4.5.3函数模型的应用（同步课件）-【一堂好课】2021-2022学年高一数学上学期同步精品课堂（人教A版2019必修第一册）

第四章 指数函数与对数函数 人教A版2019 必修第一册 4.5 函数的应用（二） 4.5.3 函数模型的应用 我们知道，函数是描述客观世界变化规律的数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来刻画．面临一个实际问题，该如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？ 例3 人口问题是当今世界各国普遍关心的问题．认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据．早在1798年，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型： y＝y0ert ， 其中t表示经过的时间，y0 表示 t＝0时的人口数，r表示人口的年平均增长率． 尽管对马尔萨新人口理论存在一些争议，但它对人口学和经济学的发展都产生了一定的影响．上网了解，还有哪些人口模型，它们与我们所学的函数有怎样的关系？ 表4.5-4是1950~1959年我国的人口数据资料： 表4.5-4 （1）如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到0.0001），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符； （2）如果按表4.5-4的增长趋势，那么大约在哪一年我国的人口数达到13亿？ 分析：用马尔萨斯人口增长模型建立具体人口增长模型，就是要确定其中的初始量y0和年平均增长率r． 年份 1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959 人口数/万 55196 56300 57482 58796 60266 61456 62828 64563 65994 67207 由图4.5-6可以看出，所得模型与1950~1959年的实际人口数据基本吻合． （2）如果按表4.5-4的增长趋势，那么大约在哪一年我国的人口数达到13亿？ 所以，如果按表4.5-4的增长趋势，那么大约在1950年后的第39年（即1989年）我国的人口就已达到13亿． 思考 事实上，我国1989年的人口数为11.27亿，直到2005年才突破13亿．对由函数模型所得的结果与实际情况不符，你有何看法？ 因为人口基数较大，人口增长过快，与我国经济发展水平产生了较大矛盾，所以我国从20世纪70年代逐步实施了计划生育政策．因此这一阶段的人口增长条件并不符合马尔萨斯人口增长模型的条件，自然就出现了依模型得到的结果与实际不符的情况． 在用已知的函教模型刻画实际问题时，应注意模型的适用条件． 下面来解决章引言中的问题． 例4 2010年，考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料上提取的草茎遗存进行碳14年代学检测，检测出碳14的残留量约为初始量的55.2%，能否以此推断此水坝大概是什么年代建成的？ 因为2010年之前的4912年是公元前2902年，所以推断此水坝大概是公元前2902年建成的． 在实际问题中，有的能应用已知的函数模型解决，有的需要根据问题的条件建立函数模型加以解决． 例5 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下： 方案一：每天回报40元； 方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元； 方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番． 请问，你会选择哪种投资方案？ 分析：我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型，再通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提供依据． 思考 投资方案选择原则： 投入资金相同，回报量多，投资周期合理 比较三种方案每天回报量 (2) 比较三种方案一段时间内的总回报量 哪个方案在某段时间内的总回报量最多，我们就在那段时间选择该方案。 分析 我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型，再通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提供依据。 解：设第x天所得回报为y元，则 方案一：每天回报40元； y =40 (x∈N*) 方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回 报10元； y = 10x (x∈N*) 方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。 y = 0.4×2x-1 (x∈N*) x/天 方案一 方案二 方案三 y/元 增长量/元 y/元 增长量/元 y/元 增长量/元 1 40 0 10 0.4 2 40 0 20 10 0.8 0.4 3 40 0 30 10 1.6 0.8 4 40 0 40 10 3.2 1.6 5 40 0 50 10 6.4 3.2 6