2.1.1 等式与不等式 基础题型训练-2025-2026学年高一上学期数学湘教版必修第一册

高一上册湘教版数学必修第一册 第2章 一元二次函数、方程和不等式 2.1 相等关系与不等关系 2.1.1 等式与不等式 基础题型训练 题型1 不等关系的建立 1.（2025河南联考）在某校新生军训考核评比中，甲班的分数大于乙班的分数，甲班和乙班的分数之和大于170，且不大于190.设甲班和乙班的分数分别为, ，则用不等式组表示为( ) A. B. C. D. 2.用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长 ,要求菜园的面积不小于,靠墙的一边长为 ,其中的不等关系可用不等式（组）表示为_ ________________. 题型2 判断不等式是否成立 3.（2025甘肃兰州西北师大附中月考）若,,且 ，则下列不等式成立的是( ) A. B. C. D. 4.（2025福建福州期中）下列说法正确的是( ) A.若，，则 B.若,，则 C.若,，则 D.若，则 5.（多选/2025河南省实验中学月考）下列命题为真命题的是( ) A.若，则 B.若，则 C.若，则 D.若，则 题型3 比较大小 6.（2025甘肃会宁期中）设，，则与 的大小关系为( ) A. B. C. D.无法确定 7. （多选/2025河北邯郸检测）已知实数,,满足 ，则以下大小关系正确的是( ) A.时， B. C. D. 8.（2025山西太原期中）若，，则， 的大小关系是_______. 9.（2025四川南充期中）比较下列三组式子中与 的大小： （1） 设,, ； （2） 设,均为正实数，, ； （3） 设,, . 题型4 求代数式的取值范围 10.（2025江苏盐城期中）已知, ，则下列结论错误的是( ) A.的取值范围为 B.的取值范围为 C.的取值范围为 D.取值范围为 11.（2024河北张家口统考）已知，，则 的最大值为( ) A. B. C.3 D.4 12.（多选/2025河南洛阳统考）设实数,满足, ，则( ) A. B. C. D. 13.（2025江苏海安高级中学期中）若，，则 的最小值为( ) A. B. C. D. 14. （多选/2025四川遂宁检测）若实数，满足, ，则下列说法正确的有( ) A.的取值范围为 B.的取值范围是 C.的取值范围是 D.的取值范围是 题型5 证明不等式 15.（2025江苏扬州期中）证明下列不等式： （1） 已知，，，求证： ； （2） 已知,，求证： . 16.（2025河北保定检测）设,,，， . （1） 证明: ； （2） 若，证明 . 17.（1） （2025上海宝山区期中） ; （2） 已知,，且，求证：和至少有一个大于 . 参考答案 1.D【解析】 由甲班分数大于乙班分数可得 ,由甲班、乙班分数之和大于170得,不大于190,则 ,故D正确. 2. 【解析】 矩形菜园靠墙的一边长为,则另一边长为 ,根据已知得 3.D【解析】 与乘方法则相比,不确定,的正负,无法直接判断.举反例,当, 时,满足,但 不成立. 与性质5（倒数法则）相比,不确定,的正负,无法直接判断.举反例,当, 时,显然 不成立. 与性质4（可乘性）相比,不确定是否等于0,无法直接判断.举反例,当 时, ,因此 错误. 易知,由性质4（可乘性）及可得 . 4.B【解析】 不符合性质2（传递性）,不一定成立.举反例：当,, 时, . 由可得,.所以 . 与推论3（同向同正可乘性）相比,不确定, 是否成立.举反例：当,,,时, . 由可得,,所以由开方法则可得,即 , 所以 . 5.BCD【解析】 由倒数法则知,则,不满足推论2, 不一定成立. 举反例：取,,则 . 利用作差法比较大小：,所以 . 由可得（同乘-1不等式变号），从而 （性质3）,同乘,得 （性质4）.又,则 （推论3）. 解法2：利用作差法： . 因为,所以,,,所以,所以 . 若,则,且 （性质3）,即 ,同乘,得 （性质4）. 6.A【解析】 用作差法比较大小. 因为 （配方法）,所以 . 7.AD【解析】 由乘方法则知当时正确;当 时显然成立. 当时, . 注意“糖水不等式”中要求.当时, . 作差法. , （推论5）,, . 另解作商法. . , （在利用作商法比较大小时,要先判断符号）, , ,即 . 另解平方法., , .（解题思路同作差法） , , 又, ,（在利用平方法比较大小时,要先判断平方前的正负）故 . 8. 【解析】 ,都是两个无理式相加,且 ,平方作差抵消后只需比较两个根式的大小. ,,, , , , ,,, （ , 由开方法则可得）. 9.(1)【答案】 , 都是两个无理式相减,直接平方作差后无法判断大小,此方法不可行.观察根号内的式子相差1,进行分子有理化后利用倒数法则可比较大小. 由得, , , 因为,所以 （倒数法则）,即 ,即 . (2)【答案】 两个多项式比较大小,一般作差后先因式分解再比较大小. . 因为,均为正实数,所以,,所以 ,即 ,即 . (3)【答案】 两个分式比较大小,根据式子结构选用作差法或作商法. 作差法. . 因为,所以,,,,所以, 所以,即 . 作商法.因为,所以,, , 所以,所以,即 . 10.D【解析】 由不等式的同向可加性得 ,即 ； 同乘不等式变号,得,又 ,由不等式的同向可加性得,即 ； 由选项B知,利用不等式的同向同正可乘性得 ,则 ； 因为,所以由倒数法则得 ,又,由不等式的同向同正可乘性得,则 . 11.A【解析】 ， 由不等式的乘方法则得， ，所以 ， 所以（同向可加性），所以 ， 当且仅当时，取得最大值，且已知,，解得 即的最大值为 .故选A. 12.AC【解析】 ,,由不等式的同向同正可乘性得 ,由开方法则得 ； 由倒数法则得,又,两式相乘得,所以 ； 由乘方法则得,又,所以两式相乘得 ； 由选项B,C知,,两式相乘得 . 13.B【解析】 方法一:待定系数法.设 ,故 解得故 ,由于,,所以 （不等式的同向可加性）, ,故最小值为,此时, . 方法二:双换元法.设,,则,,所以 , 由于,,所以,故 ,即 ,故最小值为,此时, . 14.ABC【解析】 ,,两式相加得,即 ； 由得,与相加得 ,即 ； 待定系数法.设 ,所以解得则 . 由得,由得 ,所以 . 另解双换元法.令,,则, .所以 . 由得,由得,所以 15.(1)【答案】,,, . ,即, （推论2）. (2)【答案】 ,（倒数法则）, （性质4）. ,（推论3）,（性质4）, . 16.(1)【答案】 , . ,,均不为0,则, . (2)【答案】 . ,取等号的条件为 , 而, 等号无法取得,即 , , . 17.(1)【答案】 要证不等式,只需要证明 , 即证明,即证明,即证明 . 显然成立,所以不等式 成立. (2)【答案】 假设和都不大于,则又, ,所以原不等式组变为所以,与矛盾,故假设不成立,所以和 至少有一个大于 . 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $