3.3.1从函数观点看一元二次方程课件- 2025-2026学年高二上学期数学苏教版（2019）必修第一册

3.3.1 从函数观点看一元二次方程 作者编号：32100 1.理解函数零点的概念. 2.掌握一元二次函数的零点与判别式、零点与系数的关系. 3.会判断函数在一个区间内是否有零点. 学习目标 作者编号：32100 我们知道，一次函数、一元一次方程、一元一次不等式之间有着密切的联系. 例如，可以借助函数 y＝2x－3 的图象来求解 2x－3＝0，2x－3＞0，2x－3＜0. 反过来，也可以通过求解 2x－3＝0，2x－3＞0，2x－3＜0，来深人理解函数 y＝2x－3的性质，那么怎样从函数观点进一步解决方程、不等式的问题? 情境引入 作者编号：32100 从函数的观点看，方程 x2－2x－3＝0的两个根 x1＝－1，x2＝3，就是二次函数 y＝x2－2x－3 当函数值取零时自变量x的值，即二次函数 y＝x2－2x－3 的图象与x轴交点的横坐标. 这时，我们称－1，3 为二次函数 y＝x2－2x－3 的零点. 新课讲授 作者编号：32100 1.二次函数的零点 一般地，一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a≠0) 的根就是二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a≠0) 当函数值取零时_______________，即二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a≠0) 的图象与______________________，也称为二次函数 y＝ax2 ＋bx＋c (a≠0)的零点. 自变量x的值 x轴交点的横坐标 归纳总结 作者编号：32100 判别式 ∆＝b2－4ac ∆＞0 ∆＝0 ∆＜0 方程 ax2＋bx＋c＝0的根 有两个相异的实数根 x1，2＝ 有两个相等的实数根 x1＝x2＝－ 没有实数根 2.当a>0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根、二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象、二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点之间的关系如表所示： 作者编号：32100 判别式 ∆＝b2－4ac ∆＞0 ∆＝0 ∆＜0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c的图象 作者编号：32100 判别式 ∆＝b2－4ac ∆＞0 ∆＝0 ∆＜0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c的零点 有两个零点 x1，2＝ 有一个零点 x＝－ 无零点 思考：当a＜0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根、二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象、二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点之间的关系是怎样的呢？ 作者编号：32100 判别式 △=b2－4ac △>0 △=0 △<0 方程 ax2+bx+c=0 (a<0)的根 二次函数y=ax2+bx+c (a<0)的图象 二次函数y=ax2+bx+c (a<0)的零点 有两个相异 的实数根 有两个相等 的实数根 没有实数根 有两个零点 有一个零点 无零点 填一填：当a＜0时，与同学交流完成下表. 作者编号：32100 例1：求证：二次函数 y＝2x2＋3x－7 有两个零点. 分析 要证明二次函数 y＝x2＋3x－7 有两个零点，只需证明一元二次方程 2x2＋3x－7＝0有两个不相等的实数根即可. 证明：考察一元二次方程 2x2＋3x－7＝0. 因为 ∆＝32－4×2×(－7) ＝65＞0， 所以方程 2x2＋3x－7＝0 有两个不相等的实数根. 因此，二次函数 y＝2x2＋3x－7有两个零点. 新课讲授 作者编号：32100 例2：判断二次函数 y＝x2－2x－1在区间(2，3)上是否存在零点. 解：根据求根公式可得一元二次方程 x2－2x－1＝0 的两个根分别为 x1＝1＋，x2＝1－. 因为 1＜ ＜2， 所以 1＜1＋＜ 3. 因此，二次函数y＝x2－2x－1在区间(2，3)上存在零点. 新课讲授 作者编号：32100 1.函数y＝2x2－5x＋2的零点是（ ） C 练一练 作者编号：32100 （1）若函数y＝x2－4x＋2k无零点，则k的取值范围是__________. (2，＋∞) 2.填一填： （2）若函数y＝x2－ax－3a的一个零点是－2，则它的另一个零点是________. 6 0 （3）函数y＝x2－5x－6在区间[1，4]上的零点个数是________. 练一练 作者编号：32100 3.若二次函数y＝x2＋2x－m＋1没有零点，试说明关于x的方程x2＋mx＋12m＝1 一定有实数根. 解：由题意知，关于x的方程x2＋2x－m＋1＝0没有实数根， ∴此方程的判别式Δ＝22－4×1×(－m＋1)<0，解得m<0. 而方程x2＋mx＋12m＝1的根的判别式 Δ′＝m2－4×1×(12m－1)＝m2－48m＋4， ∵m<0，∴m2>0，－48m>0， ∴m2－48m＋4>0，即Δ′>0， ∴方程x2＋mx＋12m＝1有两个不相等的实数根，即一定有实数根. 练一练 作者编号：32100 方法一：直接解出相应方程的根 函数零点 研究方法 方法三：利用函数的图像的特征 开口 判别式 对称轴 端点值 方法二：韦达定理 方法归纳 作者编号：32100 1.知识：函数的零点 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点就是方程y＝0的实数根，也就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标，所以函数的零点是一个数而不是一个点，在写函数零点时，所写的一定是一个数，而不是一个坐标. 2.方法思想：数形结合 结合二次函数图象理解一元二次方程的根与函数的零点的关系. 课堂总结 作者编号：32100 A.(2，0)， B.(－2，0)， C.2， D.－2，－ 由2x2－5x＋2＝0得x1＝2，x2＝，故函数y＝2x2－5x＋2的零点为2，. $