4.5.3 函数模型的应用（教学课件）数学人教A版2019必修第一册

第 4 章 4.5 函数的应用（二） 人教A版2019必修第一册 4.5.3函数模型的应用 学习目标 (1) 能识别常见函数模型（一次、二次、指数型、对数型）的特征，说出其适用场景。 (2) 能按“审题→建模→求解→验证”步骤建立函数模型解决实际问题（如人口预测、投资决策）。 (3) 能通过散点图或数据趋势选择合适模型，并用计算工具求解参数，验证模型合理性。 (4) 体会数学建模的严谨性，发展数据分析和数学建模素养。 目录 CATALOG 01.已知函数模型解决实际问题 03.题型强化训练 02.建立适当的函数模型解决实际问题 04.小结及随堂练习 01 已知函数模型 解决实际问题 4.5.3函数模型的应用 导入新知：奶茶店的“甜蜜陷阱” 某奶茶店推出“第二杯半价”活动，小明发现：买1杯花15元，买2杯花22.5元，买3杯花30元……他惊呼：“买得越多越划算！” “划算”的规律是线性的吗？若每天销量翻倍，5天后日收入会爆炸式增长吗？ 导入新知：考古学家的“穿越密码” 良渚古城碳14检测报告：“草茎遗存碳14剩余量55.2%”。 如何从55.2%推断出 “公元前2902年”？ 这里藏着什么数学秘密？ 导入新知 在本章，我们类比幂函数的研究方法，学习指数函数和对数函数的概念、图象和性质，并对这几类基本初等函数的变化差异进行比较.在此基础上，通过解决简单实际问题，体会如何根据变化差异，选择合适的函数类型构建数学模型，刻画现实问题的变化规律.面临一个实际问题时，该如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？ 7 应用新知 我们知道，函数是描述客观世界变化规律的数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来刻画．面临一个实际问题，该如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？ 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 建立拟合函数模型解决实际问题 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 建立拟合函数模型解决实际问题 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 建立拟合函数模型解决实际问题 应用新知 例3 人口问题是当今世界各国普遍关心的问题．认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据．早在1798年，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型： y＝y0ert ， 其中t表示经过的时间，y0 表示 t＝0时的人口数，r表示人口的年平均增长率． 尽管对马尔萨新人口理论存在一些争议，但它对人口学和经济学的发展都产生了一定的影响．上网了解，还有哪些人口模型，它们与我们所学的函数有怎样的关系？ 应用新知 表4.5-4是1950~1959年我国的人口数据资料：表4.5-4 年份 1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959 人口数/万 55196 56300 57482 58796 60266 61456 62828 64563 65994 67207 （1）如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到0.0001），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符； （2）如果按表4.5-4的增长趋势，那么大约在哪一年我国的人口数达到13亿？ 分析：用马尔萨斯人口增长模型建立具体人口增长模型，就是要确定其中的初始量y0和年平均增长率r． 学习新知 应用新知 由图4.5-6可以看出，所得模型与1950~1959年的实际人口数据基本吻合． 学习新知 （2）如果按表4.5-4的增长趋势，那么大约在哪一年我国的人口数达到13亿？ 所以，如果按表4.5-4的增长趋势，那么大约在1950年后的第39年（即1989年）我国的人口就已达到13亿． 学习新知 思考 事实上，我国1989年的人口数为11.27亿，直到2005年才突破13亿．对由函数模型所得的结果与实际情况不符，你有何看法？ 因为人口基数较大，人口增长过快，与我国经济发展水平产生了较大矛盾，所以我国从20世纪70年代逐步实施了计划生育政策．因此这一阶段的人口增长条件并不符合马尔萨斯人口增长模型的条件，自然就出现了依模型得到的结果与实际不符的情况． 在用已知的函教模型刻画实际问题时，应注意模型的适用条件． 下面来解决章引言中的问题． 学习新知 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 分段函数模型的应用、利用给定函数模型解决实际问题 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 分段函数模型的应用、利用给定函数模型解决实际问题 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 用二分法求近似解的条件 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 利用给定函数模型解决实际问题 学习新知 例4 2010年，考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料上提取的草茎遗存进行碳14年代学检测，检测出碳14的残留量约为初始量的55.2%，能否以此推断此水坝大概是什么年代建成的？ 学习新知 因为2010年之前的4912年是公元前2902年，所以推断此水坝大概是公元前2902年建成的． 学习新知 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 利用给定函数模型解决实际问题 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 利用给定函数模型解决实际问题 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 利用给定函数模型解决实际问题 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 利用给定函数模型解决实际问题 学习新知-练习（第150页） 1．已知1650年世界人口为5亿，当时人口的年增长率为0.3%；1970年世界人口为36亿，当时人口的年增长率为2.1%． （1）用马尔萨斯人口模型计算，什么时候世界人口是1650年的2倍？什么时候世界人口是1970年的2倍？ 学习新知-练习（第150页） （2）实际上，1850年以前世界人口就超过了10亿；而2004年世界人口还没有达到72亿．你对同样的模型得出的两个结果有何看法？ （2）根据实际情况,对1650年得到的结论，公式中的增长速度要小于实际的增长速度，而对于1970年得到的结论，公式中的增长速度要大于实际的增长速度．可见近几十年，各国为控制人口增长而采取了一定的措施，已经有了一定成效，或者此模型不太适宜估计时间跨度非常大的人口增长情况． 学习新知 2．在一段时间内，某地的野兔快速繁殖，野免总只数的倍增期为21个月，那么1万只野免增长到1亿只野兔大约需要多少年？ 学习新知 3．1959年，考古学家在河南洛阳偃师市区二里头村发掘出了一批古建筑群，从其中的某样本中检测出碳14的残余量约为初始量的62.76%，能否以此推断二里头遗址大概是什么年代的？ 学习新知 因为1959年之前的3851年是公元前1892年，所以推理二里头遗址大概是公元前1892年建成的． 02 建立适当的函数 模型解决实际问题 4.5.3函数模型的应用 学习新知 在实际问题中，有的能应用已知的函数模型解决，有的需要根据问题的条件建立函数模型加以解决． 例5 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下： 方案一：每天回报40元； 方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元； 方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番． 请问，你会选择哪种投资方案？ 分析：我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型，再通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提供依据． 学习新知 投资方案选择原则： 投入资金相同，回报量多，投资周期合理 比较三种方案每天回报量 (2) 比较三种方案一段时间内的总回报量 哪个方案在某段时间内的总回报量最多，我们就在那段时间选择该方案。 学习新知 我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型，再通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提供依据。 解：设第x天所得回报为y元，则 方案一：每天回报40元； y =40 (x∈N*) 方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元； y = 10x (x∈N*) 方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。 y = 0.4×2x-1 (x∈N*) 学习新知 x/天 方案一 方案二 方案三 y/元 增长量/元 y/元 增长量/元 y/元 增长量/元 1 40 0 10 0.4 2 40 0 20 10 0.8 0.4 3 40 0 30 10 1.6 0.8 4 40 0 40 10 3.2 1.6 5 40 0 50 10 6.4 3.2 6 40 0 60 10 12.8 6.4 7 40 0 70 10 25.6 12.8 8 40 0 80 10 51.2 25.6 9 40 0 90 10 102.4 51.2 10 40 0 100 10 204.8 102.4 … … … … … … … 30 40 0 300 10 214748364.8 107374182.4 学习新知 根据所列的表格中提供的数据,你对三种方案分别表现出的回报资金的增长差异有什么认识? 方案一每天的回报不变;方案二、三每天的回报都在增加,且方案三随x的增加每天的回报越来越大,比方案二要大得多。 作出三个方案的图象看看? 学习新知 20 40 60 80 100 120 2 4 6 8 10 O y x 函数图象是分析问题的好帮手.为了便于观察，我们用虚线连接离散的点. y＝40 y＝10x y＝0.4×2x－1 根据以上的分 析，是否应作这样 的选择: 投资5天以 下选方案一，投资 5~8天选方案二， 投资8天以上选方 案三？ 学习新知 根据以上分析,你认为该作出何种选择? 从问题1可知,考虑回报量,除了要考虑每天的回报量之外,还得考虑回报的累积值.你能把前11天回报的累积值算出来吗? 累计回报表 天数 方案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 一 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 440 二 10 30 60 100 150 210 280 360 450 550 660 三 0.4 1.2 2.8 6 12.4 25.2 50.8 102 204.4 409.2 816.8 投资8天以下（不含8天）,应选择第一种投资方案；投资8~10天，应选择第二种投资方案；投资11天（含11天）以上，应选择第三种投资方案。 学习新知 常数函数 一次函数 指数型函数 几种常见函数的增长情况： 保持不变 直线上升 匀速增长 急剧增长 指数爆炸 没有增长 学习新知 学习新知 学习新知 解决实际问题的步骤： 实际问题 读懂问题 抽象概括 数学问题 演算 推理 数学问题的解 还原说明 实际问题的解 学习新知 一次函数， 对数型函数， 指数函数。 ①例6涉及了哪几类函数模型？ ②你能用数学语言描述符合公司奖励方案的条件吗? 例6 某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y (单位：万元)随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%。现有三个奖励模型：y = 0.25x, y = log7x+1, y =1.002x,其中哪个模型能符合公司的要求？ 学习新知 ①销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且部门销售利润一般不会超过公司总的利润1000万元，所以销售利润x可用不等式表示为____________. ③依据这个模型进行奖励时，奖金不超过利润的25%，所以奖金y可用不等式表示为______________. ②依据这个模型进行奖励时，奖金总数不超过5万元，所以奖金y可用不等式表示为__________. 10 ≤ x ≤1000 0 ≤ y ≤ 5 0 ≤ y ≤ 25%x 学习新知 ▲ 通过观察图象，你认为哪个模型符合公司的奖励方案？ 200 400 600 800 1000 2 3 4 5 6 7 8 1 0 ①对于模型y=0.25x, 它在区间[10,1000]上递增,当x>20时, y>5, 因此该模型不符合要求; ②对于模型y=1.002x, 它在区间[10,1000]上递增,观察图象并结合计算可知, 当x>806时, y>5, 因此该模型不符合要求; 学习新知 ③对于模型y=log7x+1, 它在区间[10,1000]上递增,观察图象并结合计算可知,当x=1000时,y=log71000+1≈4.55<5, 所以它符合奖金总数不超过5万元的要求； ★按模型y=log7x+1奖励时，奖金是否不超过利润的25%呢？ 解：当x∈[10,1000]时,要使y≤0.25x成立, 令f(x)= log7x+1－0.25x, 当x∈[10,1000]时, 是否有f(x) ≤0恒成立? 即当x∈[10,1000]时, f(x)= log7x+1－0.25x的图象是否在x轴下方? 作f(x)= log7x+1－0.25x的图象如下： 只需log7x+1≤0.25x成立， 即log7x+1－0.25x ≤0。 学习新知 根据图象观察, f(x)=log7x+1－0.25x的图象在区间[10,1000]内的确在x轴的下方. 这说明,按模型y =log7x+1奖励, 奖金不会超过利润的25%. y x 1 2 3 4 5 6 7 8 0 f(x)=log7x+1－0.25x 学习新知 总结新知 1.请同学谈谈你对几类不同增长的函数模型（一次函数、指数函数、对数函数）差异的认识。 2. 几类增长函数建模的步骤 列解析式 具体问题 画出图像（形） 列出表格（数） 不同增长 确定模型 预报和决策 控制和优化 3. 你还有其他感悟吗？ 常数函数 一次函数 指数函数 对数函数 增长量为零 增长量相同 增长量迅速增加 增长量减少 没有增长 直线增长 指数爆炸 对数增长 03 题型强化训练 4.5.3函数模型的应用 能力提升 题型一　指数型函数模型的应用 能力提升 题型二　对数型函数模型的应用 能力提升 题型二　对数型函数模型的应用 能力提升 题型二　对数型函数模型的应用 能力提升 题型三　建立拟合函数模型解决实际问题 能力提升 题型三　建立拟合函数模型解决实际问题 能力提升 题型三　建立拟合函数模型解决实际问题 04 小结及随堂练习 4.5.3函数模型的应用 课堂总结1 基本步骤： 第一步：阅读理解，认真审题 读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，领悟从背景中概括出来的数学实质，尤其是理解叙述中的新名词、新概念，进而把握住新信息。 第二步：引进数学符号，建立数学模型 设自变量为x，函数为y，并用x表示各相关量，然后根据问题已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式，将实际问题转化为一个数学问题，实现问题的数学化，即所谓建立数学模型。 第三步：利用数学的方法将得到的常规数学问题（即数学模型）予以解答，求得结果。 第四步：再转译为具体问题作出解答。 课堂总结2 课堂总结3 小结：函数建模 实际情境 提出问题 数学模型 数学结果 检验 可用结果 合乎实际 不合乎实际 收集数据 画散点图 选择数学模型 求函数模型 检验 用函数模型解释实际问题 符合实际 不符合实际 作业 课本P154的1−−2题，P156 习题4.5的11、12、14题. 4.5.3函数模型的应用 练习（第154页） 乙选择的模型更符合实际 练习（第154页） 练习（第154页） 2．由于提高了养殖技术并扩大了养殖规模，某地的肉鸡产量在不断增加． 2008~2018年的11年，上市的肉鸡数量如下： 时间/年 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 肉鸡数量/吨 7690 7850 8000 8150 8310 8460 8620 8770 8920 9080 9230 同期该地的人口数如下： 时间/年 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 人口数/万 100.0 101.2 102.4 103.6 104.9 106.1 107.4 108.7 110.0 111.3 112.7 （1）分别求出能近似地反映上述两组数据变化规律的函数； （2）如果2017年该地上市的肉鸡基本能满足本地的需求，那么2018年是否能满足市场的需求？ （3）按上述两表的变化趋势，你对该地2018年后肉鸡市场的发展有何建议？ 练习（第154页） 练习（第154页） （2）如果2017年该地上市的肉鸡基本能满足本地的需求，那么2018年是否能满足市场的需求？ 即2014年和2015年每万人平均可有肉鸡数量分别为81.45吨和81.90吨，而2014年该地上市的肉鸡基本能满足本地的需求，2015年每万人平均可有肉鸡数量又大于2014年的，所以 2015 年能满足市场的需求． 练习（第154页） （3）按上述两表的变化趋势，你对该地2018年后肉鸡市场的发展有何建议？ 所以如果按已知两表的变化趋势，该地每万人平均可有肉鸡数数量在逐渐缓慢增加，上市的肉鸡能满足本地的需求．考虑到随着生活水平的提高，对肉鸡的需求会有所增加，所以该地2015年后的肉鸡市场只需基本按照目前的趋势发展即可． 习题4.5 （第155-156页） 6．一种专门占据内存的计算机病毒，开机时占据内存2KB，然后每3分自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍．那么开机后多少分，该病毒会占据64MB内存（1MB=1024KB）？ 开机后45分，该病毒会占据 64 MB 内存． 习题4.5 （第155-156页） 9．如图，某池塘里浮萍的面积y（单位：m2）与时间t（单位：月）的关系为．关于下列说法： ① 浮萍每月的增长率为1； ② 第5个月时，浮萍面积就会超过30 m2； ③ 浮萍每月增加的面积都相等； ④ 若浮萍蔓延到2 m2，3 m2，6 m2 所经过的时间分别是t1，t2，t3， 则t1 + t2 = t3 ．其中正确的说法是（ ） A. ①② B.①②③ C.①②④ D.①②③④ 习题4.5 （第155-156页） 9．如图，某池塘里浮萍的面积y（单位：m2）与时间t（单位：月）的关系为．关于下列说法： ① 浮萍每月的增长率为1； ② 第5个月时，浮萍面积就会超过30 m2； ③ 浮萍每月增加的面积都相等； ④ 若浮萍蔓延到2 m2，3 m2，6 m2 所经过的时间分别是t1，t2，t3， 则t1 + t2 = t3 ．其中正确的说法是（ ） A. ①② B.①②③ C.①②④ D.①②③④ C 习题4.5 （第155-156页） 10．一种药在病人血液中的量保持在1500mg以上时才有疗效，而低于500mg时病人就有危险.现给某病人的静脉注射了这种药2500mg，如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，那么应在什么时间范围再向病人的血液补充这种药（精确到0.1h）？ 设应在病人注射这种药t h后再向病人的血液补充这种药． 应在用药后2.3h至7.2 h再向病人的血液补充这种药． 习题4.5 （第155-156页） 11．人类已进入大数据时代．目前，数据量已经从TB（1TB＝1024GB）级别跃升到PB（1PB＝1024TB），EB（1EB＝1024PB）乃至ZB（1ZB＝1024EB）级别．国际数据公司（IDC）的研究结果表面，2008年全球产生的数据量为0.49 ZB，2009年的数据量为0.8 ZB，2010年增长到1.2 ZB，2011年的数量更是高达1.2 ZB，而到了2020年，预计全世界所产生的数据规模将达到2011年的44倍． 习题4.5 （第155-156页） 从第二年起，计算每一年数据量与前一年数据量的比值，列表如下． 时间/年 2008 2009 2010 2011 … 2020 数据量/ZB 0.49 0.8 1.2 1.82 … 1.82×44 增长比例 1.63 1.50 1.52 … 习题4.5 （第155-156页） 习题4.5 （第155-156页） 12．某地不同身高的未成年男性的体重平均值如下表： 身高/cm 60 70 80 90 100 110 平均体重/kg 6.13 7.90 9.99 12.15 15.02 17.50 身高/cm 120 130 140 150 160 170 平均体重/kg 20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05 （1）根据表中提供的数据建立恰当的函数模型，使它能近似地反映这个地区未成年男性平均体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）的函数关系，并写出这个函数的解析式． （2）若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么该地一名身高为175 cm，体重为78 kg的在校男生的体重是否正常？ 习题4.5 （第155-156页） 习题4.5 （第155-156页） 将已知数据代人上述函数解析式，或作出上述函数的图象（图（2）），可以发现，这个函数与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映这个地区未成年男性体重与身高的关系． 习题4.5 （第155-156页） （2）若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么该地一名身高为175 cm，体重为78 kg的在校男生的体重是否正常？ 习题4.5 （第155-156页） 解析：不正确，理由如下： 习题4.5 （第155-156页） v 0 40 60 80 120 Q 0.000 6.667 8.125 10.000 20.000 为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系，现有以下三种模型供选择： （1）选出你认为最符合实际的函数模型，并写出相应的函数解析式； （2）从甲地到乙地，这辆车应以什么速度行驶才能使总耗油量最少？ 习题4.5 （第155-156页） 习题4.5 （第155-156页） （2）从甲地到乙地，这辆车应以什么速度行驶才能使总耗油量最少？ 人教A版2019必修第一册 THANKS 感谢您的聆听 【练习1】某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2023年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（    ）(参考数据： ) A．2026年； B．2027 年； C．2028年； D．2029 年． 【解析】设研发资金开始超过200万元的年份是 ，则第 年投入的研发资金为 ， 则 ，即 ，所以 ，所以 .所以该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2027年. 故选：B 【练习2】某厂因技术改革，今年上半年两个季度生产总值持续增加.第一季度的增长率为 ，第二季度的增长率为 ，则该厂这两个季度生产总值的平均增长率为（   ） A． B． C． D． 【解析】设该厂这两个季度生产总值的平均增长率为 ， 则 ，解得 或 （舍去）， 所以该厂这两个季度生产总值的平均增长率为 ， 故选：D. 【练习3】银行有一种叫做零存整取的储蓄业务，即每月定时存入一笔相同数目的现金，这是零存；到约定日期可以取出全部本金与利息的和（简称本利和），这是整取．已知一年期的年利率为1.35%，规定每次存入的钱不计复利．若某人采取零存整取的方式，从今年1月开始，每月1日存入4000元，则到今年12月底的本利和为（    ） A．48027元 B．48351元 C．48574元 D．48744元 【解析】所有利息的和为 元， 故到12月底的本利和为 元． 故选：B 【变式1】中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种绿茶用 的水泡制，再等到茶水温度降至 时饮用，可以产生最佳口感．为分析泡制一杯最佳口感茶水所需时间，某研究人员每隔 测量一次茶水的温度，根据所得数据做出如图所示的散点图．观察散点图的分布情况，下列哪个函数模型可以近似地刻画茶水温度 随时间 变化的规律（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由函数图象可知符合条件的只有指数函数模型，并且 .故选：B. 【练习4】在一般情况下，过江大桥上的车流速度 （单位：千米/时）是车流密度 （单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为90千米/时；研究表明，当 时，车流速度 是车流密度 的一次函数．设当车流密度 时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/时） 可以达到最大．则（    ） A． B． C． D． 【解析】由题意可知， ，则当 时， ，当 时， ，即 ，解得 ，故 ， 当 时， 的最大值为 ； 当 时， ， 此时 的最大值为 ．因为 ，所以 ， ． 故选：A. 【练习5】某金融产品的价格增长模型遵循连续复利模型，公式为 ，其中r为年收益率，t为投资时间（单位：年）， 为自然对数的底数， 为初始资金， 为t年后的资金，已知某产品年收益率 ，则使初始资金翻倍至少需要（参考数据： ）（   ） A．12年 B．13年 C．14年 D．15年 【解析】由题意可知 ，代入公式可得 ， 所以 所以 ，所以至少需要14年， 故选：C 【练习6】抗生素主要有抑菌与杀菌的作用，但抗生素的大量使用容易导致其通过直接或间接的途径进入环境，进而造成环境污染、危害生物体健康．已知水中某生物体内抗生素的残留量 （单位：mg）与时间 （单位：年）近似满足关系式 ，其中 为抗生素的残留系数，当 时， ，则 的值约为（   ）（参考值： ） A．0.54 B．0.34 C．0.24 D．0.14 【解析】由题可知： ，将 ， 代入上式， 所以 . 故选：D 【变式2】著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为 ℃， 空气温度为 ℃，则 分钟后物体的温度 （单位：℃，满足： )若常数 ，空气温 度为 ℃，某物体的温度从 ℃下降到 ℃，大约需要的时间为（    ）（参考数据： ） A．39分钟 B．41分钟 C．43分钟 D．45分钟 【答案】B 【详解】由题知 ， ， ， ， ， ， ， .故选：B. 【练习7】目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，发现地震时释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为 ．则里氏8.0级地震所释放出来的能量是里氏6.0级地震所释放出来的能量的（    ） A．6倍 B． 倍 C． 倍 D． 倍 【解析】设里氏8.0级地震所释放出来的能量为 ，里氏6.0级地震所释放出来的能量为 ， 则 ， ； ， ．故选：C 【练习8】“百日冲刺”是学校针对高三学生进行的高考前激情教育，某班主任根据历年学生经历“百日冲刺”之后的成绩变化，构造了一个关于经过时间 （单位：天）与增加总分数 （单位：分）的函数模型 ， 为增分转化系数， 为“百日冲刺”后的一模总分， .已知某学生在距离高考还有99天的一模考试中总分为600分，依据此模型估计此学生在高考中可能取得的总分为（    ） （参考数据： ，结果保留整数） A．658 B．668 C．678 D．688 【解析】因为 ，所以 ，解得 ， ，所以估计此学生在高考中可能取得的总分为 分.故选：B. 【练习9】在无线通信（如路由器信号）中，信号强度会随着传播距离增加而衰减， 是信号衰减值（单位：分贝，dB）， （单位：米）为信号传播距离、某路由器信号在自由空间（无遮挡、无干扰）中，信号衰减公式可简化为： （ 为常数），若距离增加一倍，信号衰减值约减少为6dB，信号传播距离从 增加到 时，测得信号衰减值从 变到 ，则 （    ） A．5 B．6 C． D． 【解析】由题可得当距离从 到 时，信号衰减值约减少为6dB，可得： ，解得： ，由于信号传播距离从 增加到 时， 测得信号衰减值从 变到 所以 ，则 ，解得 ，故选：C 【练习10】“百日冲刺”是学校针对高三学生进行的高考前的激情教育，某班主任根据历年学生经历“百日冲刺”之后的成绩变化，构造了一个关于经过时间 （单位：天）与增加总分数 （单位：分）的函数模型 为增分转化系数， 为“百日冲刺”前的最后一次模考总分， .已知某学生在“百日冲刺”前的最后一次模考总分为400分，依据此模型估计此学生在高考中可能取得的总分为 （    ） A．442 B．452 C．462 D．472 【解析】由题意得 ， ， ， 该学生在高考中可能取得的总分约为 .故选：C. 【变式3】某打车平台欲对收费标准进行改革，现制订了甲、乙两种方案供乘客选择，其支付费用y（单位：元）与打车里程x（单位：km）的函数关系大致如图所示，则（ ） A．当打车里程为8km时，乘客选择甲方案更省钱 B．当打车里程为10km时，乘客选择甲、乙方案均可 C．打车里程在3km以上时，每千米增加的费用甲方案比乙方案多 D．甲方案3km内（含3km）付费5元，打车里程大于3km时每增加1km费用增加0.7元 【答案】ABC 【详解】对于A中，当 时，甲对应的函数值小于乙对应的函数值， 故当打车里程为8km时，乘客选择甲方案更省钱，所以A正确； 对于B中，当打车里程为10km时，甲、乙方案的费用均为12元， 故乘客选择甲、乙方案均可，所以B正确； 对于C中，打车3km以上时，甲方案每千米增加的费用为 （元）， 乙方案每千米增加的费用为 （元），故每千米增加的费用甲方案比乙方案多，所以C正确； 对于D中，由图可知，甲方案3km内（含3km）付费5元，3km以上时，甲方案每千米增加的费 用为1（元），所以D错误.故选：ABC. 【变式4】有一组实验数据如表所示： 则下列所给函数模型较不适合的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】由实验数据可得如下图，   ∴根据点的变化趋势：随着x的增大y的增速变快，结合各选项的函数性质知：A、B、D不合适，只有C合适. 故选：ABD. 【练习1】某实验员在培养皿中滴入了含有10个某种真菌的实验液，经1小时培养真菌数目繁殖为原来的2倍．经测量知该真菌的繁殖规律为y＝10eλt，其中λ为常数，t表示培养时间(单位：小时)，y表示真菌个数．经过8小时培养，真菌能达到的个数为(　　) A．640 B．1280 C．2560 D．5120 【解析】因为原来的真菌数为10，由题意可得在函数y＝10eλt中，当t＝1时，y＝20，所以20＝10eλ， 即eλ＝2，所以y＝10×eλt＝10×2t. 当t＝8时，真菌数为y＝10×28＝2560. 【感悟提升】指数型函数模型的特点及应用 （1）特点：形如y＝abx＋c(a≠0，b>0，b≠1)的函数，其特点为当a>0，b>1时，y随自变量x的增大而增大，且函数值增大的速度越来越快． (2)应用：指数型函数模型是一个应用广泛的函数模型，它在电学、生物学、人口学、气象学等方面都有广泛的应用，解决这类给出的指数型函数模型的应用题的基本方法是待定系数法，即根据题意确定相关的系数． 【练习2】某工厂现有职工320人，平均每人每年可创利20万元．该工厂打算购进一批智能机器人(每购进一台机器人，需要有一名职工下岗)．据测算，如果购进智能机器人不超过100台，每购进一台机器人，所有留岗职工(机器人视为机器，不作为职工看待)在机器人的帮助下，每人每年多创利0.2万元，每台机器人购置费及日常维护费折合后平均每年2万元，工厂为体现对职工的关心，给予下岗职工每人每年4万元补贴．如果购进智能机器人的数量超过100台， 则工厂的年利润y＝8202＋lg x(万元)(x为机器人台数，且x<320)． (1)写出工厂的年利润y与购进智能机器人台数x的函数关系式； (2)为使工厂获得最大经济效益，应购进多少台智能机器人？此时工厂的最大年利润是多少(参考数据：lg 2≈0.3010)? 【解析】(1)当购进智能机器人台数x≤100时，工厂的年利润y＝(320－x)(20＋0.2x)－4x－2x＝－0.2x2＋38x＋6400，所以y＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－0.2x2＋38x＋6400，0≤x≤100，x∈N，,8202＋lg x，100<x<320，x∈N.)) (2)由(1)知，当0≤x≤100时，y＝－eq \f(1,5)(x－95)2＋8205， 则当x＝95时，ymax＝8205， 当100<x<320时，y＝8202＋lg x为增函数， 所以8202＋lg x<8202＋lg 320＝8202＋1＋5lg 2≈8204.505<8205. 综上可知，购进95台智能机器人可使工厂获得最大经济效益，此时工厂的最大年利润是8205万元． 【感悟提升】对数型函数模型的特点及应用 (1)特点：形如y＝mlogax＋n(a>0，a≠1，m≠0)的函数，其特点为当a>1，m>0时，y随自变量x的增大而增大，且函数值增大的速度越来越慢． (2)应用：根据实际情况求出函数解析式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据数值回答其实际意义． 【练习3】某地方政府为鼓励全民创业，拟对本地产值在50万元到500万元的新增小微企业进行奖励，奖励方案遵循以下原则：奖金y(单位：万元)随年产值x(单位：万元)的增加而增加，且奖金不低于7万元，同时奖金不超过年产值的15%. (1)若某企业年产值100万元，核定可得9万元奖金，试分析函数y＝lg x＋kx＋5(k为常数)是否为符合政府要求的奖励函数模型，并说明原因(已知lg 2≈0.3，lg 5≈0.7)； (2)若采用函数f(x)＝eq \f(15x－a,x＋8)作为奖励函数模型，试确定最小的正整数a的值． 【解析】(1)对于函数模型y＝lg x＋kx＋5(k为常数)， 当x＝100时，y＝9，代入解得k＝eq \f(1,50)，所以y＝lg x＋eq \f(x,50)＋5. 当x∈[50，500]时，y＝lg x＋eq \f(x,50)＋5是增函数，当x＝50时，y＝lg 50＋6＝lg 5＋7>7.5， 即奖金不超过年产值的15%不成立，故该函数模型不符合要求． (2)对于函数模型f(x)＝eq \f(15x－a,x＋8)＝15－eq \f(120＋a,x＋8)， a为正整数，函数在[50，500]上单调递增，f(x)min＝f(50)≥7，解得a≤344. 要使f(x)≤0.15x对x∈[50，500]恒成立，则a≥－0.15x2＋13.8x对x∈[50，500]恒成立，所以a≥315. 综上所述，315≤a≤344，所以满足条件的最小的正整数a的值为315. 【感悟提升】建立拟合函数与预测的基本步骤 $