07专题 抛物线 （8大题型）（期中真题分类汇编 河南专用）高二数学上学期

函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 07专题抛物线 ☆8大高频考点概览 考点01抛物线的定义及其应用 考点02抛物线的标准方程及其焦点、准线问题 考点03抛物线的标准方程求解 考点04抛物线标准方程的应用问题 考点05直线与抛物线的位置关系问题 考点06直线与抛物线相交的弦长、面积问题 考点07抛物线中的最值范围问题 考点08抛物线中的定值定点问题 考点01 抛物线的定义及其应用 1.(24-25高二上·河南焦作·期中)设抛物线 y2=2 px(p>0" 的焦点为F' 过抛物线上的点p作准线的垂线， 设重足为0，若PF0=30,且Q=43,则p=6() A.2 B.23 C.1 D.3 3 3 2.(24-25高二上·河南豫北名校期中联考·期中)已知F为抛物线y2=18x的焦点，点A,B,C在抛物线上， F为△ABC的重心，则iAFV+(iBFV+iCFV() A.27 B.18 .27 D.9 2 3.(23-24高二上·河南环际大联考“逐梦计划”·期中)抛物线y=2px（p>0)上的动点2到焦点的距离 的最小值为2，则p=d 4.2425高=上河南据州名校联考：期中设抛物线y=2pXp>0的焦点为F'P1,m 抛物线上一点， 若PF=2,则p=( 试卷第1页，共32页 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 考点02 抛物线的标准方程及其焦点、准线问题 5. 抛物线y=X的焦点到准线的距离为 6.(24-25高二上·河南商丘十校·期中)抛物线y=-2025x2的准线方程为() A.x=2025 2 B.X=2025 4 C.y= 1 1 4050 D.y= 8100 7.(24-25高二上河南南阳六校期中)抛物线C:y=V2x的焦点坐标为() B.20 Lo晋 子 8.(23-24高二上·河南南阳·期中)二次函 的图像为抛物线，其准线方程为() y=ax2a≠0 A.x=-1 Aa B.x=0 4 C.y=-1 4a D.y=-a 4 9.(23-24高二上·河南洛阳期末)已知抛物线C:y=4x的焦点为F,点M是抛物线C的准线与x轴的交点， 点P在抛物线上（点P在第一象限)，若tan∠PFM=二5 则PF=式一 三、抛物线的标准方程求解 10.(2425高二上：河南南阳期中)已知0为坐标原点，F为抛物线Cc:y=2pxp>0 的焦点，点 MX,4在C上，且MFl=21OF则C的方程为（） A.y2=4x B.y2=8x C.y2=2x D.y2=x 11.(24-25高二上河南驻马店环际大联考“逐梦计划”·期中)已知动点P(x,y)满足 5(x-1y+y-1=3x+4y-5V:则动点P轨迹是（) 试卷第2页，共32页 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.圆 B.椭圆 C.抛物线 D.双曲线 12.(23-24高二上河南环际大联考“逐梦计划”·期中)已知抛物线C:y=2px（p>0)过点P2,4. (1)求抛物线C的方程，并求其准线方程： (2)求以(1，-1)为中点的抛物线C的弦所在直线的方程. 四、抛物线标准方程的应用问题 13.(24-25高二上·河南南阳·期中)如图，吊车梁的鱼腹部分AOB是抛物线的一部分，宽6m,高1m,根据 图中的坐标系.可得这条抛物线的准线方程为() A.y= B.y=-9 4 C.y=-9 D.y=-3 14.(24-25高二上·江西部分高中学校·)图中展示的是一座抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2m, 水面宽6m,水面下降1m后，水面宽度为() 6 A.33m B.32m c.36m D.8m 15.(24-25高二上·河南南阳六校·期中)如图是某抛物线形拱桥的示意图，当水面处于1位置时，拱顶离水面 的高度为2.5m,水面宽度为8m,当水面上涨0.9m后，水面的宽度为() 2.5m 8m A.6.4m B.6m C.3.2m D.3m 16.(24-25高二上·河南九师联盟·)如图是正在施工建设的济新黄河三峡大桥鸟瞰图，该桥是世界首座独塔 地锚式回转缆悬索桥，大桥主跨OA长约500米，主塔AB的高约100米.缆悬索OB是以O为顶点并开口向 上的抛物线C的一部分，则主塔顶端B点到抛物线C的焦点F的距离为米. 试卷第3页，共32页 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 6 主 A 桥面 五、直线与抛物线的位置关系问题 17.(24-25高二上·河北部分校·期中)已知 ABC的顶点均在抛物线=4y上，且5AAc=22:过 A、B、C分别作抛物线x2=4y的切线L1、12、l3,则三条切线l1、L2、13围成的三角形的面积为() A.2 B27 c.2 D.2 18.(24-25高二上河南九师联盟)己知抛物线C:y=4x的焦点为F,准线为l,经过F的直线m与C交于 A,B两点(A在第一象限)，D(0,1),E为C上的动点，则下列结论正确的是() A.满足△ADF为直角三角形的点A有且仅有2个 B.过点D且与C有且仅有一个公共点的直线恰有3条 C.若E在直线上的射影为E,则EDV+EE,≥2 D.若直线m的倾斜角为，则LAFVU3VBFV元 ·3-24高二上：河南焦作：期已知椭圆C:X+X之三1(a>b>0与物线Cy=2pxp≥0)交于骏 A,B,直线AB与x轴的交点既是C1的右焦点，也是C2的焦点，点A,B关于原点的对称点分别为A,B, 点P是C,上与A,A,B,B均不重合的点，记直线PA,PA的斜率分别为k,k,则kK-4=8 kk 20.(24-25高二上·河南南阳·期中)己知不在x轴下方的动点M到点 0 的面高比到钓的质武长 ，记动 点M的轨迹为C. (1)求轨迹C的方程. (2)已知直线l:y=kx+2与轨迹C交于A,B两点，以A,B为切点作两条切线，切线分别为l1,I2.直线L1, 12相交于点P.若AB=AP,求k. 试卷第4页，共32页 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 21.(24-25高二上·河南焦作·期中)已知抛物线 C:y2=2pxp>0 的焦点为F'过点F的直线，与。交于A,B 两点，点P-1,1在C的准线上. (1)求C的方程. (2)当直线1的斜率为2时，证明：PA⊥PB. (3)试问：PA,PB能否同时与C相切？请说明你的理由. 六、直线与抛物线相交的弦长、面积问题 22.(24-25高二上·河南百师联盟·期中)已知抛物线y=6x,直线l过抛物线的焦点且与抛物线交于A,B两 点，若弦AB的长为8，则直线的方程为() y=xy=子x+号 C.y=3x2y=-3x+2 D.y=2x或y=-2x+号 23.2425商=上河南商丘十校期中已知点p为抛物线c:y=2pXp>0的焦点，点p为抛物线c上位 于第一象限内的点，直线为抛物线C的准线，点Q在直线上，若PF=2+2,QF=2, ∠PFQ=90°，且直线PF与抛物线C交于另一点M,则下列结论正确的是() A.直线PF的倾斜角为60° B.抛物线C的方程为y2=2x MF=3-2R2 C.PF D.点Q在以线段PM为直径的圆上 24.(24-25高二上·河南驻马店环际大联考“逐梦计划”·期中)过抛物 C:y2=2px(p>0 的焦点F的直线 与C相交于P(x1,y1),Q(x2,y2)两点，直线P?的倾斜角为0，若乙PQVi的最小值为4，则() A.F的坐标为(1,0)】 B.若就PQVi8,则0= 4 试卷第5页，共32页 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C.若A(2,1),则iPAV+PFV的最小值为3D.△OPQ面积的最小值为2 25.(23-24高二上·河南南阳·期中)已知。是抛物线 C:y2=2px(p>0) 的焦点，直线AB经过点F交抛物线 AB 于A、B两点，则下列说法正确的是() A.以AB为直径的圆与抛物线的准线相切 B.若AF=2FB,则直线AB的斜率k=3 C.弦AB的中点M的轨迹为一条抛物线，其方程为y=2px-p2 D.若p=4,则就AFV+4VBFV(的最小值为18 26.(23-24高二上·河南商丘二十校联考·期中)设抛物 线c:y=2pxp>0)的焦点为F准线为，A为C上 一点，以F为圆心，FA为半径的圆交l于B,D两点，若∠ABD=90°，且△ABF的面积为43，则 () A.BF=4 B.△ABF是等边三角形 C.△BDF的面积为33 D.抛物线C的方程为y2=4x 27.2425高=上河南部分学校大联考：期中)已知p是抛物线c:y=2px0<p<3的焦点·PX,4是C 上一点，且P在C的准线上的射影为Q,PQ=5】 (1)求C的方程： (2)过点P作斜率大于4的直线1与C交于另一点M,若△PFM的面积为3，求的方程. 28.(24-25高二上·河南九师联盟)已知抛物线」 线c:y=2pxp>0与圆X+y=9相交于AB两点，且 AB=4V2. (1)求抛物线C的方程； (2)若直线：y=2x-1与C相交于M、N两点，F是C的焦点，求△FMN的周长. 29.(24-25高二上·河南南阳六校期中)在平面直角坐标系xOy中，点P到点(1,0)的距离比点P到直线 x=一3的距离小2，记动点P的轨迹为W. (1)求W的方程： (2)已知A,B是W上不同的两点，C2,0,若A,B,C三点共线，求OA·OB的值. 七、抛物线中的最值范围问题 试卷第6页，共32页 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 30.2425高二上河南南阳：期中)已知P为抛物线X=4y 4y上的一点，过P作圆X+y-4=1的两条切线， 切点分别为A,B,则cos∠APB的最小值是() 5 B. C. 3 1 D. 4 9 31.(2425高二上·河南部分学校大联考·期中)已知F为抛物线 :X=2pyp>0的焦点·△ABC的三个顶 点都在E上，且F为△ABC的重心.若FA+FB的最大值为10，则p=飞() A.1 B.2 C.3 D.4 32.(24-25高二上·河南南阳·期中)抛物线C:y2=16x的焦点为F,准线为l,过焦点F且斜率为V3的直线 与C交于点P(P在第一象限内)，Q为上一动点，则△PQF周长的最小值为 33.(24-25高二上河南南阳期中)已知抛物线C:y=x2,焦点为F. 4 (1)求F的坐标及抛物线C的准线方程； (2)已知点P是抛物线C上的一个动点，定点A1,2,则当P点在抛物线C上移动时，求PA+PF的最小 值 34.24-25高二上江苏扬州中学期中)已知A16,m+2”B124,m+8是抛物线c:y=2pxp>1上的两 点 (1)求抛物线C的方程： ②若斜率为kk≠0的直线经过c的焦点，且与c交于pQ两点，求1PQ+k:的最小值 八、抛物线中的定点定值问题 35.(23-24高二上·河南南阳期中)己知动圆M经过点A2,0,且与直线x=-2相切.设圆心M的轨迹为C. (1)求曲线C的方程： (2)设P为直线x=-2上任意一点，过P作曲线C的两条切线，切点分别为E、F,求证：PE⊥PF. 36.(23-24高二上·河南焦作·期中)在平面直角坐标系xOy中，已知点F-2,0,直线1：X=3,动点 Px,yx≤0到l的距离等于PF+1.设动点P的轨迹为曲线C. (1)求C的方程： (2)若直线x=my-4与曲线C交于A,B两点，证明：OA·OB为定值 试卷第7页，共32页 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 37.2425高二上河南豫北名校期中联考：期中)已知抛物线c:y=2px(p>0 的焦点为p'点P(4,m是 C上的一点，且iPFV(7. (I)求p和m的值； (2)过点F的直线与C交于A,B两点，记直线OA,OB的斜率分别为k1,k2,其中O为坐标原点，求证： k1k2为定值 38.(24-25高二上·河南驻马店环际大联考“逐梦计划”·期中)已知抛物线 :y2=2px(p>0) 的焦点为F, 点p4,yy,>0在抛物线C上，且PF=5 (1)求抛物线C的方程： (2)过点Q1,-4的直线与抛物线C交于A,B两点（均与点P不重合），设直线PA,PB的斜率分别为k1, k2,试问k1k2是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由。 试卷第8页，共32页 07专题 抛物线 8大高频考点概览 考点01 抛物线的定义及其应用 考点02 抛物线的标准方程及其焦点、准线问题 考点03 抛物线的标准方程求解 考点04 抛物线标准方程的应用问题 考点05 直线与抛物线的位置关系问题 考点06 直线与抛物线相交的弦长、面积问题 考点07 抛物线中的最值范围问题 考点08 抛物线中的定值定点问题 地 1 考点01 抛物线的定义及其应用 1．(24-25高二上·河南焦作·期中)设抛物线的焦点为，过抛物线上的点作准线的垂线，设垂足为，若，且，则（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】结合图形，根据抛物线的定义，到焦点的距离等于到准线的距离，在直角三角形中用三角函数即可求得. 【详解】设为准线与轴的交点，    因为，且，所以. 因为，所以，在中，，所以，解得. 故选：A 2．(24-25高二上·河南豫北名校期中联考·期中)已知为抛物线的焦点，点，，在抛物线上，为的重心，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据重心坐标公式，焦半径公式求解． 【详解】由题意，， 设，，， 是的重心，则， ， 故选：A． 3．(23-24高二上·河南环际大联考“逐梦计划”·期中)抛物线（）上的动点Q到焦点的距离的最小值为2，则 . 【答案】4 【分析】利用抛物线定义，结合抛物线范围求解即得. 【详解】抛物线的准线方程为，设，显然，当且仅当时取等号， 则点到焦点的距离，当且仅当时取等号，因此， 所以. 故答案为：4 4．(24-25高二上·河南郑州名校联考·期中)设抛物线的焦点为，为抛物线上一点，若，则 . 【答案】2 【分析】由抛物线的焦半径公式可得. 【详解】因在抛物线上，所以，故， 故答案为：2 5．抛物线 的焦点到准线的距离为 ．地 1 考点02 抛物线的标准方程及其焦点、准线问题 【答案】 【详解】 ，所以 ，所以抛物线的焦点到准线的距离为 . 6．(24-25高二上·河南商丘十校·期中)抛物线的准线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将方程化为标准式，即可求出其准线方程. 【详解】抛物线即， 则抛物线的准线为. 故选：D 7．(24-25高二上·河南南阳六校·期中)抛物线C：的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】化抛物线方程为标准形式，再求出焦点坐标. 【详解】抛物线C：的焦点在轴上，其坐标为. 故选：C 8．(23-24高二上·河南南阳·期中)二次函数的图像为抛物线，其准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将，化为抛物线的标准方程,分类讨论即可. 【详解】将，化为抛物线的标准方程， 当时，，得到，由抛物线的准线方程为； 当时，，得到，由抛物线的准线方程为； 综上：其准线方程为. 故选：C. 9．(23-24高二上·河南洛阳·期末)已知抛物线：的焦点为，点是抛物线的准线与轴的交点，点在抛物线上（点在第一象限），若，则 ． 【答案】 【分析】作垂直轴于点，根据题意利用抛物线的定义与直角三角形的性质分析求解. 【详解】由题意可知：抛物线的焦点，准线， 作垂直轴于点， 若，则， 不妨设，则， 由勾股定理可知，则， 所以，解得，所以． 故答案为：． 三、抛物线的标准方程求解 10．(24-25高二上·河南南阳·期中)已知O为坐标原点，F为抛物线C：的焦点，点在C上，且，则C的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由抛物线定义及可得，进而将点代入抛物线方程即可求得，进而求解C的方程. 【详解】由抛物线的定义，可知，又，， 则，即， 由点在C上，得，结合，解得. 所以C的方程为. 故选：B. 11．(24-25高二上·河南驻马店环际大联考“逐梦计划”·期中)已知动点满足，则动点P轨迹是（   ） A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线 【答案】C 【分析】我们先将已知等式进行变形，使其符合上述公式的形式，然后判断动点的轨迹. 【详解】已知， 将等式右边的变形为，即. 此时原等式变为， 两边同时除以得到. 表示点到点的距离， 表示点到直线的距离. 所以点到点的距离等于点到直线的距离. 点不在直线上， 根据圆锥曲线的定义，到一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线， 故动点的轨迹是抛物线. 故选：C. 12．(23-24高二上·河南环际大联考“逐梦计划”·期中)已知抛物线C：（）过点. (1)求抛物线C的方程，并求其准线方程； (2)求以为中点的抛物线C的弦所在直线的方程. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由点在抛物线上，代入方程待定系数即可； （2）已知弦的中点，由点差法可求弦所在直线斜率，再由点斜式方程可求. 【详解】（1）根据抛物线C：过点， 可得，解得. 从而抛物线C的方程为，准线方程为； （2）设弦的两端点分别为，，设点为， 当直线垂直于轴时， 由对称性可知，的中点在轴上，则不为的中点，不符合题意， 故直线垂直于轴，即， 则 由②-①得，， 由点是的中点，，代入上式得， ， 故直线的斜率，且直线过， 所以弦所在直线的方程为，即.    四、抛物线标准方程的应用问题 13．(24-25高二上·河南南阳·期中)如图，吊车梁的鱼腹部分是抛物线的一部分，宽6m，高1m，根据图中的坐标系．可得这条抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出抛物线的方程，结合图象可得，即可得其准线方程. 【详解】设这条抛物线的方程为， 由图可知点的坐标为，所以，得， 故这条抛物线的准线方程为． 故选：B. 14．(24-25高二上·江西部分高中学校·)图中展示的是一座抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面，水面宽，水面下降后，水面宽度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立直角坐标系，直线交抛物线于两点，抛物线方程为，代入抛物线，解得答案. 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则点.设抛物线的方程为， 由点可得，解得，所以. 当时，，所以水面宽度为. 故选：C. 15．(24-25高二上·河南南阳六校·期中)如图是某抛物线形拱桥的示意图，当水面处于位置时，拱顶离水面的高度为2.5m，水面宽度为8m，当水面上涨0.9m后，水面的宽度为（    ）    A．6.4m B．6m C．3.2m D．3m 【答案】A 【分析】建立平面直角坐标系，求得抛物线的方程，进而求得正确答案. 【详解】以拱顶为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系， 设抛物线的方程为， 依题意可知，抛物线过点， 所以， 所以抛物线方程为， 所以当时，， 解得，所以当水面上涨0.9m后，水面的宽度为. 故选：A    16．(24-25高二上·河南九师联盟·)如图是正在施工建设的济新黄河三峡大桥鸟瞰图，该桥是世界首座独塔地锚式回转缆悬索桥，大桥主跨长约500米，主塔的高约100米.缆悬索是以为顶点并开口向上的抛物线的一部分，则主塔顶端点到抛物线的焦点的距离为 米. 【答案】725 【分析】建系，得到相应抛物线方程即可求解. 【详解】以为坐标原点，过且与主塔AB平行的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则， 设抛物线的方程为，则100，解得， 所以抛物线的准线方程为 . 故答案为：725 五、直线与抛物线的位置关系问题 17．(24-25高二上·河北部分校·期中)已知的顶点均在抛物线上，且，过分别作抛物线的切线，则三条切线围成的三角形的面积为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】设，分别求出直线的方程，两两联立求出交点的坐标，继而求得直线的方程，过点垂直于轴的直线交直线于点，求得，过点垂直于轴的直线交直线于点，求得，计算和的面积之比即得. 【详解】依题意，设，过点的切线， 联立得， 令，解得，故得， 同理可得， 记交于点交于点交于点，联立､的方程解得， 同理可得，则． 另外直线，化简得：; 直线,化简得：．    如图，过点垂直于轴的直线交直线于点，则 过点垂直于轴的直线交直线于点，解得， 因为， 所以，即切线围成的三角形的面积为． 故选：A. 18．(24-25高二上·河南九师联盟·)已知抛物线的焦点为，准线为，经过的直线与交于A，B两点（A在第一象限），D（0,1），E为上的动点，则下列结论正确的是（    ） A．满足为直角三角形的点有且仅有2个 B．过点且与有且仅有一个公共点的直线恰有3条 C．若在直线上的射影为，则 D．若直线的倾斜角为，则 【答案】BCD 【分析】根据直线和圆的交点个数判断A，分斜率是否存在设直线联立方程组应用判别式判断B，数形结合根据三点共线判断距离和的最小值判断C，设直线联立方程组结合焦半径公式计算判断D. 【详解】对于A，显然满足的点恰有1个，又以DF为直径的圆与抛物线在第一象限有1个交点，当时，，所以满足为直角三角形的点恰有3个，故A错误； 对于B，当直线斜率不存在时，直线方程为，与抛物线只有一个公共点； 当直线斜率存在时，设直线方程为，联立消得， 当时，方程为 ，此时直线与抛物线只有一个交点； 当时，则，解得. 综上所述，过点与有且仅有一个公共点的直线有3条，故B正确; 对于C，如图所示，抛物线的焦点为 ， 当且仅当在线段DF上时取等号，故C正确； 对于D，因为，直线的倾斜角为，则直线的方程为， 联立得，解得， 所以，则，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是抛物线定义，距离和的转化 是解题的关键，的判断关键也是定义的应用. 19．(23-24高二上·河南焦作·期中)已知椭圆与抛物线交于点，直线与轴的交点既是的右焦点，也是的焦点，点关于原点的对称点分别为，点是上与均不重合的点，记直线的斜率分别为，则 . 【答案】4 【分析】椭圆半焦距为c，根据给定条件，结合椭圆、抛物线的对称性求出及点的坐标，再利用斜率坐标公式计算即得. 【详解】令椭圆半焦距为c，由的右焦点，也是的焦点，得， 又直线过点，由椭圆、抛物线的对称性知，点关于x轴对称，即直线轴， 由，得，由，得，于是，即， 则，解得，不妨令，则，设， 显然， ， 所以. 故答案为：4 20．(24-25高二上·河南南阳·期中)已知不在轴下方的动点到点的距离比到轴的距离长，记动点的轨迹为． (1)求轨迹的方程． (2)已知直线与轨迹交于，两点，以，为切点作两条切线，切线分别为，．直线，相交于点．若，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由抛物线定义即可得； （2）联立，消去后可得与有关的一元二次方程，即可得与交点横坐标有关韦达定理，再设出直线的方程并联立曲线，借助根的判别式可得切线的方程，同理可得直线的方程，联立即可得点坐标，再借助，代入韦达定理计算即可得解. 【详解】（1）由题意可得点到点的距离与到直线的距离相等， 故动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 所以轨迹的方程为； （2）设，， 联立方程组，得，， 则，， 易知直线的斜率存在，设直线的方程为， 联立方程组，得． 由，解得，所以切线的方程为， 同理可得，直线的方程为， 由，解得，即点， 因为，，，且，所以， 即， 即有， 化简得， 因此或，故有. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 21．(24-25高二上·河南焦作·期中)已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于A，B两点，点在的准线上. (1)求的方程. (2)当直线的斜率为2时，证明：. (3)试问：，能否同时与相切?请说明你的理由. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)能，理由见解析 【分析】（1）根据题意结合抛物线几何性质可求出p的值，从而求出抛物线方程； （2）由题意先写出直线l的方程，再把直线与抛物线方程联立解，分别表示出PA，PB的直线斜率，最后根据韦达定理与斜率乘积为-1证明出 （3）假设，同时与抛物线C相切，将直线l，PA，PB的方程分别与抛物线方程联立，结合韦达定理以及相切时联立的方程可得到PA，PB直线斜率的关系，从而求出直线l的方程，再检验当直线l方程已知的情况下PA，PB是否与抛物线相切. 【详解】（1）的准线方程为， 由题可知， 解得，所以的方程为. （2）如图所示， 由（1）得. 当直线的斜率为2时，直线的方程为，即， 联立直线与抛物线方程：，得， 设，， 由根与系数的关系得，. 由题易知直线，的斜率均存在. 又因为， 所以. （3）如图所示， 设直线的方程为. 由可得， 由根与系数的关系得，.（*） 设直线，即， 当直线与相切时，. 由得， 若直线与相切，则，即. 若直线，同时与相切， 则，是该方程的两个实数根，且，， 又，， 所以①， ②， 由②得③， 又由（*）得， 所以③式化为，解得. 此时，， ，满足①式. 故当，即直线的方程为时，同时与相切. 【点睛】关键点点睛：本题考查了直线与抛物线综合问题中的定点问题，解决问题的关键在于准确把握直线PA，PB斜率的关系，包括（2）中两直线垂直斜率乘积为，以及（3）中根据直线与抛物线相切结合韦达定理得出斜率的关系. 六、直线与抛物线相交的弦长、面积问题 22．(24-25高二上·河南百师联盟·期中)已知抛物线，直线过抛物线的焦点且与抛物线交于两点，若弦的长为8，则直线的方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】设直线l的方程为，直曲联立，由韦达定理表示弦长求出斜率即可； 【详解】根据题意可得抛物线的焦点，根据题意可得直线的斜率存在，（显然当斜率不存在时，不符合题意） 设直线l的方程为，联立， 得，所以， 因为，解得， 则直线l的方程为或. 故选：B. 23．(24-25高二上·河南商丘十校·期中)已知点为抛物线的焦点，点为抛物线上位于第一象限内的点，直线为抛物线的准线，点在直线上，若，，，且直线与抛物线交于另一点，则下列结论正确的是（   ） A．直线的倾斜角为 B．抛物线的方程为 C． D．点在以线段为直径的圆上 【答案】BCD 【分析】过点作，垂足为，根据抛物线的定义知，得到，利用二倍角的正切公式求出可判断A；根据为等腰直角三角形，可求出可判断B；将直线的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理求出的值可判断C；设线段的中点为，求出的坐标，得到可判断D. 【详解】如图，过点作，垂足为， 由抛物线的定义知， 与全等，则， ，，， ， ， 则，直线的倾斜角为，故A错误； 设直线与轴交于点，则， 由上可知，，则为等腰直角三角形， ， ，得， 所以抛物线方程为，故B正确； 由上可知，直线的方程为， 设，， ， ， 联立，整理得， 则， ，则， ，故C正确； 设线段的中点为， 则，， ， 由上可知，则， 又， 点在以线段为直径的圆上，故D正确. 故选：BCD. 24．(24-25高二上·河南驻马店环际大联考“逐梦计划”·期中)过抛物线的焦点的直线与C相交于，两点，直线PQ的倾斜角为，若的最小值为4，则（   ） A．的坐标为 B．若，则 C．若，则的最小值为3 D．面积的最小值为2 【答案】ACD 【分析】设直线，联立直线方程和抛物线方程后消元结合最小弦长可求的值，再逐项判断后可得正确的选项. 【详解】由题设有，直线的斜率不为零，故设直线， 则由可得，， 所以，所以 而， 当且仅当时等号成立，故，故， 故，故A正确； 若，则，故，故的斜率为， 其倾斜角为或，故B错误； 若，则过作准线的垂线，垂足为，连接， 则，当且仅当三点共线时等号成立， 故的最小值为3，故C正确； ， 当且仅当时等号成立，故面积的最小值为2，故D成立. 故选：ACD. 25．(23-24高二上·河南南阳·期中)已知是抛物线的焦点，直线经过点交抛物线于A、B两点，则下列说法正确的是（    ） A．以为直径的圆与抛物线的准线相切 B．若，则直线的斜率 C．弦的中点的轨迹为一条抛物线，其方程为 D．若，则的最小值为18 【答案】AD 【分析】A：利用抛物线的定义求得的中点M准线的距离即可判断；B：联立直线与抛物线，然后由条件和根与系数的关系即可判定；C：设，结合选项AB可得：，，消去m即可判定；D：可得结合基本不等式即可判定. 【详解】A：由抛物线的方程可得焦点，准线方程为：， 设，则的中点， 利用焦点弦的性质可得，而的中点M准线的距离： ， 以为直径的圆与该抛物线的准线相切，因此A正确； B：设直线的方程为，联立， 整理可得：，易知，可得， ，解得， ，解得， ，因此B不正确； C：设，结合A、B可得：， ，消去m可得：，因此C错误； D：若，则抛物线，不妨设，， ， 当且仅当时取等号，因此D正确． 故选：AD．   . 【点睛】方法点睛：直线与抛物线交于两点，与对称轴交点，则，进而可以使用基本不等式求与有关的最值问题. 26．(23-24高二上·河南商丘二十校联考·期中)设抛物线的焦点为，准线为为上一点，以为圆心，为半径的圆交于两点，若，且的面积为，则（   ） A． B．是等边三角形 C．的面积为 D．抛物线的方程为 【答案】ABD 【分析】根据抛物线定义及圆可得为正三角形判断B，利用面积求出边长判断A，再由直角三角形得出判断D，由面积公式求面积判断C. 【详解】设准线与轴交于点，如图， 抛物线定义知，又，所以为正三角形，故B正确； 由面积为知边长，故A正确； 则由直角三角形可得， 所以抛物线的方程为，故D正确； 面积为，故C错误. 故选：ABD 27．(24-25高二上·河南部分学校大联考·期中)已知是抛物线的焦点，是上一点，且在的准线上的射影为. (1)求的方程； (2)过点作斜率大于的直线与交于另一点，若的面积为3，求的方程. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据点在抛物线上得，结合抛物线定义列方程求参数，即可得方程； （2）设直线，联立抛物线，应用韦达定理、弦长及点线距离公式，结合三角形面积列方程求参数t，即可得结果. 【详解】（1）是上一点， ，则， 由抛物线的定义，知， ，则， 的方程为. （2）由（1），知. 设直线，即， 代入，整理得， ， ， 又点到的距离为， ， 即，解得或（舍去）， 直线的方程为，即. 28．(24-25高二上·河南九师联盟·)已知抛物线与圆相交于、两点，且. (1)求抛物线的方程; (2)若直线与相交于、两点，是的焦点，求的周长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据对称性，设，将点的坐标代入圆的方程，求出的值，即可得出抛物线的方程； （2）设、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式以及抛物线的焦半径公式可求得的周长. 【详解】（1）因为，根据圆与抛物线的对称性，不妨设， 因为点在圆上，所以， 解得（负值舍去），所以的方程是. （2）由消去并整理得， 设、，则， 由韦达定理可得，， 所以， ， 所以的周长为.    29．(24-25高二上·河南南阳六校·期中)在平面直角坐标系中，点P到点的距离比点P到直线的距离小2，记动点P的轨迹为W． (1)求W的方程； (2)已知A，B是W上不同的两点，，若A，B，C三点共线，求的值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用抛物线的定义求出方程. （2）设出直线的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合数量积的坐标表示计算得解. 【详解】（1）由点P到点的距离比点P到直线的距离小2， 得点P到点的距离等于点P到直线的距离， 因此点P的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线， 所以点P的轨迹W的方程为. （2）显然直线不垂直于轴，设其方程为，， 由消去得，恒成立，， 所以. 七、抛物线中的最值范围问题 30．(24-25高二上·河南南阳·期中)已知P为抛物线上的一点，过P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意作图，根据余弦的二倍角公式，利用两点距离公式，可得答案. 【详解】由圆的方程，则圆心，半径，结合题意作图如下： 由与圆相切，则，且， 设，则，可得， 的最小值为，的最大值为. 故选：B. 31．(24-25高二上·河南部分学校大联考·期中)已知为抛物线的焦点，的三个顶点都在上，且为的重心.若的最大值为10，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】设，利用抛物线的定义将转化为，再由三角形的重心性质和点的坐标特征即可求得值. 【详解】 如图，作抛物线的准线，分别过点作，垂足为，， 设， 则（*）， 因点为的重心，则，即， 代入（*），可得， 因点在抛物线上，故，故， 依题，，解得. 故选：D. 32．(24-25高二上·河南南阳·期中)抛物线的焦点为，准线为，过焦点且斜率为的直线与交于点（在第一象限内），为上一动点，则周长的最小值为 . 【答案】 【分析】过作直线的垂线，垂足为A，分析出为正三角形，求出；再通过轴对称求出，即可得周长的最小值. 【详解】设准线交轴于点，过作直线的垂线，垂足为A，连接， 由题知，焦点，，． 因为直线的斜率为，所以为正三角形， 所以，， 所以． 记关于直线的对称点为，则． 当，，三点共线时，， 所以周长的最小值为． 故答案为： 33．(24-25高二上·河南南阳·期中)已知抛物线，焦点为. (1)求的坐标及抛物线的准线方程； (2)已知点是抛物线上的一个动点，定点，则当点在抛物线C上移动时，求的最小值. 【答案】(1)，准线方程为. (2)3 【分析】（1）根据抛物线方程求得焦点坐标以及准线方程. （2）根据抛物线的定义求得正确答案. 【详解】（1）将抛物线：化为标准方程得，， 其焦点坐标为，准线方程为. （2）由抛物线的定义知，点P到焦点的距离即为点P到准线的距离， 为点P到定点的距离与点P到准线的距离之和， 要使得最小， 则点P，A在一条垂直于准线的直线上， 故最小值即为点到准线的距离为3， 所以，的最小值为3. 34．(24-25高二上·江苏扬州中学·期中)已知，是抛物线：上的两点． (1)求抛物线的方程； (2)若斜率为的直线经过的焦点，且与交于，两点，求的最小值． 【答案】(1)． (2) 【分析】（1）由点在曲线上，建立方程组解出对应参数值，得到抛物线方程； （2）由（1）写出直线方程，联立方程组，用韦达定理建立关系式，再利用基本不等式求出最小值. 【详解】（1）∵，是抛物线C：上的两点， ∴，则，整理得，解得，    当时，，解得，不合题意； 当时，，解得，故抛物线C方程为； （2）由（1）知C的焦点为，故直线l的方程为， 联立，得，必有， 设，，则， ∴， ∴， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为．    八、抛物线中的定点定值问题 35．(23-24高二上·河南南阳·期中)已知动圆经过点，且与直线相切．设圆心的轨迹为． (1)求曲线的方程； (2)设为直线上任意一点，过作曲线的两条切线，切点分别为、，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据抛物线的定义即可得出答案； （2）由题意可得点，切线方程为或，联立方程，根据结合韦达定理证明或即可. 【详解】（1）由题意可得点到点的距离与到直线的距离相等， 根据抛物线定义，圆心的轨迹为抛物线，且焦点为，准线方程为， 所以曲线的方程为； （2）法一：由题意，过点的切线斜率存在，且不为， 设点，切线方程为， 联立，得， 则， 由于过点存在两条切线，故关于的方程有两个不相等的实数根，， 且由根与系数的关系得，， 设切线、的斜率分别为，，则， 所以直线． 法二：由题意，过点的切线斜率存在，且不为， 设点，切线方程为， 联立，得， 则， 由于过点存在两条切线，故关于的方程有两个不相等的实数根，， 且由根与系数的关系得，， 设切线、的斜率分别为，，则， 所以直线． 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 36．(23-24高二上·河南焦作·期中)在平面直角坐标系中，已知点，直线，动点到的距离等于.设动点的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)若直线与曲线交于两点，证明：为定值. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据抛物线定义写出轨迹方程； （2）联立直线与抛物线，应用韦达定理得，，进而求，最后由向量数量积的坐标表示证明结论. 【详解】（1）由题设及抛物线定义知，动点轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 所以动点的轨迹的方程为. （2）由（1）所得轨迹方程，联立直线，可得，    且，故，， 所以， 又为定值，得证. 37．(24-25高二上·河南豫北名校期中联考·期中)已知抛物线的焦点为，点是上的一点，且. (1)求和的值； (2)过点的直线与交于A，B两点，记直线OA，OB的斜率分别为，其中为坐标原点，求证：为定值. 【答案】(1)，； (2)证明见解析 【分析】（1）由焦半径公式求得，得抛物线方程，点坐标代入抛物线方程可得； （2）设直线的方程为，设，直线方程代入抛物线方程后应用韦达定理得，再利用在抛物线上求得，然后计算可得． 【详解】（1）由题意，，抛物线方程为， 在抛物线上，因此，所以； （2）由（1）知焦点为，显然直线与不重合， 设直线的方程为，设， 由得，因此， 又，， 所以 所以． 38．(24-25高二上·河南驻马店环际大联考“逐梦计划”·期中)已知抛物线的焦点为F，点在抛物线C上，且. (1)求抛物线C的方程； (2)过点的直线与抛物线C交于A，B两点（均与点P不重合），设直线PA，PB的斜率分别为，，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)是，. 【分析】（1）根据抛物线的定义即可求出，即可得出方程； （2）设出直线的方程，与抛物线联立，利用韦达定理即可求出定值. 【详解】（1）由抛物线定义可知， 所以，则， 所以抛物线C的方程为； （2）由在抛物线上，得，即， 显然，过点的直线斜率不为0， 故设直线方程为，，， 由，得， ，解得或， 则，， 故， ， 又，， 所以 ， 故为定值.    试卷第4页，共32页 试卷第3页，共32页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $