4.5.2 用二分法求方程的近似解（教学课件）数学人教A版2019必修第一册

该高中数学课件聚焦“用二分法求方程的近似解”，以零点存在性定理为基础。通过“牛刀小试”复习零点定理应用，如判断零点区间、求零点个数，逐步过渡到二分法的定义、条件及步骤，构建从基础到方法的学习支架。 其亮点在于结合具体例题（如2^x + 3^x = 7的近似解），通过表格计算中点和函数值，培养学生数学思维的推理与运算能力。“总结新知”明确步骤，“题型训练”强化应用，帮助学生用数学语言表达解题过程。学生能掌握方法发展探究意识，教师可直接用于教学提高效率。

第 4 章 4.5 函数的应用（二） 人教A版2019必修第一册 4.5.2 用二分法求方程的近似解 学习目标 1.通过具体实例理解二分法的概念及其使用条件． 2.了解二分法是求方程近似解的常用方法，能借助计算器用二分法求方程的近似解． 3.会用二分法求一个函数在给定区间内的零点，从而求得方程的近似解． 目录 CATALOG 01.二分法的概念 03.题型强化训练 02.用二分法求函数零点的近似值 04.小结及随堂练习 01 二分法的概念 4.5.2 用二分法求方程的近似解 导入新知：手机猜价格游戏 教师展示一部神秘手机， 提示价格区间2000-3000元，学生需在6次提问内猜出误差不超过50元的价格。 如何提问 才能最快锁定价格？ 导入新知：水管漏水检测 家中水管从入口 到水龙头有10米， 发现漏水但 不知具体位置。 如何用最少的 检测次数 定位1米内的 漏水点？ 导入新知 我们已经知道，方程 ln x ＋2x－6=0的实数根x0∈(2，3)，即函数在区间(2，3)内存在一个零点．进一步的问题是，如何求出这个零点呢？ 一个直观的想法是：如果能将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，就可以得到符合要求的零点的近似值．为了方便，可以通过取区间中点的方法，逐步缩小零点所在的范围． 7 应用新知 取区间(2，3)的中点2.5，用计算工具算得 f (2.5) ≈ －0.084．因为f(2.5)f(3)<0， 所以零点在区间(2.5，3)．再取区间(2.5，3)的中点2.75，用计算工具算得 f(2.75)≈0.512.因为f (2.5) f (2.75)<0，所以零点在区间(2.5，2.75)内． 因为(2，3)⊇(2.5，3)⊇(2.5，2.75)，所以零点所在的范围变小了．如果重复上述的步骤，那么零点所在的范围会越来越小． 这样，我们就可以通过有限次重复相同的步骤，将零点所在的范围缩小到满足一定精度的区间，区间内的任意一点都可以作为函数零点的近似值．为了方便，我们把区间的一个端点作为零点的近似值． 应用新知 f (x)= ln x ＋2x－6 ∵f(2)<0， f(3)>0，∴x0∈(2，3) ∵f(2.5)<0， f(3)>0，∴x0∈(2.5，3) ∵f(2.5)<0， f(2.75)>0，∴x0∈(2.5，2.75) ∵f(2.5)<0， f(2.625)>0，∴x0∈(2.5，2.625) ∵f(2.5)<0， f(2.5625)>0，∴x0∈(2.5，2.5625) ∵f(2.53125)<0， f(2.5625)>0，∴x0∈(2.53125，2.5625) 应用新知 2 3 2.5 2.75 2.65 2.5625 零点所在区间 中点的值 中点函数近似值 (2，3) 2.5 -0.084 (2.5，3) 2.75 0.512 (2.5，2.75) 2. 625 0.215 (2.5，2.625) 2.562 5 0.066 (2.5，2.5625) 2. 531 25 -0.009 (2.53125，2.5625) 2. 546 875 0.029 (2.53125，2.546875) 2. 539 062 5 0.010 (2.53125，2.5390625) 2. 535 156 25 0.001 应用新知 例如，当精确度为0.01时，因为|2.539 062 5－2.531 25| =0.007 812 5<0.01，所以区间(2.531 25，2.539 062 5)内任意一点都可以作为零点的近似值，也可以将x = 2.531 25作为函数f(x)=lnx＋2x－6零点的近似值，即方程lnx＋2x－6=0的近似解． 零点所在区间 中点的值 中点函数近似值 (2，3) 2.5 -0.084 (2.5，3) 2.75 0.512 (2.5，2.75) 2. 625 0.215 (2.5，2.625) 2.562 5 0.066 (2.5，2.5625) 2. 531 25 -0.009 (2.53125，2.5625) 2. 546 875 0.029 (2.53125，2.546875) 2. 539 062 5 0.010 (2.53125，2.5390625) 2. 535 156 25 0.001 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 用二分法求近似解的条件 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 用二分法求近似解的条件 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 零点存在性定理的应用、用二分法求近似解的条件 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 用二分法求近似解的条件 总结新知 对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y = f (x)，通过不断地把函数 f (x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 二分法的理论依据是什么？ x y 0 a b 能用二分法求零点的函数必须在给定区间[a,b]上连续不断，并且有f(a)·f(b)<0． 二分法是否适合求所有函数的零点？ 零点定理 总结新知 用二分法求函数零点近似值的步骤 3. 计算f(c) ； 若f(c)=0，则c就是函数的零点c ； 若f(a)·f(c)<0，此时零点x0∈(a,c)，则令b=c;若f(b)·f(c)<0，此时零点x0∈(c,b)，则令a=c; 1. 确定区间[a,b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε； 2. 求区间(a,b)的中点c； 4. 判断是否达到精度ε，若|a-b|<ε，则得到零点近似值a(或b)，否则重复步骤2~4； 由|a-b|<ε可知，区间[a,b]中任意一个值都是零点x0的满足精确度ε的近似值，为了方便，我们统一区间端点值a(或b). 02 用二分法求函数 零点的近似值 4.5.2 用二分法求方程的近似解 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 零点存在性定理的应用、判断零点所在的区间 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 零点存在性定理的应用、求函数零点或方程根的个数 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 零点存在性定理的应用、求函数零点或方程根的个数 学习新知 例2 借助信息技术，用二分法求方程 2x＋3x=7函数的近似解（精确度为0.1） 【解析】原方程即2x＋3x－7=0 ，令f(x) =2x＋3x－7，用信息技术画出函数 y = f (x)的图象，并列出它的对应值表． x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 y -6 -2 3 10 21 40 75 142 273 观察函数图象和上表，可知f(1)·f(2)<0． 学习新知 区间 中点的值 中点函数近似值 (1,2) 1.5 0.33 (1,1.5) 1.25 -0.87 (1.25,1.5) 1.375 -0.28 (1.375,1.5) 1.4375 0.02 (1.375,1.4375) 由于 |1.375－1.4375|=0.0625<0.1， 此时区间(1.375，1.4375)的两个端点精确到0.1的近似值都是1.4，所以原方程精确到0.1的近似解可以为1.375 ． 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 根据解析式直接判断函数的单调性、判断零点所在的区间 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 根据解析式直接判断函数的单调性、判断零点所在的区间 应用新知 二分法求方程近似解，计算量较大，重复步骤多，这可以让计算机来完成，但是得是人设计好计算程序，由计算机执行，其程序框图为： 开始 定义f(x) 输入ε,a,b b=c a=c a=c 输出解x=a 结束 是 否 是 否 是 否 总结新知 二分法步骤 1.确定区间[a,b],验证f(a)·f(b)<0,给定精确度ε. 2、求区间(a,b)的中点c 3、计算f(c); (1) 若f(c)=0,则c就是函数的零点 (2) 若f(a)f(c)<0,则令b= c(此时零点x0∈(a,c)) (3) 若f(a)f(c)>0,则令a= c(此时零点x0∈(c,b)) 4、判断是否达到精确度ε,即若|a-b|<ε,则得到零点的近似值a(或b)；否则重复2～4 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 二分法求方程近似解的过程 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 函数与方程的综合应用 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 函数与方程的综合应用、对数函数图象的应用 03 题型强化训练 4.5.2 用二分法求方程的近似解 能力提升 【跟踪训练】 1．以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点近似值的是 解析：由二分法的定义，可知只有当函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断，且f(a)f(b)＜0，即函数f(x)的零点是变号零点时，才能用二分法求函数零点的近似值．对各选项分析可知，A，B，D都符合，而C不符合，因为在零点两侧函数值不异号，因此不能用二分法求函数零点的近似值． 题型一　二分法的概念 能力提升 题型一　二分法的概念 【感悟提升】　用二分法求函数零点应具备的条件 (1)函数图象在零点附近连续不断． (2)在该零点左右两侧的函数值异号． 只有同时满足上述两个条件，才可用二分法求函数零点． 能力提升 题型二　用二分法求方程的近似解(或函数零点的近似值) 【跟踪训练】 2．利用计算器，用二分法求函数f(x)＝2x＋3x－6零点的近似值(精确度为0.1)． 解：因为函数f(x)＝2x＋3x－6在R上单调递增，且f(1)＝2＋3－6＝－1<0，f(2)＝4＋6－6＝4>0，即f(1)f(2)<0，所以函数f(x)在R上存在唯一的零点，设为x0，则x0∈(1，2)．利用二分法，可以得到下表： 能力提升 题型二　用二分法求方程的近似解(或函数零点的近似值) 我们得到区间(1.1875，1.25)的长度为0.0625，它小于0.1，因此可选取这一区间的任意一个数作为函数f(x)零点的近似值，如可取x0＝1.2作为函数f(x)零点的一个近似值． 能力提升 题型二　用二分法求方程的近似解(或函数零点的近似值) 【感悟提升】　利用二分法求方程近似解的步骤 (1)构造函数，利用图象确定方程的根所在的大致区间，通常限制在区间(n，n＋1)，n∈Z. (2)利用二分法求出满足精确度的方程的根所在的区间M. (3)区间M内的任一实数均是方程的近似解，通常取区间M的一个端点． 04 小结及随堂练习 4.5.2 用二分法求方程的近似解 总结新知 总结新知 用二分法求解方程的近似解： 1、确定区间[a,b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε 2、求区间(a,b)的中点c 3、计算f(c); (1) 若f(c)=0,则c就是函数的零点 (2) 若f(a)·f(c)<0,则令b= c(此时零点x0∈(a,c)) (3) 若f(a)· f(c)>0,则令a= c(此时零点x0∈(c,b)) 4、判断是否达到精确度ε，即若|a-b|< ε,则得到零点的近似值a(或b)；否则重复2～4. 总结新知 二分法：对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 用二分法求函数零点近似值的步骤： 1. 确定区间[a,b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε； 2. 求区间(a,b)的中点c； 3. 计算f(c) ；若f(c)=0，则c就是函数的零点c ； 若f(a)·f(c)<0，则令b=c(此时零点x0∈(a,c))；若f(b)·f(c)<0，则令a=c(此时零点x0∈(c,b)； 4. 判断是否达到精度ε，若|a-b|<ε，则得到零点近似值a(或b)，否则重复步骤2~4； 由|a-b|<ε可知，区间[a,b]中任意一个值都是零点x0的满足精确度ε的近似值，为了方便，我们统一区间端点值a(或b)． 作业 4.5.2 用二分法求方程的近似解 完成教材第146页练习第1,2题;第155页习题4. 5第 1,3,4 题. 练习（第146页） 练习（第146页） 习题4.5 （第155-156页） 1．下列函数图象与轴均有交点，其中不能用二分法求其零点的是 ． （填写上所有符合条件的图号） ①③ 习题4.5 （第155-156页） x 1 2 3 4 5 6 y 136.136 15.552 -3.92 10.88 -52.488 -232.064 习题4.5 （第155-156页） 习题4.5 （第155-156页） 习题4.5 （第155-156页） 人教A版2019必修第一册 THANKS 感谢您的聆听 【练习1】下列函数零点不能用二分法求出的是（    ） A． B． C． D． 【解析】对于A选项， 在 上单调递增，且与 轴有唯一交点，交点两侧的函数值异号，则可用二分法求解，A正确； 对于B选项，当 时， ，当且仅当 时，等号成立，无零点； 当 时 ，当且仅当 时，等号成立，在 上单调递减，在 上单调递增，此时有两个零点 ，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点，B正确； 对于C选项，由题意可知 只有一个零点 ，且在该零点左右两边的函数值都大于零，故不宜用二分法求解该零点，C错误； 对于D选项， ，在 单调递增， 单调递减，所以 ，则零点处的两侧函数值异号，可用二分法求解，D正确.故选：C 【练习2】下列函数不宜用二分法求零点的是（    ） A． B． C． D． 【解析】对于A： 在 上单调递增， ， ，所以存在 ，使得 ，A宜用二分法求零点； 对于B： ，存在 ，使得 ，B宜用二分法求零点； 对于C： ，存在 ，使得 ，C宜用二分法求零点； 对于D： ，函数零点为 ，但不存在区间 ，使得 ，即 的零点不宜用二分法来求， 故选：D． 【练习3】下列函数中不能用二分法求零点的是（    ） A． B． C． D． 【解析】对于A， 为单调递增函数，有唯一零点 ，且函数值在零点两侧异号，所以可用二分法求零点，故A能用二分法求零点；对于B， 为单调递增函数，有唯一零点 ，且函数值在零点两侧异号，所以可用二分法求零点，故B能用二分法求零点；对于C， 不是单调函数，有唯一零点 ，但函数值在零点两侧都是正的，故C不能用二分法求零点；对于D， 为单调递增函数，有唯一零点 ，且函数值在零点两侧异号，所以可用二分法求零点，故D能用二分法求零点.故选：C. 【练习4】函数 零点所在区间为（参考数据： ）（    ） A． B． C． D． 【解析】易知 在定义域上单调递增， ， 则 ，由零点存在定理知，A错误；由 ，可得 ，B正确；由 ，可得 ，C错误； 由 ，可得 ，D错误．故选：B. 【练习5】已知函数y=f(x)的图象是连续不间断的，有如下对应表： x 1 2 3 4 5 6 y 122.5 21.4 -7.4 4.5 -53.1 -125.5 那函数f(x)在区间[1，6]上的零点个数是（    ） A．只有2个 B．至多3个 C．只有3个 D．至少3个 【解析】因为函数 的图象是连续不间断的,且 所以根据零点存在性定理,函数 在区间 上至少存在一个零点； 同理，由 ,得函数 在区间 上至少存在一个零点； 由 ,得函数 在区间 上至少存在一个零点. 但不能判断函数 在其它区间上是否有零点. 因此，函数 在区间 上至少存在3个零点. 故选：D. 【练习6】函数 的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 【解析】函数 在 上都单调递减， 则函数 在 上单调递减，而 ， 所以函数 的零点所在区间是 . 故选：B 【练习7】函数 的零点所在的区间为（   ） A． B． C． D． 【解析】函数 在区间 上单调递增， ， ， 得 ，所以函数的零点在区间 内．故选：B 【练习8】用“二分法”求方程 在区间 内的实根，取区间中点三次，可以确定根所在的最小区间是（    ） A． B． C． D． 【解析】令 ，则 ， ， 由 ， ， ， 则方程 在区间 内有实根.故选：C. 【练习9】已知曲线 与直线 无交点，则 （   ） A． B．0 C．1 D．2 【解析】因为曲线 与直线 无交点，所以 无解， 所以 无解，所以 无解，当 时，方程 无解， 当 时，方程为 ，解得 ，故 时，曲线 与直线 无交点.故选：C. 【练习10】设方程 的两个根为 ，则（    ）． A． B． C． D． 【解析】 等价于 ，作出函数 与 的图象，如图． 结合图象易知这两个函数的图象有两个交点，交点的横坐标即为方程 的两个根 ，可知 ， ．根据 在 上是减函数，可得 ，所以 ．又 ， ，所以 ，即 ， 则 ，所以 ．而 ，所以 ．故选：D． 区间(a，b) 中点值eq \f(a＋b,2) f(a) f(b) f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2))) (1，2) 1.5 f(1)<0 f(2)>0 f(1.5)≈1．33>0 (1，1.5) 1.25 f(1)<0 f(1.5)>0 f(1.25)≈0．13>0 (1，1.25) 1.125 f(1)<0 f(1.25)>0 f(1.125)≈－0.44<0 (1.125，1．25) 1.1875 f(1.125)<0 f(1.25)>0 f(1.1875)≈－0.16<0 (1.1875，1．25) |1.25－1.1875|＝0.0625<0.1 $