得到 （乘方法则）,由得到（倒数法则）,所以 , 即的最大值为32,当且仅当即 时取到最大值． 11.（1）【答案】利用作差法比较大小.依题意有, , ,,, , 即 . （2）【答案】 ,.又, （推论2）, , . 又, （推论3）． 12.（1）【答案】 作差得 ,所以 ,当且仅当 时等号成立. （2）【答案】 充分性（条件 结论）因为 ,所以 ,又,所以（立方和公式） ,即 ,即充分性成立. 必要性（结论 条件） ： , 因为,所以,所以,所以 ,即必要性成立． 综上,“”的充要条件是“ ”． 13.（1）【答案】 由题意可知,此时,,则的“下位序列”为 . （2）【答案】 由题意可知,此时,取,,, ,则 , 猜想 . 先证左边,则 , 再证右边,则 , 综上（由于,,, 均为正数,本题证明亦可用作商法）. 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $