4.5.2 用二分法求方程的近似解（题型专练）数学人教A版2019必修第一册

4.5.2 用二分法求方程的近似解 题型一：用二分法求函数零点近似值的条件 1.（25-26高一上·全国·单元测试）用二分法求方程的近似解时，求得的部分函数值数据如表所示： x 1 2 1.5 1.75 1.875 1.8125 3 1.342 0.5793 则当精确度为0.1时，方程的近似解可取（    ） A．1.6 B．1.7 C．1.8 D．1.9 2.（2025高三下·全国·专题练习）下列函数图象与轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是（   ） A．   B．     C．   D．   3.（24-25高一上·湖南岳阳·期末）下列函数中，不能用二分法求其零点近似值的是（   ） A． B． C． D． 4.（24-25高一上·辽宁·期中）下列函数中，不能用二分法求零点的是（    ） A． B． C． D． 题型二：二分法求方程近似解的过程 1.（25-26高一上·全国·课后作业）设，某同学用二分法求方程的近似解（精确度为0.5），列出了对应值表如下： 0.125 0.4375 0.75 2 0.49 3.58 依据此表格中的数据，得到的方程近似解可能是（    ） A． B． C． D． 2.（25-26高一上·全国·课前预习）若用二分法求方程在初始区间内的近似解，则第三次取区间的中点（   ） A． B． C． D． 3.（24-25高一下·江苏南京·期中）在用二分法求方程在上的近似解时，先构造函数，再依次计算得，，，，，则该近似解所在的区间可以是（    ） A． B． C． D． 4.（2025·广东汕头·模拟预测）用二分法求函数在内的零点近似值，若精确度要求为，则需重复相同步骤的次数至少为（    ） A． B． C． D． 题型三:二分法求方程近似解的过程要求精确度为0.01 1.（24-25高一上·全国·课后作业）用二分法求函数在区间内的零点，若要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 2.（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知函数在区间内单调且，用二分法求方程近似解时，至少需要求（   ）次中点值可以求得近似解（精确度为0.001）. A．4 B．7 C．10 D．13 3.（24-25高一上·湖北·阶段练习）用二分法求函数在区间上的近似解，要求精确度为0.1时，所需二分区间次数最少为（   ）次 A．3 B．4 C．5 D．6 4.（24-25高一上·福建漳州·期末）用二分法求函数在区间上的零点近似解，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 题型一：利用零点存在性定理找到零点所在区间 1.（24-25高一上·全国·随堂练习）若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表： 那么方程的一个近似解（误差不超过0.025）为（    ） A．1.25 B．1.40625 C．1.4375 D．1.421875 【感悟提升】利用二分法求方程近似解的步骤 (1)构造函数，利用图象确定方程的根所在的大致区间，通常限制在区间(n，n＋1)，n∈Z. (2)利用二分法求出满足精确度的方程的根所在的区间M. (3)区间M内的任一实数均是方程的近似解，通常取区间M的一个端点． 2.（24-25高一上·全国·课前预习）用二分法求函数的一个零点的近似值，其参考数据如下： x 0.0625 0.09375 0.125 0.15625 0.1875 -0.4567 -0.1809 0.0978 0.3797 0.6647 根据上述数据，可得的一个零点近似值（误差不超过0.025）为（    ） A．0.09375 B．0.109375 C．0.125 D．0.078125 3.（24-25高一上·全国·课后作业）借助信息技术，用二分法求函数零点的近似值得到下表数据： 1.00 1.25 1.50 1.625 0.6931 0.4325 0.0879 -0.1193 则由表中的数据，可得函数的一个零点的近似值为（精确度为0.1）（    ） A．1.5625 B．1.25 C．1.4375 D．1.46875 4.（24-25高一上·天津·阶段练习）已知函数的部分函数值如表所示: 那么函数的一个零点的近似值（精确度为）为（    ） A． B． C． D． 题型二：零点存在性定理的应用、二分法求方程近似解的过程 1.（2025高一·全国·专题练习）用二分法求方程的近似解，求得的部分函数值数据如表所示： x 1 2 1.5 1.625 1.75 1.875 1.812 5 f（x） －6 3 －2.625 －1.459 －0.14 1.341 8 0.579 3 则当精确度为0.1时，方程的近似解可取为（　　） A．1.6 B．1.7 C．1.8 D．1.9 2.（24-25高一上·全国·课后作业）在用二分法求函数的一个正实数零点时，经计算，，则函数的一个误差不超过0.025的正实数零点的近似值可以为（    ） A．0.68 B．0.72 C．0.7 D．0.6 3.（23-24高一上·江苏苏州·期末）若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下： 那么方程的一个近似根精确度为可以是（ ） A． B． C． D． 4.（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）用二分法求函数的一个零点的近似值（精确度为0.1）时，依次计算得到如下数据：，，，，则下列说法正确的是（    ） A．函数在上不一定有零点 B．已经达到精确度，可以取1.375作为近似值 C．没有达到精确度，应该接着计算 D．没有达到精确度，应该接着计算 题型三:二分法求方程近似解的过程、判断零点所在的区间 1.（23-24高一上·云南昆明·期末）若函数的一个正零点用二分法计算，零点附近函数值的参考数据如下：，，，，，，那么方程的一个近似根（精确度）为（   ） A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5 2.（24-25高一上·河南新乡·阶段练习）用二分法求方程的一个近似解时，已经将根锁定在区间内，则下一步可断定该根所在的区间为（    ） A． B． C． D． 3.（2026高三·全国·专题练习）在用二分法求方程在上的近似解时，构造函数，依次计算得，，，，，则该近似解所在的区间是（    ） A． B． C． D． 4.（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数在区间内有且仅有1个零点，在利用二分法求函数零点的近似值时，经过3次二分法后确定的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 1.（24-25高一上·安徽铜陵·期末）某同学用二分法求函数的零点时，用计算器算得部分函数值如下表所示： 则该函数零点的近似值（精确度为0.1）可以是（    ） A．1.2 B．1.21 C．1.27 D．1.32 2.（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知函数，现用二分法求函数在内的零点的近似值，则使用两次二分法后，零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 3.（24-25高一下·上海杨浦·开学考试）一个函数不能用二分法求零点是这个函数的图象与x轴相切的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4.（23-24高一上·吉林延边·期末）下列函数中，不能用二分法求零点的是（　　） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.5.2 用二分法求方程的近似解 题型一：用二分法求函数零点近似值的条件 1.（25-26高一上·全国·单元测试）用二分法求方程的近似解时，求得的部分函数值数据如表所示： x 1 2 1.5 1.75 1.875 1.8125 3 1.342 0.5793 则当精确度为0.1时，方程的近似解可取（    ） A．1.6 B．1.7 C．1.8 D．1.9 【答案】C 【知识点】零点存在性定理的应用、用二分法求近似解的条件 【分析】由二分法，结合表格可知函数的零点在区间内，然后根据选项判断即可. 【详解】由表格可得，函数的零点在区间内， 且，结合选项可知，方程的近似解可取1.8． 故选：C. 2.（2025高三下·全国·专题练习）下列函数图象与轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是（   ） A．   B．     C．   D．   【答案】A 【知识点】用二分法求近似解的条件 【分析】结合结论二分法只能求变号零点，结合图象确定正确选项. 【详解】根据二分法的概念可知二分法只能求变号零点， 观察选项A中的函数图象可知该函数没有变号零点，观察选项BCD中的函数图象可知对应的函数都存在变号零点， 所以选项A中函数不能用二分法求零点． 故选：A. 3.（24-25高一上·湖南岳阳·期末）下列函数中，不能用二分法求其零点近似值的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用二分法求近似解的条件 【分析】利用二分法的概念，在零点两侧函数值异号进行逐一判定. 【详解】对于A，函数在上单调递增，有唯一零点， 所以函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点； 对于B，函数， 故函数有唯一零点，且函数值在零点两侧同号，故不能用二分法求零点； 对于C，当时，， 当且仅当时，等号成立，无零点； 当时，，当且仅当时，等号成立， 函数在上单调递减，在上单调递增， 此时有两个零点，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点； 对于D，函数在上单调递增，有唯一零点， 所以函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点. 故选：B 4.（24-25高一上·辽宁·期中）下列函数中，不能用二分法求零点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用二分法求近似解的条件 【分析】利用二分法的概念，在零点两侧函数值异号进行逐一判定. 【详解】对于A，函数在上单调递增，有唯一零点， 所以函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点； 对于B，函数， 故函数有唯一零点，且函数值在零点两侧同号，故不能用二分法求零点； 对于C，当时，， 当且仅当时，等号成立，无零点； 当时，当且仅当时，等号成立， 在上单调递减，在上单调递增， 此时有两个零点，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点； 对于D，函数在上单调递增，有唯一零点， 所以函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点. 故选：B 题型二：二分法求方程近似解的过程 1.（25-26高一上·全国·课后作业）设，某同学用二分法求方程的近似解（精确度为0.5），列出了对应值表如下： 0.125 0.4375 0.75 2 0.49 3.58 依据此表格中的数据，得到的方程近似解可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二分法求方程近似解的过程 【详解】由表格数据可知，，又因为函数在上连续，且函数在上单调递增，所以函数在区间上存在一个零点.又因为，所以方程的近似解（精确度为0.5）可以是区间上的任意一个数，观察四个选项可知C正确. 2.（25-26高一上·全国·课前预习）若用二分法求方程在初始区间内的近似解，则第三次取区间的中点（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二分法求方程近似解的过程 【分析】根据二分法求解方程近似解的方法计算即可. 【详解】令，因为， 所以，又，， 则，又因为，所以． 故选：B. 3.（24-25高一下·江苏南京·期中）在用二分法求方程在上的近似解时，先构造函数，再依次计算得，，，，，则该近似解所在的区间可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二分法求方程近似解的过程、判断零点所在的区间 【分析】利用二分法即可判断. 【详解】由题意，，，，，， 则由二分法可得近似解所在的区间为. 故选：C. 4.（2025·广东汕头·模拟预测）用二分法求函数在内的零点近似值，若精确度要求为，则需重复相同步骤的次数至少为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二分法求方程近似解的过程 【分析】二分法每次取区间中点，区间长度变为原来的一半，由题可得区间初始长度为，则第一次使用二分法后区间长度变为，第二次使用二分法后区间长度变为，第三次使用二分法后区间长度变为，以此类推，当区间长度小于精确度时即可停止. 【详解】解：原始区间长度为， 第一次，区间长度减半，为， 第二次，区间长度减半，为， 第三次，区间长度减半，为， 第四次，区间长度减半，为， 故至少需要重复四次. 故选：B. 题型三:二分法求方程近似解的过程要求精确度为0.01 1.（24-25高一上·全国·课后作业）用二分法求函数在区间内的零点，若要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【知识点】二分法求方程近似解的过程 【分析】由二分法求解步骤即可求解. 【详解】区间的长度等于1，经过次操作后，区间长度变为，所以，解得， 所以所需二分区间的次数最少7次． 故选：C 2.（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知函数在区间内单调且，用二分法求方程近似解时，至少需要求（   ）次中点值可以求得近似解（精确度为0.001）. A．4 B．7 C．10 D．13 【答案】C 【知识点】二分法求方程近似解的过程 【分析】根据二分法结合零点的近似值求解. 【详解】由所给区间的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半， 经过n次操作后，区间长度变为， 则，解得，所以至少需要操作10次. 故选：C. 3.（24-25高一上·湖北·阶段练习）用二分法求函数在区间上的近似解，要求精确度为0.1时，所需二分区间次数最少为（   ）次 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【知识点】二分法求方程近似解的过程 【分析】二分法的特点：每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过次操作后区间长度为，从而列出不等式得出答案. 【详解】开区间的长度为1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半， 经过次操作后，区间长度为， 因为二分法求在区间上近似解，要求精确度为， 所以，解得，所以所需二分区间次数最少为次. 故选：B 4.（24-25高一上·福建漳州·期末）用二分法求函数在区间上的零点近似解，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【知识点】二分法求方程近似解的过程 【分析】根据题意，由二分法中区间长度的变化，分析可得经过n次操作后，区间的长度为，据此可得，可得n的取值范围，即可得答案． 【详解】区间的长度等于1 ，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半， 经过n次操作后，区间长度变为， 因为用二分法求函数在区间上的零点近似解，要求精确度为0.01， ，因为，，所以， 即所需二分区间的次数最少为 故选：C. 题型一：利用零点存在性定理找到零点所在区间 1.（24-25高一上·全国·随堂练习）若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表： 那么方程的一个近似解（误差不超过0.025）为（    ） A．1.25 B．1.40625 C．1.4375 D．1.421875 【答案】D 【知识点】二分法求方程近似解的过程 【分析】利用零点存在性定理找到零点所在区间，即可获得方程的近似解 【详解】， ，零点在区间内， 即该方程的根在区间内，结合各选项，方程的近似解为1.421875. 故选：D. 【感悟提升】利用二分法求方程近似解的步骤 (1)构造函数，利用图象确定方程的根所在的大致区间，通常限制在区间(n，n＋1)，n∈Z. (2)利用二分法求出满足精确度的方程的根所在的区间M. (3)区间M内的任一实数均是方程的近似解，通常取区间M的一个端点． 2.（24-25高一上·全国·课前预习）用二分法求函数的一个零点的近似值，其参考数据如下： x 0.0625 0.09375 0.125 0.15625 0.1875 -0.4567 -0.1809 0.0978 0.3797 0.6647 根据上述数据，可得的一个零点近似值（误差不超过0.025）为（    ） A．0.09375 B．0.109375 C．0.125 D．0.078125 【答案】B 【知识点】二分法求方程近似解的过程、二分法求函数零点的过程 【分析】根据二分法的性质即可求解. 【详解】已知，，则函数的零点的初始区间为[0.09375，0.125]， 所以零点在区间[0.09375,0.125]上，， 所以可以作为的一个零点近似值， 故选：B 3.（24-25高一上·全国·课后作业）借助信息技术，用二分法求函数零点的近似值得到下表数据： 1.00 1.25 1.50 1.625 0.6931 0.4325 0.0879 -0.1193 则由表中的数据，可得函数的一个零点的近似值为（精确度为0.1）（    ） A．1.5625 B．1.25 C．1.4375 D．1.46875 【答案】A 【知识点】二分法求方程近似解的过程 【分析】利用零点存在性定了即可判断. 【详解】因为，故的零点在区间内， 区间长度为，因此需要取区间的中点1.5625， 两个区间和中必有一个满足区间端点的函数值符号相异， 此时区间长度，因此1.5625是一个近似解． 故选：A 4.（24-25高一上·天津·阶段练习）已知函数的部分函数值如表所示: 那么函数的一个零点的近似值（精确度为）为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二分法求方程近似解的过程、判断零点所在的区间 【分析】根据函数单调性结合零点存在性定理分析零点所在区间，再根据二分法可得结果. 【详解】根据题干所给数据可知，，，且函数在上为增函数， 由零点存在定理可知，函数的唯一零点在区间内， 区间长度为，结合选项可知，其近似值为. 故选：B. 题型二：零点存在性定理的应用、二分法求方程近似解的过程 1.（2025高一·全国·专题练习）用二分法求方程的近似解，求得的部分函数值数据如表所示： x 1 2 1.5 1.625 1.75 1.875 1.812 5 f（x） －6 3 －2.625 －1.459 －0.14 1.341 8 0.579 3 则当精确度为0.1时，方程的近似解可取为（　　） A．1.6 B．1.7 C．1.8 D．1.9 【答案】C 【知识点】零点存在性定理的应用、二分法求方程近似解的过程 【分析】根据二分法求方程的的近似解以及零点存在定理得出零点存在区间即可. 【详解】由表格可得，函数的零点在区间内. 结合选项可知，方程的近似解可取为1.8. 故选：C. 2.（24-25高一上·全国·课后作业）在用二分法求函数的一个正实数零点时，经计算，，则函数的一个误差不超过0.025的正实数零点的近似值可以为（    ） A．0.68 B．0.72 C．0.7 D．0.6 【答案】C 【知识点】零点存在性定理的应用、二分法求方程近似解的过程、二分法求函数零点的过程、判断零点所在的区间 【分析】利用二分法可得出结果. 【详解】已知，则函数的零点的初始区间为， 又因为，且， 所以零点在区间上， 又， 所以所求近似值可以为. 故选：C. 3.（23-24高一上·江苏苏州·期末）若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下： 那么方程的一个近似根精确度为可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】零点存在性定理的应用、二分法求方程近似解的过程 【分析】利用零点存在性定理及二分法，结合表格计算即可. 【详解】因为，，所以，所以函数在内有零点，因为，所以不满足精确度为 因为，所以，所以函数在内有零点，因为，所以不满足精确度为 因为，所以，所以函数在内有零点，因为，所以不满足精确度为 因为，所以，所以函数在内有零点，因为，所以不满足精确度为 因为，所以，所以函数在内有零点，因为，满足精确度为， 所以方程的一个近似根精确度为可以是区间内任意一个值包括端点值. 故选：C. 4.（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）用二分法求函数的一个零点的近似值（精确度为0.1）时，依次计算得到如下数据：，，，，则下列说法正确的是（    ） A．函数在上不一定有零点 B．已经达到精确度，可以取1.375作为近似值 C．没有达到精确度，应该接着计算 D．没有达到精确度，应该接着计算 【答案】D 【知识点】零点存在性定理的应用、二分法求函数零点的过程 【分析】利用二分法判断出方程根的分布区间，即可根据精确度求出根的近似值． 【详解】对于A，由，且连续，则根据函数零点存在定理知，在上一定有零点，故A错误； 对于B，C，D，，没有达到精确度的要求，应该接着计算，故B错误，C错误，D正确． 故选：D． 题型三:二分法求方程近似解的过程、判断零点所在的区间 1.（23-24高一上·云南昆明·期末）若函数的一个正零点用二分法计算，零点附近函数值的参考数据如下：，，，，，，那么方程的一个近似根（精确度）为（   ） A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5 【答案】C 【知识点】二分法求方程近似解的过程、判断零点所在的区间 【分析】由参考数据可得，区间满足题干要求精确到，结合选项可得答案. 【详解】因为，所以不必考虑端点； 因为，所以不必考虑端点和； 因为，，所以，所以函数在内有零点， 因为，所以满足精确度0.1； 所以方程的一个近似根（精确度0.1）是区间内的任意一个值（包括端点值）， 根据四个选项可知：. 故选：C. 2.（24-25高一上·河南新乡·阶段练习）用二分法求方程的一个近似解时，已经将根锁定在区间内，则下一步可断定该根所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二分法求方程近似解的过程、判断零点所在的区间 【分析】根据零点存在定理结合二分法计算判断即可. 【详解】， 由于，所以，， 所以下一步可断定该根所在的区间为. 故选:B. 3.（2026高三·全国·专题练习）在用二分法求方程在上的近似解时，构造函数，依次计算得，，，，，则该近似解所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二分法求函数零点的过程、判断零点所在的区间 【分析】根据零点存在性定理可知结果. 【详解】根据已知，，，，， 根据二分法可知该近似解所在的区间是. 故选：C 4.（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数在区间内有且仅有1个零点，在利用二分法求函数零点的近似值时，经过3次二分法后确定的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二分法求函数零点的过程、判断零点所在的区间 【分析】应用零点存在定理结合二分法，不断把区间一分为二计算判断. 【详解】由，且，，得在内有零点； 由，且，，得在内有零点； 由，，，得在内有零点 所以经过3次二分法后确定的零点所在区间为． 故选：B 1.（24-25高一上·安徽铜陵·期末）某同学用二分法求函数的零点时，用计算器算得部分函数值如下表所示： 则该函数零点的近似值（精确度为0.1）可以是（    ） A．1.2 B．1.21 C．1.27 D．1.32 【答案】C 【知识点】求函数的零点、零点存在性定理的应用、二分法求函数零点的过程 【分析】观察数据，由零点存在性定理得到区间内存在零点，得到答案. 【详解】，， 由零点存在性定理得，区间内存在零点， 由于，， 故该函数零点的近似值（精确度为0.1）可以是1.27，其他选项不正确. 故选：C 2.（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知函数，现用二分法求函数在内的零点的近似值，则使用两次二分法后，零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二分法求函数零点的过程、判断零点所在的区间 【分析】应用零点存在定理结合二分法，不断把区间一分为二计算求解. 【详解】由二分法可知，第一次计算，又，， 由零点存在性定理知零点在区间上， 所以第二次应该计算，又， 所以零点在区间上． 故选：A． 3.（24-25高一下·上海杨浦·开学考试）一个函数不能用二分法求零点是这个函数的图象与x轴相切的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】必要条件、用二分法求近似解的条件 【分析】根据相关函数的性质及二分法判断零点的过程，判断题设条件间的推出关系，即可得答案. 【详解】对于，函数图象不连续且不存在零点，但在和上函数值符号不同， 所以不能用二分法判断零点，否则会得到矛盾结果，而不与轴相切； 若函数与x轴相切，即函数图象只在轴的一侧，故函数值恒正或恒负，但存在零点， 所以不能用二分法判断零点； 综上，一个函数不能用二分法求零点是这个函数的图象与x轴相切的必要不充分条件. 故选：B 4.（23-24高一上·吉林延边·期末）下列函数中，不能用二分法求零点的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用二分法求近似解的条件 【分析】利用二分法求零点的要求，逐一分析各选项即可得解. 【详解】不能用二分法求零点的函数，要么没有零点，要么零点两侧同号； 对于A，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点； 对于B，有唯一零点， 但恒成立，故不可用二分法求零点； 对于C，有两个不同零点，且在每个零点左右两侧函数值异号，故可用二分法求零点； 对于D，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点. 故选：B. 学科网（北京）股份有限公司 $