2.1.1 等式与不等式-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（湘教版）

2.1.1　等式与不等式 　 第2章　2.1　相等关系与不等关系 学习目标 1.通过实例理解等式的性质，掌握不等式的性质，能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系，培养数学抽象的核心素养. 2.初步学会作差法比较两实数的大小，培养逻辑推理的核心素养. 内容索引 新知形成 1 合作探究 2 课时分层评价 4 随堂评价 3 新知形成 返回 知识点一　实数比较大小的基本事实 1.基本事实 如果a－b＞0，那么a____b；如果a－b＝0，那么a____b； 如果a－b＜0，那么a____b，反过来也成立. 2.这个基本事实可以表示为 a－b＞0⇔a____b；a－b＝0⇔a____b；a－b＜0⇔a____b. 3.重要不等式：一般地，∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立. 知识梳理 ＞ ＝ ＜ ＞ ＝ ＜ 知识点二　不等式的性质   别名 性质内容 注意 性质1 对称性 a＞b⇔______ 可逆 性质2 传递性 a＞b，b＞c⇒______ 同向 性质3 可加性 a＞b⇔____________ 可逆 推论1 移项法则 a＋b＞c⇔a＞______ 可逆 推论2 同向可加性 ⇒____________ 同向 性质4 可乘性 ⇒________；⇒________ c的 符号 b＜a a＞c a＋c＞b＋c c－b a＋c＞b＋d ac＞bc ac＜bc   别名 性质内容 注意 推论3 同向同正可乘性 ⇒________ 同向同正 推论4 可乘方性 a＞b＞0⇒________(n∈N，n≥2) 同正 推论5 可开方性 a＞b＞0⇒ 同正 性质5 倒数法则 ⇒ 同号 ⇒ 异号 ac＞bd an＞bn ＞ ＞ 点拨　对不等式性质的几点说明 (1)推论1(即移项的法则)，即不等式中任何一项可以改变符号后移到不等式的另一边. (2)性质4(即可乘性)在使用中要特别注意研究“乘数的符号”. (3)推论2(即同向可加性)，即“同向不等式只能相加，不等号方向不变，不能相减”. (4)推论3和推论4(即同向同正可乘性，可乘方性)，即均为正数的同向不等式相乘，得同向不等式，并无相除式. 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a＞b，则a－c＞b－c. (　　) (2)＞1⇒a＞b. (　　) (3)同向不等式相加和相乘的条件是一致的. (　　) (4)⇔a＋c＞b＋d. (　　) √ × × √ 自主检测 2.若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有 A.＞ B. C.＞ D. √ 因为c＜d＜0，所以－c＞－d＞0， 所以＞＞0. 又a＞b＞0，所以＞，所以. 3.设实数x，y满足3＜x＜4，1＜y＜2，则M＝2x－y的取值范围是 A.4＜M＜6 B.4＜M＜7 C.5＜M＜6 D.5＜M＜7 √ 由已知得6＜2x＜8，－2＜－y＜－1， 故4＜2x－y＜7.故选B. 4.当m＞1时，m3与m2－m＋1的大小关系为______________. m3＞m2－m＋1 因为m3－(m2－m＋1) ＝m3－m2＋m－1＝m2(m－1)＋(m－1) ＝(m－1)(m2＋1). 又因为m＞1，故(m－1)(m2＋1)＞0. 所以m3－(m2－m＋1)＞0， 即m3＞m2－m＋1. 返回 合作探究 返回 探究点一　代数式的大小比较 (1)比较3x3与3x2－x＋1的大小； 解：因为3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1).当x＜1时，有x－1＜0，而3x2＋1＞0，所以(3x2＋1)(x－1)＜0，所以3x3＜3x2－x＋1；当x＝1时，(3x2＋1)(x－1)＝0，所以3x3＝3x2－x＋1；当x＞1时，(3x2＋1)(x－1)＞0，所以3x3＞3x2－x＋1. 综上，当x＜1时，3x3≤3x2－x＋1；当x＝1时，3x3＝3x2－x＋1；当x＞1时，3x3＞3x2－x＋1. 典例 1 (2)已知a＞0，试比较a与的大小. 解：因为a－＝＝， 又因为a＞0，所以当a＞1时，＞0，有a＞； 当a＝1时，＝0，有a＝； 当0＜a＜1时，＜0，有a＜. 综上，当a＞1时，a＞；当a＝1时，a＝；当0＜a＜1时，a＜. 作差法比较大小的步骤 注意　上述步骤可概括为“三步一结论”，这里的“判号”是目的，“变形”是关键.其中变形的技巧较多，常见的有因式分解法、配方法、有理化法等. 规律方法 对点练1．若a＝(x＋1)(x＋3)，b＝2(x＋2)2，则下列结论正确的是 A.a＞b B.a＜b C.a≥b D.a，b大小不确定 √ 因为b－a＝2(x＋2)2－(x＋1)(x＋3)＝2x2＋8x＋8－(x2＋4x＋3)＝x2＋4x＋5＝(x＋2)2＋1＞0.所以a＜b.故选B. 探究点二　重要不等式 已知a＞0，b＞0，证明：a3＋b3≥ab2＋a2b. 证明：a3＋b3－(ab2＋a2b) ＝(a＋b)(a2－ab＋b2)－ab(a＋b) ＝(a＋b)(a2－2ab＋b2). 因为a＞0，b＞0，且a2＋b2≥2ab， 所以a＋b＞0，a2＋b2－2ab≥0， 所以a3＋b3－(ab2＋a2b)≥0， 故a3＋b3≥ab2＋a2b. 典例 2 1.比较两数的大小或证明不等式，最基本的方法是作差比较法，其关键是作差变形，判断差的符号. 2.a2＋b2≥2ab对于任意实数a，b均成立，当且仅当a＝b时，取“＝”. 规律方法 对点练2．已知a＞0，求证：a＋≥2. 证明：法一：利用a2＋b2≥2ab.因为a＞0， 所以a＋＝()2＋()2≥2·＝2， 当且仅当a＝1时，等号成立. 法二：因为a＋－2＝()2＋()2－2 ＝()2≥0，所以a＋≥2. 探究点三　不等式的性质 (1)已知a，b，c∈R，则下列命题正确的是 A.a＞b⇒ac2＞bc2 B.＞⇒a＞b C.⇒＞ D.⇒＞ √ 典例 3 当c＝0时，A不成立；当c＜0时，B不成立；当ab＜0时，a＞b⇒，即＞，C成立；同理可证D不成立. (2)若c＞a＞b＞0，求证：＞. 证明：因为a＞b＞0⇒－a＜－b⇒c－a＜c－b. 因为c＞a，所以c－a＞0.所以0＜c－a＜c－b. 上式两边同乘，得＞＞0. 又因为a＞b＞0，所以＞. 利用不等式的性质判断正误的2种方法 1.直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质或函数的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反例即可. 2.特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性. 规律方法 对点练3．已知a＜0＜b，则下列不等式恒成立的是 A.a＋b＜0 B.＜1 C.＞1 D.＞ √ 因为a＜0＜b，所以＜0，所以＜1.故选B. 对点练4．若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证：＞. 证明：因为c＜d＜0，所以－c＞－d＞0. 又a＞b＞0，所以a－c＞b－d＞0， 则(a－c)2＞(b－d)2＞0，两边同乘， 得0＜. 又e＜0，所以＞. 探究点四　利用不等式性质求代数式的取值范围 (1)已知1＜a＜4，2＜b＜8，试求2a＋3b与a－b的取值范围； 解：因为1＜a＜4，2＜b＜8，所以2＜2a＜8，6＜3b＜24，所以8＜2a＋3b＜32. 因为2＜b＜8，所以－8＜－b＜－2. 又1＜a＜4， 所以1＋(－8)＜a＋(－b)＜4＋(－2)， 即－7＜a－b＜2. 所以2a＋3b的取值范围是8＜2a＋3b＜32，a－b的取值范围是－7＜a－b ＜2. 典例 4 (2)已知1＜a＜4，2＜b＜8，求的取值范围； 解：因为2＜b＜8，所以. 又1＜a＜4，所以1×＜a×＜4×， 即＜2. 所以＜2. (3)已知－6＜a＜8，2＜b＜3，求的取值范围. 解：因为2＜b＜3，所以. ①当0≤a＜8时，0≤＜4； ②当－6＜a＜0时，－3＜＜0. 由①②得－3＜＜4， 即的取值范围是－3＜＜4. 利用不等式的性质求取值范围的策略 1.建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用不等式的性质进行运算，求得待求的范围. 2.同向不等式的两边可以相加，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围. 规律方法 对点练5．已知实数x，y满足：1＜x＜2＜y＜3. (1)求xy的取值范围； 解：因为1＜x＜2＜y＜3，所以1＜x＜2，2＜y＜3，则2＜xy＜6，即xy的取值范围是2＜xy＜6. (2)求x－2y的取值范围. 解：由(1)知1＜x＜2，2＜y＜3，从而－6＜－2y＜－4，则－5＜x－2y＜－2，即x－2y的取值范围是－5＜x－2y＜－2. 返回 随堂评价 返回 1.若x∈R，y∈R，则 A.x2＋y2＞2xy－1 B.x2＋y2＝2xy－1 C.x2＋y2＜2xy－1 D.x2＋y2≤2xy－1 √ 因为x2＋y2－(2xy－1)＝x2－2xy＋y2＋1＝(x－y)2＋1＞0，所以x2＋y2＞2xy－1，故选A. 2.(多选)已知a＞b＞0，c＞d＞0，则下列不等式中一定成立的是 A.a＋c＞b＋d B.a－c＞b－d C.ac＞bd D.＞ √ √ √ 对A，若a＞b＞0，c＞d＞0，则a＋c＞b＋d，故A正确； 对B，若a＞b＞0，c＞d＞0，如a＝5，b＝3，c＝4，d＝2，则a－c＝b－d，故B错误； 对C，若a＞b＞0，c＞d＞0，则ac＞bd，故C正确； 对D，若a＞b＞0，c＞d＞0，则＞＞0，则＞，故D正确.故选ACD. 3.给出四个条件：①b＞0＞a，②0＞a＞b，③a＞0＞b，④a＞b＞0，能推出成立的是_________(填序号). ①②④ ⇔＜0，所以①②④能使它成立. 4.已知2＜x＜3，2＜y＜3.分别求 (1)z1＝2x＋y的取值范围； 解：因为2＜x＜3，2＜y＜3，所以4＜2x＜6，所以6＜2x＋y＜9，故z1＝2x＋y的取值范围为{z1｜6＜z1＜9}. (2)z2＝x－y的取值范围； 解：因为2＜x＜3，2＜y＜3，所以－3＜－y＜－2，所以－1＜x－y＜1，故z2＝x－y的取值范围为{z2｜－1＜z2＜1}. (3)z3＝xy的取值范围； 解：因为2＜x＜3，2＜y＜3，所以4＜xy＜9，故z3＝xy的取值范围为{z3｜4＜z3＜9}. (4)z4＝的取值范围. 解：因为2＜x＜3，2＜y＜3，所以， 所以， 故z4＝. 返回 课时分层评价 返回 1.已知0＜a1＜1，0＜a2＜1，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是 A.M ＜N B.M ＞N C.M＝N D.M ≥N √ 因为0＜a1＜1，0＜a2＜1， 所以－1＜a1－1＜0，－1＜a2－1＜0， 所以M－N＝a1a2－(a1＋a2－1) ＝a1a2－a1－a2＋1 ＝a1(a2－1)－(a2－1) ＝( a1－1)(a2－1)＞0， 所以M ＞N. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2.若a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式一定成立的是 A.a＋c≥b＋c B.ac＞bc C.＞0 D.(a－b)c2≥0 √ 因为a＞b，所以a＋c＞b＋c，故A错误； 当c＝0时，ac＝bc＝0，故B错误； 对于C：当c＝0时，＝0，故C错误； 对于D：因为a＞b，所以a－b＞0，又c2≥0，所以c2≥0，故D正确.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3.已知a，b，c都是实数，则“a＜b”是“ac2＜bc2”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 若a＜b，当c＝0时，ac2＝bc2，故不充分； 当ac2＜bc2时，则c2＞0，所以a＜b，故必要， 故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4.若－1＜a＜1，0＜b＜2，则2a＋b的取值范围是 A.(－2，4) B.(－1，1) C.(0，1) D.(0，2) √ 因为－1＜a＜1，所以－2＜2a＜2，又0＜b＜2，所以－2＜2a＋b＜4，故选A. 4 3 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 5.“”是“b＜a＜0”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 取a＝2，b＝1，成立，但b＜a＜0不成立，则“” “b＜a＜0”.若b＜a＜0，则－b＞－a＞0，由不等式的性质得－＞－，所以，即“b＜a＜0”⇒“”.因此，“”是“b＜a＜0”的必要不充分条件.故选B. 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 1 2 6.若8＜x＜10，2＜y＜4，则的取值范围为_______. (2，5) 因为2＜y＜4，所以. 又因为8＜x＜10，所以2＜＜5. 4 5 6 3 7 8 9 10 11 12 1 2 7.已知三个不等式①ab＞0；②＞；③bc＞ad.若以其中的两个作为条件，余下的一个作为结论，则可以组成____个真命题. 3 ①②⇒③，③①⇒②.(证明略) 由②得＞0，又由③得bc－ad＞0， 所以ab＞0，即②③⇒①. 所以可以组成3个真命题. 6 7 8 9 10 11 12 4 5 3 1 2 8.给出下列命题： ①若a＜b，c＜0，则； ②若ac－3＞bc－3，则a＞b； ③若a＞b且k∈N＋，则ak＞bk； ④若t＝2a＋2b，s＝a2＋2b＋1，则t≤s. 其中正确命题的序号是______. ④ 6 7 8 4 5 3 9 10 11 12 1 2 ①当ab＜0时，不成立，故①不正确； ②当c＜0时，a＜b，故②不正确； ③当a＝1，b＝－2，k＝2时，命题不成立，故③不正确； ④由t＝2a＋2b，s＝a2＋2b＋1， s－t＝a2－2a＋1＝(a－1)2≥0， 所以t≤s.故④正确. 6 7 8 4 5 3 9 10 11 12 1 2 9.(10分)已知a＞b＞0，且c＞d＞0.求证： ＞. 证明：因为c＞d＞0，所以＞＞0，因为a＞b＞0，所以＞＞0，所以 ＞. 9 10 11 12 8 6 7 4 5 3 1 2 10.(10分)(1)已知1≤a－b≤2，2≤a＋b≤4，求4a－2b的取值范围； 解：设m(a＋b)＋n(a－b)＝4a－2b，整理得(m＋n)a＋(m－n)b＝4a－2b， 则 所以4a－2b＝(a＋b)＋3(a－b). 因为3≤3(a－b)≤6，2≤a＋b≤4， 所以5≤4a－2b≤10. 故4a－2b的取值范围为5≤4a－2b≤10. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 1 2 (2)已知－1＜a＜b＜1，求a－b的取值范围； 解：因为－1＜b＜1，所以－1＜－b＜1. 又－1＜a＜1，所以－2＜a－b＜2. 又因为a＜b，所以a－b＜0，所以－2＜a－b＜0. 故a－b的取值范围为－2＜a－b＜0. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 1 2 (3)已知x，y∈R，且3≤xy2≤8，4≤≤9，求的取值范围. 解：设＝(xy2)n， 则x3y－4＝x2m＋ny2n－m， 所以 所以＝(xy2)－1. 因为16≤≤81，≤≤， 所以2≤(xy2)－1≤27. 故的取值范围是2≤≤27. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 1 2 11.(5分)(多选)设a，b为正实数，则下列命题中是真命题的是 A.若a2－b2＝1，则a－b＜1 B.若＝1，则a－b＜1 C.若｜｜＝1，则｜a－b｜＜1 D.若｜a｜≤1，｜b｜≤1，则｜a－b｜≤｜1－ab｜ √ √ 10 11 12 8 6 7 4 5 3 9 1 2 对于A选项，由题意a，b为正实数，则a2－b2＝1⇒a－b＝⇒a－b＞0⇒a＞b＞0，故a＋b＞a－b＞0.若a－b≥1，则≥1⇒a＋b≤1，这与a＋b＞a－b＞0矛盾，故a－b＜1成立，所以A中命题为真命题；对于B选项，取a＝5，b＝，则＝1，但a－b＝5－＞1，所以B中命题为假命题；对于C选项，取a＝4，b＝1，则｜｜＝1，但｜a－b｜＝3＞1，所以C中命题为假命题；对于D选项，(a－b)2－(1－ab)2＝a2＋b2－1－a2b2＝(a2－1)(1－b2)≤0，即｜a－b｜≤｜1－ab｜，所以D中命题为真命题. 10 11 12 8 6 7 4 5 3 9 1 2 12.(15分)若a＞b＞0，c＜d＜0，｜b｜＞｜c｜. (1)求证：b＋c＞0； 解：证明：因为｜b｜＞｜c｜，且b＞0，c＜0， 所以b＞－c，所以b＋c＞0. 11 12 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 (2)求证：； 解：证明：因为c＜d＜0， 所以－c＞－d＞0.又a＞b＞0， 所以由同向不等式的可加性可得a－c＞b－d＞0， 所以(a－c)2＞(b－d)2＞0， 所以0＜，① 因为a＞b，d＞c，所以由同向不等式的可加性可得a＋d＞b＋c，所以a＋d＞b＋c＞0，② ①②相乘得，. 11 12 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 (3)在(2)中的不等式中，能否找到一个代数式，满足＜所求式＜？若能，请直接写出该代数式；若不能，请说明理由. 解：因为a＋d＞b＋c＞0，0＜，所以.(只要写出其中一个即可) 返回 11 12 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 谢 谢 观 看 2.1　相等关系与不等关系 返回 $