06专题 双曲线 （12大题型）（期中真题分类汇编 河南专用）高二数学上学期

· 06专题 双曲线 12大高频考点概览 考点01 双曲线的定义及其应用 考点02 双曲线的离心率问题 考点03 双曲线的渐近线问题 考点04 双曲线的标准方程求解 考点05 双曲线的性质 考点06 双曲线的焦点三角形问题 考点07 二次曲线与双曲线的关系问题 考点08 双曲线的中点弦问题 考点09 直线与双曲线相交、弦长、面积等问题 考点10 直线与双曲线的位置关系问题 考点11 双曲线中的最值范围问题 考点12 双曲线中的定值定点问题 地 1 考点01 双曲线的定义及其应用 1．(24-25高二上·河南驻马店环际大联考“逐梦计划”·期中)已知双曲线的左焦点为F，点P在双曲线C的右支上，M为线段FP的中点，若M到坐标原点的距离为6，则（   ） A．6或18 B．18 C．8或20 D．22 【答案】B 【分析】根据中位线性质可得，利用双曲线的定义可得. 【详解】设双曲线的右焦点为，连接. 由题意得， ∵M为线段FP的中点，为线段的中点， ∴， 由双曲线定义得，，故. 故选：B. 2．(24-25高二上·河南南阳·期中)已知为曲线上任意一点，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用双曲线定义转化，再结合三点位置关系分析即可. 【详解】由，得，所以为双曲线的右支， 为该双曲线的左焦点．设右焦点为，则， 所以．所以， 当且仅当点在线段上时，等号成立，所以的最小值为． 故选：D. 3．(24-25高二上·河南南阳·期中)双曲线：的左右焦点分别为，，一条渐近线方程为，若点在双曲线上，且，则（    ） A．7 B．9 C．1或9 D．3或7 【答案】B 【分析】由渐近线方程可得，则，后由双曲线定义可得答案. 【详解】由，可得，则. 又因在双曲线，则由双曲线定义，有，可得. 故选：B 地 1 考点02 双曲线的离心率问题 4．(24-25高二上·河南驻马店环际大联考“逐梦计划”·期中)已知双曲线两条渐近线的夹角为，则此双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出双曲线的渐近线方程，可得，再根据即可求解. 【详解】∵双曲线的渐近线方程为， ∴由双曲线两条渐近线的夹角为，可得. ∴双曲线的离心率为. 故选：C. 5．(23-24高二上·河南顶尖名校联盟·期中)已知双曲线为的上顶点，.若在的渐近线上存在一点，使得，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆和直线的位置关系列不等式，化简求得双曲线离心率的取值范围. 【详解】设的中点为，，则， 依题意，以为圆心，半径为的圆与渐近线由公共点， 所以， ， 所以. 故选：D    6．(23-24高二上·河南商丘二十校联考·期中)已知过双曲线右焦点，斜率为的直线与双曲线在第一象限交于点，点为左焦点，且，则此双曲线的离心率为 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，∵过双曲线右焦点的直线，∴，代入双曲线，可得，∴，∴，∴，∵，∴，故选C. 7．(24-25高二上·河南郑州名校联考·期中)已知椭圆和双曲线有公共焦点，左，右焦点分别为，设两曲线在第一象限的交点为为的角平分线，，点均在轴上，设椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则下列说法正确的是（    ） A． B．以椭圆和双曲线四个交点为顶点的四边形的面积的最大值为 C．若，则的取值范围为 D．若，则的最小值为 【答案】BCD 【分析】由椭圆和双曲线定义有，将两式平方相加后由余弦定理和向量的数量积计算可得A错误；由对称性得到四边形的顶点的坐标，再结合基本不等式求出面积可得B正确；由离心率的定义和边长关系得到，再结合对勾函数的单调性可得C正确；由角平分线的定理将问题转化为求的最小值，再由椭圆和双曲线的性质结合余弦定理得到，再用基本不等式的乘“1”法分析可得D正确； 【详解】 对于A，设， 由椭圆和双曲线定义有， 将两式平方得， 相加整理得， 又在中，由余弦定理有， 则，即， 则，故A选项错误； 对于B，椭圆和双曲线一个交点，由椭圆和双曲线的对称性可知， 另外三个点的坐标为，， 以它们为顶点的四边形为矩形，面积，又点在椭圆上， 所以满足，则有， 当且仅当时等式成立，故B选项正确； 对于C，即，所以，则， 又，所以，即， 又，所以， ，则． 令，则， 函数在上单调递减，所以，故C选项正确； 对于D，由为的角平分线，，易知为的外角平分线， 则由角平分线性质定理有即， 由外角平分线性质定理有，即， 求的最小值即求的最小值； 由可得， 代入即，整理可得， 所以， 则， 当且仅当时取等号，所以的最小值为，故D选项正确； 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛： 本题D选项关键在于利用角平分定理将所求转换成求的最小值，再结合基本不等式的乘“1”法分析. 8．(23-24高二上·河南商丘中州联盟·期末)已知双曲线与直线无公共点，过的右焦点作的一条渐近线的垂线，垂足为为坐标原点，若，则的离心率可以是（   ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】BC 【分析】由题意可得：渐近线方程为，分析，，进而可得，再结合渐近线的结合性质可得，即可得离心率. 【详解】因为双曲线的渐近线方程为， 则的右焦点到的距离，即， 因为，则， 又因为，则，可得， 又因为与直线无公共点，则， 所以的离心率． 故选：BC． 9．(24-25高二上·河南商丘十校·期中)已知双曲线的一条渐近线与双曲线的一条渐近线关于直线对称，且这两条渐近线的夹角为30°，则双曲线与的离心率之积为 . 【答案】 【分析】设双曲线的一条渐近线方程为，双曲线的一条渐近线方程为，根据渐近线关于直线对称,且夹角为30°,得到渐近线斜率值，进而得到离心率乘积即可. 【详解】不妨设双曲线的一条渐近线方程为，且在第一象限内直线下方;双曲线的一条渐近线方程为，且在第一象限内直线上方， 因为这两条渐近线关于直线对称,且夹角为， 所以渐近线的倾斜角为，渐近线的倾斜角为, 则 离心率与渐近线斜率关系式为. 故与的离心率之积为 故答案为：. 10．(23-24高二上·河南南阳·期中)已知双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，离心率互为倒数，设、分别为双曲线的左、右焦点，为右支上任意一点，则双曲线的离心率为 ；的最小值为 ． 【答案】 3 8 【分析】利用椭圆、双曲线的定义以及基本不等式求解. 【详解】因为椭圆，所以其离心率， 所以双曲线的离心率； 设双曲线C的半焦距为， 因为双曲线的焦点与椭圆的焦点重合， 所以，， 因为、分别为双曲线的左､右焦点，为右支上任意一点， 所以，即， 所以， 因为， 由基本不等式可得：， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为8. 故答案为：3；8. 11．(24-25高二上·河南南阳·期中)已知双曲线的左右焦点分别为，且，直线过且与该双曲线的一条渐近线平行，与双曲线的交点为，若的内切圆半径恰为，则此双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件探求出的内切圆圆心坐标，借助点到直线距离公式计算可得，结合求，进而得离心率. 【详解】设双曲线的半焦距为，则， 由对称性，不妨令与平行的渐近线为， 则直线方程为：，即， 设的内切圆与三边相切的切点分别为，，， 如图所示，    则 ， 即，而轴，圆半径为，则， 点到直线的距离：，整理得， 且，解得， 又因为，可得， 所以双曲线的离心率， 故选：D. 地 1 考点03 双曲线的渐近线问题 12．(24-25高二上·河南九师联盟·)双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由双曲线的渐近线方程公式，即可得到答案. 【详解】双曲线的渐近线方程是，即. 故选：A. 13．(23-24高二上·河南焦作·期中)已知双曲线的一条渐近线与直线平行，则（    ） A．36 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】由双曲线写出渐近线方程，将已知直线写成斜截式，根据两直线平行有，即可求参数. 【详解】由题设，双曲线渐近线为 ，其中一条与平行， 所以. 故选：D 14．(23-24高二上·河南环际大联考“逐梦计划”·期中)已知中心在原点，焦点在轴上的双曲线的离心率为，则它的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析由离心率可得出、的等量关系，由此可得出该双曲线的渐近线方程. 【详解】设双曲线的标准方程为，则该双曲线的渐近线方程为， 因为双曲线的离心率为，则，则， 因此，该双曲线的渐近线方程为. 故选：A. 15．(24-25高二上·河南南阳六校·期中)已知双曲线以两个坐标轴为对称轴，且经过点和，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设曲线方程，带入点坐标得到等量关系，由渐近线方程的公式即可得到结论. 【详解】设双曲线：，点和在曲线上， ∴，两式相减可得，即. ∴渐近线方程为：， 故选：B. 16．(24-25高二上·河南商师联盟·期中)已知点是双曲线：上一点，则点到双曲线的两条渐近线的距离之积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由点到直线的距离公式结合双曲线的渐近线方程即可得答案. 【详解】由双曲线的方程知渐近线方程为，设， 由题意，得，即， 点到渐近线的距离， 点到渐近线的距离， 所以，故B项正确． 故选： B． 17．(24-25高二上·河南豫北名校期中联考·期中)已知椭圆和双曲线有公共的焦点，其中为左焦点，是与在第一象限的公共点.线段的垂直平分线经过坐标原点，若的离心率为，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，可得，利用勾股定理，结合椭圆、双曲线的定义建立方程组，由半焦距表示出即可求出渐近线方程. 【详解】令线段的垂直平分线与的交点为，显然是的中点，而是的中点， 则，而，因此，， 则，令与的半焦距为， 由，得，于是，解得，则， ，所以的渐近线方程为. 故选：B 地 1 考点04 双曲线的标准方程求解 18．(24-25高二上·河南部分学校大联考·期中)已知中心在原点的双曲线的一条渐近线的斜率为2，且一个焦点的坐标为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意，判断双曲线焦点位置，求出的值，即得双曲线方程. 【详解】由题意，双曲线的焦点在轴上，且，，即， 利用可联立求得， 故双曲线的方程为：. 故选：D. 19．(24-25高二上·河南焦作·期中)已知双曲线的左、右焦点分别为，，为坐标原点，点在上，且，若的面积为16，的离心率为，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出半焦距，由可得为直角三角形，结合勾股定理、面积公式、双曲线定义以及离心率的定义计算即可得解. 【详解】设的半焦距为， 因为，所以， 所以点在为圆心半径为的圆上， 于是为直角三角形，且， 设，，则，所以， 又，，且， 所以，即， 所以， 又，所以，所以， 所以的方程为. 故选：B. 20．(24-25高二上·河南焦作·期中)已知直线，点，是动点.记点到直线的距离为，点到点的距离为，则下列说法正确的是（   ） A．若，则点的轨迹是椭圆 B．若，则点的轨迹是双曲线 C．若，则点的轨迹是抛物线 D．若，则点的轨迹是双曲线的一部分 【答案】AB 【分析】利用点到点与直线的距离公式结合椭圆、双曲线、抛物线的定义判定选项即可. 【详解】设，则. 对于A，由题意得，化简得， 可知方程表示椭圆，故A正确； 对于B，同上可化简得，可知方程表示双曲线，故B正确； 对于C，由题意得点的轨迹是轴上位于之间的线段，故C错误； 对于D，由题意得，即， ①当，即时，，化简得， 可知方程表示抛物线， ②当，即时，，化简得， 没有意义，由①②得，点的轨迹是抛物线，故D错误. 故选：AB 21．(23-24高二上·河南环际大联考“逐梦计划”·期中)椭圆与双曲线有相同的焦点，则双曲线方程是 . 【答案】 【分析】由椭圆与双曲线有相同的焦点，判断焦点位置再由焦距相同建立关于的方程求解即可. 【详解】由方程表示双曲线可知，则焦点在轴上， 由椭圆与双曲线有相同的焦点， 则椭圆焦点也在轴上，且焦距相同，设它们的半焦距为， 故，解得（舍），或， 故双曲线方程为， 故答案为：. 22．(24-25高二上·河南开封五校·期中)根据所给条件求曲线的标准方程： (1)已知椭圆的右焦点为，且过点； (2)已知双曲线的一条渐近线方程为，且过点. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据右焦点得到左焦点，也得到c，再根据定义求得a，再得到b，即可. （2）所求双曲线的方程为，代入定点可解. 【详解】（1）由题意知的右焦点为，则其左焦点为， 所以，所以， 所以，所以椭圆的标准方程为. （2）设所求双曲线的方程为， 又过点， 所以，解得， 所以所求双曲线的方程为，即标准方程为. 地 1 考点05 双曲线的性质 23．(24-25高二上·河南南阳·期中)已知双曲线，下列选项正确的是（    ） A．双曲线的渐近线方程为 B．双曲线的实轴长为8 C．双曲线的焦距为 D．双曲线的离心率为 【答案】BD 【分析】由双曲线方程可得、，即可得，即可得双曲线的渐近线方程、实轴长、焦距与离心率. 【详解】因为，，焦点在轴上， 所以双曲线的渐近线方程为，实轴长为8，故A错误，B正确； 因为，所以双曲线的焦距为， 离心率为，故C错误，D正确． 故选：BD. 24．(23-24高二上·河南焦作·期中)已知双曲线，当变动时，下列结论正确的是（    ） A．的焦点恒在轴上 B．的焦距恒大于4 C．的离心率恒大于2 D．的一个焦点到其中一条渐近线的距离不变 【答案】ABD 【分析】根据双曲线方程判断焦点位置，求焦距、离心率范围，应用点线距离求焦点到渐近线距离判断各项正误. 【详解】由双曲线，焦点在x轴上，A对； ，故焦距，B对； 离心率，C错； 由渐近线为，即，焦点坐标为， 所以一个焦点到其中一条渐近线的距离，D对. 故选：ABD 25．(24-25高二上·河南南阳·期中)双曲线的虚轴长为 ，以的左焦点为圆心，1为半径的圆的标准方程为 . 【答案】 ； . 【分析】写出双曲线的标准方程，进而确定其虚轴长、左焦点，根据圆心、半径写出圆的标注方程，即得答案. 【详解】由，得，则，，故， 所以双曲线的虚轴长为，左焦点的坐标为， 则所求圆的标准方程为． 故答案为：； 26．(23-24高二上·河南商丘二十校联考·期中)已知抛物线的焦点为，准线为．若与焦距为的双曲线的两条渐近线分别交于点和点，且（为坐标原点），则双曲线的实轴长为 ． 【答案】4 【分析】首先由题意求出点在双曲线的渐近线上，结合双曲线的渐近线方程得到，再利用，即可求出双曲线的实轴长. 【详解】 由抛物线的焦点为，则，准线为， 又，则， 则可得点在双曲线的渐近线上， 又焦点在轴的双曲线的渐近线为， 则可得，即， 又双曲线的焦距为，即， 由，即可得， 则双曲线的实轴长为， 故答案为：. 27．(24-25高二上·河南南阳六校·期中)若双曲线的焦距为4，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】根据双曲线的焦距求得，进而求得. 【详解】由于方程表示双曲线，所以， 双曲线的焦距为，所以. 故答案为： 28．(24-25高二上·河南开封五校·期中)3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术，如图所示的塔筒为3D打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为，下底直径为，喉部（中间最细处）的直径为，则该塔筒的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据模型建立平面直角坐标系，由已知条件先求双曲线的标准方程，再计算高度即可. 【详解】该塔筒的轴截面如图所示，以喉部的中点为原点，建立平面直角坐标系， 设A与分别为上，下底面对应点.设双曲线的方程为， 因为双曲线的离心率为，所以. 又喉部（中间最细处）的直径为，所以，所以双曲线的方程为. 由题意可知，代入双曲线方程，得， 所以该塔筒的高为. 故选:C. 地 1 考点06 双曲线的焦点三角形问题 29．(24-25高二上·河南南阳六校·期中)已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，P为双曲线上一点，若P与恰好关于C的一条渐近线对称，且，则的面积为（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】D 【分析】连接交双曲线的渐近线于点，结合已知探讨的性质，进而求出面积. 【详解】连接交双曲线的渐近线于点，则（为原点）， 而分别为的中点，则，，且， 由双曲线的一条渐近线为，得，则， 所以的面积为. 故选：D    30．(24-25高二上·河南焦作·期中)已知双曲线的左、右焦点分别为，，为的右支上一点，且的内切圆圆心为，则点的横坐标为 ． 【答案】3 【分析】根据双曲线中焦点三角形的性质以及内切圆的几何性质得出点H所满足的几何关系，再结合双曲线的几何性质求出H横坐标. 【详解】如图所示， 设的半焦距为. 设圆与的三边，，分别相切于点M，N，A， 则 ，，， 则点的横坐标和点的横坐标相同. 又 ， 所以根据双曲线的性质可知， ， 又，所以，， 即点和的右顶点重合，所以点的横坐标为， 故点的横坐标为3. 故答案为：3. 31．(23-24高二上·河南环际大联考“逐梦计划”·期中)已知双曲线C： 的实轴长为2. (1)若双曲线C的渐近线方程为，求双曲线方程； (2)设、是C的两个焦点，P为C上一点，且，的面积为9，求C的标准方程 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意结合双曲线的渐近线方程求，即可得方程； （2）根据题意结合双曲线的定义求，即可得方程； 【详解】（1）因为双曲线C：的实轴长为2， 即，则， 又因为双曲线一条渐近线方程为，即，可得， 所以双曲线方程为. （2）双曲线定义可得：， 由知，且的面积为9， 则，即， 又因为， 可得，即， 所以，因此， 故双曲线C的标准方程为：. 地 1 考点07 二次曲线与双曲线的关系问题 32．(24-25高二上·河南九师联盟·)“”是“方程表示双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先根据方程表示双曲线得出或，再结合充分必要定义判断即可. 【详解】方程表示双曲线，则，解得或， 所以“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件. 故选：A. 33．(24-25高二上·河南部分学校大联考·期中)已知方程，则（    ） A．当时，方程表示椭圆 B．当时，方程表示焦点在轴上的双曲线 C．存在，使得方程表示两条直线 D．存在，使得方程表示抛物线 【答案】BC 【分析】根据椭圆、双曲线和抛物线的标准方程，结合选项依次验证即可. 【详解】当且时，方程为， 若，即，此时方程表示圆； 若，即， 当且时，，，方程表椭圆，故A错误； 当时，，方程表示焦点在轴的双曲线，故B正确； 当时，方程为，表示两条直线； 当时，方程为，表示两条直线；故C正确； 方程不可能表示抛物线，故D错误. 故选：BC 34．(24-25高二上·河南郑州名校联考·期中)已知曲线的方程为，则下列说法正确的是（    ） A．当时，曲线为直线 B．当时，曲线为焦点在轴上的椭圆 C．当时，曲线为焦点在轴上的双曲线 D．曲线不可能是圆 【答案】ABC 【分析】由直线，椭圆，双曲线，圆方程的特点逐项判断即可. 【详解】A选项：当时，曲线的方程为，即，故曲线为直线，正确． B选项：当时，方程可化为，由，可知曲线为焦点在轴上的椭圆，正确． C选项：当时，方程可化为，由，可知曲线为焦点在轴上的双曲线，正确． D选项：当时，方程可化为，可知曲线为以原点为圆心，以为半径的圆，D错误． 故选：ABC． 35．(24-25高二上·河南南阳六校·期中)已知曲线，则下列说法正确的是（    ） A．若，则曲线表示椭圆 B．若曲线表示双曲线，则 C．无论取何值，曲线都不能表示圆 D．无论取何值，曲线都不能表示抛物线 【答案】BD 【分析】根据椭圆、双曲线、圆、抛物线等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，若曲线表示椭圆， 则，解得，所以A选项错误. B选项，若曲线表示双曲线， 则，解得，所以B选项正确. C选项，由上述分析可知，当时，曲线方程可化为， 表示圆，所以C选项错误. D选项，依题意可知且， 由上述分析可知：无论取何值，曲线C都不能表示抛物线，D选项正确. 故选：BD 36．(23-24高二上·河南环际大联考“逐梦计划”·期中)变化时，方程表示的曲线的形状可以是（    ） A．两条平行直线 B．圆 C．焦点在x轴上的椭圆 D．焦点在x轴上的双曲线 【答案】ABD 【分析】根据cos 符号, 对角分五类进行讨论, 由圆、椭圆和双曲线的标准方程判断对应曲线的具体形状即可. 【详解】当 时, , 方程 ,得 表示与 轴平行的两条直线;故A正确； 当 时, , 方程 表示圆心在原点的单位圆;故B正确； 当 时, , 方程 表示中心在原点, 焦点在 轴上的椭圆;故C错误； 当 时, , 方程 表示焦点在 轴上的双曲线;故D正确； 当 时, , 方程 表示焦点在 轴上的等轴双曲线. 故选：ABD. 37．(23-24高二上·河南顶尖名校联盟·期中)若关于的方程表示的曲线为，则（    ） A．当时，表示双曲线 B．当时，表示两条直线 C．当时，表示圆 D．当时，表示关于坐标轴对称的椭圆 【答案】ABC 【分析】根据各个选项的条件，得出相应关于的方程，再根据方程和双曲线、直线、圆及椭圆的特征，即可得出结果. 【详解】对于选项A，当时，的方程为， 可变形为，即，故表示双曲线，所以选项A正确； 对于选项B，当时，的方程为， 可变形为，即， 故或，所以选项B正确； 对于选项C，当时，的方程为， 因为，故表示圆，所以选项C正确； 对于选项D，当时，的方程为，显然不关于坐标轴对称，所以选项D错误， 故选：ABC. 地 1 考点08 双曲线的中点弦问题 38．(24-25高二上·河南南阳·期中)已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点． (1)求双曲线的方程； (2)直线与双曲线相交于，两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据渐近线方程及双曲线所过的点列方程求参数，即可得方程； （2）设，应用点差法得，结合中点坐标及点斜式写出所求直线方程. 【详解】（1）由题意，知，解得，故双曲线的方程为． （2）设， 则，两式相减，得， 整理得． 因为线段的中点坐标为，所以， 所以直线的斜率， 故直线的方程为，即． 经检验，直线与双曲线相交，所以直线的方程为. 39．(24-25高二上·河南南阳六校·期中)已知双曲线：的离心率为，且经过点． (1)求的方程； (2)若上两点，关于点对称，求直线的方程； (3)过的右焦点作两条互相垂直的直线和，且和分别与的右支交于点，和点，，设的斜率为，求四边形的面积（用表示） 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）根据双曲线的离心率和所经过的点求得双曲线的方程. （2）利用点差法求得正确答案. （3）设直线，其中，根据题中条件确定，再将的方程与联立，利用根与系数的关系，用表示，的长，再利用 【详解】（1）依题意，双曲线：的离心率为，且经过点， 所以，解得， 所以双曲线的方程为. （2）依题意，上两点，关于点对称， 由，两式相减并化简得， 所以直线的方程为. 由消去得，， 因此直线必与双曲线有两个交点，所以直线的方程为. （3）根据题意，直线的斜率都存在且不为，双曲线的右焦点为， 设直线，其中， 因为均与的右支有两个交点，所以，所以， 将的方程与联立，可得. 设，则， 所以 ， 同理， 所以,.    【点睛】方法点睛： 离心率与焦点求双曲线方程：利用离心率的定义结合经过特定点的条件，可以唯一确定双曲线的方程.这种方法是求解双曲线方程的基础技巧. 点差法求直线方程：在涉及到对称点问题时，点差法是一种简单而有效的求解直线方程的方法，尤其适用于对称性明显的几何问题. 利用根与系数关系求解交点：在小问3中，通过联立直线与双曲线方程，利用根与系数关系，可以简化交点的求解过程，是一种有效的代数方法. 地 1 考点09 直线与双曲线相交、弦长、面积等问题 40．(24-25高二上·河南郑州名校联考·期中)已知双曲线的左右焦点与点构成等边三角形． (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线过定点且与双曲线交于两点，当时，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或． 【分析】（1）由条件直接得出焦距，结合双曲线表示出，建立方程解得的值，便可以写出双曲线方程的标准方程； （2）设直线方程，联立方程组，由韦达定理表示出焦点弦长，解得斜率的值，从而得出直线的方程. 【详解】（1）由等边三角形可知双曲线焦距为， ∵，即，∴，∴，∴， 双曲线的标准方程为：． （2）显然当直线的斜率不存在时，直线与双曲线不相交， ∴设直线的方程为， 联立方程组得， ，解得， 由韦达定理可知， 即， 解得或． 所以直线的方程为或． 41．(24-25高二上·河南商丘十校·期中)已知点在双曲线上，且的实轴长为，，分别为的左、右焦点. (1)求双曲线的标准方程； (2)过点的直线与交于另一点，且点位于轴下方，若，求点的坐标. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据双曲线的定义及已知条件列出方程组来求解和. （2）利用三角形面积关系得到直线平行关系，进而得出直线方程，再通过联立直线方程与双曲线方程求解点的坐标. 【详解】（1）由题设条件，可得， 解得， 故双曲线的标准方程为. （2）因为，所以点 到直线的距离相等. 又点位于轴下方，所以 由（1）可知， 所以，则直线的方程为 联立 整理得解得或. 当时，点；当时，点， 综上，点的坐标为或.    42．(24-25高二上·河南豫北名校期中联考·期中)已知双曲线过点. (1)求双曲线的标准方程； (2)过的右焦点的直线与交于M，N两点，且以MN为直径的圆过坐标原点，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将分别代入双曲线C即可求解； （2）当直线斜率不存在时，易证明不满足题意；当直线斜率不存在时，假设直线方程与双曲线联立得到韦达定理，由题可知，代入并化简即可求出斜率，进而知道直线方程. 【详解】（1）将分别代入双曲线C得:, 解得,所以. （2）,所以双曲线的右焦点为 当直线的斜率不存在时, 此时,, , 以为直径的圆不经过坐标原点； 直线的敘率存在,设 联立,消去并整理得, 其中,即, , 以为直径的圆经过坐标原点, ,即， ， ,整理得,解得， 所以即.    43．(23-24高二上·河南商丘二十校联考·期中)已知分别为双曲线左、右焦点，在双曲线上，且． (1)求此双曲线的方程； (2)若双曲线的虚轴端点分别为（在轴正半轴上），点在双曲线上，且，，试求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据平面向量数量积坐标运算和点在双曲线上，可构造方程组求得的值，由此可得双曲线方程； （2）由三点共线可设，与双曲线方程联立可得韦达定理的结论，利用向量垂直的坐标表示，代入韦达定理结论可解方程求得的值，由此可得直线方程. 【详解】（1）设，，则，， ，解得：，； 又在双曲线上，则，，， 双曲线的方程为：. （2）由（1）得：，， ，三点共线， 直线斜率显然存在，可设，，， 由得：， ，即且， ，， ，，又，， ， 解得：，满足且， 直线方程为：或. 【点睛】关键点点睛：本题考查直线与椭圆的综合应用问题，解题关键是能够利用平面向量垂直关系的坐标表示来构造等量关系，结合韦达定理的结论得到关于所求变量的方程的形式，从而解方程求得变量的值. 地 1 考点10 直线与双曲线的位置关系问题 44．(23-24高二上·河南南阳·期中)如图，加斯帕尔·蒙日是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆（或双曲线）上两条相互垂直的切线的交点的轨迹方程为圆，该圆称为外准圆，也叫蒙日圆．双曲线的蒙日圆的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出过点的切线方程，并与双曲线方程联立，利用判别式为零得到关于的方程，方程的根即为，通过韦达定理可得点的轨迹方程，进而可求面积. 【详解】不妨设，则过点的双曲线切线方程为，存在且不为零， 联立， 消去得， 所以， 整理得 可知为关于的方程的两个根， 且， 即，整理得， 即点的轨迹方程为， 即双曲线的蒙日圆方程为，半径为 面积为. 故选：A. 45．(24-25高二上·河南新乡·)双曲线：的焦点为，，过的直线与双曲线的左支相交于两点，过的直线与双曲线的右支相交于，两点，若四边形为平行四边形，则（    ） A． B． C．平行四边形各边所在直线斜率均不为 D． 【答案】BC 【分析】根据双曲线的标准方程可判定A，由平行四边形与双曲线的对称性及双曲线定义可判定B，利用双曲线的性质可判定C，设直线方程，联立双曲线利用韦达定理及弦长公式结合函数的单调性可判定D. 【详解】由题意可得，，则，故A错误． 由双曲线的对称性和平行四边形的对称性可知：， 则，B正确． 设任一边所在直线为（斜率存在时），联立双曲线， 联立得， 则，即，C正确． 由， 设：；，，， 联立得， ∴，， 则 ， 设，则， ∴， 又单调递减，则，∴， 故，D错误． 故选：BC 46．(24-25高二上·河南南阳·期中)已知双曲线C：的焦点到渐近线的距离为1，A，B分别是C的左、右顶点，P是C上异于A，B的一点，直线，的斜率之积为. (1)求双曲线C的方程； (2)已知过点的直线：，交C的左、右两支于D，E两点（异于A，B）. ①求m的取值范围； ②若，其中O为坐标原点，求直线的方程. 【答案】(1). (2)①或；②或. 【分析】（1）设，由点在双曲线上及直线，的斜率之积为，结合焦点到渐近线的距离为1，即可求解； （2）（i）联立直线、双曲线方程，结合韦达定理即可求解；（ii）结合韦达定理即可求解. 【详解】（1） 设双曲线的一个焦点为，渐近线方程为，即， 根据题意，，双曲线的方程为. 设点，则，于是， 由，得，， 根据题意，， 解得， 所以双曲线C的方程为. （2）（i）设点，，联立方程组得， ， 易知恒成立， 由根与系数的关系，，. 因为直线与双曲线左右两支相交，所以m需满足 ，解得或. （ii）由图易知，， 则 ， 所以，解得或， 由（i）知，得，直线的方程为， 即或. 47．(24-25高二上·河南驻马店环际大联考“逐梦计划”·期中)已知双曲线的离心率为，焦点F到渐近线的距离为1. (1)求双曲线E的标准方程； (2)直线与双曲线E的左支交于不同两点，求实数k的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）双曲线离心率（为双曲线的半焦距），焦点到渐近线（即）的距离，且.再根据已知条件求出，的值，从而得到双曲线的标准方程. （2）将直线方程代入双曲线方程，得到一个一元二次方程，根据一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，结合直线与双曲线左支交于不同两点的条件来确定的取值范围. 【详解】（1）因为双曲线的离心率，可得，即. 又因为焦点到渐近线的距离为， 根据点到直线距离公式，而，所以，则. 由且，，可得，解得. 所以双曲线的标准方程为. （2）将直线代入双曲线方程，得到，展开可得，整理得. 因为直线与双曲线左支交于不同两点，所以. 由，解得. 对于，即，解得. 由，（结合），所以，解得. 由，解得，即或. 综合以上条件，取交集得. 则实数k的取值范围为. 地 1 考点11 双曲线中的最值范围问题 48．(24-25高二上·河南郑州·期中)设是双曲线上一点，，分别是两圆：和上的点，则的最大值为 . 【答案】8 【分析】根据给定条件，求出圆心及半径，利用圆的性质及双曲线定义求出最大值. 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 双曲线的实半轴长，半焦距，则为其左右焦点， ，， 要取最大值，点必在双曲线左支上， 所以. 故答案为： 49．(23-24高二上·河南商丘中州联盟·期末)若椭圆的长轴长，短轴长分别等于双曲线的实轴长，虚轴长，且椭圆和双曲线的焦点在同一坐标轴上，则称椭圆是双曲线的共轭椭圆，双曲线是椭圆的共轭双曲线．已知椭圆的共轭双曲线为． (1)求双曲线的标准方程； (2)已知点，直线（不过点）与相交于、两点，且，求点到直线的距离的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题中定义可得出双曲线的标准方程； （2）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，设出直线的方程，将该直线方程与双曲线方程联立，由题意可得出，利用平面向量数量积的坐标运算可得出关于直线方程中参数的值或参数之间的关系，求出直线所过定点的坐标，即可求出点到直线的距离. 【详解】（1）解：由题意可设的标准方程为，则，， 所以双曲线的标准方程为． （2）解：当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 设点、，    联立，得， 所以且， 即且， 由韦达定理可得，， ． 因为，且，， 所以 ． 所以或． 当时，直线恒过点，不合题意， 当时，直线恒过点，合乎题意； 当直线的斜率不存在时，设直线的方程为， 则、 因为，所以，解得或（舍去）． 所以直线恒过点， 所以当直线时，点到直线的距离最大，距离的最大值为． 【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下： （1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明. 50．(24-25高二上·河南开封五校·期中)已知双曲线的渐近线上一点与右焦点的最短距离为． (1)求双曲线的方程； (2)为坐标原点，直线与双曲线的右支交于、两点，与渐近线交于、两点，与在轴的上方，与在轴的下方． （ⅰ）求实数的取值范围． （ⅱ）设、分别为的面积和的面积，求的最大值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）根据焦点到渐近线距离求出，再求出即可得解； （2）（ⅰ）直线与双曲线方程联立消元后由根与系数关系及直线与右支相交可得； （ⅱ）根据弦长公式及点到直线的距离分别求出三角形面积，根据面积表达式换元后利用不等式性质求最值即可. 【详解】（1）设双曲线的焦距为，且， 因为到直线的距离为，故， 则，故双曲线的方程为：． （2）如图， （ⅰ）设，，联立直线与双曲线的方程， 消元得，则， 因为直线与双曲线右支交于两点，故，则，故的取值范围为． （ⅱ）由（ⅰ）知，， 原点到直线的距离， 设，，联立，则， ，，， 则， 而， 令，则， 当即时取到等号． 综上所述，的最大值为． 地 1 考点12 双曲线中的定值定点问题 51．(24-25高二上·河南部分学校大联考·期中)已知双曲线的离心率为2，左､右焦点分别是是的右支上一点，的中点为，且（为坐标原点），是的右顶点，是上两点（均与点不重合）. (1)求的方程； (2)若不关于坐标轴和原点对称，且的中点为，证明：直线与直线的斜率之积为定值； (3)若不关于轴对称，且，证明：直线过定点. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）由题设及双曲线定义得，再结合离心率、双曲线参数关系求双曲线方程； （2）设且，应用点在双曲线上、中点公式得，即可证结论； （3）设直线的方程为，联立双曲线，应用韦达定理及向量垂直的坐标表示列方程求参数t，即可证结论. 【详解】（1）设，连接. 是的中点，是的中点， ， ，则. 又. ， 的方程为. （2）设且. 的中点为，则， 是上的两点，①，②， ①②，得，即， 即，可得， ，直线与直线的斜率之积为定值3. （3）易知，且不关于轴对称， 直线的斜率不为0，设直线的方程为， 代入，整理得， ， ， ，解得或（舍去）， 直线过定点. 【点睛】关键点点睛：第二问，应用点差法找到之间坐标关系，第三问，设直线并联立双曲线，应用韦达定理和向量垂直坐标表示求参数. 52．(24-25高二上·河南南阳·期中)已知为坐标原点，动点到轴的距离为，且，其中均为常数，动点的轨迹称为曲线. (1)判断曲线为何种圆锥曲线. (2)若曲线为双曲线，试问应满足什么条件？ (3)设曲线为曲线，斜率为且的直线过的右焦点，且与交于两个不同的点. （i）若，求； （ii）若点关于轴的对称点为点，试证明直线过定点. 【答案】(1)椭圆 (2)且 (3)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）设，根据曲线的定义，可得的坐标满足的方程，分析可得结果. （2）将整理为，根据双曲线方程的特点分析可得结果. （3）（i）先根据为曲线可得曲线的方程，利用双曲线的性质及弦长公式易得结果； （ii）先设出直线的点斜式方程，由对称性得直线经过的定点必在轴上，令，结合韦达定理化简可得定点坐标. 【详解】（1）设，由，得， 当时，，即，所以曲线为椭圆. （2）由，得. 若曲线为双曲线，则， 所以可化为， 所以，则； 故应满足且曲线为双曲线. （3）由，得曲线的方程为， 则的右焦点坐标为，所以直线的方程为. 联立得. 设，则 （i）若，则 . （ii）因为点关于轴的对称点为点，所以， 则直线的方程为， 根据对称性可知，直线经过的定点必在轴上， 令，得 . 当且时， ， 故直线过定点. 【点睛】本题难点在于理解并应用曲线的定义进行分析，考查对新定义的理解和应用. 53．(23-24高二上·河南南阳·期中)已知焦点在轴上的双曲线的离心率为，焦点到其中一条渐近线的距离为． (1)求双曲线的标准方程； (2)过双曲线的上焦点的直线交双曲线的上支于、两点．在轴上是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)轴上存在点，使恒成立 【分析】（1）设出双曲线方程后，由焦点到其中一条渐近线的距离为，可得，再由离心率为可求出，从而可求出双曲线方程； （2）由题意设直线的方程为，设点，，将直线方程代入双曲线方程化简，再利用根与系数的关系，由题意得，设，则结合斜率公式化简可求得结果. 【详解】（1）由题意设双曲线方程为，焦点，渐近线方程为， 因为焦点到其中一条渐近线的距离为， 所以， 又，故， 所以双曲线的标准方程为． （2）根据题意，直线的斜率存在，设直线的方程为， 联立得，， 由，得恒成立， 设点，， 由根与系数的关系得，，． 设点，若，则， 即 ， 得，因为，所以得， 则点的坐标为． 综上，轴上存在点，使恒成立． 【点睛】关键点点睛：此题考查直线与双曲线的位置关系，考查双曲线中的定点问题，解题的关键是将转化为，考查计算能力和转化思想，属于较难题. 54．(23-24高二上·河南顶尖名校联盟·期中)已知双曲线的一条渐近线方程是，右焦点坐标为. (1)求的方程； (2)若过点的直线与交于，两点（，均在轴上方）；线段的中点为，点在线段上，且满足，设直线，（为坐标原点）的斜率分别为，，证明：为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据渐近线方程可得，再根据焦点坐标可得，即可得解； （2）设直线方程，联立方程组，结合韦达定理可得点坐标与，再根据，即，即可得点坐标与，可得，进而得证. 【详解】（1）因为的一条渐近线方程为， 所以，即， 又右焦点坐标为，所以， 解得，， 所以的方程为； （2）   设，，， 由， 可得， 则， 所以，， 因为直线与双曲线交于轴上方的，两点， 所以， 解得， 所以，， 所以， 所以. 由， 得， 可得， 解得， 所以，所以， 所以 于是，为定值. 【点睛】(1)解答直线与双曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． (2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形． 55．(24-25高二上·河南九师联盟·)在平面直角坐标系xOy中，若在曲线的方程中，以 且代替得到曲线的方程，则称是由曲线通过关于原点的“伸缩变换”得到的曲线，称为伸缩比. (1)若不过原点的直线通过关于原点的“伸缩变换”得到的曲线是，证明:是与平行的直线; (2)已知伸缩比时，曲线通过关于原点的“伸缩变换”得到的曲线是，且与轴有A，B两个交点（在的左侧），过点且斜率为的直线与在轴的右侧有，两个交点. ①求的取值范围; ②若直线的斜率分别为，证明：为定值. 【答案】(1)证明见解析 (2)①；②证明见解析 【分析】（1）根据伸缩比的定义，计算证明即可. （2）①直曲联立，借助韦达定理计算即可；②结合①的结论，直接运算即可. 【详解】（1）证明：设不过原点的直线的方程是都是常数，且a，b不同时为，则曲线的方程是，且，即，因为都是常数，且a，b不同时为， 所以曲线是一条直线，且与直线平行 （2）①解：伸缩比时，曲线通过关于原点的“伸缩变换”得到的曲线是，所以曲线的方程是，即. 与轴的两个交点A，B的坐标分别是，因为直线点，斜率为，所以直线的方程为，代入， 消去并整理得， 设， 则 ，， 因为与在轴的右侧有两个交点，所以，且，解得或， 所以的取值范围是. ②证明:由①知或，所以， ， ， 所以为定值. 56．(24-25高二上·河南南阳·期中)通过研究，已知对任意平面向量，把绕其起点A沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A逆时针方向旋转角得到点P， (1)已知平面内点，点，把点B绕点A逆时针旋转得到点P，求点P的坐标： (2)已知二次方程的图像是由平面直角坐标系下某标准椭圆绕原点O逆时针旋转所得的斜椭圆C， （i）求斜椭圆C的离心率； （ⅱ）过点作与两坐标轴都不平行的直线交斜椭圆C于点M、N，过原点O作直线与直线垂直，直线交斜椭圆C于点G、H，判断是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)（i）；（ⅱ）是，2 【分析】（1）借助所给定义计算即可得； （2）（i）计算出该斜椭圆的长轴长与焦距，结合离心率定义计算即可得； （ⅱ）法一：设出直线、，联立斜椭圆方程可得与交点横坐标有关韦达定理，结合弦长公式即可表示出，计算即可得； 法二：将所有点、直线与曲线都绕原点O顺时针旋转后，再设出直线、旋转后方程，联立标准方程可得与交点纵坐标有关韦达定理，结合弦长公式即可表示出，计算即可得. 【详解】（1）由已知可得，则， 设，则， 所以，，即点P的坐标为； （2）（i）由与交点为和，则， 由与交点为和， 则，所以，； （ⅱ）法一：设直线：，、， 与斜椭圆联立：， 有， ∵，， ∴ ， 设直线：，代入斜椭圆， 有， ∴，∴， 故. 法二：将椭圆顺时针旋转，由①可得椭圆方程为， 点Q旋转后的坐标为， 当直线旋转后斜率不存在时，，，， 当直线旋转后斜率存在时，设直线旋转后为， 旋转后、， 与椭圆方程联立，即， 可得， ，， ， 设直线旋转后为，代入椭圆方程中， 有，， . 综上所述，. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于对旋转后的方程的理解与运用，最后一问可直接在旋转后的斜椭圆上计算，也可在标准椭圆下计算，其旋转前后的线段长度不变. 试卷第50页，共50页 试卷第49页，共50页 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 06专题 双曲线 ☆12大高频考点概览 考点01双曲线的定义及其应用 考点2双曲线的离心率问题 考点03双曲线的渐近线问题 考点04双曲线的标准方程求解 考点05双曲线的性质 考点06双曲线的焦点三角形问题 考点07二次曲线与双曲线的关系问题 考点08双曲线的中点弦问题 考点09直线与双曲线相交、弦长、面积等问题 考点10直线与双曲线的位置关系问题 考点11双曲线中的最值范围问题 考点12 双曲线中的定值定点问题 考点01 双曲线的定义及其应用 1.(Q425高二上河南驻马店环际大联考逐梦计划”，期中)已知双曲线c号-无=1的左焦点为P,点P在双 曲线C的右支上，M为线段FP的中点，若M到坐标原点的距离为6，则PF=() A.6或18 B.18 C.8或20 D.22 2.(24-25高二上河南南阳期中)已知P为曲线C:x=、1+号上任意一点，A(-V3,0),B(022),则1PA+ |PB引的最小值为() A.2+V15 B.5 C.43 D.7 3.Q425高二上河南南阳期中)双曲线C:总-若=1的左右焦点分别为F1,F2,一条海近线方程为3 x+y=0,若点M在双曲线C上，且IMF1l=5,则MF2=() 试卷第1页，共12页 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.7 B.9 C.1或9 D.3或7 目 考点02 双曲线的离心率问题 4.2425高二上河南驻马店环际大联考逐梦计划”期中)已知双曲线号-芳=1(Q>b>0)两条渐近线的夹 角为5，则此双曲线的离心率为() A.2 B.3 C.23 D.43 3 5.(23-24高二上河南顶尖名校联盟期中)已知双曲线C器-芳=1(a>0,b>0),A为C的上顶点，B(0,5@)若 x2 在C的渐近线上存在一点P,使得∠APB=90°，则C的离心率的取值范围为() A.(1,32 B.(1,9 c.(1, D.(1, 6.(23-24高二上河南商丘二十校联考期中)已知过双曲线紧-荒=1(a>0,b>0)右焦点P2,斜率为3的直 线与双曲线在第一象限交于点A,点F1为左焦点，且(F2F1+F2A·F1A=0,则此双曲线的离心率为 A.1+6 2 B.1+⑤ C.1+3 2 D.1+② 2 2 7.425高二上河南郑州名校联考期中已知椭围C1塔+发=1(a>61>0)和双曲线C2号-发=1 X2 .x2 y2 (a2>0,b2>0)有公共焦点，左，右焦点分别为F1,F2,设两曲线在第一象限的交点为M,MP为LF1MF2的角 平分线，MQ⊥MP,点P,Q均在x轴上，设椭圆C1的离心率为e1,双曲线C2的离心率为e2,则下列说法正确 的是() A.MF1·MF2=b-b B.以椭圆和双曲线四个交点为顶点的四边形的面积的最大值为2a1b1 C.若F1Fz=6MFz,则e1e2的取值范围为（存，） D.者，Mr=60,测(+（的最小值为1+9 8.(23-24高二上河南商丘中州联盟期末)已知双曲线C号-荒=1(a>0b>0)与直线y=3x无公共点，过C 的右焦点F作C的一条渐近线的垂线，垂足为M,O为坐标原点，若sinzMOF>sinMFO,则C的离心率可以是 () A.v2 B.2 C.3 D.4 试卷第2页，共12页 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 9.Q425高二上河南商丘十校期中)已知双曲线G1号-等=1(01>001>0)的一条渐证线与双曲线C2荒- 司=1a2>0,b:>0)的一条渐近线关于直线y=x对称，且这两条衙近线的夹角为30，测双曲线C1与C2的 离心率之积为 10.(23-24高二上河南南阳期中)已知双曲线C答-茶=1(Q>0,b>0)的焦点与椭圆哈+芳=1的焦点重合， 离心率互为倒数，设F1、F2分别为双曲线C的左、右焦点，P为右支上任意一点，则双曲线C的离心率为； 的最小值为 1.2425高二上河南南阳期中)已知双曲线若-兰=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为P1,F2且F1P2 =4,直线过F2且与该双曲线的一条渐近线平行，与双曲线的交点为P,若△PF1F2的内切圆半径怡为号， 则此双曲线的离心率为() A.3 B.22 C.5 D.2 考点03 双曲线的渐近线问题 12.(2425高二上河南九师联盟)双曲线号-云=1的海渐近线方程为〔) A.y=± B.y=± C.y=± D.y=±x 13.(23-24高二上河南焦作期中)已知双曲线G号-茶=1(b>0)的一条海近线与直线x-3y-2=0平行， 则b=() A.36 B.4V2 C.6 D. 14.(23-24高二上河南环际大联考“逐梦计划”期中)已知中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的离心率为 √2，则它的渐近线方程为() A,y=±x B.y=±2 C.y=±， D.y=±V2x 15.(24-25高二上河南南阳六校期中)己知双曲线C以两个坐标轴为对称轴，且经过点(2，√③和 (-V5,-2),则C的渐近线方程为() A.y=±总x B.y=±x C.y=±V2x D.y=±2x 试卷第3页，共12页 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 16.(2425高二上河南商师联盟期中)已知点P是双曲线C:号-聋=1上一点，则点P到双曲线C的两条南近 线的距离之积为() A.若 B.8 c.品 D.is 17.(2425高=上河南豫北名校期中联考期中)已知椭圆C1端+号=1(a1>b1>0)和双曲线Cz号-芳=1 x2 (Q2>0,b2>0)有公共的焦点，其中F1为左焦点，P是C1与C2在第一象限的公共点.线段PF1的垂直平分线经 过坐标原点，若C1的离心率为，则C2的渐近线方程为() A.y=x B.y= C.y=x D.y= 考点04 双曲线的标准方程求解 18.(24-25高二上河南部分学校大联考期中)已知中心在原点的双曲线C的一条渐近线的斜率为2，且一个 焦点的坐标为(010，则C的方程为() A.号-若=1 B.x2-￥=1 c.-若=1 D.若-若=1 19.2425高二上河南焦作期中)已知双曲线c尝-荒=1(Q>0,b>0)的左、右焦点分别为PF1,P2,0为坐 标原点，点P在C上，且IOP=|OF2,若△PF1F2的面积为16，C的离心率为V3,则C的方程为() A.￥-若=1 B.若-6=1 C.益-益=1 D.-希=1 20.(24-25高二上河南焦作·期中)己知直线：x=-1,点M(1,0),P是动点.记点P到直线的距离为d1,点P 到点M的距离为d2,则下列说法正确的是() A.若d2=d1,则点P的轨迹是椭圆 B.若d2=V2d1,则点P的轨迹是双曲线 C.若d1+d2=2,则点P的轨迹是抛物线 D.若d2一d1=1,则点P的轨迹是双曲线的一部分 21.2324高二上河南环际大联考逐梦计划期中)椭圆学+片=1与双曲线号-号=1有相同的焦点，则双 试卷第4页，共12页 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 曲线方程是 22.(24-25高二上·河南开封五校期中)根据所给条件求曲线的标准方程： ()已知椭圆c塔+茶=1(a>b>0)的右焦点为(2,0)，且过点(2,3)： 2)已知双曲线E的一条渐近线方程为2x+3y=0,且过点(1,2四) 考点05 双曲线的性质 23.2425高二上河南南阳期中)已知双曲线G若-号=1，下列选项正确的是() A.双曲线C的渐近线方程为y=士x B.双曲线C的实轴长为8 C.双曲线C的焦距为25 D.双曲线C的离心率为 24.(23-24高二上河南焦作期中)已知双曲线C号-兰=1(a>0),当变动时，下列结论正确的是{) A.C的焦点恒在x轴上 B.C的焦距恒大于4 C.C的离心率恒大于2 D,C的一个焦点到其中一条渐近线的距离不变 25.(2425高二上河南南阳期中)双曲线Cx2-号=2的虚轴长为一，以C的左焦点为圆心，1为半径的 圆的标准方程为 26.(23-24高二上河南商丘二十校联考期中)已知抛物线y2=8x的焦点为F,准线为l.若l与焦距为2V13的 双曲线号-荒=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于点A和点B,且lABl=310F(0为坐标原点)，则双曲 线的实轴长为一。 27.(2425高二上河南南阳六校期中)若双曲线号-y2=1的焦距为4，则实数m的值为 28,(24-25高二上·河南开封五校期中)3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础， 运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术，如图所示的塔筒为3D打印 的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为10的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔 试卷第5页，共12页 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为6v2cm,下底直径为9v2cm,喉部（中间最细处） 的直径为8cm,则该塔筒的高为() 27 A.2cm B.18cm D.18v2cm 2 考点06 双曲线的焦点三角形问题 29.(2425高二上河南南阳六校期中)已知双曲线C:器-若=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为P1,P2, P为双曲线上一点，若P与F1恰好关于C的一条渐近线y=2x对称，且IPF2=2,则△PF1F2的面积为 () A.2 B.22 C.23 D.4 30.2425高二上河南焦作期中)已知双曲线C:号-若=1的左、右焦点分别为P1,F2,P为C的右支上一点， 且△PF1F2的内切圆圆心为H,则点H的横坐标为 31.(23-24高二上河南环际大联考“逐梦计划期中)已知双曲线C:器-荒=1(a>0,b>0)的实轴长为2 (1)若双曲线C的渐近线方程为y=士2x,求双曲线方程； (2)设F1、F2是C的两个焦点，P为C上一点，且PF1·PF2=0,△PF1F2的面积为9，求C的标准方程 目目 考点07 二次曲线与双曲线的关系问题 32.(24-25高二上河南九师联盟)m>4”是“方程(m+3)x2+(4-m)y2=1表示双曲线的() A,充分不必要条件 B,必要不充分条件 C.充要条件 D,既不充分也不必要条件 33.(24-25高二上·河南部分学校大联考期中)已知方程C:(m-2)x2+(5-m)y2=1,则() A.当2<m<5时，方程C表示椭圆 试卷第6页，共12页 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B.当m>5时，方程C表示焦点在x轴上的双曲线 C.存在m,使得方程C表示两条直线 D,存在m,使得方程C表示抛物线 34.(24-25高二上·河南郑州名校联考·期中)已知曲线C的方程为cos0·x2+sin0·y2=sin0·cos0,0e(0,m), 则下列说法正确的是() A.当0=，时，曲线C为直线 B.当0E(0,)时，曲线C为焦点在y轴上的椭圆 C.当0∈（侵n)时，曲线C为焦点在x轴上的双曲线 D.曲线C不可能是圆 35.(2425高二上河南南阳六校期中)已知曲线C,+二3=1，则下列说法正确的是() A.若mE(3,7),则曲线C表示椭圆 B.若曲线C表示双曲线，则m∈(-o,3)U(7,+∞) C.无论m取何值，曲线C都不能表示圆 D.无论m取何值，曲线C都不能表示抛物线 36.(23-24高二上河南环际大联考逐梦计划.期中)0°≤a≤180°变化时，方程x2+y2cosa=1表示的曲线 的形状可以是() A.两条平行直线 B.圆 C.焦点在x轴上的椭圆 D.焦点在x轴上的双曲线 37.(23-24高二上河南顶尖名校联盟·期中)若关于x,y的方程x2+y2+(1-12)xy+x-y-2=0表示的曲 线为C,则() A.当1=-1时，C表示双曲线 B.当λ=0时，C表示两条直线 C.当λ=1时，C表示圆 D.当1=2时，C表示关于坐标轴对称的椭圆 考点08 双曲线的中点弦问题 38.(2425高二上河南南阳期中)已知双曲线C器-荒=1(a>0,b>0)的一条海近线方程为x-V5y=0, 试卷第7页，共12页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 且经过点P(10√15). (1)求双曲线C的方程； (2)直线l与双曲线C相交于A,B两点，若线段AB的中点坐标为(3,2)，求直线的方程 39.Q425高二上河南南阳六校期中)已知双曲线B:等-芳=1〔a>0,b>0)的离心率为29，且E经过点 (2,9) (1)求E的方程； (2)若E上两点M,N关于点(1,2)对称，求直线MN的方程； (3)过E的右焦点F作两条互相垂直的直线l1和l2,且l1和L2分别与E的右支交于点A,C和点B,D,设L1的斜率 为k,求四边形ABCD的面积（用k表示） 考点09 直线与双曲线相交、弦长、面积等问题 40.(24-25高二上河南郑州名校联考期中)已知双曲线C:x2-y2=m(m>0)的左右焦点与点(0，√⑥构成等 边三角形， (1)求双曲线C的标准方程； (2)若直线过定点(0,1)且与双曲线C交于P,Q两点，当PQ=2√2时，求直线的方程 41.2425高=上河南商丘十校期中已知点M(2,3)在双曲线G答-后=1(Q>0,b>0)上，且c的实轴长为 2,F1,F2分别为C的左、右焦点 (1)求双曲线C的标准方程； (2)过点M的直线l与C交于另一点N,且点N位于x轴下方，若S△MF,F2=S△MNF1,求点N的坐标 42.2425高二上河南豫北名校期中联考期中已知双曲线C:等-芳=1(a>0,b>0)过点P(-32,4),Q(6,4 3) (1)求双曲线C的标准方程； (②)过C的右焦点的直线与C交于M,N两点，且以MN为直径的圆过坐标原点O,求直线的方程， 43.(23-24高二上河南商丘二十校联考期中)已知F1,F2分别为双曲线若-片=1〔a>0,b>0)左、右焦点，P (22,⑤在双曲线上，且PF1·PF2=4. (1)求此双曲线的方程； 试卷第8页，共12页 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)若双曲线的虚轴端点分别为B1,B2(B2在y轴正半轴上)，点A,B在双曲线上，且B2A=B2B(μER),B1A⊥ B1B,试求直线AB的方程， 考点10 直线与双曲线的位置关系问题 44.(23-24高二上河南南阳·期中)如图，加斯帕尔·蒙日是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥 曲线时发现：椭圆（或双曲线）上两条相互垂直的切线的交点P的轨迹方程为圆，该圆称为外准圆，也叫蒙 日圆，双曲线C号-y2=1的蒙日圆的面积为() VA A.3π B.4π C.5π D.6n 45.(2425高二上河南新乡)双曲线T:-y2=1的焦点为F1(-2,0),F2(2,0),过F1的直线1与双曲线的 左支相交于A,B两点，过F2的直线l2与双曲线的右支相交于C,D两点，若四边形ABCD为平行四边形，则 () A.a=3 B.AF1-CFl=2v3 C.平行四边形ABCD各边所在直线斜率均不为士 D.SEARCD≤8y9 46.(2425高二上河南南阳期中)已知双曲线C:是-荒=1〔a>0,b>0)的焦点到海近线的距离为1,4，B 分别是C的左、右顶点，P是C上异于A,B的一点，直线PA,PB的斜率之积为号 (1)求双曲线C的方程； (2)已知过点M(4,0)的直线l:x=y+4,交C的左、右两支于D,E两点（异于A,B), ①求m的取值范围； ②若S△D0e=12√2，其中O为坐标原点，求直线的方程 试卷第9页，共12页 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 47.2425高二上河南驻马店环际大联考逐梦计划期中)已知双曲线器-片=1(a>0,b>0)的离心率为 √2，焦点F到渐近线的距离为1. (1)求双曲线E的标准方程； (2)直线y=kx一1与双曲线E的左支交于不同两点，求实数k的取值范围 考点11 双曲线中的最值范围问题 48.2425高二上河南郑州期中)设P是双曲线号-若=1上一点，M,N分别是两圆：(x-5)2+y2=和 (x+5)2+y2=上的点，则PM-IPNI的最大值为一 49.(23-24高二上河南商丘中州联盟·期末)若椭圆的长轴长，短轴长分别等于双曲线的实轴长，虚轴长， 且椭圆和双曲线的焦点在同一坐标轴上，则称椭圆是双曲线的共轭椭圆，双曲线是椭圆的共轭双曲线.已 知椭圆C1:苦+号=1的共轭双曲线为C2 3 (1)求双曲线C2的标准方程； (2)已知点A(-2,0),直线l(不过点A)与C2相交于M、N两点，且AM⊥AN,求点A到直线的距离的最大 值. 50.(2425高二上河南开封五校期中)已知双曲线号-茶=1(a>0,b>0)的海近线上一点与右焦点F(2,0)的 最短距离为V2 (1)求双曲线的方程； (2)0为坐标原点，直线x=ty+2与双曲线的右支交于A、B两点，与渐近线交于C、D两点，A与C在x轴的上 方，B与D在x轴的下方. (i)求实数t的取值范围. (ii)设S1、S2分别为△AOC的面积和△B0D的面积，求S1+S2的最大值. 考点12 双曲线中的定值定点问题 51.(Q425高二上河南部分学校大联考期中)已知双曲线G器-后=1〔a>0,b>0)的离心率为2，左，右焦 点分别是F1,F2,P是C的右支上一点，PF1的中点为Q,且IQF1-|Q01=1(0为坐标原点)，A是C的右顶点， 试卷第10页，共12页