4.5.1 函数的零点与方程的解（教学课件）数学人教A版2019必修第一册

第 4 章 4.5 函数的应用（二） 人教A版2019必修第一册 4.5.1 函数的零点与方程的解 学习目标 1.解函数的零点、方程的解与图象交点三者之间的联系． 2.会借助函数零点存在定理判断函数的零点所在的大致区间． 3.能借助函数单调性及图象判断零点个数． 目录 CATALOG 01.函数的零点与方程的解 03.题型强化训练 02.函数零点存在定理 04.小结及随堂练习 01 函数的零点 与方程的解 4.5.1 函数的零点与方程的解 导入新知：电梯里的“零点” 早高峰电梯从1楼到10楼，若把“超载报警”看作函数值由负变正，那么一定存在某一楼层，电梯刚好达到满载——这就是连续变化中的“零点”。 请思考：若电梯在某层突然停顿检修（不连续），还会保证一定出现“刚好满载”吗？  导入新知：共享单车调度 调度员发现：上午8:00 A站点空位率为–20%（缺车），9:00 变为+15%（多余）。假设调度是连续进行的，那么8:00–9:00之间必有一刻空位率恰为0%。 如果调度系统故障导致瞬间大批量调走车辆（函数跳跃），结论还成立吗？ 导入新知 在“函数的应用(一)”中，通过一些实例，我们初步了解了建立函数模型解决实际问题的过程，学习了用函数描述客观事物变化规律的方法.本节将先学习运用函数性质求方程近似解的基本方法(二分法)，再结合实例，更深入地理解用函数构建数学模型的基本过程，学习运用模型思想发现和提出问题、分析和解决问题的方法. 在人类用智慧架设的无数座从已知通向未知的金桥中，方程的求解是其中璀璨的一座.虽然今天我们可以从教科书中了解各式各样方程的解法，但这一切却经历了相当漫长的岁月. 7 二次函数的零点 我们已经学习了用二次函数的观点认识一元二次方程，知道一元二次方程的实数根就是相应二次函数的零点． 例如，方程x2-5x+6=0的根为x1=2，x2=3，则二次函数f(x)=x2-5x+6的零点就是2和3． 其图像与x轴的公共点坐标为（2,0），（3,0） y 6 3 x O 2 即二次函数f(x)=x2-5x+6的零点为其图像与x轴公共点的横坐标． 导入新知 应用新知 我们已经学习了用二次函数的观点认识一元二次方程，知道一元二次方程的实数根就是相应二次函数的零点，像ln x十2x－6=0这样不能用公式求解的方程，是否也能采用类似的方法，用相应的函数研究它的解的情况呢？ 与二次函数的零点一样，对于一般函数y= f (x)，我们把使f (x)=0的实数 x叫做函数y= f (x)的零点． 这样函数y= f (x)的零点就是方程f(x)=0的实数解，也就是函数y= f (x)的图像与x轴的公共点的横坐标． 应用新知 函数y=f(x)的零点  方程f(x)=0的实数解  函数y=f(x)的图象与x轴公共点的横坐标． 代数法 几何法 由上述的等价关系我们知道，求方程f (x) =0的实数解，就是确定函数y=f(x)的零点，一般地，对于不能用公式求解的方程f(x) =0，我们可以把它与相应的函数y=f(x)联系起来，利用函数的图象和性质找出零点，从而得到方程的解． 下面从考察二次函数存在零点时函数图像的特征，以及零点附近函数值的变化规律入手分析． 10 应用新知 函数y=f(x) 方程f(x)=0的根 函数f(x)的零点 函数f(x)的图象与x轴的交点 y=x2-3x+2 x1=1, x2=2 1和2 (1,0) (2,0) y=x+1 x1=x2=1 1 (1,0) y=x2-2x+3 无实数根 无零点 无 y=2x-4 x=2 2 (2,0) y=lg x x=1 1 (1,0) y=3x-1 x=0 0 (0,0) 方程x2－4=0的根是2和-2 函数f(x)的图象与x轴的交点横坐标是2和-2 函数f(x)=x2－4的零点是2和-2 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 根据零点求函数解析式中的参数、充要条件的证明 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 充要条件的证明、根据二次函数零点的分布求参数的范围 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 复杂（根式型、分式型等）函数的值域、 总结新知 1.函数零点的定义：方程f(x)=0的实数根x叫做函数f(x)的零点。 注：①零点是数，不是点。 如：函数f(x)=x2-2x-3的零点是-1和3； 函数f(x)=lgx的零点是1. ② 1.函数零点的定义 方程f(x)=0的根 函数f(x)的图象与x轴的交点横坐标 函数f(x)的零点 (根的个数) (零点个数) (交点个数) 02 函数零点 存在定理 4.5.1 函数的零点与方程的解 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 根据零点求函数解析式中的参数、解不含参数的一元二次不等式 学习新知 对于二次函数 f (x)=x2－2x－3，观察它的图象， 发现它在区间[2，4]上有零点． 这时，函数图象与 x轴有什么关系？在区间[－2， 0]上是否也有这种 关系？你认为应如何利用函数f (x)的取值规律来刻 画这种关系？ 再任意画几个函数的图象，观察函数零点所在 区间，以及这一区间内函数图象与x轴的关系，并 探究用 f (x)的取值刻画这种关系的方法． 探究 2 1 1 -2 2 -1 3 4 -1 -2 -3 -4 0 y x 18 学习新知 可以发现，在零点附近，函数图象是连续不断的，并且“穿过”x轴．函数在端点x=2和x =4的取值异号，即 f(2) f(4)<0，函数f (x)=x2－2x－3在区间(2, 4)内有零点x =3，它是方程x2－2x－3=0的一个根． 2 1 1 -2 2 -1 3 4 -1 -2 -3 -4 0 y x 同样地，f (－2) f (0)<0，函数 f (x)=x2－2x－3在(－2， 0)内有零点x=－1，它是方程x2－2x－3=0的另一个根． 19 学习新知 如果函数 y = f (x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有 f (a) f (b)<0 ，那么函数 y = f (x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得 f (c) =0，这个c也就是方程 f (x) =0 的解． 函数零点存在定理 x a c b x b a 20 学习新知 x y 1 -4 2 -1.3069 3 1.0986 4 3.3863 5 5.6094 6 7.7918 7 9.9459 8 12.0794 9 14.1972 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 零点存在性定理的应用、根据解析式直接判断函数的单调性 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 零点存在性定理的应用 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 根据零点所在的区间求参数范围 学习新知 学习新知 O 1 2 3 6 例 求方程lnx+2x－6=0的实数解的个数． 【解析】方程lnx+2x－6=0的实数解的个数， 等价于方程lnx=－2x+6的实数解的个数， 等价于方程组y=lnx，y=－2x+6的实数解的个数， 等价于函数y=lnx与函数y=－2x+6图象交点的个数， 如图，两个函数的图象交点个数为1， 即方程lnx+2x－6=0有1个实数解． 26 学习新知 学习新知 函数y = f (x)-g(x)的零点  函数y = f (x)-g(x)的图象与x轴公共点的横坐标；  方程f (x)-g(x) = 0的实数解；  方程f (x) = g(x)的实数解；  函数y = f (x)的图象与y=g(x)的图象公共点的横坐标. 28 学习新知 如果函数 y=f(x) 是区间[a，b]上连续的单调函数，且有 f (a) f (b) <0 ，那么函数 y =f (x)在区间 (a，b) 内有且只有一个零点，即存在唯一的实数 c ∈ (a，b)，使得 f (c) =0，这个c也就是方程 f(x)=0 的解． 函数零点唯一性定理 思考： 如果函数 y=f(x) 是区间[a，b]上连续的单调函数，则函数 y=f(x) 在区间 (a，b) 内零点的个数为 ． 至多一个 29 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 研究对数函数的单调性、求函数零点或方程根的个数 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 求函数零点或方程根的个数 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 根据函数零点的个数求参数范围 总结新知 若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线，且f (a)·f (b)<0，则函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有1个零点.即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0；此时c是方程f(x)=0的根. 2.函数零点存在定理 [判断1]对于函数y=x﹣1,在区间(-1,1)上,有f(-1)·f(1)<0,故函数在(-1,1)内有零点.( ) × f(x)在(-1,1)上不连续 [判断2]若函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，则f(a)·f(b)<0.( ) × [判断3]若函数y=f(x)的图象在区间[a,b]上连续，且f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在(a,b)内有1个零点.( ) × 总结新知 【函数零点存在定理】 条件：①f(x)在[a,b]连续，②f (a)·f (b)<0 结论：函数f(x)在(a,b)内至少有1个零点. 2.函数零点存在定理 ①两个条件缺一不可； 若二缺一，则f(x)在(a,b)内可能有零点、也可能无零点. ②其逆定理不成立. 即:若f(x)在(a,b)内有零点，f(a)·f(b)<0不一定成立. 在(a,b)上单调递增(减) 在(a,b)上只有1个零点 03 题型强化训练 4.5.1 函数的零点与方程的解 能力提升 题型一　求函数的零点 能力提升 题型一　求函数的零点 【感悟提升】　求函数零点的方法 (1)代数法：方程f(x)＝0的解就是函数f(x)的零点． (2)几何法：画出函数y＝f(x)的图象，图象与x轴交点的横坐标就是函数f(x)的零点． 能力提升 题型二　判断零点所在的区间 【例题2】由表格中的数据，可以断定方程ex－3x－2＝0的一个根所在的区间是(　　) A.(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4) 解析：设f(x)＝ex－3x－2，由表格知f(0)＝1－2＜0，f(1)≈2.72－5＜0，f(2)≈7.39－8＜0，f(3)≈20.09－11＞0，f(4)≈54.60－14>0，所以f(2)f(3)＜0，f(x)在(2，3)内存在零点，所以方程ex－3x－2＝0的一个根所在的区间是(2，3)． x 0 1 2 3 4 ex 1 2.72 7.39 20.09 54.60 3x＋2 2 5 8 11 14 能力提升 题型二　判断零点所在的区间 【感悟提升】　确定函数f(x)零点所在区间的常用方法 (1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上． (2)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点． (3)数形结合法：通过观察函数图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断． 能力提升 题型三 判断函数零点个数 能力提升 题型三 判断函数零点个数 判断函数零点个数的四种常用方法 (1)利用方程根，转化为解方程，有几个不同的实数根就有几个零点． (2)画出函数y＝f(x)的图象，判定它与x轴的交点个数，从而判定零点的个数． (3)结合单调性，利用零点存在定理，可判定y＝f(x)在(a，b)上零点的个数． (4)转化成两个函数图象的交点问题． 能力提升 题型四 根据零点个数求参数范围 能力提升 题型四 根据零点个数求参数范围 2．已知函数零点个数求参数范围的方法 (1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围． (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决． (3)数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解． 　 1．判断函数零点个数的方法 (1)直接求出函数的零点进行判断，即转化为方程f(x)＝0解的个数． (2)结合函数图象进行判断，即转化为函数图象与x轴交点个数或两个函数图象交点的个数． (3)借助函数的单调性进行判断． 04 小结及随堂练习 4.5.1 函数的零点与方程的解 总结新知 函数y=f(x)-g(x)的零点  方程f(x)-g(x)=0的实数解;  方程f(x)=g(x)的实数解;  函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象公共点的横坐标． 函数y=f(x)的零点  方程f(x)=0的实数解;  函数y=f(x)的图象与x轴公共点的横坐标． 零点存在定理：如果函数 y=f(x) 在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有 f(a) f(b)<0 ，那么函数 y=f(x)在区间 (a,b) 内有零点，即存在 c ∈ (a,b)，使得 f(c) =0，这个c也就是方程 f(x)=0 的解． 总结新知 函数的零点与方程的解 函数y=f(x)-g(x)的零点 方程f(x)-g(x)=0的实数解 方程f(x)=g(x)的实数解;  函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象公共点的横坐标． 函数y=f(x)的零点方程f(x)=0的实数解 函数y=f(x)的图象与x轴公共点的横坐标． 零点存在定理：如果函数 y=f(x) 在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有 f(a) f(b)<0 ，那么函数 y=f(x)在区间 (a,b) 内有零点，即存在 c ∈ (a,b)，使得 f(c) =0，这个c也就是方程 f(x)=0 的解． 函数零点唯一性定理：如果函数 y=f(x) 是区间[a,b]上连续的单调函数，且有 f(a) f(b)<0 ，那么函数 y=f(x)在区间 (a,b) 内有且只有一个零点，即存在唯一的实数 c ∈ (a,b)，使得 f(c) =0，这个c也就是方程 f(x)=0 的解． 总结新知 作业 4.5.1 函数的零点与方程的解 教科书第155〜156页 习题4. 5第2、3、7、13题. 练习（第144页） 练习（第144页） 练习（第144页） 练习（第144页） 练习（第144页） 习题4.5 （第155-156页） 习题4.5 （第155-156页） 习题4.5 （第155-156页） 人教A版2019必修第一册 THANKS 感谢您的聆听 【练习1】“ ”是“函数 存在零点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】函数 存在零点等价于方程 有解，等价于 有解， 而 ，从而 ，因此 ，反之，当 时， 有解， 所以“ ”是“函数 存在零点”的充要条件. 故选：C. 【练习2】“ ”是“函数 存在零点”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】若函数 存在零点，且 ，等价于 ， 所以“ ”是“函数 存在零点”的充要条件. 故选：C. 【练习3】关于函数 ，下面说法正确的是（   ） A． 的定义域为 B． 的值域为 C． 的零点为 D．以上说法都不对 【解析】函数 需满足 ，则 ，故 的定义域为 ，A错误；由于 在 上单调递增， ，故 ，即 的值域为 ，B错误；令 ，即 ，解得 ，故 的零点为 ，C错误，ABC都不对，则D正确，故选：D 【练习4】函数 的零点为1，2，则不等式 的解集为（    ） A． B． 或 C． D． 或 【解析】由题意可得 ，解得 ，∴代入不等式得： ， 整理可得： ，即 ，∴ 或 ， 故选：D. 【练习5】函数 的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【解析】因为 在定义域 内单调递增，可知 在定义域 内单调递增，且 ， ，所以 的唯一零点在区间 内． 故选：B. 【练习6】函数 的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 【解析】 是 上的增函数,又函数 是 上的增函数, 故 是 上的增函数. , , 因为 ,所以函数 的零点所在区间是 .故选:B. 【练习7】 是方程 有正实数根的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】由方程 有正实数根，则等价于函数 有正零点，由二次函数的对称轴为 ，则函数只能存在一正一负的两个零点，则 ，解得 ，所以 ，所以 是 的必要不充分条件，故选：B 【变式】方程 的实数解有（ ）个. 【答案】2 【详解】由题意可知：方程 的实数解的个数即为 与 的交点个数， 由图可知： 与 有2个交点，所以方程 的实数解有2个.故答案为：2. 【练习8】函数 的零点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【解析】因为 ， ，且函数在 上单调递增， 令 ，解得 ，所以函数只有一个零点. 故选：B. 【练习9】已知函数 ，则方程 的根的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【解析】原方程即为 ，变形得 ， 要求方程 根的个数，即求函数 和函数 的图象在 上的交点个数，作出两函数的图象 如图所示，由图可知，两函数图象在 上共有2个交点， 故原方程共有2个根．故选：C. 【练习10】若函数 的图象与直线 有两个交点，则a的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【解析】由 ，令 ，则 ， 由 在 上单调递减且值域为 ，在 上单调递增且值域为 ， 所以 在 上值域为 ，在 上的值域为 ，则 时， 有2个不同的对应值，此时 有3或4个不同值， 时， 有1个对应值，此时 有2个不同值，要使函数 的图象与直线 有两个交点，则 ，最小 .故选：B 【例题1】判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出． f(x)＝x2＋7x＋6； （3）f(x)＝2x－1－3； f(x)＝eq \f(x2＋4x－12,x－2)； （4）f(x)＝1－log2(x＋3) 解　(1)解方程f(x)＝x2＋7x＋6＝0，得x＝－1或x＝－6， 所以函数f(x)的零点是－1，－6. (2)解方程f(x)＝1－log2(x＋3)＝0，得x＝－1， 所以函数f(x)的零点是－1. (3)解方程f(x)＝2x－1－3＝0，得x＝log26，所以函数f(x)的零点是log26. (4)解方程f(x)＝eq \f(x2＋4x－12,x－2)＝0，得x＝－6，所以函数f(x)的零点为－6. 【例题3】函数f(x)＝ln (x＋1)－eq \f(1,x)在定义域内的零点个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：函数f(x)＝ln (x＋1)－eq \f(1,x)在定义域{x|x＞－1，且x≠0}内的零点个数，即为f(x)＝0的解的个数，即求y＝ln (x＋1)和y＝eq \f(1,x)的图象的交点个数，作出y＝ln (x＋1)和y＝eq \f(1,x)的图象(如图)，可知有两个交点．故选C.　 【例题4】已知函数 ,若关于 的方程 有3个不同的实数根,则实数 的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】方程 有3个不同的实数根，画出 的函数图象以及 中的图象， ，当 时，两个函数图象有3个不同的交点.故选：B． $