01专题 空间向量及其运算 （10大题型）（期中真题分类汇编 河南专用）高二数学上学期

命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 01专题 空间向量及其运算 ☆10大高频考点概览 考点01空间向量的相关概念问题 考点02空间向量共面问题 考点3空间向量的共线、垂直问题 考点04空间直角坐标系中的对称性问题 考点05空间向量的基底问题 考点06空间基底向量表示空间向量问题 考点07空间向量的投影向量问题 考点8空间向量的运算及其应用（基底视角） 考点09空间向量的运算及其应用（坐标运算视角） 考点10空间向量的综合问题 目目 考点01 空间向量的相关概念问题 1.(23-24高二上河南郑州十所级示范性高中·期中)已知空间向量ā，b,飞，下列命题中正确的(） A.若向量，b共线，则向量a,b所在的直线平行 B.若向量ā，所在的直线为异面直线，则向量a,一定不共面 C.若存在不全为0的实数x,y,z使得xa+yb+z元=可，则a,,共面 D.对于空间的任意一个向量，总存在实数x,y,z使得币=x+yb+z元 2.(24-25高二上河南开封部分学校期中关于空间向量，以下说法正确的是（) A.非零向量a,b,若三.b=0,则后⊥b B.若对空间中任意一点O,有0P=言0A+青0B+0C,则P,A,B,C四点共面 c.设且，bc是空间中的一组基底，则言-石，石+元，+}也是空间的一组基底 D.若空间四个点P,A,B,C,PC=PA+P克，则A,B,C三点共线 3.(24-25高二上河南许昌部分学校期中下列命题为真命题的是（) A.若空间向量a,b,满足a.b=b.,则= 试卷第29页，共30页 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B.若三个非零向量，，不能构成空间的一个基底，则，，必定共面 C.若空间向量a//6,b//,则a// D.对于任意空间向量a,,必有+≤引+ 目目 考点02 空间向量共面问题 4.(24-25高二上河南濮阳期中)若{豆石，}构成空间的一个基底，则下列向量共面的是() A.a,b,a+ B.6-2,飞-2a,2-6 C.a-6,6-,-6-a D.b-a-c,c-2a+2b,c 5.(23-24高二上河南信阳期中已知pA,PB,PC不共面，PM=(3-x-y)PA+xP方+(y-2)P元， 则() A.Vx,y∈R,A,B,C,M四点共面B.Vx,y∈R,A,B,C,M四点不共面 C.Vx,y∈R,A,B,C,P四点共面D.彐x,y∈R,A,B,C,P四点共面 6.(24-25高二上河南信阳·期中)空间A、B、C、D四点共面，但任意三点不共线，若P为该平面外一点且 PA=PB-xP元Pi,则实数x的值为 7.(24-25高二上河南许昌部分学校期中)已知向量=(3，-2,1)，b=(-1,3,-2),=(3,5,),若 点，b,三个向量共面，则入=一· 8.(22-23高二上河南洛阳强基联盟大联考)在空间直角坐标系0-yz中，点AB,C,M的坐标分别是 (2,0,2),(2,1,0),（0,4,-1),(0,m,-5),若AB,C,M四点共面，则m=_ 考点03 空间向量的共线、垂直问题 9.(24-25高二上河南九师联盟)已知=（1,3-2，石=(m2m+1,若1，则m的值为（) A.6 B.-6 C.4 D.-4 10.(23-24高二上河南新高中创新联盟TOP二十名校·调研)设x,yER,若空间向量a=(x,y,2)与 6=(6,4,-4)平行，则|=一 试卷第30页，共30页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 11.(24-25高二上河南郑州名校联考期中)已知x,y∈R,向量a=(x1,1),6=(1,y,1), =(2,-2,2),且a1,b//元，则x+y的值为() A.-1 B.1 C.2 D.3 12.(24-25高二上河南濮阳期中)在空间直角坐标系中，直线1过点A(1,0,-1)且以=(3,2,4)为方向 向量，M(x,y,z)为直线1上的任意一点，则点M的坐标满足的关系式是() A.受=背= B.劈=号=壁 C.号=为= D.号== 13.(24-25高二上河南驻马店环际大联考逐梦计划”期中)已知空间中三点A2,-1,1),B(1,1,0), C(4,-3,3)设a=A应，6=AC (①)求-26和2a+d: (2)若2k-6与+k石互相垂直，求实数k的值 考点04 空间直角坐标系中的对称性问题 14.(23-24高二上河南商丘二十校联考期中)在空间直角坐标系中，点M(3,-2,1)关于y轴对称的点的坐 标是() A.(3,-2,1)B.（3,2,-1) C.(-3,2,1) D.(-3,-2,-1) 15.(24-25高二上河南开封部分学校期中)在空间直角坐标系中，点(4，-1,2)关于x轴对称的点的坐标是 () A.（-4,-1,2)B.（-4,1,-2 C.(4,1,-2 D.(4,-1-2 16.(23-24高二上河南新高中创新联盟TOP二十名校·调研)在空间直角坐标系Oxyz中，己知点 P(1,2,3),则() A.点P关于x轴的对称点是P1(1,-2,-3)B.点P关于Oxy平面的对称点是P2(-1,-2,3) C.点P关于z轴的对称点是P3(1,2,-3)D.点P关于原点的对称点是P4(-1,-2,-3) 17.(24-25高二上河南部分学校大联考期中)在空间直角坐标系0xyz中，点P(a,0,2b-3)与Q(a,0,b) 关于原点0对称，则点Q的坐标为 18.(23-24高二上河南新乡期中)一束光线自点P(1,2,3)发出，被0xy平面反射后到达点Q(4,4,4)被 吸收，则该光线所走的路程是」 试卷第29页，共30页 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 目目 考点05 空间向量的基底问题 19.(23-24高二上河南新高中创新联盟TOP二十名校调研)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，能作为空间 的一个基底的一组向量有（) A.AA,AB,AC B.BA,BC,BD C.AC,BD,CB D.AD,BA,AC 20.(24-25高二上河南洛阳期中)已知{三五，}是空间的一个基底，则可以与向量品=6-2， 五=6+2构成空间另一个基底的向量是() A. B.6 C. D.6+ 21.(24-25高二上河南郑州名校联考·期中)下列说法正确的是() A.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，{AB,A元，A1C可以构成空间的一个基底 B.已知AB,C三点不共线，对平面ABC外的任一点0，若点M满足O应=(OA+O+Od),则 M在平面ABC内 C.若向量=成+可+kz,则称(m,n,k)为P在基底区立，}下的坐标，已知向量在基底 {a石}下的坐标为1,2,3)，则向量在基底主-石，+石，下的坐标为(-，多，3) D.已知PA、PB、PC是从点P出发的三条线段，每两条线段夹角均为60？PA=PB=PC=1,若M满 足p=pA+2P克+3P衣，则oa城，A=罗 考点06 空间基底向量表示空间向量问题 22.(23-24高二上河南新高中创新联盟TOP二十名校调研)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分 别是BC,CD的中点设A丽=京，A而=b,AA=,则E京=() A.-+B+ B.a-B+C.-+B-D.a-拓- 23.(2425高二上河南部分学校大联考·期中)在四面体ABCD中，M为棱CD的中点，E为线段AM的中点， 若BE=aBC+bBi+cBA,则=() 试卷第30页，共30页 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.支 B.1 C.2 D.3 24.(23-24高二上河南焦作期中)图1所示的明矾晶体可近似看作一个正八面体P-ABCD-Q(图2)，其 中P-ABCD,Q-ABCD均为所有棱长都相等的正四棱锥，若A=京，A=五，A=,则P0=() 图1 图2 A.+b+2c B.2a+26+2c C.-a-b+2c D.+b-2c 25.(23-24高二上河南新乡期中在四面体0ABC中，D为AB的中点，G为△0BC的重心，则DC=() A.0A+30B-0C B.-0A-O+吉0C c.0A+0店-oC D.-0A-0B+青0C 26.(24-25高二上河南洛阳·期中)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB=CC1, ∠ACB=∠ACC=号，∠BCC1=号，设CA=a,C克=i,CC1=元，N是AB的中点 M (1)用a、b、表示向量AN: (2)在线段C1B1上是否存在点M,使得AM⊥A1N?若存在，求出M的位置，若不存在，请说明理由 目 考点07 空间向量的投影向量问题 27.(23-24高二上河南顶尖名校联盟期中)已知向量a=(1,1,2),=(0,1,-1),则在6方向上的投影 试卷第29页，共30页 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 向量为() A.（信，言，青)B.（0,) c.(吾)D.(0,) 28.(23-24高二上河南新乡期中)设x>0,向量A正=（x是，x)在向量AC=(12,2)上的投影向量为 AC,则7的最小值为() A.5 46 B. 9 c. D.9 29.(24-25高二上·河南驻马店环际大联考“逐梦计划”期中)已知向量ā=(2,3，-1)，b=(1,2,2),则在 上的投影向量为 30.(23-24高二上河南环际大联考“逐梦计划期中)已知A(2,1,3),B(2,-2,6),C(3,6,6),则AC在 AB上的投影向量为」 考点08 空间向量的运算及其应用（基底视角） 31.(24-25高二上·河南开封部分学校·期中)已知正四面体ABCD的棱长为2，E是BC的中点，F在AC上， 且A=2F元，则A正.D应=（) A.-寻 B.号 C.0 D. 32.(24-25高二上河南焦作期中)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，cos∠ACB=寺，AC=BC=AA1=1, E,F分别为棱AC,BB1的中点，则异面直线A1B和EF所成角的余弦值是() A.号 B c. D.号 33.(23-24高二上河南洛阳期中)如图，二面角a-1-B的棱上有两点AB,线段BD与AC分别在这个二面 角的两个面内，并且都垂直于棱1，若AB=2,AC=3,BD=4,CD=V41,则二面角a-1-F的大小为() A B D A.晋 B.晋 C.号π D. 34.(23-24高二上河南洛阳期中)在棱长为2的正四面体ABCD中，BM=2M元，A=A(1ER) 试卷第30页，共30页 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 M (1)设A=,A元=石，A⑦=用厨，b,表示M: (2)若A.C=-3,求7 35.(23-24高二上河南焦作期中)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面ABB1A1与侧面ACC1A1都是菱 形，AA1=AB1=2,∠BAC=∠AA1C1=120°.记AB=i,AA1=6,AC=飞 C C B (1)用，6，表示AB1BC1,并证明BC1⊥AB1: (2)若D为棱A1C1的中点，求线段BD的长 36.(24-25高二上河南百师联盟期中)如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABCD是正方形， ∠A1AD=∠A1AB=60,AA1=2AB=2,点G为CB1的中点 D A B ()用向量AB,A⑦，AA1表示AG: (2)求线段AG的长及直线AG与BD1所成角的余弦值. 试卷第29页，共30页 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 考点09 空间向量的运算及其应用（坐标运算视角） 37.(23-24高二上河南新高中创新联盟T0P二十名校调研)已知空间向量a=(1,1,-1),6=(0,2,1), 则.6=() A.0 B.1 C.2 D.3 38.(24-25高二上河南商丘十校期中)已知向量，6满足+=(-1,1,3)，京-26=(-4，-2，-3)， =(2,2,4),则下列结论正确的是（） A.a=(2,0-1) B.1=2W6 c.1 D.cos(aa-)=品 39.(24-25高二上河南许昌部分学校期中)若向量a=(1,-1,2),=(21,-3),则 12a+= 40.(24-25高二上河南九师联盟)已知空间向量a=(2,2tt,石=(2+t,t-4t-1t是实数，则6-的 最小值是 41.(2425高二上河南部分学校大联考·期中)如图，在多面体EF-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正 方形，M为底面ABCD内的一个动点（包括边界），AE⊥底面ABCD,CF⊥底面ABCD,且 AE=CF=2,则M它.M的最小值与最大值分别为() A.3,4 B.3,4 c.3,5 D.易3 42.(24-25高二上·河南洛阳期中)已知ABCD是边长为2的正方形，点E,F在平面ABCD的同侧，AE1 平面ABCD,DF⊥平面ABCD,且AE=DF=2,点Q为DF的中点，点P是线段CE上的动点，则线段 PQ的长度可能为() A.1 B.V3 c.5 D.25 试卷第30页，共30页 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 43.(23-24高二上河南新高中创新联盟TOP二十名校调研)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，点 P在线段AC1上（不含端点）若∠BPD是锐角，则线段C1P长度的取值范围为一 44.(23-24高二上河南环际大联考“逐梦计划°期中)如图所示，在棱长为2的正方体0ABC-01A1B1C1中， E,F分别是棱AB,BC上的动点，且AE=BF=x,其中0≤x≤2，以O为原点建立空间直角坐标系 0-xyz. A E (1)求证：A1F⊥C1E: (2)若x=1,求cos(E京，EA)的值 目目 考点10 空间向量的综合问题 45.(23-24高二上河南焦作·期中)已知点0(0,0,0)，A(2,0,1),B(-1,0,2),则△0AB的面积 为」 46.(23-24高二上河南新高中创新联盟T0P二十名校调研)已知空间中三点A(0,0,0),B(1,-1,2), C(-1,-2,1),则以AB,AC为邻边的平行四边形的面积为() A.2 35 B. C.3 D.3y3 47.(24-25高二上河南部分学校大联考·期中)如图，在三棱锥A-BCD中，BD⊥BC,AB⊥平面BCD, AB=BC=BD=2,E,F,G,H分别为AB,BD,BC,CD的中点，M是EF的中点，N是线段GH上 的动点，则() 、M B/F H 试卷第29页，共30页 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.存在a>0,b>0,使得G成=aG丽+bG它 B.不存在点M,N,使得MN⊥EH c.M利的最小值为 D.异面直线AG与EF所成角的余弦值为0 48.(24-25高二上河南豫北名校期中联考期中)在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E是棱CC1的 中点，点P是底面A1B1C1D1内的一点（包括边界），则下列说法正确的是() A.存在点P,使得△PAE的周长为7B.存在点P,使得PA⊥PE C.pA.p元=pB.pi D.若点P满足AE⊥BP,则点P的轨迹长度为V2 49.(24-25高二上河南九师联盟)平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形， AA1=AB=1,∠A1AB=∠A1AD=60,AC∩BD=O,A1C1∩B1D1=01,则下列说法正确的是() A.AC=5 B.B01=A店-Ai+AA1 C.四边形B:BDD1的面积为V2 D.若AM=A0+A可1-AB1,则点M在平面B1BDD1内 试卷第30页，共30页 01专题 空间向量及其运算 10大高频考点概览 考点01 空间向量的相关概念问题 考点02 空间向量共面问题 考点03 空间向量的共线、垂直问题 考点04 空间直角坐标系中的对称性问题 考点05 空间向量的基底问题 考点06 空间基底向量表示空间向量问题 考点07 空间向量的投影向量问题 考点08 空间向量的运算及其应用（基底视角） 考点09 空间向量的运算及其应用（坐标运算视角） 考点10 空间向量的综合问题 地 1 考点01 空间向量的相关概念问题 1．(23-24高二上·河南郑州十所级示范性高中·期中)已知空间向量，，，下列命题中正确的（    ） A．若向量，共线，则向量，所在的直线平行 B．若向量，所在的直线为异面直线，则向量，一定不共面 C．若存在不全为0的实数使得，则，，共面 D．对于空间的任意一个向量，总存在实数使得 【答案】C 【分析】利用共线向量的定义可判断A选项；利用空间任意两个向量共面可判断B选项；利用共面向量的定义可判断C选项；利用空间向量的基本定理可判断D选项. 【详解】对于A选项：由于与共线，则，所在的直线也可能重合，故A不正确； 对于B选项：根据自由向量的意义知，空间任意两向量，都共面，故B不正确； 对于C选项：因为存在不全为0的实数，使得,不妨设， 则，由共面向量定理知，，一定共面，故C正确； 对于D选项：只有当，，不共面时,空间中任意向量才能表示为. 故D不正确. 故选：C 2．(24-25高二上·河南开封部分学校·期中)关于空间向量，以下说法正确的是（    ） A．非零向量，，若，则 B．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面 C．设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底 D．若空间四个点，，，，，则，，三点共线 【答案】ABD 【分析】根据向量垂直的定义可判断A的正误，根据四点共面的判断方法可判断B的正误，根据基底向量的条件可判断C的正误，根据三点共线的判断方法可判断D的正误. 【详解】对于A，对于非零向量，，若，则，正确； 对于B，若对空间中任意一点，有， ∵，∴，，，四点共面，故正确； 对于C，∵ ∴，，共面，不可以构成空间的一组基底，故错误； 对于D，若空间四个点，，，，， ∵，则，，三点共线，故正确． 故选：ABD． 3．(24-25高二上·河南许昌部分学校·期中)下列命题为真命题的是（    ） A．若空间向量，，满足，则 B．若三个非零向量，，不能构成空间的一个基底，则，，必定共面 C．若空间向量，，则 D．对于任意空间向量，，必有 【答案】BD 【分析】令为零向量即可判断A、C；由基底的概念判断B；应用向量数量积的运算律、定义判断D. 【详解】若为零向量，有，但不一定成立，A错： 三个非零向量，，不能构成空间的一个基底，则它们必共面，B对； 若为零向量，，，但不一定成立，C错： 由，， 而，所以，D对. 故选：BD 地 1 考点02 空间向量共面问题 4．(24-25高二上·河南濮阳·期中)若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】BD 【分析】根据给定条件，利用共面向量定理逐项判断即得. 【详解】由构成空间的一个基底，得向量不共面， 对于A，若向量，，共面，则存在实数对使得， 即，则向量共面，矛盾，，，不共面，A不是； 对于C，由，得，，共面，B是； 对于C，若，，共面，则存在实数对使得， 于是，此方程组无解，向量，，不共面，C不是； 对于D，由，得向量，，共面，D是. 故选：BD 5．(23-24高二上·河南信阳·期中)已知，，不共面，，则（    ） A．，，A，B，C，M四点共面 B．，，A，B，C，M四点不共面 C．，，A，B，C，P四点共面 D．，，A，B，C，P四点共面 【答案】A 【分析】根据共面的推论即可求解. 【详解】，，，A，B，C，M四点共面. 故选:A. 6．(24-25高二上·河南信阳·期中)空间四点共面，但任意三点不共线，若为该平面外一点且，则实数的值为 【答案】 【分析】先设，然后把向量，，分别用向量，，，表示，再把向量用向量，，表示出，对照已知的系数相等即可求解． 【详解】解：因为空间，，，四点共面，但任意三点不共线， 则可设， 又点在平面外，则 ， 即， 则， 又， 所以，解得，. 故答案为：． 7．(24-25高二上·河南许昌部分学校·期中)已知向量，，，若三个向量共面，则 ． 【答案】 【分析】由向量共面的性质可得 ，列出方程组解出即可. 【详解】因为三向量共面，所以可设 ， 即， 所以，解得，，所以. 故答案为：-4 8．(22-23高二上·河南洛阳强基联盟大联考·)在空间直角坐标系中，点的坐标分别是，，，，若四点共面，则 . 【答案】6 【分析】先由点的坐标求得向量，再利用共面向量定理得到，由此列出方程组即可求得. 【详解】由题意，得， 又四点共面，则存在，使得， 即，即，解得， 所以. 故答案为：6. 地 1 考点03 空间向量的共线、垂直问题 9．(24-25高二上·河南九师联盟·)已知，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，利用向量垂直的坐标表示，得到，即可求解. 【详解】因为，且， 所以，解得. 故选：C. 10．(23-24高二上·河南新高中创新联盟TOP二十名校·调研)设，，若空间向量与平行，则 . 【答案】 【分析】由空间向量平行列式求解参数，即可求出向量的模. 【详解】因为空间向量与平行 所以存在唯一实数，使得. 则，解得，即 所以. 故答案为：. 11．(24-25高二上·河南郑州名校联考·期中)已知，向量，，，且， ，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量平行和垂直的坐标运算求解. 【详解】因为向量， ，， 由，则，解得， 由 ，则，解得，则． 故选：A． 12．(24-25高二上·河南濮阳·期中)在空间直角坐标系中，直线过点且以为方向向量，为直线上的任意一点，则点的坐标满足的关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出向量，再利用空间向量共线的充要条件列式判断即得. 【详解】依题意，，，则， 所以点的坐标满足的关系式是. 故选：C. 13．(24-25高二上·河南驻马店环际大联考“逐梦计划”·期中)已知空间中三点，，.设，. (1)求和； (2)若与互相垂直，求实数k的值. 【答案】(1)，2 (2). 【分析】（1）利用空间向量的坐标运算和模的运算，即可求出结果； （2）利用向量的垂直关系等价于数量积为0，再结合空间向量的坐标运算，即可求出结果. 【详解】（1）∵，，，，， ∴，， 于是，， ， . （2）∵， ， 且与互相垂直， ∴， 即， ∴，解得：. 地 1 考点04 空间直角坐标系中的对称性问题 14．(23-24高二上·河南商丘二十校联考·期中)在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点关于轴对称点为，进行求解即可. 【详解】点关于轴对称的点的坐标是, 故选：D. 15．(24-25高二上·河南开封部分学校·期中)在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间直角坐标系中点关于坐标轴的对称点得解. 【详解】在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为. 故选：C 16．(23-24高二上·河南新高中创新联盟TOP二十名校·调研)在空间直角坐标系中，已知点，则（    ） A．点关于轴的对称点是 B．点关于平面的对称点是 C．点关于轴的对称点是 D．点关于原点的对称点是 【答案】AD 【分析】根据对称性只需判断对应坐标轴上是否需要变号，对选项逐一判断即可得出结论. 【详解】对于A，点关于轴的对称点，纵坐标和竖坐标变号，横坐标不变，即为，故A正确； 对于B，点关于平面的对称点，只有竖坐标变号，其余不变，即为，所以B错误； 对于C，点关于轴的对称点，横坐标和纵坐标变号，竖坐标不变，即为，即可知C错误； 对于D，点关于原点的对称点，横坐标、纵坐标和竖坐标都要变号，即为，即D正确； 故选：AD 17．(24-25高二上·河南部分学校大联考·期中)在空间直角坐标系中，点与关于原点对称，则点的坐标为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用对称性列式计算得解. 【详解】依题意，，解得， 所以点的坐标为. 故答案为： 18．(23-24高二上·河南新乡·期中)一束光线自点发出，被平面反射后到达点被吸收，则该光线所走的路程是 ． 【答案】 【分析】先求出点关于平面的对称点，再根据光的反射定律，将所求路程转化为点到点的距离，即可求解. 【详解】因为入射光线被平面反射后到达点被吸收，所以根据光的反射定律可知，入射光线必过点， 故该光线从发射到吸收所走过的路程为． 故答案为：. 地 1 考点05 空间向量的基底问题 19．(23-24高二上·河南新高中创新联盟TOP二十名校·调研)在正方体中，能作为空间的一个基底的一组向量有（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】AC 【分析】根据空间中不共面的三个向量可以作为空间向量的一个基底，从而求解. 【详解】由题意得：如下图所示：    对于A项：，，不共面，能作为空间的一个基底,故A项正确； 对于B项：，所以：，，共面，不能作为空间的一个基底,故B项错误； 对于C项：，，不共面，能作为空间的一个基底,故C项正确； 对于D项：， 所以：，，共面，不能作为空间的一个基底,故D项错误. 故选：AC. 20．(24-25高二上·河南洛阳·期中)已知是空间的一个基底，则可以与向量，构成空间另一个基底的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量基底的定义依次判断各选项即可. 【详解】对于A选项，不存在使得成立，故能构成空间的另一个基底； 对于B选项，，故不能构成空间的另一个基底； 对于C选项， ，故不能构成空间的另一个基底； 对于D选项，，故不能构成空间的另一个基底. 故选：A. 21．(24-25高二上·河南郑州名校联考·期中)下列说法正确的是（    ） A．在长方体中，可以构成空间的一个基底 B．已知三点不共线，对平面外的任一点，若点满足，则在平面内 C．若向量，则称为在基底下的坐标，已知向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为 D．已知是从点出发的三条线段，每两条线段夹角均为，若满足，则 【答案】BCD 【分析】根据给定条件，结合空间基底的意义、空间向量运算逐项分析判断即可. 【详解】对于A，在长方体中，共面， 则不能构成空间的一个基底，A错误； 对于B，，而， 则四点共面，从而在平面内，B正确； 对于C，依题意，，设， 即，则，解得， 因此向量在基底下的坐标为，C正确； 对于D，，， 则， ， ， ，D正确. 故选：BCD 地 1 考点06 空间基底向量表示空间向量问题 22．(23-24高二上·河南新高中创新联盟TOP二十名校·调研)在平行六面体中，，分别是，的中点.设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，由空间向量的线性运算，即可得到结果. 【详解】    由题意可得，. 故选：A 23．(24-25高二上·河南部分学校大联考·期中)在四面体中，为棱的中点，为线段的中点，若，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据空间向量的线性运算即可求解. 【详解】如图， ， 又， 所以，则. 故选：C 24．(23-24高二上·河南焦作·期中)图1所示的明矾晶体可近似看作一个正八面体（图2），其中，均为所有棱长都相等的正四棱锥，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量的线性运算即可结合正四棱锥的性质求解. 【详解】连接相交于点，则, 由于, 故选：D 25．(23-24高二上·河南新乡·期中)在四面体中，为的中点，为的重心，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由三角形重心的性质和向量的三角形法则即可. 【详解】因为为的中点，所以，因为为的重心， 所以， 所以 故选：D      26．(24-25高二上·河南洛阳·期中)如图，在三棱柱中，，，，设，，，是的中点.    (1)用、、表示向量； (2)在线段上是否存在点，使得？若存在，求出的位置，若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在，当时， 【分析】（1）利用空间向量的加法可得出关于、、的表达式； （2）假设存在点，使得，设，将、用基底表示出来，根据题意可得出，利用空间向量数量积的运算性质求出的值，即可得出结论. 【详解】（1） （2）假设存在点，使得，设， 则， 因为，所以， 即， 所以，， 设，又，， 所以，， 即，解得， 所以当时，. 地 1 考点07 空间向量的投影向量问题 27．(23-24高二上·河南顶尖名校联盟·期中)已知向量，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接根据空间向量的投影向量公式计算即可． 【详解】在方向上的投影向量为， 故选：B． 28．(23-24高二上·河南新乡·期中)设，向量在向量上的投影向量为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据投影向量的定义得到，然后利用基本不等式求最值即可. 【详解】向量在向量上的投影向量为，则，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为． 故选：B. 29．(24-25高二上·河南驻马店环际大联考“逐梦计划”·期中)已知向量，，则在上的投影向量为 . 【答案】 【分析】根据投影向量的计算公式求解即可. 【详解】设向量、的夹角为， 因为在上的投影向量为：， 又因为，， 所以，， 所以， 所以在上的投影向量为：. 故答案为： 30．(23-24高二上·河南环际大联考“逐梦计划”·期中)已知，，，则在上的投影向量为 . 【答案】 【分析】根据空间投影向量的定义求解即可. 【详解】因为，，， 所以，， 则，， 所以， 则在上的投影向量为. 故答案为：. 地 1 考点08 空间向量的运算及其应用（基底视角） 31．(24-25高二上·河南开封部分学校·期中)已知正四面体的棱长为，是的中点，在上，且，则（    ） A． B． C．0 D． 【答案】C 【分析】先将用表示，再用数量积运算计算即可. 【详解】由正四面体，得， 则，，， 由是的中点，得， 由，得， 则， 所以 ． 故选：C． 32．(24-25高二上·河南焦作·期中)在直三棱柱中，，，，分别为棱，的中点，则异面直线和所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合空间向量的基本定理选定为一组基底，表示出，从而得出的模长，再根据向量数量积公式求出夹角的余弦值. 【详解】如图所示， 设，，， 则，所以，. 由空间向量的基本定理， ，， 所以， 又 ， . 设异面直线和所成的角为， 则 . 故选：A. 33．(23-24高二上·河南洛阳·期中)如图，二面角的棱上有两点，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，若，则二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，则二面角的大小为，根据，展开计算可得，即可求解. 【详解】设，则二面角的大小为， 由题意，，则， 所以， 即，得，所以， 即二面角的大小为. 故选：C. 34．(23-24高二上·河南洛阳·期中)在棱长为2的正四面体中，. (1)设用，，表示； (2)若求. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据向量的线性运算法则，结合题意，求得，再由，即可求解； （2）由，得到，结合向量的数量积列出方程，即可求解. 【详解】（1）解：因为，所以， 则， 所以. （2）解：因为，所以， 在棱长为2的正四面体中，， 所以， 解得. 35．(23-24高二上·河南焦作·期中)如图，在三棱柱中，侧面与侧面都是菱形，，.记.    (1)用表示，并证明； (2)若为棱的中点，求线段的长. 【答案】(1)，，证明见解析； (2). 【分析】（1）由空间向量的位置关系，结合加减的几何意义用表示，再应用向量数量积的运算律和定义求的值，即可证结论； （2）由，两边平方并应用向量数量积的运算律求的模长即可. 【详解】（1）由题设，， ， 所以 ， 由侧面与侧面都是菱形且，， 所以，故. （2）由题设，， 所以 ， 所以. 36．(24-25高二上·河南百师联盟·期中)如图，在四棱柱中，四边形是正方形，，点为的中点.    (1)用向量表示； (2)求线段的长及直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)； (2)，. 【分析】（1）以向量为空间的一个基底，利用空间向量的线性运算表示出向量. （2）由（1）的结论，利用空间向量数量积的运算律求出模长及向量夹角的余弦值. 【详解】（1）在四棱柱中， . （2）由四边形是正方形，， 得， 则 ，即线段的长为； 而， 则 ， ， 因此，即直线与所成角的余弦值为， 所以线段的长为，直线与所成角的余弦值为. 地 1 考点09 空间向量的运算及其应用（坐标运算视角） 37．(23-24高二上·河南新高中创新联盟TOP二十名校·调研)已知空间向量，，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】利用空间向量数量积的坐标表示求解. 【详解】因为，，所以， 故选:B. 38．(24-25高二上·河南商丘十校·期中)已知向量，满足，，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据空间向量坐标表示得线性运算即可判断A；根据空间向量的模的坐标公式即可判断B；根据空间向量共线定理即可判断C；根据空间向量夹角的坐标公式即可判断D. 【详解】对于A，由，， 得， 所以，所以，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，因为，所以，故C正确； 对于D，， 则，故D错误. 故选：BC. 39．(24-25高二上·河南许昌部分学校·期中)若向量，，则 ． 【答案】 【分析】根据空间向量的加法运算和模长公式求解. 【详解】由题意，， 于是. 故答案为： 40．(24-25高二上·河南九师联盟·)已知空间向量是实数，则的最小值是 . 【答案】3 【分析】计算出，得到，故当时，取最小值为3. 【详解】因为， 所以， 所以当时，取最小值，且最小值为3. 故答案为：3 41．(24-25高二上·河南部分学校大联考·期中)如图，在多面体中，底面是边长为1的正方形，为底面内的一个动点（包括边界），底面底面，且，则的最小值与最大值分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得两两垂直，所以以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，设，然后表示出化简可求得结果. 【详解】因为底面平面， 所以, 因为四边形为正方形，所以， 所以两两垂直， 所以以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 设，则， 所以 ， 因为， 所以当时，取得最小值； 当或1，或1时，取得最大值4. 故选：A 42．(24-25高二上·河南洛阳·期中)已知是边长为2的正方形，点，在平面的同侧，平面，平面，且，点为的中点，点是线段上的动点，则线段的长度可能为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据题意，以A为原点，AD为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向，建立空间直角坐标系，设P，把PQ转化为，利用二次函数求最小值. 【详解】如图所示，以为原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向， 建立空间直角坐标系，则 、 、 、 、 、 、设P，由点是上的动点，知，即 ，∴ ，故 ， ∴ 所以.    故选：BC. 43．(23-24高二上·河南新高中创新联盟TOP二十名校·调研)已知正方体的棱长为，点在线段上（不含端点）.若是锐角，则线段长度的取值范围为 . 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，设，，根据是锐角，得到，求出的取值范围，再由求出的取值范围. 【详解】如图建立空间直角坐标系，则，，，，， 设，，则，则， 所以，， 显然与不可能同向， 因为是锐角，所以， 则，解得或， 又，所以，又， 所以，即线段长度的取值范围为. 故答案为： 44．(23-24高二上·河南环际大联考“逐梦计划”·期中)如图所示，在棱长为2的正方体中，E，F分别是棱，上的动点，且，其中，以O为原点建立空间直角坐标系. (1)求证：； (2)若，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）求出的坐标，计算得出，即可得出证明； （2）求出的坐标，根据空间向量的数量积运算，即可得出答案. 【详解】（1）由已知可得，， 所以，，，， 则，， ， ，即. （2）当时，，，， 则，， 所以 . 故：. 地 1 考点10 空间向量的综合问题 45．(23-24高二上·河南焦作·期中)已知点，则的面积为 . 【答案】/ 【分析】利用空间向量的坐标运算及三角形面积公式计算即可. 【详解】由题意可知，显然， 故的面积为. 故答案为： 46．(23-24高二上·河南新高中创新联盟TOP二十名校·调研)已知空间中三点，，，则以，为邻边的平行四边形的面积为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】依题意求出，，，，即可求出，再由面积公式计算可得. 【详解】因为，，，所以，， 则，，，所以， 又因为，所以， 则以，为邻边的平行四边形的面积. 故选：D 47．(24-25高二上·河南部分学校大联考·期中)如图，在三棱锥中，平面，，，，，分别为，，，的中点，是的中点，是线段上的动点，则（   ） A．存在，，使得 B．不存在点，，使得 C．的最小值为 D．异面直线与所成角的余弦值为 【答案】BCD 【分析】以点为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量法逐项计算判断得解. 【详解】在三棱锥中，平面，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ， 对于A，由，得， 则，方程无解，因此不存在、使得，A错误； 对于B，由是线段上的动点，设 ，则，， 由，则不存在点，使得，B正确； 对于C，，当且仅当时取等号，C正确； 对于D，，，则， 所以异面直线与所成角的余弦值为，D正确. 故选：BCD 48．(24-25高二上·河南豫北名校期中联考·期中)在棱长为2的正方体中，点是棱的中点，点是底面内的一点（包括边界），则下列说法正确的是（    ） A．存在点，使得的周长为7 B．存在点，使得 C． D．若点满足，则点的轨迹长度为 【答案】BCD 【分析】作关于平面对称点，，计算可判断A，建立如图所示的空间直角坐标系，设，利用空间向量研究垂直、数量积，求空间轨迹并求得轨迹长度判断BCD． 【详解】延长到，使得，则关于平面对称，， 由正方体性质知，因此， 又， 所以， 所以的周长不可能为7，A错； 以为原点，为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，底面内一点，设，， ， ， 当且仅当时，，即，此时为正方形中心．B正确； ， ， , ， ，C正确； ，， ，则．即， 所以点轨迹是平面内直线在正方形内的一条线段， 由得，由得，因此此线段的两端点分别是的中点，由已知，D正确． 故选：BCD． 【点睛】方法点睛：空间线段和最小值问题，常常利用对称转化两点间的距离线段求解，在立体图形中如果垂直关系较多（如正方体，长方体等）可以建立空间直角坐标系，用向量研究垂直与平行． 49．(24-25高二上·河南九师联盟·)平行六面体的底面ABCD是正方形， ，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．四边形的面积为 D．若，则点在平面内 【答案】ACD 【分析】由平方可判断A，由空间向量线性运算可判断B，通过说明，可判断C，由四点共面可判断D. 【详解】    因为， 所以 ， ，故A正确; 因为 ，故B错误； 因为 ， 所以，四边形为矩形，其面积，故C正确； 因为，由于，所以四点共面， 即在平面内，故D正确. 故选：ACD. 试卷第30页，共30页 试卷第29页，共30页 学科网（北京）股份有限公司 $